定积分中奇偶函数和周期函数处理方法
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定积分中奇偶函数和周期
函数处理方法
The final edition was revised on December 14th, 2020.
定积分计算中周期函数和奇偶函数的处理方法
一、基本方法
(一)、奇偶函数和周期函数的性质
在定积分计算中，根据定积分的性质和被积函数的奇偶性，及其周期性，我们有如下结论
1、若()x f 是奇函数（即()()x f x f --=），那么对于任意 的常数a ，在闭
区间][a a ,-上，()0=⎰-a
a dx x f 。
2、若()x f 是偶函数（即()()x f x f -=），那么对于任意的常数a ，在闭区间
][a a ,-上()()⎰⎰-=a a a
dx x f dx x f 02。
3、若()x f 为奇函数时，()x f 在][a a ,-的全体原函数均为偶函数；当()x f 为偶函数时，()x f 只有唯一原函数为奇函数即()⎰x
dt t f 0.
事实上：设()()C dt t f x d x f x
+=⎰⎰0
，其中C 为任意常数。
当()x f 为奇函数时，()⎰x
dt t f 0
为偶函数，任意常数C 也是偶函数⇒()x f 的全体
原函数()C dt t f x
+⎰0
为偶函数；
当()x f 为偶函数时，()⎰x
dt t f 0
为奇函数，任意常数0≠C 时为偶函数⇒
()C dt t f x
+⎰0
既为非奇函数又为非偶函数，⇒()x f 的原函数只有唯一的一个原
函数即()⎰x
dt t f 0
是奇函数。
4、若()x f 是以T 为周期的函数（即()()x f x T f =+），且在闭区间][T ,0上连续可积，那么()()()⎰
⎰⎰
+-==T
a a
T
T T dx x f dx x f dx x f 0
22
。
5、若()x f 是以T 为周期的函数（即()()x f x T f =+），那么()⎰x
dt t f 0
以T 为周
期的充要条件是 ()00
=⎰T
dt t f
事实上：()()()()()⎰⎰⎰
⎰
⎰+=+=++T
x T
x x
T
x x dt t f dt t f dt t f dt t f dt t f 0
，由此可得
()()⎰⎰
=÷x
T
x dt t f dt t f 0
⇔()⎰T
dt t f 0
。
(二)、定积分中奇偶函数的处理方法
1. 直接法：若果被积函数直接是奇函数或者偶函数，之间按照奇偶函数
的性质进行计算即可，但要注意积分区间。
2. 拆项法：观察被积函数，在对称区间如果被积函数复杂但可以拆成奇
偶函数和的形式，则分开积分会简化计算。
3. 拼凑法：被积函数在对称区间直接积分比较困难，并且不能拆项，可
以按照如下方法处理：设()()()x f x f x p -+= ，()()()x f x f x q --=，则
()()()2
x q x p x f +=
，从而就转换为了奇函数和偶函数在对称区间的计算。
(三)、定积分中周期函数的处理方法
对于周期函数的定积分，最主要是能够确定被积函数的周期（特别是三
角函数与复合的三角函数的周期），并熟悉周期函数的积分性质，基本上就能解决周期函数定积分的问题。
二、典型例题
例1 设()x f f 在][a a ,-上连续可积，证明：
(1)若f 为奇函数则()0=⎰-a
a
dx x f (2)若f 为偶函数，则()()⎰⎰-=a
a
a
dx x f dx x f 0
2。
证明：(1)因为()()x f x f --=，而()()()⎰⎰⎰+=--a
a
a a
dx x f dx x f dx x f 0
()()()()()⎰
⎰⎰⎰
--+-=+-=a
a
a a
dx x f x d x f dx x f dx x f 0
对前一项中令
x t -=，则()()()()()⎰⎰⎰⎰-=-=-=--a
a
a a
dx x f dx x f dt t f x d x f 0
所以()()()00
=+-=⎰⎰⎰-a
a
a a
dx x f dx x f dx x f .
(2)因为()()x f x f -=， 而 ()()()⎰⎰⎰+=--a
a
a
a
dx x f dx x f dx x f 0
()()()()()⎰
⎰⎰⎰
--+-=+-=a
a
a a
dx x f x d x f dx x f dx x f 0
，对前一项中 令t x -=相似
的有()()()()⎰⎰⎰
=-=---a
a
a
dx x f dt t f x d x f 0
，所以()()⎰⎰-=a
a
a
dx x f dx x f 0
2.
例2 设f 在)(∞∞-,上连续，且以T 为周期，证
()()()⎰
⎰⎰
+-==T
a a
T
T T dx x f dx x f dx x f 0
22
。
证明： 由()()()()⎰
⎰⎰⎰
++++=T
a a
a
T
T
a T
dx x f dx x f dx x f dx x f 0
，在上式右端最后
一个积分中，令t T x +=则有
()()()()⎰⎰
⎰⎰-==+=+0
a
T
a T a a dx x f dt t f dt t T f dx x f ，即有
()()()()()⎰
⎰⎰⎰⎰+=-+=T
a a
a
T
a
T dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 00
00
，成立
再证()()⎰
⎰-=22
T T T
dx x f dx x f ,因为()()()⎰⎰⎰+=T T T T
dx x f dx x f dx x f 2
20
对于()⎰T
T dx x f 2
令T x t -= 则()()⎰⎰+=T
T T
T dt T t f dx x f 2
2
，因为()()x f T x f =+所以有
()()⎰
⎰-
-=+02
02
T T dx x f dt T t f ，()()()()⎰⎰⎰
⎰-=+=20
2
22
T T
T T T T
dx x f dx x f dx x f dx x f 。
例3 求定积分 ()
dx x x x
I cos 24
1
1
++=⎰
-。
解：被积函数为偶函数，()
()
dx x x x dx x x x
I ⎰⎰
++=++=-1
242
4
11
cos 2cos
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=1sin 158201sin 3151235x x x
例4 求定积分⎰
=π
n dx x I 0
sin ，其中n 为自然数。
解：注意到x sin 是偶函数且以π为周期，因此利用性质可以简化计算
n xdx n dx x n dx x n dx x n dx x I n 2sin 2sin 2sin sin sin 20
2
2
2
======⎰⎰⎰⎰⎰-π
ππππ
π.
例5
]
3[ 计算：⎰π
20
cos sin xdx x m n （自然数n 或m 为奇数）。
解 ：由周期函数积分性质得⎰⎰-==π
π
π
xdx x xdx x I m n m
n
m n cos sin cos sin 20
,