数列的单调性与最值教程文件

2.邻项比较法
对于n ? N? 若an ? an?1,则｛an｝递增； 若an ? an?1,则｛an｝递减。
见《优化方案》例4
[针对训练 ]
???3－a?x－3 ?x≤7?，
(2013·太原调研
)设函数
f(x)＝
?
??ax－6
?x>7?，
数列{an}满
足an＝f(n)，n∈N＋，且数列 {an}是递增数列，则实数 a的取值范 围是 ________ ．
52.
又 n∈N*，∴n＝2 或 n＝3 时，an 有最小值，
或运用方程的性质去观察、分析、解决问题． 函数与方程的思想，要求我们学会用函数和变量来思 考， 学会转化已知与未知的关系．
已知数列{an}中，a1＝1，且点 P(an，an＋1)(n∈N*)在 直线 x－y＋1＝0 上．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若 bn＝n＋1 a1＋n＋1 a2＋n＋1 a3＋…＋n＋1 an(n∈N，且 n ≥2)，求数列{bn}的最小项； (3)设 cn＝a1n，Sn 表示数列{cn}的前 n 项和．试问：是否存在 关于 n 的整式 g(n)，使得 S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1＝(Sn－
例如：如图所示。
an
an
1 2 3 4 5n
递增数列
1 2 3 4 5n
递减数列
所以如果用这种方法，在运用函数单
调性时，最好要把函数图象画准确，避免 出现偏差。
[典例] 已知数列 {an}满足 a1＝33，an＋1－an＝2n，则ann的最
小值为
()
17
21
A. 2
B. 2
C．10
Baidu Nhomakorabea
D．21
[解析] 由已知条件可知：当 n≥2时，
三、解答题
10．已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值． (1)由 n2－5n＋4＜0，解得 1＜n＜4.
∵n∈N*，∴n＝2，3.∴数列中有两项 a2，a3 是负数． (2)∵an＝n2－5n＋4＝(n－52)2－94的对称轴方程为 n＝
D
二、填空题
7．若数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2－10n (n＝1，2，3，…)， 则此数列的通项公式为 an＝________；数列{nan}中数值最
小的项是第________项．
当 n≥2 时，Sn－Sn－1＝2n－11，n＝1 时也符合，则 an＝2n－11，∴nan＝2n2－11n＝2(n－141)2－1821，且 n∈N*， 故当 n＝3 时，nan最小．
数列的单调性与最值
一、数列单调性判断的方法 1.函数图象法 2.邻项比较法
1.函数图象法：
通过观察函数图象、或求导数等方法，判断 出函数的单调性，然后利用函数单调性得数 列的单调性。
即： f (x)在[1,?? )单调递增 ? an ? f (n)是递增
注意：
f (x)在[1,?? )单调递增 ? an ? f (n)是递增
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝33＋2＋4＋…＋2(n－1)
＝ n2－n＋ 33，又 n＝ 1时， a1＝ 33适合，
∴an＝n2－n＋33. 又ann＝n＋3n3－1， 令f(n)＝n＋3n3－1，f(n)在[1,5]上为减函数， f(n)在[6，＋∞)上为增函数，又f(5)＝553，f(6)＝221， 则f(5)>f(6)，故f(n)＝ann的最小值为221，故选B. [答案] B
1)·g(n)对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立？若存在， 写出 g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由 .
(1)由点 P(an，an＋1)在直线 x－y＋1＝0 上，即 an＋1 －an＝1，且 a1＝1，数列{an}是以 1 为首项，1 为公差的等 差数列，an＝1＋(n－1)·1＝n.
的最小值为 81.
C
6．已知数列{an}的通项 an＝n2(7－n)(n∈N*)，则 an 的
最大值是( )．
A．36
B．40
C．48
D．50
设 f(x)＝x2(7－x)＝－x3＋7x2，当 x>0 时，由 f′
(x)＝－3x2＋14x＝0 得，x＝134.
当 0<x<134时，f′(x)>0，则 f(x)在(0，134)上单调递增； 当 x>134时，f′(x)<0，f(x)在(134，＋∞)上单调递减．所 以当 x>0 时，f(x)max＝f(134)．又 n∈N*，4<134<5，a4＝48， a5＝50，所以 an 的最大值为 50.
由?????aann≥ ≥aann－＋11， ， n
解出 n，
得在局部较大项，然后跟 a1 比较，可得最大项。
（1）求数列的最大项。设数列中除 a1 外最大项为第 n 项
由?????aann≥ ≥aann－＋11， ， n
解出 n，
得在局部较大项，然后跟 a1 比较，可得最大项。
（2）求数列的最小项。设数列中除 a1 外最小项为第 n 项
解析：∵数列 {an}是递增数列，又 an＝f(n)(n∈N＋)，
??3－a>0， ∴?a>1，
??f?8?>f?7?
? 2<a<3.
答案： (2,3)
二、求数列的最大项、最小项的方法
1.函数图象法
利用对应的函数图象求最值项．
2.单调性法
先判断出数列的单调性，再求最值项。
3.邻项比较法
（1）求数列的最大项。设数列中除 a1 外最大项为第 n 项
2n－11 3 8．若 f(n)为 n2＋1(n∈N*)的各位上的数字之和，如 142 ＋1＝197，1＋9＋7＝17，则 f(14)＝17，记 f1(n)＝f(n)， f2(n)＝f[f1(n)]，fk＋1(n)＝f[fk(n)](k∈N*)，则 f2013(8)＝
________.
f1(8)＝11，f2(8)＝f[f1(8)]＝f(11)＝5，f3(8)＝f[f2(8)] ＝f(5)＝8，以 3 为周期出现循环，故 f2013(8)＝f3(8)
由???
??
an an
≤ ≤
an an
－1， ＋1，
?n≥
2?
解出
n，得在局部较小项，然后跟
a1 比
较，可得最小项。
( )．
A．83 B．82
C．81 D．80
因为 an＝log3n＋n 1＝log3n－log3(n＋1)，
又 Sn ＝ log31 － log32 ＋ log32 － log33 ＋ … ＋ log3n － log3(n＋1)＝－log3(n＋1)<－4，解得 n>34－1＝80，所以 n