二次函数的图像和性质第三课时
(3) 二次函数图像性质3-6课时
当x=h时,最小值为0.
当x=h时,最大值为0.
我思考，我进步
在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2, y=-3(x-1)2-2,y=-3x² 和y=-3(x-1)2的图象 思考：
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=3x² ,y=-3(x-1)2的图象有什么关系? （2）它们是轴对称图形吗? （3）它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? （4）当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大? （5）当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?
(0,–1)
(2, 5) (– 4,2) (3,0)
4 y 2 x 2 5 2 5y 0.5x 4 2
向上 直线x= – 4
3 2 6 y x 3 4
向下
直线x=3
课堂练习 1.抛物线y=0.5(x+2)2–3可以由抛物线 y=0.5x2 先沿 x轴方向 左 平移 2 个单位，再沿y轴方向下 平 移 3 个单位得到。 2.已知s= –(x+1)2–3，当x为 –1 时，s取最 大 值 为 –3 。 3.顶点坐标为(1,1)，且经过原点的抛物线的函数 解析式是( D ) A.y=(x+1)2+1 C.y=(x–1)2+1 B. y= –(x+1)2+1 D. y= –(x–1)2+1
开口向下, 当x=1时y有 最大值:且 对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y= -3x2类似. 最大值= 2 (或最大值= - 2)..
X=1
一般：
y = ax2
向上、下平移k 个 单位
y = ax2 ± k
向左平移h个单位 向右平移h个单位
九年级下册《二次函数的图像和性质》第三课时说课稿
学生通过上一环节的作图、观察、比较、归纳、交流讨论等过程， 已经积累了一些方法和经验，所以此环节由学生自己独立完成：
（1）作出二次函数的图象；
（2）观察、思考完成“想一想”
（3）一学生展示，其他同学与老师评价、完善。
Ⅳ.自主探索、小组互学、展学提升：
学生在前面作图、观察、思考、交流讨论的基础上，完成“猜一 猜”，然后师生共同利用计算机进行验证。最后，学生在交流讨论的基
（1）开口___________；
（2）对称轴是___________；
（3）顶点坐标是___________；
（4）当时，随的增大而___________；
当时，随的增大而___________；
（5）函数图象有___________点，函数有___________值；
当_____时，取得__________值____.
九年级下册《二次函数的图像和性质》第三课时 说课稿
九年级下册《二次函数的图像和性质》第三课时说课稿
一、教材及学情分析
《二次函数的图像与性质》是北师大版九年级下册第二章第二节 的内容，在学生已经学习过一次函数（包括正比例函数）、反比例函数 的图像与性质，以及会建立二次函数模型和理解二次函数的有关概念的 基础上进行的，它既是前面所学知识的应用、拓展，是对前面所学一次 函数、反比例函数图像与性质的一次升华，又是今后学习《确定二次函 数的表达式》《二次函数的应用》、《二次函数与一元二次方程》的预 备知识，又是学生高中阶段数学学习的基础知识，它在教材中起着非常 重要的作用。另外，本节课最大特点，是结合图形来研究二次函数的性 质，这充分体现了一个很重要的数学思想——数形结合数学思想。因 此，这一节课，无论是在知识上，还是对学生动手能力培养上都有着十 分重要的作用。
5.2二次函数的图像和性质 第3课时 二次函数y=ax^2 bx c的图像和性质(教学课件)-初中数
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
二次函数y=-x2-4x-5 的图像如图所示.
由图像可知， 当x=-2时， y的值最大， 最大值是-1.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
y＝
1 2
x2－6x＋21
y＝
1 2
(x2－12x)＋21
你知道是怎样配方的吗？ 1. “提”：提出二次项系数；
1 y＝ 2 (x2－12x＋36－36)＋21
y＝ 1 (x－6) 2＋21－18 2
2.“配”：括号内配成完全平方式；
a＜0时，抛物线开口向下，函数有最大值；
4ac － b2
函数在顶点处取得有最大（小）值 4a
.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
练一练：用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式 为( B ) A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
例1 画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，并指出它的开口方向、顶点坐 标、对称轴、最大值或最小值. 【分析】要画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，可先将函数表达式变
2020学年湘教版数学九年级下册第1章二次函数1.2二次函数的图像与性质教案湘教版
第1课时二次函数2(0)=>的图象与性质y ax a教学目标【知识与技能】1.会用描点法画函数2(0)=>的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质．y ax a2.体会数形结合的转化，能用2(0)=>的图象和性质解决简单的实际问题．y ax a【过程与方法】经历探索二次函数2(0)=>图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经y ax a验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯．【情感态度】通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数2(0)=>图象和性质的真正理y ax a解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性．【教学重点】1.会画2(0)=>的图象．y ax a2.理解，掌握图象的性质．【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程．教学过程一、情境导入，初步认识问题1请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数的图象是什么形状呢?问题2如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略；②列表、描点、连线．二、思考探究，获取新知探究1画二次函数2(0)=>的图象．y ax a【教学说明】①要求同学们动手，按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学．②从列表和描点中，体会图象关于y 轴对称的特征． ③强调画抛物线的三个误区．误区一：用直线连结，而非光滑的曲线连结，不符合函数的变化规律和发展趋势． 如图(1)就是y=x 2的图象的错误画法．误区二：并非对称点，存在漏点现象，导致抛物线变形． 图(2)就是漏掉点(0，0)的y=x 2的图象的错误画法．误区三：忽视自变量的取值范围，抛物线要求用平滑曲线连点的同时，还需要向两旁无限延伸，而并非到某些点停止．如图(3)，就是到点(-2，4)，(2，4)停住的y=x 2图象的错误画法． 探究2 2(0)y ax a =>图象的性质在同一坐标系中，画出y=x 2， 212y x =，y=2x 2的图象．【教学说明】要求同学们独立完成图象，教师帮助引导，强调画图时注意每一个函数图象的对称性．动脑筋观察上述图象的特征(共同点)，从而归纳二次函数2(0)y ax a =>的图象和性质．【教学说明】教师引导学生观察图象，从开口方向，对称轴，顶点，y 随x 的增大时的变化情况等几个方面让学生归纳，教师整理讲评、强调．2(0)y ax a =>图象的性质1.图象开口向上．2.对称轴是y 轴，顶点是坐标原点，函数有最低点．3.当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，简称右升；当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，简称左降．三、典例精析，掌握新知 例 已知函数24(2)k k y k x +-=+是关于x 的二次函数．(1)求k 的值．(2)k 为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当x 在哪个范围内取值时，y 随x 的增大而增大？【分析】此题是考查二次函数y=ax 2的定义、图象与性质的，由二次函数定义列出关于k 的方程，进而求出k 的值，然后根据k+2＞0，求出k 的取值范围，最后由y 随x 的增大而增大，求出x 的取值范围．解：(1)由已知得22042k k k +≠⎧⎨+-=⎩，解得k=2或k=-3．所以当k=2或k=-3时，函数24(2)kk y k x +-=+是关于x 的二次函数．(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，所以k+2＞0．由（1）知k=2，最低点是（0，0)，当x≥0时，y 随x 的增大而增大． 四、运用新知，深化理解1.（广东广州中考）下列函数，当x ＞0时，y 值随x 值增大而减小的是（ ） A ．y=x 2B ．y=x-1C ．34y x =D ．1y x=2.已知点（-1，y 1)，(2，y 2)，(-3，y 3)都在函数y=x 2的图象上，则（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 1＜y 3＜y 2 C ．y 3＜y 2＜y 1 D ．y 2＜y 1＜y 33.抛物线y=13x 2的开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ，当x=-2时，y= ；当y=3时，x= ，当x≤0时，y 随x 的增大而 ；当x ＞0时，y 随x 的增大而 ．4.如图，抛物线y=ax 2上的点B ，C 与x 轴上的点A （-5，0），D （3，0）构成平行四边形ABCD ，BC 与y 轴交于点E （0，6），求常数a 的值．【教学说明】学生自主完成，加深对新知识的理解和掌握，当学生疑惑时，教师及时指导．【答案】1．D 2．A 3．上，(0，0)，y 轴，43，±3，减小，增大 4．解：依题意得：BC=AD=8，BC∥x 轴，且抛物线y=ax 2上的点B ，C 关于y 轴对称，又∵BC 与y 轴交于点E （0，6），∴B 点为（-4，6），C 点为（4，6），将（4，6）代入y=ax 2得：a=38．五、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次函数2(0)y ax a =>图象的画法及其性质．2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问?请与同伴交流． 课后作业教材练习第1、2题． 教学反思本节课是从学生画y=x 2的图象，从而掌握二次函数2(0)y ax a =>图象的画法，再由图象观察、探究二次函数2(0)y ax a =>的性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力．第2课时 二次函数2(0)y ax a =<的图象与性质教学目标 【知识与技能】1.会用描点法画函数2(0)y ax a =<的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质．2.体会数形结合的转化，能用2(0)y ax a =<的图象与性质解决简单的实际问题． 【过程与方法】经历探索二次函数2(0)y ax a =<图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯． 【情感态度】通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax 2(a≠0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性． 【教学重点】①会画2(0)y ax a =<的图象；②理解、掌握图象的性质． 【教学难点】二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会． 教学过程一、情境导入，初步认识 1.在坐标系中画出y=12x 2的图象，结合y=12x 2的图象，谈谈二次函数y=ax 2(a ＞0)的图象具有哪些性质？2.你能画出y=12-x 2的图象吗？二、思考探究，获取新知探究1 画2(0)y ax a =<的图象请同学们在上述坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出y=12-x 2的图象．【教学说明】教师要求学生独立完成，强调画图过程中应注意的问题，同学们完成后相互交流，表扬图象画得“美观”的同学．问：从所画出的图象进行观察，y=12x 2与y=12-x 2有何关系？ 