数列求和教案
中学数学数列求和教案
中学数学数列求和教案一、教学目标1. 理解数列的基本概念，并能正确判断是否为等差数列或等比数列。
2. 掌握等差数列和等比数列的通项公式，并能正确计算相应的数值。
3. 理解数列的求和公式，并能运用求和公式计算数列的和值。
二、教学准备教师：备好黑板、粉笔，准备好习题和板书内容。
学生：纸、铅笔、计算器等。
三、教学过程1. 知识点引入教师向学生展示一些数字序列（如1, 3, 5, 7, 9...）并问学生如何判断它们是否为等差数列。
引导学生发现其中的规律，并引入等差数列的概念。
2. 等差数列的定义和性质教师将等差数列的定义和性质进行讲解，并帮助学生掌握等差数列的通项公式 an = a1 + (n-1)d。
3. 等差数列的求和公式教师引导学生思考如何求等差数列的和值，并引出等差数列的求和公式 Sn = n/2 (a1+an)。
4. 例题演练教师出示一个等差数列的例题，引导学生使用通项公式和求和公式计算数列的某一项和总和。
全班共同讨论，并解释结果的意义。
5. 等比数列的定义和性质教师将等比数列的定义和性质进行讲解，并帮助学生掌握等比数列的通项公式 an = a1 * r^(n-1)。
6. 等比数列的求和公式教师引导学生思考如何求等比数列的和值，并引出等比数列的求和公式 Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)。
7. 例题演练教师出示一个等比数列的例题，引导学生使用通项公式和求和公式计算数列的某一项和总和。
全班共同讨论，并解释结果的意义。
8. 综合练习教师布置一些综合性的练习题，让学生运用所学知识解答，并及时给予指导和纠正。
9. 课堂总结教师对本节课的重点内容进行总结，并强调数列求和在数学及现实生活中的应用价值。
四、巩固练习教师布置相关题目作为课后作业，要求学生用所学知识独立解答，并在下节课前交给教师检查。
五、教学拓展教师鼓励学生积极参与数学竞赛、参观数学实验室等拓展活动，加深对数列求和的理解和应用。
教学设计5：6.4 数列求和
6.4 数列求和[知识回顾]一、公式法1．如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n 项和公式，注意等比数列公比q 的取值情况要分q ＝1或q ≠1.2．一些常见数列的前n 项和公式： (1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2；(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝ ； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝ . 二、非等差、等比数列求和的常用方法 1．倒序相加法如果一个数列{a n }，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，等差数列的前n 项和即是用此法推导的．2．分组转化求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，等比数列的前n 项和就是用此法推导的．4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 5.数列求和的方法(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．[考点探究]考点一分组转化法求和典题导入[例1] 等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行9818(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前2n 项和S 2n .由题悟法分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.以题试法1．已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列．求：(1)p ，q 的值；(2)数列{x n }前n 项和S n 的公式．考点二错位相减法求和典题导入[例2] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝kc n －k (其中c ，k 为常数)，且a 2＝4，a 6＝8a 3. (1)求a n ；(2)求数列{na n }的前n 项和T n .由题悟法用错位相减法求和应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n ”的表达式．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．以题试法2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝3n ＋k . (1)求k 的值及数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＋12＝(4＋k )a n b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .考点三裂项相消法求和典题导入[例3] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝na n －n (n －1)(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .本例条件不变，若数列{b n }满足b n ＝1S n ＋n ，求数列{b n }的前n 项和T n .由题悟法利用裂项相消法求和应注意(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{a n}是等差数列，则1a n a n＋1＝1d⎝⎛⎭⎫1a n－1a n＋1，1a n a n＋2＝12d⎝⎛⎭⎫1a n－1a n＋2.以题试法3．在等比数列{a n}中，a1>0，n∈N*，且a3－a2＝8，又a1、a5的等比中项为16.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝log4a n，数列{b n}的前n项和为S n，是否存在正整数k，使得1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n<k对任意n∈N*恒成立．若存在，求出正整数k的最小值；不存在，请说明理由．答案[知识回顾]一、公式法 2．(2)n 2 (3) n 2＋n [例1][自主解答] (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18.所以公比q ＝3，故a n ＝2·3n －1.(2)因为b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n (ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，所以S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n ＝2(1＋3＋…＋32n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n ](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n 2n ]ln 3＝2×1－32n1－3＋n ln 3＝32n ＋n ln 3－1. 1．解：(1)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，又因为x 4＝24p ＋4q ， x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ， 解得p ＝1，q ＝1.(2)由(1)，知x n ＝2n ＋n ，所以S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )＝2n ＋1－2＋n n ＋12.[例2][自主解答] (1)由S n ＝kc n －k ，得a n ＝S n －S n －1＝kc n －kc n －1(n ≥2)． 