第11章梁的弯曲应力
第十一章 交变应力
t
z
y r sin t
A点的弯曲正应力为
s s2
O s1
M y M r s sin t I I
s 随时间 t 按正弦曲线变化
s3
s1
t
s4
(Alternating Stress)
三、疲劳破坏（Fatigue failure）
材料在交变应力作用下的破坏习惯上称为疲劳破坏
1.疲劳破坏的特点
下的 应力—疲劳寿命曲线,即 S-N曲线.
(Alternating Stress)
当最大应力降低至某一 smax 值后,S-N 曲线趋一水平,表示 材料可经历无限次应力循环 smax，1 smax，2 而不发生破坏,相应的最大应 力值 smax 称为材料的疲劳极 限或耐劳极限.用 sr 表示.
1 2
§11-4 影响构件持久极限的因素
一、构件外形的影响 二、构件尺寸的影响 三、构件表面状态的影响
§11–1 交变应力与疲劳失效
一、交变应力（Alternating stress )
构件内一点处的应力随时间作周期性变化,这种应力称为交 变应力.
F
A
s
Ｏ
t
(Alternating Stress) 二、产生的原因
1.载荷做周期性变化 2.载荷不变,构件点的位置随时间做周期性的变化
例题1 一简支梁在梁中间部分固接一电动机,由于电动机的重力 作用产生静弯曲变形,当电动机工作时,由于转子的偏心而引起离 心惯性力.由于离心惯性力的垂直分量随时间作周期性的变化,梁 产生交变应力.
(Alternating Stress)
F
F F a Fa
F
a
第一根试件 第二根试件
工程力学第十一章 组合变形
土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不 允许横截面上出现拉应力。这就是要求偏心压力只能作 用在横截面形心附近的截面核心内。
要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力， 那么中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能 与横截面的周边相切，而在截面的凹入部分则是与周边外 接。截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时 偏心压力作用点的位置来确定的。
解：拉扭组合:
7kNm T
50kN FN
安全
例11-8 直径为d的实心圆轴，
·B
P 若m=Pd，指出危险点的位置， 并写出相当应力 。
x
m
解：偏拉与扭转组合
z
C P P 例11-9 图示折角CAB，ABC段直径
d=60mm，L=90mm，P=6kN，[σ]＝
BA
60MPa，试用第三强度理论校核轴 x AB的强度。
例11-6 图示圆轴.已知,F=8kN,Me=3kNm,［σ］=100MPa, 试用第三强度理论求轴的最小直径.
解：(1) 内力分析
4kNm M
3kNm T
(2)应力分析
例11-7 直径为d=0.1m的圆杆受力如图，T=7kNm，P=50kN， []=100MPa，试按第三强度理论校核此杆的强度。
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力 引起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有 杆的弯曲刚度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内 工作时才可应用叠加原理。
A M
F FN
+ ql2/8
+
B
+
=
C 10kN
A 1.6m
1.6m
10kN
1.2m
例11-3 两根无缝钢管焊接 而成的折杆。钢管外径 D=140mm，壁厚t=10mm。求 危险截面上的最大拉应力和 B 最大压应力。
工程力学第17讲 弯曲应力：正应力 惯性矩(完整)
本章主要研究：
单辉祖:工程力学
对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 梁的强度分析与设计 非对称弯曲应力
1
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
引言 对称弯曲正应力 惯性矩与平行轴定理 对称弯曲切应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计 双对称截面梁的非对称弯曲
单辉祖:工程力学
Ai yCi AyC
yC
i 1
n
A y
i 1
n
i Ci
21
A
A1 yC 1 A2 yCb 2 2
bd db
0.045 m
3. 惯性矩计算
I z I z1 I z 2
2
bd 3 d 3.0210 -6 m4 I z1 bd yC 12 2
d b3 b I z2 db d yC 5.8210 -6 m4 12 2
I z I z 1 I z 2 8.8410 6 m 4
2
4. 最大弯曲正应力
M B yC 30.5 MPa Iz M ( b d yC ) s c,max B 64.5 MPa Iz
dA 0 (b) F x 0 , s A M z 0, A ysdA M (c)
10
物理方面:
s ( y ) E ( y )
单辉祖:工程力学
s E
y
(a)
sdA 0 A
(b)
A ysdA M
yC y dA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
2
§1 引 言
弯曲应力与对称弯曲 本章内容
第十一章北航 材料力学 全部课件 习题答案
(c)
Fcr
π 2 EI 4l 2
11-7
试确定图示各细长压杆的相当长度与临界载荷。设弯曲刚度 EI 为常数。
题 11-7 图 (a)解:相当长度为
5
leq a
临界载荷为
π 2 EI a2 (b)解：压杆微弯状态的挠曲轴如图 11-7b 中的虚线所示。 Fcr
由此得
sin
