结构动力学3-3w总结
(完整word版)结构动力学复习 新汇总(word文档良心出品)
结构动力学与稳定复习1.1 结构动力计算与静力计算的主要区别是什么？答：主要区别表现在：(1) 在动力分析中要计入惯性力，静力分析中无惯性力；(2) 在动力分析中，结构的内力、位移等是时间的函数，静力分析中则是不随时间变化的量；(3) 动力分析方法常与荷载类型有关，而静力分析方法一般与荷载类型无关。
1.2 什么是动力自由度，确定体系动力自由度的目的是什么？答：确定体系在振动过程中任一时刻体系全部质量位置或变形形态所需要的独立参数的个数，称为体系的动力自由度（质点处的基本位移未知量）。
确定动力自由度的目的是：(1) 根据自由度的数目确定所需建立的方程个数（运动方程数=自由度数），自由度不同所用的分析方法也不同；(2) 因为结构的动力响应（动力内力和动位移）与结构的动力特性有密切关系，而动力特性又与质量的可能位置有关。
1.3 结构动力自由度与体系几何分析中的自由度有何区别？答：二者的区别是：几何组成分析中的自由度是确定刚体系位置所需独立参数的数目，分析的目的是要确定体系能否发生刚体运动。
结构动力分析自由度是确定结构上各质量位置所需的独立参数数目，分析的目的是要确定结构振动形状。
1.4 结构的动力特性一般指什么？答：结构的动力特性是指：频率（周期）、振型和阻尼。
动力特性是结构固有的，这是因为它们是由体系的基本参数（质量、刚度）所确定的、表征结构动力响应特性的量。
动力特性不同，在振动中的响应特点亦不同。
1.5 什么是阻尼、阻尼力，产生阻尼的原因一般有哪些？什么是等效粘滞阻尼？答：振动过程的能量耗散称为阻尼。
产生阻尼的原因主要有：材料的内摩擦、构件间接触面的摩擦、介质的阻力等等。
当然，也包括结构中安装的各种阻尼器、耗能器。
阻尼力是根据所假设的阻尼理论作用于质量上用于代替能量耗散的一种假想力。
粘滞阻尼理论假定阻尼力与质量的速度成比例。
粘滞阻尼理论的优点是便于求解，但其缺点是与往往实际不符，为扬长避短，按能量等效原则将实际的阻尼耗能换算成粘滞阻尼理论的相关参数，这种阻尼假设称为等效粘滞阻尼。
结构动力学学习总结
) t
2) 当 时，为临界阻尼系统，微分方程(1-9)的通解为
x(t ) e t (c1 +c2t )
(1-15)
由初始条件 x(t )
t 0
x0 , x(t )
t 0
0 ，可得
(1-16)
x(t ) e t [ x0 + ( 0 x0 )t ]
(1-7)
1.1.2 有阻尼的自由振动 单自由度系统考虑阻尼作用的自由振动方程为
mx(t )+cx(t )+kx(t )=0
(1-8)
或写为
x(t )+2 x(t )+ 2 x(t )=0
(1-9)
其中
c 2m
(1-10)
称为阻尼特性系数。常微分方程(1-9)的特征方程为
s 2 +2 s+ 2 =0
不难发现，式(1-14)和式(1-16)所表示的运动都没有振动的特征。 3) 当 时，为低阻尼临界系统，这时特征方程的根为
s1,2 i
(1-17)
其中 2 2 微分方程(1-9)的通解为
x(t ) e t ( B1 sin t + B2 cos t )
mx(t ) cx(t ) kx(t ) Pcos t
(1-25)
可知上式的通解为
x(t ) e t ( B1 sin t B2 cos t ) A sin( t )
(1-26)
将初始条件代入上式，可得到
x(t ) e t (
0 x0 sin t x0 cos t ) sin cos Ae t (sin cos t sin t ) A sin( t )
结构动力学
§1.3 体系振动的自由度
