最优控制习题及参考答案

由始端： x(0) = 1 → C2 = 1
由末端： x(t f ) = 0 → −C1t f +1 = 0
……④
考虑到： H (t f
)
=
− ∂ϕ ∂t f
−
∂ψ ∂t f
⋅γ
=
−1
有： 1 u2 + λu = −1 2
1 2
C12
− C12
=
−1 ⇒
C12
=
2
C1 = ± 2
当 C1 = 2 时，代入④
+
C3
=
0
69
联立得： C1 = 0.432，C2 = 1.28 ， ⇒ u* = 0.432t −1.28
② t f 自由
⎧
⎪⎪C4 = 1
⎪C3 = 2
⎪⎪ ⎨ ⎪
1 6
C1t
3 f
−
1 2
C2t
2 f
+ C3t f
+ C4
=0
⎪ ⎪ ⎪
1 2
C1t
2 f
− C2t f
+ C3
=0
⎪⎩H (t f ) = 0
=
∂ϕ ∂x
+
∂ψ T ∂x
⋅γ
=
0 ，ψ
=
x1 +
x2
−1
有： λ(1) = ⎢⎢⎡⎣11⎤⎥⎥⎦ γ = 0 ⇒ λ 1(1) = λ 2(1)
……②
于是： C1 = −C1 + C2
2C1 = C2
… …③
②、③联立，得： C1=-
3 7
、C2
=
-
6 7
于是： u* = − 3 t + 6 77
∫ 习题 2 求性能指标： J = 1(x2 +1)dt 0 在边界条件 x(0) = 0 ， x(1) 是自由情况下的极值曲线。
解：
由上题得： x*(t) = C1t + C2
由 x(0) = 0 得： C2 = 0
由
∂L ∂x
t=t f
= 2x(t f ) = 2C1 t=t f
=0
于是： x*(t) = 0
由
λ (t
f
)
=
∂ϕ ∂x(t f
)
=
⎡2⎤ ⎢⎣1⎥⎦
⇒ C1 = 1，C2 = e−1
⇒
⎨⎩⎧λλ12
= =
et −1 1
+1
→
在t
>
0的范围内λ1
wk.baidu.com
>
1
故： u* = −1 t ∈[0,1]
若 需 计 算 最 优 轨 线 ， 只 需 把 u* = −1 代 入 状 态 方 程 ， 可 得 ：
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
x(t f
)
=0，
并使
∫ J = tf u2 (t)dt = min 0
其中 t f 自由。
解： H
=
u2
+ λ1x2
+
1 4
λ1
+ λ2u
⎧⎪− ⎪
1 2
λ2
本题属最小能量问题，因此： u*(t) = ⎪⎨− 1
⎪2
⎪1
⎪⎩ 2
λ2 ≤ 1 λ2 > 1 λ2 < −1
70
由协态方程： ⎧⎪⎨λ1 = 0 → λ1 = C1 ⎪⎩λ2 = −λ1 → λ2 = −C1t + C2
x1*
(t)
=
5 27
t
3
−
t
2
+
t
+1
x2*
(t)
=
5 9
t2
−
2t
+1
习题 4 已知系统状态方程及初始条件为 x = u ， x(0) =1
试确定最优控制使下列性能指标取极小值。
∫ J = 1(x2 + u2 )e2tdt 0
解： H = x2e2t + u2e2t + λu
⎧x = u 列方程： ⎪⎨λ = −2xe2t
解：
由已知条件得：
A
=
⎡0 ⎢⎣0
1⎤ 0⎥⎦
，
B
=
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦
，
Q
=
⎡4 ⎢⎣0
0⎤ 0⎥⎦
， R =1
∵[B
AB]
=
⎡0 ⎢⎣1
1⎤ 0⎥⎦
,
∴可控
——最优解存在
∫ x1(1)
+
x2
(1)
=
1
，并使性能指标
J
=
1 2
1
u2 (t)dt
0
为最小值的最优控制 u*(t) 及相应的最优轨线 x*(t) 。
解： 本题 f (i)，L(i) 与习题 3 同，故 H (i) 相同→方程同→通解同
⎧λ1 = C1，λ2 = −C1t + C2
有：
⎪
⎪ ⎪
x1
⎨
=
1 6
C1t 3
λ2 是 t 的直线函数。
当
u* (t )
=
−
1 2
λ2
=
1 2
C1t
−
1 2
C2
时（试取）
x2
(t)
=
1 4
C1t 2
−
1 2
C2t
+
C3
x1 (t )
=
1 12
C1t 3
−
1 4
C2t
2
+
1 4
t
+
C3t
+
C4
由始端条件 →
C3
=
C4
=
1 4
由末端条件
→
1 12
C1t
f
3
−
1 4
C2t
f
2
+
1 2tf
−
1 2
C2t 2
+
C3t
+
C4
⎪ ⎪
x2
=
1 2
C1t 2
− C2t
+ C3
⎪⎩u = C1t − C2
