9平方根与立方根 (一对一)
常用的平方根表立方根表
常用的平方根表立方根表在数学的世界里，平方根和立方根是非常重要的概念。
它们在各种数学计算、科学研究以及实际生活中都有着广泛的应用。
为了方便计算和查询，人们常常会编制平方根表和立方根表。
平方根，简单来说，就是一个数的平方等于另一个数，那么这个数就是另一个数的平方根。
例如，2 的平方是 4，所以 2 是 4 的平方根。
同时，因为（－2) 的平方也是 4，所以－2 也是 4 的平方根。
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数在实数范围内没有平方根。
立方根则是指一个数的立方等于另一个数，那么这个数就是另一个数的立方根。
比如，2 的立方是 8，所以 2 是 8 的立方根。
与平方根不同的是，任何实数都有唯一的一个立方根。
平方根表通常列出了从 1 到某个较大整数的平方根的值。
以常见的平方根表为例，它会依次给出 1 到 100 这些整数的平方根。
比如，1 的平方根是 1，4 的平方根是 2，9 的平方根是 3 等等。
在实际使用中，如果我们要计算一个不是整数的数的平方根，比如 25 的平方根，我们可以先找到最接近 25 的两个整数的平方根，然后通过插值的方法来估算。
立方根表的编制方式与平方根表类似，也是列出从 1 到一定整数的立方根的值。
比如，1 的立方根是 1，8 的立方根是 2，27 的立方根是3 等等。
那么，这些平方根表和立方根表在哪些方面有用呢？在数学计算中，它们可以大大提高计算速度和准确性。
特别是在一些复杂的计算中，如果需要多次用到某个数的平方根或立方根，直接从表中查找可以节省时间，避免繁琐的计算过程。
在科学研究中，平方根和立方根的概念经常出现。
比如在物理学中，计算物体的速度、加速度等常常会涉及到平方根；在化学中，计算物质的密度、体积等可能会用到立方根。
有了平方根表和立方根表，科学家们可以更高效地进行数据处理和分析。
在工程领域，如建筑、机械制造等，也经常需要用到平方根和立方根的计算。
完全掌握平方根与立方根的计算方法
完全掌握平方根与立方根的计算方法数学作为一门基础学科，对于中学生来说是必不可少的。
在数学学习中，平方根与立方根是常见的概念和计算方法。
掌握平方根与立方根的计算方法，不仅有助于提高数学成绩，还能在实际生活中运用。
本文将详细介绍如何完全掌握平方根与立方根的计算方法。
一、平方根的计算方法平方根是一个数的平方等于该数的算术根。
计算平方根的方法主要有两种：近似法和开方法。
1. 近似法近似法是一种简单快捷的计算平方根的方法。
例如，要求√10的近似值，我们可以先找出最接近10的完全平方数，即4和9。
4的平方根是2，9的平方根是3，显然10介于2和3之间，所以√10的近似值可以取为2.5。
这种方法适用于计算不太复杂的平方根，但对于较大的数或者需要更精确的结果时，就不太适用了。
2. 开方法开方法是一种精确计算平方根的方法。
它主要有两种形式：手算开方和使用计算器开方。
手算开方是一种基于数学原理的计算方法。
以求√16为例，我们可以将16分解为4×4，即(√4)×(√4)，结果是4。
同样地，我们可以通过分解数的因数，将其转化为完全平方数的乘积，然后再进行开方运算。
使用计算器开方则更加方便快捷。
现在的计算器都配有开方功能，只需输入要开方的数，按下开方键即可得到结果。
这种方法适用于计算复杂的平方根或需要高精度结果的情况。
二、立方根的计算方法立方根是一个数的立方等于该数的算术根。
计算立方根的方法主要有两种：近似法和开立方法。
1. 近似法近似法和计算平方根的近似法类似。
例如，要求³√27的近似值，我们可以先找出最接近27的完全立方数，即8和27。
8的立方根是2，27的立方根是3，显然27介于2和3之间，所以³√27的近似值可以取为2.5。
这种方法适用于计算不太复杂的立方根，但对于较大的数或者需要更精确的结果时，就不太适用了。
2. 开立方法开立方法是一种精确计算立方根的方法。
它可以通过数学原理进行手算开立方，也可以使用计算器进行开立方运算。
中考知识点平方根与立方根
中考知识点平方根与立方根中考知识点：平方根与立方根一、平方根平方根是指某一数的二次方所得结果等于该数的非负根。
在数学中，平方根用符号√( )表示，其中"√"为根号符号，"( )"内为需要求平方根的数。
例如，√9 = 3，因为3² = 9。
而√16 = 4，因为4² = 16。
要计算平方根，除了使用根号符号，还可以使用幂运算的方式。
即：如果一个数的平方等于已知数值，那么这个数就是待求解的平方根。
例如，x² = 9，那么x的解可以是±3。
在中考中，平方根常常涉及到对数值大小的估计和近似。
为了方便计算和表达，我们可以将平方根转化为一个无理数的近似值。
例如，√2约等于1.414，√3约等于1.732。
二、立方根立方根是指某一数的三次方所得结果等于该数的根。
在数学中，立方根用符号³√( )表示，其中"³√"为立方根号符号，"( )"内为需要求立方根的数。