象静力计算一样，在动力计算时，首先需要选取一个 合理的计算简图。但由于需要考虑惯性力，因此在动力计 算的简图中，多了一项关于质量分布的处理问题。当体系 振动时，它的惯性力与质量的运动情况有关，所以确定质 量在运动中的位置具有重要的意义。 振动的自由度：我们把确定体系上全部质量位置所需 的独立几何参变数的数目，称为该体系的振动自由度。 例1.1 如图(a)所示跨中置一质量为m电动机的简支梁，当 梁自身的质量远小于电动机的质量时，梁的质量可忽略不 计。其计算简图如图(b)所示。
Fp
如：具有偏心质量的回旋机器它所传递 给结构上的横向力就是时间 t 的函数。
t
这类荷载称为动力荷载
图(a)
显然，结构在动力荷载作用下的计 算与静力荷载作用下的计算将有很大的 的区别，而且要复杂的多。
Fpsin t
图(b)
这是因为，在进行动力计算时，除了需要考虑惯 性力外，还需取时间作为自变量。在动力问题中，内 力与荷载不能构成静力平衡，但根据达朗伯原理，可 以将动力问题转化为静力问题，方法是任一时刻在结 构上加入假想的惯性力作为外力。即结构在形式上处 于“平衡状态”，这样，就可以应用静力学的有关原 理和方法计算在给定时刻的内力和位移等。 在实际工程中，大多数荷载都是随时间的改变而 变化的，但有一些荷载使结构产生很小的振动，以至 于其上的惯性力可以忽略不计，此时为了简化计算， 可将其视为静力荷载。仅将那些随时间变化，且使结 构产生较大的振动的荷载才作为动力荷载来考虑。
dmy Fp t dt
1 2
t m y 1 3
当质量m不随时间变化时，有 Fp
0 即：Fp t m y
因此，如果把惯性力(-mÿ)加到原来受力的质量上，则动 力学问题就可以按静力平衡来处理，这种列运动方程的 方法常称为动静法。这种方法较为方便，因此得到广泛 应用。 （2）拉格朗日(Lagrange)方程 应用虚位移原理，作用在任意质量mi上的所有力 （包括惯性力），对任意的虚位移所作的虚功总和应 等于零，得
机械结构动力学三级报告
机械结构动力学三级项目项目名称：圆轴的扭转振动姓名：殷旗君、刘超、陈爱民、宋腾达指导教师：***日期：2017.04.16工程实际中的结构都是连续分布的质量和连续分布的刚度所组成，例如任何一个弹簧原件都具有质量，同样，任何一个具有质量的物体也具有弹性，因此实际的结构都是连续弹性体，它具有无限多个自由度。
在数学上需要用时间和空间的函数来描述它的运动状态，最后得到系统运动的偏微分方程。
但是在一定的条件下，可以把连续弹性体结构抽象为多自由度系统甚至单自由度系统来研究。
这种抽象化或理想化是必要的，它可以将问题简化，使系统运动用常微分方程就可以描述。
将一个复杂结构离散为一个多自由度系统模型的方法，在电子计算机时代的今天更是一个被广泛采用的方法。
但是在理论研究上，将一个连续弹性体看成为一个具有无限个自由度系统的模型，研究它运动的基本方程及其相应的解析解仍然是很有意义的。
有些物理现象，例如弹性波的传播，用连续系统的模型能更清晰地描述。
弹性体的振动理论是建立在弹性力学基础上，因此要求满足线性弹性体的基本假设，即假设物体是均匀的，各向同性的，并且服从胡克定律。
关键词：连续弹性体自由度抽象胡克定律在这关于弹性振动的结构当中，我们决定选择圆轴的扭转振动。
圆轴扭转时，每一横截面绕通过截面形心的轴线转动一个角度θ，横截面仍然保持为平面。
横截面上每一点的位移有该截面的扭转角唯一确定。
这样，分析圆轴的扭转振动时，震动的位移取为扭转角位移，并且有对应扭矩。
目录第一部分圆轴扭转振动的理论分析 (1)第二部分圆轴扭转振动的具体实例分析 (1)第三部分感想与总结 (3)第四部分参考文献 (4)附录 (5)1、Matlab程序代码： (5)2、matlab仿真曲线 (6)3、simulation仿真 (6)第一部分圆轴扭转振动的理论分析圆轴低碳钢拉伸试验中进入塑性变形阶段到破坏的全过程经历了屈服阶段，强化阶段和局部变形阶段三个阶段，而低碳钢扭转试验中横截面的边缘处先形成环形塑性区，再逐渐向圆心扩展，直到整个截面几乎都是塑性区，直致断裂，但没有几个阶段的划分。
结构动力学 总结