kl kl kl 4k 2 EI kl [sin (1 )cos ] 0 2 2 2 cl 2
图示阶梯形细长压杆，左、右两段各截面的弯曲刚度分别为 EI1 与 EI2 。试 证明压杆的临界载荷满足下述方程：
11-11
tank1l tank2l
式中： k1 F /( EI1 ) ; k2 F /( EI 2 ) 。
Fcr， 1
π 2 EI l2
Fcr， 2
显然，压杆的临界载荷为
1.359EI l2
1.359EI l2
Fcr Fcr， 2
11-10
图示两端铰支细长压杆，弯曲刚度 EI 为常数，压杆中点用弹簧常量为 c 的
弹簧支持。试证明压杆的临界载荷满足下述方程：
sin
式中， k F /( EI ) 。
第十一章
压杆稳定问题
11-1
图示两端铰支刚杆－蝶形弹簧系统，试求其临界载荷。图中，c 代表使蝶形弹
簧产生单位转角所需之力偶矩。
题 11-1 图 解：系统的临界状态（微偏斜状态）如图 11-1 所示。注意到蝶形弹簧产生的转角为 2θ ， 由右段刚杆的力矩平衡方程
l c(2θ ) F (θ ) 0 2
梁的应力计算公式全部解释
梁的应力计算公式全部解释应力是材料受力时产生的内部力，它是描述材料内部抵抗外部力的能力的物理量。
在工程领域中，计算材料的应力是非常重要的，可以帮助工程师设计和选择合适的材料，以确保结构的安全性和稳定性。
梁的应力计算公式是计算梁在受力时产生的应力的公式，它可以帮助工程师了解梁在不同条件下的应力情况，从而进行合理的设计和分析。
梁的应力计算公式是由弹性力学理论推导而来的，它可以根据梁的几何形状、受力情况和材料性质来计算梁的应力。
在工程实践中，梁的应力计算公式通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力三种类型的应力。
下面将分别对这三种类型的应力计算公式进行详细解释。
1. 弯曲应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生弯曲应力。
弯曲应力是由于梁在受力时产生的弯曲变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = M c / I。
其中，σ表示梁的弯曲应力，单位为N/m^2；M表示梁的弯矩，单位为N·m；c表示梁截面内的距离，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4。
弯曲应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的弯曲应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的弯曲应力计算公式进行计算。
2. 剪切应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生剪切应力。
剪切应力是由于梁在受力时产生的剪切变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：τ = V Q / (I b)。
其中，τ表示梁的剪切应力，单位为N/m^2；V表示梁的剪力，单位为N；Q 表示梁的截面偏心距，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4；b表示梁的截面宽度，单位为m。
剪切应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的剪切应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的剪切应力计算公式进行计算。
3. 轴向应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生轴向应力。
轴向应力是由于梁在受力时产生的轴向变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = N / A。
《弹塑性力学》第十一章 塑性力学基础
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§11-2 一维问题弹塑性分析
s
-
+
+ -
+ +
s
- = +-
s
M I
y
y y0
x
y0s
y
M I
y
y0 y y0
s
M I
y
y y0
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§11-2 一维问题弹塑性分析
2.3 梁具有一个对称轴截面的弹塑性弯曲:
M
x
y
b
M
z
h
y
具有一个对称轴截面梁的弹塑性弯曲特点： 随着弯矩的增大，中性轴的位置而变化。
（a段进入塑性屈服，但 b 段仍处于弹性）
N2=P- N1=P-sA 力 P 作用点的伸长取决于b 段杆的变形
b
N2b EA
(P
s A)b
EA
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§11-2 一维问题弹塑性分析
b
N2b EA
(P s A)b
EA
Pe s A(1 a b) s A Pe (1 a b)
应力较少）屈服条件是不变的。当应力满足
屈服条件时，卸载将有残余变形，即塑性变
形存在。卸载按线性弹性。
C
s A B
’s s
A
B
C
o
p
e
p
e
o O’
p e
软钢 -
合金钢 -
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§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
而对于合金钢，无明显屈服，当 s时进
入强化阶段，在加载即发生弹性变形和塑性变
第11章材料力学弯曲应力练习题
11—5（a） 试计算图示截面对水平形心轴z的惯性矩。
解： （1）确定形心轴位置
yC A2 C 60 Wz 4Wz