例如，³√8 = 2，因为2³ = 8。
而³√27 = 3，因为3³ = 27。
与平方根类似，计算立方根也可以使用幂运算的方式。
即：如果一个数的立方等于已知数值，那么这个数就是待求解的立方根。
例如，x³= 8，那么x的解是2。
在中考中，立方根的运算也常常出现在几何体的计算中，如求立方体的体积或边长。
三、平方根与立方根的性质1. 平方根的求解：- 对于任意正数a，有√(a²) = a，这意味着一个数的平方根的平方等于该数本身。
2. 平方根与乘法运算：- 对于正数a和正数b，有√(ab) = √a × √b，这意味着对两个数进行乘法运算之后再求平方根，等于对这两个数分别求平方根然后再进行乘法运算。
3. 平方根与除法运算：- 对于正数a和正数b，有√(a/b) = √a / √b，这意味着对一个数除以另一个数后再求平方根，等于对这两个数分别求平方根然后再进行除法运算。
平方根与立方根的运算知识点总结
平方根与立方根的运算知识点总结平方根与立方根是数学中重要的运算概念，用来求解方程、计算面积和体积等问题。
了解平方根与立方根的运算规则和性质，对我们在数学和实际生活中的应用都具有重要的意义。
一、平方根运算平方根是对一个数的平方进行逆运算，即对一个数求出使其平方等于该数的非负实数。
通常使用符号"√"来表示平方根。
下面是一些关于平方根的运算规则和性质：1. 平方根的定义：对于非负实数a，若存在非负实数x，使得x²=a，则称x为数a的平方根，记作√a。
2. 平方根的运算规则：若a≥0，b≥0，则有以下运算规则：(a) √(a*b) = √a * √b(b) √(a/b) = √a / √b(c) √(a^2) = |a|3. 平方根的性质：(a) √a ≥ 0，即平方根的结果为非负数。
(b) 若a > b，则√a > √b。
(c) 若a > 0，则√a < √(a + 1)。
二、立方根运算立方根是对一个数的立方进行逆运算，即对一个数求出使其立方等于该数的实数。
通常使用符号"³√"来表示立方根。
下面是一些关于立方根的运算规则和性质：1. 立方根的定义：对于任意实数a，若存在实数x，使得x³=a，则称x为数a的立方根，记作³√a。
2. 立方根的运算规则：若a≥0，b≥0，则有以下运算规则：(a) ³√(a*b) = ³√a * ³√b(b) ³√(a/b) = ³√a / ³√b(c) ³√(a³) = a3. 立方根的性质：(a) ³√a ≥ 0，在实数范围内，立方根的结果为非负数。
(b) 若a > b，则³√a > ³√b。
(c) 若a > 0，则³√a < ³√(a + 1)。
平方根与立方根的计算
平方根与立方根的计算在数学中，平方根和立方根是常见的运算，用于求解给定数的平方根或立方根。
本文将介绍如何准确计算平方根和立方根，并提供一些实际应用的例子。
一、平方根的计算求一个数的平方根是指找到一个数，使得它的平方等于给定的数。
我们可以使用牛顿迭代法来逼近平方根的值。
假设我们要求 $a$ 的平方根，可以从一个初始猜测值 $x$ 开始，通过以下迭代公式进行计算:$$x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + \frac{a}{x_n})$$其中，$x_n$ 是第 $n$ 次迭代的结果，$x_{n+1}$ 是第 $n+1$ 次迭代的结果。
通过迭代，$x_n$ 会逐渐趋近于 $a$ 的平方根。
以下是一个具体的计算平方根的例子：假设我们要计算数值 $a=25$ 的平方根，我们可以选择一个初始猜测值 $x_0=5$，然后进行迭代计算。
第一次迭代：$$x_1 = \frac{1}{2}(x_0 + \frac{a}{x_0}) = \frac{1}{2}(5 +\frac{25}{5}) = \frac{1}{2}(5+5) = 5$$经过第一次迭代，我们发现结果并未改变，即 $x_1 = x_0$。
这是因为我们的初始猜测值已经是 $a$ 的平方根了。
结果的差值小于某个阈值时，即可停止迭代，得到近似的平方根。
二、立方根的计算求一个数的立方根是指找到一个数，使得它的立方等于给定的数。
与平方根类似，我们也可以使用迭代法来逼近立方根的值。
假设我们要求 $a$ 的立方根，可以选择一个初始猜测值 $x$，通过以下迭代公式进行计算:$$x_{n+1} = \frac{1}{3}(2x_n + \frac{a}{{x_n}^2})$$其中，$x_n$ 是第 $n$ 次迭代的结果，$x_{n+1}$ 是第 $n+1$ 次迭代的结果。
通过不断迭代计算，$x_n$ 会逐渐趋近于 $a$ 的立方根。
以下是一个计算立方根的实例：假设我们要计算数值 $a=27$ 的立方根，选择一个初始猜测值$x_0=3$，然后进行迭代计算。
平方根与立方根课件
平方根的符号
√
在数学中，平方根通常用符号√来表示。例如， √9表示9的平方根，结果为3。
sqrt()
