2020年高考文科数学原创专题卷：《三角函数》
2020全国高考数学1卷三角
2020全国高考数学1卷三角
2020年全国高考数学一卷的试题涉及到了一道关于三角函数的题目，让考生
们在短时间内展示出对三角函数的理解和运用能力。
三角函数作为数学中的一个重要分支，在几何学和物理学中起着重要的作用，因此掌握好三角函数的知识是非常重要的。
这道题目要求考生证明一个不等式，其中涉及到了三角函数的性质和运算规律。
在解这类题目时，首先要明确三角函数的定义和基本性质，例如正弦函数和余弦函数的周期性、奇偶性等。
这样才能在解题过程中正确地运用三角函数的相关性质，从而得出正确的结论。
另外，解这类题目还需要考生具备一定的逻辑推理能力和数学思维，能够灵活运用已有的知识来解决新的问题。
在解题过程中，考生需要不断地分析题目的要求，找出其中隐藏的规律和线索，从而有针对性地展开解题思路，最终得出正确的结论。
此外，解这类题目还需要考生具备一定的数学运算技巧，能够熟练地运用三角函数的性质和运算规律，灵活地变换和简化复杂的表达式。
只有在掌握了基本的数学运算技巧的基础上，才能在解题过程中高效地进行推理和计算，从而顺利地解出题目。
综上所述，三角函数作为数学中的一个重要分支，在高考数学试题中往往扮演着重要的角色。
掌握好三角函数的基本知识和运用技巧，对于考生来说至关重要。
只有在不断地学习和实践中提升自己的数学能力，才能在高考中取得优异的成绩。
希望广大考生能够认真学习三角函数的相关知识，不断提升自己的数学水平，为高考取得好成绩打下坚实的基础。
2020年高考试题：三角函数
D、 3 2
单调递增区间的零点（与 x 的交点）横坐标为 3 2k ， k Z 。 2
题目已知图中单调递增区间的零点横坐标为 4 ( 4 ) 3 2k
9
9 62
4 9
4 3
2k
( 4 3
2k
)
(
9 4
)
3
9 2
k
。
分类讨论：
（1）当 k
0 时：
3 T
2 | |
2 3
；选项中无此答案
t
t
ymin
1 1 1
2 ；两者综合得到：
ymin
。
y sin x 是奇函数 sin(x) sin x 。
3
f (x) sin x 1 f (x) sin(x) 1 sin x 1
sin x
sin( x)
sin x
(sin x 1 ) f (x) f (x) f (x) 是奇函数 f (x) 关于原点对称。 sin x
2
2
3
3
3( 3 sin 1 cos ) 1 3(cos sin sin cos ) 1
2
2
6
6
3 sin( ) 1 sin( ) 1
3
。
6
6 33
训练六：2020 年高考文科数学新课标Ⅲ卷第 12 题：已知函数 f (x) sin x 1 ，则（
）
sin x
A、 f (x) 的最小值为 2
2 (1800 3600 (1 k),3600 3600 (1 k)) 2 为第三、四象限角
sin 2 0 。
训练五：2020 年高考文科数学新课标Ⅲ卷第 5 题：已知 sin sin( ) 1，则 sin( ) （ ）
2020高考—三角函数(解答+答案)
2020年高考——三角函数1.(20全国Ⅰ文18)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ABC △的面积；（2）若sin A C ，求C .2. （20全国Ⅱ文17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=． （1）求A ；（2）若b c -=，证明：△ABC 是直角三角形．3.（20全国Ⅱ理 17）ABC △中，sin 2A －sin 2B －sin 2C = sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC △周长的最大值．4.（20新高考Ⅰ17）在①ac =sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B ，6C π=，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．5.(20天津16)（本小题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c === （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求πsin(2)4A +的值．6.(20浙江18)（本题满分14分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2sin 0b A =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．7.（20江苏16）（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒． （1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．8.（20全国Ⅱ理21）(12分)已知函数f (x )= sin 2x sin2x ．（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性； （2）证明: 33()f x ≤； （3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤34nn ．9.(20北京17)（本小题13分）在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．参考答案：1.解：（1）由题设及余弦定理得2222832cos150c c =+-⨯︒，解得2c =-（舍去），2c =，从而a =ABC △的面积为12sin1502⨯⨯︒=（2）在ABC △中，18030A B C C =︒--=︒-，所以sin sin(30)sin(30)A C C C C =︒-=︒+，故sin(30)C ︒+=而030C ︒<<︒，所以3045C ︒+=︒，故15C =︒.2．