可得：
60 4Wz q 240Wz 2 a
1 2 qa 4
3、计算梁内最大弯曲正应力； 由弯矩图得：
M max 9 qa 2 32
1 2 qa 4
所以梁内最大弯曲正应力：
max
M max 9 240Wz 67.5MPa Wz 32Wz
FN 12103 2、计算应力； N MPa A 5 (40 x)
M
M 6 103 x MPa W 1 5 (40 x) 2 6
3、根据强度条件；
N M
12 103 6 103 x 100 5 (40 x) 1 5 (40 x) 2 6
2、计算最大弯曲正应力； 最大弯矩在固定端。；
M max 7.5 103 103 6 max 176MPa 2 Wz 40 80
3、计算固定端k点处弯曲正应力；
M max yk 7.5 103 103 3012 k 132MPa 3 Iz 40 80
结论:
c=146.9mm
3
A截面的强度足够。
11—17 外伸梁承受载荷F作用，已知载荷F=20 kN，许用应力[σ]＝160 MPa，许用切应力[τ] ＝90 MPa，试选择工字钢型号。
解： 1、绘制剪力图、弯矩图；
第11章 深受弯构件
a)正截面弯曲破坏
b)斜截面弯曲破坏 图11-1 简支深梁的弯曲破坏
c)拉杆拱受力图式
§11-1深受弯构件
（2）剪切破坏 ( 较高) 1) 斜压破坏
2) 劈裂破坏
（a）斜压破坏
（b）劈裂破坏
（3）局部受压和锚固破坏
§11-1深受弯构件
二、短梁的受力性能
（1）弯曲破坏 适筋梁破坏 少筋梁破坏 超筋梁破坏 （2）剪切破坏 斜压破坏 （m＜1） 剪压破坏 （m＝1～2.5） 斜拉破坏 （m>2.5） （3）局部受压和锚固破坏
第11章 深受弯构件
深受弯构件
基本概念和应用
浅梁(普通受弯构件)
P
P h
l / h ＞5 l / h≤5
l 深受弯构件
l / h≤2
（简支梁）
l / h ≤ 2.5 （连续梁） 2 ＜l / h ≤ 5 （简支梁） 2.5 ＜l / h ≤ 5（连续梁）
深梁
深受弯构件
短梁
深受弯构件
基本概念和应用
图11-8 撑杆计算高度 a)盖梁立面示意图 b)盖梁侧面示意图
0Td fsd As
（11-10）
3.抗剪承载力计算
可按一般钢筋混凝土受弯构件计算。
§11-2 深受弯构件的计算
图11-3 柱式墩台示意图 a)正面图 b)侧面图
§11-2 深受弯构件的计算
一、深受弯构件（短梁）的计算
1. 深受弯构件的正截面抗弯承载力计算
fsd As C
0Md Mu fsd As z
l z (0.75 0.05 )( h0 0.5 x) h
深受弯构件
基本概念和应用
深受弯构件
第十一章 弯曲问题的进一步研究与组合变形
M z ,max Wz M y ,max Wy
19.3 103 5.18 103 6 402 10 48.3 106
155 106 Pa 155MPa
故此梁满足正应力强度条件
讨论：若F力的作用线与y轴重合，即＝0，则梁的最大正应力为 M max 20 103 6 max 49.8 10 Pa 49.8MPa 远小于155MPa 6 Wz 402 10
对称轴
FA
问题：当梁不具有纵向对称平面，或梁虽具有纵向对称平面，但 外力的作用面与该纵向对称平面间有一夹角，则该梁发生什么变 形呢？
F
F F
z
C
F
C
z
C
z
y
y
y
斜弯曲
斜弯曲
平面弯曲与扭转
工程中的许多受力构件往往同时发生两种或两种以上的基本变形， e 称为组合变形。 F
Me
F
（轴向压缩 和弯曲） 偏心压缩
a
z
C
wz
wy b
y
z
z
C
a
F
w
y
F
y
F
讨论： （1）若梁的截面是正方形，由于Iy=Iz，所以b =，故梁不会 发生斜弯曲，而发生平面弯曲。正多边形也是如此。 （2）若梁的截面是圆形，由于Iy=Iz，所以b =，故梁不会发 生斜弯曲，而发生平面弯曲。
例11-2 外力F通过截面形心，且与y方向的 夹角＝15°，材料许用应力[170MPa, 试校核此梁的强度。 解： 梁跨中截面上的弯矩最 2m 大，故为危险截面，该截面 上的弯矩值为 M Fl 1 20 4 20kN.m
例11-1 悬臂梁的横截面分别采用如图所示三种截面，在自由 端受集中力F作用，F力均通过这些截面的形心C。试指出这三 种截面梁各产生何种变形形式。
第11章 深受弯构件
墩柱 墩柱
（EI / l） （EI / l） 5 ，可按刚构计算。 盖梁 / 柱
lc l min 1.15ln (lc 盖梁支承中心距 ) (ln 盖梁的净跨径 )
地面线 桩
一、 深受弯构件（短梁）的计算
1）深受弯构件的正截面抗弯承 As z
10 k 9
A k A1
对工字形或箱形（A1为腹板面积）：
11.1 深受弯构件的破坏形态
一、深梁的破坏形态
1）弯曲破坏 • 正截面弯曲破坏——直裂缝发展产生临界裂缝，与之相交 的纵向钢筋先屈服，最后梁顶砼被压碎而破坏. 发生场合：纵向钢筋配筋率较低 • 斜截面弯曲破坏——斜裂缝的产生使之成为拉杆拱受力体 系，破坏时受拉钢筋先屈服，“拱顶”砼后压碎. 发生场合：纵向钢筋配筋率稍高
h h x h x 2 RA 1.083 0.219 (1.647 0.837 )( ) (0.481 0.374 )( ) lo lo lo lo lo
11.2 深受弯构件的计算
盖梁
（EI / l） （EI / l） 5 ，盖梁可按简支梁或连续梁计算； 盖梁 / 柱
三、 深受弯构件（梁）的配筋及构造要求
纵向受拉钢筋 钢筋的种类 布钢筋 水平分布钢筋及竖向分 向钢筋 附加水平钢筋、附加竖 拉筋 1.下部纵向钢筋的锚固 • 下部纵向钢筋应全部伸入支座且应可靠地锚固，不得在跨 间弯起或截断. • 纵向受拉钢筋应在锚固区内设水平弯钩，弯钩末直线段长 度不小于10d. • 连续深梁的下部纵向受拉钢筋直贯通全跨，当必须截断时， 应伸过中间支座的中心线. 2.下部纵向受拉钢筋布置 • 纵向受拉钢筋应均匀布置在下边缘以上0.2h的高度范围.
