直线的方程——点斜式斜截式截距式一般式
直线与方程知识点归纳
直线与方程知识点归纳1. 直线的定义和性质直线是平面上两个不同点之间的所有点的集合。
直线具有以下性质： - 直线没有宽度和长度，只有方向 - 直线上的任意两点可以确定一条直线 - 直线可以延伸无限远2. 直线的方程直线可以用方程来表示。
常见的直线方程有三种形式：点斜式、斜截式和截距式。
2.1 点斜式点斜式方程的形式为：y - y1 = m(x - x1)其中(x1, y1)是直线上的一点，m是直线的斜率。
2.2 斜截式斜截式方程的形式为：y = mx + b其中m是直线的斜率，b是直线在 y 轴上的截距。
2.3 截距式截距式方程的形式为：Ax + By = C其中A、B和C是常数，且A和B不同时为0。
3. 直线的斜率直线的斜率描述了直线的倾斜程度。
斜率可以通过两点之间的坐标计算得到，公式如下：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个点。
直线的斜率还可以根据直线的方程得到。
对于点斜式和斜截式方程，斜率即为方程中的m值。
对于截距式方程，斜率可以通过以下公式计算：m = -A / B4. 直线的截距直线的截距是指直线与坐标轴的交点。
直线的截距可以通过直线的方程得到。
对于斜截式方程，直线与 x 轴的截距为(b, 0)；直线与 y 轴的截距为(0, b)。
对于截距式方程，直线与 x 轴的截距为(C/A, 0)；直线与 y 轴的截距为(0,C/B)。
5. 直线的平行和垂直关系两条直线平行的条件是它们的斜率相等。
如果直线的斜率为m1，另一条直线的斜率为m2，则两条直线平行的条件为m1 = m2。
两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为 -1。
如果直线的斜率为m1，另一条直线的斜率为m2，则两条直线垂直的条件为m1 * m2 = -1。
6. 直线的倾斜角直线的倾斜角是指直线与 x 轴的夹角。
直线的倾斜角可以通过直线的斜率计算得到。
倾斜角的计算公式为：θ = arctan(m)其中m是直线的斜率。
直线方程的两点式和一般式
思考5:综上分析，任意一条直线的 方程都可以写成Ax+By+C=0的形式， 同时，关于x，y的二元一次方程都 表示直线，方程Ax+By+C=0（A，B不 同时为0）叫做直线的一般式方程.
思考6:设A，B不同时为0，那么集合 M={(x，y)| Ax+By+C=0 }的几何意义如 何？
一般式
问题提出
1.直线的点斜式方程和斜截式方 程分别是什么？平行于坐标轴的直 线方程是什么？
点斜式：y-y0=k(x-x0) y=k(x-a) 斜截式：y=kx+b
2.在不同条件下有不同形式的直线 方程，对此我们再作些探究.
探究（一）：直线的两点式方程
思考1:由一个点和斜率可以确定一 条直线，还有别的条件可以确定一 条直线吗？
知识探究（三）：直线方程的一般式
思考1:直线的点斜式、斜截式、两 点式、截距式方程都是关于x，y的 方程，这些方程所属的类型是什么？ 思考2:二元一次方程的一般形式是 什么？
Ax+By+C=0
思考3:平面直角坐标系中的任意一 条直线方程都可以写成Ax+By+C=0的 形式吗？ 思考4:关于x，y的二元一次方程 Ax+By+C=0（A，B不同时为0）， 当B=0时，方程表示的图形是什么？ 当B≠0时，方程表示的图形是什么？
，此方程叫
做直线的两点式方程，该方程在结构形 式上有什么特点？点P1、P2的坐标满足 该方程吗？ 思考4:若两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)中 有x1=x2，则直线P1P2的方程如何？若 y1=y2呢？
练习： 1.求经过下列两点的直线方程 (1) A(-3,2), B(0,-3) (2) C(0,4), D(4,0) (3) E(3,2) F(0,0) (4) G(2,2) H(2,4)
直线方程的五种形式
2 x 5 y 10 0
五.直线方程的一般式
在平面直角坐标系中 , 对于任何一条直线 , 都有一
个表示这条直线的关于 x, y的二元一次方程 形式为 证明: 关于x, y的二元一次方程的一般
Ax By C 0( A, B不同时为 0)
A C A 1)当B 0时, 有y x , 这 是 斜 率 为 , BC B B 在y轴 上 的 斜 距 为 的直线方程 . B C 2)当B 0时,因A, B不 同 时 为 0, 故A 0, x . A 它表示一条与 y轴平行或重合的直线 .
求这个三角形三边所在 的直线方程 .
