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中考一轮复习《第30讲：切线的性质和判定的》课件

2018吉林中考数学第一轮复习考点聚焦归类探究回归教材
第30课时切线的性质和判定
大权数理化工作室郭振权
第29课时┃ 切线的性质和判定
考点聚焦
考点1 切线的性质定理：圆的切垂线直________于经过切点的半径．技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线．
考点2 切线的判定垂直
定理：经过半径的外端并且________于这条半径的直线是圆的切线．
[2为0(12·)玉林 ]
A．r
B.32r
C．2r D.52r
C
考点聚焦归类探究回归教材
第29课时┃ 切线的性质和判定
图29－4
解析连接OD、OE，则∠ODB＝∠DBE＝ ∠OEB＝90°，推出四边形ODBE是正方形，得出BD＝BE＝OD＝OE＝r.根据切线长定理得出MP＝DM，NP＝NE, Rt△MBN的周长为： MB＋NB＋MN＝MB＋BN＋NE＋DM＝BD＋ BE＝r＋r＝2r，故选C.
考点聚焦归类探究回归教材
第29课时┃ 切线的性质和判定
(2)设圆的半径为R，在Rt△BOD中，BO2＝ BD2 ＋OD2. ∵BE＝2，BD＝4, ∴(BE＋OE)2＝ BD2 ＋OD2，即(2＋R)2＝42＋R2，解得R＝3，方故法⊙点O析的半径为3.
“圆的切线垂直于过切点的半径”，所以连接切点和圆心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算的常用方法．
考点聚焦归类探究回归教材
第29课时┃ 切线的性质和判定
方法点在析涉及切线问题时，常连接过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线．如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．

《切线的判定与性质》PPT课件人教版九年级数学

利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺一不可: (1)直线经过半径的外端；(2)直线与这半径垂直.
已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？
.O . Al
第一步：连接OA；第二步：过A点作OA的垂线l.
归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，
切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
.O
几何符号表达：∵直线l切⊙O于点A， A
l
∴OA⊥l
反证法证明切线的性质
如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA
与直线CD垂直.
证明：（1）假设AB与CD不垂直，过
B
点O作一条直线垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM＜OA，即圆心到直线CD的
O
距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O
有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径.
经过半径的外端并判定定理 →且垂直于这条半径
的直线是圆的切线
切线的性质定理
→
圆的切线垂直于经过切点的半径
→
有切线常作辅助线：见切线，连切点，得垂直.
∴△OBD≌△OCE(AAS),
∴OD=OE . ∴AC与⊙O相切.
方法二：
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∵ ⊙O与AB相切于E, ∴OD⊥AB.
又∵△ABC为等腰三角形，
O是底边BC的中点，
B
A D
1
O
E C
∴AO平分∠BAC,
∴OD=OE ，即OE是⊙O半径.
∴AC是⊙O的切线. 方法总结：无交点，作垂1 ， ∴ AB⊥l2，
∴ l1∥l2.
l2

冀教版九年级下册数学《切线的性质和判定》PPT(第2课时)

知2－讲
导引：(1)已知BC是⊙O的直径，可连接CD，构造直径所对的圆周角，结合AD＝DB，可得AC＝BC；
(2)要证DE是⊙O的切线，而点D在圆上，可联想到连接OD，设法证DE⊥OD即可．
解：(1) 连接CD，如图. ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB， ∵AD＝DB， ∴AC＝BC＝2OC＝10.
知1－练
6 如图，AB是⊙O的直径，线段BC与⊙O的交点D 是BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列结论中正确的个数是(D )
①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；
③OA＝ 1 AC；④DE是⊙O的切线．
2
A．1
B．2
C．3
D．4
知识点 2 切线的性质和判定的应用
知2－导
例2 [中考·湖州]如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O 于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接DE. (1)若AD＝DB，OC＝5，求切线AC的长； (2)求证：DE是⊙O的切线．
B．3个
C．2个
D．1个
1 知识小结
切
线
↗的
判
圆
定
的
切
线
↘切线的
性
质
↗ → ↘ ↗ → ↘
定义法数量法d=r 判定定理
切线和圆只有一个公共点圆心到切线的距离等于半径圆的切线垂直于过切点的半径
2 易错小结
如图，点O为∠MPN的平分线上一点，以点O为圆心的⊙O与PN相切于点A. 求证：PM为⊙O的切线．
（来自《典中点》）
知识点 2 切线长定理的应用
知2－讲
例2 如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B， BC为⊙O的直径，连接AB，AC，OP. 求证：(1)∠APB＝2∠ABC； (2)AC∥OP.