由a 2＝4，a 6＝8a 3 ，得kc (c －1)＝4，kc 5(c －1)＝8kc 2(c －1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，k ＝2，所以a 1＝S 1＝2，a n ＝kc n －kc n －1＝2n (n ≥2)， 于是a n ＝2n . (2)T n ＝∑i ＝1nia i ＝∑i ＝1ni ·2i ，即T n ＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n . T n ＝2T n －T n ＝－2－22－23－24－…－2n ＋n ·2n ＋1 ＝－2n ＋1＋2＋n ·2n ＋1＝(n －1)2n ＋1＋2. 2．解：(1)当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1＝3n ＋k －3n －1－k ＝2·3n －1，得等比数列{a n }的公比q＝3，首项为2.∴a 1＝S 1＝3＋k ＝2，∴k ＝－1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2·3n －1. (2)由a n ＋12＝(4＋k )a nb n ，可得b n ＝n2·3n －1， 即b n ＝32·n 3n .∵T n ＝32⎝⎛⎭⎫13＋232＋333＋…＋n 3n ， ∴13T n ＝32⎝⎛⎭⎫132＋233＋334＋…＋n 3n ＋1， ∴23T n ＝32⎝⎛⎭⎫13＋132＋133＋…＋13n －n 3n ＋1， ∴T n ＝94⎝⎛⎭⎫12－12·3n －n 3n ＋1.[例3][自主解答] (1)∵S n ＝na n －n (n －1)，当n ≥2时， S n －1＝(n －1)·a n －1－(n －1)(n －2)，∴a n ＝S n －S n －1＝na n －n (n －1)－(n －1)a n －1＋(n －1)·(n －2)， 即a n －a n －1＝2.∴数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列， 故a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，n ∈N *. (2)由(1)知b n ＝2a n a n ＋1＝22n －12n ＋1＝12n －1－12n ＋1， 故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1.解：S n ＝na n －n (n －1)＝n (2n －1)－n (n －1)＝n 2. b n ＝1S n ＋n ＝1n 2＋n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， T n ＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.3．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由题意可得a 3＝16， ∵a 3－a 2＝8，则a 2＝8，∴q ＝2. ∴a n ＝2n ＋1.(2)∵b n ＝log 42n ＋1＝n ＋12，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝nn ＋34. ∵1S n ＝4nn ＋3＝43⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋3， ∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝43⎝⎛⎭⎫11－14＋12－15＋13－16＋…＋1n －1n ＋3 ＝43⎝⎛⎭⎫1＋12＋13－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3<229， ∴存在正整数k 的最小值为3.。
数列求和公式教案
数列求和公式教案教案标题：数列求和公式教案教案目标：1. 了解数列的概念和特点。
2. 掌握数列求和公式的推导和应用。
3. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
教学重点：1. 数列求和公式的推导过程。
2. 数列求和公式的应用。
教学难点：1. 数列求和公式的推导过程。
2. 复杂数列求和公式的应用。
教学准备：1. 教师准备：白板、黑板笔、教材、多媒体课件。
2. 学生准备：课本、笔记工具。
教学过程：Step 1: 引入（5分钟）教师通过提问和示例引入数列的概念，引发学生对数列的兴趣，并与学生一起总结数列的特点。
Step 2: 数列求和公式的推导（15分钟）2.1 教师给出一些简单的数列，引导学生观察规律，并引导学生尝试推导数列求和公式。
2.2 教师给出数列求和公式的推导过程，逐步解释每个步骤的原因和意义。
2.3 学生进行小组合作，尝试推导其他数列的求和公式，并与全班分享他们的思路和答案。
Step 3: 数列求和公式的应用（20分钟）3.1 教师通过多个实际问题引导学生将数列求和公式应用于实际情境中。
3.2 学生进行个人或小组练习，解决与数列求和相关的问题。
3.3 学生展示他们的解决方法和答案，并与全班进行讨论和比较。
Step 4: 拓展与延伸（10分钟）4.1 教师提供一些复杂的数列求和问题，引导学生运用已学知识进行解决。
4.2 学生进行个人或小组探究，解决更具挑战性的数列求和问题。
4.3 学生展示他们的解决方法和答案，并与全班进行讨论和比较。
Step 5: 总结与评价（5分钟）教师与学生一起总结数列求和公式的推导过程和应用方法，并对学生的学习成果进行评价和反馈。
教学延伸：1. 学生可以尝试推导其他类型的数列求和公式，如等差数列、等比数列等。
2. 学生可以通过阅读相关数学文献或书籍，了解更多数列求和公式的应用领域。
教学资源：1. 教材：数学教材相关章节。
2. 多媒体课件：用于展示示例和推导过程等。
教学评价：1. 学生的课堂参与情况。
数列求和免费教案
数列求和免费教案教案标题：数列求和免费教案教学目标：1. 学生能够理解数列的概念和性质。
2. 学生能够应用递推公式求解数列的前n项和。
3. 学生能够解决实际问题中与数列求和相关的计算。
教学准备：1. 教师准备白板、黑板笔、教学投影仪等教学工具。
2. 学生准备纸和笔。
教学过程：步骤一：导入（5分钟）教师通过提问引导学生回顾数列的概念，并与学生一起讨论数列的应用领域，如金融、物理等。
步骤二：概念讲解（10分钟）教师通过示例和图示解释数列的递推公式和通项公式，并与学生一起探讨数列的性质，如等差数列和等比数列的特点。
步骤三：数列求和方法介绍（10分钟）教师向学生介绍数列求和的常用方法，包括等差数列求和公式和等比数列求和公式，并通过实例演示求解数列的前n项和。
步骤四：练习与讨论（15分钟）教师提供一些练习题，要求学生独立解答，并在解答完成后进行讨论和答疑。
教师可以选择一些实际问题，让学生应用数列求和的方法解决问题。
步骤五：拓展应用（10分钟）教师引导学生思考更复杂的数列求和问题，如求解部分项和、求解无穷级数等，并与学生一起探讨解决方法。
步骤六：总结与归纳（5分钟）教师与学生一起总结数列求和的方法和应用，并提醒学生在实际问题中灵活运用数列求和的知识。
步骤七：作业布置（5分钟）教师布置相关的作业，要求学生练习数列求和的应用，并在下节课前完成。
教学延伸：1. 学生可以通过编写程序来计算数列的前n项和，进一步巩固数列求和的概念和方法。
2. 学生可以研究更复杂的数列求和问题，如级数求和、递归数列求和等，拓展数列求和的应用领域。
教学评估：1. 教师通过课堂练习和讨论，观察学生对数列求和的理解和应用能力。
2. 教师可以布置作业来评估学生的数列求和能力，并及时给予反馈。
教学反思：教师可以根据学生的学习情况和反馈，调整教学方法和内容，以提高学生对数列求和的理解和应用能力。
《数列求和》教学设计
《数列求和》教学设计一、教学目标1.知识目标学生能够理解数列求和的基本概念，掌握常用的数列求和公式，能够熟练应用求和公式解决实际问题。
2.能力目标学生能够运用数学思维和方法，分析问题，提出合理的求和方法，并能灵活运用求和公式解决实际问题。
3.情感目标学生能够树立积极的学习态度，发现数列求和的有趣之处，提高数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学重点和难点1.教学重点(1)数列求和的基本概念和常用的求和公式；(2)运用求和公式解决实际问题。
