杆件横截面上的应力
河海大学 材料力学 第三章 杆件横截面上的应力、应变分析第一节
点K处的应力(stress) DF p=lim pm= lim —— DA→0 DA→0 DA
p 正应力s :沿截面法向 n 切应力t :沿截面切向 s p 2= s 2 + t 2
应力单位：Pa(帕斯卡、帕) MPa(兆帕)
1 Pa = 1 N/m2 1MPa =106 Pa
注意：
t
K
s
以上分析可见，应力是受力物体内某个截面上某 一点上内力分布集度。通常情况下，物体内各点 应力是不同的，对于同一点不同方位截面上应力 亦不同。这样，应力离开它的作用点是没有意义 的，同样，离开它的作用面亦是没有意义的。
(shearing strain) 单位: rad。
四、胡克定律
s
s
du e= — dx
u
u+du
如果仅在单方向正应力s 作用下，且正应力不超过某 一限值（比例极限），则正应力与正应变成正比，即
s = Ee ——胡克定律(Hooke's law)
E ——弹性模量。(elastic modulus)
如何描述一点处的应力？
二、一点的应力状态、单元体：
K K
围绕K点取一微小的六面体，称为单元体。
六个面都表示通过同一点K的面，只是方向不同而已。
如果所取的单元体在空间方位不同，则单元体上各面 的应力分量亦不相同。
sy
y
tyz
tyx txy txz sx
x
tzy
z
sz
tzx
若从一复杂受力构件内某点取一单元体，一般 情况下单元体各面上均有应力，且每一面上同时存 在三个应力分量：一个法向分量——正应力；两个 切向分量——切应力。这样,单元体上共有9个应力 分量。
第三章_杆件横截面上的应力应变分析
3）测截面扭矩
采用全桥桥路如图。
B
R1 R3 C R9 R7
A D 测扭矩
M
ds
2
ds EW M M EW 2
1
ds
4
T E dsW p 41
弯扭组合变形时的应力测量
B Ri A Rt
4、 实验步骤
C
1.打开弯扭组合实验装置。 2.打开应变仪。 R0 R0 3.主应力测定。 D (1) 用标准电阻调零，根据应变片的灵敏系数，计算出标定 值标定。按下“测量”，拆下标准电阻。 (2) 将各应变片按半桥单臂方式接入电阻应变仪各通道，各 通道共用一片温度补偿片。转换开关打到 “切换” (3)调各通道电桥平衡。 (4)采用增量法逐级加载，每次0.1kN。0.1 kN 初载荷调零 0.2 kN , 0.3 kN, 0.4 kN 读出测量值 (5)卸载。
180°III点 R7 R8 R9 B Ri A R0 D 测主应力
2
1） 测各点主应力
在mm截面上下左右四点处贴上应变片花，由电 阻应变仪测出各点三方向应变。测量桥路采用 半桥单臂，如图。由公式可计算各点ห้องสมุดไป่ตู้应力。
45°绿线 0° 白线 -45°蓝线
Rt C R0
主方向
45 45 tan 2 0 45 45 0
主应力
1.2
1 E 1 45 45 2 1 2 2
45 0
0 45
2
弯扭组合变形时的应力测量
2）测截面弯矩
采用半桥双臂桥路如图。
B R5 A R0 D 测弯矩 R0 R11 C
杆件横截面上的应力
F
F:横截面上的轴力 A：横截面的面积
拉压杆斜截面上的应力
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面； 斜截面----是指任意方位的截面。
F
F
F
①全应力：
②正应力：
③切应力：
1） α=00时， σmax＝σ 2）α＝450时， τmax=σ/2
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
在上下边缘处：
y = 0，
b
h
max
图示矩形截面简支梁受均布荷载作用，分别求最大剪力所在的截面上a,b,c三点处的切应力。 作出剪力图 各点处的切应力
矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。 求σmax , τmax 。
二、工字形截面梁的切应力
横截面上的切应力(95--97)％由腹板承担,而翼缘仅承担了(3--5) ％,且翼缘上的切应力情况又比较复杂.为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力.