在计算机编程中，我们可以使用sqrt()函数来 计算平方根。
平方根的性质
• 平方根是非负数 • 平方根的平方等于原数 • 平方根的值可以是小数或分数
如何计算平方根？
1. 使用根号符号 (√) 进行计算 2. 使用计算器或计算机中的平方根函数 3. 使用近似方法估算平方根的值
平方根与立方根
欢迎来到平方根与立方根的世界！在这个PPT课件中，我们将深入探讨平方 根和立方根的定义、性质、计算方法、运算及应用。让我们一起开始这次奇 妙的数学之旅吧！
什么是平方根？
平方根是数学中一个重要的概念，表示能够使一个数的平方等于另一个数的 那个数。它在解方程、几何和实际生活中都有广泛的应用。
平方根和立方根的举例对比
• 平方根：√4 = 2，平方根的运算是相对简单的。 • 立方根：³√8 = 2，立方根要求更高的计算能力。
平方根和立方根的基本运算法则
乘法法则
当两个数的平方根或立方根相乘时，可以将指数相加得到结果的根。
除法法则
当两个数的平方根或立方根相除时，可以将指数相减得到结果的根。
立方根是指能够使一个数的立方等于另一个数的那个数。它在代数学、几何学和计算机科学中具有重要 的作用。
立方根的符号
³√
在数学中，立方根通常用符号³√来表示。例 如，³√8表示8的立方根，结果为2。
cbrt()
在计算机编程中，我们可以使用cbrt()函数来 计算立方根。
立方根ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性质
• 立方根是实数 • 立方根的立方等于原数 • 立方根的值可以是小数或分数
平方根与立方根
平方根与立方根平方根和立方根是数学中常见的运算概念，用来表示一个数的平方和立方的根数。
平方根是指一个数的平方等于给定的数，立方根是指一个数的立方等于给定的数。
在实际生活和学术研究中，平方根和立方根都有着广泛的应用。
本文将对平方根与立方根进行详细介绍和解释。
1. 平方根是指一个数的平方等于给定的数。
例如，数学中表示平方根的符号为√，我们通常说√4 = 2，意味着2的平方等于4。
平方根是对称的，也就是说，如果一个数的平方根是 x，那么这个数的相反数的平方根也是 -x。
例如，√9 = 3，所以√(-9) = -3。
平方根可以用于解决各种问题，尤其是在几何学和物理学中。
在几何学中，平方根可以帮助我们计算直角三角形的斜边长度。
例如，如果一个直角三角形的两条边长分别为3和4，那么斜边的长度可以通过计算√(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5得到。
在物理学中，平方根可以用来计算速度和加速度。
例如，当我们知道一个物体的初始速度和加速度时，可以使用平方根来计算它在特定时间内的位移。
这种应用广泛存在于运动学和动力学等领域。
2. 立方根是指一个数的立方等于给定的数。
与平方根类似，立方根可以用符号表示为^3√。
例如，^3√8 = 2，意味着2的立方等于8。
立方根的性质与平方根相似，即一个数的立方根可以为正数、负数或零。
立方根也有广泛的应用，特别是在几何学和物理学中。
在几何学中，立方根可以用于计算立方体的边长。
例如，如果一个立方体的体积为27，那么它的边长可以通过计算^3√27 = 3得到。
在物理学中，立方根可以用来计算物体的密度和体积。
例如，当我们知道一个物体的质量和密度时，可以使用立方根来计算它的体积。
这种应用广泛存在于材料科学和天体物理学等领域。
总结：平方根和立方根是常见的数学运算概念，在几何学、物理学以及其他领域有广泛的应用。
平方根表示一个数的平方等于给定的数，而立方根表示一个数的立方等于给定的数。
平方根与立方根的计算方法
平方根与立方根的计算方法数学是一门重要的学科，也是中学阶段的必修课程之一。
在数学学习中，平方根和立方根是常见的概念，对于学生来说，掌握平方根和立方根的计算方法非常重要。
本文将介绍平方根和立方根的计算方法，并提供一些实用的技巧和例子，以帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这些概念。
一、平方根的计算方法平方根是一个数的平方等于这个数的数值。
例如，√9 = 3，因为3的平方等于9。
计算平方根的方法有多种，下面将介绍两种常见的方法。
1. 试探法试探法是一种直观的计算平方根的方法。
首先，我们可以试着找一个数，使得它的平方与给定的数相近。
例如，要计算√17，我们可以试着找一个数x，使得x²≈17。
我们可以从1开始试探，逐渐增加x的值，直到找到一个数，使得x²≈17。
通过试探，我们可以得到√17≈4.123。
2. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种更精确的计算平方根的方法。
它基于一个数学原理：如果我们已经知道一个近似值x，那么下一个近似值可以通过迭代公式来计算。
对于计算√a，迭代公式为：x = (x + a/x) / 2。
