届全国部分地区大学生物理竞赛试卷及答案

一、填空题（必做，共 10 题，每题 2 空，每空 3 分，共 60 分）
1.如图所示，小球从竖直平面的O点斜向上方抛出，抛射角为 ，速度大小为 v0 。在此竖
直平面内作OM射线与小球抛射方向垂直，小球 到达OM射线时的速度分解为图示中与OM射线
垂直方向上的分量 v 和沿OM射线方向上的分
量 v|| ，则 v ＝
2
10. arctan
,
1 2
1 2 4 l0
11.解：由牛顿第二定律和角动量守恒，得
m02 R0
G
M 0m R02
02
G
M0 R03
(1) (3分）
m 2 R
G
(M0
- M)m R2
2
G
(M 0 - M) R3
(2)
(2分）
mR2 m0R02
0
R02 R2
(3)
(3分）
将（3）式代入（2）式，得
密地与气缸壁接触，此活塞上有一个小孔，装有只能朝下打开的阀门 K1 。气缸的下部有一
个固定的薄隔板 C 和一个固定在缸壁上厚度可略的卡环 B，隔板 C 的中央有一个小孔，装
有只能朝下打开的阀门 K2 。隔板 C 与气缸底部的距离为 L，卡环 B 到隔板 C 的距离为 L/2 ，
活塞 A 能够达到的最高位置在隔板 C 的上方 4L 处。开始时 A 在最高位置，气缸内 A 到 C 之间以及 C 下方的气体压强与外界大气压强相同，均
系为 =
。人眼瞳孔直径为 2mm，对波长为 550nm 的黄绿光，人眼瞳
孔的最小分辨角为
rad.
2
*****************************密******************封*******************线****************************
所在学校
系统曾经有过的角动量最大值 Lmax 以
及系统质心 C 曾经有过的角动量最大
值 LC,max 。
9
准考证号
姓名
考场
17 . （20 分，物理组必做，其他组不做） 如图所示，在惯性系 S 中，一个以 x 轴为对称轴的数学旋转曲面沿 x 轴以匀速度 v 高速运动。
t 时刻，曲面在 o-xy 平面上的投影曲线方程为 y2 2 p( x vt)
海平面高度h处，大气分子数密度 n(h) ＝
，
压强 p(h) ＝
。
５.单原子分子理想气体所经热循环过程 ABCA 和 ACDA 如图所示，对应的效率
ABCA ＝
， ACDA ＝
。
6.在均匀磁场
B
的空间中，质量
m,电量
q
0
的粒子，以初速
v0 开始运动，若
v0 与
B
的夹角为锐角
，则粒子运动的轨道是等距螺旋
6
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所在学校
14.（15 分）图中所示倾角为
的斜面，相切地接上一段半径 为 R 的圆弧曲面，后者又与水
平地面相切。半径 r R 匀质小
3.
k
,
ma0 ;
4
mk
4. n0e mgh kT , p0emgh kT ;
5. 1 , 13
1; 12
6. mv0 sin , 2mv0 cos ;
qB
qB
7.
0 IR2
2( R 2
x2
3
)2
,
0r 2 R 2
Biblioteka Baidu
2(R2
x
2
)
3 2
;
8.
1.22 .