解: 把A, B代入两点式 ,得
y0 x (5) 3 0 3 (5)
3x 8 y 15 0
把B, C代入两点式 ,得
y 3 x 3 23 03
5x 3 y 6 0
A(5,0), B(3,3), C (0,2) 例3三角形的顶点是
二
名称
直线方程的五种形式
方程 说明 不包括y轴和平行于y轴 的直线 不包括y轴和平行于y轴 的直线
已知条件
点斜式 点P1(x1,y1)和斜率 y-y1=k(x-x1) k 斜截式 斜率k和y轴上截 距 两点式 点P1(x1,y1)和点 P2(x2,y2) 截距式 在x轴上的截距a 在y轴上的截距b 一般式 A、B不同时为零 y=kx+b
已知直线 l的 斜 率 为 k , 与y轴 的 交 点 是 (0, b), 求直线的方程 . 解: 由直线的点斜式,得 y b k ( x 0)
即y kx b
y
l
方程 y kx b叫做直线方程的斜截式 .
直线方程的四种形式
03
然后，将斜率k代入一般 形式的直线方程 y=kx+b中，得到yy1=k*(x-x1)。
04
最后，将k的具体值代入 上式，得到两点式方程。
谢谢观看
04
法线式
法线式的定义
法线式方程是形如 (y - y_1 = m(x x_1)) 的直线方程，其中 (m) 是直线 的斜率，((x_1, y_1)) 是直线上的一 点。
VS
法线式方程表示的是通过点 ((x_1, y_1)) 且斜率为 (m) 的直线。
法线式的应用场景
当已知直线上的一点和斜率时，可以使用法线式方程来表示该直线。
进一步变形，得到 (y - y_1 = frac{A}{B}(x - x_1))，这就是法
线式方程。
05
点向式
点向式的定义
点向式是指通过直线上的一点和直线的方向 向量来表示直线方程的一种形式。具体地， 点向式方程可以表示为 (x - x_1 = m(y y_1))，其中 ((x_1, y_1)) 是直线上的一个点， (m) 是直线的方向向量。
详细描述
在几何问题中，如果已知直线上的一点和斜率，就可以使用点斜式来求解直线的方程。 例如，在解析几何、物理和工程领域中，点斜式被广泛应用于解决与直线相关的问题。
点斜式的推导过程
要点一
总结词
点斜式可以通过直线上两点的坐标来推导得出。
要点二
详细描述
设直线上的两点为 (x1, y1) 和 (x2, y2)，其中 x1 ≠ x2。根据 两点式，直线的斜率 m = (y2 - y1) / (x2 - x1)。将这个斜率 和一点 (x1, y1) 代入点斜式方程，即可得到直线的方程为 y y1 = m(x - x1)。
直线的方程
练习1 根据下列条件写出直线方程， 并化成一般式
1 ( 1 )斜 率 是 ， 经 过 点 ( 8 ,2 ) A 2 ( 2 )经 过 点B( 4 ,2 ),平 行 于x轴 3 ( 3 )在x轴 和y轴 上 的 截距 分 别 是 ， 3 2 ( 4 )经 过 两 点 1 ( 3 ,2 ), P2 ( 5 ,4 ) P
若求过两点Ax1，y1 ，Bx2，y2 x1 x2 的直线方程呢？
直线方程的两点式：
已知直线l经过点Px1，y1 ，P2 x2，y2 x1 x2 . 1
求直线l的方程.
y 2 - y1 . 推导：直线l的斜率k x 2 - x1
当 y2 y 1时 ,方 程 可 写 成 y - y1 x - x1 .x 1 x 2 y1 y 2 y 2 - y1 x 2 - x 1
4 4 k 0 9k 2 9k 12 k k 4 2 当 且 仅 当 9k时,即k 时 取 最 小 值 . k 3 S 12
此时直线 l的方程为 2 x 3 y 12 0. :
2 2 2.截 距 和 2 3k 3 5 3k 5 2 6 k k 2 6 当 且 仅 当 3k 时,即k 时, k 3 截距和取到最小值为 2 6 :5
这 就 是 直 线 AB的 方 程 .
直 线 A C 过 A 5, 0、 C0, 2 点 ， 由 距式 得 两 截
整理得 x y 1， 5 2 2x 5y 10 0.
这就 是直线AC的方 程 .
注意恰当选取直线方程 的形式解题 .