图11-A1 中支点截面上正应力的分布规律
建筑结构第11章 梁、板结构
第11章
梁、板结构
二、
梁、板内力计算
板→次梁→主梁→柱（或墙）→基础→地基。
荷载传力途径：
1. 计算方法的选择
单向板肋形楼盖的内力计算方法，有弹性理论计算方法和塑 性内力重分布理论计算方法两种。 弹性理论计算方法假定钢筋混凝土梁、板为匀质弹性体，按 一般结构力学的方法计算内力。 塑性内力重分布理论计算方法从实际情况出发，考虑塑性变 形内力重分布来计算连续梁、板的内力。
4. 无梁楼盖
不设梁，楼板直接支撑在柱上。无梁楼盖结构高度小、净空 大，支模简单，但用钢量较多，当楼面有很大的集中荷载作用时 不宜采用。
第11章
梁、板结构
单向板肋梁楼盖
双向板肋梁楼盖
井式楼盖
密肋楼盖
无梁楼盖
第11章
梁、板结构
单向板和双向板
1. 单向板
板上的荷载主要是沿短边方向传递到支撑构件上，沿长边方向 传递的荷载可以忽略不计，这种单向受弯的板称为单向板
第11章
梁、板结构
图11-8 多跨连续梁、板简图
第11章
梁、板结构
（4）荷载计算 作用在楼盖上的荷载一般有两种，即永久荷载（恒载）和可变荷
载（活载）。
单向板通常沿短跨方向取 1m宽板带作为计算单元，板面荷载等于 计算单元板带沿跨度方向单位长度上的均布荷载； 次梁承受板传来的均布荷载，其值为板面荷载乘以次梁间距； 主梁则承受各根次梁传来的集中荷载和主梁自重引起的均布荷载。
第11章
梁、板结构
11.1 梁板结构概述
楼盖按施工方法分为
现浇式楼盖 装配式楼盖 装配整体式楼盖
第11章
梁、板结构
1. 现浇式楼盖
优点：整体性好、刚度大、防水性和抗震性好，在结构 布置方面容易满足各种特殊要求，适应性强。 缺点：费工、费模板、工期长、施工受季节限制、造价 较高等。
材料力学弯曲应力
材料力学弯曲应力材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏规律的一门学科，而弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时所产生的应力。
弯曲应力的研究对于工程结构设计和材料选用具有重要意义。
本文将从弯曲应力的概念、计算公式、影响因素等方面进行详细介绍。
弯曲应力是指在材料受到弯曲载荷作用下，横截面上的应力分布情况。
在弯曲过程中，材料上部受到压应力，下部受到拉应力，而中性面则不受应力影响。
根据梁的理论，弯曲应力与弯矩、截面形状以及材料性质有关。
在工程实践中，我们通常使用梁的弯曲应力公式来计算弯曲应力的大小。
梁的弯曲应力公式可以表示为：\[ \sigma = \frac{M \cdot c}{I} \]其中，σ为弯曲应力，M为弯矩，c为截面中性轴到受拉或受压纤维的距离，I为截面的惯性矩。
从公式中可以看出，弯曲应力与弯矩成正比，与截面形状和材料性质有关，截面越大，惯性矩越大，弯曲应力越小。
影响弯曲应力的因素有很多，主要包括载荷大小、截面形状、材料性质等。
首先是载荷大小，当外力作用在梁上时，产生的弯矩大小将直接影响弯曲应力的大小。
其次是截面形状，截面形状不同将导致截面惯性矩不同，进而影响弯曲应力的大小。
最后是材料性质，材料的弹性模量、屈服强度等参数也会对弯曲应力产生影响。
在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来选择合适的截面形状和材料类型，以使得结构在受到弯曲载荷时能够满足强度和刚度的要求。
同时，还需要合理设计结构，减小弯曲应力集中的区域，避免出现应力集中而导致的破坏。
综上所述，弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时产生的应力，其大小与弯矩、截面形状和材料性质有关。
在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来计算和分析弯曲应力，以保证结构的安全可靠。
同时，合理设计结构和选择合适的材料也是降低弯曲应力的重要手段。
希望本文对于弯曲应力的理解和应用能够有所帮助。
10 第十一章 非对称弯曲
如何平衡？
第十一章 非对称弯曲
例题：如何改善图示截面梁的受力状况 F F
对于薄壁件(尤其是开口薄壁件)，应尽量避免外力偏离剪心。
27
第十一章 非对称弯曲
组合变形的一般情况：
1
1
横截面为任意形状，确
定截面上的应力分布
1、横截面上的正应力分析
My C FN
轴力、弯矩
正应力
在截面上建立主形心坐标系
E
E
——中性层曲率半径（中性层的位置还未知）
平衡方程，负号来源于材料力学弯矩定义
10
第十一章 非对称弯曲
中性轴
Mz C
E
z
E
A A A
dA 0
z dA 0 y dA M z
y
E
A
dA 0
中性轴通过截面形心
设中性轴与y轴的夹角为
M
6
第十一章 非对称弯曲
平面图形特征量的复习
惯性矩、惯性积、主轴与主形心轴
0
y
z
z
z
dA
截面的惯性积 I yz 截面的主轴 I yz
A
yzdA
A
yzdA 0
截面的主形心轴：
y
y
当坐标系的原点位于截面形心时， 相应的主轴称为截面的主形心轴
7
第十一章 非对称弯曲
根据转轴公式
若 I y1z1 0, I y1 I z1
z
ey FSz
Iz
FSz e y
q ds
l
l——截面中心线的总长
ey
弹塑性力学11塑性极限分析
ss
Pe
b h2 6l
ss
