定积分中奇偶函数和周期函数处理方法
周期函数定积分的计算
周期函数定积分的计算1. 周期函数定积分的概念1. 周期函数定积分的概念周期函数定积分是一种特殊的积分，它可以用来计算函数在某一周期内的积分值。
它的计算方法是将函数的积分值分成若干个小的积分段，每个积分段的积分值都是函数在该段内的定值，然后将所有的积分段的积分值求和，就可以得到函数在该周期内的积分值。
2. 周期函数定积分的性质2. 周期函数定积分的性质周期函数定积分的性质包括：1. 周期函数定积分的结果是定值，不受积分区间的变化而变化；2. 周期函数定积分的结果是一个实数，不受函数的变化而变化；3. 周期函数定积分的结果只与函数的周期有关，与函数的幅度无关；4. 周期函数定积分的结果只与函数的周期有关，与函数的起点无关；5. 周期函数定积分的结果只与函数的周期有关，与函数的函数值无关；6. 周期函数定积分的结果只与函数的周期有关，与函数的变化率无关。
：3. 周期函数定积分的计算方法周期函数定积分的计算方法是基于Fourier级数的，即可以将一个周期函数分解成一系列正弦、余弦函数的级数和。
积分可以分解为每一项的积分，然后将每一项的积分结果相加，最后得出周期函数定积分的结果。
具体的计算方法是：首先，将周期函数分解成Fourier级数，即将函数表示为一系列正弦、余弦函数的和，然后将每一项的积分求出，最后将每一项的积分结果相加，得出周期函数定积分的结果。
积分的具体步骤是：首先，将周期函数分解成Fourier级数，即将函数表示为一系列正弦、余弦函数的和；然后，对每一项正弦、余弦函数求积分，得出每一项的积分结果；最后，将每一项的积分结果相加，得出周期函数定积分的结果。
4. 周期函数定积分的应用：4. 周期函数定积分的应用周期函数定积分在物理、数学和工程领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，它可以用来计算电磁场的能量；在数学中，它可以用来计算曲线的面积；在工程领域，它可以用来计算振动系统的能量。
此外，周期函数定积分还可以用来计算热量传递率，以及计算电路中电流和电压的关系。
定积分和不定积分的计算方法总结
定积分和不定积分的计算方法总结一、不定积分的定义和基本性质不定积分是函数积分的一种形式，表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示自变量。
1.不定积分的定义不定积分是求导运算的逆运算。
如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么F(x) + C也是f(x)的一个原函数，其中C为常数。
因此，∫f(x)dx = F(x) + C。
2.基本性质(1) 常数因子法则：若c是常数，则有∫cf(x)dx = c∫f(x)dx。
(2) 线性法则：若f(x)和g(x)都有原函数，则有∫(f(x) ±g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx。
(3) 逐项积分法则：若f(x)的原函数为F(x)，g(x)的原函数为G(x)，则有∫(f(x) ± g(x))dx = F(x) ± G(x)。
(4) 分部积分法则：若f(x)和g(x)都具有原函数，则有∫f(x)g(x)dx = F(x)g(x) - ∫(F(x)g'(x))dx，其中F(x)为f(x)的一个原函数，g'(x)为g(x)的导数。
二、定积分的定义和计算方法定积分是计算函数在一个有限区间上的面积的数值，表示为∫[a,b]f(x)dx，其中f(x)为被积函数，[a,b]为积分区间。
1.定积分的定义设f(x)在区间[a,b]上有定义，将[a,b]分为n个小区间，长度为Δx，选择每个小区间上一点ξi，记为Δx = (b-a)/n，ξi = a + iΔx (i = 0,1,2,...,n)。
定义Riemann和为S(f, Δx, ξ) = Σf(ξi)Δx =f(ξ1)Δx + f(ξ2)Δx + ... + f(ξn)Δx。
当n趋于无穷大时，Riemann和的极限称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为∫[a,b]f(x)dx。
2.计算方法(1)几何意义：定积分表示函数f(x)在区间[a,b]上曲线与x轴之间的面积。
定积分的计算
微积分基本定理的应用
解决实际问题
微积分基本定理可以应用于解决 各种实际问题，如物理中的力做 功、速度和加速度，经济中的成 本和利润等。
数学证明
微积分基本定理是许多数学定理 的证明基础，如中值定理、泰勒 展开等。
优化算法
微积分基本定理在优化算法中也 有广泛应用，如梯度下降法、牛 顿法等。
微积分基本定理的证明
定积分的性质
线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和 或差的积分，可以分别对每个函数进行积分 后再求和或求差。
区间可加性
定积分具有区间可加性，即对于区间[a,b]的任意两个 子区间[α,β]和[β,γ]，有 ∫f(x)dx|α,γ=∫f(x)dx|α,β+∫f(x)dx|β,γ。
常数倍性质
定积分具有常数倍性质，即对于任意常数k， 有∫kf(x)dx=k∫f(x)dx。
04 定积分的计算技巧
利用奇偶性简化计算
奇函数在对称区间上的定积分值为0
如果函数$f(x)$是奇函数，即$f(-x)=-f(x)$，那么$int_{-a}^{a}f(x)dx=0$。
偶函数在对称区间上的定积分值为对称区间上积分值的两倍
如果函数$f(x)$是偶函数，即$f(-x)=f(x)$，那么$int_{a}^{a}f(x)dx=2int_{0}^{a}f(x)dx$。
利用周期性简化计算
对于具有周期性的函数，可以利用周 期性将积分区间扩展到整数倍的周期 ，从而简化计算。
如果函数$f(x)$的周期为$T$，那么对 于任意整数$k$， $int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a+kT}^{b+kT }f(x)dx$。
利用定积分的几何意义简化计算
定积分应用
A
A
f x dx g x dx
a
a
a
b
f x g ( x) dx
y f (x) y g ( x)
y
y
y f (x)
y
y g ( x)
a 0
b
x
a 0
b
x
a 0
b
x
例2 计算由 y 2 x 和 y x 2 所围成的图形的面积. 2 解1 求两曲线的交点， y x 可得 (0,0) ， 1,1) ( 2 y x 所求面积: A A大 A小
曲边梯形的曲边表达为
y f (x)
1 . 直角坐标系情形 平面图形 的面积 2 . 极坐标系情形 或
x f ( y)
参数方程
x (t ) L: y (t )
复习. 定积分的几何意义 f x 在 a, b上连续，
方法一
b
a
f ( x)dx A
A
h y dy
d c
y 1
xe
y
y 3
Y轴
x0
y
Y轴
y
x0
A e dy
y 1 3
3
d
x f ( y)
c
0
x
0 1
x
推广
d
y
平面曲线围成的图形
x f ( y) x f ( y) x g ( y) yc
yd
x g ( y)
c
0
d d c c
x
A
y f (x)
1 . 直角坐标系情形 平面图形 的面积 2 . 极坐标系情形 或
定积分的计算方法
定积分的计算方法定积分是微积分中的重要概念，用于求解曲线下的面积、曲线的长度、质心、体积等问题。
在实际问题中，计算定积分可以帮助我们了解各种变化的数量或者性质。
本文将详细介绍定积分的计算方法。
一、基本概念和性质1.定积分的定义设函数y=f(x)在[a,b]上有界，将[a,b]分为n个小区间，每个小区间长度为Δx，取小区间内任意一点ξi，构造对应的面积Si=Δx*f(ξi)。
定积分的定义为：当n趋于无穷大，Δx趋向于0时，所有小区间内面积的和的极限，即为函数f(x)在[a,b]上的定积分，表示为∫a^b f(x)dx。
2.定积分的基本性质（1）线性性质：若函数f(x)在[a,b]上可积，则对于任意实数k，有∫a^b kf(x)dx= k∫a^b f(x)dx。
（2）加法性质：若函数f(x)和g(x)在[a,b]上可积，则有∫a^bf(x)dx + ∫a^b g(x)dx = ∫a^b [f(x)+g(x)]dx。