解：（1）由已知得25sin cos 4A A +=，即21cos cos 04A A -+=． 所以21(cos )02A -=，1cos 2A =．由于0A <<π，故3A π=．（2）由正弦定理及已知条件可得sin sin B C A -．由（1）知23B C π+=，所以2sin sin()33B B ππ--．即11sin 22B B =，1sin()32B π-=．由于03B 2π<<，故2B π=．从而ABC △是直角三角形．3．解：（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅，①由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅，② 由①，②得1cos 2A =. 因为0πA <<，所以2π3A =.（2）由正弦定理及（1）得sin sin sin AC AB BCB C A===从而AC B =，π)3cos AB A B B B =--=-.故π33cos 3)3BC AC AB B B B ++=++=++.又π03B <<，所以当π6B =时，ABC △周长取得最大值3+4．解：方案一：选条件①．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =．由①ac =1a b c ==．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =． 方案二：选条件②．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =，6B C π==，23A π=．由②sin 3c A =，所以6c b a ===．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c =方案三：选条件③．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =．由③c =，与b c =矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．5．（Ⅰ）解：在ABC △中，由余弦定理及5,a b c ===222cos 22a b c C ab +-==．又因为(0,π)C ∈，所以π4C =．（Ⅱ）解：在ABC △中，由正弦定理及π,4C a c ===，可得sin sin 13a C A c ==．（Ⅲ）解：由a c <及sin A =cos A == 进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 113A A A A A ===-=．所以，πππ125sin(2)sin 2cos cos 2sin 44413213226A A A +=+=⨯+⨯=．6.（Ⅰ）由正弦定理得2sin sin B A A ，故sin B =， 由题意得π3B =. （Ⅱ）由πA B C ++=得2π3C A =-， 由ABC △是锐角三角形得ππ(,)62A ∈.由2π1cos cos()cos 32C A A A =-=-得11π13cos cos cos cos sin()]22622A B C A A A ++++=++∈.故cos cos cos A B C ++的取值范围是3]2.7.解：（1）在ABC △中，因为3,45a c B ===︒，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得292235b =+-⨯︒=，所以b =在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，，所以sin C =（2）在ADC △中，因为4cos 5ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角，而180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒,所以C ∠为锐角.故cos C =则sin 1tan cos 2C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠==，sin 3tan cos 4ADC ADC ADC ∠∠==-∠.从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠---∠⨯∠--⨯8．解：（1）()cos (sin sin 2)sin (sin sin 2)f x x x x x x x ''=+22sin cos sin 22sin cos2x x x x x =+ 2sin sin3x x =．当(0,)(,)33x π2π∈π时，()0f x '>；当(,)33x π2π∈时，()0f x '<． 所以()f x 在区间(0,),(,)33π2ππ单调递增，在区间(,)33π2π单调递减．（2）因为(0)()0f f =π=，由（1）知，()f x 在区间[0,]π的最大值为()3fπ=，最小值为()3f 2π=．而()f x 是周期为π的周期函数，故|()|f x ≤． （3）由于32222(sin sin 2sin 2)nx xx333|sin sin 2sin 2|n x xx =23312|sin ||sin sin 2sin 2sin 2||sin 2|n n n x x x x x x -= 12|sin ||()(2)(2)||sin 2|n n x f x f x f x x -=1|()(2)(2)|n f x f x f x -≤，所以22223333sin sin 2sin 2()4n nnn x xx ≤=．9.。
2020衡水名师原创文科数学专题卷：专题六《三角函数》
2020衡水名师原创文科数学专题卷专题六 三角函数考点16：三角函数的有关概念、同角三角函数关系式及诱导公式（1-4题，13题，17题） 考点17：三角函数的图象及其变换（5,6题，18题）考点18：三角函数的性质及其应用（7-12题，14-16题，19-22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