冀教版九年级下册数学《切线的性质和判定》教学说课复习课件

知1－练
1 如图，直线AB经过⊙O上一点C，并且OA =OB， CA=CB. 直线AB与⊙O具有怎样的位置关系？请说明理由.
解：AB与⊙O相切，理由如下：连接OC，因为OA＝OB， CA＝CB，所以△AOB是等腰三角形，且OC是△AOB 底边上的中线，所以OC⊥AB.又因为直线AB经过半径OC的外端，所以AB与⊙O相切．
知1－练
4 如图所示，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CA上一点，若∠P＝26°，则∠ABC的度数为( C ) A．26° B．64° C．32° D．90°
知1－练
5 如图，点P在⊙O的直径BA延长线上，PC与⊙O相切，切点为C，点D在⊙O上，连接PD、BD，已知 PC＝PD＝BC.下列结论： ①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形； ③PO＝AB；④∠PDB＝120°. 其中，正确的有( A ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
知1－练
解: 连接OB，则OB＝OD，因为AE与⊙O相切于点B，所以OB⊥AE，即∠ABO＝90°，又因为∠A＝28°，所以∠AOB＝180°－28°－90°＝62°. 所以∠OBD＝∠ODB＝12∠AOB＝31°. 所以∠DBE＝90°－∠OBD＝90°－31°＝59°.
知1－练
3 下列说法正确的是( C ) A．圆的切线垂直于半径 B．垂直于切线的直线经过圆心 C．经过圆心且垂直于切线的直线经过切点 D．经过切点的直线经过圆心
知1－练
2 下列四个命题： ①与圆有公共点的直线是圆的切线； ②垂直于圆的半径的直线是圆的切线； ③到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； ④过直径端点，且垂直于此直径的直线是圆的切线．其中是真命题的是( C ) A．①② B．②③ C．③④ D．①④

24.切线的判定与性质课件

分析：直线 AC 经过半径的一端，因此只要证 OA 垂直于 AC 即可.
证明：∵ AB = AC，∠ABC = 45°，
B
∴∠ACB =∠ABC = 45°.
∴∠BAC = 180° -∠ABC -∠ACB = 90°， O
即 AB⊥AC.
∵ AB 是☉O 的直径，∴ AC 是☉O 的切线. A
C
24.2.3切线的判定与性质
证明：连接 OP，如图.
A
∵ AB = AC，∴∠B =∠C.
∵ OB = OP，∴∠B =∠OPB.
∴∠OPB =∠C.
O
∴ OP∥AC.
∵ PE⊥AC，∴ PE⊥OP.
E
∴ PE为 ⊙O 的切线.
B PC
24.2.3切线的判定与性质
6. 如图，PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点．直线 PO 与 ⊙O交于 B、
（2）则 OM＜OA，即圆心到直线 CD 的
距离小于⊙O 的半径，因此，CD
与⊙O 相交. 这与已知条件“直线
与⊙O 相切”相矛盾；
C
（3）所以假设不成立，故 AB 与 CD 垂直.
O AMD
24.2.3切线的判定与性质
例4 如图，PA 是⊙O 的切线，切点为 A，PO 的延长线交⊙O 于
点 B，连接 AB. 若∠B = 25°，求∠P 的度数.
切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式
O
∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点，
∴直线 l⊥OA.
A
l
24.2.3切线的判定与性质
性质定理的证明证法：反证法
理由是：直径 AB 与直线 CD 要么垂直，要么不垂直.
（1）假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作