（3）区间可加性：若函数f(x)在区间[a,b]上可积，且a<c<b，则有∫a^b f(x)dx = ∫a^c f(x)dx + ∫c^b f(x)dx。
二、定积分计算的方法1.利用基本初等函数的积分表对于一些基本初等函数，我们已知它们的积分表达式，可以直接进行计算。
例如，∫x^2 dx = 1/3 x^3 + C。
2.使用换元法当被积函数中含有复杂的函数表达式时，我们可以进行变量替换，使得被积函数中的形式简化，以便求解。
例如，对于∫(3x^2+2x+1)^2 dx ，令u=3x^2+2x+1 ，则有du=(6x+2)dx ，原定积分可以转化为∫u^2 du ，然后再对u进行积分，最后将u还原为x。
3.利用分部积分法若被积函数是两个函数的乘积，可以利用分部积分法来简化计算。
分部积分公式为∫udv=uv-∫vdu。
例如，对于∫x*sin(x)dx ，令u=x ，dv=sin(x)dx ，则有du=dx ，v=-cos(x) ，根据分部积分公式可得∫x*sin(x)dx = -x*cos(x)+∫cos(x)dx = -x*cos(x)+sin(x)+C。
定积分中奇偶函数和周期函数处理方法
定积分计算中周期函数和奇偶函数的处理方法一、基本方法一、奇偶函数和周期函数的性质在定积分计算中,根据定积分的性质和被积函数的奇偶性,及其周期性,我们有如下结论1、若()x f 是奇函数即()()x f x f --=,那么对于任意 的常数a,在闭区间][a a ,-上,()0=⎰-aa dx x f ;2、若()x f 是偶函数即()()x f x f -=,那么对于任意的常数a,在闭区间][a a ,-上()()⎰⎰-=a aadx x f dx x f 02;3、若()x f 为奇函数时,()x f 在][a a ,-的全体原函数均为偶函数；当()x f 为偶函数时,()x f 只有唯一原函数为奇函数即()⎰xdt t f 0.事实上：设()()C dt t f x d x f x+=⎰⎰0,其中C 为任意常数;当()x f 为奇函数时,()⎰xdt t f 0为偶函数,任意常数C 也是偶函数⇒()x f 的全体原函数()C dt t f x+⎰0为偶函数；当()x f 为偶函数时,()⎰xdt t f 0为奇函数,任意常数0≠C 时为偶函数⇒()C dt t f x +⎰0既为非奇函数又为非偶函数,⇒()x f 的原函数只有唯一的一个原函数即()⎰xdt t f 0是奇函数;4、若()x f 是以T 为周期的函数即()()x f x T f =+,且在闭区间][T ,0上连续可积,那么()()()⎰⎰⎰+-==Ta aTTT dx x f dx x f dx x f 022;5、若()x f 是以T 为周期的函数即()()x f x T f =+,那么()⎰xdt t f 0以T 为周期的充要条件是 ()00=⎰Tdt t f事实上：()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=+=++Tx Tx xTx x dt t f dt t f dt t f dt t f dt t f 0,由此可得()()⎰⎰=÷x Tx dt t f dt t f 0⇔()⎰Tdt t f 0;二、定积分中奇偶函数的处理方法1. 直接法：若果被积函数直接是奇函数或者偶函数,之间按照奇偶函数的性质进行计算即可,但要注意积分区间;2. 拆项法：观察被积函数,在对称区间如果被积函数复杂但可以拆成奇偶函数和的形式,则分开积分会简化计算;3. 拼凑法：被积函数在对称区间直接积分比较困难,并且不能拆项,可以按照如下方法处理：设()()()x f x f x p -+= ,()()()x f x f x q --=,则()()()2x q x p x f +=,从而就转换为了奇函数和偶函数在对称区间的计算;三、定积分中周期函数的处理方法对于周期函数的定积分,最主要是能够确定被积函数的周期特别是三角函数与复合的三角函数的周期,并熟悉周期函数的积分性质,基本上就能解决周期函数定积分的问题; 二、典型例题例1 设()x f f 在][a a ,-上连续可积,证明：1若f 为奇函数则()0=⎰-aadx x f 2若f 为偶函数,则()()⎰⎰-=aaadx x f dx x f 02;证明：1因为()()x f x f --=,而()()()⎰⎰⎰+=--aaa adx x f dx x f dx x f 0()()()()()⎰⎰⎰⎰--+-=+-=aaa adx x f x d x f dx x f dx x f 0对前一项中令x t -=,则()()()()()⎰⎰⎰⎰-=-=-=--aaaadx x f dx x f dt t f x d x f 0000 所以()()()00=+-=⎰⎰⎰-aaaadx x f dx x f dx x f .2因为()()x f x f -=, 而 ()()()⎰⎰⎰+=--aaa adx x f dx x f dx x f 0()()()()()⎰⎰⎰⎰--+-=+-=aaa adx x f x d x f dx x f dx x f 0,对前一项中 令t x -=相似的有()()()()⎰⎰⎰=-=---aa adx x f dt t f x d x f 0,所以()()⎰⎰-=aaadx x f dx x f 02.例2 设f 在)(∞∞-,上连续,且以T 为周期,证()()()⎰⎰⎰+-==Ta aTT T dx x f dx x f dx x f 022;证明： 由()()()()⎰⎰⎰⎰++++=Ta aaTTa Tdx x f dx x f dx x f dx x f 0,在上式右端最后一个积分中,令t T x +=则有 ()()()()⎰⎰⎰⎰-==+=+0aTa Ta a dx x f dt t f dt t T f dx x f ,即有()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=-+=Ta aaTaTdx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 0,成立再证()()⎰⎰-=22T T Tdx x f dx x f ,因为()()()⎰⎰⎰+=TT T Tdx x f dx x f dx x f 220对于()⎰TT dx x f 2令T x t -= 则()()⎰⎰+=TT T T dtT t f dx x f 22,因为()()x f T x f =+所以有()()⎰⎰--=+0202T T dx x f dt T t f ,()()()()⎰⎰⎰⎰-=+=20222T TT T T Tdx x f dx x f dx x f dx x f ;例3 求定积分 ()dx x x xI cos 2411++=⎰-;解：被积函数为偶函数,()()dx x x x dx x x xI ⎰⎰++=++=-1242411cos 2cos⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=1sin 158201sin 3151235x x x例4 求定积分⎰=πn dx x I 0sin ,其中n 为自然数;解：注意到x sin 是偶函数且以π为周期,因此利用性质可以简化计算n xdx n dx x n dx x n dx x n dx x I n 2sin 2sin 2sin sin sin 20222======⎰⎰⎰⎰⎰-ππππππ.