2.教学难点(1)问题分析和求解的过程；(2)运用数列求和解决实际问题。
三、教学过程设计1.导入新课(10分钟)(1)向学生提问：“在做加法运算的时候，我们经常会遇到从1开始的连续整数相加的问题，你们知道如何快速求和吗？”(2)引导学生思考，并提示“等差数列”的概念。
(3)分享一个有趣的问题：“小明和小红相约去打篮球，每天他们都会增加一个篮球的练习量，小明从第一天开始每天练习一个篮球，小红从第一天开始每天练习两个篮球，问他们练习30天后总共练习了多少个篮球？”(4)引导学生思考解决问题的方法。
2.板书设计(5分钟)根据导入新课的内容，板书“等差数列”和“数列求和”的概念。
3.概念讲解(20分钟)(1)对等差数列的概念进行详细讲解和举例。
(2)引入数列求和的概念，并通过具体的例子让学生理解求和的含义。
(3)介绍数学家高斯的求和故事，引出等差数列求和公式。
4.基本求和公式(20分钟)(1)教师讲解等差数列求和的基本公式S_n=(a_1+a_n)*n/2，并通过例题进行演练。
(2)介绍等差数列求和公式的推导过程，并通过几个简单例子进行说明。
5.应用题训练(25分钟)(1)学生分组进行应用题训练，训练内容包括常见的等差数列求和问题和实际生活中的应用问题。
(2)学生在小组内共同讨论，解决问题，并由小组代表上台分享解题思路和解题过程。
6.拓展练习(15分钟)(1)给出一些拓展练习，要求学生在规定时间内完成，并进行答案的交流和讨论。
数列求和的七种方法｜数列求和教案
数列求和是知识掌握的重点，下面是为大家带来的数列求和教案，希望能帮助到大家!数列求和教案篇一汉滨高中李安锋教学目标:知识目标①复习等差和等比数列的前n项和公式、回忆公式推导过程所用倒序想加和错位相减的思想方法,及用数列求和公式求和时,应弄清基本量中各基本量的值,特别是用等比数列求和公式求和时,应关注公比q是否为1;②记住一些常见结论便于用公式法对数列求和;③学会分析通项的结构并且对通项进行分拆;能运用拆并项求和思想方法解决非特殊数列求和问题。
能力目标培养学生用联系和变化的观点,结合转化的思想来分析问题和解决问题的能力。
情感目标培养学生用数学的观点看问题,从而帮助他们用科学的态度认识世界. 教学重点与难点教学重点等差等比数列求和及特殊数列求和的常用方法教学难点分析具体数列的求和方法及实际求解过程.教学方法、手段通过设问、启发、当堂训练的教学程序,采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式,培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力,借助幻灯片辅助教学,达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的,营造生动活泼的课堂教学氛围. 学法指导为了发挥学生的主观能动性,提高学生的综合能力,确定了三种学法(1)自主性学习法,(2)探究性学习法,(3)巩固反馈法,教学过程(一)情景导入复习回顾:等差数列和等比数列的前n项和公式?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 等差数列求和公式Sn?22(q?1)?na1? 等比数列求和公式Sna1(1?qn)a1?anq ?(q?1)?1?q?1?q 教师引导学生回忆数列几种常见的求和方法?①公式法②分组求和法③裂项相消法④错位相减法(充分发挥学生学习的能动性,以学生为主体,展开课堂教学)(二)自学指导若已知一个数列的通项,如何对其前n项求和?①an?3n ②an?3n?2n?1 ③an?n(n?1)④an?1 ⑤an?n?3n n(n?1)(通过学生对几种常见的求和方法的归纳、总结,结合具体的实例、简单回忆各方法的应用背景.把遗忘的知识点形成了一个完整的知识体系)巩固检测题(1) a?a2?a3?an?________(2) 1+3+5+?+(2n+1)=(3)12?22?32n2?(复习等差与等比数列的求和公式:(1)中易忘讨论公比是否为1(2)中易错项数(3)与(4)是为用公式法求和作铺垫.)(三)例题展示例设Sn=1-3+5-7+9++101 求Sn分析: 拆并项求和思路? Sn=(1-3)+(5-7)+(9-11)+(97-99)+101=?Sn=1+(-3+5)+(-7+9)+(-11+13)+(-99+101)=? Sn=(1+5++101)-(3+7++99)=意图通过一题多解,开阔学生的思维.，分析①②③培养学生的拆项求和与并项求和的意识, 比较分析①②思考应留下。
数列求和教案
数列求和教案教案: 数列求和教学目标:- 理解数列的概念和性质- 学会使用不同的方法求解数列的和- 培养学生的逻辑思维和问题解决能力教学准备:- PowerPoint演示文稿- 白板和黑板- 教学素材: 包含不同类型数列的练习题教学过程:步骤1: 引入数列的概念- 使用PowerPoint演示文稿引入数列的概念，解释数列的定义和性质。
强调数列的和是指数列中所有数字的总和。
步骤2: 简单数列的求和方法- 介绍最简单的等差数列的求和方法。
例如: 1, 2, 3, 4, 5... 求和公式为(n+1) / 2 * n。
- 示范一些简单数列的求和过程，并要求学生跟随计算。
步骤3: 不等差数列的求和方法- 介绍不等差数列的求和方法。
例如: 1, 3, 5, 7, 9... 这种数列无法使用简单的求和公式，需要使用其他方法求解。
- 解释如何找到数列中的规律，然后利用规律进行计算。
例如，这个数列每一项都比前一项大2，因此可以通过求得数列中最后一项的值来计算总和。
- 示范一些不等差数列的求和过程，并要求学生跟随计算。
步骤4: 特殊数列的求和方法- 介绍一些特殊数列的求和方法，如等比数列、斐波那契数列等。
- 解释如何找到数列中的规律，然后利用规律进行计算。
示范一些特殊数列的求和过程，并要求学生跟随计算。
步骤5: 练习题- 给学生分发一些练习题，让他们在课堂上解答。
包括简单数列、不等差数列和特殊数列。
- 强调要注意问题的难度和解题思维的不同。
步骤6: 总结和反思- 总结本节课所学内容，强调数列求和的重要性和实际应用。
- 让学生回顾他们所学的方法，以及解决问题时遇到的困难和挑战。
教学拓展:- 引导学生探索其他数列求和的方法，如数学归纳法、求和公式的推导等。
- 鼓励学生独立思考和解决问题的能力，让他们自己提出一些数列求和问题并解答。
评估方法:- 观察学生在课堂上解答练习题的过程，并提供相关反馈和指导。
- 让学生完成一份小测验，检验他们对数列求和的理解程度。
数列求和教案
数列求和教案一、教学目标1.了解数列的概念和性质；2.掌握等差数列和等比数列的通项公式；3.掌握数列求和公式；4.能够应用数列求和公式解决实际问题。
二、教学重点1.等差数列和等比数列的通项公式；2.数列求和公式。
三、教学难点1.数列求和公式的应用。
四、教学过程1. 引入教师通过举例子引入数列的概念，让学生了解数列的定义和性质。
2. 等差数列和等比数列的通项公式2.1 等差数列的通项公式教师通过举例子引入等差数列的概念，让学生了解等差数列的定义和性质。
然后，教师介绍等差数列的通项公式：a n=a1+(n−1)d其中，a n表示等差数列的第n项，a1表示等差数列的第一项，d表示等差数列的公差。
2.2 等比数列的通项公式教师通过举例子引入等比数列的概念，让学生了解等比数列的定义和性质。
然后，教师介绍等比数列的通项公式：a n=a1q n−1其中，a n表示等比数列的第n项，a1表示等比数列的第一项，q表示等比数列的公比。
3. 数列求和公式3.1 等差数列的求和公式教师介绍等差数列的求和公式：S n=n2(a1+a n)其中，S n表示等差数列的前n项和。
3.2 等比数列的求和公式教师介绍等比数列的求和公式：S n=a1(q n−1) q−1其中，S n表示等比数列的前n项和。
4. 应用教师通过例题让学生掌握数列求和公式的应用。
五、教学总结教师对本节课的内容进行总结，强调数列求和公式的重要性和应用。
六、作业1.完成课堂练习；2.完成课后作业。
七、教学反思本节课的教学重点是数列求和公式的应用，但是由于时间有限，只能介绍一些基本的应用，没有涉及到更复杂的应用。
下次教学中，应该加强对数列求和公式的应用讲解，让学生更好地掌握数列求和公式的应用。
第四节 数列求和 示范课教案