【初三数学复习精品课件】切线的性质与判定

切线的性质与判定知识集结知识元切线性质及其应用知识讲解根据切线的性质可知，切线与过切点的半径垂直.该性质可以为角度的计算提供90°的条件.例题精讲切线性质及其应用例1.如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°，则∠BAC等于（）【解析】题干解析:略例2.把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是（）cm【解析】题干解析:解：设圆形螺母的圆心为O，与AB切于E，连接OD，OE，OA，如图所示：∵AD，AB分别为圆O的切线，∴AO为∠DAB的平分线，OD⊥AC，OD⊥AC，又∠CAB=60°，∴∠OAE=∠OAD=∠DAB=60°，在Rt△AOD中，∠OAD=60°，AD=6cm，∴tan∠OAD=tan60°=，即=，∴OD=6cm，则圆形螺母的直径为12cm．故选D．例3.如图，直线l是圆O的切线，切点为A，∠OBA=40°，求∠AOB.【答案】见解析【解析】题干解析:解：由于线段OA是过切点的半径，因此OA⊥l，从而∠OAB=90°，于是∠AOB=90°－40°=50°切线的判定知识讲解判定一条直线是圆的切线的三种方法：(1)根据切线定义判定．即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；(3)根据切线的判定定理来判定．例题精讲切线的判定例1.如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC上一点，以OC为半径的⊙O与CD交于点M，且∠BAC=∠DAM，请判断AM与⊙O的位置关系，并说明理由．【答案】证明：连接OM．在矩形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，∴∠BAC=∠DCA，∵OM=OC，∴∠OMC=∠OCM．∵∠BAC=∠DAM，∴∠DAM=∠OMC．∴∠OMC+∠DMA=∠DAM+∠DMA．在△DAM中，∠D=90°，∴∠DAM+∠DMA=180°﹣90°=90°．∴∠OMC+∠DMA=90°．∴∠AMO=90°，∴AM⊥MO．点M在⊙O上，OM是⊙O的半径，∴AM与⊙O相切．【解析】题干解析:连接OE，由四边形ABCD是矩形，∠BAC=∠DAM，可证得∠OMC+∠DMA=90°，即可得∠AMO=90°，则可证得AM与⊙O相切.例2.如图，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，以CD为直径的⊙O交AC于点E，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．【答案】见解析【解析】题干解析:证明：连接OE，∵CD是⊙O的直径，∴∠CED=90°，∴∠AED=90°，又G为AD的中点，∴EG=AD=DG，∴∠GED=∠GDE，∵OE=OD，∴∠OED=∠ODE，∴∠GED+∠OED=∠GDE+∠ODE，即∠OEG=∠ODG，∵∠ODG=90°，∴∠OEG=90°，∴GE为⊙O的切线．例3.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC 平分∠DAB．求证：DC为⊙O的切线．【答案】见解析【解析】题干解析:（1）证明：连接OC．如图1所示∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠DAC=∠OCA，∴DA∥OC，∵AD⊥DC，∴∠ADC=90°，∴∠OCD=90°，即OC⊥DC，∵OC为半径，∴DC为⊙O的切线．切线判定和性质的综合应用知识讲解证明切线的关键是证明垂直，而证明垂直的关键就是倒角，所以倒角的知识和技巧是重点内容，较综合的题目会对倒角的技巧要求较高.例题精讲切线判定和性质的综合应用例1.如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P=30°，连接AO、AB、AC．求证：△ACB≌△APO．【答案】证明：∵PA为⊙O的切线，∴∠PAO=90度．又∵∠P=30°，∴∠AOP=60°，∵OA=OC，∴∠C=∠OAC，∵∠AOP=∠C+∠OAC，∴∠C=∠AOP=30°，∴∠C=∠P，∴AC=AP．又BC为⊙O直径，∴∠CAB=∠PAO=90°，∴△ACB≌△APO（ASA）．【解析】题干解析:由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，那么AC=AP；根据已知条件我们不难得出∠CAB=∠PAO=90°，这样就凑齐了角边角，那么两三角形就全等了．例2.如图，MP切⊙O于点M，直线PO交⊙O于点A、B，弦AC∥MP，求证：MO∥BC．【答案】证明：∵AB是⊙O的直径，∠ACB是直径所对的圆周角，∴∠ACB=90°．∵MP为⊙O的切线，∴∠PMO=90°．∵MP∥AC，∴∠P=∠CAB．∴∠MOP=∠B．故MO∥BC．【解析】题干解析:证MO∥BC，只需证明同位角∠MOP=∠B即可．例3.如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．（1）求AC、AD的长；（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．【答案】解：（1）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°'，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=45°，∴∠ABD=∠ACD=45°，∠DAB=∠DCB=45°，∴△ADB是等腰直角三角形，∵AB=10，∴AD=BD==5，在Rt△ACB中，AB=10，BC=5，∴AC==5，答：AC=5，AD=5；（2）直线PC与⊙O相切，理由是：连接OC，在Rt△ACB中，AB=10，BC=5，∴∠BAC=30°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴∠COB=60°，∵∠ACD=45°，∴∠OCD=45°﹣30°=15°，∴∠CEP=∠COB+∠OCD=15°+60°=75°，∵PC=PE，∴∠PCE=∠CEP=75°，∴∠OCP=∠OCD+∠ECP=15°+75°=90°，∴直线PC与⊙O相切．【解析】题干解析:（1）连接BD，利用直径所对的圆周角是直角得两个直角三角形，再由角平分线得：∠ACD=∠DCB=45°，由同弧所对的圆周角相等可知：△ADB是等腰直角三角形，利用勾股定理可以求出直角边AD=5，AC的长也是利用勾股定理列式求得；（2）连接半径OC，证明垂直即可；利用直角三角形中一直角边是斜边的一半得：这条直角边所对的锐角为30°，依次求得∠COB、∠CEP、∠PCE的度数，最后求得∠OCP=90°，结论得出．利用切线的性质求线段长度知识讲解圆中求线段的长度问题是非常典型的计算问题，常用的方法包括：利用勾股定理求线段长度、利用面积公式求线段长度等.例题精讲利用切线的性质求线段长度例1.已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，（1）求证：DF与⊙O的位置关系并证明；（2）求FG的长．