） 1．考点16 易 若π02α-<<，则点tan ,()cos P αα位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2． 考点16 易 已知ABC ∆中, 5tan 12A =-,则cos A 等于( ) A.1213 B. 513C. 513-D. 1213-3． 考点16 易已知()P y 为角β的终边上的一点,且sin 13β=,则y 的值为( ) A.12±B.12C.12-D.2±4． 考点16 中难 若点2π2π(sin,cos )33在角α的终边上，则sin 2α的值为（ ）A. 12- B. C.125． 考点17 中难()cos()f x A x ωϕ=+(0,0,0π)A ωϕ>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG △是边长为2的等边三角形，则(1)f 的值为( )A ．2-B ．2- C D ．6．考点17 中难将函数()sin 2f x x =的图象向左平移π12个单位,得到函数()sin(2)0π2g x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象,则ϕ等于( )A.π3 B. π4 C. π6 D. π127.考点18 易关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数②()f x 在区间(,)2ππ单调递增 ③()f x 在[,]-ππ有4个零点 ④()f x 的最大值为2其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③8．考点18 中难若函数()π)f x x ω=-5πsin 2x ω⎛⎫++ ⎪⎝⎭，且()2f α=，()0f β=，αβ-的最小值是π2，则()f x 的单调递增区间是（ ） A.2ππ2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z)k ∈ B.5ππ2π,2π66k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z)k ∈C.5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z)k ∈ D.πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z)k ∈9． 考点18 中难 设函数()sin()(0)5f x x ωωπ=+>，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0,)10π单调递增 ④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④10．考点18 中难下列函数中，以π为周期且在区间(0,)2π上单调递增的函数是（ ） A.sin2x y = B.sin y x = C.tan y x =-D.cos 2y x=-11． 考点18 难已知线段AB 的长为6，以AB 为直径的圆有一内接四边形ABCD ，其中//AB CD ，则这个内接四边形的周长的最大值为（ ）A ．15B ．16C ．17D ．18 12． 考点18 难已知函数π()sin()(0,)2f x x ωϕωϕ=+><的最小正周期为4π，且对R x ∀∈，有π()()3f x f ≤成立，则()f x 的一个对称中心坐标是( )A ．2π(,0)3-B ．π(,0)3-C ．2π(,0)3D ．5π(,0)3第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题（每题5分，共20分） 13． 考点16 中难已知sin tan 1αα=,则cos α=__________ 14． 考点18 易 函数π()cos(3)6f x x =+在[0,π]的零点个数为________． 15. 考点18中难函数1πsin [0,]22y x x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭的单调递增区间是__________ 16． 考点18 难已知33()sin 4(,R)f x a x x a b =++∈，且(sin10)5f ︒=，则(cos100)f ︒=__________．三.解答题（共70分）17．（本题满分10分） 考点16易已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点34P -（,）. 1.求sin α，cos α的值；2.sin(π)cos()πcos()2a αα++--的值.18．（本题满分12分） 考点17 易已知函数()sin()f x A x O ω=+（其中π0,0,||2A O ω>><）的部分图象如图所示．1.求函数()y f x =的解析式；2.求函数()y f x =的单调增区间；3.求方程()0f x =的解集. 19.考点18 易已知函数2()sin 2f x x x a =-.1.求函数()f x 的单调递减区间;2.设π[0,]2x ∈时,函数()f x 的最小值是-2,求()f x 的最大值.20.（本题满分12分）考点18 中难已知函数的解析式()()sin ,R f x A x x ωϕ=+∈ (其中π0,0,02A ωϕ>><<)的图象与x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为π2,且图象上一个最低点为2π,23M ⎛⎫-⎪⎝⎭1.求()f x 的解析式.2.当,,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求()f x 的值域. 21．（本题满分12分） 考点18 中难 已知22()(sin cos )2cos f x x x x =++ 1.