归纳：y=12x 2与y=12-x 2二者图象形状完全相同，只是开口方向不同，两图象关于y 轴对称．(教师引导学生从理论上进行证明这一结论)探究2 二次函数2(0)y ax a =<性质问：你能结合y=12-x 2的图象，归纳出2(0)y ax a =<图象的性质吗？【教学说明】教师提示应从开口方向，对称轴，顶点位置，y 随x 的增大时的变化情况几个方面归纳，教师整理，强调2(0)y ax a =<图象的性质．1.开口向下．2.对称轴是y 轴，顶点是坐标原点，函数有最高点．3.当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，简称右降，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，简称左升．探究3 二次函数2(0)y ax a =≠的图象及性质 学生回答：【教学点评】一般地，抛物线y=ax 2的对称轴是 ，顶点是 ，当a ＞0时抛物线的开口向 ，顶点是抛物线的最 点，a 越大，抛物线开口越 ；当a ＜0时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线的最 点，a 越大，抛物线开口越 ，总之，|a|越大，抛物线开口越 ．答案：y 轴，（0，0），上，低，小，下，高，大，小 三、典例精析，掌握新知例 1 填空：①函数2(2)y x =-的图象是 ，顶点坐标是 ，对称轴是，开口方向是．②函数y=x2，y=12x2和y=22x-的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式．解：①抛物线，（0，0），y轴，向上；②根据抛物线y=ax2中，a的值的作用来判断，上面最外面的抛物线为y=12x2，中间为y=x2，在x轴下方的为y=22x-．【教学说明】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误．抛物线y=ax2中，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下，|a|越大，开口越小．例2 已知抛物线y=ax2经过点（1，-1），求y=-4时x的值．【分析】把点(1，-1)的坐标代入y=ax2，求得a的值，得到二次函数的表达式，再把y=-4代入已求得的表达式中，即可求得x的值．解：∵点（1，-1）在抛物线y=ax2上，-1=a·12，∴a=-1，∴抛物线为y=-x2．当y=-4时，有-4=-x2，∴x=±2．【教学说明】在求y=ax2的解析式时，往往只须一个条件代入即可求出a值．四、运用新知，深化理解1.下列关于抛物线y=x2和y=-x2的说法，错误的是（）A．抛物线y=x2和y=-x2有共同的顶点和对称轴B．抛物线y=x2和y=-x2关于x轴对称C．抛物线y=x2和y=-x2的开口方向相反D．点（-2，4）在抛物线y=x2上，也在抛物线y=-x2上2.二次函数y=ax2与一次函数y=-ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是（）3.二次函数226(1)mm y m x +-=-，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，则m= ．4.已知点A （-1，y 1)，B(1，y 2)，C(a ，y 3)都在函数y=x 2的图象上，且a ＞1，则y 1，y 2，y 3中最大的是 ．5.已知函数y=ax 2经过点(1，2)．①求a 的值；②当x ＜0时，y 的值随x 值的增大而变化的情况．【教学说明】学生自主完成，加深对新知识的理解和掌握，当学生疑惑时，教师及时指导．【答案】1．D 2．B 3．2 4．y 3 5．①a=2 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 五、师生互动，课堂小结这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？在学生回答的基础上，教师点评： （1）2(0)y ax a =<图象的性质；（2）y=ax 2(a≠0)关系式的确定方法． 课后作业教材练习第1～2题． 教学反思本节课仍然是从学生画图象，结合上节课y=ax 2(a ＞0)的图象和性质，从而得出2(0)y ax a =<的图象和性质，进而得出y=ax 2（a≠0)的图象和性质，培养学生动手、动脑、合作探究的学习习惯．第3课时 二次函数2()y a x h =-的图象与性质教学目标 【知识与技能】1.能够画出2()y a x h =-的图象，并能够理解它与y=ax 2的图象的关系，理解a ，h 对二次函数图象的影响．2.能正确说出2()y a x h =-的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【过程与方法】经历探索二次函数2()y a x h =-的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想． 【情感态度】1.在小组活动中体会合作与交流的重要性．2.进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识． 【教学重点】掌握2()y a x h =-的图象及性质． 【教学难点】理解2()y a x h =-与y=ax 2图象之间的位置关系，理解a ，h 对二次函数图象的影响． 教学过程一、情境导入，初步认识 1.在同一坐标系中画出y=12x 2与y=12(x-1)2的图象，完成下表．2.二次函数y=12(x-1)2的图象与y=12x 2的图象有什么关系？ 3.对于二次函数12(x-1)2，当x 取何值时，y 的值随x 值的增大而增大？当x 取何值时，y 的值随x 值的增大而减小?二、思考探究，获取新知归纳二次函数2()y a x h =-的图象与性质并完成下表．三、典例精析，掌握新知例1 教材例3．【教学说明】二次函数y=ax2与y=a(x-h)2是有关系的，即左、右平移时“左加右减”．例如y=ax2向左平移1个单位得到y=a(x+1)2，y=ax2向右平移2个单位得到y=a(x-2)2的图象．例2 已知直线y=x+1与x轴交于点A，抛物线y=-2x2平移后的顶点与点A重合．①水平移后的抛物线l的解析式；②若点B（x1，y1)，C(x2，y2)在抛物线l上，且12-＜x1＜x2，试比较y1，y2的大小．解：①∵y=x+1，∴令y=0，则x=-1，∴A（-1，0)，即抛物线l的顶点坐标为（-1，0），又∵抛物线l是由抛物线y=-2x2平移得到的，∴抛物线l的解析式为y=-2(x+1)2．②由①可知，抛物线l的对称轴为x=-1，∵a=-2＜0，∴当x＞-1时，y随x的增大而减小，又12-＜x1＜x2，∴y1＞y2．【教学说明】二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点．四、运用新知，深化理解1.二次函数y=15(x-1)2的最小值是（）A．-1 B．1 C．0 D．没有最小值2.抛物线y=-3(x+1)2不经过的象限是（）A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第二、三象限3.在反比例函数y=kx中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=k(x-1)2的图象大致是（）4.（1）抛物线y=13x2向平移个单位得抛物线y=13(x+1)2；(2)抛物线向右平移2个单位得抛物线y=-2(x-2)2．5.已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为x=-2，且过点（1，-3）．(1)求抛物线的解析式；(2)画出函数的大致图象；(3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？【教学说明】学生自主完成，教师巡视解疑．【答案】1．C 2．A 3．B 4．(1)左，1 (2)y=-2x25．解：(1)y=13(x+2)2 (2)略（3）当x＜-2时，y随x增大而增大；当x=-2时，y有最大值0．五、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答的基础上，教师点评：(1)y=a(x-h)2的图象与性质；（2）y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系．课后作业教材练习第1、2题．教学反思通过本节学习使学生认识到y=a(x-h)2的图象是由y=ax 2的图象左右平移得到的，初步认识到a ，h 对y=a(x-h)2位置的影响，a 的符号决定抛物线方向，|a|决定抛物线开口的大小，h 决定向左右平移；从中领会数形结合的数学思想．第4课时 二次函数2()y a x h k =-+的图象与性质教学目标 【知识与技能】1.会用描点法画二次函数2()y a x h k =-+的图象．掌握2()y a x h k =-+的图象和性质．2.掌握2()y a x h k =-+与y=ax 2的图象的位置关系．3.理解2()y a x h k =-+，2()y a x h =-，2y ax k =+及2y ax =的图象之间的平移转化． 【过程与方法】经历探索二次函数2()y a x h k =-+的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想，培养观察、分析、总结的能力． 【情感态度】1.在小组活动中进一步体会合作与交流的重要性．2.体验数学活动中充满着探索性，感受通过认识观察，归纳，类比可以获得数学猜想的乐趣． 【教学重点】二次函数2()y a x h k =-+的图象与性质． 【教学难点】由二次函数2()y a x h k =-+的图象的轴对称性列表、描点、连线． 教学过程一、情境导入，初步认识 复习回顾：同学们回顾一下：① 2y ax =，2()y a x h =-，（a ≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，y 随x 的增减性分别是什么？② 如何由2y ax = (a ≠0)的图象平移得到2()y a x h =-的图象？③猜想二次函数2()y a x h k =-+的图象开口方向、对称轴、顶点坐标及y 随x 的增减性如何？二、思考探究，获取新知探究1 2()y a x h k =-+的图象和性质1.由老师提示列表，根据抛物线的轴对称性观察图象回答下列问题：①y=12-(x+1)2-1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及y 随x 的增减性如何？③ 将抛物线y=12-x 2向左平移1个单位，再向下平移1个单位得抛物线y=12-(x+1)2-1．2.同学们讨论回答：①一般地，当h ＞0，k ＞0时，把抛物线2y ax =向右平移h 个单位，再向上平移k 个单位得抛物线2()y a x h k =-+；平移的方向和距离由h ，k 的值来决定．②抛物线2()y a x h k =-+的开口方向、对称轴、顶点坐标及y 随x 的增减性如何？ 探究2 二次函数2()y a x h k =-+的应用【教学说明】二次函数2()y a x h k =-+的图象是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当a ＞0时，开口向 ，当a ＜0时，开口向 ．答案：抛物线，直线x=h ，(h ，k)，上，下 三、典例精析，掌握新知例1 已知抛物线2()y a x h k =-+，将它沿x 轴向右平移3个单位后，又沿y 轴向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为y=3-(x+1)2-4，求原抛物线的解析式．【分析】平移过程中，前后抛物线的形状，大小不变，所以a=3-，平移时应抓住顶点的变化，根据平移规律可求出原抛物线顶点，从而得到原抛物线的解析式．解：抛物线y=3-(x+1)2-4的顶点坐标为（-1，-4)，它是由原抛物线向右平移3个单位，向下平移2个单位而得到的，所以把现在的顶点向相反方向移动就得到原抛物线顶点坐标为（-4，-2)．故原抛物线的解析式为y=3-(x+4)2-2．【教学说明】抛物线平移不改变形状及大小，所以a 值不变，平移时抓住关键点：顶点(2=x-1 0 1 2 3 …21(1)32y x =+--3 -2.5 -1 1.5 5…描点和连线：画出图像在对称轴右边的部分，利用对称性，画出图像在对称轴左边的部分，这样就得到了21(1)32y x =+-的图像，如上图。
冀教版九年级下册数学第30章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2的图像和性质
第三十章 二次函数
30.2 二次函数的图像和性质 第3课时 二次函数y＝a(x－h)2的图像
和性质
1D 2A 3B 4C 5C
提示：点击 进入习题
6D 7 见习题 8C 9B 10 D
答案显示
11 D 12 B 13 B 14 h≥1 15 见习题
提示：点击 进入习题
16 见习题
解：当x＜－2时，y随x的增大而增大；当x＝－2时，函数有 最大值．
8．【易错：混淆左右平移后表达式的特点而致错】将函数y＝x2 的图像向
左平移2个单位长度后，得到的新图像的表达式是( )
A．y＝x2＋2
B．y＝x2－2
C．y＝(x＋2)2
C
D．y＝(x－2)2
9．【2020·浙江衢州改编】二次函数y＝x2的图像平移后经过点(2，0)，则下
(2)若点C(－3，b)在该抛物线上，求S△ABC .