结构动力学 动力特性（天生就有的，爹妈给的，不随外界任何事物改变）自振频率ω：初速度或初位移引起自由振动的圆频率振型：结构按照某自振频率振动的位移形态阻尼：振动过程中的能量耗散（主要由结构内部的特征决定的）动力作用：周期荷载、冲击荷载、随机荷载（地震）动力反应（响应）：动内力、动荷载、速度、加速度结构动力学是研究动力反应的规律的学问，一般思路是先研究自由振动（目的是搞清该结构的动力特性）再研究强迫振动（动力特性+动力作用）利用振型分解反应谱法，可以将每个基本振型的参与系数求出来，这样的最大好处是可以将耦联微分方程解耦。
刚度法通式：()()()()mY t cY t kY t F t ++=1、 单自由度无阻尼自由振动（分析自由振动的目的是确定体系的动力特性：周期、自振频率）()()0my t ky t += （()[()]y t my t δ=-） （令k m ω=） 解为：00()cos sin v y t y t t ωωω=+=sin()A t ωϕ+ （22002v A y ω=+，00tan y v ωϕ=） 重要结论：由微分方程的解可以知道，无阻尼振动是一个简谐振动，其周期和自振频率为2T πω=，k mω=周期和自振频率之和自己质量与刚度有关和外界因素无关。
2、单自由度有阻尼自由振动()()()0my t cy t ky t ++= （令=22c c mw mkξ=） 即微分方程为2()2()()0y t wy t w y t ξ++=（实际建筑结构的阻尼比1ξ<）解为000()[sin cos ]t d d dv y y t e t y t ξωξωωωω-+=+=sin()t d Ae t ξωωϕ-+（21d ωωξ=-） 221000000(),d d v y y A y tg v y ξωωϕωξω-+=+=+其中 重要结论：1）由方程的解看出弱阻尼情况下的自由振动是一种衰减振动，阻尼使振幅按指数规律衰减。
结构动力学总结(总1)
结构动力学总结
清华大学土木工程系 刘晶波 2005年秋
第1章 概 述
第1章 概述
结构动力分析的目的： ☼ 确定动力荷载作用下结构的内力和变形； ☼ 确定结构的动力特性。 动力荷载：确定性，非确定（随机） ☼ ☼ ☼ ☼ 简谐荷载； 非简谐周期荷载； 冲击荷载； 任意非周期荷载。
自由振动试验确定结构阻尼比ζ：对数衰减率法。 振动中的能量：
无阻尼体系能量守恒； 有阻尼体系能量被阻尼消耗，而在整个振动过程中， 阻尼始终在耗能。
第3章 单自由度体系—对简谐荷载的反应
运动方程的解法：
全解＝齐次的通解（瞬态反应）＋特解（稳态反应）
u0 1 R 动力放大系数： d = = ust [1 − (ω / ωn )2 ]2 + [2ζ (ω / ωn )]2
第4章 多自由度体系（续）
Rayleigh阻尼及其性质
[C ] = a0 [M ] + a1 [K ]
⎧a 0 ⎫ 2ζ ⎧ωiω j ⎫ ⎨ ⎬ , ζi = ζ j = ζ ⎨ ⎬= ⎩ a1 ⎭ ωi + ω j ⎩ 1 ⎭
第4章 多自由度体系（续）
非经典阻尼阵的构造：
可以分别采用Rayleigh阻尼构造各子结构的阻尼 矩阵，再组合形成体系的总体阻尼阵。
第4章 多自由度体系（续）
静力修正法（Static Correction Procedure）
{u(t )} = ∑{φ}n qn (t ) =∑{φ}n qn + ∑{φ}n Pn (t )
n =1
结构动力学读书报告
《结构动力学》读书报告结构动力学读书报告学习完本门课程和结合自身所学专业，我对本门课程内容的理解和在各方面的应用总结如下：1.（1）结构动力学及其研究内容：结构动力学是研究结构系统在动力荷载作用下的振动特性的一门科学技术，它是振动力学的理论和方法在一些复杂工程问题中的综合应用和发展，是以改善结构系统在动力环境中的安全和可靠性为目的的。