求π()6f 的值2.求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的值（2）已知0ω>，函数()212x g x f ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 在区间2,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，求ω的最大值．22．（本题满分12分） 考点18 难已知2()cos 2cos 1f x x x x =+-1.求函数()f x 的最小正周期2.已知π0,,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求()f x 的值域参考答案1答案及解析： 答案：B 解析：2答案及解析： 答案：D 解析：3答案及解析： 答案：B解析：0y r r β====>解得12y =.4答案及解析： 答案：B 解析：由题意，2π2π1sincos ,13232x y r ====-=，1sin ,cos 22y x αα∴==-==．1sin 22sin cos 2()2ααα∴==⨯-=5答案及解析： 答案：D 解析：6答案及解析： 答案：C解析：由题意知()πsin 2sin 212π6g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 又()()si πn 202g x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭, ∴π6ϕ=.故选C.7答案及解析： 答案：C解析：画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x=，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．8答案及解析： 答案：A 解析：9答案及解析： 答案：D 解析：()sin (0)5f x wx w π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在[0,2]π有且仅有5个零点．02x ∴≤≤π，12555wx w ππ≤+≤π+，1229510w ≤<，④正确．如图213,,x x x 为极大值点为3个，①正确；极小值点为2个或3个．∴②不正确．当010x π<<时，5105w wx f πππ<+<+π，当2910w =时，2920491051001001002w +=+=<ππππππ． ∴③正确，故选D ．10答案及解析： 答案：D 解析：11答案及解析： 答案：D 解析：12答案及解析： 答案：A解析：由题意得，函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为4π，所以2π4πω=，解得12ω=，即()1sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得1ππ2π232k ϕ⨯+=+，Z k ∈，又π2ϕ<，所以π3ϕ=，故()1πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1ππ23x k +=，可得2π2π3x k =-，Z k ∈，所以函数()f x 的对称中心是2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选A13答案及解析：答案：12- 解析：221sin cos αα+=,由1sin tan αα=,得2sin cos αα=,令,0cos x x α=>,则21x x -=,解得12x -+=14答案及解析： 答案：3个 解析：15答案及解析： 答案：π[0,]6解析：16答案及解析： 答案：3解析：设33()sin g x a x x =+，则()()4f x g x =+，∴(sin10)(sin10)45f g ︒=︒+=，∴(sin10)1g ︒=，又(cos100)(sin10)(sin10)4(sin10)43f f g g ︒=-︒=-︒+=-︒+=．17答案及解析： 答案：1.∵角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点34P -（,），故3,4,||5x y r OP =-====，43sin ,cos 55y x r r αα∴====- 2.sin(π)cos()sin cos πsin cos()2a aa ααα++--+=- cos 3711sin 44a a =-+=--=-解析：18答案及解析： 答案：1.由图知，1A =，∵周期7ππ4()π123T =-=， ∴2π2πω==， ∴()sin(2)f x x O =+， 又∵7π()112f =- ∴7πsin()16O +=-， ∴7π3π2π(Z)62O k k +=+∈， ∴π2π,Z 3O k k =+∈, ∵π||2O <, ∴π3O = ∴π()sin(2)3f x x =+． 2.πππ2π22π,Z 232k x k k --≤+≤-∈，得5ππ[π,π],Z 1212k k k --+∈， ∴函数()y f x =的单调增区间为5ππ[π,π],Z 1212k k k --+∈． 3.∵()0f x =， ∴π2,Z 3x k k +=∈， ∴π1π,(Z)62x k k =-+∈ ， ∴方程()0f x =的解集为π1{|π,Z}62x x k k =-+∈． 解析：19答案及解析：答案：1.π()sin 2cos 2)sin 222sin(2)3f x x x a x x a x a =+=+=-+, 令ππ3π2π22π232k x k +≤-≤-,得5π11ππ+π+,Z 1212k x k k ≤≤∈, ()f x ∴的单调递减区间5π11π[π,π](Z)1212k k k ++∈.2.π02x ≤≤,ππ2ππ2,sin(2)13333x x ∴≤-≤≤-≤,min max ();()2f x a f x a ∴==+,令2a =-,得2a =,所以max ()22f x =解析：20答案及解析：答案：1.