解：过点C作CD⊥x轴于D. 将C(－3，b)的坐标代入y＝－(x＋1)2中，得b＝－4，即点C的坐标为(－ 3，－4)，∴S△ABC＝S梯形OBCD－S△ACD－S△AOB＝ ×3×(1＋4)－ ×4×(3－1)－
×1×1＝3.
1
1
1
2
2
2
17．已知抛物线y＝x2如图所示． (1)将抛物线向右平移m(m＞0)个单位长度后，经过点A(0，3)，试求m的值；
解：由题意得，平移后得到的抛物线表 达式为y＝ (x－m)2. 把点A(0，3)的坐标
1 代入上式，得3＝ (0－m)2，解得m1＝3，m2＝－3. 3 ∵m>0，∴m＝3.
1 3
(2)画出(1)中平移后的图像； 解：如图所示．
(3)设两条抛物线相交于点B，点A关于新抛物线对称轴的对称点为C，试在 新抛物线的对称轴上找出一点P，使BP＋CP的值最小，并求出点P的坐 标．
《二次函数的图像和性质(第三课时)》教学片段及反思
《二次函数的图像和性质(第三课时)》教学片段及反思杨丽萍【摘要】教材分析本课时的教学是在学生学过二次函数知识的基础上,用运动变化的观点,从"坐标的数值变化"与"图形的位置变化"的关系着手,探索二次函数y=ax2+k、y=a(x+h)2的图像与二次函数y=ax2的图像的关系.运用类比探究的方法得出:把二次函数y=ax2的图像经过一定的平移变换,从特殊到一般得到二次函数y=a(x+m)2的图像.这样不仅符合学生的认知规律,而且还使学生进一步体会了数形结合的思想方法,培养了学生的创造性思维的能力和动手实践能力,突出体现了辩证唯物主义观点.【期刊名称】《中学数学》【年(卷),期】2012(000)002【总页数】1页(P17)【作者】杨丽萍【作者单位】江苏苏州草桥中学校【正文语种】中文教材分析本课时的教学是在学生学过二次函数知识的基础上，用运动变化的观点，从“坐标的数值变化”与“图形的位置变化”的关系着手，探索二次函数y=ax2+k、y=a （x+h）2的图像与二次函数y=ax2的图像的关系.运用类比探究的方法得出：把二次函数y=ax2的图像经过一定的平移变换，从特殊到一般得到二次函数y=a（x+m）2的图像.这样不仅符合学生的认知规律，而且还使学生进一步体会了数形结合的思想方法，培养了学生的创造性思维的能力和动手实践能力，突出体现了辩证唯物主义观点.1.1 检查预习作业：画出y=x2、y=x2+1与y=x2-1的图像并回答y=x2、y=x2+1与y=x2-1的位置关系；1.2 用实物投影仪展示学生预习作业：画出的二次函数y=x2、y=x2+1与y=x2-1的图像，学生自主归纳画图过程以及对图像以及性质的发现；1.3 教师课件演示、验证.设计理念检查预习作业主要是想通过检查学生所画的函数图像，从中得到学生掌握知识程度的反馈，微调本节课的教学内容，及时检查反馈学生对已学知识的掌握程度.给学生的这几个题目主要是让学生运用运用类比的方法找到这几个图像之间的关系，这种设计我感觉降低知识的起点，梯度较小，学生容易完成，达到为学生学习新知识作准备.展示学生的作业，发现好的作业应给予适宜的鼓励性评价.鼓励性评价是培养、保护学生创新思维的条件.教师要及时抓住学生稍纵即逝的新奇、独特的想法，给予赞扬，使学生的创造性思维得以发展.多给学生创造性思维活动的机会，鼓励学生勇于尝试，并在失败面前不气馁.数学课堂教学的整个过程中，教师要最大限度地创设和实施多种鼓励机制，充分调动全体学生学习的积极性，促进教学目标更好更快地达成，以便提高课堂效率和大面积提高教学质量.通过教师课件的演示，让学生能更直观地观察、分析到这几个函数图像之间的内在联系.教师要重视对数学史上成功观察事例的介绍，同时要经常结合教学内容，说明认真细致的观察在知识学习中的作用，教育学生要做观察的有心人，激励学生要仔细观察，善于观察.教学反思创设情境，引入新课的目的是显而易见的，学生很快找到了图像的变换方法.但是，由于教师给定了题目，使得学生的思维仅限于这几个函数图像之间的类比，限制了学生的思维的活跃程度和发散性.于是，我反思，如果先给学生这三个函数，然后让学生再考虑y=x2+k，当k取不同的值时，与y=x2的关系，这样就能增加学生更多的探究兴趣，而且还能给成绩优秀的学生提供探索的空间.我想作为教师，课堂教学中没有疏漏是不可能的，大可不必对此耿耿于怀.美国心理学家贝恩布里奇说过：“差错人皆有之，作为教师不利用是不能原谅的，没有大量的错误作为台阶就攀登不上正确结果的台阶.”这就启发我们正确对待数学教学中的出现的错误，通过对错误的反思来提高自己的认识，加深对数学知识理解，重视学生思维过程的形成，给他们展示自己思维过程的机会，有意提供学生的思维空间.2.1 用描点法画出函数y=2（x+h）2（h自选）的函数图像，以及画出函数y=2（x+h）2（h自选）的图像.①根据所画出的函数图像，指出其开口方向、对称轴和顶点坐标；②通过观察分析指出函数图像与函数y=2x2与y=2（x+h）2（h自选）的图像有什么关系.通过观察分析指出函数图像与函数y=-x2与y=-（x+h）2（h自选）的图像有什么关系.2.2 学生先自主画图验证.2.3 教师课件演示.（几何画板动态演示）设计理念通过学生动手画函数图像，给学生创设实践活动时间和空间，体现教师是主导，学生是主体的教学地位，让学生经历知识的发生、发展过程，并通过观察、分析、探索出函数图像的有关性质，培养学生数形给合的思想.教师及时进行课件演示，既调动课堂的学习气氛又能引导学生通过演示过程观察、分析，进一步验证、直观地得出函数图像的性质.利用几何画板课件演示，激发学生的学习兴趣，改变函数的解析式，通过图像的平移、变换观察函数图像间的关系，让学生体验、感受函数图像的性质取决各项系数的大小.教学反思函数的教学，尤其是二次函数是学生普遍感觉较为抽象难懂的知识.在教学过程中，除了让学生多动手画图像，加深学生对函数图像的了解，加深他们对函数性质的了解外.更重要的是让学生参与到函数图像和性质的探索中去.要利用一切可以利用的材料来帮助学生理解所学的知识.教材内容在安排过程中是由特殊到一般，由y=x2的性质到y=a（x+h）2+k（a≠0）的性质，本节中都是通过学生观察、验证得到y=a（x+h）2（a≠0）的性质，并不知道y=a（x+h）2（a≠0）性质的生成过程，忽视了学生对知识产生、认知、感受、理解的过程，只是形式上认可这种性质，体现出来的都是表象的东西，并没有从本质上理解.本节课中通过表格上函数值的变化让学生猜想函数图像的位置变化，给学生留下较深刻的印象.在知识学习过程中给学生留有充分的思考与交流的时间和空间，让学生经历了观察、猜测、交流、反思等活动，体现了学生对学习过程的经历和体验也是学习的目的的理念.在课件的设计时采用了几何画板这个具有动态直观、数形结合、色彩鲜明、变化无穷等特点的有力工具来辅助教学，给学生良好的视觉感受，激发学生的学习兴趣，培养学生的观察、分析、归纳、概括能力，提高数学课堂教学的效率和效果，促使学生主动参与并“卷入”到“做”数学的活动中，从而更加深刻地认识二次函数y=a（x+h）2（a≠0）的性质.但是经过认真思考本节课中出现的一些情境，我感觉尽管新课改进行了好几年，但是有些不符合新课改精神的观念在我们脑子中根深蒂固.在教学中或多或少会出现一些影子.不过我相信，每位教师都能够从自身实际出发，不断学习探索，不断总结、反思，不断完善自身，就可以使我们的教学更加生动真实，使我们的课堂闪耀着智慧的光芒！。
【精】 《二次函数的图象和性质(第3课时)》精品教案
《二次函数（第3课时）》精品教案
（1）抛物线顶点坐标___________；
（2）对称轴为________；
（3）当x=____时，y有最大值是_____；
（4）当________时，y随着x得增大而增大．（5）当____________时，y＞0．
4.将函数y=3x+1的图象向______平行移动_____个单位，可使它经过点（1，-1）．
5.若将函数y=2x2的图象向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，可得到________________。
课堂小结通过本节课的内容，你有哪些收获？
（2）对称轴是x＝h．
（3）顶点是（h，k）．
（4）平移规律：h值正右移，负左移；k值正上移，负下移. 学会总结学
习收获，巩
固知识点，
理清知识间
的联系。
让学生
来谈本
节课的
收获，培
养学生
自我检
查、自我
小结的
良好习
惯，将知
识进行
整理并
系统化。
中考数学专题复习：二次函数
第三课时 二次函数的综合应用
考点
1.与几何图形有关的线段、周长、面积 的最值问题； 2.特殊三角形、四边形的存在问题； 3.动点产生的角度问题等综合题
教学思路
跨领域复合型综合题涵盖了初中数学几乎所有的数学 思想方法，一般以压轴题的形式出现.在有限的中考复习 时间里，应该做到以下几点，以提升学生的思维高度：
二。抛物线型
例2 (2022·河南)小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面 0.7 m，水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高，最高点距地面3.2 m；建立如图所示的平面直角坐标系， 并设抛物线的解析式为y＝a(x－h)2＋k，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高 度．
中考ห้องสมุดไป่ตู้学专题复习
二次函数
第一课时二次函数的图像和性质
二
次
函
第二课时二次函数的实际应用
数
复
习
第三课时二次函数的综合应用
第一课时 二次函数的图像和性质
考点
二次函数的图像与性质通常以选择题或填 空题的形式出现，为历年必考题目。题目设计 主要有同一坐标系中多函数像问题、根据图像 做判断的多结论问题、根据表格形式呈现的多 结论问题等，考查a、b、c的符号、对称轴、最 值、大小比较、与一元二次方程的关系（与x轴、 平行于x轴的直线交点个数）、根据图像解不等 式、图像的平移等。
（1）要加强学生的做题意识，树立必胜的信心，教 师要让学生知道综合题常常是“起点低，坡度缓，尾巴略 翘”，要多鼓励学生大敢作答；
（2）是基础知识和基本技能训练要全面，重点内容 适当分类进行专题训练;
（3）是要教会学生一些常用的解题策略，重视数学 思想和方法的提炼，注意知识的迁移，让学生学会融会贯 通.