主应力及最大切应力
①切应力等于零的截面称为主平面 由主平面定义，令tα =0
可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。
②令
得：
即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。
③主应力大小：
④由s１、s３、0按代数值大小排序得出：s1≥0≥s3
极值切应力：
①令：
②
可求出两个相差90o 的a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。
C
A
B
40
yc
FS
_
+
M
0.25
0.5
+
_
平面应力状态的应力分析 主应力
一、公式推导：
第5章杆件横截面上的切应力
沿截面宽度方向均匀分布。
第5章
杆件横截面上的切应力分析
第5章
杆件横截面上的切应力分析
y
第5章
杆件横截面上的切应力分析
第5章
杆件横截面上的切应力分析
杆件横截面上的切应力分析
剪切虎克定律
当在弹性范围内加载时，剪 应力与剪应变成正比：
=G
这种线性关系称为剪切虎克定律。 G称为材料剪切弹性模量，单位：GPa。
第5章
杆件横截面上的切应力分析
§5-1 圆轴扭转时横截面上的切应力
第5章
杆件横截面上的切应力分析
平截面假设
圆轴扭转时，横截面保持 为平面，并且只在原地绕 轴线发生“刚性”转动。
第5章
杆件横截面上的切应力分析
第5章
杆件横截面上的切应力分析
第5章
杆件横截面上的切应力分析
第5章
杆件横截面上的切应力分析
已知：p=7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa， 空心圆轴内外径之比a=0.5.二轴长度想相同。求：实心轴 的直径d1和空心轴的外直径D2，确定二轴的面积比。
第5章
杆件横截面上的切应力分析
第5章 杆件横截面上的正应力分析
§5-1 圆轴扭转时横截面上的切应力
§5-2 非圆截面扭转杆的切应力
§5-3 梁横截面上的切应力
第5章
杆件横截面上的切应力分析
切应力设作用在微元左、右面上的剪 应力为 ，这两个面上的剪应力 与其作用面的乘积，形成一对力， 二者组成一力偶
第5章
杆件横截面上的切应力分析
第5章
杆件横截面上的切应力分析
§5-3 梁横截面上的切应力
第5章
杆件横截面上的切应力分析
杆件横截面上的应力课件
根据作用力的方向与截面法线的 关系，应力可分为正应力与剪应 力。正应力是指垂直于截面的力 ，剪应力是指与截面相切的力。
杆件横截面上的应力分布
均匀分布
在均匀受力的杆件横截面上，应力分 布是均匀的。
不均匀分布
在非均匀受力的杆件横截面上，应力 分布是不均匀的，可能存在应力集中 现象。
应力对杆件性能的影响
当杆件横截面上的拉压应力达到最大 拉压应力值时，杆件发生拉压破坏。
最大弯曲应力准则
当杆件横截面上的弯曲应力达到最大 弯曲应力值时，杆件发生弯曲破坏。
校核方法与步骤
静力校核
根据杆件承受的静力荷载，计算 出杆件横截面上的应力和应变， 并与许用应力和安全系数进行比
较，判断是否满足强度要求。
动力校核
根据杆件承受的动力荷载，计算 出杆件横截面上的应力和应变， 并与许用应力和安全系数进行比
扭转变形引起的应力分析
扭转变形
当杆件受到垂直于其轴线的扭矩作用时 ，会在其横截面上产生扭转变形。扭转 变形的大小与扭矩和横截面面积有关， 计算公式为θ=T/GIP，其中T为扭矩， GIP为截面对主轴z的抗扭截面模量。
VS
扭转变形引起的切应力
在扭转变形过程中，除了扭转变形外，还 会在横截面上产生扭转变形引起的切应力 。扭转变形引起的切应力的大小与扭矩和 杆件截面的转动惯量有关，计算公式为 τ=T/It，其中It为截面对主轴t的抗扭截面 模量。
计算分析
根据建立的模型，进行计算和 分析，得出杆件横截面上的应 力分布和大小。
结果评估
将计算结果与设计规范和标准 进行对比，评估结构的应力和
安全性能。
案例分析结论与建议
结论
通过对实际工程中的杆件横截面应力问题进 行案例分析，可以得出杆件横截面上的应力 分布和大小，评估结构的应力和安全性能。
第4章杆件横截面上的正应力分析
=12.7MPa(拉)
σ AB N AB 3.46 10 6 N 6.4 10 2 6 m AAB 540 10
3
= 6.4MPa(压)
第4章
杆件横截面上的正应力分析
30
y1
Ay A
i
i
200
z y1
30 170 170 2 30 170 (139 ) 12 2
3
85 30 85 y
40.3106 (mm)4 40.3106 m4
第4章
杆件横截面上的正应力分析
(2) 画弯矩图
q =10kN/m
A 2m P=20kN C 3m 20kNm 1m D
§4-2 梁的弯曲正应力
一、概述
第4章
杆件横截面上的正应力分析
一般平面弯曲时，梁的横截面上将有剪力和弯矩两个 内力分量。如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量， 这种平面弯曲称为纯弯曲。此时由于梁的横截面上只 有弯矩，因而便只有垂直于横截面的正应力。
c
c
c
c
第4章
杆件横截面上的正应力分析
在垂直梁轴线的横力作用下，梁横截面 上将同时产生剪力和弯矩。这时，梁的横截面 上不仅有正应力，还有剪应力。这种弯曲称为 横向弯曲。