65
x(0)
=
⎡0⎤ ⎢⎣0⎥⎦
由
，有： C3 = C4 = 0 ……①
由 x1(1) + x2 (1) = 1，有：
1 6
C1
−
1 2
C2
+
1 2
C1
− C2
=1
2 3
C1
−
3 2
C2
=1
由 λ(1)
代入状态方程：
x
=
−x
−
1 2
C1et
⇒
x(t)
=
C2e−t
−
1 4
C1et
① t f = 2，x(2) = 0
⎧⎪⎪C2 ⎨
−
1 4
C1
=
3
⎪⎪⎩C2e−2
−
1 4
C1e2
=
0
解得：
C1
=
12 e4 −1
，
C2
=
3e4 e4 −1
代入②得：
u*
(t
)
=
−
e4
6 −1
et
②
x(t
f
)
=
2， t
自由
f
由协态方程：
⎧⎨⎩ λλ12
=0 = −λ1
H
=
1 u2 2
+ λ1x2
+ λ2u
得：
⎧⎨⎩ λλ12
= =
C1 −C1t
+
C2
……① ……②
由控制方程： ∂H ∂u
= u + λ2
=0
得： u = −λ2 = C1t − C2 ……③
由状态方程： x2 = u = C1t − C2
得：
x2 (t)
x1* (t ) x2* (t )
= =
2e−t − −2e−t
1 −
t
+
2
习题 11
设系统状态方程为
x1(t) = x2 (t) ， x1(0) = x10
72
x2 (t) = u(t) ， x2 (0) = x20
∫ 性能指标为 J = 1 2
∞ 0
(4
x12
+
u2
)dt
试用调节器方法确定最优控制 u*(t) 。
∫ J
= tf
+
1 2
t f u2dt
0
为极小，其中终端时间 t f 未定， x(t f ) = 0 。
解： H = 1 u2 + λu 2
由协态方程得： λ = 0 → λ = C1
……①
由控制方程： u + λ = 0 → u = −C1
……②
由状态方程： x = u = −C1 ⇒ x(t) = −C1t + C2 ……③
由 x(0) = 1，得： C1 + C2 = 1
……⑤
由 λ(t f ) = λ(1) = 0 得： C1s1es1 + C2s2es2 = 0 ……⑥
⑤、⑥联立，可得 C1、C2
求导
代回原方程可得 x* → u*
（略）
习题 5 求使系统： x1 = x2 ， x2 = u
由 初 始 状 态 x1(0) = x2 (0) = 0 出 发 ， 在 t f = 1 时 转 移 到 目 标 集
+
1 4
=0
1 4
C1t
f
2
−
1 2 C2t f
+
1 4
=
0
另： H (t f ) = 0
联立解得： C1
=
1 9
，C2
= 0，t f
=3
于是， λ2
=
−
1 9
t
⎧⎨⎩λλ22
= =
1时，t < 0 −1时，t =
9
在 t 从 0 → 3 段， λ2 ≤ 1满足条件。
故， u*
=
−
1 2
λ2
=
1t 18
边界条件为： x1(0) = x2 (0) = 1 ， x1(3) = x2 (3) = 0 ，
∫ 试求使性能指标 J = 3 1 u2 (t)dt
02 取极小值的最优控制 u*(t) 以及最优轨线 x*(t) 。
解：
由已知条件知：
f
=
⎡⎢⎢⎣
x2 u
⎤⎥⎥⎦
Hamiton 函数： H = L + λT f
解：由题意，
f
=
⎡ ⎢⎣
−
x1 + x1
u
⎤ ⎥⎦
，
ϕ = x1 + x2 , L = 0 ， ⇒ H = λ1u − λ1x1 + λ2 x1
由控制方程可得：
u*
=
⎧+1 ⎨⎩ −1
λ1 < 0 λ1 > 0
由协态方程可得：
⎧⎨⎩ λλ12
= =
λ1 0
−
λ2
⇒ λ1 = C2et + C1 ⇒ λ2 = C1
x1*
=
−1 14
t3
+
3 7
t2
x2*
=
−
3 14
t2
+
6 7
t
习题 6 已知一阶系统： x(t) = −x(t) + u(t) ， x(0) = 3
（１）试确定最优控制 u*(t) ，使系统在 t f = 2 时转移到 x(2) = 0 ，并使性
能泛函
∫ J = 2 (1+ u2 )dt = min 0
C1t 3
−
1 2
C2t 2
+
C3t
+
C4
⎪ ⎪ x2 ⎪
=
1 2
C1t 2
− C2t
+
C3
⎪⎩u = C1t − C2
①
由
x(0)
=
⎡2⎤ ⎢⎣1⎥⎦
⎧C4 = 2
⎪⎪C3 = 1
x(5)
=
⎡0⎤ ⎢⎣0⎥⎦
，得：
⎪⎨125 ⎪6
C1
−
25 2
C2
+ 5C3
+ C4
=
0
⎪ 25 ⎪⎩ 2
C1
−
5C2
66