通过多次迭代，我们可以得到更精确的平方根值。
例如，要计算√17，我们可以从一个近似值x=4开始，通过多次迭代，最终得到√17≈4.123。
二、立方根的计算方法立方根是一个数的立方等于这个数的数值。
例如，³√8 = 2，因为2的立方等于8。
计算立方根的方法也有多种，下面将介绍两种常见的方法。
1. 试探法试探法也适用于计算立方根。
首先，我们可以试着找一个数，使得它的立方与给定的数相近。
例如，要计算³√27，我们可以试着找一个数x，使得x³≈27。
我们可以从1开始试探，逐渐增加x的值，直到找到一个数，使得x³≈27。
通过试探，我们可以得到³√27≈3。
2. 迭代法迭代法也可以用于计算立方根。
类似于牛顿迭代法，我们可以通过迭代公式来计算立方根。
初中数学平方根与立方根的计算
初中数学平方根与立方根的计算初中数学：平方根与立方根的计算数学是一门抽象而又实用的学科，它存在于我们生活的方方面面。
在初中数学课程中，平方根和立方根的计算是一个重要的内容。
本文将详细介绍如何计算平方根和立方根，并提供一些相关的示例。
一、平方根的计算方法平方根是指一个数的平方得到这个数的操作的逆运算。
计算平方根的方法有多种，下面将介绍常用的两种方法：试位法和开平方公式。
1. 试位法试位法是一种逐步逼近的方法，通过不断试探，找到一个数的平方根的近似值。
具体步骤如下：步骤1：将要求平方根的数写成一个平方格式：√N。
步骤2：先猜测一个近似值，作为平方根的整数部分。
步骤3：将该近似值的平方与 N 比较：a. 如果该近似值的平方等于 N，则找到了平方根。
b. 如果该近似值的平方小于 N，则再猜测一个稍大一些的值继续试探。
c. 如果该近似值的平方大于 N，则再猜测一个稍小一些的值继续试探。
步骤4：重复步骤3，直到找到一个近似值，使得该近似值的平方和 N 的差小于给定的限度。
试位法通过不断试探，逐步逼近真实的平方根。
下面以计算√2为例进行演示：步骤1：要计算√2。
步骤2：先猜测一个近似值，比如1。
步骤3：计算 1 的平方：1^2 = 1。
a. 1^2 小于 2，继续试探。
b. 可以猜测一个稍大的数，比如 1.5。
步骤4：计算 1.5 的平方：1.5^2 = 2.25。
a. 1.5^2 大于 2，需要再试探一个稍小的数，比如 1.4。
步骤5：计算 1.4 的平方：1.4^2 = 1.96。
a. 1.4^2 小于 2，继续试探。
b. 可以猜测一个稍大的数，比如 1.42。
步骤6：计算 1.42 的平方：1.42^2 = 2.0164。
a. 1.42^2 大于 2，需要再试探一个稍小的数，比如 1.41。
步骤7：计算 1.41 的平方：1.41^2 = 1.9881。
a. 1.41^2 小于 2，继续试探。
b. 可以猜测一个稍大的数，比如 1.414。
平方根与立方根的计算
平方根与立方根的计算计算平方根和立方根是数学中一种常见的运算方法，通过计算可以得到一个数的平方根和立方根的值。
在数学中，平方根和立方根是指一个数的二次方和三次方的根。
一、平方根的计算平方根是指一个数的二次方的根。
计算平方根的方法有多种，其中比较常用的方法有近似法和公式法。
1. 近似法近似法是一种通过逼近来计算平方根的方法。
例如，对于一个非负数x，可以通过以下步骤进行近似计算：步骤1：选取一个数a作为初始近似值。
步骤2：计算近似值的平方，判断近似值是否接近于x。
步骤3：如果近似值的平方与x相差较大，则调整近似值，并继续迭代计算。
步骤4：重复步骤2和步骤3，直到满足精度要求。
近似法可以通过逐步迭代来逼近平方根的真实值，但是该方法的计算效率相对较低，精度也有一定的限制。
2. 公式法公式法是一种通过数学公式来计算平方根的方法。
其中，最常用的公式是牛顿迭代法。
牛顿迭代法通过迭代来逼近平方根的值，公式如下：设f(x) = x^2 - a，其中a为待求平方根的数。
根据泰勒公式展开，得到f(x)在x0附近的近似式：f(x) ≈ f(x0) +f'(x0)(x - x0)令f(x) ≈ 0，得到x = x0 - f(x0)/f'(x0)将f(x) = x^2 - a代入上述公式中，可以得到如下迭代公式：x = (x0 + a/x0)/2通过不断迭代，可以逐步逼近平方根的真实值。
公式法相对于近似法而言，计算效率更高，精度也更高，但是需要一定的数学知识和计算工具的支持。
二、立方根的计算立方根是指一个数的三次方的根。
计算立方根的方法也有多种，其中常用的方法有近似法和公式法。
1. 近似法近似法和平方根的计算方法类似，只是将二次方改成了三次方。
通过逐步逼近来计算立方根的值，可以得到一个近似结果。
2. 公式法公式法中，最常用的方法是二分法和牛顿迭代法。
其中，牛顿迭代法的公式如下：设f(x) = x^3 - a，其中a为待求立方根的数。
常用的平方根表立方根表
常用的平方根表立方根表在数学的世界里，平方根和立方根是非常重要的概念。
为了更方便地进行计算和解决问题，人们常常会用到平方根表和立方根表。