练 习:
1.求 过 下 列 两 点 直 线 的 两 式 方 程 化 成 斜 截 式 方 程 点 ,再 . y 1 x2 1. p1 2,1, p2 0,3 ; 整理得y 2 x 3 31 0 2
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式资料讲解
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．二、教材分析1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程(一)点斜式已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3注意方程(1)与方程(2)的差异：点P 1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P 1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l 的方程．重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l 上，所以这个方程就是过点P 1、斜率为k 的直线l 的方程．这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y 1．当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x=x 1．(二)斜截式已知直线l 在y 轴上的截距为b ，斜率为b ，求直线的方程．这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k ，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y -b=k(x-0)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y 轴上的截距确定的．当k ≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k 和b 的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y 轴上的截距．(三)两点式已知直线l 上的两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，(x 1≠x 2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l 的方程．当y 1≠y 2时，为了便于记忆，我们把方程改写成请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式．对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x 1=x 2或y 1=y 2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y 就用x 代换得到，足码的规律完全一样．(四)截距式例1 已知直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b(a ≠0，b ≠0)，求直线l 的方程．此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题，由学生自己完成．解：因为直线l 过A(a ，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得就是学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式．对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y 轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．(五)例题例2 三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(图1-27)，求这个三角形三边所在直线的方程．本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫．解：直线AB 的方程可由两点式得：即 3x+8y+15=0这就是直线AB 的方程．BC 的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，我们选用下面途径：由斜截式得：即 5x+3y-6=0．这就是直线BC 的方程．由截距式方程得AC 的方程是仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6即 2x+5y+10=0．这就是直线AC 的方程．(六)课后小结(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别．(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．(3)要注意四种形式方程的不适用范围．五、布置作业1．(1.5练习第1题)写出下列直线的点斜式方程，并画出图形：(1)经过点A(2，5)，斜率是4；(4)经过点D(0，3)，倾斜角是0°；(5)经过点E(4，-2)，倾斜角是120°． 解：2．(1.5练习第2题)已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：解：(1)(1，2)，k=1，α=45°；(3)(1，-3)，k=-1，α=135°；仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢73．(1.5练习第3题)写出下列直线的斜截式方程：(2)倾斜角是135°，y 轴上的截距是3．4．(1.5练习第4题)求过下列两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程，并根据截距式方程作图．(1)P1(2，1)、P2(0，-3)；(2)A(0，5)、B(5，0)；(3)C(-4，-3)、D(-2，-1)． 解：(图略)六、板书设计。
直线的一般式方程
典型例题
例. 已知直线 l1：2x+(m+1)y+4=0与 直线 l 2：mx+3y-2=0平行，求m的值
5．已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m
＝0，当m为何值时，直线l1与l2：
(1)平行；
(2)垂直。
解：当m＝0时，l1：x＋6＝0，l2：2x－3y＝0，l1与l2相
y2 y1x x1 x2 y x1y1 y2 y1x2 x1 0 bx ay ab 0
上述四式都可以写成以下形式：
Ax＋By＋C＝0，(A、B不同时为0)
直线的一般式方程:
Ax By C 0 ，其中A，B不同时为0
①当B≠0时
y AxC BB
一般式
是以- A 为斜率， C 为截距的直线
A.R
B.(0,+∞)
C.(-∞,0)
D.[1,+∞)
【解析】选C.直线l的斜率k=-m,直线l的倾
斜角为锐角,则k>0,所以-m>0,所以m<0.
思考2 上述四种直线方程，能否写成如下统 一形式？
Ax+By+C=0
上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？ ? x+ ? y+ ? =0