本书的主要内容包括运动方程的建立、单自由度体系、多自由度体系、无限自由度体系的动力学问题、随机振动、结构抗震计算及结构动力学的前沿研究课题。
（2）主要理论分析结构的质量是一连续的空间函数，因此结构的运动方程是一个含有空间坐标和时间的偏微分方程，只是对某些简单结构，这些方程才有可能直接求解。
对于绝大多数实际结构，在工程分析中主要采用数值方法。
作法是先把结构离散化成为一个具有有限自由度的数学模型，在确定载荷后，导出模型的运动方程，然后选用合适的方法求解。
（3）数学模型将结构离散化的方法主要有以下三种：①集聚质量法：把结构的分布质量集聚于一系列离散的质点或块，而把结构本身看作是仅具有弹性性能的无质量系统。
由于仅是这些质点或块才产生惯性力，故离散系统的运动方程只以这些质点的位移或块的位移和转动作为自由度。
对于大部分质量集中在若干离散点上的结构，这种方法特别有效。
②广义位移法：假定结构在振动时的位形（偏离平衡位置的位移形态）可用一系列事先规定的容许位移函数fi（它们必须满足支承处的约束条件以及结构内部位移的连续性条件）之和来表示，例如，对于一维结构，它的位形u(x)可以近似地表为：结构动力学(1) 式中的qj称为广义坐标,它表示相应位移函数的幅值。
这样，离散系统的运动方程就以广义坐标作为自由度。
对于质量分布比较均匀，形状规则且边界条件易于处理的结构，这种方法很有效。
③有限元法：可以看作是分区的瑞利－里兹法，其要点是先把结构划分成适当数量的区域（称为单元），然后对每一单元施行瑞利－里兹法。
结构动力学小结
21m1 A1 ( 22 m2
2
) A2 + + 2 n mn An
k21 A1 (k22 m2 2 ) A2 k2 n An F2
2
kn1 A1 kn 2 A2 (knn mn 2 ) An Fn
m2 2 惯性力 幅值 方程 1
21 I1 ( 22
n1 I1 n 2 I 2 + +( nn
1
mn 2
) I n np 0
矩阵形式：
设在稳态阶段各质量按干扰力频率 作同步简谐振动，即取特解的形式为 yi Ai sin t
(11m1
动位移 幅值 方程
1
) A1 12 m2 A2 + +1n mn An 2 1
1 p
2
2 p
0 0
(k11 m1 ) A1 k12 A2 k1n An F1
无阻尼
有阻尼
ky 0 my
运动方程
cy ky 0 my
y 2 y 0
y (t ) y0 cos t v0 sin t
2 y 0 ，其中阻尼比 y 2 y
y (t ) e t ( y0 cos d t v0 y0
k11 k22 k k k2 ) 11 22 12 0 m1 m2 m1m2
1,2
自振频率
11m1 22 m2
2 1 2 (11m1 22 m2 ) 2 4m1m2 (11 22 12 ) 2
2 [(
k k k k k2 1 k11 k22 ) ( 11 22 )2 4( 11 22 12 )] 2 m1 m2 m1 m2 m1m2
物理3-3的知识点总结
物理3-3的知识点总结物理3-3是高中物理的重要知识点之一，涉及到力和运动。
本文将从不同的角度对这一知识点进行总结和解析。
一、力的概念和性质力是物体之间相互作用的表现，是推动物体运动的原因。
力的性质包括大小、方向和作用点。
力的大小用牛顿（N）作单位，在物理中用矢量表示。
力的方向与力的作用方向相同。
力的作用点是力作用的物体上的一点。
二、力的分类力可以分为接触力和非接触力。
接触力是指物体之间直接接触产生的力，如摩擦力和弹力。
非接触力是指物体之间不直接接触产生的力，如重力和电磁力。
三、运动中的力 1. 惯性物体保持静止或匀速直线运动的状态，直到外力作用改变它的状态。
2. 牛顿第一定律（惯性定律）物体在没有外力作用时，保持静止或匀速直线运动的状态。
3. 牛顿第二定律（运动定律）物体的加速度与作用在它上面的力成正比，与物体的质量成反比。