【答案】（1）证明：连接OD，∵以等边三角形ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点D，∴∠B=∠C=∠ODB=60°，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴∠CFD=∠ODF=90°，即OD⊥DF，∵OD是以边AB为直径的半圆的半径，∴DF是圆O的切线；（2）∵OB=OD=AB=6，且∠B=60°，∴BD=OB=OD=6，∴CD=BC﹣BD=AB﹣BD=12﹣6=6，∵在Rt△CFD中，∠C=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=CD=×6=3，∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，∵FG⊥AB，∴∠FGA=90°，∵∠FAG=60°，∴FG=AFsin60°=．【解析】题干解析:（1）连接OD，证∠ODF=90°即可．（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF长，同理可利用△FHC中的60°的三角函数值可求得FG长．例2.如图，已知以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为弧BE的中点，连接AD交OE于点F，若AC=FC，（Ⅰ）求证：AC是⊙O的切线；（Ⅱ）若BF=5，DF=，求⊙O的半径．【答案】（1）证明：连接OA、OD，∵D为弧BE的中点，∴OD⊥BC，∠DOF=90°，∴∠D+∠OFD=90°，∵AC=FC，OA=OD，∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，∵∠CFA=∠OFD，∴∠OAD+∠CAF=90°，∴OA⊥AC，∵OA为半径，∴AC是⊙O切线；（2）解：∵⊙O半径是r，∴OD=r，OF=5﹣r，在Rt△DOF中，r2+（5﹣r）2=（）2，解得r=4，r=1（舍），即⊙O的半径r为4．【解析】题干解析:（1）连接OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，求出∠OAD+∠CAF=90°，根据切线的判定推出即可；（2）OD=r，OF=8﹣r，在Rt△DOF中根据勾股定理得出方程r2+（8﹣r）2=（）2，求出即可．例3.如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，延长BC到点F，连接AF，使∠ABC=2∠CAF．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若AC=4，CE：EB=1：3，求CE的长．【答案】见解析【解析】题干解析:（1）证明：连接BD，如图1所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵BA=BC，∴BD平分∠ABC，即∠ABC=2∠ABD∵∠ABC=2∠CAF，∴∠ABD=∠CAF，∵∠ABD+∠CAB=90°，∴∠CAF+∠CAB=90°，即BA⊥FA，∴AF是⊙O的切线；（2）解：连接AE，如图2所示：∵AB是⊙O的直径∴∠AEB=90°，即△AEB为直角三角形，∵CE：EB=1：3，设CE长为x，则EB长为3x，BC长为4x．则AB长为4x，在Rt△AEB中由勾股定理可得AE=，在Rt△AEC中，AC=4，AE=，CE=x，由勾股定理得：，解得：，∵x＞0∴，即CE长为．利用切线性质求角度知识讲解圆中求角度问题与直线型图形中计算角度问题所用的知识相近，多出的知识就是圆中新学习的圆心角定理、圆周角定理等.例题精讲利用切线性质求角度例1.如图，AB与⊙O相切于点A，BO与⊙O相交于点C，点D是优弧AC上一点，∠CDA=27°，则∠B的大小是（）【解析】题干解析:解：∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥BA．∴∠OAB=90°．∵∠CDA=27°，∴∠BOA=54°．∴∠B=90°﹣54°=36°．故选：C．例2.如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数（）【解析】题干解析:解：连接OC，∵CD是切线，∴∠OCD=90°，∵∠A=25°，∴∠COD=2∠A=50°，∴∠D=90°﹣50°=40°．故选C．例3.如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．【答案】（1）证明：∵AB，CD是直径，∴∠ADB=∠CBD=90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中，，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）；（2）解：∵BE是切线，∴AB⊥BE，∴∠ABE=90°，∵∠DBE=37°，∴∠ABD=53°，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA=90°﹣53°=37°，∴∠ADC的度数为37°．【解析】题干解析:（1）根据AB，CD是直径，可得出∠ADB=∠CBD=90°，再根据HL定理得出Rt△ABD≌Rt△CDB；（2）由BE是切线，得AB⊥BE，根据∠DBE=37°，得∠BAD，由OA=OD，得出∠ADC的度数．利用切线长定理求边知识讲解利用切线长定理可知，过圆外一点向圆引两条切线，则切线长是相等的.在利用切线长计算长度相关的问题时，这一等量关系尤其重要.例题精讲利用切线长定理求边例1.如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（）【解析】题干解析:解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，∴AC=EC，DE=DB，PA=PB∵△PCD的周长等于3，∴PA+PB=3，∴PA=．故选：A．例2.如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于（）【解析】题干解析:解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD，BE=BF，CG=CF，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∴BC==10，∴BE+CG=10（cm）．故选D．例3.如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（）【解析】题干解析:解：作DH⊥BC于H，如图，∵四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∵AB为直径，∴AD和BC为⊙O 切线，∵CD和MN为⊙O 切线，∴DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，∵四边形ABHD为矩形，∴BH=AD=2，DH=AB=6，设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，在Rt△DCH中，∵CH2+DH2=DC2，∴（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x=，∴CB=CE=，∴△MCN的周长=CN+CM+MN=CN+CM+NF+MF=CN+CM+NF+MB=CE+CB=9．故选A．利用切线长定理求角知识讲解利用切线长定理可知，过圆外一点向圆引两条切线，则切线长是相等的，再根据切线的性质可以得到直角三角形，再利用圆周角定理即可计算多个角的度数，实现倒角的计算.