数列求和教案【教学目标】1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握非等差数列，非等比数列求和的几种常见方法.【教学重点】数列求和的几种常见方法【教学难点】非等差数列，非等比数列求和的转化【教学过程】一、知识梳理1.特殊数列的求和公式(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d . (2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.2.数列求和的几种常用方法(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(2)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.裂项求和常用的三种变形(1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1. (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1. (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解.(4)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解.二、诊断自测1．数列{1＋2n －1}的前n 项和为( )A ．1＋2nB ．2＋2nC ．n ＋2n －1D ．n ＋2＋2n3572.,9,25,.41.48.49 D.56n n s s s s A B C ===已知等差数列的前项和为若则3.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n ＋1＋n ，则S 99＝() A.7 B.8 C.9 D.104.数列112，314，518，7116，……的前n 项和S n 的值等于( )A.n 2＋1－12n B.2n 2－n ＋1－12n C.n 2＋1－12n －1 D.n 2－n ＋1－12n三、典型例题分析例1．已知数列{a n }满足a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －1a n ＝n 4(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝4n a n 2n ＋1，求数列{b n b n ＋1}的前n 项和T n .例2【2021年新高考1卷】已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n na n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数 （1）记2n nb a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.四、课堂小结通过这节课的学习，你有什么收获？。
数列求和优质课教案
数列求和教学目标： 让学生回顾数列基本知识点；让学生能够掌握数列的求和的几种基本方法；锻炼学生的自我思考能力。
教学重难点：对题意的分析以及方法的选择。
学法指导：示范，探究教学过程：※课标展示，强调本节内容及重点一、 回顾数列求和的方法：学生活动：请学生做总结，不全的由其他同学做补充。
通过课件总结方法：1、 公式法2、 分组求和法3、 裂项法4、 错位相加法5、 倒叙相加法二、 互动探究1、（2010重庆）、已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.（Ⅰ）求通项n a 及n S ；（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T . 学生活动：学生小组讨论后，由学生对本题题意及解题方法进行讲解，然后由其他组同学进行补充或者更正。
教师活动：通过课件展示整个解题过程，1、点出学生方法中的不足2、强调步骤的严密性3、对例题做出点评。
2、（2010山东） 已知等差数列{}n a 满足：3577,26a a a =+=．{}n a 的前n 项和为n S 。
（Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令21()1n n b n N a +=∈-，求数列{}n a 的前n 项和T n ． 学生活动：学生小组讨论后，由学生对本题题意及解题方法进行讲解，然后由其他组同学进行补充或者更正。
教师活动：通过课件展示整个解题过程，1、点出学生方法中的不足2、强调步骤的严密性3、对例题做出点评。
3 学生活动：学生小组讨论后，由学生对本题题意及解题方法进行讲解，然后由其他组同学进行补充或者更正。
教师活动：通过课件展示整个解题过程，1、点出学生方法中的不足2、强调步骤的严密性3、对例题做出点评。
4学生活动：学生小组讨论后，由学生对本题题意及解题方法进行讲解，然后由其他组同学进行补充或者更正。
教师活动：通过课件展示整个解题过程，1、点出学生方法中的不足2、强调步骤的严密性3、对例题做出点评。
《数列求和》教学设计
第四章数列《数列求和》教学设计1.理解一些常见数列的求和方法．2.会求一些常见数列的前n项和．教学重点：常见数列的求和方法.教学难点：错位相减法求一类数列的和.PPT课件．【新课导入】问题1：等差数列的前n项和公式是什么？设计意图：通过回顾等差数列的前n项和公式，温故知新.问题2：等比数列的前n项和公式是什么？师生活动：学生回顾公式并回答．预设的答案：设计意图：通过回顾公式，引入新课．问题3：如果一个数列既不是等差数列也不是等比数列，如何求它的前n项和呢？常见数列的求和方法有哪些？设计意图：通过该问题，引起学生思考既不是等差数列也不是等比数列的特殊数列求和．【探究新知】知识点一 错位相减法一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解． 数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法.知识点二 裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.知识点三 分组求和法对于求数列的和，其中为等差或等比数列，可考虑用拆项分组法求和.知识点四 倒序相加法这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个.知识点五 并项求和法奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和.但当求前n 项和而n 是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论. 并项求和一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解．【巩固练习】例1 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(3n ＋2)·2n ，求该数列前n 项和S n . 师生活动：学生分组讨论，教师讲解． 预设的答案：S n ＝5×2＋8×22＋11×23＋14×24＋…＋(3n －1)·2n －1＋(3n ＋2)·2n ……① 2S n ＝5×22＋8×23＋11×24＋14×25＋…＋(3n －1)·2n ＋(3n ＋2)·2n ＋1……② ①－②得：－S n ＝5×2＋3×22＋3×23＋3×24＋…＋3·2n －1＋3·2n －(3n ＋2)·2n ＋1 ＝10＋3(22＋23＋24＋…＋2n －1＋2n )－(3n ＋2)·2n ＋1＝10＋3(2n ＋1－4)－(3n ＋2)·2n ＋1q {}n n a b ±{}{},n n a b 1()n a a +(1)()nn a f n =-＝3·2n ＋1－(3n ＋2)·2n ＋1－2 ＝(1－3n )·2n ＋1－2故S n ＝(3n －1)·2n ＋1＋2. 设计意图：通过该题让学生理解乘公比错位相减法的应用及步骤.发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．