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
解：先确定危险截面
故取b=43mm
第4章
杆件横截面上的正应力分析
例 求图示梁的最大拉应力和最大压应力。 q =10kN/m A B P=20kN C 1m D
《谢奇之-工程力学》杆件基本变形横截面上的应力
在桥梁设计中，需要分析不同工况下的应力分布，以确保桥梁的安 全性和稳定性。
机械零件的疲劳强度
在机械运转过程中，某些关键零件会受到周期性载荷，导致疲劳断 裂。对零件进行疲劳强度分析，可以预测其使用寿命。
建筑结构的稳定性
建筑结构在风、地震等外力作用下会发生变形，分析结构的应力分布 有助于评估其稳定性。
有限元法
有限元法是一种数值计算方法，通过将杆件横截面离散成有限个小的单元，并对每 个单元进行应力分析来计算横截面上的应力。
有限元法适用于各种形状和材料的杆件，且可以模拟复杂的边界条件和载荷情况。
有限元法的优点是适用范围广、精度高、可以处理复杂的非线性问题，但计算量大、 需要较高的计算机技术和软件支持。
04
应力的计算方法
截面法
截面法是工程中常用的应力计算方法之一，通过在杆 件横截面上选择一个或多个代表性点，并分析这些点
的应力状态来计算横截面上的应力。
截面法适用于各种形状和材料的杆件，只需要知道杆 件横截面的几何尺寸和材料属性即可。
截面法可以通过实验测量和数值计算两种方式进行， 实验测量需要制作专门的试件进行测试，数值计算则
可以通过计算机软件实现。
解析法
01
解析法是通过数学公式和定理来计算应力的方法，适用于简单 形状和材料的杆件。
02
解析法需要建立杆件横截面的力学模型，并利用弹性力学、材
料力学等理论公式进行计算。
解析法的优点是计算精度高，适用于理论分析和设计计算，但
03
适用范围较窄，对于复杂形状和材料的杆件难以应用。
05
应力的影响与控制
应力的影响
变形与开裂
应力会导致材料发生变形，当 应力超过材料的屈服极限时，
工程力学 第8章 杆件横截面上的正应力分析
展开后，并利用静矩、惯性矩和惯性积的定义，得
I z1 = I z + 2aS z + a 2 A I y1 z1 = I y z + aS y + bSz + abA I y1 = I y + 2bS y + b 2 A
(8－17)
如果 y、z 轴通过图形形心，则上述各式中的 Sy＝Sz ＝0，于是，由上式得到
S z = AyC S y = Az C
(8－2)
或
ydA A S y ∫AzdA zC = = A A yC = Sz = A
∫
A
(8－3)
这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。 根据上述关于静矩的定义以及静矩与形心之间的关系可以看出：
n 静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。对 某些坐标轴静矩为正；对另外一些坐标轴静矩则可能为负；对于通过形心的坐标 轴，图形对其静矩等于零。 n 如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心在 某一坐标系中的位置，则可计算图形对于这一坐标系中坐标轴的静矩。
I P = ∫ r 2 dA,
A
(8－7)
为图形对于点 O 的截面二次极矩 或极惯性矩 （second polar moment of an area） 。 定义积分
I yz = ∫A yzd A,
பைடு நூலகம்
(8－8)
为图形对于通过点 O 的一对坐标轴 y、z 的惯性积 (product of inertia) 。 定义
(8－4)
再利用式（8－3） ，即可得组合图形的形心坐标：
S yC = z = A
∑Ay
杆件横截面正应力计算公式
杆件横截面正应力计算公式在工程领域中，杆件的设计和计算是非常重要的。
杆件在受力作用下会产生正应力，而正应力的计算对于杆件的安全性和稳定性具有重要意义。
本文将介绍杆件横截面正应力的计算公式及其应用。
杆件横截面正应力计算公式如下：σ = P/A。
其中，σ为杆件横截面上的正应力，P为作用在杆件上的力，A为杆件的横截面积。
在实际工程中，杆件通常会受到拉伸、压缩、弯曲等不同形式的受力。
对于不同形式的受力，杆件横截面正应力的计算公式也会有所不同。
首先，我们来看一下杆件受拉伸力作用下的正应力计算。
当杆件受到拉伸力P 作用时，横截面上的正应力可以通过上述公式计算得到。
在这种情况下，横截面上的正应力与拉伸力P成正比，横截面积A越大，正应力σ越小，杆件的承载能力也就越大。
接下来，我们来看一下杆件受压缩力作用下的正应力计算。
当杆件受到压缩力P作用时，横截面上的正应力同样可以通过上述公式计算得到。
在这种情况下，横截面上的正应力也与压缩力P成正比，横截面积A越大，正应力σ越小，杆件的承载能力也就越大。
此外，杆件在受力作用下还会产生弯曲。
在弯曲情况下，杆件横截面上的正应力计算公式为：σ = Mc/I。
其中，σ为杆件横截面上的正应力，M为弯矩，c为横截面上的某一点到中性轴的距离，I为横截面的惯性矩。
在弯曲情况下，横截面上的正应力与弯矩M成正比，c越大，正应力σ越小，杆件的承载能力也就越大。
而横截面的惯性矩I则反映了杆件抵抗弯曲变形的能力，I越大，杆件的抗弯能力越强。