平方根，简单来说，就是一个数的平方的逆运算。
比如，如果一个数的平方是 9，那么这个数就是 9 的平方根，即 3 或者－3。
平方根表就是把一些常见数字的平方根整理在一起，方便我们查阅和使用。
立方根呢，则是一个数的立方的逆运算。
例如，若一个数的立方是8，那么这个数就是 8 的立方根，即 2。
立方根表就是将常见数字的立方根罗列出来的表格。
平方根表通常包含从 1 到一定数值范围内数字的平方根。
比如说，对于数字 1，它的平方根就是 1；数字 4 的平方根是 2；数字 9 的平方根是 3。
当数字不是完全平方数时，平方根就会是一个无理数，这时候平方根表中会给出其近似值。
比如，2 的平方根约为 1414，3 的平方根约为 1732 等等。
立方根表的构成和平方根表类似，只不过是关于数字的立方根。
像1 的立方根还是 1，8 的立方根是 2，27 的立方根是 3。
对于不是完全立方数的数字，立方根表也会给出相应的近似值。
这些平方根表和立方根表在很多领域都有着广泛的应用。
在数学计算中，当我们需要快速得到一个数的平方根或立方根的值时，它们可以节省我们大量的计算时间。
特别是在一些复杂的数学问题中，或者在需要精确计算的科学研究中，这些表格能发挥重要作用。
在工程领域，平方根和立方根的计算也经常出现。
比如在建筑设计中，计算结构的受力、材料的用量等，都可能会用到平方根和立方根。
有了平方根表和立方根表，工程师们能够更高效地完成设计和计算工作，确保工程的准确性和安全性。
在物理学中，平方根和立方根的概念同样不可或缺。
例如在研究物体的运动、能量的转换等方面，常常需要进行相关的计算。
此时，平方根表和立方根表可以为物理学家们提供便利，帮助他们更专注于理论的研究和实验的分析。
在日常生活中，平方根和立方根的应用也并不少见。
初一数学平方根与立方根总结提高根式运算能力
初一数学平方根与立方根总结提高根式运算能力初一数学-平方根与立方根总结：提高根式运算能力数学中的根式运算是初中数学中的一项重要内容，而平方根和立方根作为较为基础的根式运算，也是学生在这个阶段需要掌握和运用的知识点。
本文将对初一数学中的平方根和立方根进行总结，并介绍一些提高根式运算能力的方法。
一、平方根的计算平方根是指一个数的平方根是该数的平方等于被开方数的结果。
比如，√9=3，表示3是9的平方根。
在初一数学中，我们主要掌握以下几个计算平方根的方法：1. 用因数分解法计算平方根当被开方数是完全平方数时，我们可以通过因数分解的方法来计算平方根。
例如，计算√16：16 = 2 × 2 × 2 × 2 = 2^4√16 = √(2^4) = 2^2 = 42. 用近似估值法计算平方根当被开方数不是完全平方数时，我们可以利用近似估值法来计算平方根。
比如，计算√2的近似值：我们知道1^2=1，2^2=4，因此√2的值介于1和2之间。
通过逐步逼近的方法，我们可以得到√2约等于1.41。
二、立方根的计算立方根是指一个数的立方等于被开方数的结果。
比如，³√27=3，表示3是27的立方根。
在初一数学中，我们主要掌握以下几个计算立方根的方法：1. 用因数分解法计算立方根当被开方数是完全立方数时，我们可以通过因数分解的方法来计算立方根。
例如，计算³√64：64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2^6³√64 = ³√(2^6) = 2^2 = 42. 用近似估值法计算立方根当被开方数不是完全立方数时，我们可以利用近似估值法来计算立方根。
比如，计算³√5的近似值：我们知道1^3=1，2^3=8，因此³√5的值介于1和2之间。
通过逐步逼近的方法，我们可以得到³√5约等于1.71。
平方根与立方根知识点总结
平方根与立方根知识点总结平方根和立方根是数学中非常基础且重要的概念，它们在解决数学问题、理解数学规律以及应用于实际生活中都有着广泛的用途。
下面就让我们来详细了解一下平方根与立方根的相关知识。
一、平方根1、定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
即若 x²＝a，则 x 叫做 a 的平方根，记作 x ＝±√a。
例如，因为 3²＝ 9，（－3)²＝ 9，所以 9 的平方根是 ±3。
2、性质（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
（2）0 的平方根是 0。
（3）负数没有平方根。
这是因为在实数范围内，任何数的平方都不可能是负数。
3、开平方求一个数 a 的平方根的运算叫做开平方，其中 a 叫做被开方数。
开平方与平方互为逆运算。
例如，因为 5²＝ 25，所以√25 ＝ ±5。
4、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作√a。
例如，9 的算术平方根是 3，即√9 ＝ 3。