例5]3[ 计算：⎰π20cos sin xdx x m n 自然数n 或m 为奇数;解 ：由周期函数积分性质得⎰⎰-==πππxdx x xdx x I m n m n m n cos sin cos sin 20,当n 为奇数时,由于被积函数为奇函数,故0,=m n I 当m 为奇数时设2,1,0,12=+=k k m …时=m n I ,()()0sin sin sin 1sin 2==---⎰ππππx R x d x x n 其中()u R 为u 的某个多项式不含常数项 因此0,=m n I例6 求定积分 dx x xx x ⎰-+++44231sin ;解：因为被积函数是为奇函数,且在对称区间故01sin 4423=+++⎰-dx x xx x 例7 求定积分I=dx x x x x ⎰--+-2225242cos ;解：I=dx xx x dx xx ⎰⎰---+--+2225222242cos 42,因为2542cos xx x -+是奇函数,而2242x x -+是偶函数,所以I=2()dx xx x dx x x ⎰⎰--=+-+2222222422042=()π28422202-=--⎰dx x例8 求定积分I=()()dx x x 3arctan 3604--⎰; 解：设3-=x t 则I=()()dx x x 3arctan 3604--⎰=tdt t arctan 334⎰- 因为()x x x f arctan 4=是奇函数所以0=I例9 求定积分I=⎰+π2cos 1sin dx x xx ;解：令t x +=2π,则dt dx =,因为][π,0∈x ,所以⎢⎣⎡⎥⎦⎤-∈2,2ππt , dt t t dt t t t dt t t dt t t t I ⎰⎰⎰⎰---+=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222022222222sin 1cos sin 1cos sin 1cos 2sin 1cos 2ππππππππππ ()4]sin arctan [sin sin 1122022πππππ==+=⎰t t d t例10 求定积分 I=⎰-+-+++1122231)1ln(dx x x x x ; 分析：若此题采用常规求法,会发现过程相当复杂,但是利用奇偶函数的性质就能很容易求出;原函数可以看做一个奇函数fx=3)1ln(22+++x x x 和一个偶函数ux=3122+-x x 之和;解：I= ⎰-+-+++1122231)1ln(dx x x x x = ⎰-+++11223)1ln(dx x x x + dx x x ⎰-+-112231 =+02 dx x x ⎰+-12231 =2=+-⎰dx x 102)341(10]3arctan 34[2x x - π3942-= 例11 求定积分I=⎰-+-+-21212)11lncos 41(dx xxx ; 分析：如果此题按照一般解法直接进行求解,那么会发现很繁琐,注意到()xxx f +-=11lncos 为奇函数在对称区间上积分为零,因此就可以简化积分,而241x -在⎢⎣⎡⎥⎦⎤-21,21上积分恰好是以原点为圆心,半径为21的上半圆周面积, s=2)21(21π= 8π 解：I=⎰-+-+-21212)11ln cos 41(dx x xx = dx x ⎰--2121241+dx xx⎰-+-212111lncos=dx x ⎰--2121241÷ 0 = 2dx x ⎰--2121241 = 2⨯8π = 4π 例12 设()x f 在][a a ,-()0>a 上连续,证明()()()dx x f x f dx x f aaa][0-+=⎰⎰-,并由此计算⎰-+44sin 11ππdx x ;解：若记()()()x f x f x p -+=,()()()x f x f x q --=,显而易见()x p 为偶函数,()x q 为奇函数,而且()()()2x q x p x f +=.所以有()()()()()()dx x f x f dx x p dx x q dx x p dx x f a a aa a a aa ⎰⎰⎰⎰⎰-+==+=---00][2121 利用上述公式可得2][tan 2sec 2cos 2]sin 11sin 11[sin 11404024024440====-++=+⎰⎰⎰⎰-ππππππx xdx dx x dx x x dx x例13 求定积分I=⎰-+22)1ln(dx e x x ;分析：此题的积分区间][2,2-关于原点对称,从这一点性质中我们可以联想到奇偶函数的性质,但注意到被积函数既不是奇函数也不是偶函数,我们可以将其凑成奇偶函数;按照上一题的结果我们可以知道()()()][21x f x f x u --=为奇函数,而()()()][21x f x f x w -+=为偶函数解：()()()()()()2211ln ]1ln 1ln [21][21x e x e x e x x f x f x u x x x -+=+++=--=-()()()dx x e x dx x x e x dx e x I x x x ⎰⎰⎰---⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+-+=+=222222222211ln ]21211ln [1ln3821202102222=+=+⎰⎰-x dx x dx x 例14 求定积分⎰=πn n dx x x I 0sin 其中N n ∈;分析：被积函数不是周期函数,无法直接用周期函数的定积分性质计算,采用分部积分比较繁琐,可以考虑还原; 令t x n =-π 则dt dx -=()()⎰⎰---==ππππn n n dt t n t n dx x x I 0sin sin⎰⎰⎰⎰⋅+-=+-=ππππππ000sin sin sin sin dx x n n dx x x dt t n dt t t n n n移向得：πππππ20222sin sin 2n xdx n dx x n I n ===⎰⎰ 所以 π2n I n =例15 求定积分 ()⎰+=ππ20sin dx x x I n ;解：()⎰⎰⎰+=+=πππππ0sin sin 2sin 2dx x dx x x dx x x I n[]ππππππππ4222sin cos 2sin sin 200=+=+--=+=⎰⎰x x x xdx xdx x例16 求定积分 ⎰+=π02222cos sin dx xb x a dxI解：注意到被积函数是以π为周期的偶函数,因此可用定积分中相应性质简化计算()⎰⎰⎰+=+=+=-2022222222202222tan tan 2cos sin cos sin ππππdx x a b x d dx x b x a dx dx x b x a dx I()[]abx b a ab x ba ab x d πππ=⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎰222tan arctan 2tan 1tan 2例17 求定积分()⎰-+22223cos sin ππxdx x x ;解：注意到是对称区间,函数可以应用定积分的奇偶性来计算()()d xx x xdx x xdx x xdx x x⎰⎰⎰⎰-+=+=+---20222222222322223sin 1sin 20cos sin cos cos sin πππππππ8sin 2sin 2204202πππ=-=⎰⎰xdx xdx例18 证()x f 是以T 为周期的周期函数,则()()⎰⎰=TnTdx x f n dx x f 0;证明：因为()()()∑⎰⎰-=+=110n k Tk kTnTdx x f dx x f 故只需证明()()()⎰⎰=+TTk kTdx x f dx x f 01由题设可知()()kT x f x f += 现令kT t x +=,当kT x =时,0=t ； 当()T k x 1+=时,T t =且dt dx = ()()()()⎰⎰⎰=+=+TT T k kTdt t f dt kT t f dx x f 01所以有()()()⎰∑⎰⎰==-=Tn k TnTdx x f n dx x f dx x 0100 例19 设()x f 是以π为周期的周期函数,证明()()()()⎰⎰+=+πππ0202sin dx x f x dx x f x x ;分析:()()()()⎰⎰+=+πππ0202sin dx x f x dx x f x x 等价于()()++⎰dx x f x x π0sin()()()()⎰⎰+=+ππππ022sin dx x f x dx x f x x 所以 ()()⎰+ππ2sin dx x f x x = ()()⎰-+ππ0sin dxx f x x 即()()()()⎰⎰-+=+ππππ02sin sin dxx f x x du u f u u 