综上所述，杆件横截面正应力的计算公式为σ = P/A，对于不同形式的受力，计算公式也会有所不同。
在实际工程中，我们需要根据杆件受力情况选择合适的计算公式，并结合材料的力学性能参数进行计算，以保证杆件的安全性和稳定性。
同时，合理设计杆件的横截面形状和尺寸，也可以有效地提高杆件的承载能力和使用寿命。
希望本文对杆件横截面正应力的计算有所帮助，谢谢阅读！。
第三章 杆件横截面上的应力
ydA
A
E
y2dA EIZ
A
结论 1.中性轴过截面形心
2. 1 M Z
EIZ
3. M z y
Iz
目录
M m
M n
中性轴
z
y
Mzy Iz
MZ:横截面上的弯矩
y:点到中性轴的距离
o
o
IZ:截面对中性轴的惯性矩
dA
z
计算任一点的正应力时，可不考虑M、y的正负，一律以绝
mn dx
y 对值代入。M为正，梁中性轴下边纤维受拉，中性轴以下部分
丝中产生的最大应力。设 E 200GPa 。
解 取钢丝作为研究对象，
d 1.0005m 1m
D
max
E
ymax
200 109
0.0005 1
Pa
100MPa
目录
三、截面的几何性质
1.静矩
Sx
ydA
A
,
Sy
xdA
A
静矩可正，可负，可为零，具有长度的三次方量纲。
设该平面图形的形心C的坐标为xC 、yC ，
Ip
2 dA
A
A（x2 y 2 )dA I y I x
4.惯性积
I xy
xy d A
A
惯性积和惯性矩的量纲相同，但可正、可负，可为零
如果图形有一根（或一根以上）对称轴，则图形对包含此对称轴的 任一对正交轴的惯性积必为零。
目录
例3-6 试求矩形对其形心轴x、y以及x1的惯性矩Ix、Iy、Ix1 。
第三章 杆件横截面上的应力
第三章 杆件横截面上的应力
❖ 第一节 应力、应变极其相互关系 ❖ 第二节 直杆轴向拉伸（压缩）时横截面上
材料力学 杆件横截面上的应力1
思考：
1. 拉压杆横截面上有没有切应力？ 没有 2. 拉压杆斜截面上有没有切应力？ 有， =？1
直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
横截面上的应力 任意截面上的应力 特殊面上的应力 一般面上的应力 特殊
一般
F
p
F
F
FN
变形假设：平面假设仍 成立。 推论：斜截面上各点处 轴向分布内力的集度相 同。
s0
2
sin2
1） α=00时， σmax＝σ 2）α＝450时， τmax=σ/2
• 由上述分析可以看到：在α=+45º和α=-45º斜截面上 的剪应力满足如下关系：
t
s0
2
sin 2
t 45
=
t 45
正、负45º两个截面互相垂直的。那么，在任意两个互 相垂直的截面上，是否一定存在剪应力的数值相等而 符号相反的规律呢？
t sin 2 s sin 2( 90） t
2 2
s
90
•
通过受力物体内一点处所作的互相垂直的两截 面上，垂直于两截面交线的剪应力在数值上必 相等，而方向均指向交线或背离交线。这个规 律就称为剪应力互等定律。
剪应力（切向应力）符号规定： 剪应力以对所研究的脱离体内任何一点均有顺 时针转动趋势的为正，反之为负。
2
FN 1 28.3kN FN 2 20kN
A 1
45°
2、计算各杆件的应力。
B
C
2
FN 1 28.3 103 s1 90MPa A1 20 2 4
FN 1
y
F
FN 2 45° B
F
x
FN 2 20 10 s2 89MPa 2 A2 15
第6章：杆件横截面上的应力分析
除了对原力系作用附近的应力分布有明显影响外，
在离力系作用区域略远处，该影响就非常小。
F
F
F
F
有限元分析的圣维南原理
第六章 杆件横截面上的应力分析
6.1.2 应力集中
由圣维南原理知，等直杆受轴向拉伸或压缩时，在 离开外力作用处较远的横截面上的正应力是均匀分布的。 但是，如果杆截面尺寸有突然变化，比如杆上有孔洞、沟 槽或者制成阶梯时，截面突变处局部区域的应力将急剧增 大，但在离开圆孔或切口稍远处，应力就迅速降低且趋于 均匀。 由于截面急剧变化所引起的应力局部增大现象，称为 应力集中。
对某一横截面而言，T 为常数， Ip 也是常数，因此横截面上
的切应力是 的线性函数
圆心处 0 0
外表面 max max
max
记
T max TR T Ip Ip Ip / R
Wp
Ip R
——抗扭截面系数
max
T Wp
第六章 杆件横截面上的应力分析
第六章 杆件横截面上的应力分析
假设与推理
平面假设 ：圆轴扭转变形前为平面的横截面，变形后仍为大小 相同的平面，其半径仍保持为直线；且相邻两横截 面之间的距离不变。 扭转圆轴横截面上无正应力，只存在切应力。 受扭圆轴横截面上切应力的计算公式 1. 变形几何关系
变形前 变形后
g
g (ρ)
dj
A1
由截面法易知，吊环的轴力为：
A3 A2 15 F 50 15
FN F 38kN
2.求吊环的最小横截面面积。
f10
f22
50
分别计算孔ϕ22处、销子处和接近凹槽底部处的横截面 面积A1、 A2和A3：
材料力学 杆件横截面上的应力1
s0
2
sin2
1） α=00时， σmax＝σ 2）α＝450时， τmax=σ/2
• 由上述分析可以看到：在α=+45º和α=-45º斜截面上 的剪应力满足如下关系：
t
s0
2
sin 2
t 45
=
t 45
正、负45º两个截面互相垂直的。那么，在任意两个互 相垂直的截面上，是否一定存在剪应力的数值相等而 符号相反的规律呢？