（２）如果使系统转移到 x(t f ) = 0 的终端时间 t f 自由，问 u*(t) 应如何确定？
解： H = 1+ u2 + λu − λ x
⎧x = −x +u 列方程： ⎪⎨λ = λ
⎪⎩2u + λ = 0
由协态方程得： λ = C1et
……①
由控制方程：
u
=
−
1 2
C1et
……②
x* (t )
x0
t
0
1
【分析讨论】对于任意的 x(0) = x0 ，x(1) 自由。
62
有： C2 = x0 ， C1 = 0 ，即： x*(t) = x0
其几何意义： x(1) 自由意味着终点在虚线上任意点。
习题 3 已知系统的状态方程为： x1(t) = x2 (t) ， x2 (t) = u(t)
=
1 2
C1t 2
−
C2t
+
C3
……④
由状态方程： x1 = x2
得：
x1 (t )
=
1 6
C1t 3
−
1 2
C2t
2
+
C3t
+
C4
……⑤
63
将
x(0)
=
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦
，
x(3)
=
⎡0⎤ ⎢⎣0⎥⎦
代入④，⑤,
联立解得：
C1
=
10 9
，
C2
=
2
，
C3
=
C4
=
1
由③、④、⑤式得：
u*(t) = 10 t − 2 9
∫ J = 1 tf u2dt 20
要求达到 x(t f ) = 0 ，试求：（1） t f = 5 时的最优控制 u*(t) ；
（2） t f 自由时的最优控制 u*(t) ；
解：本题 f (i )，L(i )，H (i ) 与前同，故有
⎧
⎪⎪⎪λλ12
= =
C1 −C1t
+
C2
⎪⎪ ⎨
x1
⎪
=
1 6
1
0
1
2
3
4
t
71
习题 10 设二阶系统
x1(t) = −x1(t) + u(t) ， x1(0) = 1
x2 (t) = x1(t) ， x2 (0) = 0
控制约束为 u(t) ≤ 1 ，当系统终端自由时，求最优控制 u*(t) ，使性能指标
J = 2x1(1) + x2 (1)
取极小值，并求最优轨线 x*(t) 。
⎪⎩2e2tu + λ = 0 由③得， u = − 1 e−2tλ
2
代入①得，
……① ……② ……③
……④
x = − 1 e−2tλ 2
x = − 1 e−2tλ + e−2tλ 2
将②，③代入，并考虑到 u = x x = − 1 e−2t (−2xe2t ) + e−2t (−2e2t x) 2
最优控制习题及参考答案
习题 1 求通过 x(0) = 1 ， x(1) = 2 ，使下列性能指标为极值的曲线：
∫ J = tf (x2 +1)dt t0
解： 由已知条件知： t0 = 0 ， t f = 1 由欧拉方程得： d (2x) = 0 dt x = C1 x = C1t + C2 将 x(0) =1，x(1) = 2 代入，有： C2 = 1，C1 = 1 得极值轨线： x*(t) = t +1
联立有：
C22t
2 f
− 2C2t f
+ 2 = 0，
无论 C2 为何值， t f 均无实解。
习题 9 给定二阶系统
x1
(t)
=
x2
(t
)
+
1 4
，
x1 (0)
=
−
1 4
x2 (t) = u(t) ，
x2
(0)
=
−
1 4
控制约束为
u(t)
≤
1 2
，要求最优控制 u*(t) ，使系统在 t
=tf
时转移到
⎧⎪C2 ⎪
−
1 4
C1
=
3
⎨⎪C2e−t f ⎪
−
1 4
C1et f
=0
⎪ ⎪⎩
H
(t
f
)
=
0
解得： C1 = 40 − 6 = 0.325
67
u*(t) = −0.162et 习题 7 设系统状态方程及初始条件为
x(t) = u(t) ， x(0) =1
试确定最优控制 u*(t) ，使性能指标
整理可得： x + 2x − x = 0
64
特征方程： s2 + 2s −1 = 0
s1 = −1+ 2，s2 = −1− 2 于是得： x* (t) = C1es1t + C2es2t
λ*(t)③= −2e2tu①= −2e2t x
λ* (t) = −2e2t (C1s1es1t + C2s2es2t )
……⑤
有：
tf
=1 C1
=
1 2
68
当 C1 = − 2 时，代入④
有：
tf
= 1 =− C1
1 2
，不合题意，故有
C1
=
2
习题 8
最优控制 u* = − 2
设系统状态方程及初始条件为
x1(t) = x2 (t) ， x1(0) = 2
x2 (t) = u(t) ， x2 (0) = 1
性能指标为