可以用数学公式F=ma表示，其中F是物体所受的力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
4. 牛顿第三定律（作用-反作用定律）物体对另一个物体施加力时，另一个物体也对它施加同等大小、方向相反的力。
四、重力重力是地球对物体的吸引力。
根据普遍引力定律，物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
重力的大小可以用公式F=mg表示，其中F是重力的大小，m是物体的质量，g是重力加速度（9.8m/s²）。
五、摩擦力摩擦力是物体之间表面接触时发生的力。
它分为静摩擦力和动摩擦力。
静摩擦力是指物体相对运动前的摩擦力，动摩擦力是指物体相对运动时的摩擦力。
摩擦力的大小与物体之间的相互作用力有关，可以用公式f=μN表示，其中f是摩擦力的大小，μ是摩擦系数，N是物体之间的相互作用力。
六、弹力当物体被拉伸或压缩时，产生的力称为弹力。
弹力的大小与物体的形状和弹性系数有关。
七、动量和冲量动量是物体运动的量度，是物体质量和速度的乘积。
冲量是作用力在时间上的积累，是动量的改变量。
结构动力学公式归纳总结
−
������)������������
h.杜哈梅数值积分（当������(������)不可积时）：
无阻尼体系：
������������������������(������ − ������) = sin(������������ − ������������) = ������������������������������������������������������������ − ������������������������������������������������������������
0
−
������)������������
其中ℎ(������ − ������) = 1 ������������������������(������ − ������)
������������
有阻尼稳态解：
������(������)
=
1 ������������������
������
∫ ������(������)������−������������(������−������)������������������������������(������
随机动荷载。所谓非随机动荷载，即荷载的变化规律我们是已经完全掌握的，可以绘制出
荷载随时间变化曲线的荷载，这类荷载一般进行所谓的数定分析以获得荷载-位移曲线。而
随机荷载是指荷载随时间的变化规律我们是无法事先知道的，比如我们需要研究的风荷
载，对这类荷载一般需要采用随机振动理论去进行求解。
下面简单概括结构动力学的理论公式：
b.有阻尼自由振动：
������������̈ (������) + ������������̇ (������) + ������������(������) = 0
结构动力学第三章
x(t)
m
− m&x&
l
EI
Psinθt
EI
Psinθt
EI EI
l
l
解：结构的变形、质量的运动和自由度如右上图所示，列出质量处变形方程：
x(t) = δ11 ⋅ (−m&x&) + δ12 ⋅ Psinθt
其中柔度系数δ 和δ 的物理意义如下图所示
1
2
δ11
δ12
1
1
作出两个力单位弯矩图如下，
1 M1
m
− m&y&
EI
k
=
48EI l3
l/2
l/2
EI y (t)
k
解：结构的变形、质量的运动和自由度如右上图所示，列出质量处变形方程：
y(t) = δ ⋅ (−m&y&)
其中柔度系数δ的物理意义如左下图所示，可分解为右边两图中柔度的
叠加， 1
1
1
δ
k
δ 1
由结构力学的图乘法或材料力学的结论
0.5
δ1
A EI = ∞ B
3m m ⋅lα&&
m
α (t)
k
A
m
B
3m
YA
