用积分法求图示各梁的挠曲线方程
材料力学第2版 课后习题答案 第7章 弯曲变形
250
−qx l⎞ ⎛ 9l 3 − 24lx 2 + 16 x 3 ) ⎜ 0 ≤ x ≤ ⎟ ( 384 EJ 2⎠ ⎝ − ql ⎛l ⎞ y2 = −l 3 + 17l 2 x − 24lx 2 + 8 x 3 ) ⎜ ≤ x ≤ l ⎟ ( 384 EJ ⎝2 ⎠
y1 =
41ql 4 ( x = 0.25l ) 1536 EJ 5ql 4 ⎛l⎞ y⎜ ⎟ = − 768EJ ⎝2⎠
习 题 7-1 用积分法求图示各悬臂梁自由端的挠度和转角，梁的抗弯刚度EI为常量。
7－1 （a） M( x) = M 0
∴ EJy '' = M 0 1 EJy ' = M 0 x + C EJy = M 0 x 2 + Cx + D 2 边界条件: x = 0 时 y = 0 ； y' = 0
代入上面方程可求得：C=D=0
（c）
l−x q0 l q0 1 3 ⎛l−x⎞ M ( x) = − q( x) ( l − x ) ⎜ ⎟ = − ( l − x) 2 6l ⎝ 8 ⎠ q 3 ∴ EJy '' = 0 ( l − x ) 6l q 4 EJy ' = − 0 ( l − x ) + C 24l q 5 EJy = 0 ( l − x ) + Cx + D 120l y = 0 ； y' = 0 边界条件： x = 0 时 q( x) =
）
（c）解：
q0 x l q x2 EJy ''' = 0 + C 2l q0 x3 '' EJy = + Cx + D 6l q x 4 Cx 2 EJy ' = 0 + + Dx + A 24l 2 q0 x5 Cx 3 Dx 2 ' EJy = + + + Ax + B 120l 6 2 ⎧y=0 ⎧y=0 边界条件： x = 0 ⎨ '' x = l ⎨ '' ⎩y = 0 ⎩y = 0 ql D=0 ∴C = − 0 6 7q l 3 A= 0 B=0 360 EJy '''' =
用积分法求梁的变形
M ( x) EI Z
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
o
M
M
x
o
x
d2y 0 2 dx
y y
M
d2y 0 2 dx
M
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
梁挠曲线近似微分方程
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
x0
x0
L b 3
1 L 2
一般认为梁的最大挠度就发生在跨中
b0
3 L 0.577 L 3
例题 5.4
画出挠曲线大致形状。图中C为中间铰。
F
A
两根梁由中间铰连接，挠曲线在 中间铰处，挠度连续，但转角不 连续。
1 2
1 2
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
y
A
C
B
x
C
B
tan
d dx
d dx
M ( x) EI Z dx C1
M ( x ) 在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线 在该截面处的切线斜率。 dx dx C1 x C2 EI Z
通过积分求弯曲位移的特征： 1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。
B
2M ( x ) d d Fx dx C C EI Fxdx EI C z 11 z 1 dx dx 2 EI Z
x
y
边界条件
2 3 Fx C xC Fx EI dx z 2 EI z 1 x C2 26 C1
材料力学习题解答(弯曲变形)
Pl 2
梁的挠曲线方程和转角方程是
D1 = 0
D2
=
−
1 24
Pl 3
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 2EEIvI2'v1'==P2P2xx2212−−PPlxlx2 1+
3 16
Pl
2
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 2EEIvI2v1==P6P6xx2313−−P2Pl2lxx2212+
3 16
Pl 2 x2
−
1 24
Pl 3
(6) 最大挠度和最大转角发生在自由端 令x2=l：
⋅a
=
−
qa4 3EI
上海理工大学 力学教研室
7
θB
= θ B(1)
+ θB(2)
+ θ B(3)
=
−
qa3 4EI
fB
=
f B (1)
+
fB(2)
+
f B ( 3)
= − 5qa4 24EI
7.10. 桥式起重机的最大载荷为 P=20 kN。起重机大梁为 32a 工字钢，E=210 GPa，l=8.7 m。 规定[f]=l/500，试校核大梁刚度。
⎪ ⎪⎩
M
2
(
x2
)
=
−
q
(l
− x2 2
∈
[
l 2
,
l
]
(2) 挠曲线近似微分方程
⎧ ⎪⎪
EIv1"
=
M1( x1)
=
− 3ql 2 8
+
ql 2
x1
⎨
⎪ ⎪⎩
EIv2"
=
M2(x2 )
材料力学(金忠谋)第六版答案解析第07章
习 题7-1 用积分法求图示各悬臂梁自由端的挠度和转角，梁的抗弯刚度EI 为常量。