由题设()()x f n x f =+π 可令 π+=x u证明：()()⎰+π20sin dx x f x x()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰+++=+++=ππππππ2020sin sin sin sin duu f u u dx x f x x dx x f x x dx x f x x 令π+=x u ,则()()()()()()()⎰⎰⎰-+=+++++ππππππππ002sin sin sin dx x f x x dx x f x x du u f u u ()()()()()()⎰⎰⎰-+++=+ππππ0020sin sin sin dx x f x x dx x f x x dx x f x x()()⎰+=ππ02dx x f x例20 设函数()⎰=xdt t x s 0cos1 当n 为正整数,且()ππ1+≤≤n x n 时,证明()()122+≤≤n x s n ； 2求()xx s x +∞→lim证明：1因为0cos ≥x ,且()ππ1+≤≤n x n ,所以()⎰⎰⎰+<≤ππ10cos cos cos n xn dx x dx x dx x ,又因为具有周期,在长度的积分区间上积分值相等：⎰⎰=+ππcos cos dx x dx x a a,从而⎰⎰=ππcos cos dx x n dx x n()()n n xdx xdx n 211cos cos 220=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰πππ 同理可得到()()12cos 10+=⎰+n dx x n π2由1有()()()ππn n x x s n n 1212+≤≤+,当∞→n 去极限,由夹逼定理得,()π2lim =+∞→x x s x例21 设函数()x f 在)(∞∞-,上连续,而且()()()dt t f t x x F x ⎰-=02;证明：1若()x f 为偶函数,则()x F 也是偶函数；2若()x f 单调不减,则()x F 单调不减1证明：令u t -=,则()()()()()()()()x F du u f u x du u f u x dt t f t x x F xx x =-=--=--=-⎰⎰⎰-000222故()x F 为偶函数;2 由于被积函数连续,所以()x F 可导,且()()()()()()()()x xf dt t f x f x x dt t f dt t tf dt t f x x F xx x x -=-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰⎰⎰00'00'22()()[]00≥-=⎰xdt x f t f ,因此()x F 在)(∞∞-,上单调不减例22 设()x f 在)(∞∞-,上连续,以T 为周期,令()()⎰=xdt t f x F 0,求证：1()x F 一定能表成：()()x kx x F ϕ+=,其中k 为某常数,()x ϕ是以T 为周期的周期函数； 2()()⎰⎰=∞→Tx x dx x f T dt t f x 0011lim ； 3若有())(()∞∞-∈≥,0x x f ,n 为自然数,则当()T n x nT 1+<≤时,有()()()()⎰⎰⎰+<≤Tx T dx x f n dt t f dx x f n 01;证明:1 即确定常数k,使得()()kx x F x -=ϕ以T 为周期,由于T 因此,取()⎰=Tdt t f Tk 01,()()kx x F x -=ϕ,则()x ϕ是以T 为周期的周期函数; 此时 ()()()x x dt t f Tx F Tϕ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰12 ()()()x dt t f Tx dt t f Txϕ+=⎰⎰00.且()x ϕ在)(∞∞-,上连续并以T 为周期,于是()x ϕ在()x ϕ在[]T ,0有界,在()+∞∞-,也有界;因此()()()()⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞→∞→Tx T x x dt t f T x x dt t f T dt t f x 00011lim 11lim ϕ 3因()0≥x f ,所以当()T n x nT 1+<≤时,()()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=<≤=+ToTn xonTT dt t f n dt t f dt t f dt t f dt t f n 110例23 设()x f 是)(∞∞-,上的连续函数,试运用周期函数性质证明()()⎰⎰-+=+222220sin 2sin cos πππdx x b afdx x b x a f ;证明：因为()α++=+x b a x b x a sin sin cos 22,其中ba=αtan ,令tx =+α,()()()()⎰⎰⎰++=++=+πααππα222202220sin sin sin cos dt t b afdx x b afdx x b x a f()()⎰⎰++++=απππα2222222sin sin dt t b a ftd b a f令t x =-π2,则()()⎰⎰+=++ααππ222222sin sin dt t b a f dt t b af,所以左端=()⎰+π2022sin dx x b af,按照周期函数的性质知⎰⎰⎰+-==ππππ202332c c所以左端=()()⎰⎰+++-232222222sin sin ππππdx x b afdx x b af,x t -=π,知()()d x x b afdx x b af⎰⎰-+=+222223222sin sin ππππ故()⎰-+=2222sin 2ππdx x b a f例24 设()⎰+=2sin πx xdt t x f ,证明1()()x f x f =+π；2求出()x f 的最大最小值;证明：1()⎰++=+23sin πππx x dt t x f ,设π+=u t ,当π+=x t 时,x u =；当23π+=x t 时,2π+=x u ,则()()x f du u dt t x f x x x x ===+⎰⎰+++232sin sin ππππ 2 因为右端连续,故()x f 可导,()x x x f sin cos '-=,又()x f 为周期函数,故只讨论一个周期内即可,现讨论][π,0∈x 当40π≤≤x 时,()0'≥x f ,当434ππ≤<x 时,()0'<x f ,当ππ≤≤x 43时,()0'≥x f 所以当4π=x 时取最大值,2sin 4434==⎪⎭⎫⎝⎛⎰πππdt t f ；当43π=x 时取最大值,2sin 434543-==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰πππdt t f ;参考文献1曹绳武,王振中,于远许高等数学重要习题集大连理工大学出版社 2001 2郝涌,卢士堂考研数学精解华中理工大学出版社 19993李永乐,李正元考研复习全书国家行政出版社 20124林益,邵琨,罗德斌等数学分析习题详解 2005课程论文成绩考核表学生姓名专业班级题目评审者考核项目评分指导教师1 平时态度与遵守纪律的情况满分20分2 掌握基本理论、专业知识、基本技能的程度和水平满分20分3 抽签答题的正确性满分20分4 完成任务的情况与水平按规范化要求满分20分5 答辩时讲述的条理性与系统性满分20分总评成绩总评成绩等级优、良、中、及格、不及格指导教师签字：。
定积分计算中周期和奇偶函数处理
定积分计算中周期和奇偶函数处理周期函数是指函数在一些区间内的取值具有重复的特征，即满足f(x+T)=f(x)，其中T为正常数，称为函数的周期。
在定积分计算中，对于周期函数的处理常常采用周期性的性质来简化计算。
首先，对于周期函数 f(x) 的定积分∫[a, b] f(x) dx，如果函数的周期为 T，即 f(x + T) = f(x)，那么我们可以将积分区间展开成多个周期，即∫[a, b] f(x) dx = ∑(n=0)^(N-1) ∫[a + nT, a + (n+1)T] f(x) dx，其中 N 是使得 a + NT < b 成立的最小整数。
