2二次曲面分类简介

a`12 a22 a23 b2
a13 a23 a33 b3
b1 x b2 y b3 z c 1
x
y
x y z 1 A z 1
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用不变量判断二次曲面类型
(x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy
c13 x c23 y . c33 z
其中 (c11, c21, c31), (c12, c22, c32), (c13, c23, c33) 分别 为新坐标向量e1, e2, e3 在原坐标系 I 中的坐标.
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空间直角坐标变换
1
2
2
3 3
3
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1 1
2
空间直角坐标变换
则转轴公式为:
或
ห้องสมุดไป่ตู้
x x cos 1 y cos 1 z cos 1 y x cos 2 y cos 2 z cos 2 z x cos 3 y cos 3 z cos 3 x cos 1 cos 1 cos 1 x y cos 2 cos 2 cos 2 y z cos cos cos z 3 3 3
记 F(x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2b1x + 2b2y + 2b3z + c
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用不变量判断二次曲面类型
则
F ( x, y , z ) x
y
a11 a12 z 1 a13 b 1
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二次曲面的类型
吕林根《解析几何》P278. 定理6. 6. 2 适当选取坐标系, 二次曲面的方程 总可化为下列十七个标准方程之一: (一) 椭球面 2 2 2 x y z 2 2 1; [1] 椭球面: 2 a b c 2 2 2 x y z [2] 点: 2 2 0; 2 a b c 2 2 2 x y z 2 2 1; [3] 虚椭球面: 2 a b c
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空间直角坐标变换
过渡矩阵的性质 1. 过渡矩阵是可逆矩阵. 2. 设有三个仿射坐标系 I, I, I, I 到 I 的过渡 矩阵为C, I 到 I 的过渡矩阵为D, 则 I 到 I 的 过渡矩阵为CD. 3. 若 I 到 I 的过渡矩阵为 C, 则 I 到 I 的过渡 矩阵为 C 1. 4. 两个直角坐标系之间的过渡矩阵是正交矩阵.
x
y
用不变量判断二次曲面类型
记 F1(x, y, z) = a11x + a12y + a13z + b1 F2(x, y, z) = a12x + a22y + a23z + b2 F3(x, y, z) = a13x + a23y + a33z + b3 F4(x, y, z) = b1x + b2y + b3z + c 则 F(x, y, z) = xF1(x, y, z) + yF2(x, y, z) + zF3(x, y, z) + F4(x, y, z)
则 + 2a13xz + 2a23yz a11 a`12 a13 x z a12 a22 a23 y a z 13 a23 a33 x z A0 y z
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( x, y , z ) x y
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二次曲面的类型
二次曲面的类型 吕林根《解析几何》P275. 定理6. 6. 1 适当选取坐标系, 二次曲面的方程 总可化为下列五个简化方程之一: (I) a11x2 + a22y2 + a33z2 + c = 0, a11a22a33 0; (II) a11x2 + a22y2 + 2b3z = 0, (III) a11x2 + a22y2 + c = 0, (IV) a11x2 + 2b2y = 0, (V) a11x2 + c = 0, a11a22b3 0; a11a22 0; a11b2 0; a11 0.
补充 二次曲面的一般理论
空间直角坐标变换
二次曲面方程的化简 应用不变量判断二次曲面的类型
二次曲面的仿射特征和度量特征
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空间直角坐标变换
空间仿射坐标变换公式 向量的坐标变换公式: I 到 I 的过渡矩阵
x c11 x c12 y c13 z x c11 c12 y c21 x c22 y c23 z , y c21 c22 z c31 x c32 y c33 z z c 31 c32
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二次曲面的类型
(二) 双曲面 [4] 单叶双曲面: [5] 双叶双曲面: (三) 二次锥面 [6] 二次锥面: (四) 抛物面 [7] 椭圆抛物面:
x2 y2 z 2 2 2 1; 2 a b c 2 2 2 x y z 2 2 1; 2 a b c x y z 2 2 0; 2 a b c x2 y2 2 2 z; 2 a b
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用不变量判断二次曲面类型
二次曲面的不变量 I1 = a11 + a22 + a33,
a11 I2 a12
a12 a11 a22 a13
a12 a22 a23
a13 a22 a33 a23
a23 , a33
a11 a`12 a22 a23 b2 a13 a23 a33 b3 b1 b2 b3 c
其中 Ai Aj + Bi Bj + Ci Cj = 0, ( i, j = 1, 2, 3, i j ).