将刚性杆连同两个质量取出，受力如上图右所示，
k ⋅ 2lα 3m ⋅3lα&&
∑ M A = 0 3m ⋅3lα&&×3l + m ⋅lα&&×l + k ⋅ 2lα × 2l = 0
28ml 2α&& + 4kl 2α = 0
7mα&& + kα = 0
结构动力学解题思路及习题解答
bi
2 T
T
F (t ) sin(it )dt
0
因为 F (t) H sin 2 (0t) 是偶函数，所以 bi 0 。
于是
F (t )
H 2
H 2
c os (2 0 t )
而
x(t)
H 2k
A s in(2 0 t
a
/
2)
；
式中
H
A
2m
；
( n 2 402 ) 16n202
a arctan 2n ； n 2 4 0 2
进一步推导有
2 ， 1 2
.-
结构动力学作业
因为 较小， 所以有 。 2
方法二：共振法求单自由度系统的阻尼比。 （1）通过实验，绘出系统的幅频曲线， 如下图：
单自由度系统的幅频曲线 （2）分析以上幅频曲线图，得到：
于是
1,2 max / 2 2 / 4 ；
进一步
12
(1
2
)
2 n
；
最后
-2-
.
弹性力作功为
Wc 0 、
阻尼力做功为
Wd c A2 、
激振力做作功为
W f F0 sin ；
（2） 由机械能守恒定理得，弹性力、阻尼力和激振力在一个周期内所作功为零，
即：
Wc +Wd +W f 0 ；
于是
F0 sin - c A2 0
进一步得：
A F0 sin c ；
mB rA2A
K
A
KB
rA 2 rB 2
A
0；
因此系统的固有频率为：
n
2 K A K B
rA 2 rB 2
【精品】结构动力学心得汇总
结构动力学心得汇总结构动力学学习总结通过对本课程的学习，感受颇深。
我谈一下自己对这门课的理解：一．结构动力学的基本概念和研究内容随着经济的飞速发展，工程界对结构系统进行动力分析的要求日益提高。
我国是个多地震的国家，保证多荷载作用下结构的安全、经济适用，是我们结构工程专业人员的基本任务。
结构动力学研究结构系统在动力荷载作用下的位移和应力的分析原理和计算方法。
它是振动力学的理论和方法在一些复杂工程问题中的综合应用和发展，是以改善结构系统在动力环境中的安全和可靠性为目的的。
高老师讲课认真负责，结合实例，提高了教学效率，也便于我们学生寻找事物的内在联系。
这门课的主要内容包括运动方程的建立、单自由度体系、多自由度体系、无限自由度体系的动力学问题、随机振动、结构抗震计算及结构动力学的前沿研究课题。
既有线性系统的计算，又有非线性系统的计算；既有确定性荷载作用下结构动力影响的计算，又有随机荷载作用下结构动力影响的随机振动问题；阻尼理论既有粘性阻尼计算，又有滞变阻尼、摩擦阻尼的计算，对结构工程最为突出的地震影响。
二．动力分析及荷载计算1.动力计算的特点动力荷载或动荷载是指荷载的大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。
如果从荷载本身性质来看，绝大多数实际荷载都应属于动荷载。
但是，如果荷载随时间变化得很慢，荷载对结构产生的影响与静荷载相比相差甚微，这种荷载计算下的结构计算问题仍可以简化为静荷载作用下的结构计算问题。
如果荷载不仅随时间变化，而且变化很快，荷载对结构产生的影响与静荷载相比相差较大，这种荷载作用下的结构计算问题就属于动力计算问题。
荷载变化的快与慢是相对与结构的固有周期而言的，确定一种随时间变化的荷载是否为动荷载，须将其本身的特征和结构的动力特性结合起来考虑才能决定。
在结构动力计算中，由于荷载时时间的函数，结构的影响也应是时间的函数。
另外，结构中的内力不仅要平衡动力荷载，而且要平衡由于结构的变形加速度所引起的惯性力。
结构动力学3-3w
清华大学土木工程系 2015年秋
1/63
动力系数(Tn)和地震影响系数(Tn)
阶跃荷载作用下单自由度体系的反应 冲击荷载作用下单自由度体系的反应
