证明函数不等式的六种方法

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由于 （ ! "）在 ［$， ’ ］上具有二阶导数， （ ! "）
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), ，其中 ) # !/0 !’ （ "） 。 $ ,",, +
+
在 " # 0 点可展开到一阶泰勒公式： （ ! "） # （ ! 0）+ !’ （ 0） （ " & 0）+
将上述两式相减， 得 ’ + （ ! ’）&（ ! $）# !’ （ 0）+ ［ !（ !+ ） （’ & 0） & !（ !’ ） 0+ ］ 。 +！ 于是， !’ （ 0） # （ ! ’ ）& （ ! $ ）&
（ ! "） # （ ! "$ ）+ !’ （ "$ ） （ " & "$ ）+ …+
证明 (
由于 !’ （ "）在闭区间 ［$， ,］上连续， !’ （ "）
在 ［$， ,］上的最大值一定存在， 即 ) 一定存在。 （$， ,］ ， 由微分中值定理有 任取 " & （ ! "）& （ ! $ ） # !’ （ !） "，! & （$， "） 。 ! $ ） # $ ，故 （ ! "） # !’ （ !） "，" & （$， ,］ 。 因为 （ 于是， （ ! "） ." #
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（ $ % !’ % 0 % ’ ） ； 在式 （ $）中令 " # ’ ， 则有 （ ! ’） # （ ! 0）+ !’ （ 0） （ ’ & 0）+
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利用泰勒公式证明
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由积分基本性质， 并考虑到 / , ,-. !( 有 （ )） ， ! ) &
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利用微分中值定理证明
若（ ! "）& （ ! "$ ） # !’ （ !） （ " & "$ ） （ "$ % ! %
证明函数不等式的六种方法
孟赵玲， 叶侠娟
（ 北京印刷学院 基础部，北京 !>"C>> ）
# # 摘# 要：证明函数不等式有多种方法， 主要讨论了利用函数增减性、 函数的最值、 微分中 值定理、 泰勒公式、 函数的凹凸性及牛顿—莱布尼兹公式证明等方法， 可供教学参考。 关键词：高等数学； 函数不等式； 教学研究 中图分类号： F!A" ； 8C$"G ># # # # 文献标识码： 0
,#" ,#" & ,#’ # #（ ,#"） ’* " &’ " &’ ’ % ! % " 或 " % ! % ’。 其中， 所以， 总有 $ % ! % ’ + "， 即 当 " $ $ 时， 有
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利用泰勒公式证明函数不等式， 主要有两步： （’）找一个函数（ ! "） ， 选一个展开点 "$ ， 然后写 ! "）在 "$ 处的带有拉格朗日余项的泰勒公式； 出（ （ + ）对 ! & （ ,， /）进行放缩。 例 2( 设函数（ ! "） 在 ［$， ’］ 上具有二阶导数， 且满足条件 （ ! "） , ,， !（ "） , /， / 都是非负常数， 0是 （$， ’ ）内任意一点， 试 其中 ,， 证明 !’ （ 0） , + , + 证明 ( / 。 +
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利用牛顿 — 莱布尼兹公式证明
（ ! )） , （ ! )! ）" （ .） *.% （ ) - ) ） 。 ! !(
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利用函数的凹凸性证明
设（ ! )） 在 （ &， ’） 有定义， 若对于任意的 )， *&
’- ) * & ’-* ) 。 * ) $ ) * # （ ) $ * $ 1） 。 用函数单调性证明不等式， 有规范操作步骤： （ ! ）找一个函数 （ ! "） ， 研究 !% （ "）的正负； ! "）的起点或终点时的值。 （ " ）找 （ （ 当函数不单调时） 利用函数最值判定
（ !% （ "）不恒为零） ，则因（ ! "）单调增而有（ ! "） $ （ 。 ! "> ） # ># （ " $ "> ） 若（ ! "> ） # > ， 而当 " & "> 时 !% （ "） （ "） , >（ !% ! "） 单调减而有（ ! " ）$ （ ! " > ）# 不恒为零） ，则因（ ># （ " & "> ） 。 例 !# ! ! 试证明不等式 ’（! ’ ） $ " ! ’" （> & " & ’ H ） 。 证明 # 记# （ ! "） # ’（! ’ ! ! ）( ! ’" " （> & " & ’ H ） ， 有 ! !% （ "） # ( " & > ， （ " ! ’ "） ! ! ）( ］# > " ! ’"