利用函数的周期性，我们可以把积分区间展开成多个周期，然后结合周期函数的相等性质，将积分化简成一个周期的积分。
在实际计算时，可以根据具体的周期函数的性质来进行变换和化简，以便得到简单形式的定积分。
例如，对于正弦函数 sin(x)，它的周期为2π。
如果要计算函数sin(x) 在区间[0, 4π] 的定积分∫[0, 4π] sin(x) dx，我们可以将积分区间展开成多个周期，即∫[0, 4π] sin(x) dx = ∫[0, 2π]sin(x) dx + ∫[2π, 4π] sin(x) dx。
因为 sin(x) 是奇函数，即满足sin(-x) = -sin(x)，所以可以将第二个积分改写为∫[-2π, 0] sin(x) dx。
由于 sin(x) 是周期函数，所以在整个区间上的积分结果是相等的，即∫[-2π, 0] sin(x) dx = ∫[0, 2π] sin(x) dx。
因此，原积分可以简化为∫[0, 2π] sin(x) dx + ∫[0, 2π] sin(x) dx = 2∫[0,2π] sin(x) dx。
类似地，对于周期函数的定积分，可以利用函数的周期性和对称性质来进行一些简化处理。
其次，奇函数和偶函数在定积分计算中也有一些特殊的性质。
定积分的计算方法与技巧解析
出定积分的值。
2.5 利用被积函数的性质及积分区间的特点求解定积分
在求解定积分时，有时候被积函数具有奇偶性和周期性，
而积分区间也比较特殊，这时可利用性质求解[1-2]：
（1）若函数 在区间
上连续且为奇函数，
则
；
（2）若函数 则：
在区间
上连续且为偶函数，
①
；②
（3）若 在上 可积，且是周期为 的周期函数， 为 任意实数，则有[3]：
定积分的换元法主要针对当被积函数中含有
等因子时，可
令
消去根号，或通过作三角代换消去根号，再进行求解，值得注意的是换元必
相应改变定积分的上下限。
例3 求
。
解令
，则
。当
时， ；当
时， 。
例4 解令
。 ，则
。当
时，
；当 时， 。
2.4 利用分部积分法 分部积分法主要用于求解当被积函数是两类函数的乘积的形式的定积分，分部积分法 的关键是要正确选择 和 。分部积分法在解题过程中可以多次使用，但应注意在多次 使用分部积分法时要“从一而终”，即若第一次选取指数函数作为 ，那么后面再次使用③
， 为自然数；④正弦函
数在周期区间上的积分值为0，余弦函数在半周期区间上的积分 值为0。
定积分证明题方法总结六
定积分证明题方法总结六篇定积分是历年数学的考查重点，其中定积分的证明是考查难点，同学们经常会感觉无从下手，小编特意为大家总结了定积分的计算方法，希望对同学们有帮助。
篇一：定积分计算方法总结一、不定积分计算方法1. 凑微分法2. 裂项法3. 变量代换法1) 三角代换2) 根幂代换3) 倒代换4. 配方后积分5. 有理化6. 和差化积法7. 分部积分法（反、对、幂、指、三）8. 降幂法二、定积分的计算方法1. 利用函数奇偶性2. 利用函数周期性3. 参考不定积分计算方法三、定积分与极限1. 积和式极限2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限3. 洛必达法则4. 等价无穷小四、定积分的估值及其不等式的应用1. 不计算积分，比较积分值的大小1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x)>=g(x),则 >= ()dx2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)b) 当0 2. 估计具体函数定积分的值积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则M(b-a) 3. 具体函数的定积分不等式证法1) 积分估值定理2) 放缩法3) 柯西积分不等式≤ %4. 抽象函数的定积分不等式的证法1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性2) 积分中值定理3) 常数变易法4) 利用泰勒公式展开法五、变限积分的导数方法篇二：定积分知识点总结 1、经验总结(1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限(2)定积分几何意义：①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积 ab②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a反数(3)定积分的基本性质：①kf(x)dx=kf(x)dx aabb②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac(4)求定积分的方法：baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义’③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x) ba篇三：定积分计算方法总结 1、原函数存在定理●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。
定积分中奇偶函数和周期函数处理方法
定积分中奇偶函数和周期函数处理方法定积分中的奇偶函数和周期函数是一种特殊类型的函数，它们在积分计算中有着特殊的性质和处理方法。
在下面的文章中，我们将详细介绍奇偶函数和周期函数在定积分中的处理方法。
一、奇偶函数奇偶函数是指满足以下性质的函数：1.奇函数：对于任意实数x，如果f(-x)=-f(x)，则函数f(x)为奇函数。
奇函数关于原点对称。
2.偶函数：对于任意实数x，如果f(-x)=f(x)，则函数f(x)为偶函数。
偶函数关于y轴对称。
奇偶函数在定积分中有以下性质和处理方法：1. 奇函数的定积分：对于奇函数f(x)，其在[-a, a]上的定积分为0，即∫[-a, a]f(x)dx = 0。
这是因为奇函数的左右两边面积相等且符号相反，所以其定积分为0。
2.奇函数的奇偶性：若f(x)为奇函数，则f(x)的积分区间[-a,a]上f(x)的定积分为0。
反过来，若函数f(x)在[-a,a]上的定积分为0，则f(x)为奇函数。
这是因为对于奇函数来说，其在[-a,0]上的面积与在[0,a]上的面积互为相反数，所以两边面积相等。
3.函数的奇偶分解：任何函数都可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和，即f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)为偶函数，h(x)为奇函数。
这是因为一个函数可以分解为其奇部分和偶部分的和。
二、周期函数周期函数是指满足以下性质的函数：对于函数f(x)，如果存在一个正数T，对于任意实数x，有f(x+T)=f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为其周期。
周期函数在定积分中有以下性质和处理方法：1. 周期函数的定积分：对于周期函数f(x)，其在一个周期内的定积分等于其周期内定积分的任意整数倍，即∫[0, T]f(x)dx = n∫[0,T]f(x)dx（n为任意整数）。
这是因为周期函数在一个周期内的面积是重复的，所以其定积分是周期的整数倍。
2. 定积分与周期函数的周期性：对于周期函数f(x)，其在整个实数轴上的定积分为其一个周期内定积分的整数倍，即∫(-∞, +∞)f(x)dx = n∫[0, T]f(x)dx（n为任意整数）。
周期函数的定积分
周期函数的定积分周期函数的定积分是数学中一个基本的概念，它是分析函数属性特征的重要工具。
它的计算通常使用积分法，可以从定积分的基本概念开始来理解其原理。
积分法是一种数学分析工具，用于分析和解决有关函数变化问题。
它可以用来计算函数的总和，也可以用来计算函数的积分，这是定积分的基本概念。
积分可以理解为函数的累积，也就是将连续的函数区间按照特定的规则进行分割，并将各个区间上的函数值进行累加，计算函数在某一区间上的总和，这就是积分。