7－1（a ） 0M()M x = ''0EJ M y ∴='0EJ M y x C =+ 201EJ M 2y x Cx D =++ 边界条件: 0x =时 0y = ；'0y = 代入上面方程可求得：C=D=0201M 2EJ y x ∴='01=M EJ y x θ= 01=M EJ B l θ 201=M 2EJ B y l（b ）222()1M()222q l x qx x ql qlx -==-+- 2''21EJ 22qx y ql qlx ∴=-+-3'2211EJ 226qx y ql x qlx C =-+-+422311EJ 4624qx y ql x qlx Cx D =-+-++边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C=D=04223111()EJ 4624qx y ql x qlx ∴=-+-'2231111=(-)EJ 226y ql x qlx qx θ=+-3-1=6EJ B ql θ 4-1=8EJB y ql（c ）()()()()()0303''04'050()1()()286EJ 6EJ 24EJ 120l xq x q lq l x M x q x l x l x l q y l x l q y l x Cl q y l x Cx Dl-=-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭∴=-=--+=-++边界条件：0x = 时 0y = ；'0y = 代入上面方程可求得：4024q l C l -= 50120q l D l=()455000232230120EJ 24EJ 120EJ(10105)120EJq q l q l y l x x l l l q x l l lx x l ∴=---+-=-+- 3024EJ B q l θ=- 4030EJB q l y =-(d)'''223()EJ 1EJ 211EJ 26M x Pa Pxy Pa Pxy Pax Px C y Pax Px Cx D=-=-=-+=-++ 边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C=D=023'232321112611253262B C C B y Pax Px EJy Pax Px EJ Pa Pa Pay y a a EJ EJ EJPa EJθθθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭⎛⎫==-⎪⎝⎭=+=+==(e)()()()21222''1'211231113()02()2223EJ 231EJ ()2231EJ ()46a M x q qax x a q M x a x a x a a y q qaxa y qa x x C a y qa x x C x D =-+≤≤=--≤≤=-+=-++=--+++ 边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C=D=0()()()22118492024EJ 12EJ qax qax y a x a x x a ∴=--=--≤≤''2223'222242232221EJ ((2)4)21EJ (42)2312EJ (2)2312y q a ax x x y q a x ax C x y q a x ax C x D =--+=--++=---+++边界条件：x a = 时 12y y = ；12θθ=代入上面方程可求得：2296a C = 4224qa D =-()()43223421612838464162384q y x ax a x a a a x a EJ-=-+-+≤≤43412476B B qa y EJqa EJθ=-=-(f)()()221222''212'231122341115()20225()2225251EJ 22251EJ 26511EJ 4324qa qx M x qax x a qa qa a M x qax x a x a a y q ax x a y q x ax x C a y q x ax x C x D =-+-≤≤⎛⎫=-+--≤≤ ⎪⎝⎭⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C 1=D 1=0''22'2222223222EJ (2)1EJ (2)21EJ ()6y q a ax y q a x ax C y q a x ax C x D =--=--+=---++ 边界条件：x a = 时 12y y = ； ''''12y y =3296a C =- 4224a D =-437124136B B qa y EJqa EJθ=-=-7-2 用积分法求图示各梁的挠曲线方程，端截面转角θA 和θB ，跨度中点的挠度和最大挠度，梁的抗弯刚度EI 为常量。
积分法计算梁的变形
积分法计算梁的变形
步骤：（EI为常量） 1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。 2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分
EIw(x) M (x)
EIw(x) M (x)dx C1 EIw (x) ( M (x)dx)dx C1x C2
积分法计算梁的变形
3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确
C1
C2
Fb 6L
(L2
b2 );
D1 D2 0
确定挠曲线和转角方程
w1
F b x1 6LEI
L2 b2 x12
w2
Fb 6LEI
L b
(x2
a)3
x23
(L2
b2
)x2
1
w1
Fb 6LEI
(L2 b2 ) 6x12
2
w2
Fb 2LEI
L b
(x2
a)2
x22
1 3
(L2
5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大 值、转角的最大值。
例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角( EI=常数）。
w
x
L
F
x
解：建立坐标系并写出弯矩方程
M (x) F(L x)
写出微分方程并积分 EIw FL Fx
EIw
FLx
1 2
Fx
2
C1
EIw
FLx2 2
Fx3 6
C1x
C2
EIw
q
确定积分常数
x =0 , w=0 ; x=L , w=0 .