例题精讲利用切线长定理求角如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA=5，则△PCD的周长和∠COD分别为（）（+90°∠+【解析】题干解析:解：∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，∴PA=PB=10，ED=AD，CE=BC；∴△PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2PA，即△PCD的周长=2PA=10，；如图，连接OA、OE、OB．由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，∵AO=OE=OB，易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，∴∠COD=∠AOB，∴∠AOB=180°﹣∠P，∴∠COD=90°﹣∠P．故选：C．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A=50°，点P是圆上异于B、C，且在上的动点，则∠BPC的度数是（）【解析】题干解析:解：如图，连接OB、OC，∵AB、AC是⊙O的切线，∴∠OBA=∠OCA=90°，∵∠A=50°，∴∠BOC=130°，∵∠BOC=2∠P，∴∠BPC=65°；故选A．例3.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD=48°，则∠DBA的大小是（）【解析】题干解析:解：∵CA、CD是⊙O的切线，∴CA=CD，∵∠C=48°，∴∠CAD=∠CDA=66°，∵CA⊥AB，AB是直径，∴∠ADB=∠CAB=90°，∴∠DBA+∠DAB=90°，∠CAD+∠DAB=90°，∴∠DBA=∠CAD=66°，故选C．三角形内切圆及其相关计算知识讲解三角形的内切圆是指三角形的三条边都与圆相切，则三角形的任意两条相邻的边与圆都能构成一组切线长定理模型，则可以用切线长定理来处理，其中内切圆的圆心叫三角形的内心.例题精讲三角形内切圆及其相关计算例1.如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC=5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）【解析】题干解析:解：设E、F分别是⊙O的切点，∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC=17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC=5cm，∴BD+CE=BC=5cm，则AD+AE=7cm，故DM=MF，FN=EN，AD=AE，∴AM+AN+MN=AD+AE=7（cm）．故选：B．例2.如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，AD=13，AC=25，BC=35，则BD的长度为（）【解析】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，∴AF=AD=13，CF=CE，BD=BE，∵AC=25，∴CF=AC﹣AF=25﹣13=12，∵BC=35，∴BF=BC﹣CE=35﹣12=23，∴BD=BE=23．故选A．例3.如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，CA分别相切于点D、E、F．（1）求证：BE=CE；（2）若∠A=90°，AB=AC=2，求⊙O的半径．【答案】解法一：（1）证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F∴AD=AF，BD=BE，CE=CF，∵AB=AC，∴AB﹣AD=AC﹣AF，即BD=CF，∴BE=CE；解法二：（1）证明：连结OB、OC、OE∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠OBC=∠OCB，∴OB=OC，又∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为E，∴OE⊥BC，∴BE=CE；（2）解：连结OD、OE，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°，又∵OD=OF，∴四边形ODAF是正方形，设OD=AD=AF=r，则BE=BD=CF=CE=2﹣r，在△ABC中，∠A=90°，∴，又∵BC=BE+CE，∴（2﹣r）+（2﹣r）=，得：r=，∴⊙O的半径是．题干解析:（1）利用切线长定理得出AD=AF，BD=BE，CE=CF，进而得出BD=CF，即可得出答案；（2）首先连结OD、OE，进而利用切线的性质得出∠ODA=∠OFA=∠A=90°，进而得出四边形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半径．当堂练习单选题练习1.如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°，则∠BAC等于（）【解析】题干解析:略练习2.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=2，以BC的中点O为圆心⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，则的长为（）【解析】题干解析:解：连接OE、OD，设半径为r，∵⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，∴OE⊥AC，OD⊥AB，∵O是BC的中点，∴OD是中位线，∴OD=AE=AC，∴AC=2r，同理可知：AB=2r，∴AB=AC，∴∠B=45°，∵BC=2∴由勾股定理可知AB=2，∴r=1，∴==故选B，练习3.如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数（）【解析】题干解析:解：连接OC，∵CD是切线，∴∠OCD=90°，∵∠A=25°，∴∠COD=2∠A=50°，∴∠D=90°﹣50°=40°．故选C．练习4.如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（）【解析】题干解析:解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，∴AC=EC，DE=DB，PA=PB∵△PCD的周长等于3，∴PA+PB=3，∴PA=．故选：A．练习5.如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于（）【解析】题干解析:解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD，BE=BF，CG=CF，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∴BC==10，∴BE+CG=10（cm）．故选D．练习6.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA=5，则△PCD的周长和∠COD分别为（）（+90°∠+【解析】题干解析:解：∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，∴PA=PB=10，ED=AD，CE=BC；∴△PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2PA，即△PCD的周长=2PA=10，；如图，连接OA、OE、OB．