定积分是积分的一种特殊形式，它是在规定的区间范围内将函数值累加。
它有一个固定的范围，一般来说，积分的范围是从一个指定的数字到另一个指定的数字。
考虑一个周期函数的定积分，比如一个正弦函数的定积分，首先要计算的是它的一段区间，我们称其为它的定积分区间。
由于正弦函数是周期函数，它的定积分就是从0到它的周期内取值的求和。
正弦函数在定积分区间内可以写成：$$int_{0}^{T}f(x)dx=int_{0}^{T}sin(x)dx$$它的积分值可以用如下积分公式表示：$$int_{0}^{T}sin(x)dx=left[ -cos(x)right]_{0}^{T}=-cos(T)-(-cos(0))=cos(T)-1$$由于正弦函数是周期函数，它的定积分只要计算一次就可以得到，它的定积分值不随周期的变化而变化。
此外，其他的周期函数也是一样可以计算出定积分值的，比如余弦函数，可以用以下方法计算出它的定积分：$$int_{0}^{T}cos(x)dx=left[ sin(x)right]_{0}^{T}=sin(T)-sin(0)=sin(T)$$周期函数的定积分可以用积分法计算出来，它是求解周期函数特性的重要工具，也是常用的数学分析工具之一。
通过正确的计算步骤，它可以帮助我们更加深入地了解函数的特性，为数学研究和实际问题的解决提供有益的指导，有助于更好的理解函数的变化。
定积分及其应用(思维导图)
条件：f(x)在[a,b]连续 结论：区间内存在ξ使，f（x）在区间的积分结果=（b-a）· f（ξ）
积分中值定理可以去掉积分限
牛莱公式
凑微分法
凑微分法不会改变上下限的所属关系，上下限仍旧属于最简字母
分部积分法
第二类换元积分法
换积分上下限 换被积函数 换积分变量
几何意
比较定理
正的积分限
积分限相同，积分变量不同，用比较定理 仅需比较两个被积函数的大小 一个比你大，就绝对比你大
考研中常用的函数大小比较
定积分的应用
定积分的计算
对称区间，偶倍奇零
周期性
三角函数的周期 上下限的长度为(n)T，永远可以在保证长度的情况下，变换积分起点终点→（对称区间或许为最优解）
积分中值定理
下限为0时候，牛逼爸➡奇偶互换
存在原函数F（x）为 f(x)的变上限函数
若f(x)连续
自变量位于上下限中，其核心思维在于求导→见到变限函数就想求导
上限求导*f(上限）- 下限求导*f(下限） 能拉出来就来拉出来 不能拉出来，就代换
标准型 非标准型
求导法则
无穷区间的反常积分 ∞
无界函数的反常积分 瑕点
①求和形式 ②提出来1/n
③找项【左端点】【右端点】【区间中点】
定积分的几何意义
“绝对面积”
考研中常考的圆 画图确定定积分
加“-”变换积分上下限 可加性：拆分区间积分 定积分是一个数，与积分变量的字母选取无关
利用定积分定义求极限
求和形式、数列极限→首先定积分定义，再去夹逼
定积分及其应用
定积分的性质
加减法中都存在才能拆 可加性按照瑕点进行拆分
拆开
①找瑕点 ②区间中间是否存在瑕点
考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则⎰=xa dtt f x F )()(在],[b a 上连续。
定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。
定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。
> 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情况求导。
定积分中奇偶函数和周期函数处理方式
性质进行计算即可，但要注意积分区间。
2. 拆项法：观察被积函数，在对称区间如果被积函数复杂但可以拆成奇偶
函数和的形式，则分开积分会简化计算。
3. 拼凑法：被积函数在对称区间直接积分比较困难，并且不能拆项，可以
按照如下方法处理：设 px f x f x
， qx f x f x，则
0
f xdx
T 2
T
事实上： xT f x f tdt T f tdt ，由此可得
0
0
x
f
2
T
f xdx 。
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
定积分中奇偶函数和周期函数处理方法
定积分中奇偶函数和周期函数处理方法定积分是微积分中的一种基本运算，它用来计算函数在给定区间上的面积或曲线长度等量。
在定积分中，奇偶函数和周期函数有着特殊的性质，可以通过这些性质来简化计算过程。
首先，我们来看奇偶函数的处理方法。
奇函数是一个满足f(-x)=-f(x)的函数，即在函数图像关于y轴对称。
在定积分中，奇函数的一个重要性质是在对称区间上的定积分结果为0。
这是因为在对称区间上，函数图像上方的面积和下方的面积相等，所以它们的定积分相互抵消，结果为0。
例如，我们考虑函数f(x)=x^3在区间[-a,a]上的定积分。
由于f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)，所以函数f(x)是一个奇函数。
根据奇函数的性质，f(x)在[-a,a]上的定积分结果为0。
这意味着无需逐点计算f(x)在区间[-a,a]上的面积，只需找到关于y轴对称的区间上面积的两倍即可。
这能够大大简化计算过程。
接下来，我们来看周期函数的处理方法。
周期函数是满足f(x+T)=f(x)的函数，其中T为一个正常数，称为周期。
在定积分中，周期函数的一个重要性质是它的定积分只与一个周期内的积分结果有关。
也就是说，为了计算周期函数在一个周期内的定积分，我们只需计算一个周期内的定积分并乘以周期的个数。
例如，我们考虑函数f(x)=sin(x)在区间[0, 2π]上的定积分。
由于f(x+2π)=sin(x+2π)=sin(x)=f(x)，所以函数f(x)是一个周期函数，且其周期为2π。
为了计算f(x)在[0, 2π]上的定积分，我们可以计算f(x)在一个周期内的定积分，即在[0, 2π]上的定积分，并乘以周期的个数，即2π的个数。
这样，我们就可以通过简单的乘法来计算周期函数的定积分，无需逐点计算。
以上就是奇偶函数和周期函数在定积分中的处理方法。
通过利用奇函数在对称区间上定积分结果为0和周期函数的周期性，我们可以简化计算过程，提高计算效率。
当我们遇到奇偶函数或周期函数的定积分时，可以考虑利用它们的特殊性质来进行计算，并根据具体情况选择适当的处理方法。
定积分中奇偶函数与周期函数处理方法
定积分计算中周期函数和奇偶函数的处理方法一、基本方法(一)、奇偶函数和周期函数的性质在定积分计算中，根据定积分的性质和被积函数的奇偶性，及其周期性，我们有如下结论1、若()x f 是奇函数（即()()x f x f --=），那么对于任意的常数a ，在闭区间][a a ,-上，()0=⎰-aa dx x f 。
2、若()x f 是偶函数（即()()x f x f -=），那么对于任意的常数a ，在闭区间][a a ,-上()()⎰⎰-=aaadx x f dx x f 02。
3、若()x f 为奇函数时，()x f 在][a a ,-的全体原函数均为偶函数；当()x f 为偶函数时，()x f 只有唯一原函数为奇函数即()⎰xdt t f 0.事实上：设()()C dt t f x d x f x+=⎰⎰0，其中C 为任意常数。
当()x f 为奇函数时，()⎰xdt t f 0为偶函数，任意常数C 也是偶函数⇒()x f 的全体原函数()C dt t f x+⎰0为偶函数；当()x f 为偶函数时，()⎰xdt t f 0为奇函数，任意常数0≠C 时为偶函数⇒()C dt t f x +⎰0既为非奇函数又为非偶函数，⇒()x f 的原函数只有唯一的一个原函数即()⎰xdt t f 0是奇函数。
4、若()x f 是以T 为周期的函数（即()()x f x T f =+），且在闭区间][T ,0上连续可积，那么()()()⎰⎰⎰+-==Ta aTTT dx x f dx x f dx x f 022。