5、平方根的表示方法正数 a 的平方根表示为±√a，其中“√”读作“根号”，“±”表示正负两个值。
6、常见平方根（1）√1 ＝ 1，√4 ＝ 2，√9 ＝ 3，√16 ＝ 4，√25 ＝ 5 等。
（2）一些常见的无理数平方根，如√2 ≈ 1414，√3 ≈ 1732 等。
二、立方根1、定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
即若 x³＝a，则 x 叫做 a 的立方根，记作 x ＝³√a。
例如，因为 2³＝ 8，所以 8 的立方根是 2，即³√8 ＝ 2。
2、性质（1）正数的立方根是正数。
（2）负数的立方根是负数。
（3）0 的立方根是 0。
3、开立方求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方，其中 a 叫做被开方数。
开立方与立方互为逆运算。
4、立方根的表示方法数 a 的立方根表示为³√a。
平方根与立方根
平方根与立方根数学是一门广泛应用于各个领域的学科，其中涉及到很多基本的概念和运算法则。
本文将要介绍的是平方根和立方根，它们是数学中常见且重要的概念之一。
一、平方根的定义及性质平方根是指对一个数进行开平方运算所得到的值。
对于一个非负数a，其平方根为b，即 b^2 = a。
平方根可以是正数、负数或零，但通常我们所讨论的平方根均指正数平方根。
1. 正数的平方根：对于一个正数a，它的平方根记作√a或者a^0.5。
例如，√9 = 3，因为3 × 3 = 9。
2. 负数的平方根：对于一个负数a，其平方根记作i√|a|，其中i为虚数单位。
例如，i√-9 = 3i，因为3i × 3i = -9。
3. 零的平方根：零的平方根为0本身，即√0 = 0。
平方根具有一些特殊的性质：1. 非负数的平方根为实数，而负数的平方根为虚数。
2. 同一个正数可以有两个不同的平方根，一个为正数，一个为负数。
例如，√4 = 2 和√4 = -2。
3. 平方根运算满足乘法逆运算的性质。
即，如果b是a的平方根，那么-b也是a的平方根。
例如，2是4的平方根，那么-2也是4的平方根。
二、立方根的定义及性质立方根是指对一个数进行开三次方运算所得到的值。
对于一个数a，其立方根为b，即 b^3 = a。
1. 正数的立方根：对于一个正数a，它的立方根记作³√a或者a^(1/3)。
例如，³√8 = 2，因为2 × 2 × 2 = 8。
2. 负数的立方根：对于一个负数a，它的立方根记作-³√|a|，因为负数的立方根与平方根类似，需要添加一个负号。
例如，-³√-8 = -2，因为-2 × -2 × -2 = -8。
3. 零的立方根：零的立方根为0本身，即³√0 = 0。
立方根的性质与平方根类似：1. 非负数的立方根为实数，而负数的立方根为虚数。
2. 同一个正数可以有两个不同的立方根，一个为正数，一个为负数。
平方根与立方根
平方根与立方根在数学中，平方根与立方根是两个重要的概念，它们在计算、几何以及物理等领域中有着广泛的应用。
本文将详细介绍平方根与立方根的定义、性质以及计算方法，以帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
一、平方根1. 定义平方根是指对于一个非负实数a，使得a的平方等于该实数的一个非负实数。
用数学符号表示为√a，读作“a的平方根”。
2. 性质(1) 非负实数的平方根是非负实数。
(2) 负实数没有实数平方根，但可以引入虚数单位i，得到复数的平方根。
(3) 平方根的平方等于原数，即(√a)^2 = a。
3. 计算方法(1) 牛顿迭代法：根据牛顿迭代法，可以通过不断逼近的方式计算平方根。
迭代公式为：Xn+1 = (Xn + a/Xn)/2，其中X0是任意正实数，n为迭代次数。
(2) 二分法：对于一个给定的非负实数a，可以使用二分法不断逼近其平方根。
设定一个区间范围，在每次迭代中将区间进行划分，并根据中点值的平方与a的大小关系来确定下一次迭代的区间。
(3) 数值解法：利用数值计算软件，如MATLAB等，可以直接得到非负实数的平方根。
二、立方根1. 定义立方根是指对于一个实数a，使得a的立方等于该实数的一个实数。
用数学符号表示为³√a，读作“a的立方根”。
2. 性质(1) 实数的立方根可能是一个实数，也可能是一个虚数。
(2) 实数的立方根通常有一个实根和两个复根，其中复根互为共轭复数。
(3) 立方根的立方等于原数，即(³√a)^3 = a。
3. 计算方法(1) 牛顿迭代法：类似于计算平方根的牛顿迭代法，可以通过迭代计算逼近立方根。
迭代公式为：Xn+1 = (2Xn + a/(Xn^2))/3，其中X0为任意正实数，n为迭代次数。
(2) 二分法：与计算平方根的二分法思路类似，可以通过二分法逼近立方根。
设定一个区间范围，在每次迭代中将区间进行划分，并根据中点值的立方与a的大小关系来确定下一次迭代的区间。
小学六年级下册认识平方根与立方根的计算