应力集中
应力集中 应力集中系数
s max K sm
孔边部分的σmax，与未开孔横截面上的平均 应力σm
截面尺寸改变越急剧，孔越小，圆角越小， 应力集中的程度就越严重。
所谓应力集中系数，就是应力集中处的最大应力σmax与杆横截 面上的平均应力σ之比。 应力集中系数的物理意义：反映杆在静载荷作用下应力集中的 程度。 应力集中系数k只是一个应力比值，与材料无关，而与切槽深度、 孔径大小有关，变截面的过渡圆弧坦、陡有关。
x 是横截面的位置。 若杆件横截面尺寸沿轴线变化剧烈，上述式子是否适用？ 为什么？
3-2-1横截面上正应力公式的推导
3-2-1横截面上正应力公式的推导 圣维南(Saint-Venant)原理: 将原力系用静力等 效的新力系来替代，除了对原力系作用附近的 应力分布有明显影响外，在离力系作用区域略 远处，该影响就非常小。
C
D 2F A
3、计算应力
FN
3F 2F
+ +
O
－
1F
最大应力位于CD段
s max
FNOB 3F s OB (拉) 2A 2A FNBC F s BC (压) 2A 2A FNCD 2 F x s CD (拉) A A 2F s CD (拉) A
工程力学 第9章 杆件横截面上的切应力分析
第 9 章 弹性杆件横截面上的切应力分析
对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件，当其横截面上仅有 扭矩（Mx）或剪力（FQy 或 FQz）时，与这些内力分量相对应的分布 内力，其作用面与横截面重合。这时分布内力在一点处的集度，即为 切应力。 分析与扭矩和剪力对应的切应力方法不完全相同。对于扭矩存 在的情形，依然借助于平衡、变形协调与物性关系，其过程与正应力 分析相似。对于剪力存在的情形，在一定的前提下，则仅借助于平衡 方程。 本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用下其横截面切应力以及薄壁 杆件的弯曲切应力分析。
§ 9-1 圆轴扭转时横截面上的切应力
９－１－１ 圆轴扭转变形特征 －反对称性论证圆轴扭转时横截面保持平面 ９－１－２ 变形协调方程 ９－１－３ 物性关系－剪切胡克定律 ９－１－４ 静力学方程 ９－１－５ 圆轴扭转时横截面上的切应力表达式
§ 9-2 非圆截面杆扭转时的切应力
图 9－8 例 9－2 图
解： 1．各轴所承受的扭矩 各轴所传递的功率分别为 P1 ＝14 kw ， P 2 ＝ P3 ＝P 1 ／2＝7 kw 转速分别为 n1 ＝ 120 r／min
n 3＝n1 ×
据此，算得各轴承受的扭矩：
z1 36 ＝120 × r/min ＝360r/min z3 12
14 M x1 = M e1 = 9549 × N ⋅ m = 1114 N ⋅ m 120 7 M x2 = M e2 = 9549 × N ⋅ m = 557 N ⋅ m 120 7 M x2 = M e2 = 9549 × N ⋅ m = 185 .7 N ⋅ m 360
2．计算最大切应力 E 、H、C 轴横截面上的最大切应力分别为
截面正应力计算公式
截面正应力计算公式
1. 基本概念。
- 对于轴向拉压杆件，其横截面上的正应力计算公式为σ=(F_N)/(A)。
其中σ表示正应力，F_N为轴力（拉力为正，压力为负），A为横截面面积。
- 在计算轴力F_N时，通常采用截面法。
即假想地用一截面将杆件截开，研究其中一部分的受力平衡，从而确定轴力的大小和方向。
2. 梁弯曲时的正应力。
- 对于纯弯曲梁（梁的横截面上只有弯矩而无剪力的情况），其正应力计算公式为σ=(My)/(I_z)。
- 这里M为横截面上的弯矩，y为所求应力点到中性轴的距离，I_z为横截面对中性轴z的惯性矩。
- 对于横力弯曲（梁的横截面上既有弯矩又有剪力的情况），当梁的跨度l与横截面高度h之比l/h>5时，纯弯曲正应力公式σ=(My)/(I_z)仍可近似使用。
3. 组合变形下的正应力。
- 当杆件发生组合变形（如拉压与弯曲的组合、扭转与弯曲的组合等）时，可分别计算每种基本变形产生的正应力，然后根据叠加原理求出组合变形下的正应力。
- 例如对于拉压与弯曲组合变形的杆件，横截面上某点的正应力
σ=σ_N+σ_M，其中σ_N = (F_N)/(A)（拉压正应力），σ_M=(My)/(I_z)（弯曲正应力）。
第五章-杆件基本变形横截面上的应力
l/2
bh3
bh2
IZ 12 W Z 6
x
3) 应力分析：
K
M y m a x K 6MPa ( 压 ) IZ
M
max
W
m ax Z
9MPa
37
例5－4、槽形截面铸铁外伸梁，已知：q=10kN/m，F=20kN， Iz=4.0×107mm4,y2=140mm，y1=60mm，求危险截面最大应力。
ym ax
则公式改写为
max
M W
32
常见截面的抗弯截面系数
d
实心圆截面 W Iz d4/64d3
d/2 d/2 32
空心圆截面 WD3(14)
32
αd D
矩形截面 W Iz bh 3/12bh 2 h/2 h/2 6
h
z y
D d
z y
b
z y
33
(4) 对于中性轴不是对称轴的横截面
第五章 杆件基本变形横截面上的应力
§5-1 拉伸与压缩变形横截面上的应力 §5-2 扭转变形横截面上的应力 §5-3 纯弯曲横截面上的应力 §5-4 横力弯曲横截面上的应力