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空间直角坐标变换
若取1 为yOz面, 2 为xOz面, 3 为xOy面,
则原系到新系的坐标变换公式为: A1 x B1 y C1 z D1 x 其中正负号 2 2 2 A1 B1 C1 的选取要使 A2 x B2 y C2 z D2 , 得坐标变换 y 2 2 2 A2 B2 C2 为右手直角 A3 x B3 y C3 z D3 坐标变换. z 2 2 2 A3 B3 C3
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空间直角坐标变换
空间一般坐标变换公式, 还可以由新坐标系的 三个坐标面来确定. 设有两两互相垂直 的三个平面:
1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0, 2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0, 3: A3x + B3y + C3z + D3 = 0,
a11 I 3 A0 a12 a13
a13 a12 a33 , I 4 | A | a13 a33 b1
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二次曲面的类型
二次曲面的一般方程 空间中二次曲面的一般方程为 a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2b1x + 2b2y + 2b3z + c = 0 () 其中a11, a22, a33, a12, a13, a23不全为零.
点的坐标变换公式: x c11 x c12 y c13 z d1 y c21 x c22 y c23 z d 2 , z c31 x c32 y c33 z d 3 x c11 c12 c13 x d1 y c21 c22 c23 y d 2 . z c c32 c33 z d 3 31 其中 (c11, c21, c31), (c12, c22, c32), (c13, c23, c33) 分别 为新坐标向量e1, e2, e3 在原坐标系 I 中的坐标, (d1, d2, d3) 为新原点O在原坐标系 I 中的坐标.
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空间直角坐标变换
空间直角坐标 (点) 变换 移轴:
x x d1 y y d 2 z z d3
或
x x d1 y y d 2 , z z d 3
x cos 1 或 y cos 2 z cos 3 cos 1 cos 2 cos 3 cos 1 x d1 cos 2 y d 2 , cos 3 z d 3
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空间直角坐标变换
一般的空间直角坐标 (点) 变换公式:
x x cos 1 y cos 1 z cos 1 d1 y x cos 2 y cos 2 z cos 2 d 2 z x cos 3 y cos 3 z cos 3 d 3
x 2 a 2 , a 0.
[17] 一张平面:
x 2 0.
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用不变量判断二次曲面类型
二次曲面的表示 空间中二次曲面的一般方程为
a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2b1x + 2b2y + 2b3z + c = 0 () 其中a11, a22, a33, a12, a13, a23不全为零.
2
2
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[11] 一条直线:
二次曲面的类型
[12] 双曲柱面: [13] 一对相交平面: [14] 抛物柱面: [15] 一对平行平面: [16] 一对平行平面:
x y 2 1; 2 a b x2 y2 2 0; 2 a b
2
2
x 2 py;
2
x a , a 0.
2 2
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用不变量判断二次曲面类型
记 1(x, y, z) = a11x + a12y + a13z
2(x, y, z) = a12x + a22y + a23z 3(x, y, z) = a13x + a23y + a33z 4(x, y, z) = b1x + b2y + b3z
则 (x, y, z) = x1(x, y, z) +y2(x, y, z) +z3(x, y, z)
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2
2
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二次曲面的类型
[8] 双曲抛物面:
(五) 二次柱面 [9] 椭圆柱面: [10] 虚椭圆柱面:
x y 2 2 z; 2 a b x y 2 1; 2 a b 2 2 x y 2 1; 2 a2 b2 x y 2 0; 2 a b
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其中(d1, d2, d3) 为新原点O在原坐标系 I 中的 坐标.
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空间直角坐标变换
转轴: 设新坐标向量e1, e2, e3 与原坐标向量 e1, e2, e3 的交角如下表所示: 原系 交角 x轴(e1) 新系 x轴(e1) y轴(e2) z轴(e3) y轴(e2) z轴(e3)