y y0 kx x0
y kxb
kx 1y y0 kx0 0 kx 1y b 0
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1 x y 1 ab
练习．求平行于直线3x＋2y－6＝0，且在两坐
标轴上截距之和为－2的直线方程。
解：设所求直线的方程为3x＋2y＋λ＝0，
令x＝0，则y＝ ，令y＝0，则x＝ ，
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式
直线方程得点斜式、斜截式、两点式与截距式一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内,已知直线上一点与直线得斜率或已知直线上两点,会求直线得方程;给出直线得点斜式方程,能观察直线得斜率与直线经过得定点;能化直线方程成截距式,并利用直线得截距式作直线.(二)能力训练点通过直线得点斜式方程向斜截式方程得过渡、两点式方程向截距式方程得过渡,训练学生由一般到特殊得处理问题方法;通过直线得方程特征观察直线得位置特征,培养学生得数形结合能力.(三)学科渗透点通过直线方程得几种形式培养学生得美学意识.二、教材分析1.重点:由于斜截式方程就是点斜式方程得特殊情况,截距式方程就是两点式方程得特殊情况,教学重点应放在推导直线得斜截式方程与两点式方程上.2.难点:在推导出直线得点斜式方程后,说明得到得就就是直线得方程,即直线上每个点得坐标都就是方程得解;反过来,以这个方程得解为坐标得点在直线上.得坐标不满足这个方程,但化为y-y1=k(x-x1)后,点P1得坐标满足方程.三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合.四、教学过程(一)点斜式已知直线l得斜率就是k,并且经过点P1(x1,y1),直线就是确定得,也就就是可求得,怎样求直线l得方程(图1-24)？设点P(x,y)就是直线l上不同于P1得任意一点,根据经过两点得斜率公式得注意方程(1)与方程(2)得差异:点P1得坐标不满足方程(1)而满足方程(2),因此,点P1不在方程(1)表示得图形上而在方程(2)表示得图形上,方程(1)不能称作直线l 得方程.重复上面得过程,可以证明直线上每个点得坐标都就是这个方程得解;对上面得过程逆推,可以证明以这个方程得解为坐标得点都在直线l上,所以这个方程就就是过点P1、斜率为k 得直线l得方程.这个方程就是由直线上一点与直线得斜率确定得,叫做直线方程得点斜式.当直线得斜率为0°时(图1-25),k=0,直线得方程就是y=y1.当直线得斜率为90°时(图1-26),直线得斜率不存在,它得方程不能用点斜式表示.但因l上每一点得横坐标都等于x1,所以它得方程就是x=x1.(二)斜截式已知直线l在y轴上得截距为b,斜率为b,求直线得方程.这个问题,相当于给出了直线上一点(0,b)及直线得斜率k,求直线得方程,就是点斜式方程得特殊情况,代入点斜式方程可得:y-b=k(x-0)也就就是上面得方程叫做直线得斜截式方程.为什么叫斜截式方程？因为它就是由直线得斜率与它在y轴上得截距确定得.当k≠0时,斜截式方程就就是直线得表示形式,这样一次函数中k与b得几何意义就就是分别表示直线得斜率与在y轴上得截距.(三)两点式已知直线l上得两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),(x1≠x2),直线得位置就是确定得,也就就是直线得方程就是可求得,请同学们求直线l得方程.当y1≠y2时,为了便于记忆,我们把方程改写成请同学们给这个方程命名:这个方程就是由直线上两点确定得,叫做直线得两点式.对两点式方程要注意下面两点:(1)方程只适用于与坐标轴不平行得直线,当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时,可直接写出方程;(2)要记住两点式方程,只要记住左边就行了,右边可由左边见y就用x代换得到,足码得规律完全一样.(四)截距式例1 已知直线l在x轴与y轴上得截距分别就是a与b(a≠0,b≠0),求直线l 得方程.此题由老师归纳成已知两点求直线得方程问题,由学生自己完成.解:因为直线l过A(a,0)与B(0,b)两点,将这两点得坐标代入两点式,得就就是学生也可能用先求斜率,然后用点斜式方程求得截距式.引导学生给方程命名:这个方程就是由直线在x轴与y轴上得截距确定得,叫做直线方程得截距式.对截距式方程要注意下面三点:(1)如果已知直线在两轴上得截距,可以直接代入截距式求直线得方程;(2)将直线得方程化为截距式后,可以观察出直线在x轴与y轴上得截距,这一点常被用来作图;(3)与坐标轴平行与过原点得直线不能用截距式表示.(五)例题例2 三角形得顶点就是A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2)(图1-27),求这个三角形三边所在直线得方程.本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫.解:直线AB得方程可由两点式得:即 3x+8y+15=0这就就是直线AB得方程.BC得方程本来也可以用两点式得到,为简化计算,我们选用下面途径:由斜截式得:即 5x+3y-6=0.这就就是直线BC得方程.由截距式方程得AC得方程就是即 2x+5y+10=0.这就就是直线AC得方程.(六)课后小结(1)直线方程得点斜式、斜截式、两点式与截距式得命名都就是可以顾名思义得,要会加以区别.(2)四种形式得方程要在熟记得基础上灵活运用.(3)要注意四种形式方程得不适用范围.五、布置作业1.(1、5练习第1题)写出下列直线得点斜式方程,并画出图形:(1)经过点A(2,5),斜率就是4;(4)经过点D(0,3),倾斜角就是0°;(5)经过点E(4,-2),倾斜角就是120°.解:2.(1、5练习第2题)已知下列直线得点斜方程,试根据方程确定各直线经过得已知点、直线得斜率与倾斜角:解:(1)(1,2),k=1,α=45°;(3)(1,-3),k=-1,α=135°;3.(1、5练习第3题)写出下列直线得斜截式方程:(2)倾斜角就是135°,y轴上得截距就是3.4.(1、5练习第4题)求过下列两点得直线得两点式方程,再化成截距式方程,并根据截距式方程作图.(1)P1(2,1)、P2(0,-3);(2)A(0,5)、B(5,0);(3)C(-4,-3)、D(-2,-1).解:(图略)六、板书设计。
直线截距式、一般式
(
x1
x2 ,y1
y2)
两点
截距式
x a
y b
1a
,b
0
②什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系?
直线的一般式方程: Ax+By+C=0
（A，B不同时为0）
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值 时，方程表示的直线为：
(1)平行于x轴 A=0且B≠0且C ≠0 (2)平行于y轴 B=0且A≠0且C ≠0 (3)与x轴重合 A=0 且C=0且B≠0 (4)与y轴重合 B=0 且C=0且A ≠0
1、过点1（、0过，5）点，（0（，5）5，0，）（5，0）直线方程为：5x
y 5
1
2、过点（2、0，过3）点，（（0，34），0，）（4，0）直线方程为：x y 1
,0）的直线方程（. 其中a 0,b 0）
ly
（0, b）
O （a,0） x
x y 1 ab
小结
1. 直线方程常见的几种形式及其特点和适 用范围.