2
§5-1 拉伸与压缩变形横截面上的应力
横截面上只有 ，无。 F N
变形现象 A
静力学关系 平面假设
dA
A
1
F N1 A1
28.3 103 2 0 2 1 0 6 90MPa
4
2
FN2 A2
20 103 152 106
89MPa
9
§5-2 扭转变形横截面上的应力
一、圆轴扭转横截面上的应力
表面 推断 横截面
第三章 杆件横截面上的应力应变分析
第三章杆件横截面上的应力应变分析利用截面法可以确定静定问题中的杆件横截面上的内力分量，但内力分量只是横截面上连续分布内力系的简化结果，仅根据内力并不能判断杆件是否有足够的强度。
如用同一种材料制成粗细不同的两根杆，在相同的拉力作用下，两杆的轴力是相同的，当拉力增大时，细杆必定先被拉断。
这说明拉杆的强度不仅与轴力大小有关，还与横截面面积有关，因此还必须引入内力集度的概，即应力的概念。
本章在此基础上分别讨论了杆件在拉压、扭转和弯曲三种基本变形和组合变形下横截面上应力的分布规律，导出了应力计算公式，为后面对杆件进行强度计算打下了基础。
第一节应力、应变及其相互关系一、正应力、剪应力观察图3-1a所示受力杆件，在截面上围绕K点取微小面积，其上作用有微内力，于是在上内力的平均集度为：（3-1）亦称为面积上的平均应力。
一般来说截面上的内力并不均匀分布，因此平均应力随所取ΔA的不同而变化。
当ΔA趋向于零时，的大小方向都将逐渐趋于某一极限。
(3-2)式中,p称为K点的应力，它反映内力系在K点的强弱程度。
p是一个矢量，一般说既不与截面垂直，也不与截面相切。
通常将其分解为垂直于截面的应力分量和相切于截面的应力分量(图3-1b)。
称为正应力，称为切应力。
在国际单位制中，应力的单位是牛顿/米2（N/M2），称为帕斯卡，简称帕（Pa）。
由于这个单位太小，通常使用兆帕（MPa），1MPa = 106Pa。
二、正应变、切应变杆件在外力作用下，其尺寸或几何形状将发生变化。
若围绕受力弹性体中任意点截取一个微小正六面体（当六面体的边长趋于无限小时称为单元体），六面体的棱边边长分别为Δx 、Δy 、Δz （图3-2 ）。
把该六面体投影到xy平面（图3-2b）。
变形后，六面体的边长和棱边夹角都将发生变化(图3-2c)。
变形前长为Δx的线段MN，变形后长度为Δx+Δs。
相对变形(3-3)表示线段MN单位长度的平均伸长或缩短，称为平均应变。
当Δx趋向于零，即点N趋向于M点时，其极限为(3-4)式中，ε称为M点沿x方向的线应变或正应变，ε为无量纲量。
轴向拉压杆件横截面上的应力
轴向拉压杆件横截面上的应力在工程设计和材料力学中，轴向拉压杆件是一种经常使用的结构元件，其横截面上的应力分布是一个重要的研究内容。
在此，将介绍轴向拉压杆件横截面上的应力分布，并给出相关参考内容。
轴向拉压杆件是指受到拉力或压力作用的杆件，其横截面形状可以是圆形、方形、矩形、椭圆形等。
在讨论轴向拉压杆件横截面上的应力分布时，我们假设该杆件是均匀材料、轴对称且受到等径向拉力或压力作用。
根据这些假设，我们可以得到以下结论。
首先，对于圆形横截面的轴向拉压杆件，应力沿着截面的半径方向是均匀的。
这意味着，在横截面上的任何一点，杆件的应力大小是相同的，只是方向不同。
具体而言，在拉力作用下，横截面上的应力大小为σ = F/A，其中F是作用于杆件上的拉力，A是横截面的面积。
而在压力作用下，横截面上的应力大小为σ = -F/A。
其次，对于矩形或方形横截面的轴向拉压杆件，其应力分布是非均匀的。
在拉力作用下，杆件的边缘处应力最大，中心处应力最小。
具体而言，在矩形或方形横截面的边缘处，应力计算公式为σ = F/2A，其中F是作用于杆件上的拉力，A是横截面的面积。
而在中心处，应力计算公式为σ = F/A。
此外，对于椭圆形横截面的轴向拉压杆件，其应力分布也是非均匀的。
在拉力作用下，杆件的长轴方向应力最大，短轴方向应力最小。
具体而言，在椭圆形横截面的长轴方向，应力计算公式为σ = F/2A，其中F是作用于杆件上的拉力，A是横截面的面积。
而在短轴方向，应力计算公式为σ = F/A。
综上所述，轴向拉压杆件横截面上的应力分布与杆件的形状密切相关。
在实际工程中，根据结构的要求，可以选择合适的截面形状来平衡应力分布，以提高杆件的强度和稳定性。
参考文献：1. 程训文等著. 材料力学. 北京：清华大学出版社，2016年2. 韩良辉等著. 结构力学. 北京：中国建筑工业出版社，2019年3. 林万善等著. 实用结构力学基础. 北京：中国水利水电出版社，2014年4. Beer, Ferdinand P., Johnston, E. Russell, DeWolf, John T. Mechanics of Materials. New York: McGraw-Hill Education, 2017.5. Popov, Egor P. Engineering Mechanics of Solids. Upper Saddle River, NJ: Pearson, 2015.。
截面相同、轴力相同材料不同的两个受拉伸杆件、它们横截面上的应力关系
截面相同、轴力相同材料不同的两个受拉伸杆件、它们横截面上的应力关系在工程领域中，我们经常会面对到相同截面和轴力的两个杆件，在不同材料的情况下，它们的横截面应力关系也会存在差别。