《二次函数的图象与性质(第3课时)》优秀课件
小结:
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对
函数图象的讨论,分析归纳出 y a(x h)2 k
的性质:(1)a的符号决定抛物线的开口方向 (2)对称轴是直线x=h
(3)顶点坐标是(h,k)
抛物线
开口方向 对称轴 顶点坐标
y ax2 (a 0)
y ax 2 k(a 0) y a(x h)2 (a 0)
开口向上 开口向上 开口向上
直线X=0 直线X=0 直线X=h
(0,0) (0,k)
(h,0)
y a(x h)2 k(a 0) 开口向上 直线X=h (h,k)
2
直线x=-1
(- 1, 0)4，y2）（
1 4
，y3）为二次函数
y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为
___y_3_＜__y_2_＜__y1____.
典例精析
例1 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)， 求a的值和平移后的函数关系式．
解：设平移后的函数关系式为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ，
∴
1 a=
4
∴平移后二次函数关系式为y＝ 1 (x－3)2.
4
小结
比较y=ax2 ， y=ax²+k ， y=a(x-h)²的图像的不同
y=ax2 y=ax²+k
对称轴 Y轴
Y轴
(直线x=0） (直线x=0）
2) 如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到 抛物线y=2x2
3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平移得 到抛物线y=2(x+2)2-1
4) 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经 过(3,5),求平移后的抛物线的解析式_______
新沪科版九年级数学上册同步教案：21.2 第3课时y=a(x+h)^2的图像和性质
第3课时二次函数y=a(x+h)2的图象和性质◇教学目标◇【知识与技能】利用描点法画出二次函数y=a(x+h)2的图象.【过程与方法】使学生经历探究二次函数y=a(x+h)2性质的过程,理解函数y=a(x+h)2的性质,理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系,培养学生观察、分析、猜测、归纳解决问题的能力.【情感、态度与价值观】培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.◇教学重难点◇【教学重点】会用描点法画出二次函数y=a(x+h)2的图象,理解二次函数y=a(x+h)2的性质,理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系.【教学难点】理解二次函数y=a(x+h)2的性质,理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系.◇教学过程◇一、情境导入在青青草原上,慢羊羊在课堂上讲授有关二次函数的知识,只见他把已画的y=x2的图象向上、下、左、右四个方向平移1个单位长度.然后提出问题:平移后所得的四条抛物线与抛物线y=x2的形状、大小如何?二、合作探究探究点1二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系典例1抛物线y=ax2向右平移3个单位长度后经过点(-1,4),求a的值和平移后抛物线对应的二次函数的表达式.[解析]抛物线y=ax2向右平移3个单位长度后的抛物线对应的二次函数的表达式可表示为y=a(x-3)2,.把x=-1,y=4代入,得4=a×(-1-3)2,解得a=14∴平移后抛物线对应的二次函数的表达式为y=1(x-3)2.4).已知二次函数y=a(x+m)2的顶点坐标为(-1,0),且过点A(-2,-12(1)求这个二次函数的表达式.(2)点B(2,-2)在这个函数图象上吗?(3)你能通过左、右平移函数图象,使它过点B 吗?若能,请写出平移方案.[解析] (1)由已知可得y=a (x+1)2,又∵过点A (-2,-12),∴a=-12, ∴y=-12(x+1)2.(2)当x=2时,y=-12×(2+1)2=-92≠-2, ∴点B (2,-2)不在这个函数图象上.(3)能,因为左、右平移只改变m 的值,∴-2=-12(2+m )2,∴2+m=±2,∴m 1=0,m 2=-4,∴y=-12x 2或y=-12(x-4)2∴方案一:把y=-12(x+1)2向右平移1个单位;方案二:把y=-12(x+1)2向右平移5个单位.探究点2 函数y=a (x+h )2的图象特征典例2 在同一坐标系中画出二次函数y=2x 2,y=2x 2+1和y=2(x+1)2的图象,并回答下列问题:(1)它们的形状相同吗?(2)分别说出它们的开口方向、顶点坐标和对称轴.[解析] 画出函数的图象如图:(1)它们的形状相同;(2)函数y=2x 2的图象开口向上,顶点坐标为(0,0),对称轴是y 轴;函数y=2x 2+1的图象开口向上,顶点坐标为(0,1),对称轴是y 轴;函数y=2(x+1)2的图象开口向上,顶点坐标为(-1,0),对称轴是直线x=-1.探究点3 函数y=a (x+h )2的增减性典例3 若二次函数y=-(x-m )2,当x>1时,y 随x 的增大而减小,则m 的取值范围是 .[解析] ∵y=-(x-m )2,∴二次函数对称轴为x=m ,开口向下,∴当x>m 时,y 随x 的增大而减小,∵当x>1时,y 随x 的增大而减小,∴m ≤1.≤1对于二次函数y=9(x-1)2,下列结论正确的是()A.y随x的增大而增大B.当x>0时,y随x的增大而增大C.当x=-1时,y有最小值0D.当x>1时,y随x的增大而增大[答案] D三、板书设计二次函数y=a(x+h)2的图象和性质◇教学反思◇通过本节学习使学生认识到y=a(x+h)2的图象是由y=ax2的图象左右平移得到的,初步认识到a,h对y=a(x+h)2位置的影响,a的符号决定抛物线方向,|a|决定抛物线开口的大小,h决定向左、向右平移,从中领会数形结合的数学思想.。
30.2(2016)二次函数的图象和性质(第3课时)
3、交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)
1 ,0),C( 2
3 3 已知二次函数图像经过A（ ， 2 ）， 2
3 B( 2
,0)三点，求抛物线的表
达式
互助提高
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中的自变量x 和函数y的部分对应值如下表：
… -1 0
1 2
5 4
向下
直线x b 2a
x=
-
b 2a -
时,y最小=
b 2a
4ac b 2 4a
x=
b 4ac b2 最高点（- , ) 2a 4a 4ac b 2 b 最大 2a 4a
时,y
=
增减性
b 当x< 时， 当x< 2a 时, y随着x的增大而减小。y随着x的增大而增大。 b b 当x> 2a 时， 当x> 2a 时， y随着x的增大而增大。y随着x的增大而减小。
x1 x2 x 2
二次函数y=ax2+bx+c的 图象上有两点A(1，3) 和B(3，3)，此拋物线 的对称轴 直线x=2 。
y
3
O1 3 x
例1：抛物线y=x2+2x-3
(5)当x取何值时，y>0? 当x取何值时，y>0? 当x取何值时，y>0?
函数值的正、负性 ---取决图象与x轴的交点坐标
(2)抛物线y=-2x2+px+q的顶点坐 标为（-3,5).
38页B组1、2题
已知二次函数y＝ax2-4x＋c的图像经 过A（-1，1),B（3，-9）. (1)求这个二次函数的表达式. (2)写出这条抛物线的对称轴和顶点 坐标.