易错点剖析：用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n −qS n ”的表达式；(3)两式相减时最后一项因为没有对应项不要忘记变号；(4)对相减后的和式的结构要认识清楚，中间是n －1项的和；(5)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.例2 已知等差数列为递增数列，且满足,．（1）求数列的通项公式； （2）令，为数列的前n 项和，求．师生活动：学生分析题意，完成（1）；师生一起完成（2）．预设的答案：（1）由题意知，或为递增数列，，故数列的通项公式为（2）. 设计意图：通过该题让学生理解裂项相消法的应用及相消规则.发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．方法总结：等差数列中相邻两项积的倒数构成的数列求和用裂项相消法；常见的通项分解（裂项）有： （1） [一般] {}n a 12a =222435a a a +={}n a *1()(1)(1)n n n b n N a a =∈+-n S {}n b n S 222(22)(23)(24)d d d +++=+23440d d ∴--=2d ∴=23d =-{}n a 2d ∴={}n a 2.n a n =1111()(21)(21)22121n b n n n n ==-+--+11111111[(1)()()...()]2335572121n S n n ∴=-+-+-++--+11(1)221n =-+21nn =+111(1)1n a n n n n ==-++1111()()n a n n k k n n k==-++（2）（3） （4）（5）例3 求和：.师生活动：学生分组讨论，派代表发言；教师完善．预设的答案：原式. 设计意图：通过该问题让学生理解分组求和法，让学生会求一类可转化为等差数列和等比数列的求和的数列求和问题．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．方法总结：分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和.例4求和 师生活动：学生独立完成，教师完善．预设的答案：设 ①②①+②得，所以.设计意图：通过该题让学生理解倒序相加法.发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．方法总结：如果一个数列距离首末两项的和相等，就可以采用倒序相加法. 例5求和12－22＋32－42＋…＋992－1002.师生活动：学生分组讨论，派代表板演，教师完善．预设的答案：12－22＋32－42＋…＋992－1002＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+2(2)1111()(21)(21)22121n n a n n n n ==+--+-+1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ==--++++n a ==()()()12235435235n n ----⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯()()122462353535n n ---=+++⋅⋅⋅+-⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯()()()1215152233152154nn n n nn -----+=-⨯=+---︒++︒+︒+︒89sin 3sin 2sin 1sin 2222 ︒++︒+︒+︒=89sin 3sin 2sin 1sin 2222T ︒++︒+︒+︒=1sin 87sin 88sin 89sin 2222 T ︒++︒+︒+︒=89cos 3cos 2cos 1cos 2222 T 289T =44.5T =＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)＝－5 050.设计意图：通过该题让学生理解并项求和法．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．方法总结：通常数列中的项是正负交替或奇偶项各有规律的，往往采用并项求和法.【课堂总结】1．板书设计：2．总结概括：师生活动：学生总结，老师适当补充.设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力．3．课堂作业：目标检测题【目标检测设计】 1.已知若等比数列满足则（ ）A ．B ．1010C ．2019D ．2020 设计意图：进一步巩固错位相减法.本题综合考查函数与数列相关性质，需要发现题中所给条件蕴含的倒数关系，寻找规律进而求出答案. 2.求数列的前n 项和. 设计意图：进一步巩固错位相减法.该数列为两个数列的积，其中为等差数列，为等比数列，故可考虑用错位相减法求和. 3.求数列前n 项的和.设计意图：让学生进一步巩固裂项相消法. 参考答案： 1.D等比数列满足即2020故选D. 2.①， ②， 22()(),1f x x x=∈+R {}n a 120201,a a =122020()()()f a f a f a +++=201922n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n S {}n 12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭()()32121n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭22()(),1f x x x =∈+R 22222122()11122211f x f x x x x x x⎛⎫∴+=+ ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+=++{}n a 120201,a a =120202019220201...1,a a a a a a ∴====()()()()()()120202019202012...2f a f a f a f a f a f a ∴+=+==+=122020()()()f a f a f a +++=231123122222n n n n n S --=+++⋅⋅⋅++234111*********n n n n nS +-=+++⋅⋅⋅++①-②得， . 3.∵， .23411111112222222n n n n S +=++++⋅⋅⋅+-1111221212n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=--111,22n n n +=--11222n n nnS -∴=--()()3311212122121n a n n n n ⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭3111111131311233557212122121n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦。
数列求和一完整版教案
数列求和一一、知识回顾：等差数列求和公式：n S ==等比数列求和公式：n S q 时，当1==,n S q 时，当1≠=二、解决问题问题1：求值（1）=-++++=)12(531n S n（2）n n S 21814121++++= = 问题2：求n x x x ++++ 21值问题3：求n n n S 212854321-++++= 三、课堂训练：最新新课标卷Ⅰ）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。