C1
ql3 24,C2 0A NhomakorabeaB
L
最大挠度及最大转角
确定挠曲线和转角方程 w qx (l3 2lx2 x3 )
用积分法求图示各梁的挠曲线方程
解答
（a） ， ， ， 。
（b） ， 。
（c） ， ， ，
。
（d） ， ， ， 。
『7-5』求图示悬臂梁的挠曲线方程及自由端的挠度和转角。设EI=常数。求解时应注意到梁在CB段内无载荷，故CB仍为直线。
解答
解答
（a） ， 。
（b） ， 。
『7-8』用叠加法求图示各梁截面A的挠度和截面B的转角。EI为已知常数。
解答
（a） ， 。
（b） ， 。
（c） ， 。
（d） ， 。
『7-9』用叠加法求图示各外伸梁外伸端的挠度和转角。设EI=常数。
解答
（a） ， 。
（b） ， 。
（c） ， 。
（d） ， 。
『7-10』磨床砂轮主轴的示意图如图所示。轴的外伸段的长度a =100mm，轴承间距l = 350mm，E = 210GPa，Py = 600N，Pz = 200N，试求主轴外伸端的总挠度。
用积分法求图示各梁的挠曲线方程
『7-1』写出图示各梁的边界条件。在图（d）中支座B的弹簧刚度为C（N/m）。
『7-2』如将坐标系取为y轴向下为正（见图），试证明挠曲线的微分方程（7-1）应改写为
『7-3』用积分法求图示各梁的挠曲线方程及自由端的绕度和转角。设EIห้องสมุดไป่ตู้常数。
解答
（a） 。 （b） 。
（c） 。（d） 。
解答
（a） ， 。
（b） ， 。
『7-6』若只在悬臂梁的自由端作用弯曲力偶m，使其成为纯弯曲，则由 知 常量，挠曲线应为圆弧。若由微分方程(7-1)积分，将得到 。它表明挠曲线是一抛物线。何以产生这种差别？试求按两种结果所得最大挠度的相对误差。
昆明理工大学2022年[工程力学]考研真题
![昆明理工大学2022年[工程力学]考研真题](https://img.taocdn.com/s3/m/6ae035d0900ef12d2af90242a8956bec0975a5c0.png)
昆明理工大学2022年[工程力学]考研真题一、判断题1、若力系中各力的作用线在同一个平面内，该力系称为平面力系。
2、质点系动能的变化等于作用在质点系上全部外力所作的功之和。
3、纯弯曲的梁，横截面上只有剪力，没有弯矩。
4、应用平面任意力系的二矩式方程解平衡问题时，两矩心位置均可任意选择，无任何限制。
5、作用于刚体上的力可平行于作用线移到刚体上任一点。
6、线应变是构件中单位长度的变形量。
7、一般情况下，梁的强度由极限应力控制。
8、若物体内各点的应变均为零，则物体无位移。
9、连接件产生的挤压应力与轴向压杆产生的压应力是不相同的。
10、杆件整体平衡时局部不一定平衡。
11、静定对称截面梁，无论何种约束形式，其弯曲正应力均与材料的性质无关。
12、单元体切应力为零的截面上，正应力必有最大值或最小值。
13、梁的横截面上作用有负值弯矩，其截面中性轴上侧各点受到压应力作用，下侧各点受到拉应力作用。
14、空心圆杆受轴向拉伸时，在弹性范围内，其外径与壁厚的变形关系是外径增大且壁厚也同时增大。
15、低碳钢试件在拉断时的应力为其强度极限。
（）二、填空题1、受力物体上的外力一般可分为主动力和两大类。
2、杆件受到一对大小相等、转向相反、作用面与轴线垂直的外力偶作用时，杆件任意两相邻横截面产生绕杆轴相对转动，这种变形称为。
3、EA称为抗拉压刚度，反映了杆件抵抗变形的能力。
4、提高梁强度和刚度的主要措施有：、、。
5、组合受力与变形是指。
6、保持扭矩不变，长度不变，圆轴的直径增大一倍，则最大切应力τ是原来的倍，max单位长度扭转角是原来的倍。
7、圆截面梁，保持弯矩不变，若直径增加一倍，则其最大正应力是原来的倍。
8、两梁的几何尺寸和材料相同，按正应力强度条件，（B）的承载能力是（A）的倍。
(A) (B)9、梁的挠曲线近似微分方程的应用条件是。