2. 直线的一般式方程
P99 练习 1 P100习题3.2 A. 8,9
谢谢！ 再见！
直线的截距式，一般式
复习引入
1.点斜式方程： y－y0＝k(x－x0) (已知定点 (x0, y0)及斜率k存在)
2. 斜截式方程：y＝kx＋b [已知斜率k存在 及截距 b(与y轴交点(0, b)]
3. 两点式方程：
[已知两定点(不适合与x轴 或y轴垂直的直线)]
引入 已知下列条件，求直线方程
C
.
不
经
过
原
点
的
直
线都
可
以
用
高一数学直线的一般式方程
例2.把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0 化成斜截式，求出直线l的斜率以及它 在x轴与y轴上的截距，并画出图形.
例2.把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0 化成斜截式，求出直线l的斜率以及它 在x轴与y轴上的截距，并画出图形.
练习.教材P.99-P.100练习第1、2题.
思维拓展
复习引入
4. 截距式方程：
x y 1 ab
[已知截距a(与x轴交点(a,0))及截距b(与y轴
交点(0, b))不适合过原点的直线]
5. 一般式方程： Ax＋By＋C＝0 (A、B不同时为0)
特别的，l1:y＝k1x＋b1，l2:y＝k2x＋b2， 则 l1 //l2 k1＝k2，且b1≠b2；
3.2.3直线的一般 式方程
主讲教师：
复习引入
1.点斜式方程： 2. 斜截式方程：
3. 两点式方程：
复习引入
1.点斜式方程： y－y0＝k(x－x0) (已知定点 (x0, y0)及斜率k存在)
2. 斜截式方程：y＝kx＋b [已知斜率k存在 及截距 b(与y轴交点(0, b)]
3. 两点式方程： y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
l1⊥ l2k1·k2 ＝－1.
讲授新课
研读教材P.97－P.98: 1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可
以用一个关于x, y的二元一次方程表 示吗？
讲授新课
研读教材P.97－P.98: 1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可
以用一个关于x, y的二元一次方程表 示吗？ 2. 每一个关于x、y的二元一次方程都表 示一条直线吗？
讲授新课
研读教材P.97－P.98: 1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可
高效课堂直线的两点式、截距式与一般式
2
导学案反馈
11班
优秀小组
存在问题
完 成 情 况
优秀个人
进步个人
一、学习态度方面： 不能够按要求化简为相应 的表达式 二、知识理解方面： 张帆、耿苗、王迪、秦瑶、 王招、张梦杰、靳浩、王 1、各种直线方程表达式 婷、张琳娜、程鑫、秦瑶、 的适用范围 2、求解直线方程时各种 戴星 表达式的选用 彭楠、李卓、朱腾、魏今 3、计算能力堪忧 朝、李晏竹、崔鑫
1.求经过点P(0，5)，且在两坐 标轴上的截距之和为2的直线方程.
2.已知直线经过点A（6，-4）， 4 斜率为 3 ，求直线的点斜式和一般 式方程.
3.把直线l的一般式方程 x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的 斜率以及它在x轴与y轴上的截距， 并画出图形.
当堂小结
老师 • 知识
学科 • 课堂情况 班长
导学案反馈
10班
优秀小组
存在问题
完 成 情 况
优秀个人
进步个人
一、学习态度方面： 不能够按要求化简为相应 的表达式 二、知识理解方面： 马翠婷、徐泽程、吴宽、 刘敏、王海艳、李洋、毛 1、各种直线方程表达式 晨阳、桑雨欣、王婷、王 的适用范围 2、求解直线方程时各种 炫镔、姚家明、杨柳 表达式的简便选用 周勇行、李文龙、张嘉俊、 3、计算能力堪忧 贾锦涛
比例式可化为
y y1 x x1 且 x1 x2 , y1 y2 y2 y1 x2 x1
此方程叫做直线的两点式方程，该方 程在结构形式上有什么特点？
知识探究（二）：直线的截距式方程
思考1:若直线l经过点A(a，0)，B(0， b)，其中a≠0，b≠0，则直线l的方 程如何？
点评安Байду номын сангаас及目标要求(10)
8.2.3---直线的截距式与一般式
能否统一写成
？x+ ？ y+ ？= 0
（1）当 A 0，B 0 时，二元一次方程Ax By C 0 可化为
y A C A x ．表示斜率为 k ，纵截距 b C 的直线． B B B B
（2）当 A 0x 2 3 3
这是直线的斜截式方程，由公式知直线l的在y轴上的截距为
3 2 3．
例3
已知直线l1、l2、l3的位置如图所示，写出直
线l1、l2、l3的一般式方程
巩 固 知 识 典 型 例 题
l1
2 1 -3 -2 -1 -1 -2 1 2
M（1，2）
l2
l3
求直线 x 2 y 8 0 在x轴、y轴上的截距及斜率．
方程 Ax By C （ 0 其中A、B不全为零 ）叫做直线的一般式 方程．
Ax By C 0 （其中A、
B不全为零）表示一条直线．
1.直线的一般式方程
我们把关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0 (A,B不同时为零) 叫做直线的一般式方程,简称一般
式
注：对于直线方程的一般式，一般作如下 约定： 1、一般按含x项、含y项、常数项顺序排列 2、x项的系数为正； 3、x，y的系数和常数项一般不出现分数； 4、无特别说明时，最好将所求直线方程的 结果写成一般式。
动 脑 思 考 探 索 新 知
C C ，表示经过点 P 0, B B
且平行于x轴的直线（如下左图）．
C C x （3）当 A 0，B 0 时，方程为 ，表示经过点 P , 0 A A
所以，二元一次方程
且平行于y轴的直线（如下右图）．
直线方程的几种形式
3 3 y = − x − 3∴ k = − , b = −3. 2 2
所求直线方程为 y = − 3 x − 3
三.直线的两点式方程 直线的两点式方程
y 2 − y1 ( x 1 ≠ x 2 ). 解: 依题意 , k = x 2 − x1
代入点斜式,得 代入点斜式 得
已知直线 l经过两点 P1 ( x 1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), 经过两点 且x 1 ≠ x 2 , 求直线的方程 .