Mp
bh2 4
ss
Pp
b h2 4l
s
s
Pe P PP
Ms
Me 2
3
4
he2 h2
he 1 3 2P(l x)
h2
Pel
Ms Mp
M Ppl Me Pel
Pe 2 Pp 3
l
3
o
x
l z
P x
Mp
Me
ss
h/2
z ss
§11－2 塑性极限分析定理与方法
若给物体一微小的虚变形（位移）。则外力的
虚功必等于应力的虚功（物体内储存的虚应变
能）。
fi ui*dV Fi ui*dS s ij i*jdV
V
ST
V
Fi ST
Su
ui
V
虚变形（位移）：结构约束所允许的无限小位移。
证明： fiui*dV Fiui*dS s ij i*jdV
平衡方程： 边界条件：
塑性极限弯矩
z
ss
x
l 6
h/2
PP
4MP l
bh2 l
s
s
塑性极限载荷
M
PP 2
l 2
Me
Pel 4
l
6
z ss
确定塑性区位置
❖塑性铰：在全塑性阶段，跨中 截面的上下两塑性区相连，使 跨中左右两截面产生像结构 （机械）铰链一样的相对转动 －－塑性铰。
❖ 特点：
塑性铰的存在是由于该截面上的 弯矩等于塑性极限弯矩；故不能 传递大于塑性极限弯矩的弯矩。
x j
V
s
x
ij j
桥梁结构理论与计算方法 第十一章 薄壁箱梁扭转理论
第一项是自由扭转剪应力
k
MK
第二项是由于约束正应力的变化而引起的剪应力
约束扭转剪应力也可以用扭转双力矩表示
E (z) S
平面弯曲剪应力类似
B S
I
QS 类似
Ib
（4） (z)函数的确定
约束扭转翘曲应力及剪应力均是函数 (z)的函数，要求扭转应力，
则应先确定函数 (z) 之值。因此，列出约束扭转微分方程式
4 A02i ds
G
Id
n 4 A02i i1 ds
n
i 1
2 i
ds
由于一个室的抗扭惯矩
I di 4 A02i /
ds
n
从上式可知截面总抗扭惯矩等于 各个分离室的抗扭惯矩之和，即
I d I di i 1
（4） 纵向位移
箱梁自由扭转的纵向位移为
u(z, s) u0 (z, s) u0 (z,0) (s) (z)
σ σs δds τ τs δdz
微分单元
s
现将 代入得到
0
E(s) (z)ds
0
s
0
E (z)
(s)ds
0
0
E (z)S
s
S (s)ds
0
为了决定初始剪力流 0，从内外力矩平衡条件得到
M K ds
[ 0
E
(
z
)S
I
ds]
0ds
E
(
z
)S
ds
0
MK
ds
Iy (s) yds 0 Ix (s)xds 0
当选择适当的积分起始点（扇性零点）时，使广义扇性静矩也等于
零，则
S (s)ds 0
弯曲应力计算
在下列情况下， 在下列情况下，还要考虑切应力强度条件 （1）梁跨度较小，或支座附近有较大载荷 ）梁跨度较小， （2）T形、工字形等薄壁截面梁 ） 形 （3）焊接、铆接、胶合而成的梁，要对焊缝、胶 ）焊接、铆接、胶合而成的梁，要对焊缝、 合面等进行剪切强度计算
24
切应力计算较复杂， 切应力计算较复杂，不同截面形状有不同的公 式 其中较重要的—— 其中较重要的 矩形截面计算公式， 矩形截面计算公式，切应力分布规律
矩形梁截面上的切应力分布
* Sz τ (y) = Q I zb
* S* = A • y* z c
b 右截面
h 1 h = ( − y )b• ( + y ) 2 2 2 b h2 = ( − y2 ) 2 4
h y a y
z a1
A*
bh Iz = 12
3
3Q 4y2 τ (y) = (1− 2 ) 2bh h
翼板
t
H
h
b z y
腹板为矩形截面时
腹板
S = ∑A • y
* z *
* c
A*
B y
2
H h h 1 H h = B( − ) + ( − ) 2 2 2 2 2 2
h b h 1 h B 2 2 +b( − y ) y + ( − y ) = ( H −h ) + ( − y2 ) 2 2 4 2 2 8
τmax
4Q = 3A
τmax
Q =2 A
7
小论文 —— 推导一种截面的切应力公式
z
z
τm ax
沿翼板宽度方向
实心圆截面
空心圆环
8
弯曲切应力的强度条件
工程力学第十一章弯曲应力
Q
+
– x
qL 2
Qmax 1.5 5400 t max 1.5 A 0.12 0.18 0.375MPa 0.9MPa [t ]
应力之比
+ M
qL2 8
s max M max 2 A L 16.7 46 t max Wz 3Q h
例题5
F
l
悬臂梁由三块木板粘接 50 而成。跨度为1m。胶合面 z50 的许可剪应力为0.34MPa， 50 木材的〔σ〕= 10 MPa， 100 [τ]=1MPa，求许可载荷。
P1=9kN A C 1m 1m
P2=4kN B D 1m
Ｃ
y1
z
y2
例2 T 字形截面的铸铁梁受力如
图，其截面形心位于C点， y1=52mm， y2=88mm， 截面对形心轴的惯性矩 Iz=763cm4 ，试计算梁内的最大
解：画弯矩图并求危面内力
RA 2.5kN ; RB 10.5kN
L=3m
qL 2
Q
+
–
Qmax
M max
+ M
qL 3600 3 5400 N 2 2
qL2 3600 32 4050Nm 8 8
45
qL 8
2
q=3.6kN/m
A
求最大应力并校核强度
L=3m
qL 2
M max 6M max 6 4050 B s max 2 Wz bh 0.12 0.182 6.25MPa 7MPa [s ]
