杆件横截面上的应力

第七章
杆件横截面上的应力
第一节 基本概念
应力 应变 胡克定律
第二节 轴向拉压杆的应力
横截面上的应力 斜截面上的应力
应力： 应力：杆件截面上的分布内பைடு நூலகம்集度
F
A
F p= A
平均应力
F dF p = lim = A→0 A dA
应力特征 ： （1）必须明确截面及点的位置； ）必须明确截面及点的位置； 正应力： （2）是矢量，1)正应力： 拉为正， ）是矢量， 正应力 拉为正， 2) 切应力顺时针为正； 切应力顺时针为正 顺时针为正； 兆帕) （3）单位：Pa(帕)和MPa(兆帕 ）单位： 帕 和 兆帕 1MPa=106Pa
(τ t dy ) dx
z
dx
= τ =τ′
(τ ′ t dx ) dy
切应力互等定理： 在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等， 两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一 交线。
7-5梁横截面上的切应力
一、矩形截面梁的切应力
y
假设： 假设：
1、横截面上的τ方向与FS平行
2．计算截面惯性矩 ．
0.12 × (0.02)3 2 I1 z = + (0.12 × 0.02 )(0.045 0.01) = 3.02 ×10 6 m 4 12 0.02 × (0.12) 3 2 I2z = + (0.02 × 0.12)(0.08 0.045) = 5.82 × 10 6 m 4 12
σ max =
FN ,max A
拉压杆斜截面上的应力
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面； 横截面 是指垂直杆轴线方向的截面； 是指垂直杆轴线方向的截面 全应力： 斜截面----是指任意方位的截面。 斜截面 是指任意方位的截面。 ①全应力： 是指任意方位的截面
F
α
F
pα =
F cos α = σ 0 cos α A
x方向原长为 ，变形 方向原长为x 方向原长为 后其长度改变量为δ 后其长度改变量为 x
ε x = lim
x → 0
δ x dδ x = x dx
胡克定律 实验表明，在比例极限内， 实验表明，在比例极限内，杆的轴向变 Fl l ∝ 与外力F及杆长 成正比， 形l与外力 及杆长 成正比，与横截面积 成 与外力 及杆长l成正比 与横截面积A成 A 反比。 反比。即： 引入比例常数E， 引入比例常数 ，有：l = Fl = FN l ----胡克定律 胡克定律 EA EA 其中： 弹性模量， 其中：E----弹性模量，单位为 弹性模量 单位为Pa; EA----杆的抗拉（压）刚度。 杆的抗拉（ 杆的抗拉 刚度。 G------切变模量 G------切变模量 胡克定律的另一形式： 胡克定律的另一形式：
1 20KN 20KN 2 40KN 3 40KN
1
2
40kN
3
σ 11 = 10 MPa σ 22 = 0
20kN
σ 33 = 20 MPa
例题
试求图示结构AB杆横截面上的正应力。已知F=30KN， A=400mm2
F ×2a FN AB ×a = 0
A
FNAB = 2F
FNAB =150MPa σ= A
F
150
A
l 2
B
50
96.4
l 2
200 50
C
z
Mmax
FL = =16kNm 4
y
+ m ax m ax
= 200 + 50 96.4 =153.6mm = 96.4mm
σ
+ m ax
+ Mymax = 24.09MPa = IZ
y
σmax
Mymax =15.12MPa = IZ
例题
m
n
中性层
中性轴： 中性轴： 中性层与横截面的交线称 为中性轴。 为中性轴。
m
n
o1
m
o2
n
中性轴
F
F
m
n
(ρ + y)dθ ρdθ ε=
ρdθ
=
y
ρ
m
n
中性轴
M
M
σ = εE = y E ρ
σ FN = ∫A dA =
E
m
n
z
y
∫ ydA ρ
A
=0
o
dA
σ
o
ρ
dθ
m
dx
n
z
y
My =∫ zσdA = E ∫ zydA = 0 A ρ A EIZ E 2 Mz =∫A yσdA = ∫ y dA = ρ ρ A
σ
2
F N
σ
FN
F
假设： 假设： ① 平面假设 ② 横截面上各 点处仅存在正应 力并沿截面均匀 分布。 分布 拉应力为 拉应力为正， 压应力为 压应力为负。
FN F σ = = A A
FN:横截面上的轴力 横截面上的轴力 A：横截面的面积 ：
对于等直杆
当有多段轴力时， 当有多段轴力时，最大轴力所对应的 截面-----危险截面。 截面 危险截面 危险截面上的正应力----最大工作应力 危险截面上的正应力 最大工作应力