由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，∵AO=OE=OB，易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，∴∠COD=∠AOB，∴∠AOB=180°﹣∠P，∴∠COD=90°﹣∠P．故选：C．练习7.如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，AD=13，AC=25，BC=35，则BD的长度为（）【解析】题干解析:解：∵⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，∴AF=AD=13，CF=CE，BD=BE，∵AC=25，∴CF=AC﹣AF=25﹣13=12，∵BC=35，∴BF=BC﹣CE=35﹣12=23，∴BD=BE=23．故选A．练习8.如图，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC、CD、DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长（）【解析】题干解析:解：如图，连接OC，OD，设⊙O的半径为r，∵BC、CD、DA与半⊙O相切，∴AD边上的高和AO边上的高都为r，∴AO=AD，同理BO=BC，∴AB=AO+BO=AD+BC=2+3=5．故选B．练习9.如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（）【解析】题干解析:解：设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M，CM=x，根据切线长定理，得CN=CM=x，BM=BP=9﹣x，AN=AP=10﹣x．则有9﹣x+10﹣x=8，解得：x=5.5．所以△CDE的周长=CD+CE+QF+DQ=2x=11．故选：C．练习10.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD=48°，则∠DBA的大小是（）【解析】题干解析:解：∵CA、CD是⊙O的切线，∴CA=CD，∵∠C=48°，∴∠CAD=∠CDA=66°，∵CA⊥AB，AB是直径，∴∠ADB=∠CAB=90°，∴∠DBA+∠DAB=90°，∠CAD+∠DAB=90°，∴∠DBA=∠CAD=66°，故选C．解答题练习1.如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，延长BC到点F，连接AF，使∠ABC=2∠CAF．求证：AF是⊙O的切线．【答案】见解析【解析】题干解析:证明：连接BD，如图1所示：∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°，∵BA=BC，∴BD平分∠ABC，即∠ABC=2∠ABD∵∠ABC=2∠CAF，∴∠ABD=∠CAF，∵∠ABD+∠CAB=90°，∴∠CAF+∠CAB=90°，即BA⊥FA，∴AF是⊙O的切线．练习2.如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD交于点E，且∠ACB=∠DCE，求证：CE是⊙O的切线．【答案】见解析【解析】题干解析:证明：连接OE，∵OA=OE，∴∠CAD=∠OEA，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，BC∥AD，∴∠BCA=∠CAD，∵∠ACB=∠DCE，∴∠CAE=∠DCE，∵∠DCE+∠CED=180°﹣∠D=90°，∴∠OEA+∠CED=90°，∴∠OEC=180°﹣90°=90°，∴CE是⊙O的切线．练习3.如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．【答案】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°﹣90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8﹣x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．【解析】题干解析:（1）直线DE与圆O相切，理由如下：连接OD，由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠ODE为直角，即可得证；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的得到x的值，即可确定出DE的长．练习4.如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若∠E=60°，⊙O的半径为5，求AB的长．【答案】解：（1）DE与⊙O相切，理由：连接DO并延长到圆上一点N，交BC于点F，∵AD平分∠BAC交⊙O于点D，∴∠BAD=∠DAC，∴=，∴DO⊥BC，∵DE∥BC，∴∠EDO=90°，∴DE与⊙O相切；（2）连接AO并延长到圆上一点M，连接BM，∵BC∥DE，∴∠ACB=∠E=60°，∴∠M=60°，∵⊙O的半径为5，∴AM=10，∴BM=5，则AB==5．【解析】题干解析:（1）利用垂径定理的推论结合平行线的性质得出∠EDO=90°，进而得出答案；（2）结合已知利用圆周角定理以及勾股定理得出AB的长．练习5.如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．（1）求证：AT平分∠BAC；（2）若AD=2，TC=，求⊙O的半径．【答案】（1）证明：连接OT；∵PQ切⊙O于T，∴OT⊥PQ，又∵AC⊥PQ，∴OT∥AC，∴∠TAC=∠ATO；又∵OT=OA，∴∠ATO=∠OAT，∴∠OAT=∠TAC，即AT平分∠BAC．（2）解：过点O作OM⊥AC于M，∴AM=MD==1；又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，∴四边形OTCM为矩形，∴OM=TC=，∴在Rt△AOM中，；即⊙O的半径为2．【解析】题干解析:（1）PQ切⊙O于T，则OT⊥PC，根据AC⊥PQ，则AC∥OT，要证明AT平分∠BAC，只要证明∠TAC=∠ATO就可以了．（2）过点O作OM⊥AC于M，则满足垂径定理，在直角△AOM中根据勾股定理就可以求出半径OA．练习6.如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．【答案】（1）证明：∵AB，CD是直径，∴∠ADB=∠CBD=90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中，，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）；（2）解：∵BE是切线，∴AB⊥BE，∴∠ABE=90°，∵∠DBE=37°，∴∠ABD=53°，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA=90°﹣53°=37°，∴∠ADC的度数为37°．【解析】题干解析:（1）根据AB，CD是直径，可得出∠ADB=∠CBD=90°，再根据HL定理得出Rt△ABD≌Rt△CDB；（2）由BE是切线，得AB⊥BE，根据∠DBE=37°，得∠BAD，由OA=OD，得出∠ADC的度数．。