10、平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：。
该力系中各力构成的力多边形。
11、只受两个力作用而处于平衡状态的构件，称为 。
梁的变形
第五章 梁的变形
1、简支梁承受集中力偶作用，如图所示。
梁的EI ＝常数，试用积分法求挠曲线方程，以及a θ、b θ和c y 、c θ。
2、高度分别为1h 和2h 的两块木板叠放在一起，承受均布载荷q 作用，如图所示。
试求两块木板中的最大弯曲应力之比。
3、由弯矩与曲率间的物理关系式，曲率与弯矩成正比，试问横截面的挠度和转角是否也与弯矩成正比，为什么?
4、若取坐标系如图所示，试写出转角与挠度间的关系，以及挠曲线的近似微分方程。
5、图示各梁，用积分法求其挠曲线方程时，试问在列各梁的挠曲线近似微分方程时应分几段，将分别出现几个积分常数，并写出其确定积分常数的边界条件。
6、试用积分法求图示悬臂梁的挠曲线方程，以及自由端的挠度和转角。
设梁的抗弯刚度EI为常数。
7、抗弯刚度分别为2EI和EI的变截面外伸梁及其承载如图所示，试用叠加原理求外伸端C的挠度和转角。
8、一长为l、抗弯刚度为EI的外伸梁，在其两外伸端分别受力P作用，如图所示，试求：
（1）当外伸端挠度等于梁中点挠度时的外伸部分长度及其挠度值。
（2）当梁中点挠度为最大时的外伸长度及最大挠度值。
9、抗弯刚度为EI的简支梁承受两个集中力P，如图所示，试求梁的最大挠度和最大转角．
10、抗弯刚度为EI 的外伸梁承受均布载荷q 作用，如图所示。
当梁内任一高度的纵向长度均不因弯曲变形而有所改变时，试求两支座间的距离为多大。
11、悬臂梁承受载荷如图所示．已知q ＝15kN/m ，a =1m ，E ＝200GPa 。
[σ]＝
160MPa ，[]500
l
f =（a l 2=），试选取工字钢的型号。
材料力学 积分法求梁的变形
M ( x ) = r EI Z 1
1 = ± r d 2 w dx 2 d w é 2 ù 1 + ( ) ê ú dx ë û
3
±
d 2 w dx 2 d w 2 ù é 1 + ( ) ú ê dx û ë
3
M ( x ) = EI Z
边界条件、连续条件应用举例
弯矩图分三段，共6 个积分常数需6个边界条 件和连续条件 A B
P C D
w
铰连接
ω A点： A = 0, q A = 0
B 点 ： w B 左 = w B 右
C点 ： w C左 = w C右
D点：w D = 0
q C 左 = q C 右
边界条件、连续条件应用举例
y
边界条件
3 qL C1 = 6 EI z
EI zw =
1 (L - x )4 + C q 1 x + C 2 24
x = 0 x = 0 x = L
q = 0 w = 0
qL3 q B = 6 EI z
q =-
3 qL C2 =24 EI z
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F A
a
q
B
EI z
L
共有四个积分常数
C
x
边界条件
x = a x = a + L
连续条件
w B = 0 wC = 0
y
x = a
w B1 = w B 2 q B1 = q B 2
例题 5.4 &
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
材料力学作业
2.图示结构中，若1、2两杆的EA相
同，则节点A的竖向位移AAy=,水
平位移*
3.a、b、c、
三种材料的应力应变曲线
如图所示
其中强度最高的材料
，弹性模量最小的材料
，塑性最好的材料
4.图示在拉力
的作用下的螺栓，已知材料
的剪切许用应力
LI是拉伸许用应力的0.6
bs
9.图示销钉的剪应为
EP
2
P
t=
;挤压应力；「
剪应力
F(A)4bp(
I.