=1.65MPa
h 1 FL M y σc = B c = 2 3 2 = 2.47MPa （压） bh IZ 12
σb = 0
例题
图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形 截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求 弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。 y
b：y处的宽度 处的宽度
对于矩形： 对于矩形：
* z
yc
b
y z h
h y b h2 h * * 2 ] = ( y2 ) Sz = A yc = b( y) [ y + 2 4 2 2
而
1 I z = bh 3 12
3 FS 4 y 2 τ = 1 3 2 bh h
I z = 3.02 ×10 6 + 5.08 × 10-6 = 8.84 × 10-6 m 4
3 计算最大弯曲正应力 截面B—B的弯矩为 的弯矩为: 截面 的弯矩为
M B = F × 0.4 = 6000 N m
在截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力， 在截面 的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其 的上 值分别为： 值分别为：
σ ε= E
τ = Gγ
实验表明，横向应变与纵向应变之比为一常数 称为横 实验表明，横向应变与纵向应变之比为一常数ν----称为横 称为 向变形系数（泊松比） 向变形系数（泊松比）
| ε' | ε' ν= = |ε| ε
ε = νε = ν
'
σ
E
拉压杆横截面上的应力
1 F
1′
2
2′
F
1′
2′
1 F
z
解： 1．确定截面形心位置 ．
yc =
20
选参考坐标系z’oy如图示，将截面分解为I和II两部分 形心C的纵坐标为 两部分， 的纵坐标为: 选参考坐标系z’oy如图示，将截面分解为I和II两部分，形心C的纵坐标为: 如图示
y
(0.12 × 0.02)× 0.01 + (0.02 × 0.12)(0.02 + 0.06) = 0.045m (0.12 × 0.02) + (0.02 × 0.12)
σ l ,max = σ c ,max
6000 × 0.045 = 3.05 ×107 Pa = 30.5MPa 8.84 ×10 -6 6000 × (0.12 + 0.02 0.045) = = 6.45 ×107 Pa = 64.5MPa 8.84 ×10-6
切应力互等定理
y
τ′
τ
t
dy
x
* N1
* Sz dM τy = I zb dx
F = ∫ * σ2dA= ∫ *
* N2 A
A
(M + dM) y1 dA
Iz
Fs S τ = I zb
* z
FS S z τ= I zb
上式中符号意义： 式中符号意义： 截面上距中性轴y处的剪应力 τ：截面上距中性轴 处的剪应力 c
S ：y以外面积对中性轴的静矩 以外面积对中性轴的静矩 I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
②正应力： 正应力：
p α
F
α
α
Fα N
σ α = pα cos α = σ cos 2 α
③切应力： 切应力：
α
σα α pα τα
τ α = pα sin α =
σ0
2
sin 2α
1） α=00时， σmax＝σ ） 2）α＝450时， τmax=σ/2 ） ＝
例题
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
F
如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷 作用。 如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN作用。试计算截面 作用 B--B的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。 的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。 的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力
400 mm
B
I
120
z′
20 120
yc
B
II 单位： 单位： mm
C
σ=