中考一轮复习《第30讲：切线的性质和判定的》课件

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第29课时┃ 切线的性质和判定
⊙I 内切于△ABC，切点分别为 D，E，F，如图． 1 则(1)∠BIC＝90°＋ ∠BAC； 2 (2)△ABC 三边长分别为 a，b，c，
规律清单 ⊙I 的半径为 r，则有 1 S△ABC＝ r(a＋b＋c)； 2
(3)(选学)△ABC 中，若∠ACB＝90°，AC＝b， a＋ b－ c BC＝a，AB＝c，则内切圆半径 r＝ 2
切线长
切线长定理
切线的夹角
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第29课时┃ 切线的性质和判定
基本图形如图所示，点P是⊙O外一点，PA，PB切⊙O于点 A，B，AB交PO于点C，则有如下结论： (1)PA＝PB； (2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝ ∠BOP＝∠CAP＝∠CBP
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∴△OBC是正三角形，∴BC＝OC＝2.
(2)证明：∵BC＝CP，∴∠CBP＝∠CPB. ∵△OBC是正三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝60°.
∴∠CBP＝30°， ∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°，
∴OB⊥BP.∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．
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第29课时┃ 切线的性质和判定
第29课时┃ 切线的性质和判定
考点4 三角形的内切圆
三角形的与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，这内切圆个三角形叫圆的外切三角形
三角形的内心
三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．它是三
三条角平分线的交点，三角形的内心到三角形______________ 距离相等边的________
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切线的性质ppt课件

将上述判定1、2反过来，结论是否还成立呢？
成立。
切线的性质： 1、圆的切线与圆只有一个交点。 2、切线与圆心的距离等于半径。
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3
如果直线L是圆O的切线，切点为A，那么半径OA与
直线L是不是垂直呢？
分析：假设OA与L不垂直，过
点作OM⊥L，垂足为M。
O
根据垂线段最短的性质，有
OM﹤OA，这说明圆心O到直线 L的距离小于半径OA，于是直
若不给出图形,结果是否一样?
No 40I°m1a40g° e
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9
PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B， C是⊙O上一点(不与点A 、B 重合)，若 ∠APB=40°，求∠ACB的度数.
A
P 40° C
O C
B
∠ACB=70°，或 ∠ACB=110°
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10
C
D E
例3.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点， A
∠DBC =∠A. 请问BC是⊙O的切线吗？为什么？
C D
E
B
O
A
变式、已知：AB是圆O的直径，C是AB
延长线上的一点，CD切圆O于点D，
DE⊥AB于点E。求证：精∠选pptC课件DB = ∠EDB
18
5、已知：AB是圆O的直径，AC切圆O于点A，DE切圆O于点E，交AC 于点D。求证：AD=CD
圆的切线的性质
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1
知识回顾证明一条直线是圆的切线有哪些方法?
1、直线与圆交点的个数：只有一个交点。 2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。 3、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
解题方法：有交点，连半径，证垂直。