15
(2)两个概念
①中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤 维不受拉应力和压应力，此层称中性层。 ②中性轴：中性层与横截面的交线。
第十一章钢筋混凝土设计原理课后习题答案
第十一章1什么是单双向板？怎样加以区别？其传力路线有和特征？单向板：荷载作用下，只在一个方向或主要在一个方向弯曲的板。
双向板:荷载作用下，在两个方向弯曲，且不能忽略任一方向弯曲的板.(1）对两对边支承的板，应按单向板计算。
（2）对于四边支承的板l b≤时应按双向板计算；/2l b<<时宜按双向板计算；按沿短边方向受力的单向板计算2/3时,应沿长边方向布置足够数量的构造钢筋；/2l b≤时可按沿短边方向受力的单向板计算。
单向板沿短边方向受力,特征个方向弯曲双向板双向受力特征两个方向弯曲2什么叫截面的弯曲刚度?什么叫截面竖向弯曲刚度？截面的弯曲刚度:使构件截面产生单位曲率需施加的弯矩值截面竖向弯曲刚度：使构件截面产生单位挠度需施加的竖向均布荷载3现浇单向板的设计步骤是什么？（1) 结构平面布置,并拟定板厚和主、次梁的截面尺寸（2) 确定梁、板得计算简图（3）梁、板的内力分析（4）截面配筋及构造设施（5）绘制施工图4单向板肋梁楼盖其板、次梁、主梁的跨度如何确定？工程常用的数值分别是多少？板的跨度：次梁的间距单向板:1.7-2.5 m荷载大时取较小值,一般≤3m次梁的跨度：主梁的间距次梁： 4--6 m主梁的跨度：柱或墙的间距主梁: 5——8 m5单向板肋梁楼盖的布置方式都有哪几种？1）主梁横向布置，次梁纵向布置优点：主梁与柱可形成横向框架,横向抗侧移刚度大各榀横向框架间由纵向的次梁相连，房间整体性较好由于外墙处仅设次梁，故窗户高度可开大些，对采光有利（2）主梁纵向布置,次梁横向布置（3）优点：减小了主梁的截面高度,增加了室内净高适用于：横向柱距比纵向柱距大的多的情况3）只布置次梁适用于:有中间走道的砌体墙承重的混合结构房屋6什么是结构物的计算简图？包括那几方面的内容？结构物的计算简图包括计算模型，计算荷载两个方面1)简化假定和计算模型：简化假定1）支座可以自由转动，无竖向位移2)不考虑薄膜效应对板内力的影响3）忽略板、次梁连续性，按简支构件计算支座反力4）实际跨数≥5跨时等跨或跨度差≤10%且各跨受荷相同的连续梁按5跨计算 计算模型： 连续板或连续梁（2）计算单元及从属面积板计算单元：1m 宽板带次梁荷载范围 :次梁左右各半跨板主梁荷载范围 :主梁左右各半个主梁间距，次梁左右各半个次梁间距（3）弹性理论计算跨度中间跨 0c l l =边跨 板0min 1.025222n n b h b l l l =+++（，） 梁0min 1.025222n n b a b l l l =+++（，） （4）荷载取值板和次梁的折算荷载为了考虑次梁或主梁的抗扭刚度对内力的影响，采用增大恒载，减小活载的办法板 12g g q '=+ 12q q '= 次梁 14g g q '=+ 34q q '= 7、单向板肋梁楼盖的计算假定有哪些?答:⑴、支座可以自由转动，但没有竖向位移；⑵、不考虑薄膜效应对板内力的影响；⑶、在确定板传给次梁的荷载以及次梁传给主梁的荷载时，分别忽略板、次梁的连续性，按简支构件计算支座竖向反力；⑷、跨数超过5跨的连续梁、板，当各跨荷载相同,且跨数相差不超过10%时,可按5跨的等跨连续梁、板计算。
11-1 斜弯曲
max M y max M z max Wy Wz max
20
对于边界没有棱角而呈弧线的截面，则需要确定中性轴的位置， 离中性轴最远处就是最大拉压应力所在点，即危险点。 中性轴方程
M cos M sin I y0 I z0 0 z y
（z0 、y0 为中性轴上点的坐标）
中性轴
z D1
D2
Fz φ Fy y
21
F
③最大正应力的确定 当中性轴确定后，最大应力就容易确定了，如图，在截面周边 作中性轴的切线。
距中性轴的两侧最远点为拉压最大正应力点
拉 max D 2 压 max D1
4、强度条件
中性轴
D2
Fz φ Fy y
22
拉max 拉
因此，梁在斜弯曲情形下的强度是不安全的。
31
解：4. 讨论 如果令上述计算中的＝0，也就是载荷FP沿着y 轴方向，这时产生平面弯曲，上述结果中的第一项 变为0。于是梁内的最大正应力为 115.13MPa 这一数值远远小于斜弯曲时的最大正应力。可 见，载荷偏离对称轴 (y)一很小的角度，最大正应力 就会有很大的增加(本例题中增加了88.4％)，这对于 梁的强度是一种很大的威胁，实际工程中应当尽量 避免这种现象的发生。这就是为什么吊车起吊重物 时只能在吊车大梁垂直下方起吊，而不允许在大梁 的侧面斜方向起吊的原因。
c
y
M
z
M
c
c z y
25
z
P
y
如求a点应力
M d I
d
My
a Mz M
M: 合弯矩 I: 对中性的惯性矩 D 4
I Iy Iz 64
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第11章梁的弯曲应力教学提示：梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力； 梁横力弯曲时横截面 上的切应力；提高弯曲强度的若干措施、薄壁杆件的切应力流和弯曲中心。