由最低点为2π(,2)3M -得2A =. 由轴上相邻的两个交点之间的距离为π2得π22T =, 即2ππ,2T Tω=∴== 由点M 在图象上,2π2sin(2)23ϕ⨯+=-即4πsin()13ϕ+=- 故4π3π2π,Z 32k k ϕ+=+∈,π2π6k ϕ∴=+. 又ππ(0,),26ϕϕ∈∴= 故π()2sin(2)6f x x =+ 2.ππππ7π[,],2[,]122636x x ∈∴+∈ 当ππ262x +=即π6x =时,()f x 取得最大值2; 当π7π266x +=即π2x =时,()f x 取得最小值, 故()f x 的值域为[1,2]-解析：21答案及解析：答案：1.22ππππ()(sin cos )2cos 6666f =++2215(222=++⨯=+2.2π()1sin 22cos 11sin 2cos 22)24f x x x x x x =++-+=++=++ 由ππ22π42x k +=-+可得3ππ8x k =-+，故函数的最小值为2-， 当3ππ,(Z)8x k k =-+∈时取得最小值. 解析：22答案及解析：答案：1.2()cos 2cos 12cos 22sin 6π2f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭， 令ππ3π2π22π,Z,262k x k k +≤+≤+∈ 解得π2πππ,Z,63k x k k +≤≤+∈ 可得函数()y f x =的单调递减区间为：π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ 2.π02x ≤≤ 02πx ∴≤≤ππ7π2666x ∴≤+≤ π1sin(2)[,1]62x ∴+∈- π2sin(2)[1,2]6x ∴+∈- ()f x ∴的值域为[1,2].-解析：。
2020年高考试题分类汇编(三角函数)
2020年高考试题分类汇编（三角函数）考点1三角函数的图像和性质1.（2020·全国卷Ⅰ·文理科）设函数()cos()f x x πω=+在[,]ππ-的图像大致如下图，则()fx 的最小正周期为 A ．109πB ．76π C 2.（2020·山东卷）如图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图像，则sin()x ωϕ+=A．sin()3x π+ B ．sin(2)3x π- C．cos(2)6x π+ D ．5cos(2)6x π-3.（2020·浙江卷）函数cos sin y x x x =+在区间[,]ππ-的图象大致为4.（2020·全国卷Ⅲ·理科）关于函数1()sin sin f x x x=+有如下四个命题： ①()f x 的图像关于y 轴对称； ②()f x 的图像关于原点对称； ③()f x 的图像关于2x π=轴对称； ④()f x 的最小值为2.其中所有真命题的序号是 .5.（2020·全国卷Ⅲ·文科）设函数1()sin sin f x x x=+，则 A ．()f x 有最小值为2 B ．()f x 的图像关于y 轴对称 C ．()f x 的图像关于x π=轴对称 D ．()f x 的图像关于2x π=轴对称6.（2020·上海卷）已知()sin f x x ω=（0ω>）. （Ⅰ）若()f x 的周期是4π，求ω，并求此时1()2f x =的解集；（Ⅱ）已知1ω=，2()()()()2g x f x x f x π=--，[0,]4x π∈，求()g x的值域.7.（2020·天津卷）已知函数()sin()3f x x π=+．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②()2f π是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是A.①B.①③C.②③D.①②③ 8.（2020·北京卷）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为 ．9.（2020·全国卷Ⅱ·理科）已知函数2()sin sin 2f x x x =. （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0,)π的单调性；（Ⅱ）证明：()f x ≤；（Ⅲ）设n N *∈，证明：22223sin sin 2sin 4sin 24nnn x x xx ≤.考点2恒等变换1.（2020·全国卷Ⅰ·理科）已知(0,)απ∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A ．23 C ．13D 2.（2020·全国卷Ⅱ·理科）若α为第四象限的角，则A ．cos20α>B ．cos20α<C ．sin 20α>D ．sin 20α<3.（2020·全国卷Ⅱ·文科）2sin 3x =-，则cos2x = .4.（2020·全国卷Ⅲ·理科）已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ=A ．2-B ．1-C ．1D ．2 5.（2020·全国卷Ⅲ·文科）sin sin()13πθθ++=，则sin()6πθ+=A ．12BC ．23D6.（2020·浙江卷）已知tan 2θ=，则cos2θ= ；tan()4πθ-= ．考点3解三角形1.（2020·全国卷Ⅲ·理科）在ABC ∆中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则cos B = A ．19 B ．13 C ．12 D ．232.（2020·全国卷Ⅲ·文科）在ABC ∆中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则tan B =A B ．．． 3.（2020·全国卷Ⅰ·文科）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知150B =.