矩形脉冲荷载；半正弦脉冲荷载；三角形脉冲荷载
2/63
第3章 单自由度体系
3.7 单自由度体系对周期荷载的反应
依靠的基础： 依靠已得到的单自由度体系对简谐荷载反应分析结果。 在获得简谐荷载作用的结果后，就可以方便地分析 单自由度体对任意周期性荷载的反应。 任意周期性荷载均可以分解成简谐荷载的代数和。 具体实施方法： 利用Fourier级数展开法。 将任意的周期荷载p(t)展开成 Fourier级数，把任意周 期性荷载表示成一系列简谐荷载的叠加，对每一简 谐荷载作用下结构的反应可以容易得到其稳态解， 再求和，得到结构在任意周期性荷载作用下的反应。 限制条件： 结构体系是线弹性的。可使用叠加原理。
当阻尼比给定时，结构对任一地震的最大位移反应和最 大绝对加速度反应仅由n决定，即
工程中一般习惯采用结构的自振周期Tn＝2/n代替圆频 率，因而
如果改变结构的自振周期Tn就可以得到不同的Sd和Sa，最 后可以得到以结构自振周期Tn为自变量的函数Sd和Sa。 称：Sd—(相对)位移反应谱, Sa—(绝对)加速度反应谱。
28/63
7
离散Fourier变换（DFT）
2. 由于离散Fourier变换将非周期时间函数周期化，使得 外荷载变成周期性荷载，如下图所示，原荷载的持续 时间Tp 变成周期性荷载的周期。
离散Fourier变换（DFT）
2. 结构的动力反应也被周期化，对此要加足够多的0点以 增大持续时间Tp，保证在所计算的时间段[0, Tp]内，结 构的位移能衰减到0。
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T p —荷载的周期
7/63
单自由度体系对周期荷载的反应
任意周期荷载作用下结构总的稳态反应为：
用复数Fourier 级数将周期荷载展开，
先计算单位复荷载e i ωj t 作用下，体系稳态反应的复幅值，设：
总的稳态反应为:
复频反应函数，也称为频响函数，传递函数
单位脉冲：作用时间很短，冲量等于1的荷载。
单位脉冲反应函数：单位脉冲作用下体系动力反应时程。
积分
时刻的一个单位脉冲作用在单自由体系上，使结构的质点获得一个单位冲量，在脉冲结束后，质点获得一个初速度：
由于脉冲作用时间很短，ε→0，质点的位移为零：
13/63
—Duhamel 积分无阻尼体系的单位脉冲反应函数为：
有阻尼体系的单位脉冲反应函数为：
、单位脉冲反应函数
单位脉冲及单位脉冲反应函数
15/63
在任意时间t 结构的反应，等的和：
Duhamel 积分：
任意荷载作用下单自由度体系的反应等于作用于结构的外荷载与单位脉冲反应函数的卷积。
3.8.1时域分析方法—Duhamel 积分
无阻尼体系动力反应的Duhamel 积分公式：
阻尼体系动力反应的Duhamel 积分公式：
17/63杜哈曼积分法给出了计算线性SDOF体系在任意荷载作用下动力反应的一般解，适用于线弹性体系。
因为使用了叠加原理，因此杜哈曼积分法限于弹性范
速度和加速度的Fourier变换为：
21/63单自由度体系时域运动方程：
对时域运动方程两边同时进行Fourier 正变换，得单自由度体系频域运动方程：
—Fourier 变换法频域解为：
)—复频反应函数，i 是用来表示函数是一复数。
再利用Fourier 逆变换，即得到体系的位移解：
作Fourier 变换, 得到荷载的Fourier 谱P (ω)和复频反应函数到结构反应的频域解—Fourier 谱U (逆变换，由频域解U (ω)得到时域解u (t )：
在用频域法分析中涉及到两次Fourier 变换，均为无穷域积分，特别是Fourier 逆变换，被积函数是复数，有时涉及复杂的围道积分。
25/63频域离散化：
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离散Fourier 变换（DFT ）