教学要求：掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程， 理解横力 弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。
掌握中性层、中性轴和翘曲 等基本概念和含义。
熟练掌握弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计 算。
了解什么情况下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。
从弯曲强度条件出发， 掌握提高弯曲强度的若干措施。
在外荷载作用下，梁截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有 正应力和剪应力。
弯矩是垂直于横截面的分布内力的合力偶矩； 而剪力是切于横 截面的分布内力的合力。
本章研究正应力C 和剪应力T 的分布规律，从而对平面 弯曲梁的强度进行计算。
11.1梁的弯曲正应力11.1.1弯曲正应力一般公式1、变形几何关系为研究梁弯曲时的变形规律，可通过 试验，观察弯曲变形的现象。
取一具有对 称截面的矩形截面梁，在其中段的侧面上， 画两条垂直于梁轴线的横线 mm 和nn ，再 在两横线间靠近上、下边缘处画两条纵线 ab 和cd ，如图11.2(a)所示。
然后按图 11.1(a)所示施加荷载，使梁的中段处于纯弯曲 状态。
从试验中可以观察到图11.2(b)情况: (1) 梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正 交，只是横线间作相对转动。
平面弯曲情况下，一般梁横截面上既 有弯矩又有剪力，如图11.1所示梁的AC DB 段。
而在CD 段内，梁横截面上剪力等 于零，而只有弯矩，这种情况称为纯弯曲。
下面推导梁纯弯曲时横截面上的正应力公 式。
应综合考虑变形几何关系、物理关系 和静力学关系等三个方面。
.c(a)FfI» fln EllCi)nn(2) 纵线变为曲线，而且靠近梁顶面的纵线缩短，靠近梁底面的纵线伸长。
(3) 在纵线伸长区，梁的宽度减小，而在纵线缩短区，梁的宽度则增加， 情况与轴向拉、压时的变形相似。
根据上述现象，对梁内变形与受力作如下假设：变形后，横截面仍保持平面， 且仍与纵线正交；同时，梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或压应力。
前者称为 弯曲平面假设；后者称为单向受力假设。
根据平面假设，横截面上各点处均无剪切变形，因此，纯弯时梁的横截面上 不存在剪应力。
根据平面假设，梁弯曲时部分纤维伸长，部分纤维缩短，由伸长区到缩短区， 其间必存在一长度不变的过渡层，称为中性层，如图 11.2(c)所示。
中性层与横 截面的交线称为中性轴。
对于具有对称截面的梁，在平面弯曲的情况下，由于荷 载及梁的变形都对称于纵向对称面，因而中性轴必与截面的对称轴垂直。
综上所述，纯弯曲时梁的所有横截面保持平面， 仍与变弯后的梁轴正交，并 绕中性轴作相对转动，而所有纵向纤维则均处于单向受力状态。
从梁中截取一微段dx ，取梁横截面的对 称轴为y 轴，且向下为正，如图11.3 (b)所 示，以中性轴为y 轴，但中性轴的确切位置 尚待确定。
根据平面假设，变形前相距为 dx 的两个横截面，变形后各自绕中性轴相对旋 转了一个角度d 0，并仍保持为平面。
中性层 的曲率半径为P ，因中性层在梁弯曲后的长 度不变，所以ab =dx =田®变形后为ab = (P + y )d ®故其纵向线应变为(P + y)d 半-P d ® y 8 = -------------- =—屮 P比。
2、物理关系因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都处于单 向受力状态，当应力小于比例极限时，由胡克定律知b = E 呂将(a)式代入上式，得又坐标为y 的纵向纤维ab 变形前的长度 为 (a)可见，纵向纤维的线应变与纤维的坐标 y 成正图/I(b)这就是横截面上正应力变化规律的表达式。
由此可知，横截面上任一点处的 正应力与该点到中性轴的距离成正比， 正应力均相等，这一变化规律可由图 3、静力学关系 以上已得到正应力的分布规律，小均尚未确定，所以仍不能确定正应力的大小。
这些问题需再从静力学关系来解 决。
(T dA 组成一空间平行力系, 仅存在位于 x-y 平面的弯矩M 因此，(c)而在距中性轴为y 的同一横线上各点处的 11.4来表示。
但由于中性轴的位置与中性层曲率半径的大如图11.5所示，横截面上各点处的法向微内力 而且由于横截面上没有轴力，F NM y =bdA = 0 (d)M z =J yodA =0(e)以式(b)代入式(C)，得肿dA =Ek ydA = 0f)上式中的积分代表截面对 S z 。
静距等于零意味着Z 轴必须通过截面的 形心。
以式(b)代入式(d)，得Z 轴的静矩2dA = Ef yzdA = 0'Ap 'A J(g)式中，积分是横截面对y 和Z 轴的惯性积。
有I yz =0,所示上式是自然满足的。
以式(b)代入式(e)，得由于y 轴是截面的对称轴，必然式中积分 Jy 2dA = l ZA是横截面对Z 轴(中性轴)的惯性矩。
于是，(h)式可以写成(i)(11.1)此式表明，在指定的横截面处，中性层的曲率与该截面上的弯矩 M 成正比, 与El z 成反比。