ri+d2);
(B)4(丨很丄b
2
)P/(
的直径都为
二bs=p/(二dt/4)。
d,则两面三刀者中最大
2.低碳钢拉伸经过冷作硬化后，以下四
种指标中哪种得到提咼()
:
拉力作用，
错误的是()
(A)强度极限；
(B)比例极限；
(A)1-1
(C)断面收缩率；
(D)伸长率(延
伸
截面偏
率
2
10cm。当温度升高至 分的温度应力。钢材的
200GPa。
15在图示结构中，
T1=5C时被固定，杆件
2
A上=5cm ,A下=
T2=25C时，试求杆内各部
:.i =12.5X10-6C-1,E=
1,2两杆的抗拉刚度同为
330mm l=56mm,拉杆的许用应力
L- .1= 50MPa,
校核拉杆1的强度。
心受
/厂
—
)
。
拉；
1
3.图示等直杆，杆长为3a
，材料的抗拉刚度为
(B)2-2
EA，受力如图。杆中点横截面的铅垂位移为
材料力学简明教程(景荣春)课后答案第六章
( ) wA
= − q0l 4 30EI
↓
，θB
= q0l3 24EI
（顺）
讨论：请读者按右手坐标系求 wA ，θB 并与以上解答比较。
(c)
(c1)
解 图(c1)
( ) ∑ M B = 0 ， FC
= − Me l
↓
CA 段
M
=
−
Me l
x1
⎜⎛ 0 ⎝
≤
x1
<
l 2
⎟⎞ ⎠
AB 段
M
=
−
Me l
l 2
≤
x2
≤
l ⎟⎞ ⎠
Ew1′′
=
3 8
qlx1
−
1 2
qx12
EIw1′
=
3 16
qlx12
−
1 6
qx13
+
C1
EIw1
=
1 16
qlx13
−
1 24
qx14
+
C1 x1
+
D1
EIw′2′
=
3 8
qlx2
−
ql 2
⎜⎛ ⎝
x2
−
l ⎟⎞ 4⎠
EIw′2
=
3 16
qlx22
−
ql 4
⎜⎛ ⎝
x2
24
EIw′(l) = 0 ，− q l 3 + 3Al 2 + 2Bl = 0
6
解式（a），（b）得
A = ql ， B = − ql 2
12
24
即挠曲线方程为
EIw = − q x4 + ql x3 − ql 2 x2 24 12 24
7章习题解材料力学课后习题题解
1 3 2 2 1 l 3 EIy2 qlx ql x q x C2 x D2 12 16 24 2
4
1 2 3 2 qlx ql x C1 4 8 1 3 EIy1 qlx 3 ql 2 x 2 C1 x D1 12 16 EIy1
M =3ql /8 A
2
q B C x
ql/2 y
x1 x2 l/2
(b)
l/2
1 3 2 M1 ( x) qlx ql EIy1 2 8 1 2 3 2 qlx ql x C1 EIy1 4 8 1 3 2 2 3 EIy1 qlx ql x C1 x D1 12 16
3
2
代入积分常数可得：
13ql C y(l ) 48EI
4
M =5ql /8
A
2
q
B x1 x2 l/2
(b)
ql/2
C
71ql yC y (l ) 384 EI
4
ql
l/2
补例：采用叠加法求梁截面C处的挠度yC和转角 。梁的抗弯 刚度EI为常数。 q ql/2 解：分为图示两种荷载 B 单独作用的情况 C A
3
A
yC
l/2
(b)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l/2
q
B C
A
l/2 l/2
θB
yB
y C1
ql/2
B
A
l/2 l/2
C
y C2
7.2（d）试用积分法求图示梁 C 截面处的挠度yC和转角θC 。 梁的抗弯刚度EI为常数。 q qa 解：支座反力如图， A B 本题应分3段建立 C 挠曲近似微分方程。 3qa/ 4 5qa/ 4 ( d ) 因此，写出3段弯矩 x1 x2 方程为：