小学六年级下册认识平方根与立方根的计算平方根和立方根是数字的特殊运算，在数学中起到重要的作用。
它们可以帮助我们解决一些数学问题，让计算更加简便和准确。
本文将从平方根的认识和计算，以及立方根的认识和计算两个方面进行探讨。
一、认识平方根平方根是指一个数的平方等于它的根，用符号√表示。
简单来说，就是找出一个数的平方等于我们给定的数。
例如，√9 = 3，因为3的平方为9。
平方根也可以是负数，例如，√(-9) = -3，因为-3的平方也等于9。
在小学六年级，我们经常需要进行平方根的计算。
对于较小的数，我们可以通过试探法来求解。
以求解√16为例，我们可以从1开始尝试，发现1的平方是1，而2的平方是4，3的平方是9，4的平方正好是16。
因此，√16 = 4。
而对于较大的数，我们可以借助计算器或者数表来求解。
现代科技的发展，使得我们能够方便地计算出复杂的平方根。
二、计算平方根除了通过试探法外，我们还可以通过近似法来计算平方根。
例如，求解√18。
我们可以找一个接近18的数，比如4。
计算4的平方，得到16。
由于16小于18，我们可以把这个结果当作一个估计值，然后再进行逼近。
通过不断调整估计值，我们最终可以得到一个接近18的数的平方根。
另外，我们还可以使用公式法来计算平方根。
其中最常用的就是牛顿迭代法。
这个方法通常用于求解无理数的平方根，并且具有较高的准确性。
这里不再详细介绍计算平方根的公式和方法，但是你可以在进一步学习数学时了解更多的计算方式。
三、认识立方根与平方根类似，立方根是指一个数的立方等于它的根。
我们用符号³√表示立方根。
例如，³√27 = 3，因为3的立方等于27。
立方根的计算与平方根类似，我们可以通过试探法、近似法或者公式法来进行计算。
对于较小的数，我们可以通过试探法来求解。
以求解³√8为例，我们可以从1开始尝试，发现1的立方是1，2的立方是8，因此³√8 = 2。
初中简单平方根与立方根
初中简单平方根与立方根在初中数学的学习中，平方根与立方根是两个重要的概念。
它们虽然看起来有些抽象，但实际上与我们的日常生活和后续的数学学习都有着密切的联系。
首先，咱们来聊聊平方根。
平方根，简单来说，就是一个数的平方的逆运算。
比如说，如果一个数的平方是 9，那么这个数就是 9 的平方根。
因为 3 的平方是 9，（－3）的平方也是 9，所以 9 的平方根是 3和－3。
那么，怎么表示一个数的平方根呢？我们用符号“±√”来表示。
比如，9 的平方根就可以写成±√9 ＝ ±3。
要注意哦，正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根就是 0；负数是没有平方根的。
这是因为任何数的平方都是非负数呀。
在计算平方根的时候，我们经常会用到一些常见数的平方根。
比如，√4 ＝ ±2，√16 ＝ ±4 等等。
而且，我们还可以通过一些方法来估算一个非完全平方数的平方根的大致范围。
平方根的性质也很重要呢。
两个平方根相加或相减的时候，要先判断它们是否是同类二次根式。
同类二次根式才能进行加减运算。
相乘或相除就相对简单一些，直接把被开方数相乘或相除就行啦。
接下来，咱们再说说立方根。
立方根呢，就是一个数的立方的逆运算。
如果一个数的立方是 8，那么这个数就是 8 的立方根，也就是 2。
因为 2 的立方等于 8 嘛。
立方根的表示方法是“³√”。
比如，8 的立方根就可以写成³√8 ＝ 2。
与平方根不同的是，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根还是 0。
也就是说，任何数都有且只有一个立方根。
在计算立方根的时候，也有一些常见数的立方根需要记住，比如³√27 ＝ 3，³√ －64 ＝－4 等等。
平方根和立方根在解决实际问题中也有很多应用。
比如说，在几何图形中，计算正方形的边长、正方体的棱长时，就可能会用到平方根和立方根的知识。
再比如，在物理学中，计算一些与体积、面积相关的问题时，也常常会用到它们。
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师：大家从小学就开始接触正方形，同学们知道它们的面积怎么算吗？ 生：回答 师：大家都知道已知边长的正方形面积如何计算，那么给大家面积同学们能够告诉老师它的
边长吗？请说出面积为4cm 2、16cm 2、25cm 2正方形的边长吗？ 生：回答
师：前面给出的数据都是有规律的平方数，如果正方形面积是10cm 2、20cm 2，同学们怎么去计算正方形的边长？这就是下面我们要学习的内容
1．算术平方根
一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2
x a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方
根.
a 的算术平方根记为______，读作________，a 叫做__________.