（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2的前项和 四、归纳小结：数列求和的常用方法：1、步骤：2、步骤：五、课后训练1、已知等差数列满足（I ）求的通项公式；（II ）求数列的前n 项和 2、最新湖北高考设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列的公比{}n b 为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ． 3、（最新山东高考）已知数列的前n 项和，是等差数列，且10,0862-=+=a a a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 238n S n n =+1n n n a b b +=+（I ）求数列的通项公式；（II ）项和 1、2、解析】（Ⅰ）由题意得，解得，得到。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而利用“错位相减法”即得223+⋅=n n n T试题解析：（Ⅰ）由题意当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ，当1=n 时，1111==S a ；所以56+=n a n ；设数列的公差为d ，由⎩⎨⎧+=+=322211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=db d b 321721111，解之得3,41==d b ，所以13+=n b n 。
数列求和专题教案
数列专题复习-----数列求和教学目标：（一）知识与技能1．熟练掌握等差、等比数列的求和公式；2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法． （二）过程与方法通过一些经典的实例，利用求和公式及特殊数列的求和方式更深一层次的认识数列求和．（三）情感、态度与价值观培养学生勤学，勤想，勤动脑的数学学习理念，更多地接触知识才会站在更高的位置看问题，解决问题。
教学重点：等差、等比数列的求和公式及非等差、等比数列求和的几种常见方法的应用．教学难点：非等差、等比数列的求和．教学方法：边讲边练教学过程：一．数列求和1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n二、学生活动1．等差、等比数列直接运用公式求和（直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法）2．分析、概括各种数列的特征，从特征中寻求解决的方法．三、数学运用 1、错位相减法求和{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.1122n n n S a b a b a b =+++例1． 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S解：由题可知，设132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=…②（设制错位）①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--。
练习： 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2,,2,2,232n 前n 项的和.解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS …………② ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS 1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S2、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.例2．求证：n nn n n nn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得0113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- 又由m n n m n C C -=可得：nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………. ② ①+②得： n nn n n n nn n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- ∴ n n n S 2)1(⋅+= 3、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例3． 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n a a a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn +（分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n na S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n-+---4、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项） （1）{}n a 为等差数列，111111n n n n a a a a d++⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （2）n n n n a n -+=++=111例4． 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111，则11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n )1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-＝11-+n练习：在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n ∴数列{b n }的前n 项和：)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n ＝)111(8+-n ＝18+n n四、要点归纳与方法小结数列求和的常用方法： 1. 公式法．直接应用等差、等比数列的求和公式；2. 倒序相加法：如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用倒序相加法．3. 错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求．4. 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的拆项公式有：1()n n k =+ ，= ，1(21)(21)n n =-+ ，等等．5. 分组求和法：需要熟悉一些常用基本式的特点与规律，将同类性质的数列归于一组，便于运用常见数列的求和公式．五、课时作业1．（理）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足121+=n n S a 。
高中数学教案数列求和
高中数学教案数列求和
教学目标：
1. 理解数列求和的概念和意义；
2. 掌握常见数列求和公式和方法；
3. 能够应用所学知识解决实际问题。
教学重点：
1. 等差数列求和；
2. 等比数列求和；
3. 数列求和的应用。
教学步骤：
1. 导入（5分钟）：
向学生引入数列求和的概念，让他们思考什么是数列求和，为什么要学习数列求和。
2. 等差数列求和（15分钟）：
a. 介绍等差数列的概念和性质；
b. 讲解等差数列求和公式：Sn=n/2(2a1 + (n-1)d)；
c. 给学生几个例题进行练习，让他们掌握等差数列求和的方法。
3. 等比数列求和（15分钟）：
a. 介绍等比数列的概念和性质；
b. 讲解等比数列求和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)；
c. 给学生几个例题进行练习，让他们掌握等比数列求和的方法。
4. 数列求和的应用（15分钟）：
结合实际问题，让学生应用数列求和的知识解决实际问题，如等差数列模型、等比数列模型等。
5. 练习与总结（10分钟）：
让学生进行练习，巩固所学知识，并进行总结，梳理数列求和的重点和难点。
教学反馈：
安排课后作业，让学生巩固所学内容，并在下节课进行答疑与复习。
数列求和问题教案