（Ⅰ）若a =，b =ABC ∆的面积；（Ⅱ）若sin 2A C =，求C . 4.（2020·全国卷Ⅱ·理科）ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C --=.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若3BC =，求ABC ∆周长的最大值.5.（2020·全国卷Ⅱ·文科）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若b c -=，证明：ABC ∆是直角三角形.6.（2020·山东卷）在①ac =，②sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ∆，它的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .且sin AB ，6C π=， ?7.（2020·北京卷）在ABC ∆中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC ∆的面积．条件①：7c =，1cos 7A =-；条件②：1cos 8A =，9cos 16B =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．8.（2020·天津卷）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a =5b =，c =． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求sin(2)4A π+的值． 9.（2020·浙江卷）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin b A =． （Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）求cos cos cos A B C ++的取值范围．。
2020年高考试题三角函数汇编【题目+答案版】
2020年高考各地三角函数真题(1)【2020全国高考III卷(文)第5题】已知sin θ+sin (θ+π3)=1，则sin (θ+π6)=()A. 12B. √33C. 23D. √22(2)【2020全国高考（浙江卷）第4题】函数y=xcosx+sinx在区间[−π,π]的图象大致为()A. B.C. D.(3)【2020全国高考III卷(理)第9题】已知2tanθ−tan(θ+π4)=7,则tanθ=()A. −2B. −1C. 1D. 2(4)【2020全国高考（天津）卷第7题】已知函数f(x)=sin(x+π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π；②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是()A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③(5)【2020全国高考（浙江卷）第13题】已知tttt=2，则ttt2t=______；tan(t−t4)=______．(6)【2020全国高考（江苏卷）第10题】将函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是______．(7)【2020全国高考（江苏卷）第18题】在△ttt中，角A、B、C的对边分别为a、b、t.已知t=3，t=√2，t=45°．(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ttt=−45，求tan∠ttt的值．(8)【2020全国高考I卷(理)第16题】如图，在三棱锥t−ttt的平面展开图中，tt=1，tt=tt=，AB AC，AB AD，ttt=，则ttt=__________．(9) 【2020全国高考天津卷第15题】如图，在四边形ABCD 中，∠t =60°，tt =3，tt =6，且tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数t 的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．(10) 【2020全国高考（浙江卷）第18题】在锐角△ttt 中，角t ,t ,t 的对边分别为t ,t ,t .已知2t sin t −√3t =0． (1)求角B ；(2)求cos t +cos t +cos t 的取值范围．(11) 【2020全国高考（上海卷）第18题】已知函数t (t )=sin tt ，t >0．(1)f(x)的周期是4π，求ω，并求f(x)=12的解集；(2)已知ω=1，g(x)=f 2(x)+√3f(−x)f(π2−x)，x ∈[0,π4]，求g(x)的值域．(12) 【2020全国高考（天津卷）第16题】在△ttt 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，t .已知t =2√2，t =5，t =√13． (1)求角C 的大小； (2)求sin A 的值；(3)求sin (2t +t4)的值．(13) 【2020全国高考I 卷（文）第18题】∆ttt 的内角t ,t ,t 的对边分别为t ,t ,t ，已知t =150∘．（1）若a =√3c ，b =2√7，求∆ABC 的面积；（2）若sinA +√3sinC =√22，求C ．(14) 【2020全国高考II 卷（理）第16题】∆ttt 中，sin 2t −sin 2t −sin 2t =sin t sin t ．(1) 求A ；(2) 若BC =3，求∆ABC 周长的最大值．(15) 【2020全国高考II 卷（文）第17题】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2(π2+A)+cosA =54．