# #
函数不等式的证明题是一类常见的题型， 不
例 "# 证明 #
设 ) $ * $ 1， 试证明 * ) $ ) * 。 ’-" ， # "& （ 1，’ H ）。 "
管本科高等数学考试、 市级高等数学竞赛， 还是研 究生入学考试， 都少不了这类试题。 为此， 特归纳出 证明函数不等式的六种方法。
设（ ! "） #
$ ,
其中， ， $ % # % ’。 ! # 0+（ # " & 0） 在式 （ $）中令 " # $ ， 则有 （ ! $） # （ ! 0）+ !’ （ 0） （ $ & 0）+
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第O期
% % % % % % % % % % % 孟赵玲， 叶侠娟：证明函数不等式的六种方法
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（ ! !） "
% % （ 上接第 2"
+$$* 年
值必在端点取得： ! !"# （ "） # （ ! $） # （ ! % & ’） # $。 因此， （ ! "）+ $ ( （ $ , " , % & ’ ） ， （ ! "） $ $ （ $ % " % % & ’ ） 。
例 1( 证明 (
设"& （$， ’） ， 试证明
+ ,#（ ’ + " ） % "+ 。 （ ’ + "）
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# #
若 =2-（ ! "）+ > ，则 （ ! "）+ > 。 若 =.I（ ! "）, > ，则 （ ! "）, > 。 例 E# 试证明当 > & " & 1 K ! 时， ’（ ! ’ "） $ " 。 1 K! " ， 1 K!
因此， （ ! "）在 （ > ，’ H ）上单调减少， 由
第 !" 卷# 第 $ 期 %&’( !"# )&( $
北 京 印 刷 学 院 学 报 *&+,-.’ &/ 01232-4 5-6727+71 &/ 8,.9:2; <&==+-2;.72&-
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’ # （ " $ %） " %# ］ 。 & " ［ # 又因 故 %& （!， "） ， （ " $ %） " % , " ， ’ !( （"） , #& " 。 #
" +’ $ ’。 于是， ! " +’ & ’］ + $。 !
用微分中值定理证明不等式， 难点在于取什么 函数使用微分中值定理。 若能找到适当函数， 那么 是比较方便的。 ! "） 的导函数 !’ （ "） 在 ［$， ,］ 连 例 -( 设函数（ 续， 且（ ! $） # $， 试证明 ! "） ." , !（
续， 且（ ! !） , !， 试证明
!
（ &， ’） ， ) + *， 以及任意的 "， （!， "） ， #& " " # , "， 都有 （ ! ") " #*） + "（ ! )）" #（ ! *） ， （ $） 则称 （ ! )）在 （ &， ’）是凹的； 若式 （ $）中不等号相 反， 则称 （ ! )）是凸的。 例 &% 证明 % 即 设 )， * - !， "， # - ! 且 " " # , "， " # 试证明 ) * + ") " #*。
I- JH
证明 #
设（ ! "） # ’（ ! ’ "）(
’2= （ ! "） # ’2= ［ ’（! ’
I- JH
!% （ "） # 那么，
! ! （ 1 K " ）( " ( # 。 ! ’ " 1 ( ! （ 1 K !） （ ! ’ "）
可见， 对于任意 > & " & ’ H ， （ ! "） $ > ， 即 ’（! ’
! /)*) , /#& 。
!
&
亦即要证 （ ! )） , ’() 是凸的。 这在直观上是明显 的， 也容易由 !# （ )）看出： " + !。 )#
函数不等式的证明到底该用哪一种方法， 应根 据题意具体选定。
!# （ )） , $ 参考文献：
［"］ 同济大学数学教研室/ 高等数学 ［ 0］ / 北京： 高等教育出版社， "++)/ ［#］ 胡金德， 张元德， 陈% 魁/ 工学硕士研究生入学考试数学复习指导 ［ 0］ / 北京： 清华大学出版社， "++1/
# # 收稿日期： ">>$@>A@>B
!% 在 （>， 1 K ! ）不保持同一符号， 即 ! 不单调。 " # 1 K " 是唯一驻点， 且 !% 在这点由正变负， " # 1 K"是 ! "）在 ［>， 1 K ! ］上的最小 极大点也是最大点， 故（
! ! ）$ 。 " ! ’"
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