切线的性质定理(课堂)PPT课件

直线与圆的位置关系 ---切线的性质定理
1
直线和圆的位置关系。
r o
d
l
r o
d
l
r od
l
（1）直线l 和⊙O相离（2）直线l 和⊙O相切（3）直线l 和⊙O相交
d>r d=r
d<r
2
如果l是⊙O的切线,
切点为A,那么半径
OA与直线l是不是
一定垂直呢? 一定垂直
3
.O
l
A
切线的性质命题: 圆的切线垂直于经过切点的半径
65°或 115°
C
B
O
P
A
10
11
5、如图，⊙O的直径AB ＝4，C为圆周上一点， AC ＝2，过点C作⊙O的切线 l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O 交于点E．
( 1) 求∠AEC的度数；
（2）求证：四边形OBEC是菱形．
D
C
E
l
A
O
B
12
6.在Rt⊿ABC中,∠ACB=90o,D是边AB上
7
2020/1/3
8
例2：如图, PB切⊙O 于点B，PB=4,PA=2, 则⊙O的半径多少？
r=3
B OA P
学法指导：1.当告诉直线与圆相切，
且明确切点时：连半径，得垂直。 2.设元列方程，构建方程模型。
9
2. 如图：PA,PC分别切⊙ O于点A,C
两点,B为⊙ O上与A,C不重合的点,
若∠P=50°,则∠ABC=___
例1：AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AC于点D,试判断 △AED的形状,并说明理由.
学法指导:当直线与圆相切，且明确告诉切点时：连半径，得垂直。

2切线的性质和判定ppt课件

归类探究
PPT教学课件
焦聚点考
考点聚焦
考点1 圆的切线
切线的性质
圆的切线_垂__直___于__过切点的半径
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过__切__点____；
推论
(2)经过切点且垂直于切线的直线必过__圆___心___
切线的判定
(1)和圆有__惟___一___公共点的直线是圆的切线； (2)如果圆心到一条直线的距离等于圆的__半___径___，那么
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考点聚焦
归类探究
图30－3
┃归类探究
解析 (1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小； (2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得直线PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长．
解析
┃归类探究
解析
方法点析 “圆的切线垂直于过切点的半径”，所以连接
切点和圆心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算的
常用方法．
考点聚焦
归类探究
┃归类探究
探究二、圆的切线的判定方法
命题角度： 1．利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线； 2．利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线．

九年级数学切线的性质与判定2(PPT)4-3

复习: 一.切线的判定方法有那些?
1.定义:一条直线和圆有唯一公共点,这条直线叫圆的切线.
2.d=r 直线和圆相切
A
o
C
B
3.经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线.
AMD显卡制造。化学百科-brh 中文名锑英文名 antimony 分子量 .7 熔点 ℃ 沸点 ℃ 密度 . 7g/cm 外观带有银色光泽的灰色金属应用灭火剂、有机物
如果在研钵中用研杵将它磨碎，就会发生剧烈的爆炸。黑锑是由金属锑的蒸汽急剧冷却形成的，它的晶体结构与红磷和黑砷相同，在氧气中易被氧化甚至自
燃。当温度降到℃时，它逐渐转变成稳定的晶型。黄锑是最不稳定的一种，只能由锑化氢在- ℃下氧化而得。在这种温度和环境光线的作用下，亚稳态的同素
异形体会转化成更稳定的黑锑。 [] 金属锑的结构为层状结构（空间群：Rm No. ），而每层都包含相连的褶皱六元环结构。最近的和次近的锑原子形成变形
目录理化性质 ? 物理性质 ? 化学性质化合物化学循环 4 生产历史应用 ? 阻燃剂 ? 合金 ? 其他应用 7 安全理化性质编辑物理性质锑是一种带有银色光泽
的灰色金属，其莫氏硬度为。因此，纯锑不能用于制造硬的物件：中国的贵州省曾在年发行锑制的硬币，但因为锑很容易磨损，在流通过程损失严重。蒸馏
八面体，在相同双层中的三个锑原子比其他三个相距略近一些。
例:在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等,且AB与小圆相切于点E,
求证:CD与小圆相切.
证明:连结OE,过O作OF⊥CD于F
AB与小圆O切于点E
E
OE⊥AB
OF⊥CD
B
AB=CD
OF=OE OF⊥CD CD与小圆O相切

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