数列求和问题·教案教学目标1．初步掌握一些特殊数列求其前n项和的常用方法．2．通过把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和问题，培养学生观察、分析问题的能力，以及转化的数学思想．教学重点与难点重点：把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和．难点：寻找适当的变换方法，达到化归的目的．教学过程设计（一）复习引入师：等差数列和等比数列既是最基本的数列又是最重要的数列．我们已经推出了求其前n项和的公式，公式分别是什么？师：我们学习新知识不仅要记住其结论，正确地运用它解决问题，而且要善于在学习新知识的过程中体会研究问题的方法，逐渐地学会思考、学会学习．（不失时机地对学生进行学法指导非常必要）回忆一下推导这两个公式的方法，你有什么收获？（留给学生回忆及思考的时间）生甲：推导等差数列前n项和公式所用的方法是：先把S n中各项“正着”写出来，再把S n中各项次序反过来写出，两式相加．由于对应项和都为（a1+a n），所以2S n=n（a1+a n），进而求出S n．师：推导方法是将要解决的问题通过“逆序相加”的方法转化为我们熟悉的常数列求和问题．（渗透转化的思想）生乙：推导等比数列前n项和所用的方法是：将S n的各项依次写出，再把这个式子的两边同时乘以q，然后两式“错项相减”，相减后等号右边只剩下两项，进而求得S n．师：解决此问题需要同学们有敏锐的观察能力．把S n=a1+a1q+…+a1q n-2+a1q n-2的两边分别乘以公比q，就得到各项后面相邻的一项，因而用“错项相减”的方法就可以消去相同的项．以上两种求和的思路在解决某些特殊数列求和问题时经常用到．这节课我们就来研究既非等差数列又非等比数列的一些特殊数列的求和问题．（板书课题）（二）新课例1 求分母为3，包含在正整数m与n（m＜n）之间的所有不可约的分数之和．师：分母为3，包含在正整数m与n之间的所有不可约分数有哪些？师：本题实质上让我们解决什么问题？生：求由这些分数构成的数列的各项和．此数列是我们熟悉的等差数列或等比数列吗？（稍微停顿）都不是．请同学们观察此数列有什么特点，可用什么方法求和？生甲：此数列的第一项与最后一项的和是m+n，第二项与倒数第二项的和也是m+n，依此类推．根据此数列的特点，可以用刚才复习过的“逆序相加法”求和．（学生叙述解法一，教师板书）解法1：将上式各项次序反过来写出：两式相加得所以S=（m+n）（n-m）=n2-m2生乙：我观察此数列的所有奇数项组成公差为1的等差数列，所有偶数项也组成公差为1的等差数列，它们分别都有（n-m）项．可以转化成等差数列求和问题．（学生叙述解法2，教师板书）解法2：师：解法2是将原数列的各项重新组合，使它转化为等差数列求和（学生进一步体会）师：无论是“逆序相加法”还是“分组求和法”都是通过适当的变换把某些既非等差数列又非等比数列的特殊数列转化为等差或等比数列的求和问题．看下面数列又怎样转化呢？例2 求数列1，3a，5a2，7a3，…（2n-1）a n-1，…（a≠1）的前n项和．师：我们还是从观察数列特点入手．此数列各项有何特点？生：此数列每一项中的字母部分a0，a1，a2，…，a n-1构成以a为公比的等比数列，每一项中的系数部分1，3，5，…，（2n-1）构成以2为公差的等差数列．师：我们不妨把这种数列称为“差比数列”{c n}，c n=a n·b n，其中{a n}为等差数列，{b n}为等比数列．联想我们曾遇到过的数列，有没有“差比数列”呢？生：任何一个等比数列都是特殊的差比数列．师：等比数列求和公式是怎样推导的？生：用错项相减法．师：假如我们也使用错项相减法，把S n=1+3a+5a2+7a3+…+（2n-1）a n-1的两边也同时乘以公比a，却不得各项后面相邻的一项，两式错项相减，并未达到消去绝大部分项的目的．用此法还行吗？生：虽然没消去绝大部分项，却把问题转化成为一个等比数列求和问题．（学生叙述，教师板书）解：因S n=1+3a+2a2+7a3+…+（2n-1）a n-1，（1）（1）×a得aS n=a+3a2+5a3+…（2n-3）a n-1+（2n-1）a n．两式相减得（1-a）S n=1+2a+2a2+2a3+…+2a n-1-（2n-1）a n=2（1+a+a2+a3+…+a n-1）-（2n-1）a n-1师：让我们来回顾一下，错项相减后的式子中只留下第一项和最后一项，其它各项构成等比数列，把未知问题转化成已知的等比数列求和问题．由解题过程可见，此方法可解决哪类数列的求和问题？生：错项相减法可解决差比数列求和问题．师：也就是说，可解决这类数列{c n}的求和问题，c n=a n·b n，其中{a n}为等差数列，{b n}为等比数列．例如求数列{2n-1}×0.1n}的前n项和，你能解决此问题吗？（学生进一步体会）师：这是一个通项是分数形式的数列，分母是相邻两个自然数的积，且相邻两项的分母中有相同因数．（稍微停顿）既然有相同的成分，那么我们能否消去它们，促成求和呢？（留给学生思考的时间）师：正像前面我们推导等差数列通项公式使用叠加法．（板书）a2-a1=da3-a2=da4-a3=d……a n-1-a n-2=da n-a n-1=d．将上面n-1个式子的等号两边分别相加得到a n-a1=（n-1）d，消去了绝大部分的项，只留下了第一项a1和最后一项a n．对于这个题目，同学们能否类似地实现求和呢？（让学生学会类比的思维方法）（学生讨论）生：要达到消去的目的，必须出现差的形式．观察数列的第一项可（学生叙述，教师板书）师：这位同学的解法非常漂亮．他把通项是分数形式的数列的每一项，分裂成两个分数之差，这些分数的和，除首末两项（有时也可能是首末若干项）外，其余各项前后抵消，实现了求和．我们把这种方法叫做裂项求和法．这种方法，在解决通项是分数形式的数列求和问题时经常用到．下面请看第（2）小题．（学生先练习，然后师生共同讨论）师：这个数列有何特点？考虑用什么方法求和？生：这个数列中的每一项都有规律的分数形式，不妨试试裂项求和法解题．师：怎样裂项？师：先从通项入手进行分析，具有一般性，很好．分析裂项时，需师：由（*）式的变形过程可知4是由（4k-3）-（4k+1）得来的．观察数列1，5，9，13，…，4n-3，…是什么数列？生：公差为4的等差数列．生：凑的系数恰为数列1，5，9，…，4n-3，…的公差的倒数．师：能不能推广成更具一般性的结论？（学生讨论）生：如果{a n}为等差数列，d为公差，则师：这样就全面了．同学们得出具有共性的结论．我们要善于解题后回顾与反思，多题归一．当然，有的不具有此规律的分数数列裂项并师：怎样求得A，B，C？生：可用待定系数法．师：课后同学们可继续探讨．例4 求和S n=13+23+33+…+n3（n∈N+）．（学生议论）师：同学们还记得S n=1+3+5+…+（2n-1）=n2可用哪个图形表示出来吗？（学生甲在黑板上画出图形，如图6-2）师：对于S n=13+23+33+…+n3（n∈N+）同学们能否类似地用一图形表示并猜想其结果？（学生讨论，教师用实物投影展示学生乙的图形，图6-3）生乙：我也用一个正方形表示，左下角的第一格表示13，左下角除表示13的方格外的8个格表示23，左下角除表示13和23以外的27个格表示33，以此类推．前n个自然数的立方和S n为正方形中所有方格个数之和（1+2+3+…+n）2师：同学们借助几何图形及其性质，使问题变得直观、简单，猜想除了猜想一证明的方法外，还有没有其它方法？（稍微停顿）想想前n个自然数的平方和是怎样求出来的？生：用构造法．利用构造的恒等式（k+1）3-k3=3k2+3k+1（k∈N+）实现求和．师：对．当k取1，2，…，n时，得到n个恒等式，把这个n个恒等式两边分别相加，由于左边是两个连续自然数的立方差，叠加后式子左边消去了除（n+1）3与13以外的所有项，右边留下了我们需要的S n与可解决的自然数和以及n个常数1之和．构造恒等式的目的是为了把前n个自然数的平方和问题转化为前n个自然数和的问题．那么，对于前n个自然数的立方和问题又怎样转化呢？生：构造恒等式（k+1）4-k4=4k3+6k2+4k+1（k∈N+），当k取1，2，…，n 时，把n个式子叠加，使问题转化为前n个自然数的平方和与前n个自然数和的问题．师：很好．请同学们课后完成．我们把公式叫做自然数的方幂和公式．利用公式，我们又可以解决一类数列求和问题．例5 求和S n=1×2×3+2×3×4+…n（n+1）（n+2）．师：利用公式（1），（2），（3）可解决自然数的方幂和问题，对于各项为n个数的积的形式的数列怎样能实现求和？生：先分析数列的通项，最好是化为n个数的和或差的形式．