d
3.36 104 ;
9. D , a
2 b； a
02 R04 R4
G
M
0 - M R3
将（1）式代入（4）式，得
R
02 R04
(4)
G(M 0 - M)
R
GM 0 R04 GR03 (M 0 - M)
R0 (1 M
)
M0
即得
R
R0 (1
M M0
)
(5)
(4分）
将（5）式代入（3）式，得
0 R02
R02 1
M M0
2
0 1
M M0
2
即得
0
线，它的旋转半径（注意：并非螺旋线的曲率半径） R
，
螺距 H
。
7.半径 R ，电流 I 的大圆环，在其中央轴距环心 x 处的
磁感应强度大小为 B(x)
。
有一半径为 r R 的小圆环，环心位于 x 点，环平面与
x 轴垂直，如图所示，则小圆环与大圆环之间的互感系数
近似为 M
。
8.夫琅和费圆孔衍射形成的爱里斑，其半角宽度 与圆孔直径 d、单色光波长 之间的关
称此曲线为投影抛物线。有一与 x 轴反向的平 行光束迎着此旋转曲面射来，被曲面内表面反 射。待解的问题如下：如果反射光束在 x 轴上 成为一个点像，试导出 t 时刻这一点像到该时
刻投影抛物线顶点的距离 f ；如果成为一条线
段像，试导出 t 时刻这一条线段像两个端点各
自到该时刻投影抛物线顶点的距离 f1、f2 。
9.常规的杨氏双孔干涉的实验装置和相关参量如图 1 所示，屏幕上中央区域（O 点附近）相
邻两条亮纹的间距为
。用开孔的直角挡板和直线“屏幕”构成的双孔干涉
实验装置，以及 45 方向入射的平行光束，如图 2 所示。图中还给出了相关的几何参量。x
轴上 O 点附近相邻两个亮点的间距近似为
。
10.惯性系 S、S'间的相对运动关系如
一
二
题号
1 ~ 10
11
12
13
14
分数
阅卷人
三 题号
15
16
17
总分
分数
阅卷人
答题说明：前 14 题是必做题，满分是 120 分；文管组和农林医组只做必做题；除必做题 外，非物理 B 组限做 15 题，满分 140 分；非物理 A 组限做 15、16 题，满分 160 分；物理 组限做 15、17 题，满分 160 分。请同学们自觉填上与准考证上一致的考生类别，若两者 不符，按废卷处理，请各组考生按上述要求做题，多做者不加分，少做者按规定扣分。
p0h
p1
L 2
得
h 5 L 4L 3
(4分）
，
v|| ＝
。
２.如图所示，由三根相同的均匀细杆连成的等边
三角形刚体框架每边长a,总质量M。将框架相对于过框边上任意一点
P且垂直于框架平面的转轴的转动惯量记为 IP ，所有 IP 中最小者
I min 所对应的P点必定在
,所有 IP 中最大者
I max 与 I min 之间的差值为
。
准考证号
姓名
考场
1
图所示，其间相对速度大小为 v。S'
系的 O'-x'y'平面中有一根与 x'轴平
行的细杆 AB。杆长 l0 ，在 S'系中沿
y'方向匀速平动，速度大小也为 v。
S 系测得杆 AB 与 x' 轴夹角绝对值
，
杆长 l
。
准考证号
姓名
考场
3
二、计算题（必做，共 4 题，每题 15 分，共 60 分）
11. （15 分）将现在太阳的质量记为 M 0 ，地球圆轨道半径记为 R0 ，角速度记为 0 。太阳 经过一年的辐射，质量损耗记为 M (M M 0 ) ，地球的轨道仍近似为圆，试求一年后 地球轨道半径 R 和角速度 ，答案中不可包含题文未给出的物理常量。
8
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所在学校
16. （20 分，非物理 A 组必做，其他组不做） 如图所示，半径为 4d 的圆环固定在水平桌面上，内侧四个 对称位置上静放着质量同为 m 的小木块 1、2、3、4，小木 块与环内壁间没有摩擦，小木块与桌面间的摩擦因数同为
为 p0 。假设阀门 K1 、 K2 打开和关闭时间均可略。
（1）在等温条件下，使活塞 A 从最高位置缓慢朝下 移动，直到最低位置 B 处，试求此时隔板 C 下方气体
的压强 p1 ；
（2）承（1）问，再将活塞 A 从 B 处缓慢朝上拉，拉 到距 C 的高度 h 达到什么值时，方能使 C 上方气体的
压强等于 p0 ?
