两圆的公切线(1)优质课件PPT

B A
P
O1
O2
C
D
G
F
O1 Q
O2
E
H
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不同位置关系的两圆，公切线的位置及条数如下表所示：
图形 两圆位置关系
O1
O2
外离
O1
O2
外切
外公切线条数
2
2
内公切线条数
2
1
公切线条数
又DC⊥AB，可得CD2＝AC·CB，
O1 C O O2
B
故只须证EF2＝AC·CB，
EF是⊙O1和⊙O2的外公切线，
这就使人联想到处理外公切线求法的常用方法将其构置
在一个直角三角形中，然后用勾股定理解之。
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D
F E
P
证明：
A
O1 C O O2
B
连结AD、BD，设⊙O1和⊙O2的半径分别为r、R
P C
O1
O2
证明： 连结O1A、O2B，作O1C⊥O2B于C ∵AB切两圆于点A、B ∴O1A⊥AB，O2B⊥AB ∴ABCO1为矩形 ∴BC＝AO1，AB＝O1C ∴O2C＝r2－r1
又∵ ⊙O1与⊙O2外切于点P ∴O1O2＝r1＋r2
在Rt△O1O2C中
O1C2＝O1O22－O2C2＝(r1＋r2)2－(r2－r1)2＝4r1r2
2021/02/0∴1 O1P2＝CD2 ∴O1P＝EF＝CD
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通过本讲的学习，必须掌握好下列知识和技能：
两圆的公切线及公切线长的概念：
(1)和两圆相切的直线，叫做两圆的公切线，两个圆在公切 线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线，两圆在公切线两 旁时，这样的公切线叫做内公切线。
(2)公切线上两个切点的距离叫做公切线的长。
和两个圆同时相切的直线我们称之为两圆的公切线。
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2．内、外公切线概念： 和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线，两个
圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线，两个
圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线，公切
线上两个切点的距离叫做公切线的长。
A B
A
D
O1
O2
O1
O2
D
C
B
C (1)
(2)
如图(1)，直线AB、CD分别切⊙O1、⊙O2于A、B、C、
D四点，AB、CD都是⊙O1和⊙O2的外公切线，线段AB、
CD的长就是外公切线的长。图(2)中的AB、CD分别与⊙O1
和⊙O2相切于A、B、C、D四点，直线AB、CD都是⊙O1
和202⊙1/02O/012的内公切线，线段AB、CD的长就是内公切线的长3。
两圆公切线的性质：
(1)首先两圆的公切线是圆的切线，因此具有圆的切线的性质、 例如公切线垂直过切点的半径，当两圆内切时，内公切线垂 直于连心线，如图7(1)。当两圆内切时，外公切线垂直于连 心线，如图7(2)。
M
M
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O1 P O2
N
7(1)
O1 O2 P
N
7(2)
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(2)两圆如果有两条外公切线或两条内公切线时，则： ①由圆的对称性易知：两条外公切线的长相等；两条内公切线 的长相等。 ②两条外(内)公切线如果相交，那么由轴对称的性质易知，交 点一定在连心线上，并且进一步可以由切线定理推知，两圆连 心线平分两条外(内)公切线的夹角，如图8(1)中，∠APO1＝ ∠CPO1，如图8(2)中，∠FQO2＝∠HQO2。
3．外公切线长的计算：
设有⊙O1和⊙O2其半径分别为r和R，AB是⊙O1和⊙O2 的外公切线、切点分别为A、B。怎样求公切线AB的长呢？
B A
O1
O2
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B
A R
r
C
O1
O2
(1)若⊙O1和⊙O2外离，则连结O1A , O2B和O1O2
∵AB切两圆于点A、B ∴O1A⊥AB，O2B⊥AB
O1C⊥C O2，O1C= AB，O1A=CB．
O1
r
O2
在Rt△O2CO1和．
A
CR
O1O2=13，O2C= O2B- O1A=5
B
AB= O1C= 13252 12 (cm)．
反思：（1）“转化”思想，构造三角形；（2）初步掌握 添加辅助线的方法．
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4．范例解析：
例1．如图(4)，⊙O1与⊙O2外切于P，一条公切线为
AB，A、B为切点，设两圆的半径为r1,r2(r2＞r1)，
求证：AB2＝4r1r2 .
B
A
P
O1
O2
分析：欲证AB2＝4r1r2，须将AB以及两圆的半径r1,r2 转化到同一直角三角形中来，连结O1A，O2B，作 O1C⊥O2B，通过解直角三角形O1O2C，即可获证。
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B A
得直角梯形O1ABO2，
过O1作O1C ⊥ O2B于C点，得矩形ABCO1 ，
在Rt△O1O2C中，O1C＝AB，O2C＝R－r
O1C2＝O1O22－O2C2
∴O1C＝
＝ d2(Rr)2
由此可知，只要知道两圆连心线的长及两圆半径，便
可求出公切线AB的长。
(2)特别，当⊙O1与⊙O2外切时，因O1O2＝R＋r
2021/02/∴01 AB2＝4r1r2
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例2．如图(5)，已知：C为线段AB上一点，在AB同侧，分别
以AB、BC、AC为直径作圆⊙O、⊙O2、⊙O1，过C点作
CD⊥AB交⊙O于D，EF分别切⊙O1和⊙O2于E、F点，
求证：EF＝CD .
D
分析： 连结AD、BD，
F E
则△ADB为直角三角形，
A
2∴021公/02/切01 线AB＝
＝
＝
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例1、已知：⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和7cm， 圆心距O1O2=13cm，AB是⊙O1、⊙O2的外公切线， 切点分别是A、B．求：公切线的长AB．
解：连结O1A、O2B，则O1A⊥AB，O2B⊥AB． 过 O1作O1C⊥O2B，垂足为C，则四边形O1ABC为矩形， 于是有
∵AB为⊙O直径 ∴∠ADB＝90°
∵CD⊥AB于C ∴△ACD∽△DCB
∴CD2＝AC·CB＝4rR
连结EO1，FO2，过O1作O1P∥EF交FO2于点P。
∵EF切⊙O1和⊙O2于E、F
∴O1E⊥EF，O2F⊥EF，O1P⊥O2F，∴EF＝O1P
在Rt△O1O2P中，O1P2＝(r＋R)2－(R－r)2＝4rR
(1)
1.掌握两圆内、外公切线的概念及公切线长的意义。 2.掌握求两圆外公切线长的方法。
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1．生活、生产中的两圆公切线 两圆同时和一条直线相切，这样的实例，在生活和生
产中到处可见，如
自行车，链盘，飞轮与链条，火车的两轮子与铁轨， 滑轮与铁链等。
尤其是机器上的传动带和主动轮、从动轮之间的位置 关系更给人以一条直线和两个圆同时相切的形象。