规定：0的算术平方根是
_____.
平方根及立方根
2. 平方根
一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根. 这就是说，如果2x a =，那么______叫做_________的平方根.
a 的算术平方根记为______，读作________，a 叫做__________. 求一个数a 的平方根的运算，叫做_________.
3．立方根
（1）定义：
一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根. 这就是说，如果3x a =，那么______叫做_________的平方根. 求一个数的立方根的运算，叫做_________. 一般地，33a a -=-. （2）性质：
正数的立方根是_____数；负数的立方根是_____数；0的立方根是_____
（20-40分钟）
平方根与算数平方根
【典题导入】【亮点题】
例一、1.44的算术平方根为 ，13的算术平方根为 ，2(7)-的算术平方根为 ；
例二、若一个数的算术平方根是6，则这个数为 ；6是 的算术平方根
例三、求下列各数的算术平方根:
（1）
6449 （2）917 （3）43- （4） |-25
24
1|
【小试牛刀】
考点1
1． 25的算术平方根是（ ）
A ．5
B ．5-
C ．5±
D ．25± 2．9的算术平方根是（ ）
A ．3
B ．3±
C ．3
D ．3±
平方根
【典题导入】【亮点题】
例一.3的平方根为 ， 0.81的平方根为 ，
25
121
的平方根为 ， 17的平方根为 ， 100的平方根为 ， 0的平方根为 ；
例二.1是 的一个平方根，它的另一个平方根是
【小试牛刀】
1. 1214
的平方根是_________
2. 已知：一个正数的平方根是23a -和518a -，那么这个正数是多少？
3. 要切一块面积为36 m 2的正方形铁板，它的边长应是多少？
立方根
考点2
考点3
【典题导入】【亮点题】
例一（1）3
64 （2）3125- （3）30.001- （4）364125
-
例二.立方根等于它本身的数为
【小试牛刀】
1．310
2
27--
2．33
18
64
--
. 2.如果a 是(－3)2的平方根，那么3
a 等于( )
A.－3
B.－33
C.±3
D.33或－33
估值与比较大小
【典题导入】【亮点题】
例一、估计与35最接近的整数.
例二、已知a 是10的整数部分，b 是它的小数部分，求32
()(3)a b -++的值.
例三、估计与60的立方根最接近的整数.
考点4
【小试牛刀】
1.写出√20的整数部分与小数部分
2.估计与100的立方根最接近的数
平方根的应用
例一、已知实数x，y满足x－2＋(y＋1)2＝0，求x－y的值．
例二、如图所示，一直按此规律进行下去，试求第10个直角三角形的斜边长为多少？第n个直角三角形的斜边长又为多少？
【小试牛刀】
1.大正方体的体积为1331cm3，小正方体的体积为125cm3，如图那样摞在一起，这个物体的最高点A离地面C的距离是多少cm？
考点5
（20-40分钟）
1通过估算，比较下列各数的大小：
(1)3－2与－3
2
； (2)2与3.4.
2．求下列各数的平方根和算术平方根： （1）0.0196； （2）2)64
25(-； （3）81； （4）7
109.4⨯；
3．和数轴上的点一一对应的是（ ）
A ．整数
B ．有理数
C ．无理数
D ．实数
4_________．
5.面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数. （填“是”或“不是”）
6.（1）14
9
±
是_________的平方根． （2）0169.0的平方根是_________．
（3）_______的平方等于
.256
81
（4）9
72的平方根为_________． 7.在物理学中我们知道：动能的大小取决于物体的质量与它的速度．关系式是：动能2
2
1mv E =
，若某物体的动能是25焦（动能单位），质量m 是0.7千克，求它的速度为每秒多少米？（精确到0.01）
8. 已知643+a +|b 3－27|=0,求(a －b )b 的立方根.
9.已知第一个正方体纸盒的棱长为6 cm ，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm 3,求第二个纸盒的棱长.
10.通过估算，比较下列各数的大小：
(1)3－2与－
3
2
； (2)2与3.4.
1.设2)5(-=x
，2)5(-=y ，则xy 的值为（ ）
A ．5
B ．-5
C ．25
D ．-25
2.设x 是16的平方根，2
)4(=y ，则x 与y 的关系是（ ）
A ．y x ±=
B ．x=y
C ．x=-y
D ．y x ≠
3.若1)
1(2
=-+b a ，则a+b 值为（ ）
A ．0
B ．2
C ．0或-2
D ．0或2
4．的立方根是______．
5．若一个数的平方根为±8，则这个数的立方根为______． 6．一个正方体的体积为125cm 3，则这个正方体的表面积为______cm 2 7.a 是10的整数部分，b 是5的整数部分，则a 2+b 2=______.
8. 飞出地球，遨游太空，长久以来就是人类的一种理想，可是地球的引力毕竟太大了，飞机飞得再快，也得回到地面，导弹打得再高，也得落向地面，只有当物体的速度达到一定值时，才能克服地球引力，围绕地球旋转，这个速度我们叫做第一宇宙速度，计算式子是：gR v =
千米/秒，其中重力加速度0098
.0=g 千米/秒2，地球半径6370=R 千米，试求出第一宇宙速度的值（单位：千米/秒）．。