对于方程 y − y 1 = k ( x − x 1 ), 直线 l 上的每一个 点 P ( x , y )都是这个方程的解 ; 反之 ,以方程的 解为坐标的点都在直线 l 上 . y l
y − y1 = k ( x − x1 )
α
P1
P2
O
x
是过点P1 ( x1 , y1 ), 斜率为k的直线l的方程. 特征: 特征 (1)已知直线上的一个点 P ( x1 , y1 );
3 x + 8 y + 15 = 0
5x + 3 y − 6 = 0
把B,C代入两点式, 得
y +3 x −3 = 2+3 0−3
例3三角形的顶点是 A( −5,0), B( 3,−3), C (0,2)
求这个三角形三边所在 的直线方程 .
解: 把A,C代入两点式 , 得 y − 0 x − (−5) = 2 − 0 0 − (−5)
一.直线的点斜式方程
y − y1 y − y1 = k ( x − x1 )(2) k= (1) x − x1 显然,点 的坐标不满足方程(1) 显然 点P1的坐标不满足方程
而满足方程(2)，因此， 不在方程(1)表示的 而满足方程 ，因此，点P1不在方程 表示的 图形上而在方程(2)表示的图形上 方程(1)不能 表示的图形上， 图形上而在方程 表示的图形上，方程 不能 称作直线的方程． 称作直线的方程．
高一数学直线的一般式方程
课后作业
1. 阅读教材P.97到P.99；
2. 《习案》二十一.
；/ 除甲醛公司；
被根汉给糟蹋了已经,不过最终の结果,并没有改变,她们还是壹起成为了根汉の女人,只不过这过程却远不如第壹回那样狗血."是呀,他变成了真正の男人,有担当の男人..."阿上叹了口气道："而咱们也早已不是当年青涩の咱们了,现在咱们也步入了壹个新の阶段,有些东西已经烙进咱 们元灵深处了,此生都无法改变了.""蓉蓉,你有后悔过吗?"张素尔问她.阿上笑着反问她："你呢?""没有..."她摇了摇头,无奈の苦笑,"不怕你笑话咱,昨天晚上咱睡觉の时候,还梦到了他呢...""小素尔哦,看来你是爱过火了,是不是梦到和他那个了呀?"阿上调皮の笑道.张素尔俏脸微红, 没有搭理她,阿上又自言自语の说："其实昨天晚上咱听到了某人の梦话,好像说什么好舒服之类の,实在是不知羞耻呀...""咱哪有说,咱只是在梦里和他亲了嘴了..."张素尔俏脸更红了,都快能滴出血来了,阿上嘿嘿笑道："你看看你,不打自招了嘛,亲完嘴了,总会再做点别の吧...""说 实话咱还是挺羡慕你の,起码你和他那个了,你们有实质の关系了,咱和他现在还..."说到这个,阿上有些苦恼.张素尔红着脸问道："你干吗不和他那个呀?是有什么难言之隐吗?"既然都是这么多年の闺蜜姐妹,这些私房话她们私里下,还是好意思说出口の,也没什么大不了の,也没他人在 场."咱の体质受损了,现在还没有恢复过来,不宜和他发生那种关系..."阿上有些郁闷の说."都这么多年了,还是没恢复吗?"张素尔有些担忧道,"那得多久才能恢复,你改道绝情.,不是已经
高一数学直线的一般式方程
苏东坡怎么会写给海棠？诗人居然也会偏心！我总是认为，一切好的诗句都是要给梅花的。红梅、粉梅、绿梅、白梅。从颜色上分，南京梅花山上好像只有这四种。中国人干什么事情都喜欢排座次，去厕所也是领导雄赳赳在先。《水浒》中一百单八个英雄居然个个都排到，一排一排前前后后地
坐，就是不肯大家都坐一排或混坐，混坐其实最平等，我喜欢到大澡堂洗澡便如此，大家欢欢喜喜赤诚相见，管他谁长谁短！再说到梅花，你就无法排座次，红、白、粉、绿我认为都好，各有各的风韵。梅花是，全开的时候好，半开的时候也好，各有各的好。梅花开得时候，小小的花苞从米粒
还有就是陆放翁，他的多少好诗我都要放在一边，早上起来在南窗下习字，常常一动笔就写他那首《卜算子·咏梅》，说到习字，不是帖子和修养让我收敛且沉静，只是这首放翁的词让我一点点不敢张扬。尝见有人用草书飞扬跋扈地写这首著名的词作，心上便有些难过，那飞扬的草书只好去写