5、若()x f 是以T 为周期的函数（即()()x f x T f =+），那么()⎰xdt t f 0以T 为周期的充要条件是 ()00=⎰Tdt t f事实上：()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=+=++Tx Tx xTx x dt t f dt t f dt t f dt t f dt t f 0，由此可得()()⎰⎰=÷x Tx dt t f dt t f 0⇔()⎰Tdt t f 0。
函数的奇偶性与周期性问题
02
周期性基本概念
周期函数定义与性质
01
02
03
04
周期函数定义
周期性
对于函数$f(x)$，如果存在一 个正数$T$，使得对于所有$x$ 都有$f(x+T)=f(x)$，则称 $f(x)$为周期函数，$T$为它的 一个周期。
函数在每个周期内的图像和整 个函数的图像完全相同。
无界性
周期函数不一定有界，例如正 弦函数和余弦函数。
05
典型例题分析与解答
典型例题介绍及解题思路
例题1
判断函数$f(x) = x^3 - x$的奇偶性 ，并证明。
解题思路
首先根据奇偶性的定义，分别计算 $f(-x)$并与$f(x)$比较，判断其是否 满足奇函数或偶函数的条件。
例题2
求函数$f(x) = sin(2x) + cos(3x)$的 周期。
03
奇偶性与周期性关系探讨
奇偶性对周期性的影响
奇函数在一个周期内的图像关于原点对称，因此其 周期必须是原点的两倍。
偶函数在一个周期内的图像关于y轴对称，因此其周 期可以是任意正数。
对于非奇非偶函数，其周期性不受奇偶性的直接影 响，需要通过其他方式判断。
周期性对奇偶性的影响
02
01
03
如果一个函数具有周期性，那么它的奇偶性将在一个 周期内重复出现。
函数的奇偶性与周期性问题
汇报人:XX
20XX-01-26
目
CONTENCT
录
• 奇偶性基本概念 • 周期性基本概念 • 奇偶性与周期性关系探讨 • 判断方法与应用举例 • 典型例题分析与解答 • 练习题与自测题
01
奇偶性基本概念
奇函数定义与性质
定积分计算技巧
1. 定积分的几何意义例1.⎰=_________．解法1 由定积分的几何意义知;0⎰等于上半圆周22(1)1x y -+= 0y ≥与x 轴所围成的图形的面积．故0⎰=2π． 2. 利用积分不等式 例1.求sin limn pnn xdx x+→∞⎰; ,p n 为自然数． 解法 利用积分不等式 因为sin sin 1lnn pn p n p nn n x x n pdx dx dx x x x n++++≤≤=⎰⎰⎰; 而limln0n n pn→∞+=;所以 sin lim 0n pnn xdx x+→∞=⎰．例2. 求10lim 1nn x dx x→∞+⎰．解法 因为01x ≤≤;故有01nn x x x≤≤+．于是可得110001nn x dx x dx x ≤≤+⎰⎰．又由于110()1n x dx n n =→→∞+⎰． 因此10lim 1nn x dx x→∞+⎰=0． 3.利用被积函数的奇偶性求定积分．例1. 计算21-⎰．分析 由于积分区间关于原点对称;因此首先应考虑被积函数的奇偶性． 解21-⎰=211--+⎰⎰．由于2是偶函数;而是奇函数;有10-=⎰; 于是2112211x x dx x -++-⎰=2102411x dx x +-⎰=22120(11)4x x dx x --⎰=11200441dx x dx --⎰⎰ 由定积分的几何意义可知12014x dx π-=⎰; 故211122444411x x dx dx xππ-+=-⋅=-+-⎰⎰．例2. 计算.解 虽然在上即不是奇函数;也不是偶函数;更不能直接求出原函数;但我们可以利用得原式.4.设fx 为周期函数且连续;周期为T;则.事实上由于于是例1.设表示距离x 最近整数的距离;计算解 由且为周期函数;周期为1;于是5.利用积分中值定理例1. 求sin limn pnn xdx x+→∞⎰; ,p n 为自然数．解法 利用积分中值定理 设 sin ()xf x x=; 显然()f x 在[,]n n p +上连续; 由积分中值定理得 sin sin n p n x dx p x ξξ+=⋅⎰; [,]n n p ξ∈+; 当n →∞时; ξ→∞; 而sin 1ξ≤; 故sin sin lim lim 0n pnn x dx p xξξξ+→∞→∞=⋅=⎰．例2. 求10lim 1nn x dx x→∞+⎰．解法 由积分中值定理()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰可知101n x dx x +⎰=111n x dx ξ+⎰;01ξ≤≤．又11lim lim01n n n x dx n →∞→∞==+⎰且11121ξ≤≤+; 故10lim 01n n x dx x→∞=+⎰． 6.利用适当变量变换求定积分例1. 设fx 在0;1上连续;计算解 设于是得例2.设函数fx 在内满足且;计算解法一解法二当时;于是例46 设解原式7.利用定积分公式公式1：设fx在0;1上连续;则事实上移项两边同除以2得.公式2：记于是由于递推公式每次降2次;要讨论n为奇偶数的情形;由公式3：证由;知的周期为;当然也是它的周期;利周期函数定积分的性质;有而由于2n是偶数;故公式4. 证例54 证明.证公式5设fx在0;1上连续;则.证由是为周期的函数;当然也是以为周期的函数;知也是以为周期的函数;于是公式6证公式7.证例1. 计算.解利用方法7得原式。
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定积分中奇偶函数和周期函数处理方法The final edition was revised on December 14th, 2020.定积分计算中周期函数和奇偶函数的处理方法一、基本方法(一)、奇偶函数和周期函数的性质在定积分计算中，根据定积分的性质和被积函数的奇偶性，及其周期性，我们有如下结论1、若()x f 是奇函数（即()()x f x f --=），那么对于任意 的常数a ，在闭区间][a a ,-上，()0=⎰-aa dx x f 。
2、若()x f 是偶函数（即()()x f x f -=），那么对于任意的常数a ，在闭区间][a a ,-上()()⎰⎰-=a a adx x f dx x f 02。
3、若()x f 为奇函数时，()x f 在][a a ,-的全体原函数均为偶函数；当()x f 为偶函数时，()x f 只有唯一原函数为奇函数即()⎰xdt t f 0.事实上：设()()C dt t f x d x f x+=⎰⎰0，其中C 为任意常数。
当()x f 为奇函数时，()⎰xdt t f 0为偶函数，任意常数C 也是偶函数⇒()x f 的全体原函数()C dt t f x+⎰0为偶函数；当()x f 为偶函数时，()⎰xdt t f 0为奇函数，任意常数0≠C 时为偶函数⇒()C dt t f x+⎰0既为非奇函数又为非偶函数，⇒()x f 的原函数只有唯一的一个原函数即()⎰xdt t f 0是奇函数。
4、若()x f 是以T 为周期的函数（即()()x f x T f =+），且在闭区间][T ,0上连续可积，那么()()()⎰⎰⎰+-==Ta aTT T dx x f dx x f dx x f 022。
5、若()x f 是以T 为周期的函数（即()()x f x T f =+），那么()⎰xdt t f 0以T 为周期的充要条件是 ()00=⎰Tdt t f事实上：()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=+=++Tx Tx xTx x dt t f dt t f dt t f dt t f dt t f 0，由此可得()()⎰⎰=÷xTx dt t f dt t f 0⇔()⎰Tdt t f 0。
(二)、定积分中奇偶函数的处理方法1. 直接法：若果被积函数直接是奇函数或者偶函数，之间按照奇偶函数的性质进行计算即可，但要注意积分区间。
2. 拆项法：观察被积函数，在对称区间如果被积函数复杂但可以拆成奇偶函数和的形式，则分开积分会简化计算。
3. 拼凑法：被积函数在对称区间直接积分比较困难，并且不能拆项，可以按照如下方法处理：设()()()x f x f x p -+= ，()()()x f x f x q --=，则()()()2x q x p x f +=，从而就转换为了奇函数和偶函数在对称区间的计算。