附注：（1）如果你在 S 系中直接运用费马原理 求解，本题最高得分为 20 分； （2）如果你运用相对论知识结合静态抛物线光 学聚焦知识求解，本题最高得分只能为 6 分。
10
第 28 届全国部分地区大学生物理竞赛试卷
参考答案
1. v v0 ,
v|| 2v0 cot ;
2.各边中点，
1 Ma 2 ；
7
准考证号
姓名
考场
三．计算题（每题 20 分。文管组和农林医组不做；非物理 B 组限做第 15 题；非物理 A 组 限做第 15、16 题；物理组限做第 15、17 题）
15.（20 分，文管组和农林医组不做，其他组必做）
图示的电路中， t 0 时，电容充电过程已完成。 t 0 时，接通电键 K。将接通前瞬间时刻记为 t 0 ，接通后瞬间时刻记为 t 0 。 t 0 时， 按图中虚线所示方向设定各路电流 I1、I 2、IC 和 I3 的流向。 （1）写出 t 0 时刻 A、B 间电压U AB (0 ) 和 I1(0 ) 、 I2 (0 ) 以 及 电 容 器 上 方 极 板 电 量 Q(0 ) ； （2）导出 t 0 时刻 A、B 间电压U AB (0 ) 和 I1(0 ) 、 I2 (0 ) 、 IC (0 ) 、 I3 (0 ) 以及电容器上方极板电量 Q(0 ) ； （3）导出任意 t 0 时刻的 I（1 t)、I2 (t)、IC (t)、I3 (t) 和电容器上方极板电量 Q(t) 。
（3）令活塞 A 从 B 处移动到原最高位置，然后再次 移动到 B 处，如此往复进行，试求隔板 C 下方气体压
强所能达到的最大值 pe 。
5
姓名
考场
13.（15 分） 如图所示，面积同为 S 的两块相 同导体薄平板平行放置，间距为 d。左侧导体板 带电量 3Q > 0，右侧导体板带电量 Q，其右侧 相距 d 处有一个质量为 m，电量为- q（q > 0） 的粒子 P 。导体板静电平衡后，P 从静止释放， 假设它可自由穿越导体板，且不会影响板上的 电荷分布，试问经过多长时间 T，经多长路程 S 后，P 第一次返回到其初始位置？
３.水平静止的车厢中，用一根劲度系数为k的 轻弹簧水平静止地连接质量为m的小滑块，滑 块与车厢底板间无摩擦。今如图示使车厢以恒
定的加速度 a0 水平朝右运动，小滑块将在车
厢内左右振动，振动角频率 ＝
，
振幅A＝
。
４.设大气温度处处同为T,分子平均质量为m，海平面处分子数密度为 n0 ,压强为 p0 。在距
1
2M M0
(3分）
1
12. 解：（1）A 第一次朝下移动时，气缸内的气体压强增大，使 K1 关闭， K2 打开。A 到
达 B 处时，由
p1
3 2
L
p0
5L
得
p1
10 3
p0
(5分）
（2）A 从 B 处朝上拉时，C 上方气体体积增大，压强减小，K2 即关闭。C 下方气体压强 p1
不变，上方气体压强继续减小，直到 A 距 C 高为 h 时压强降到 p0 ，由
4
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所在学校
准考证号
12.（15 分）如图所示，在内壁光滑固定直立的圆筒形气缸内，有一个质量可略的活塞 A 紧
球，开始时静止在斜面上，两 者接触点距斜面底端的高度为 h。小球自由释放后，可以沿斜 面、圆弧面和水平地面作纯滚 动。设小球与斜面间的摩擦因
数处处同为常数 1 ；小球与圆
弧面间的摩擦因数处处同为常
数 2 ；小球与水平地面间的摩擦因数处处同为常数 3 。已知小球绕直径轴转动惯量为 2 5 mr 2 ，其中 m 为小球质量，试求 1 、 2 、 3 各自取值范围。
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所在学校
考生类别
第 28 届全国部分地区大学生物理竞赛试卷
北京物理学会编印
2011.12.11
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的 推。力对木F 块。木1 块施加1 被方推向动始后终，沿相着继圆与环木切块线方2、向3，、大4 小发不生变完
全非弹性碰撞，，最后恰好一起停在木块 1 的初始位置，全 过程中木块 1 绕行圆环一周。 （1）将四个木块构成的系统的质心记为 C，木块 1、2、3、 4 和 C 的初始位置已在图 2 所示的 o-xy 坐标平面上给出。 通过分析，请在此坐标平面上准确画出 从木块 1 开始运动到最后停下的全过 程中 C 的运动轨迹； （2）试求推力 F； （3）以环心为参考点，试求全过程中