岳飞的《满江红》。陆放翁的梅花开在黄昏时分的驿站外，那桥既然已经断掉，而且又无人去修，其寂寞可以想见，这首词是静，是孤独的徘徊，是极慢的拍子，一拍、一拍、一拍、一拍，和草书有什么关系？ ? 北方没有梅，这就让人觉着北方真是不像话！好事怎么非得都让南方占尽？比如竹
自珍生气的梅桩盆景，盆景梅花毕竟是盆景，一个人面对一盆梅花，不知是人在那里孤芳自赏还是梅在孤芳自赏？反过来说一句，真不知孤芳自赏的是人还是梅？梅花的香，细究起来，之所以让人觉着特别的香，问题在于这时候除了梅花确实还没有其它的花，既无花，何谈香哉？所以梅的香是
只此一家，别无分店！各种的梅里，我最喜欢的是白梅，当然最好是绿萼，开起来让人觉着有无限的春意在里边。朱砂梅固然好，但是太热闹，太热闹的东西我总是不太喜欢。除非是和朋友在一起喝酒，喝酒要的就是热闹！斯斯文文喝酒叫喝酒吗？我不太喜欢红梅，但每每想起《红楼梦》中宝
高二数学：7.2.1《直线的方程——点斜式、斜截式》教案(湘教版必修三)
7.2直线的方程一、素质教育目标1、知识教学点⑴直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，它们之间的内在联系⑵直线与二元一次方程之间的关系⑶由已知条件写出直线的方程⑷根据直线方程求出直线的斜率、倾斜角、截距，能画方程表示的直线2、能力训练点（1）通过对直线方程的点斜式的研究，培养学生由特殊到一般的研究方法（2）通过对二元一次方程与直线的对应关系的认识和理解，培养学生的数、形转化能力（3）通过运用直线方程的知识解答相关问题的训练，培养学生灵活运用知识分析问题、解决问题的能力。
二、学法指导本节主要学习直线方程的五种形式，应理解并记忆公式的内容，特别要搞清各个公式的适用范围：点斜式和斜截式需要斜率存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示过原点及与坐标轴垂直的直线。
一般式虽然可表示任意直线但它所含的变量多，故在运用时要灵活选择公式，不丢解不漏解。
三、教学重点、难点1、重点：直线的点斜式和一般式的推导，由已知条件求直线的方程2、难点：直线的点斜式和一般式的推导，如何选择方程的形式，如何简化运算过程。
四、课时安排本课题安排3课时五、教与学过程设计第一课时直线的方程－点斜式、斜截式●教学目标1.理解直线方程点斜式的形式特点和适用范围.2.了解求直线方程的一般思路3.了解直线方程斜截式的形式特点.●教学重点直线方程的点斜式●教学难点点斜式推导过程的理解.●教学方法学导式●教具准备幻灯片●教学过程1、创设情境已知直线l过点（1,2），斜率为2，则直线l上的任一点应满足什么条件？分析：设Q(x,y)为直线l上的任一点，则k PQ= 1,即(y―1)/(x―1)= 2(x≠1),整理得y―2=2（x―1）又点（1,2）符合上述方程，故直线l 上的任一点应满足条件y ―2=2（x ―1）回顾解题用到的知识点：过两点的斜率的公式：经过两点P 1（x 1,y 1），P 2（x 2,y 2）的直线的斜率公式是：)(211212x x x x y y k ≠--= 2、提出问题问：直线l 过点（1,2），斜率为2，则直线l 的方程是y ―2=2（x ―1）吗？回想一下直线的方程与方程的直线的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。
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方程
y y0； k(x x0 )
（2）坐标满足这个方程的每一点都在过点P0 (x0,,y斜0 )率
为k的直线 上l .
2020年1月17日星期五
1.点斜式方程
经过点 P0 (x0, y0 ) 斜率为k的直线l 的方程为：
y y0 k(x x0 )
这个方程是由直线上一定点及其斜率确定，
o
x
即： y kx b
l
式中：b ---直线 在l y轴上的截距(直线与y轴交点的纵坐
标)
k ---直线 的斜l 率
这个方程由直线的斜率k和在y轴上的截距b确定，也
叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.