将离散化的值代入Fourier 正变换公式，并应用梯形积分公式得：
将离散化的谱值代入Fourier 逆变换公式，并应用梯形积分公式得：
以上公式即是求结构反应的离散Fourier 变换方法—DFT 如果取N =2m ，再利用简谐函数周期性的特点，可以得到28/63
离散Fourier 变换（DFT ）
变换时应注意事项:变换将非周期时间函数周期化
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离散Fourier变换（DFT）离散Fourier变换（DFT）
Fourier变换，特别是快速Fourier变换在信号分
析和处理中得到广泛应用，目前已有标准的
Fourier变换和快速Fourier变换程序可用。
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地震作用的特点：规则、快速变化。
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典型地震动加速度时程
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为相对位移，üg (t )为地震动加速度时程。
地震等效荷载为p (t )=-mü(t )，应用Duhamel 其中
—有阻尼体系自振频率。
观察以上方程可以发现，对一给定地震动u g ，结构地震反应仅与结构的阻尼比在实际工程中，对结构的绝对加速度ü(t )+üg (t )感兴趣，它可根据结构位移的解式直接得到：
对比以上两式可以发现
以上公式仅对于小阻尼时才成立。
实际上，这一公式可以直接由运动方程得到。
结构反应的最大相对位移S d 和最大绝对加速度间的关系：
n
工程中一般习惯采用结构的自振周期
如果改变结构的自振周期T
n
就可以得到不同的
后可以得到以结构自振周期T
n
为自变量的函数
位移反应谱,S
a —(
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El Centro地震波
的
位移、速度、
加速度反应谱曲线
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，则S d和S a的关系可表达成：
a 后，用mS
a
计算等效的最大地震力，然
后按静力方法可计算结构地震反应的最大值。
在建筑抗震设计规范中，给出以重力加速度位的反应谱α(T n)—地震影响系数，
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1理想阶跃荷载
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阶跃荷载作用下单自由度体系的反应
用Duhamel 积分法可得
ωn t r =2π(t r /T n )
3.10阶跃荷载作用下单自由度体系的反应
2具有有限上升时间的阶跃荷载
具有有限上升时间的阶跃荷载的反应谱
脉冲荷载作用下
单自由度体系的反应
脉冲荷载反应
矩形脉冲荷载反应
脉冲荷载反应
半正弦脉冲荷载
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57/63半正弦脉冲荷载反应
59/63脉冲荷载反应
三角形脉冲荷载反应
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三种脉冲作为集中冲量作用时体系的反应
对于矩形脉冲I = p o t d ，半周期正弦脉冲I = (2/ )p o t d ，三角形脉冲I = p o t d /2，在集中冲量作用下体系的最大反应分别为
等幅值的三种脉冲作用下的冲击反应谱
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62/63。