两个基本计数原理优质课课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.对于同一个事件的处理，可以采用不同的解法，但结 果肯定是相同的，用这种方法可以起到很好的检验效果。
变式练习：
用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无 重复数字的四位偶数？
解：完成“组成无重复数字的四位偶数”这件事，有两类办法： 第一类办法 四位偶数的个位数字为0，这件事分三个步骤
完成： 第一步 从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4种
所以从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书 各一本，共有30种不同的取法。
探究成果: 1. 应用两个基本计数原理解题时，要明确是“分类”？还
是“分步”？“分类”完成用加法计数原理;“分步”完成用乘 法计数原理；
2.注意解题步骤的规范。
合作探究二：
用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：
1.1 基本计数原理
上海
问题1.某旅游团从南京到上海，可以乘汽车，也可以 乘火车，假定汽车每日有3班,火车每日有2班,那么一天 中从南京到上海共有多少种不同的走法?
上海
5 =3+2
宁波
分类加法计数原理
幻灯片 4
做一件事，完成它有n类办法,在第一类办法中有m1 种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法……在 第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有
一个数字做百位数字，有4种不同的选取方法；
第三步 从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字，有3种
不同的选取方法；
第四步 从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字，有2种
不同的选取方法；
由分步乘法计数原理，可组成不同的四位数共有
N=4×4×3×2=96（个）
幻灯片 8
(3）解法一：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，有两类办法： 第一类办法 四位奇数的个位数字为1，这件事分三个步骤完成： 第一步 从2，3，4中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法； 第二步 从2，3，4中剩余的两个数字和0共三个数字中选取一个数字做百 位数字，有3种不同的选取方法； 第三步 从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的 选取方法；
由分步乘法计数原理，符合条件的四位奇数共有
N=2×3×3 ×2 =36（个）.
幻灯片 8
探究成果
1.应用两个基本计数原理解题时，首先必须弄明白怎 样就能“完成这件事”？其次要做到合理分类，准确分步， 按元素的性质分类，按事件发生的过程分步是计数问题的 基本方法。
2.对于有特殊元素或特殊位置的问题，可优先安排。
幻灯片 16
课堂总结
两个基本计数原理：
1.分类加法计数原理：N=m1+m2+…+m n ； 2.分步乘法计数原理：N=m1×m2×…×m n 。
应用两个基本计数原理解题时应注意的问题：
1.首先必须明确怎样就“完成这件事”？ 2.其次分类要不重不漏，分步要步骤完整。 3.还须注意特殊元素（或特殊位置）优先安排以及是 否重复等。
各类办法相互独立；各 不可；只有把各个步骤
类办法中的任何一种方 全部完成，才能完成这
法都能独立地完成这件 件事（每个步骤中的任
事。
何一种方法都不能独立
地完成这件事）。
合作探究一：
一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中间放有3本不 同的语文书，下层放有2本不同的英语书:
（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一
宿方法。
幻灯片 19
课堂总结
2. 从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3 条路可通;从甲 地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从甲地经 过乙地或丁地到丙地共有 种不同的走法。
解:如图所示，从总体上看,由甲 甲地 到丙有两类不同的走法,
第一类,由甲经乙去丙,又需
分两步,所以m1= 2×3 =6种不同 的走法;
N=m1+m2+…+m n
种不同的方法。
分步乘法计数原理
幻灯片 5
做一件事,完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤 有m1种不同的方法，做第第二个步骤有m2种不同的方 法……做第n个步骤有mn种不同的方法。那么完成这件事 共有
N=m1×m2×…×m n
种不同的方法。
上海
问题2.后来该旅游团改变行程，增加杭州两日游 先乘汽车从南京至杭州，两天后再乘汽车从杭 州至上海，假定南京至杭州的汽车每天有３班， 杭州至上海的汽车每天有２班，那么该团从南 京经杭州到上海有多少种不同的方法？
由分步乘法计数原理，第二类的四位奇数共有
N2=3×3×2=18（个） 最后，由分类加法计数原理，符合条件的四位奇数共有
N=N1+N2=18+18=36（个）
(3)解法二：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分 四个步骤：
第一步 确定个位数字：从1，3中选取一个数字做个位数字, 有2种不同的选取方法；
（1）银行存折的四位密码？
（2）四位数？
幻灯片 9
（3）四位奇数？
幻灯片 10
解：（1）完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以 分四个步骤：
第一步 选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；
第二步 选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；
第三步 选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；