为了更好地理解这一现象，我们需要了解一些相关的基础知识。
首先，我们需要了解的是“应力”的定义。
应力是材料单位面积内所受的力，通常表示为σ（希腊字母sigma）。
其中，单位面积的部分可以是两位杆件的横截面，而力则是由应用给杆件的拉力或压力。
因此，横截面上的应力就是横截面上的力和面积之比。
接下来，我们需要理解材料的“材料力学性质”，这些性质通常涉及到降伏强度、抗拉强度和弹性模量，这些性质将决定杆件受到拉力时的表现。
对于同一轴向力，不同材料的杆件将产生不同程度的形变，因此将产生不同程度的应力。
在相同截面和轴向力的条件下，不同材料的两个受拉伸杆件会产生不同的横截面应力关系，我们可以举一个例子来说明。
假设两个杆件截面积分别为1平方米，轴向力分别为1万牛顿，一个杆件由钢制而成，弹性模量为2 ×10^5千帕，抗拉强度为4 × 10^8牛顿/平方米；另一个杆件由铜制而成，弹性模量为1.5 × 10^5千帕，抗拉强度为2 × 10^8牛顿/平方米。
此时，我们可以计算出两个杆件的应力：钢制杆件的应力为1万牛顿/平方米，而铜制杆件的应力为6,666.67牛顿/平方米。
这个例子中可能过于简单，但是我们可以看到，在相同截面和轴向力的条件下，不同材料的杆件会产生不同程度的应力。
一般来说，如果两个杆件的截面积和轴向力相同，而材料的弹性模量或抗拉强度发生变化，那么两个杆件的横截面应力关系也将发生变化。
不仅如此，横截面应力还可能会受到其他因素的影响，例如材料的温度和湿度等。
当这些因素发生变化时，它们可能会影响到材料的材料力学性质，从而导致不同横截面应力关系的形成。
总的来说，在工程建设和设计的过程中，我们需要特别注意面对相同截面和轴向力的两个杆件时，它们的横截面应力关系可能会因为不同材料而产生不同程度的变化。
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* Sz dM τy = I zb dx
F = ∫ * σ2dA= ∫ *
* N2 A
A
(M + dM) y1 dA
Iz
Fs S τ = I zb
* z
FS S z τ= I zb
上式中符号意义： 式中符号意义： 截面上距中性轴y处的剪应力 τ：截面上距中性轴 处的剪应力 c
S ：y以外面积对中性轴的静矩 以外面积对中性轴的静矩 I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
②正应力： 正应力：
p α
F
α
α
Fα N
σ α = pα cos α = σ cos 2 α
③切应力： 切应力：
α
σα α pα τα
τ α = pα sin α =
σ0
2
sin 2α
1） α=00时， σmax＝σ ） 2）α＝450时， τmax=σ/2 ） ＝
例题
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
2．计算截面惯性矩 ．
0.12 × (0.02)3 2 I1 z = + (0.12 × 0.02 )(0.045 0.01) = 3.02 ×10 6 m 4 12 0.02 × (0.12) 3 2 I2z = + (0.02 × 0.12)(0.08 0.045) = 5.82 × 10 6 m 4 12
其中：拉应变为正， 其中：拉应变为正， 为正 压应变为负 为负。 压应变为负。
'
d1 d d = 横向应变： 横向应变： ε = d d
O
z
研究一点的线应变： 研究一点的线应变：
x
x
取单元体积为x× × 取单元体积为 ×y×z 该点沿x轴方向的线应变为： 该点沿 轴方向的线应变为： 轴方向的线应变为
(τ t dy ) dx
z
dx
= τ =τ′
(τ ′ t dx ) dy
切应力互等定理： 在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等， 两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一 交线。
7-5梁横截面上的切应力
一、矩形截面梁的切应力
y
假设： 假设：
1、横截面上的τ方向与FS平行
F
150
A
l 2
B
50
96.4
l 2
200 50
C
z
Mmax
FL = =16kNm 4
y
+ m ax m ax
= 200 + 50 96.4 =153.6mm = 96.4mm
σ
+ m ax
+ Mymax = 24.09MPa = IZ
y
σmax
Mymax =15.12MPa = IZ
例题
x方向原长为 ，变形 方向原长为x 方向原长为 后其长度改变量为δ 后其长度改变量为 x
ε x = lim
x → 0
δ x dδ x = x dx
胡克定律 实验表明，在比例极限内， 实验表明，在比例极限内，杆的轴向变 Fl l ∝ 与外力F及杆长 成正比， 形l与外力 及杆长 成正比，与横截面积 成 与外力 及杆长l成正比 与横截面积A成 A 反比。 反比。即： 引入比例常数E， 引入比例常数 ，有：l = Fl = FN l ----胡克定律 胡克定律 EA EA 其中： 弹性模量， 其中：E----弹性模量，单位为 弹性模量 单位为Pa; EA----杆的抗拉（压）刚度。 杆的抗拉（ 杆的抗拉 刚度。 G------切变模量 G------切变模量 胡克定律的另一形式： 胡克定律的另一形式：