通河县三中九年级数学下册 第三十章 二次函数 30.2 二次函数的图像和性质 第3课时 二次函数y=
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质学习目标1．会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像．2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴公式．3．用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴．教学过程一、情境导入火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以近似用h＝－5t2＋150t＋10表示．那么经过多长时间，火箭达到它的最高点？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质【类型一】二次函数图像的位置与系数符号互判如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，图像经过点(－1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴．(1)给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0.其中正确的结论的序号是________；(2)给出四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a＞1.其中正确的结论的序号是________．解析：由抛物线开口向上，得a＞0；由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；由抛物线的顶点在第四象限，得－b2a＞0，又a＞0，所以b＜0；由抛物线与x轴交点的横坐标是1，得a＋b＋c＝0.因此，第(1)问中正确的结论是①④.在第(1)问的基础上，由a＞0、b＜0、c＜0，可得abc＞0；由－b2a＜1、a＞0，可得2a＋b＞0；由点(－1，2)在抛物线上，可知a－b＋c＝2，又a＋b＋c＝0，两式相加得2a＋2c＝2，所以a＋c＝1；由a＋c＝1，c＜0，可得a＞1.因此，第(2)问中正确的结论是②③④.方法总结：观察抛物线的位置确定符号的方法：①根据抛物线的开口方向可以确定a的符号．开口向上，a＞0；开口向下，a＜0.②根据顶点所在象限可以确定b的符号．顶点在第一、四象限，－b2a＞0，由此得A.b异号；顶点在第二、三象限，－b2a＜0，由此得A.b同号．再由①中a的符号，即可确定b的符号．【类型二】二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a 的取值范围是( )A．a＞1B．－1＜a≤1C．a＞0D．－1＜a＜2解析：抛物线的对称轴为直线x＝－22×（－1）＝1，∵函数图像开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴a≤1.∵－1＜x＜a，∴a>－1，∴－1<a≤1，故选择B.方法总结：抛物线的增减性：当a＞0，开口向上时，对称轴左降右升；当a＜0，开口向下时，对称轴左升右降．【类型三】二次函数与一次函数的图像的综合识别已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图像如图所示，其中正确的是( )解析：∵A图和D图中直线y＝ax＋b过一、三、四象限，∴a＞0，b＜0，∴抛物线y＝ax2＋bx的开口向上，对称轴x＝－b2a＞0，∴选项A错，选项D正确；B图和C图中直线y＝ax＋b过二、三、四象限，∴a＜0，b＜0，∴抛物线的开口向下，且对称轴x＝－b2a＜0，∴选项B，C错．故选择D.方法总结：多种函数图像的识别，一般可以先确定其中一种函数的图像(如一次函数)，再根据函数图像得到该函数解析式中字母的特点，最后结合二次函数图像的开口方向、对称轴或图像经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论．【类型四】抛物线y＝ax2＋bx＋c的平移在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图像的顶点坐标是( )A．(－3，－6) B．(1，－4)C．(1，－6) D．(－3，－4)解析：二次函数y＝2x2＋4x－3配方得y＝2(x2＋2x)－3＝2(x2＋2x＋1－1)－3＝2(x＋1)2－5，将抛物线y＝2(x＋1)2－5向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x＋1－2)2－5＝2(x－1)2－5，再将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，此时二次函数图像的顶点为(1，－6)，故选择C. 方法总结：二次函数的平移规律：将抛物线y＝ax2(a≠0)向上平移k(k>0)个单位所得的函数关系式为y＝ax2＋k，向下平移k(k>0)个单位所得的函数关系式为y＝ax2－k；向左平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y＝a(x＋h)2；向右平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y＝a(x－h)2；这一规律可简记为“上加下减，左加右减”．【类型五】二次函数的图像与几何图形的综合应用如图，已知二次函数y＝－12x2＋bx＋c的图像经过A(2，0)、B(0，－6)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数图像的对称轴与x轴交于点C，连接BA.BC，求△ABC的面积．解：(1)把A(2，0)、B(0，－6)代入y ＝－12x2＋bx ＋c 得：⎩⎪⎨⎪⎧－2＋2b ＋c ＝0，c ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝－6.∴这个二次函数的解析式为y ＝－12x2＋4x －6. (2)∵该抛物线的对称轴为直线x ＝－42×（－12）＝4，∴点C 的坐标为(4，0)．∴AC ＝OC －OA ＝4－2＝2，∴S △ABC ＝12×AC ×OB ＝12×2×6＝6. 板书设计教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图像与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.反比例函数的图象与性质一、选择题1．下列图象中是反比例函数2yx=-图象的是（）A．B．C．D．答案：C解析：解答：反比例函数2yx=-图象的是C．故选：C．分析：此题考查了反比例函数的图象，掌握反比例函数图象的形状是解题关键．利用反比例函数图象是双曲线进行判断即可．2．在同一直角坐标系中，一次函数y=kx-k与反比例函数kyx=（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．答案：A解析：解答：①当k＞0时，一次函数的图象y=kx-k经过一、三、四象限，反比例函数图象经过一、三象限，如图所示：②当k＜0时，一次函数图象y=kx-k经过一、二、四象限，反比例函数图象经过二、四象限．如图所示：故选：A．分析：因为此题k的符号不确定，所以应分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选项比较，从而确定答案．此题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键．3．在同一直角坐标系中，函数ayx=-与y=ax+1（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．答案：B解析：解答：∵a≠0，∴a＞0或a＜0．当a＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第一、三象限．故选：B．分析：因为a≠0，那么a＞0或a＜0．当a＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第一、三象限，利用这些结论进行判断．直线y=kx+b、双曲线kyx=，当k＞0时经过第一、三象限，当k＜0时经过第二、四象限．4．若ab＜0，则正比例函数y=ax与反比例函数byx=在同一坐标系中的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．答案：D 解析：解答：∵ab ＜0，∴分两种情况：①当a ＞0，b ＜0时，正比例函数y =ax 的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；②当a ＜0，b ＞0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D 符合．故选：D ．分析：根据ab ＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a ＞0，b ＜0和a ＜0，b ＞0两方面分类讨论得出答案．掌握反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质是解答此类题的关键．5．若函数221()2my m x -=--是反比例函数，且图象在第一，三象限，那么m 的值是（ ）A ．±1B ．1C ．-1D ．2答案：C解析：解答：221()2m y m x -=--是反比例函数，∴221m-=-，12m-≠，解之得m=±1，又∵图象在第一，三象限，∴1()2m-->0，即m＜12，故m的值是-1．故选：C．分析：先根据反比例函数的定义得221m-=-，得出m的可能取值，再由反比例函数的性质得出最后结果．将反比例函数解析式的一般式kyx=（k≠0），转化为1y kx-=（k≠0）的形式，根据反比例函数的定义条件可以求出m的值，注意不要忽略k≠0这个条件．6．已知反比例函数2yx=，下列结论中，不正确的是（）A．图象必经过点（1，2）B．y随x的增大而增大C．图象在第一、三象限内D．若x＞1，则0＜y＜2 答案：B解析：解答：A．把点（1，2）代入反比例函数2yx=，成立．B．∵k=2＞0，∴在每一象限内y随x的增大而减小，不正确．C．∵k=2＞0，∴图象在第一、三象限内，正确．D．若x＞1，则y＜2，正确．故选：B．分析：根据反比例函数的性质用排除法解答．此题考查了反比例函数kyx=（k≠0）性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y 随x的增大而增大．7．在反比例函数1kyx-=的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（）A．-1 B．0 C．1 D．2答案：D解析：解答：反比例函数1kyx-=的图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大，∴1-k＜0，∴k＞1．故选：D．分析：对于函数kyx=来说，当k＜0时，每一条曲线上，y随x的增大而增大；当k＞0时，每一条曲线上，y随x的增大而减小．易错点：对解析式kyx=中k的意义不理解，直接认为k＜0，错选A．8．反比例函数kyx=的图象如图所示，则k的值可能是（）A．-1 B．1 C．2D．1 2答案：D解析：解答：∵反比例函数在第一象限，∴k＞0，∵当图象上的点的横坐标为1时，纵坐标小于1，∴k＜1，故选：D．分析：用到的知识点为：反比例函数图象在第一象限，比例系数大于0；比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积．根据函数所在象限和反比例函数上的点的横纵坐标的积小于1判断选择．9．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线3 yx =（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（）A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小答案：C解析：解答：设点P的坐标为（x，3x），∵PB⊥y轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点，∴四边形OAPB是个直角梯形，∴四边形OAPB的面积=12（PB+AO）•BO=12（x+AO）•3x=32+312AOx，∵AO是定值，∴点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小．故选：C．分析：由双曲线3yx=（x＞0）设出点P的坐标，运用坐标表示出四边形OAPB的面积函数关系式进行判定．此题考查了反比例函数系数k的几何意义，运用点的坐标求出四边形OAPB的面积的函数关系式是解题的关键．10．某反比例函数象经过点（-1，6），则下列各点中此函数图象也经过的是（）A．（-3，2）B．（3，2）C．（2，3）D．（6，1）答案：A解析：解答：∵所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数，∴此函数的比例系数是：（-1）×6=-6，∴下列四个选择的横纵坐标的积是-6的，就是符合题意的选项；A ．（-3）×2=-6，故本选项正确；B ．3×2=6，故本选项错误；C ．2×3=6，故本选项错误；D ．6×1=6，故本选项错误；故选：A ．分析：只要把所给点的横纵坐标相乘，结果是（-1）×6=-6的，就在此函数图象上．此题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征：所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．11．如果点A （-1，1y ）、B （1，2y ）、C （2，3y ）是反比例函数1y x =-图象上的三个点，则下列结论正确的是（ ）A ．1y ＞3y ＞2yB ．3y ＞2y ＞1yC ．2y ＞1y ＞3yD ．