(三)、定积分中周期函数的处理方法对于周期函数的定积分，最主要是能够确定被积函数的周期（特别是三角函数与复合的三角函数的周期），并熟悉周期函数的积分性质，基本上就能解决周期函数定积分的问题。
二、典型例题例1 设()x f f 在][a a ,-上连续可积，证明：(1)若f 为奇函数则()0=⎰-aadx x f (2)若f 为偶函数，则()()⎰⎰-=aaadx x f dx x f 02。
证明：(1)因为()()x f x f --=，而()()()⎰⎰⎰+=--aaa adx x f dx x f dx x f 0()()()()()⎰⎰⎰⎰--+-=+-=aaa adx x f x d x f dx x f dx x f 0对前一项中令x t -=，则()()()()()⎰⎰⎰⎰-=-=-=--aaa adx x f dx x f dt t f x d x f 0所以()()()00=+-=⎰⎰⎰-aaa adx x f dx x f dx x f .(2)因为()()x f x f -=， 而 ()()()⎰⎰⎰+=--aaaadx x f dx x f dx x f 0()()()()()⎰⎰⎰⎰--+-=+-=aaa adx x f x d x f dx x f dx x f 0，对前一项中 令t x -=相似的有()()()()⎰⎰⎰=-=---aaadx x f dt t f x d x f 0，所以()()⎰⎰-=aaadx x f dx x f 02.例2 设f 在)(∞∞-,上连续，且以T 为周期，证()()()⎰⎰⎰+-==Ta aTT T dx x f dx x f dx x f 022。
证明： 由()()()()⎰⎰⎰⎰++++=Ta aaTTa Tdx x f dx x f dx x f dx x f 0，在上式右端最后一个积分中，令t T x +=则有()()()()⎰⎰⎰⎰-==+=+0aTa T a a dx x f dt t f dt t T f dx x f ，即有()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=-+=Ta aaTaT dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 0000，成立再证()()⎰⎰-=22T T Tdx x f dx x f ,因为()()()⎰⎰⎰+=T T T Tdx x f dx x f dx x f 220对于()⎰TT dx x f 2令T x t -= 则()()⎰⎰+=TT TT dt T t f dx x f 22，因为()()x f T x f =+所以有()()⎰⎰--=+0202T T dx x f dt T t f ，()()()()⎰⎰⎰⎰-=+=20222T TT T T Tdx x f dx x f dx x f dx x f 。
例3 求定积分 ()dx x x xI cos 2411++=⎰-。
解：被积函数为偶函数，()()dx x x x dx x x xI ⎰⎰++=++=-1242411cos 2cos⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=1sin 158201sin 3151235x x x例4 求定积分⎰=πn dx x I 0sin ，其中n 为自然数。
解：注意到x sin 是偶函数且以π为周期，因此利用性质可以简化计算n xdx n dx x n dx x n dx x n dx x I n 2sin 2sin 2sin sin sin 20222======⎰⎰⎰⎰⎰-ππππππ.例5]3[ 计算：⎰π20cos sin xdx x m n （自然数n 或m 为奇数）。
解 ：由周期函数积分性质得⎰⎰-==πππxdx x xdx x I m n mnm n cos sin cos sin 20,当n 为奇数时，由于被积函数为奇函数，故0,=m n I 当m 为奇数时(设2,1,0,12=+=k k m …)时=m n I ,()()0sin sin sin 1sin 2==---⎰ππππx R x d x x n其中()u R 为u 的某个多项式（不含常数项） 因此0,=m n I例6 求定积分 dx x xx x ⎰-+++44231sin 。
解：因为被积函数是为奇函数，且在对称区间故01sin 4423=+++⎰-dx x xx x 例7 求定积分I=dx x x x x ⎰--+-2225242cos 。
解：I=dx xx x dx xx ⎰⎰---+--+2225222242cos 42，因为2542cos xx x -+是奇函数，而2242x x -+是偶函数，所以I=2()dx xx x dx x x ⎰⎰--=+-+2222222422042=()π2842222-=--⎰dx x例8 求定积分I=()()dx x x 3arctan 3604--⎰。
解：设3-=x t 则I=()()dx x x 3arctan 364--⎰=tdt t arctan 334⎰- 因为()x x x f arctan 4=是奇函数所以0=I例9 求定积分I=⎰+π2cos 1sin dx x xx 。
解：令t x +=2π，则dt dx =，因为][π,0∈x ，所以⎢⎣⎡⎥⎦⎤-∈2,2ππt ， dt t t dt t t t dt t t dt t t t I ⎰⎰⎰⎰---+=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222022222222sin 1cos sin 1cos sin 1cos 2sin 1cos 2ππππππππππ ()4]sin arctan [sin sin 11220202πππππ==+=⎰t t d t例10 求定积分 I=⎰-+-+++1122231)1ln(dx x x x x 。
分析：若此题采用常规求法，会发现过程相当复杂，但是利用奇偶函数的性质就能很容易求出。
原函数可以看做一个奇函数f(x)=3)1ln(22+++x x x 和一个偶函数u(x)=3122+-x x 之和。
解：I= ⎰-+-+++1122231)1ln(dx x x x x = ⎰-+++11223)1ln(dx x x x + dx x x ⎰-+-112231 =+0 2 dx x x ⎰+-12231 =2=+-⎰dx x 102)341(10]3arctan 34[2x x - π3942-= 例11 求定积分I=⎰-+-+-21212)11lncos 41(dx xxx 。
分析：如果此题按照一般解法直接进行求解，那么会发现很繁琐，注意到()xxx f +-=11lncos 为奇函数在对称区间上积分为零，因此就可以简化积分，而241x -在⎢⎣⎡⎥⎦⎤-21,21上积分恰好是以原点为圆心，半径为21的上半圆周面积， s=2)21(21π= 8π 解：I=⎰-+-+-21212)11ln cos 41(dx x xx = dx x ⎰--2121241+dx xx⎰-+-212111lncos=dx x ⎰--2121241÷ 0 = 2dx x ⎰--2121241 = 2⨯8π = 4π 例12 设()x f 在][a a ,-()0>a 上连续，证明()()()dx x f x f dx x f aaa][0-+=⎰⎰-，并由此计算⎰-+44sin 11ππdx x 。
解：若记()()()x f x f x p -+=，()()()x f x f x q --=，显而易见()x p 为偶函数，()x q 为奇函数，而且()()()2x q x p x f +=.所以有()()()()()()dx x f x f dx x p dx x q dx x p dx x f a a aa a a aa⎰⎰⎰⎰⎰-+==+=---00][2121 利用上述公式可得2][tan 2sec 2cos 2]sin 11sin 11[sin 11404024024440====-++=+⎰⎰⎰⎰-ππππππx xdx dx x dx x x dx x例13 求定积分I=⎰-+22)1ln(dx e x x 。