第06章弯曲变形题解
第6章 弯曲变形习题解答6-1 用直接积分法求下列各梁的挠曲线方程和最大挠度。
梁的抗弯刚度EI 为已知。
（a ）解：（1）弯矩方程 0≤ x ≤l+aM (x )=qlx －qx 2/2+q<x-l>2/2-ql 2/2（2）积分 EI θ (x )= qlx 2/2－qx 3/6+q<x-l>3/6-ql 2x /2+CEI ν(x )= qlx 3/6－qx 4/24+q<x-l>4/24-ql 2x 2/4+Cx+D （3）定常数x = 0 θ = 0 → C = 0 x = 0 ν= 0 → D = 0νmax =ν B =)341(84laEI ql +-(↓)（b ）解：（1）支反力 F A = M o / l (↑), F C =－M o / l (↓) （2）弯矩方程 0≤ x ≤ 4l/3M (x )= M o x / l －M o <x-l> / l （3）积分EI θ (x )= M o x 2 / 2l － M o <x-l>2 /2 l +CEI ν(x )= M o x 3 / 6l － M o <x-l>3/6 l +C x+D （4）定常数x = 0 ν= 0 → D = 0x = l ν= 0 → C =－M o l /6νmax =ν B =EIl M o 62(↑)6-2 写出下列各梁的边界条件，并根据弯矩图和支座情况画出挠度曲线的大致形状。
解：x = 0 ν= 0 x = a ν= 0x = l ν= ∆k = M o / lk x = 3a ν= ∆l = Fa /2EA(b) ν(b) (a)x = 0 θ = 0 x = 0 ν= 0 x = 0 ν=0 x = 3a ν= 0x = 0 ν= 0 x = 0 ν= 0 , θ = 0x =2a ν=0 x = 2a ν= 06-3 用叠加法求下列各梁C 截面的挠度和B 截面的转角。
材料力学刘德华版课后习题答案word版
试求图示杆件各段的轴力，并画轴力图。
已知题图中各杆的直径d =20mm，F =20kN，q =10kN/m，l =2m，求各杆的最大正应力，并用图形表示正应力沿轴线的变化情况。
答（1），（2），（3），（4），（5）一正方形截面的阶梯柱受力如题图所示。
已知：a=200mm，b=100mm，F=100kN，不计柱的自重，试计算该柱横截面上的最大正应力。
解：1-1截面和2-2截面的内力为：FN1=-F；FN2=-3F相应截面的应力为：最大应力为：钢杆受轴向外力如图所示，横截面面积为500mm2，试求ab斜截面上的应力。
解： FN=20kN图示钢杆的横截面积 A=1000mm2，材料的弹性模量E=200GPa，试求：（1）各段的轴向变形；（2）各段的轴向线应变；（3）杆的总伸长。
解：轴力图如图所示图示结构中，五根杆的抗拉刚度均为EA，杆AB长为l，ABCD 是正方形。
在小变形条件下，试求两种加载情况下，AB杆的伸长。
解（a）受力分析如图，由C点平衡可知：F’AC=F’CB=0；由D点平衡可知： F’AD=F’BD=0；再由A点的平衡：因此（b）受力分析如图，由C点平衡可知：再由A点的平衡：因此图示结构中，水平刚杆AB不变形，杆①为钢杆，直径d1=20mm，弹性模量E1=200GPa；杆②为铜杆，直径d2=25mm，弹性模量E2=100GPa。
设在外力F=30kN 作用下，AB杆保持水平。
（1）试求F力作用点到A端的距离a；（2）如果使刚杆保持水平且竖向位移不超过2mm，则最大的F应等于多少？解：受力分析如图d1=20mm，E1=200GPa；d2=25mm，E2=100GPa。
图示结构中，AB杆和AC杆均为圆截面钢杆，材料相同。