3y ＞1y ＞2y答案：A解析：解答：：∵反比例函数的比例系数为-1，∴图象的两个分支在二、四象限；∵第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点A 在第二象限，点B 、C 在第四象限，∴1y 最大，∵1＜2，y 随x 的增大而增大，∴2y ＜3y ，∴1y ＞3y ＞2y ．故选：A ．分析：根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数所在象限为二、四，其中在第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，进而判断在同一象限内的点B 和点C 的纵坐标的大小．用到的知识点为：反比例函数的比例系数小于0，图象的2个分支在二、四象限；第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标；在同一象限内，y 随x 的增大而增大．12．若反比例函数k y x=的图象经过点（m ，3m ），其中m ≠0，则此反比例函数图象经过（ ）A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限答案：A解析：解答：：∵反比例函数k y x =的图象经过点（m ，3m ），m ≠0， ∴将x =m ，y =3m 代入反比例解析式得：3k m m =， ∴23k m =＞0，则反比例23m y x=图象过第一、三象限． 故选：A分析：由反比例函数k y x=的图象经过点（m ，3m ），其中m ≠0，将x =m ，y =3m 代入反比例解析式中表示出k ，根据m 不为0，得到k 总大于0，利用反比例函数图象的性质得到此反比例函数图象在第一、三象限．此题考查了利用待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数的性质，掌握待定系数法是解此题的关键．13．如图，有反比例函数1y x =，1y x=-的图象和一个圆，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．πB ．2πC ．4πD ．条件不足，无法求答案：B解析：解答：根据反比例函数的图象的对称性和圆的对称性得出：图中阴影部分的面积等于圆的面积的一半，∵圆的半径是2，∴图中阴影部分的面积是21222ππ⨯⨯=．故选：B ．分析：根据反比例函数的图象的对称性和圆的对称性得出图中阴影部分的面积等于圆的面积的一半，求出圆的面积，再除以2即可．能根据图象得出图中阴影部分的面积等于圆的面积的一半是解答此题的关键．14．反比例函数5n y x +=图象经过点（2，3），则n 的值是（ ） A ．-2B ．-1C ．0D ．1答案：D解析：解答：设k y x=，将点（2，3）代入解析式， 可得n +5=6，即n =1．故选：D ． 分析：先设k y x=，再把已知点的坐标代入可求出k 值，进一步求出n 的值．主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．15．当x ＞0时，反比例函数2y x=-（ ） A ．图象在第四象限，y 随x 的增大而增大B ．图象在第三象限，y 随x 的增大而增大C ．图象在第二象限，y 随x 的增大而减小D ．图象在第一象限，y 随x 的增大而减小答案：A解析：解答：∵反比例函数2y x=-中的-2＜0， ∴该反比例函数经过第二、四象限；又∵x ＞0，∴图象在第四象限；y 随x 的增大而增大．故选：A ． 分析：反比例函数k y x=（k ≠0），当k ＞0时，其图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，其图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小．此题考查了反比例函数的性质．二、填空题16．已知反比例函数1myx-=的图象如图，则m的取值范围是答案：m＜1解析：解答：由图象可得：k＞0，即1-m＞0，解得：m＜1．故答案为：m＜1．分析：根据反比例函数的性质：当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随着自变量x的增大而减小解答．反比例函数kyx=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．17．已知点P（1，2）在反比例函数kyx=的图象上，根据图象判断，当x＞1时，y的取值范围是答案：0＜y＜2解析：解答：由P点坐标及图象可知，当x＞1时，y的取值范围是0＜y＜2．故答案为0＜y＜2．分析：由反比例函数的图象的性质，进行解答．此题考查了反比例函数的图象，利用数形结合思想是解题的关键．18．对于函数2yx=，当x＞2时，y的取值范围是答案：0＜y＜1解析：解答：根据反比例函数性质可知2xy=；且过一、三象限；因为x＞2；所以2y＞2；解得y＜1且y＞0；即0＜y＜1．所以y的取值范围是0＜y＜1．分析：此题可结合函数图象列不等式求解．主要考查了反比例函数的性质．19．如图，一次函数11y x =-与反比例函数22y x =的图象交于点A （2，1）、B （-1，-2），则使1y ＞2y 的x 的取值范围是答案：x ＞2或-1＜x ＜0解析：解答：由图象易得在交点的右边，对于相同的自变量，一次函数的函数值总大于反比例函数的函数值，∵两图象交于点A （2，1）、B （-1，-2），∴使1y ＞2y 的x 的取值范围是：x ＞2或-1＜x ＜0．分析：找到在交点的哪侧，对于相同的自变量，一次函数的函数值总大于反比例函数的值．用到的知识点为：求自变量的取值范围应该从交点入手思考；需注意反比例函数的自变量不能取0．20．如图，是反比例函数1k y x =和2k y x=（1k ＜2k ）在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点，若2AOB S ∆=，则21k k -的值为答案：4解析：解答：设A （a ，b ），B （c ，d ），代入得：1k =ab ，2k =cd ，∵2AOB S ∆=，∴12cd -12ab =2， ∴cd -ab =4，∴2k -1k =4，故答案为：4．分析：设A （a ，b ），B （c ，d ），代入双曲线得到1k =ab ，2k =cd ，根据三角形的面积公式求出cd -ab =4，即可得出答案．此题能求出cd -ab =4是解此题的关键．三、解答题21．已知反比例函数k y x=的图象经过点（-1，-2）． （1）求y 与x 的函数关系式；答案：2y x= （2）若点（2，n ）在这个图象上，求n 的值．答案：（2）n =1解析：解答：（1）∵点（-1，-2）在反比例函数k y x =上， ∴k =-1×（-2）=2，∴y 与x 的函数关系式为2y x=． （2）∵点（2，n ）在这个图象上∴2n =2∴n =1．分析：（1）根据点（-1，-2）的坐标用待定系数法求反比例函数k y x=的函数关系式；（2）把点（2，n ）代入函数关系式求出n 的值．反比例函数上的点的横纵坐标的积相等．22．如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数k y x=过点A ，求k 的值．答案：-4解析：解答：根据题意，知|k |=22=4，k =±4，又∵k＜0，∴k=-4．分析：过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得正方形的面积S是个定值，即S=|k|，由此求解．主要考查了反比例函数kyx=中k的几何意义：过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|．23．已知反比例函数kyx=的图象经过点M（2，1）（1）求该函数的表达式；答案：2 yx =（2）当2＜x＜4时，求y的取值范围（直接写出结果）．答案：12＜y＜1解析：解答：（1）∵反比例函数kyx=的图象经过点M（2，1），∴k=2×1=2，∴该函数的表达式为2yx =；（2）∵2yx =，∴2xy =，∵2＜x＜4，∴2＜2y＜4，即12＜y＜1．分析：（1）用待定系数法把（2，1）代入反比例函数kyx=中得k的值，从而得到解析式；（2）由2yx=得2xy=，再根据条件2＜x＜4得2＜2y＜4，最后解不等式即可．此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的性质，正确确定函数解析式是解题的关键．24．已知反比例函数kyx=（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）．（1）求这个函数的解析式；答案：6y x= （2）判断点B （-1，6），C （3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由； 答案：点B 不在该函数图象上｜点C 在该函数图象上（3）当-3＜x ＜-1时，求y 的取值范围．答案：-6＜y ＜-2解析：解答：（1）∵反比例函数k y x =（k 为常数，k ≠0）的图象经过点A （2，3）， ∴把点A 的坐标代入解析式，得32k =， 解得，k =6， ∴这个函数的解析式为：6y x=； （2）∵反比例函数解析式6y x =， ∴6=xy ．分别把点B 、C 的坐标代入，得（-1）×6=-6≠6，则点B 不在该函数图象上．3×2=6，则点C 在该函数图象上；（3）∵当x =-3时，y =-2，当x =-1时，y =-6，又∵k ＞0，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，∴当-3＜x ＜-1时，-6＜y ＜-2．分析：（1）把点A 的坐标代入已知函数解析式，通过方程即可求得k 的值．（2）把点B 、C 的坐标分别代入函数解析式，横纵坐标坐标之积等于6时，该点在函数图象上；（3）根据反比例函数图象的增减性解答问题．25．反比例函数k y x =在第一象限的图象如图所示，过点A （1，0）作x 轴的垂线，交反比例函数k y x=的图象于点M ，△AOM 的面积为3．（1）求反比例函数的解析式； 答案：6y x= （2）设点B 的坐标为（t ，0），其中t ＞1．若以AB 为一边的正方形有一个顶点在反比例函数k y x=的图象上，求t 的值． 答案：7或3解析：解答：（1）∵△AOM 的面积为3， ∴12|k |=3， 而k ＞0，∴k =6， ∴反比例函数解析式为6y x=； （2）当以AB 为一边的正方形ABCD 的顶点D 在反比例函数6y x =的图象上，则D 点与M 点重合，即AB =AM ，把x =1代6y x=得y =6， ∴M 点坐标为（1，6），∴AB =AM =6，∴t =1+6=7；当以AB 为一边的正方形ABCD 的顶点C 在反比例函数6y x=的图象上， 则AB =BC =t -1，∴C 点坐标为（t ，t -1），∴t （t -1）=6，整理为2t -t -6=0，解得1t =3，2t =-2（舍去），∴t=3，∴以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数kyx=的图象上时，t的值为7或3．分析：（1）根据反比例函数k的几何意义得到12|k|=3，得到满足条件的k=6，从而得到反比例函数解析式为6yx=；（2）分类讨论：当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数6yx=的图象上，则D点与M点重合，即AB=AM，再利用反比例函数图象上点的坐标特征确定M点坐标为（1，6），则AB=AM=6，所以t=1+6=7；当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数6yx=的图象上，根据正方形的性质得AB=BC=t-1，则C点坐标为（t，t-1），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征得到t（t-1）=6，再解方程得到满足条件的t的值．21位似一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列每组的两个图形不是位似图形的是( )A．B．C．D．2．如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是( )A．点O B．点P C．点M D．点N第2题图第3题图3．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：错误！不能通过编辑域代码创建对象。
《二次函数的图像和性质》第三课时说课稿
提高练习
设计一些需要运用二次函数性质解决的问题，如求最值、判断单调性等，让学生在实践中加深 对二次函数性质的理解。
课堂小结
总结本节课所学的二次函数的图像和性质，强调这些知 识点在后续学习中的重要性。
布置作业：针对本节课所学内容，布置适量的练习题和 思考题，以便学生进一步巩固和拓展所学知识。
如何激发学生的学习兴趣和积极性
采用生动有趣的教学案例 ，将抽象的数学知识与现 实生活相结合，激发学生 的学习兴趣。
组织学生进行小组讨论和 合作学习，鼓励学生积极 参与课堂互动，提高学生 的课堂参与度。
设计具有挑战性的数学问 题，激发学生的求知欲和 探索精神，培养学生的数 学思维能力。
及时给予学生积极的反馈 和鼓励，肯定学生的进步 和成绩，增强学生的自信 心和学习动力。
02 实际应用
二次函数在现实生活中的应用广泛，如抛物线型 桥梁的设计、经济领域的最优化问题等。
03 培养数学思维
学习二次函数有助于培养学生的数形结合思维、 方程思想和分类讨论思想等。
教学目标与要求
01 知识与技能
掌握二次函数的图像特征，理解其性质，能够运 用性质解决问题。
02 过程与方法
通过观察、比较、归纳等方法，探究二次函数的 图像和性质。
05
组织学生进行小组讨论和合作学习，鼓励学生互相交流和 分享学习成果。
06
设计有针对性的课堂练习和作业，帮助学生巩固所学知识 并提高其解题能力。
03
教学过程设计
导入新课
回顾旧知
简要回顾上节课所学的二次函数的基本概念，包括二次 函数的定义、标准形式等。
引入新课
二次函数的图像和性质 第三课时-九年级数学下册课件(冀教版)
解：(1)在 y＝(x＋2)2中，令y＝0，得x＝－2；令x＝0，得y ＝4. ∴点A，点B 的坐标分别为(－2，0)，(0，4)．
(2)∵点A，点B 的坐标分别为(－2，0)，(0，4)， ∴OA＝2，OB＝4.