第一步 从2，4中选取一个数字做个位数字，有2种不同的选取 方法；
第二步 从1，2，3，4中剩余的三个数字中选取一个数字做千 位数字，有3种不同的选取方法；
第三步 从1，2，3，4剩余的两个数字与0共三个数字中，选取 一个数字做百位数字，有3种不同的选取方法；
第四步 从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2 种不同的选取方法；
6 =3×2
幻灯片 3
杭州
宁波
两个基本计数原理理的联系和区别：
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
联系 都是研究完成一件事的不同方法种数的计数方法
区别1 （方式 不同）
区别2 （各方 法作用 不同）
完成一件事，共有n类 完成一件事，共分n个 办法，方式是“分类” 步骤，方式是“分步”
各步骤相互依存，缺一
由分步乘法计数原理，第二类的四位偶数共有 N2=2×3×3×2=36（个）
最后，由分类加法计数原理，符合条件的四位偶数共有 N=N1+N2=24+36=60（个）
升华提高：
很多实际问题需要综合应用两个基本计数原理方能解决，此 时可根据需要先分类再分步，或者先分步再分类。
合作探究三 ：
我们把一元硬币有国徽的一面叫正面，有币值的一面叫反 面。现依次抛出5枚一元硬币，按照抛出的顺序得到一个由5个 “正”或“反”组成的序列，如“正、反、反、反、正”。问 一共可以得到多少个不同的这样的序列？
的选派方法__8__种；若从中任选一名女同学
和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选
派方法_1_5___种。
2. 从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3
条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到
丙地有2条路可通。从甲地经过乙地或丁地到
丙地共有 14 种不同的走法。
幻灯片 18
3. 3位旅客到4个旅馆住宿，有 64 种不同的住
第二步 确定千位数字：从1，2，3，4剩余的三个数字中选 取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法；
第三步 确定百位数字：从1，2，3，4剩余的两个数字和0 共三个数字中，选取一个数字做百位数字，有3种不同的选取方 法；
第四步 确定十位数字：从剩余的两个数字中，选取一个数 字做十位数字，有2种不同的选取方法；
第四步 选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法；
由分步乘法计数原理，可组成不同的四位密码共有
N=5×4×3×2=120（个）
探究成果
（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步
骤：
第一步 从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4 种
不同的选取方法；
第二步 从1，2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取
不同的选取方法； 第二步 从1，2，3，4中剩余的三个数字中选取一个数字做
百位数字，有3种不同的选取方法； 第三步 从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，
有2种不同的选取方法； 由分步乘法计数原理，第一类的四位偶数共有 N1=4×3×2=24（个）
第二类办法 四位偶数的个位数字为2或4，这件事分四个步骤 完成：
由分步乘法计数原理，第一类的四位奇数共有
N1=3×3×2=18（个） 第二类办法 四位奇数的个位数字为3，这件事分三个步骤完成：
第一步 从1，2，4中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法； 第二步 从1，2，4中剩余的两个数字和0共三个数字中选取一个数字做百 位数字，有3种不同的选取方法； 第三步 从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的 选取方法；
N=5+3+2=10（种）。
（2）从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本， 可以分三个步骤完成： 第一步 从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法； 第二步 从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法； 第三步 从书架下层任取一本英语书，有2种不同的方法。
由分步乘法计数原理，可得不同的取法共有 N=5×3×2=30（种）。
本，有多少种不同的取法？
解：（1）从书架上任取一本书，有三类办法： 第一类办法 从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法； 第二类办法 从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法； 第三类办法 从书架下层任取一本英语书，有2种不同的方法。
只要从书架上任意取出一本书，任务即完成，由分类加法 计数原理，可得不同的取法共有
A案（课后巩固）
层次一：请同学们完善C案，并完成以下题目： 1.课本第6页： 练习A 2，3；练习B 2； 2.课本第7页： 习题1-1 A 2，3.
层次二：完成以下题目：
课本第7页： 习题1-2 B 1，2. 探究拓展：
如图（见A案）,要给地图A、B、C、D四个区域分 别涂上红、蓝、黄3种不同颜色中的某一种,允许同一种 颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂 色方案有多少种（涂色问题）？
第二类wk.baidu.com由甲经丁去丙,也需
分两步,所以m2= 4×2 =8种不同
的走法;
丁地
所以从甲地到丙地共有N=6
+ 8 = 14种不同的走法。幻灯片 16
乙地 丙地
3. 3位旅客到4个旅馆住宿，有 的住宿方法。
种不同
解：分3个步骤完成这件事，每位乘客都有4种 不同的住宿方法，由分步乘法计数原理，得
N=4×4×4=64（种）.
解：分5个步骤完成这件事，每个步骤都有“正”或 “反”两种不同的情况，有分步乘法计数原理，得
N=2×2×2×2×2=25=32.