M ( x) y Iz ， 1 M ( x) = ρ ( x) EI z
三种典型截面对中性轴的惯性矩
bh IZ = 12
3
bh , WZ = 6
4
2
IZ =
IZ =
πd
64
4
, WZ =
4
πd
4
3
32
(1 α )
4
π (D d )
64
=
πD
64
4
WZ =
πD
32
3
(1 α )
CL8TU6
τ
σ
正应力σ 正应力
F
p
切应力τ 切应力
应变
杆原长为l，直径为 。受一对轴向拉力F的作用 的作用， 杆原长为 ，直径为d。受一对轴向拉力 的作用，发生 变形。变形后杆长为l 直径为d 变形。变形后杆长为 1，直径为 1。
l1 l l = 轴向(纵向 应变： 纵向)应变 轴向 纵向 应变： ε = l l y
例题
长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b＝ 120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN，试求B截面上a、b、 c各点的正应力。
A
l 2
FL
B
l 2
F
h6
a
b
C
h2
h
c b
bh3 IZ = 12
1 h FL M y σa = B a = 2 3 3 bh IZ 12
1 MB = FL 2
M σ
F τ S
梁弯曲时横截面上的正应力与切应力， 梁弯曲时横截面上的正应力与切应力，分别称 为弯曲正应力与弯曲切应力。
纯弯曲时梁横截面上的正应力
a
A
F
F
C
F
D
a
B
F
纯弯曲：梁 受力弯曲后，如 其横截面上只有 弯矩而无剪力， 这种弯曲称为纯 弯曲。
Fa
实验现象：
F F
m n
1、变形前互相平行的纵向直线、 变形前互相平行的纵向直线、 变形后变成弧线， 变形后变成弧线，且凹边纤维缩 凸边纤维伸长。 短、凸边纤维伸长。 2、变形前垂直于纵向线的横向 变形后仍为直线， 线,变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交， 了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。 间相对转动了一个角度。 平面假设： 平面假设： 变形前杆件的横截面变形后仍 为平面。 为平面。
σmax σmax
正应力小于比例极限σ ①线弹性范围—正应力小于比例极限σp； 线弹性范围 正应力小于比例极限 ②精确适用于纯弯曲梁； 精确适用于纯弯曲梁； 对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比 跨度与截面高度比L/h>5)，上述 ③对于横力弯曲的细长梁 跨度与截面高度比 ， 公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截面上的弯矩 应为所研究截面上的弯矩， 公式的误差不大，但公式中的 应为所研究截面上的弯矩，即 为截面位置的函数。 为截面位置的函数。
MZ = ρ EIZ 1
dx
y
Mz y σ= Iz
M
M
中性轴
MZ:横截面上的弯矩
m
n
z
y
y:到中性轴的距离
o
o
dA
σ
IZ:截面对中性轴的惯性矩
σ
M
m
dx
n
z
y
M
Mz Mz y σmax = σ= Wz Iz
σmax =
M( x) W z
中性轴
σmin
M
σmin
M
横截面上正应 力的画法： 力的画法： 公式适用范围： 公式适用范围：
Fs
z
2、τ沿截面宽度是均匀分布的
12
F
z
a a x
12
y
a dx
1
τy
y
y1
a
dA
A
y
τy
2
b
FN2 dM
M
M + dM
FN1
a
* * FN2 FN1 τ ybdx = 0
a
2 b dx
Iz
∫
A*
y1dA =τ ybdx
Sz
1
My1 = M y dA dA F = ∫ * σ1dA = ∫ * 1 * A I A I z ∫A z
其中：拉应变为正， 其中：拉应变为正， 为正 压应变为负 为负。 压应变为负。
'
d1 d d = 横向应变： 横向应变： ε = d d
O
z
研究一点的线应变： 研究一点的线应变：
x
x
取单元体积为x× × 取单元体积为 ×y×z 该点沿x轴方向的线应变为： 该点沿 轴方向的线应变为： 轴方向的线应变为
F a FNAB B a a C D
例题
图示直杆，其抗拉刚度为EA，试求杆件的轴向 变形△L，B点的位移δB和C点的位移δC
F A L
F
FL δ B = LAB = EA
C L
B
FL δC = δ B = EA
第四节纯弯曲时梁横截面上的正应力 第四节纯弯曲时梁横截面上的正应力
M
FS M σ τ FS