∴S△AOB＝
1 2
OA·OB＝ 1 ×2×4＝4.
2
(3)抛物线的对称轴为x＝－2.
y
2
1(x 2
1)2 与 y
1 ( x 1)2 2
的图像的形状和位置有什么关系?
2
形状相同，位置不同.
1 抛物线 y＝－5(x－2)2的顶点坐标是( B )
A．(－2，0)
B．(2，0)
C．(0，－2)
D．(0，2)
2 在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2的是( A )
A．y＝(x＋2)2
易错点：函数y＝ax 2＋c 与y＝a (x－h)2的图象与性质
区别不清
二次函数 y＝3x 2＋1的图象开口向上，对称轴是 y 轴，顶 点坐标是(0，1)，当x >0时，y 随x 的增大而增大；二次 函数y＝3(x－1)2的图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶 点坐标是(1，0)，当x >1时，y 随x 的增大而增大；二次 函数 y＝3x 2＋1和y＝3(x－1)2的图象的开口大小一样．因
x_>__5时，y 随x 的增大而减小.
导引：
y =－1 (x－5)2的图象与抛物线y =－1 x 2的形状相
4
同，但位置不同，y
=－1
4
(x－5)2的图象由抛物线
y
=－1
x
4 2向右平移5个单位得到.
4
1 把抛物线 y ＝x 2平移得到抛物线 y ＝(x＋2)2，则这
《二次函数的图像和性质》第三课时教案
5.4二次函数的图像和性质(3)教材分析：本节课是在学习了二次函数y=ax 2+k,y=a(x-h)2的图象和性质的基础上的再一次提高和升华，是在探索抛物线y=ax 2+k,y=a(x-h)2与y=ax 2的关系基础上，进一步讨论更一般的二次函数y=a(x-h)2+k 的性质，在本章中起到承前启后的作用．教学设想：在本节中，要让学生充分的参与到课堂学习中来，让学生成为学习的主人，鼓励学生自己动手，大胆猜想，敢于归纳，由此培养学生的归纳能力与逻辑思维能力． 教学目标：知识与技能：1．正确理解经过x 轴与y 轴的平移，可由抛物线y=ax 2得到y=a(x-h)2+k ．2．理解二次函数y=a(x-h)2+k 图象和性质，并能够利用性质解决相关问题．过程与方法：经历探索抛物线y=a(x-h)2+k 与y=ax 2的关系的过程，发展学生学习数学中的转换、化归思维方法，体会平移知识在二次函数中的应用.情感态度和价值观：在合作探索、自主学习的过程中，让学生体验数学学习活动充满探索性、创造性和趣味性，培养学生学习数学的热情和自信心．教学重难点：重点：抛物线y=a(x-h)2+k 与y=ax 2的关系及二次函数y=a(x-h)2+k 的性质.难点：应用抛物线y=a(x-h)2+k 的性质解决相关问题.课前准备教具准备 教师准备PPT 课件课时安排：4课时教学过程：知识回顾：（1）抛物线 的开口方向、对称轴、顶点各是什么？（2）抛物线 与抛物线有什么关系？ 可以看出，抛物线 的开口向下，对称轴是经过点（－1，0）且与x 轴垂直的直线，我们把它记为x =－1，顶点是（－1，0）；抛物线 的开口向_____，对称轴是___________，顶点是_____________．可以发现，把抛物线 向左平移1个单位，就得到抛物线 ；把抛物线 向右平移1个单位，就得到抛物线 ． 【设计意图】：通过对二次函数y=ax 2+k ，y=a(x-h)2与y=ax 2的图象、开口方向、对称轴和顶点坐标以及相互关系的回顾，为引入本节课的教学做好准备.合作探究: 二次函数y=a(x-h)²+k 的图象221,1y x y x =+=-221,1y x y x =+=-2y x =()2112y x =-+()2112y x =--212y x =-()2112y x =-+212y x =-()2112y x =--画出函数 的图象， 解：(1)作函数 的图象： (2)指出它的开口方向、对称轴及顶点．抛物线 的开口方向向下、对称轴是 x =－1，顶点是（－1，－1）． (3)抛物线 经过怎样的变换可以得到抛物线 向下平移1个单位，再身左平移1个单位，得到的． 归纳：二次函数y =a (x -h )²+k 与y =ax ²的关系一般地,由y =ax ²的图象便可得到二次函数y =a (x -h )²+k 的图象:y =a (x -h )²+k (a ≠0) 的图象可以看成y =ax ²的图象先沿x 轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.因此,二次函数y=a(x-h)²+k 的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k 的值有关.归纳：二次函数y =a (x -h )²+k 的性质归纳：二次函数y =a (x -h )²+k 与y =ax ²的区别与联系1．相同点:(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).(2)都是轴对称图形.(3)都有最(大或小)值.(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y 都随x 的增大而减小,在对称轴右侧,y 都随 x 的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y 都随x 的增大而增大,在对称轴右侧,y 都随 x 的增大而减小.2．不同点:(1)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0).(2)对称轴不同:分别是直线x= h 和y 轴.(3)最值不同:分别是k 和0.3．联系: y=a(x-h)²+k(a ≠0) 的图象可以看成y=ax ²的图象先沿x 轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.【设计意图】：对相应的问题组织学生自己独立完成，然后小组讨论得出结论.例题讲解：例1:试讨论二次函数 的性质 解:由函数 的表达式可知，它有以下性质 ()21112y x =-+-()21112y x =-+-212y x =-()21112y x =-+-()522y =-x +3-2()522y =-x +3-2（1）图象是抛物线(2)对称轴为直线x=-3（3）顶点是图象的最高点，坐标为(-3,-2)(4)当x<-3时，函数值随x的增大而增大；当x>-3时，函数值随x的增大而减小.【设计意图】：通过例题讲解引导学生再一次经历探索过程，有助于对那点的突破，同时激发学生思维的宽度与广度.当堂检测：1．说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：（1）y =2( x+3)2+5; （2）y = －3(x－1)2－2;（3）y = 4(x－3)2+7; （4）y = －5(x+2)2－6.解:（1）a =2>0开口向上,对称轴为x=－3,顶点坐标为(-3,5)（2）a =－3<0开口向下,对称轴为x=1,顶点坐标为（1,－2）（3）a =4>0开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3,7）（4）a =－5<0开口向下,对称轴为x=－2,顶点坐标为(-2,-6).课堂小结:本节课学习了二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质作业:课本 P.38第1,2题板书设计:5.4二次函数的图像和性质(3)知识回顾：合作探究：二次函数y=a(x-h)²+k的图象归纳：二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系归纳：二次函数y=a(x-h)²+k的性质归纳：二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的区别与联系例1。
冀教版数学九年级下册同步训练：30.2 第3课时 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
第3课时二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质知识点1将二次函数的一般式y=ax2+bx+c配方成顶点式1.将二次函数y=x2-2x+4化为y=a(x-h)2+k的形式,下列正确的是()A.y=(x-1)2+2B.y=(x-1)2+3C.y=(x-2)2+2D.y=(x-2)2+42.已知二次函数y=0.5x2-x-0.5,求其顶点坐标.小明的计算结果与其他同学的不同,请你帮他检查一下,在标出的①②③④几个步骤中开始出现错误的是第几步,请写出此题正确的求解过程.小明的计算过程:解:y=0.5x2-x-0.5=x2-2x-1①=x2-2x+1-1-1②=(x-1)2-2,③∴顶点坐标是(1,-2)④.知识点2二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质3.关于抛物线y=x2-2x+1,下列说法错误的是()A.开口向上B.顶点坐标是(1,0)C.对称轴是直线x=1D.当x>1时,y随x的增大而减小4.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图30-2-12所示,若A(1,y1),B(2,y2)是它图像上的两点,则y1与y2的大小关系是()图30-2-12A.y1<y2B.y1=y2C.y1>y2D.不能确定5.[2019·百色]抛物线y=x2+6x+7可由抛物线y=x2如何平移得到()A.先向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度B.先向左平移6个单位长度,再向上平移7个单位长度C.先向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度D.先向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度6.[教材习题B组第2题变式]若抛物线y=x2-2px+16的顶点在y轴上,则p=;若抛物线y=x2-8x+m-1的顶点在x轴上,则m=.7.已知抛物线y=-x2+2x+2.(1)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标;(2)在如图30-2-13的平面直角坐标系内画出y=-x2+2x+2的图像;(3)当x为何值时,y随x的增大而增大?图30-2-138.与抛物线y=-x2-3x-5的形状、开口方向都相同,只是位置不同的抛物线是()A.y=-x2+x-B.y=x2-7x+8C.y=x2+6x+10D.y=-x2+3x-59.