已知结点A无水平位移，试求两杆直径之比。
由两杆变形的几何关系可得图示结构中，杆①和杆②均为圆截面钢杆，直径分别为d1=16mm，d2=20mm ，已知F=40kN ，刚材的许用应力[σ]=160MPa，试分别校核二杆的强度。
材料力学作业
材料力学作业Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】第一章 绪论1. 试求图示结构m-m 和n-n 两截面上的内力，并指出AB 和BC 两杆的变形属于何类基本变形。
2. 拉伸试样上A ，B 两点的距离l 称为标距。
受拉力作用后，用变形仪量出两点距离的增量为mm l 2105-⨯=∆。
若l 的原长为l ＝100mm ，试求A 与B 两点间的平均应变m ε。
第二章 轴向拉伸和压缩与剪切 一、选择题１.等直杆受力如图，其横截面面积Ａ＝１００2mm ，则横截面ｍｋ上的正应力为（ ）。
（Ａ）５０ＭＰａ（压应力）； （Ｂ）４０ＭＰａ（压应力）； （Ｃ）９０ＭＰａ（压应力）； （Ｄ）９０ＭＰａ（拉应力）。
2.低碳钢拉伸经过冷作硬化后，以下四种指标中哪种得到提高( )： （Ａ）强度极限； （Ｂ）比例极限；（Ｃ）断面收缩率； （Ｄ）伸长率（延伸率）。
3.图示等直杆，杆长为3a ，材料的抗拉刚度为EA ，受力如图。
杆中点横截面的铅垂位移为（ ）。
（Ａ）0；（Ｂ）Pa/(EA);（Ｃ）2 Pa/(EA);（Ｄ）3 Pa/(EA)。
4.图示铆钉联接，铆钉的挤压应力bs σ是（ ）。
（A ）2P/（2d π）； （B ）P/2dt;(C)P/2bt; (D)4p/(2d π)。
5.铆钉受力如图，其压力的计算有（ ）（A ）bs σ=p/(td);(B)bs σ=p/(dt/2);(C)bs σ=p/(πdt/2);(D)bs σ=p/(πdt/4)。
6.图示A 和B 的直径都为d,则两面三刀者中最大剪应力为（ ）(A)4bp/(2d απ); (B)4(αb +)P/(2d απ); (C)4(a b +)P/(2b d π); (D)4αP/(2b d π). 7.图示两木杆（I 和II ）连接接头，承受轴向拉力作用，错误的是( ).（A ）1-1截面偏心受拉； （B ）2-2为受剪面；（C ）3-3为挤压面； （D ）4-4为挤压面。
材料力学复习题
第一章绪论1. 试求图示结构m-m和n-n两截面上的内力，并指出AB和BC两杆的变形属于何类基本变形。
2. 拉伸试样上A，B两点的距离l称为标距。
受拉力作用后，用变形仪量出两点距离的增量为mml2105-⨯=∆。
若l的原长为l＝100mm，试求A与B两点间的平均应变mε。
第二章轴向拉伸和压缩与剪切一、选择题１.等直杆受力如图，其横截面面积Ａ＝１００2mm，则横截面ｍｋ上的正应力为（）。
（Ａ）５０ＭＰａ（压应力）；（Ｂ）４０ＭＰａ（压应力）；（Ｃ）９０ＭＰａ（压应力）；（Ｄ）９０ＭＰａ（拉应力）。
2.低碳钢拉伸经过冷作硬化后，以下四种指标中哪种得到提高( )：（Ａ）强度极限；（Ｂ）比例极限；（Ｃ）断面收缩率；（Ｄ）3.图示等直杆，杆长为3a，材料的抗拉刚度为EA，受力如图。
杆中点横截面的铅垂位移为（）。
（Ａ）0；（Ｂ）Pa/(EA); （Ｃ）2 Pa/(EA);（Ｄ）3 Pa/(EA)。
4.图示铆钉联接，铆钉的挤压应力bsσ是（）。
（A ）2P/（2d π）； （B ）P/2dt; (C)P/2bt; (D)4p/(2d π)。
5.铆钉受力如图，其压力的计算有（ ）（A ）bs σ=p/(td);(B)bs σ=p/(dt/2);(C)bs σ=p/(πdt/2);(D)bs σ=p/(πdt/4)。