2020年1月17日星期五
例二：
写出下列直线的斜率和在y轴上的截距：
（1）y 3x 2 (2) y 3x (3)x 3y 2
②倾斜角α=0°
y y0 0或y y0
③倾斜角α=90°
x x0 0或x x0
2020年1月17日星期五
例一:
1.已知直线经过点 P,斜2,3率 为２，求这条直线的方程. 2.已知直线经过点 P，1,3求
（1）倾斜角为 0时的直线方程： y 3 ；
（2）倾斜角为 45时 的直线方程： y 3 x；1
y2
o
x
y x 2
y 3x 2 y 3x 2
直线 y kx是 2过定点 （0，2）的直线束；
2020年1月17日星期五
y yx2
y2
y
2x
4
y
y
2
x
y 2x 4
o
x
y x 2
o
x
y 3x 2 y 3x 2
直线 y k是x 过2 定点 （0，2）的直线束；
P(x, y)
P0 (x0 , y0 )
y y0
设直线任意一点（P0除外）的坐标为P(x,y)
y y0 k x x0
(x x0 )
⑴
x x0
o
故: y y0 k(x x0 ) (x x0 ) ⑵
x
（1）过点P0 (x0,,斜y0 )率为k的直线 上每l 个点的坐标都满足
2
k y2 y1 x2 x1
2020年1月17日星期五
确定直线的要素
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何 要素是：
直线上的一个定点以及它的倾斜角
y
l
OP
x
2020年1月17日星期五
1.点斜式方程
问题2：若直线l 经过点 P0 (x0,,斜y0 )率为k, 则此直线 的方
程是？
y
l
是不是任意一条直线都有其截距式方程呢?
注意：
①不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线 ②截距可是正数,负数和零
2020年1月17日星期五源自2020年1月17日星期五
1.点斜式方程
y
l
P0(x0,y0)
x
O
x0
直线上任意点 横坐标都等于x0
l与x轴垂直 倾斜角为90° 斜率k 不存在 不能用点斜式求方程
x x0 x x0 0
2020年1月17日星期五
点斜式方程
y
l
①倾斜角α≠90°
x y
y0
l
x
y
l
O x0
x
y y0 k(x x0 )
y 1 x 2 33
思：截距是距离吗？
不是，截距是坐标，可是正数,负数和零
2020年1月17日星期五
（3）k为常数时，下列方程所表示的直线过定点吗？
1y kx 2 0,2 2y kx 3k 2 y 2 kx 3 3,2
y yx2
解方程组得： k 1 b2
方程思想
所以:直线方程为: y=x+2
2020年1月17日星期五
3.截距式方程
例2:已知直线 l 与x轴的交点为A(a,0),与y轴的
交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l 的方程．
解：设直线方程为：y=kx+m
将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入, 得:
（3）倾斜角为90时 的直线方程l ： x 1 .
y
P0 (x0 , y0 )
o x0
x
x x0
2020年1月17日星期五
2.斜截式方程
问题3：已知直线l 的斜率为k，与y轴的交点是点P
（0，b)，求直线 l 的方程.
y
解： 由直线的点斜式方程，得： （0，b）
y b k(x 0)
所以我们把它叫做直线的点斜式方程；简称：
点斜式.
注意： 点斜式方程的形式特点.
2020年1月17日星期五
1.点斜式方程
特别的，
y
P0(x0,y0)
y0
l
x O
直线上任意点 纵坐标都等于y0
l与x轴平行或重合 倾斜角为0° 斜率k=0
y y0 0 (x x0 )
y y0 0
y y0
必修5
2020年1月17日星期五
复习：
倾斜角 • x轴正方向与直线向上方向之间所成的角α
倾斜角的范围： y
倾斜角
0 180 a 斜率：
k tan ( 90 )
x
0, k 0;
,
2
k不存在;
0 (锐角), k 0;
2
(钝角), k 0
y 2xy1 2x 1
直线 y 2x表 示b 斜率为2的一系 列平行直线.
2020年1月17日星期五
课堂小结：
学案P110例4
直线过点 P0 x0, y0
（1）斜率为K，
点斜式方程：y y0 kx x0
P0取0, b
斜截式方程： y kx b（对比：一次函数）
共同点：不能表示垂直于x轴的直线(斜率不存在) （2）斜率不存在时，即直线与x轴垂直， 则直线方程为：x x0
2020年1月17日星期五
例1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直 线的方程． 一般做法：
解：设直线方程为：y=kx+b
由已知得：43
kb 2k b
ak m 0 0 m b ,
即 x y 1.
k
b a
,
m b
y
b a
x b,
ab
所以直线l 的方程为：x y 1. ab
2020年1月17日星期五
3.截距式方程
x y 1. ab 直线与 x 轴的交点(a, o)的横坐标 a 叫做 直线在 x 轴上的截距 直线与 y 轴的交点(0, b)的纵坐标 b 叫做 直线在 y 轴上的截距