[2019·贵阳模拟]已知二次函数y=x2-2bx(b为常数),图像上有A,B两点,横坐标分别是-1,4,且点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离,则b的值可能是()A.-2B.1C.D.10.[2019·青岛模拟]图30-2-14中是二次函数y=ax2+(a+c)x+c与一次函数y=ax+c的大致图像的是()图30-2-1411.[2018·绍兴]若抛物线y=x2+ax+b与x轴的两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线.已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线过点()A.(-3,-6)B.(-3,0)C.(-3,-5)D.(-3,-1)12.[2019·福建]若二次函数y=|a|x2+bx+c的图像经过点A(m,n),B(0,y1),C(3-m,n),D(,y2),E(2,y3),则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1<y2<y3B.y1<y3<y2C.y3<y2<y1D.y2<y3<y113.二次函数y=x2-ax+b的图像如图30-2-15所示,对称轴为直线x=2,下列结论不正确的是()图30-2-15A.a=4B.当b=-6时,顶点的坐标为(2,-10)C.b>-5D.当x>3时,y随x的增大而增大14.[2018·黔南州]二次函数y=ax2+bx+c的图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示,那么它的图像与x轴的另一个交点坐标是.15.已知二次函数y=x2-2x-3.(1)求出二次函数图像的顶点坐标和对称轴;(2)求这个函数图像与坐标轴的交点坐标;(3)当x在什么范围内时,y随x的增大而增大?当x在什么范围内时,y随x的增大而减小?16.如图30-2-16,二次函数y=-x2+bx+c的图像经过坐标原点,且与x轴交于点A(-2,0).(1)求此二次函数的表达式及顶点B的坐标;(2)在抛物线上有一点P,满足S△AOP=3,请直接写出点P的坐标.图30-2-1617.如图30-2-17,已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0).(1)求m的值及抛物线的顶点坐标;(2)P是抛物线对称轴l上的一个动点,当P A+PC的值最小时,求点P的坐标.图30-2-17教师详解详析【备课资源】【详解详析】1.B2.解:从第①步开始出现错误.正确过程如下:y=0.5x2-x-0.5=0.5(x2-2x)-0.5=0.5(x2-2x+1-1)-0.5=0.5(x-1)2-1.∴其顶点坐标是(1,-1).3.D[解析] ∵y=x2-2x+1=(x-1)2,∴抛物线开口向上,顶点坐标是(1,0),对称轴为直线x=1,当x>1时,y随x的增大而增大,∴A,B,C选项正确,D选项不正确.故选D.4.C[解析] 由图像可知,在对称轴直线x=-3的右侧,函数值随自变量的增大而减小.故选C.5.A[解析] 因为y=x2+6x+7=(x+3)2-2.所以将抛物线y=x2先向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度即可得到抛物线y=x2+6x+7.6.017[解析] ∵抛物线y=x2-2px+16的顶点在y轴上,∴对称轴为直线x=--=0,故p=0.∵抛物线y=x2-8x+m-1的顶点在x轴上,∴-=---=0,即4m-68=0,解得m=17.7.解:(1)∵y=-x2+2x+2=-(x-1)2+3,∴抛物线开口向下,对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,3).(2)列表如下:图像如图所示:(3)由图可知,当x<1时,y随x的增大而增大.8.A9.D[解析] 当x=-1时,y=1+2b;当x=4时,y=16-8b.∵点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离,∴1+2b>16-8b,∴b>.10.C[解析] 令ax2+(a+c)x+c=ax+c,解得x1=0,x2=-,∴二次函数y=ax2+(a+c)x+c与一次函数y=ax+c的交点为(0,c),-.由选项A中的图像知,二次函数y=ax2+(a+c)x+c中a>0,c<0,而一次函数y=ax+c中a<0,c>0,故选项A不符合题意;选项B中的图像知,二次函数y=ax2+(a+c)x+c中a>0,c<0,而一次函数y=ax+c中a>0,c<0,两个函数的交点不符合求得的交点的特点,故选项B不符合题意;由选项C中的图像知,二次函数y=ax2+(a+c)x+c中a<0,c>0,而一次函数y=ax+c中a<0,c>0,交点符合求得的交点的情况,故选项C符合题意;由选项D中的图像知,二次函数y=ax2+(a+c)x+c中a<0,c>0,而一次函数y=ax+c中a>0,c<0,故选项D不符合题意.11.B[解析] ∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,∴该定弦抛物线过点(0,0),(2,0),∴该抛物线的表达式为y=x(x-2)=x2-2x=(x-1)2-1.将此抛物线向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到新抛物线的表达式为y=(x-1+2)2-1-3=(x+1)2-4.当x=-3时,y=(x+1)2-4=0,∴得到的新抛物线过点(-3,0).故选B.12.(3,0)[解析] ∵抛物线y=ax2+bx+c经过(0,3),(2,3)两点,∴抛物线的对称轴为直线x==1,∴点(-1,0)关于对称轴的对称点为(3,0),∴它的图像与x轴的另一个交点坐标是(3,0).13.D[解析] ∵二次函数的图像经过点A(m,n),C(3-m,n),∴二次函数的对称轴为直线x=.∵点B(0,y1),D(,y2),E(2,y3)与对称轴的距离中,点B距离对称轴最远,点D距离对称轴最近.∵|a|>0,∴y1>y3>y2.14.C[解析] ∵二次函数y=x2-ax+b的图像的对称轴为直线x=2,∴=2,∴a=4,故A选项正确;当b=-4时,y=x2-4x-4=(x-2)2-8,∴其顶点的坐标为(2,-8),故B选项正确;当x=-1时,由图像知此时y<0,即1+4+b<0,∴b<-5,故C选项不正确;∵对称轴为直线x=2且图像开口向上,∴当x>3时,y随x的增大而增大,故D选项正确.15.解:(1)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴顶点坐标为(1,-4),对称轴为直线x=1.(2)当x=0时,y=-3,∴二次函数y=x2-2x-3的图像与y轴的交点为(0,-3).当y=0时,x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1,∴二次函数y=x2-2x-3的图像与x轴的交点为(3,0),(-1,0).综上可得,这个函数图像与坐标轴的交点坐标为(0,-3),(3,0),(-1,0).(3)∵抛物线y=x2-2x+3的对称轴是直线x=1,开口向上,∴当x>1时,y随x的增大而增大;当x<1时,y随x的增大而减小.16.[解析] (1)由于二次函数的图像经过原点和点A,故将两点的坐标代入y=-x2+bx+c求解即可.(2)设P(x,y),则S△AOP=|OA|·|y|=3,求得y的值,再将y的值代入函数表达式求解x,即可得出点P的坐标.解:(1)将A,O两点的坐标代入函数表达式y=-x2+bx+c,得--解得-∴二次函数的表达式为y=-x2-2x.∵y=-x2-2x=-(x+1)2+1,∴顶点B的坐标为(-1,1).(2)点P的坐标为(-3,-3)或(1,-3).[点评] 本题考查了二次函数表达式的求法、数形结合的思想,以及利用点的坐标求三角形的面积.17.解:(1)把点B的坐标(3,0)代入抛物线y=-x2+mx+3,得0=-32+3m+3,解得m=2,∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴抛物线的顶点坐标为(1,4).(2)连接BC,交抛物线的对称轴l于点P.点A,B关于直线l对称,则此时P A+PC的值最小.设直线BC的函数表达式为y=kx+b(k≠0).由题意易知点C的坐标为(0,3),点B的坐标为(3,0),-∴解得∴直线BC的函数表达式为y=-x+3.当x=1时,y=-1+3=2,∴当P A+PC的值最小时,点P的坐标为(1,2).。
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第三课时)
解得k≤1，
即k的取值范围是k≤1
（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，
根据题意，得(x1 -3)(x2 -3)＜ 0， 即 x1 x2 -3(x1 + x2 )+9 ＜ 0， ∵ x1 + x2 = 5-k， x1 x2 =1-k ∴ 1-k-3(5-k)+9＜0 解得k＜ ，
则k的最大整数值为2.
16.（2017•荆州调考）已知关于x的方程 （m-1）x2+（m-2）x-1=0． （1）求证：无论m为何实数，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个不相等的整数根； （3）m 取不同的实数（m ≠1）,就对应不同的抛物线 y=（m-1）x2+（m-2）x-1，请证明当m（m ≠1） 变化时，所有这些不同的抛物线 y=（m-1）x2+（m-2）x-1有公共点，并求出它们 的公共点. （1）证明：当m=1时，方程为-x-1=0有唯一实数根x=1 当m ≠1时 △=(m﹣2)2+4（m﹣2） =m2 ≥0 ∴无论m为何实数，方程总有实数根.
y
O A x
y O B
y
y x O x
-1 0
x
x
O
C
D
7. 小明从左边的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象观察得出 下面的五条信息：① a＜0；② c＝0；③ 函数的最小 值为-3； ④当x＜0时，y＞0； ⑤当0＜x1＜x2＜2时， y1＞y2 你认为其中正确的个数有（ C ） A．2 B ．3 C．4 D．5 y y
看作是抛物线y=-
x2+bx+c的一部分，其中出球点B离地面O
点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物 线的解析式是 （ B ） A. C. B. D.