σ
2
F N
σ
FN
F
假设： 假设： ① 平面假设 ② 横截面上各 点处仅存在正应 力并沿截面均匀 分布。 分布 拉应力为 拉应力为正， 压应力为 压应力为负。
FN F σ = = A A
FN:横截面上的轴力 横截面上的轴力 A：横截面的面积 ：
对于等直杆
当有多段轴力时， 当有多段轴力时，最大轴力所对应的 截面-----危险截面。 截面 危险截面 危险截面上的正应力----最大工作应力 危险截面上的正应力 最大工作应力
z
解： 1．确定截面形心位置 ．
yc =
20
选参考坐标系z’oy如图示，将截面分解为I和II两部分 形心C的纵坐标为 两部分， 的纵坐标为: 选参考坐标系z’oy如图示，将截面分解为I和II两部分，形心C的纵坐标为: 如图示
y
(0.12 × 0.02)× 0.01 + (0.02 × 0.12)(0.02 + 0.06) = 0.045m (0.12 × 0.02) + (0.02 × 0.12)
例题
长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b＝ 120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN，试求B截面上a、b、 c各点的正应力。
A
l 2
FL
B
l 2
F
h6
a
b
C
h2
h
c b
bh3 IZ = 12
1 h FL M y σa = B a = 2 3 3 bh IZ 12
1 MB = FL 2
σ l ,max = σ c ,max
6000 × 0.045 = 3.05 ×107 Pa = 30.5MPa 8.84 ×10 -6 6000 × (0.12 + 0.02 0.045) = = 6.45 ×107 Pa = 64.5MPa 8.84 ×10-6
切应力互等定理
y
τ′
τ
t
dy
x
σ max =
FN ,max A
拉压杆斜截面上的应力
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面； 横截面 是指垂直杆轴线方向的截面； 是指垂直杆轴线方向的截面 全应力： 斜截面----是指任意方位的截面。 斜截面 是指任意方位的截面。 ①全应力： 是指任意方位的截面
F
α
F
pα =
F cos α = σ 0 cos α A
MZ = ρ EIZ 1
dx
y
Mz y σ= Iz
M
M
中性轴
MZ:横截面上的弯矩
m
n
z
y
y:到中性轴的距离
o
o
dA
σ
IZ:截面对中性轴的惯性矩
σ
M
m
dx
n
z
y
M
Mz Mz y σmax = σ= Wz Iz
σmax =
M( x) W z
中性轴
σmin
M
σmin
M
横截面上正应 力的画法： 力的画法： 公式适用范围： 公式适用范围：
σ=
M ( x) y Iz ， 1 M ( x) = ρ ( x) EI z
三种典型截面对中性轴的惯性矩
bh IZ = 12
3
bh , WZ = 6
4
2
IZ =
IZ =
πd
64
4
, WZ =
4
πd
4
3
32
(1 α )
4
π (D d )
64
=
πD
64
4
WZ =
πD
32
3
(1 α )
CL8TU6
Fs
z
2、τ沿截面宽度是均匀分布的
12
F
z
a a x
12
y
a dx
1
τy
y
y1
a
dA
A
y
τy
2
b
FN2 dM
M
M + dM
FN1
a
* * FN2 FN1 τ ybdx = 0
a
2 b dx
Iz
∫
A*
y1dA =τ ybdx
Sz
1
My1 = M y dA dA F = ∫ * σ1dA = ∫ * 1 * A I A I z ∫A z
第七章
杆件横截面上的应力
第一节 基本概念
应力 应变 胡克定律
第二节 轴向拉压杆的应力
横截面上的应力 斜截面上的应力
应力： 应力：杆件截面上的分布内力集度
F
A
F p= A
平均应力
F dF p = lim = A→0 A dA
应力特征 ： （1）必须明确截面及点的位置； ）必须明确截面及点的位置； 正应力： （2）是矢量，1)正应力： 拉为正， ）是矢量， 正应力 拉为正， 2) 切应力顺时针为正； 切应力顺时针为正 顺时针为正； 兆帕) （3）单位：Pa(帕)和MPa(兆帕 ）单位： 帕 和 兆帕 1MPa=106Pa
I z = 3.02 ×10 6 + 5.08 × 10-6 = 8.84 × 10-6 m 4
3 计算最大弯曲正应力 截面B—B的弯矩为 的弯矩为: 截面 的弯矩为
M B = F × 0.4 = 6000 N m
在截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力， 在截面 的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其 的上 值分别为： 值分别为：
τ
σ
正应力σ 正应力
F
p
切应力τ 切应力
应变
杆原长为l，直径为 。受一对轴向拉力F的作用 的作用， 杆原长为 ，直径为d。受一对轴向拉力 的作用，发生 变形。变形后杆长为l 直径为d 变形。变形后杆长为 1，直径为 1。
l1 l l = 轴向(纵向 应变： 纵向)应变 轴向 纵向 应变： ε = l l y