福州大学历届概率试卷与答案

福州大学概率统计(54学时)试卷（080116）

一、 单项选择(共21分,每小题3分)

1. 设A 、B 是任意两个事件，则P (A - B )= （ ） A. ()()P A P AB - B. ()()()P A P B P AB -+ C. ()()()P A P B P A B +-U D. ()()()P A P B P AB +-

2. 对于随机变量X ,Y ，若E (XY )=E (X )E (Y )，则 （ ）

A. DY DX XY D ⋅=)(

B.DY DX Y X D +=+)(

C. X 与Y 独立

D. X 与Y 不独立

3．任何一个连续型随机变量的概率密度)(x ϕ一定满足( )。 A 、1)(0≤≤x ϕ B 、在定义域内单调不减 C 、

1)(=⎰

+∞

∞

-dx x ϕ D 、1)(>x ϕ

4． n X X X ,,,21Λ为总体X 的简单随机样本，是指（ ）。

A 、n X X X ,,,21Λ相互独立；

B 、n X X X ,,,21Λ中任一i X 与X 分布相同；

C 、n X X X ,,,21Λ相互独立且n X X X ,,,21Λ中任一i X 与X 分布相同；

D 、n X X X ,,,21Λ相互独立或n X X X ,,,2

1Λ中任一i X 与X 分布相同。

5．设21,X X 为取自总体)1,(~μN X 的简单随机样本，其中μ为未知参数，下面四个关于μ的估计量中为无偏估计的是（ ）。 A 、

213432X X + B 、214241X X + C 、214143X X - D 、215

3

52X X +

6．如果（Y X ,）的密度函数,21),(2

2

)1(2)1(-+

--=y x e y x f π

则X 与Y （ ）

。 A 、均服从N (0,1) B 、一定相互独立 C 、不一定相互独立 D 、一定不相互独立 7．设)2,0(~N X ，)(~2

n Y χ，且X 与Y 独立，则统计量

n

Y X /2服从（ ）。

A 、自由度为n 的t 分布

B 、自由度为1-n 的2

χ分布

C 、自由度为1-n 的t 分布

D 、自由度为n 的2

χ分布 122

1111221A. B.1C. D.(,)(,)u u t t F n n F n n ααααααααχχ----=-

=-=-=

二、 填空题(共24分,每小题3分)

1. 设有事件算式()()()()AB AB AB AB U U U ，则化简式

为 。

2．在区间（0，1）中随机地取两个数，则两数之积小于1/4的事件的概率为_____________。 3．对产品进行抽查，只要发现废品就认为这批产品不合格，并结束抽查。若抽查到第n 件仍未发现废品则认为这批产品合格。假设产品数量很大，每次抽查到废品的概率都是p ，则平均需抽查的件数______。

4．设X,Y 为随机变量，且D (X +Y )=7, DX =4, DY =1，则XY ρ=

5. 设X 1 ,X 2 ,…, X n 相互独立，且X i (1,2,,)i n =L 都服从参数为1/2的指数分布，则当n 充分大时，∑==

n

i i n

n X Y 1

1

近似服从

6．由容量11=n 的样本，计算得4=X ，

∑==11

1

2200i i

X

，则样本方差=2S 。

7．在假设检验中，记0H 为原假设；1H 为备选假设，则称 为犯第一类错误。

8．设1,,n X X K 取自正态总体),(2σμN 的样本，其中μ未知，则2

σ的极大似然估计量

为 。

三、 计算题(每小题8分,共16分) 1. 某厂产品的合格率为0.96，采用新方法测试，一件合格品经检查

而获准出厂的概率为0.95，而一件废品经检查而获准出厂的概率为

0.05，试求使用该法后，获得出厂许可的产品是合格品的概率及未获得出厂许可的产品是废品的概率各为多少？

2．设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-

0,0

0,1)(2

2

x x e x F x X ，求2X Y =的概率密度)(y f Y .

四、计算题(每小题8分,共16分) 1．设 随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F =

)2

3)(22(π

π++y arctg x arctg A ，2),(R y x ∈，试求（1）A （2）)

,(Y X 的密度函数f(x,y)，（3）求X 与Y 的边缘概率密度)(x f X ，)(y f Y ，（4）X 与Y 独立否？

2.某电站供应10000户居民用电。设在高峰时每户用电的概率为0.8，且各户的用电是相互独立的。用中心极限定理求同一时刻有8100户以上居民用电的概率.

）

）（（0.99382.5=Φ

五、计算题(每小题8分,共16分)

1. n X X X ,,,21Λ为总体X 的简单随机样本，试用矩估计法估计总

体的未知参数θ。设总体的概率密度为⎪⎩

⎪⎨⎧+∞<<≥=-.0;

0,0,1);(其它，θθθθ

x e x f x

2. 设某厂生产的电灯泡的寿命X 服从正态分布),(2

σμN ，现测试了20只灯泡的寿

命，算得1832=x

（小时）

，4972

=s （小时）。试问2000=μ（小时）这个结论是否成立（)05.0=α)09.2)19((025.0=t

.

六、证明题(7分) 叙述并证明切比雪夫不等式。