所以一共可以得到32个不同的序列。
探究成果: 应用两个计数原理解题时，要注意判断是否重复。
当堂检测：
1. 一个科技小组中有3名女同学，5名男同学。 从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同
变式练习：
用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无 重复数字的四位偶数？
解：完成“组成无重复数字的四位偶数”这件事，有两类办法： 第一类办法 四位偶数的个位数字为0，这件事分三个步骤
完成： 第一步 从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4种
所以从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书 各一本，共有30种不同的取法。
探究成果: 1. 应用两个基本计数原理解题时，要明确是“分类”？还
是“分步”？“分类”完成用加法计数原理;“分步”完成用乘 法计数原理；
2.注意解题步骤的规范。
合作探究二：
用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：
1.1 基本计数原理
上海
问题1.某旅游团从南京到上海，可以乘汽车，也可以 乘火车，假定汽车每日有3班,火车每日有2班,那么一天 中从南京到上海共有多少种不同的走法?
上海
5 =3+2
宁波
分类加法计数原理
幻灯片 4
做一件事，完成它有n类办法,在第一类办法中有m1 种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法……在 第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有
一个数字做百位数字，有4种不同的选取方法；
第三步 从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字，有3种
不同的选取方法；
第四步 从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字，有2种
不同的选取方法；
由分步乘法计数原理，可组成不同的四位数共有
N=4×4×3×2=96（个）
幻灯片 8
(3）解法一：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，有两类办法： 第一类办法 四位奇数的个位数字为1，这件事分三个步骤完成： 第一步 从2，3，4中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法； 第二步 从2，3，4中剩余的两个数字和0共三个数字中选取一个数字做百 位数字，有3种不同的选取方法； 第三步 从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的 选取方法；
由分步乘法计数原理，符合条件的四位奇数共有
N=2×3×3 ×2 =36（个）.
幻灯片 8
探究成果
1.应用两个基本计数原理解题时，首先必须弄明白怎 样就能“完成这件事”？其次要做到合理分类，准确分步， 按元素的性质分类，按事件发生的过程分步是计数问题的 基本方法。
2.对于有特殊元素或特殊位置的问题，可优先安排。
幻灯片 16
课堂总结
两个基本计数原理：
1.分类加法计数原理：N=m1+m2+…+m n ； 2.分步乘法计数原理：N=m1×m2×…×m n 。
应用两个基本计数原理解题时应注意的问题：
1.首先必须明确怎样就“完成这件事”？ 2.其次分类要不重不漏，分步要步骤完整。 3.还须注意特殊元素（或特殊位置）优先安排以及是 否重复等。
各类办法相互独立；各 不可；只有把各个步骤
类办法中的任何一种方 全部完成，才能完成这
法都能独立地完成这件 件事（每个步骤中的任
事。
何一种方法都不能独立
地完成这件事）。
合作探究一：
一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中间放有3本不 同的语文书，下层放有2本不同的英语书:
（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一
宿方法。
幻灯片 19
课堂总结
2. 从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3 条路可通;从甲 地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从甲地经 过乙地或丁地到丙地共有 种不同的走法。
解:如图所示，从总体上看,由甲 甲地 到丙有两类不同的走法,
第一类,由甲经乙去丙,又需
分两步,所以m1= 2×3 =6种不同 的走法;
N=m1+m2+…+m n
种不同的方法。
分步乘法计数原理
幻灯片 5
做一件事,完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤 有m1种不同的方法，做第第二个步骤有m2种不同的方 法……做第n个步骤有mn种不同的方法。那么完成这件事 共有
N=m1×m2×…×m n
种不同的方法。
上海
问题2.后来该旅游团改变行程，增加杭州两日游 先乘汽车从南京至杭州，两天后再乘汽车从杭 州至上海，假定南京至杭州的汽车每天有３班， 杭州至上海的汽车每天有２班，那么该团从南 京经杭州到上海有多少种不同的方法？
由分步乘法计数原理，第二类的四位奇数共有
N2=3×3×2=18（个） 最后，由分类加法计数原理，符合条件的四位奇数共有
N=N1+N2=18+18=36（个）
(3)解法二：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分 四个步骤：
第一步 确定个位数字：从1，3中选取一个数字做个位数字, 有2种不同的选取方法；
（1）银行存折的四位密码？
（2）四位数？
幻灯片 9
（3）四位奇数？
幻灯片 10
解：（1）完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以 分四个步骤：
第一步 选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；
第二步 选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；
第三步 选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；
第一步 从2，4中选取一个数字做个位数字，有2种不同的选取 方法；
第二步 从1，2，3，4中剩余的三个数字中选取一个数字做千 位数字，有3种不同的选取方法；