在同样的弯矩作用下，El z 愈大，则曲率愈小，即梁愈不易变形， 故El z 称为梁的抗弯刚度。
再将式(11.1)代入式(b),于是得横截面上y 处的正应力为Mc =——yI z此式即为纯弯曲正应力的计算公式。
式中M 为横截面上的弯矩；I z 为截面对中性轴的惯性矩；y 为所求应力点至中 性轴的距离。
当弯矩为正时，梁下部纤维伸长，故产生拉应力，上部纤维缩短而产生压应 力；弯矩为负时，则与上相反。
在利用(11.2 )式计算正应力时，可以不考虑式 中弯矩M 和y 的正负号，均以绝对值代入，正应力是拉应力还是压应力可以由 梁的变形来判断。
应该指出，以上公式虽然是纯弯曲的情况下， 以矩形梁为例建立的，但对于 具有纵向对称面的其他截面形式的梁，如工字形、T 字形和圆形截面梁等仍然可 以使用。
同时，在实际工程中大多数受横向力作用的梁， 横截面上都存在剪力和 弯矩，但对一般细长梁来说，剪力的存在对正应力分布规律的影响很小。
因此， (11.2 )式也适用于非纯弯曲情况。
11.1.2最大弯曲正应力由式(11.2)可知，在y=y max 即横截在由离中性轴最远的各点处，弯曲正应力 最大，其值为式中，比值I z /y max 仅与截面的形状与尺寸有关，称为抗弯截面系数，也叫抗 弯截面模量。
用 W 表示。
即为W z = lzymax于是，最大弯曲正应力即为Mb max —W z可见，最大弯曲正应力与弯矩成正比， 与抗弯截面系数成反比。
抗弯截面系 数综合反映了横截面的形状与尺寸对弯曲正应力的影响。
(11.2 )◎maxM=—ymax1zM y(11.3)(11.4)图11.6中矩形截面与圆形截面的抗弯截面系数分别为(11.5)而空心圆截面的抗弯截面系数则为式中a=d/D,代表内、外径的比值。
至于各种型钢截面的抗弯截面系数，可从型钢规格表中查得（见附录） 。
例11.1图11.7所示悬臂梁，自由端承受集中荷载F 作用，已知：h=18cm y=6cm a=2m F=1.5KN 。
计算A 截面上K 点的弯曲正应力。
zJ A1 1r么b图IL 7先计算截面上的弯矩截面对中性轴的惯性矩兀d 3W-32(11.6)3Wr(i 4(11.7)b=12cm M A =—Fa = —1.5咒 2 = -3kNmbV (a)<NCc图 11.3 3bh 12°"8° =5.832"07mm4 I z12 126M A 3x10 cc cccR 仆贝U b k = - y = ---------- X 60 = 3.09MPaI Z5.832x107A 截面上的弯矩为负，K 点是在中性轴的上边，所以为拉应力。
11.2平面图形的几何性质构件在外力作用下产生的应力和变形，都与构件的截面的形状和尺寸有关。
反映截面形状和尺寸的某些性质的一些量，如拉伸时遇到的截面面积、扭转时遇 到的极惯性矩和这一章前面遇到的惯性矩、 抗弯截面系数等，统称为截面的几何 性质。
为了计算弯曲应力和变形，需要知道截面的一些几何性质。
现在来讨论截 面的一些主要的几何性质。
11.2.1形心和静矩若截面形心得坐标为y c 和Z C （ C 为截面形心），将面积得每一部分看成平行 力系，即看成等厚、均质薄板的重力，根据合力矩定理可得形心坐标公式•AzdA^ydA静矩又称面积矩。
其定义如下，在图 11.8中任意截面内取一点 M （乙y ）, 围绕M 点取一微面积dA ，微面积对z 轴的静矩为ydA ，对y 轴的静矩为zdA ，则 整个截面对z 和y 轴的静矩分别为：有形心坐标公式J A ydA = Ay eJAzdA = Az e知:S z = f ydA =Aye(c)S y = JA zdA = Az c上式中y e 和Z e 是截面形心e 的坐标，A 是截面面积。
当截面形心的位置已知 时可以用上式来计算截面的静矩。
从上面可知，同一截面对不同轴的静矩不同， 静矩可以是正负或是零；静矩 的单位是长度的立方，用m 3或cm 、mm 等表示；当坐标轴过形心时，截面对该 轴的静矩为零。
当截面由几个规则图形组合而成时， 截面对某轴的静矩，应等于各个图形对(a)S z = J AydAS y = JA zdA(b)该轴静矩的代数和。
其表达式为nS z = W A i yii J nS y = 2 A i zi 丄而截面形心坐标公式也可以写成S Az y C = -----S A i11.2.2惯性矩、惯性积和平行移轴定理从上面可以看出，惯性矩总是大于零， 以是正、负和零；惯性矩、惯性积和极惯性矩的单位都是长度的四次方， cm 、mr^等表示。
同一截面对不同的平行的轴，它们的惯性矩和惯性积是不同的。
同一截面对 二根平行轴的惯性矩和惯性积虽然不同， 但它们之间存在一定的关系。
下面讨论 二根平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。
图11.9所示任意截面对任意轴对z '轴和y '轴的惯性矩、惯性积分别为I z 、丨y ，和2 y ^ 0 过形心C 有平行于z '、y '的两个坐标轴z 和y ， 截面对Z 、y 轴的惯性矩和惯性积为I z 、I y 和 I zy 。
对oz 'y '坐标系形心坐标为C (a,b )。
截面 上选取微面积dA ，dA 的形心坐标为z ，= z +a y ，= y +b图IL 9(d)(e)Z cf) (g)在图11.8中任意截面上选取一微面积 性矩为z 2dA 和VdA 。