6.图示A 和B 的直径都为d,则两面三刀者中最大剪应力为（ ） (A)4bp/(2d απ); (B)4(αb +)P/(2d απ); (C)4(a b +)P/(2b d π); (D)4αP/(2b d π).7.图示两木杆（I 和II ）连接接头，承受轴向拉力作用，错误的是( ).（A ）1-1截面偏心受拉； （B ）2-2为受剪面；（C ）3-3为挤压面； （D ）4-4为挤压面。
二、填空题1.低碳钢的应力一应变曲线如图所示。
试在图中标出Ｄ点的弹性应变e ε、塑性应变p ε及材料的伸长率（延伸率）δ。
概述梁的挠曲线近似微分方程及其积分用积分
y
a
P
A x1
C
x2
L
x B
EIw
0
P(a
x1)
(0 x1 a) (a x2 L)
EIw
P 2
x12
Pax1
C1
C2
EIw
P
6
x13
Pa 2
x12
C1x1
D1
C2 x2 D2
确定积分常数 边界条件
EI 0 x1 0
EI w 0 x1 0
C1 0 D1 0
连续性条件
当 x1 x2 a 时，
讨论题：指出下列梁的边界条件。
q
q
A
A
B
a
l
a
B L
连续性条件: 挠曲线上任意点有唯一确定的挠度和转角。 若连续性条件不满足，则挠曲线就不连续(图a)和不光滑(图b)。
A
C
B
A
C
B
（图a）
（图b）
对上述梁：
边界条件： wA 0, wB 0
连续性条件： wC左 wC右 , C 左 C 右
挠曲线近似微分方程
(x2 )
dw(x2 ) dx2
Pa 2 2EI
y
a
P
C
Bx
C wB
L
例2 求图示梁自由端的转角和挠度。
P
EI
2EI
解： 建立坐标系并写出弯矩方程
A x1
B x2 C
a
a
AB段 (0 x1 a)
M 1 Px1
BC段 (0 x2 a)
M 2 P(a x2 )
写出挠曲线微分方程并积分
AB段 EIw1 M1 Px1
3 2EI
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用积分法求图示各梁的挠曲线方程第[1][2]页
共20题『7-1』写出图示各梁的边界条件。
在图（d）中支座B的弹簧刚度为C（N/m）。
『7-2』如将坐标系取为y 轴向下为正（见图），试证明
挠曲线的微分方程（7-1）应改写为
『7-3』用积分法求图示各梁的挠曲线方程及自由端的绕度和转角。
设EI=常数。
解答
（a）。
（b）。
（c）。
（d）。
『7-4』用积分法求图示各梁的挠曲线方程、端截面转角和、跨度中点的挠度和最大挠度。
设EI=常量。
解答
（a），，，。
（b），。
（c），，，。
（d），，，。
『7-5』求图示悬臂梁的挠曲线方程及自由端的挠度和转角。
设EI=常数。
求解时应注意到梁在CB 段内无载荷，故CB 仍为直线。
解答
（a），。
（b），。
『7-6』若只在悬臂梁的自由端作用弯曲力偶m，使其成为纯弯曲，则由知常量，挠曲线应为圆弧。
若由微分方程(7-1)积分，将得到。
它表明
挠曲线是一抛物线。
何以产生这种差别？试求按两种结果所得最大挠度的相对误差。
解答
相对误差为：。
『7-7』用积分法求梁的最大转角和最大挠度。
在图b的情况下，梁对跨度中点对称，所以可以只考虑梁的二分之一。
解答
（a），。
（b），。
『7-8』用叠加法求图示各梁截面 A的挠度和截面B 的转角。
EI为已知常数。
解答
（a），。
（b），。
（c），。
（d），。
『7-9』用叠加法求图示各外伸梁外伸端的挠度和转角。
设EI=常数。
解答
（a），。
（b），。
（c），。
（d），。
『7-10』磨床砂轮主轴的示意图如图所示。
轴的外伸段的长度 a =100mm，轴承间距l = 350mm，E = 210GPa，P y = 600N，P z = 200N，试求主轴外伸端的总挠度。
解答
.。