第三步 从1，2，3，4剩余的两个数字与0共三个数字中，选取 一个数字做百位数字，有3种不同的选取方法；
第四步 从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2 种不同的选取方法；
6 =3×2
幻灯片 3
杭州
宁波
两个基本计数原理理的联系和区别：
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
联系 都是研究完成一件事的不同方法种数的计数方法
区别1 （方式 不同）
区别2 （各方 法作用 不同）
完成一件事，共有n类 完成一件事，共分n个 办法，方式是“分类” 步骤，方式是“分步”
各步骤相互依存，缺一
由分步乘法计数原理，第二类的四位偶数共有 N2=2×3×3×2=36（个）
最后，由分类加法计数原理，符合条件的四位偶数共有 N=N1+N2=24+36=60（个）
升华提高：
很多实际问题需要综合应用两个基本计数原理方能解决，此 时可根据需要先分类再分步，或者先分步再分类。
合作探究三 ：
我们把一元硬币有国徽的一面叫正面，有币值的一面叫反 面。现依次抛出5枚一元硬币，按照抛出的顺序得到一个由5个 “正”或“反”组成的序列，如“正、反、反、反、正”。问 一共可以得到多少个不同的这样的序列？
的选派方法__8__种；若从中任选一名女同学
和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选
派方法_1_5___种。
2. 从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3
条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到
丙地有2条路可通。从甲地经过乙地或丁地到
丙地共有 14 种不同的走法。
幻灯片 18
3. 3位旅客到4个旅馆住宿，有 64 种不同的住
第二步 确定千位数字：从1，2，3，4剩余的三个数字中选 取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法；
第三步 确定百位数字：从1，2，3，4剩余的两个数字和0 共三个数字中，选取一个数字做百位数字，有3种不同的选取方 法；
第四步 确定十位数字：从剩余的两个数字中，选取一个数 字做十位数字，有2种不同的选取方法；
第四步 选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法；
由分步乘法计数原理，可组成不同的四位密码共有
N=5×4×3×2=120（个）
探究成果
（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步
骤：
第一步 从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4 种
不同的选取方法；
第二步 从1，2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取
不同的选取方法； 第二步 从1，2，3，4中剩余的三个数字中选取一个数字做
百位数字，有3种不同的选取方法； 第三步 从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，
有2种不同的选取方法； 由分步乘法计数原理，第一类的四位偶数共有 N1=4×3×2=24（个）
第二类办法 四位偶数的个位数字为2或4，这件事分四个步骤 完成：
由分步乘法计数原理，第一类的四位奇数共有
N1=3×3×2=18（个） 第二类办法 四位奇数的个位数字为3，这件事分三个步骤完成：
第一步 从1，2，4中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法； 第二步 从1，2，4中剩余的两个数字和0共三个数字中选取一个数字做百 位数字，有3种不同的选取方法； 第三步 从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的 选取方法；
N=5+3+2=10（种）。
（2）从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本， 可以分三个步骤完成： 第一步 从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法； 第二步 从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法； 第三步 从书架下层任取一本英语书，有2种不同的方法。
由分步乘法计数原理，可得不同的取法共有 N=5×3×2=30（种）。
本，有多少种不同的取法？
解：（1）从书架上任取一本书，有三类办法： 第一类办法 从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法； 第二类办法 从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法； 第三类办法 从书架下层任取一本英语书，有2种不同的方法。
只要从书架上任意取出一本书，任务即完成，由分类加法 计数原理，可得不同的取法共有
A案（课后巩固）
层次一：请同学们完善C案，并完成以下题目： 1.课本第6页： 练习A 2，3；练习B 2； 2.课本第7页： 习题1-1 A 2，3.
层次二：完成以下题目：
课本第7页： 习题1-2 B 1，2. 探究拓展：
如图（见A案）,要给地图A、B、C、D四个区域分 别涂上红、蓝、黄3种不同颜色中的某一种,允许同一种 颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂 色方案有多少种（涂色问题）？
第二类wk.baidu.com由甲经丁去丙,也需
分两步,所以m2= 4×2 =8种不同
的走法;
丁地
所以从甲地到丙地共有N=6
+ 8 = 14种不同的走法。幻灯片 16
乙地 丙地
3. 3位旅客到4个旅馆住宿，有 的住宿方法。
种不同
解：分3个步骤完成这件事，每位乘客都有4种 不同的住宿方法，由分步乘法计数原理，得
N=4×4×4=64（种）.
解：分5个步骤完成这件事，每个步骤都有“正”或 “反”两种不同的情况，有分步乘法计数原理，得
N=2×2×2×2×2=25=32.
所以一共可以得到32个不同的序列。
探究成果: 应用两个计数原理解题时，要注意判断是否重复。
当堂检测：
1. 一个科技小组中有3名女同学，5名男同学。 从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同