（学生叙述，教师板书）例因为n（n+1）（n+2）=n3+3n2+2n，则S n=13+3×12+2×1+23+3×22+2×2+…n3+3n2+2n=（13+23…+n3）+3（12+22+…+n2）+2（1+2+…+n）师：请同学们归纳一下，利用公式（1），（2），（3）可解决哪类数列求和问题？生：如果数列{a n}的通项是关于n的多项式或通项可以转化为关于n的多项式就可以利用公式求数列的前n项的和．（三）小结师：数列求和是一个很有趣的问题．最基本的方法是：对于等差数列或等比数列求其前n项和，直接用前n项和公式求得，我们把这种方法叫做直接法．除直接法外，我们还应总结求一些特殊数列前n项和的间接方法．能举例吗？生：如这节课使用的逆序相加法，分组求和法，错项相减法，构造法等．师：使用这些具体方法的指导思想是什么？生：利用转化的思想，把一些既非等差数列又非等比数列的数列求和转化为等差数列或等比数列求和．师：我们可以把这些具体方法归纳为第一种间接求和法——转化求和法．也就是通过适当的变换，化归成等差数列或等比数列求和．还有什么方法？生：裂项求和法．师：如果一个数列的每一项都能排成两项之差，在求和中，一般除首末两项（也可能是首末若干项）外，其余各项先后抵消，那么这个数列前n项和就容易求出来了．在解决分数数列的求和问题时经常用到．师：我们把它归纳为第二种间接求和法——裂项求和法．还有其他方法吗？生：利用自然数的方幂和公式求和．师：对于通项是关于n的多项式或可化为关于n的多项式的数列可利用此公式求和．我们把它归纳为第三种间接求和法——利用自然数的方幂和公式求和．当然，对于某些数列的求和还可以用归纳-猜想-证明的方法，今后同学们可继续讨论．（四）布置作业A组（A组题检查教学目标是否达到，要求学生独立完成）B组（B组题供学有余力的学生使用）课堂教学设计说明在教学过程中，教师对学生进行必要的学法指导，使学生由“学会”到“会学”是课堂教学中实施素质教育的重要手段．这节课一开始的复习，不仅仅是复习旧知识，而且复习研究问题的方法，由此引入新课，让学生体会怎样学习．在学习裂项求和法时，用推导等差数列通项公式使用的叠加法与要解决的问题进行类比，引导学生发现解决新问题的办法，让学生体会类比的思维方法．在解完例3之后，教师引导学生把结论推广到一般情况，进行例题后的回顾与反思，让学生体验如何加强知识之间的联系，使认识不断升华．利用课堂小结将学生零散的知识系统化，并纳入到自己的认知结构中，与此同时，也培养了学生养成善于总结的良好学习习惯．总之，课堂教学中不失时机地对学生进行必要的学习方法指导，让学生学习“怎样思考”、“怎样学习”其意义远比学会知识本身深远得多．。
数列求和教案
数列求和教案数列求和是数学中常见的问题，可以用来加深对数列的理解和运算规律的掌握。
下面是一个关于数列求和的教案：教学目标：1. 了解数列求和的概念；2. 掌握常见数列的求和方法；3. 能够应用数列求和的方法解决实际问题。
教学重点：1. 数列求和的概念；2. 等差数列和等比数列的求和方法；3. 应用数列求和解决实际问题。
教学准备：1. 数列求和的教学课件；2. 相关的练习题目和解答；3. 板书工具。
教学过程：第一步：导入1. 利用一道简单的题目引入数列求和的概念，如：已知数列的前5项为1、3、5、7、9，求这5项的和。
第二步：讲解1. 介绍数列求和的概念和基本方法，引入等差数列和等比数列的求和公式；2. 通过一些例题，讲解等差数列和等比数列的求和公式的推导过程，并解释推导过程中的思路和方法；3. 引入数列求和的一般方法：根据题目中给出的数列规律，确定数列的通项公式或递推公式，进而应用相应的求和公式计算出数列的和；4. 强调数列求和中需注意的细节和常见错误，如求和的范围、数列的序号等。
第三步：练习1. 给学生分发练习题目，让学生独立完成，并及时批改；2. 在全班讲解练习题目的解答过程和方法，引导学生思考、探讨。
第四步：拓展1. 利用一些应用题目，引导学生将数列求和应用到实际问题中，如班级人数、得分等问题；2. 引导学生思考和总结数列求和的方法和技巧，以及数列求和的应用领域。
第五步：总结1. 总结数列求和的基本方法和注意事项；2. 给学生布置课后作业。
教学反思：通过本节课的教学，学生能够掌握数列求和的基本概念和方法，能够应用数列求和解决简单的问题。
同时，教师需要注意引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和主动性。
在教学过程中，学生的参与和互动也是非常重要的，可以通过小组合作、讨论等方式增加学生的活跃度和学习效果。
等差数列求和的教案
等差数列求和的教案【篇一：等差数列求和详细教案】【篇二：等差数列求和教案】等差数列求和教学目标1.通过教学使学生理解等差数列的前项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题.2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想.教学重点，难点教学重点是等差数列的前项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路. 教学用具实物投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法讲授法.教学过程一.新课引入提出问题（播放媒体资料）：一个堆放铅笔的v形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个v形架上共放着多少支铅笔？（课件设计见课件展示）二.讲解新课（板书）等差数列前项和公式1.公式推导（板书）问题（幻灯片）：设等差数列的首项为，公差为，由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.思路一：运用基本量思想，将各项用和表示，得，有以下等式，问题是一共有多少个，似乎与的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.思路二：上面的等式其实就是，，为回避个数问题，做一个改写，两式左右分别相加，得，于是有： .这就是倒序相加法. 思路三：受思路二的启发，重新调整思路一，可得，于是.于是得到了两个公式（投影片）：和 .2.公式记忆用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前项和的两个公式.3.公式的应用公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一.例1.求和：（1）；（2）（结果用表示）解题的关键是数清项数，小结数项数的方法.例2.等差数列中前多少项的和是9900？本题实质是反用公式，解一个关于的一元二次函数，注意得到的项数必须是正整数.三.小结1.推导等差数列前项和公式的思路；2.公式的应用中的数学思想.【篇三：等差数列求和教案】一、教学目标：等差数列求和教案知识与能力：通理解等差数列的前项和定义，理解倒序相加的原理，记忆两种等差数列求和公式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一：学习目标数列求和的常用. Nhomakorabea二：课前预习
1、已知数列 为等差数列， ，则
2、已知数列 ，则它的前n项和为_________________
3、数列 的前n项和为_________________
4、
5、数列 ，则它的前n项和为_____________
6、已知函数 的值为____
三：课堂研讨
例1、若 对一切正整数n都成立，求正整数 的最小值.
例2、等比数列{ }的前n项和为 ，（ ），点 均在函数 且 均为常数)的图象上.
（1）求r的值；（2）当b=2时，记 求数列 的前 项和
例3、数列
(Ⅰ)求 并求数列 的通项公式；
(Ⅱ)
设 ， , ，求使 的所有 的值，并说明理由
备注
课堂检测——数列求和姓名：
2．数列 前10项的和为．
3．数列 的通项 ，其前n项和为Sn，则S30＝．
4、 ，（其中 ， 是不为0的常数，且 ）
5、已知数列 的前n项和为 ，且
（1）求
（2）求
1．已知等差数列 的前n项和为 ,则数列 的前100项和为．
2．若 ，则 ．
3．化简： ．
4．数列 的通项公式 ,前n项和为Sn,则 ．
5.已知数列 的首项 ，通项 （ 为常数），且 成等差数列，求：（Ⅰ） 的值；（Ⅱ）数列 的前 项的和 的公式。
课外作业——数列求和姓名：
1．在等比数列{an}中，a1= ，a4=－4，则公比q=； ．