(1)求A ；(2)若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．（16）【2020全国高考II卷理科21题】已知函数t(t)=sin2t sin2t．(1)讨论t(t)在区间(0,t)的单调性；(2)证明：|t(t)|≤3√3；8(3)设t∈N∗，证明：sin2t sin22t sin24t⋯sin22t t≤3t．4t【答案】2020年高考各地三角函数真题(1)【2020全国高考III卷(文)第5题】已知sin θ+sin (θ+π3)=1，则sin (θ+π6)=()A. 12B. √33C. 23D. √22解：∵sin (t+t3)=12sin t+√32cos t，∴sin t+sin (t+t3)=32sin t+√32cos t=√3sin (t+t6)=1得sin (t+t6)=√33故选：B．(2)【2020全国高考（浙江卷）第4题】函数y=xcosx+sinx在区间[−π,π]的图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【解析】解：t=t(t)=ttttt+tttt，则t(−t)=−ttttt−tttt=−t(t)，∴t(t)为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B，D，当t=t时，t=t(t)=ttttt+tttt=−t<0，故排除B，故选：A．先判断函数的奇偶性，再判断函数值的特点．本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性额函数值得特点是关键，属于基础题．(3)【2020全国高考III卷(理)第9题】已知2tanθ−tan(θ+π4)=7,则tanθ=()A. −2B. −1C. 1D. 2解：∵2tan t−tan (t+t4)=2tan t−tan t+11−tan t=7，∴2tan t(1−tan t)−(tan t+1)=7−7tan t，整理得(tan t−2)2=0，∴tan t=2，故选D．(4)【2020全国高考（天津）卷第7题】已知函数f(x)=sin(x+π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π；②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是()A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B【解析】【分析】本题以命题的真假判断为载体，主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于中档题．由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值取得条件可判断②，结合函数图象的平移可判断③．【解答】解：因为f(x)=sin(x+π3)，①由周期公式可得，f(x)的最小正周期T=2π，故①正确；、②f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12，不是f(x)的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象，故③正确．故选：B．(5) 【2020全国高考（浙江卷）第13题】已知tttt =2，则ttt2t =______；tan (t −t4)=______． 【答案】−35 13【解析】解：tttt =2，则ttt2t =cos 2t −sin 2t cos 2t +sin 2t=1−tan 2t 1+tan 2t =1−41+4=−35．tan (t −t4)=tttt −tan t41+ttttttt t4=2−11+2×1=13． 故答案为：−35；13．利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式求解第一问，利用两角和与差的三角函数转化求解第二问．本题考查二倍角公式的应用，两角和与差的三角函数以及同角三角函数基本关系式的应用，是基本知识的考查．(6) 【2020全国高考（江苏卷）第10题】将函数y =3sin(2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是______．解：因为函数t =3ttt (2t +t4)的图象向右平移t6个单位长度可得t (t )=t (t −t6)=3ttt (2t −t 3+t 4)=3ttt (2t −t12)，则t =t (t )的对称轴为2t −t12=t2+tt ，t ∈t ，即t =7t 24+tt2，t ∈t ，当t =0时，t =7t24， 当t =−1时，t =−5t24， 所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是t =−5t24， 故答案为：t =−5t 24．(7) 【2020全国高考（江苏卷）第18题】在△ttt 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、t .已知t =3，t =√2，t =45°． (1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ttt =−45，求tan ∠ttt 的值．【答案】解：(1)因为t =3，t =√2，t =45°.，由余弦定理可得：t =√t 2+t 2−2tttttt =√9+2−2×3×√2×√22=√5，由正弦定理可得t tttt =ttttt ，所以tttt =t t⋅ttt45°=√2√5⋅√22=√55，所以tttt =√55；(2)因为cos ∠ttt =−45，所以sin ∠ttt =√1−cos 2∠ttt =35， 在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由(1)可得tttt =√1−sin 2t =2√55，所以在三角形ADC 中，sin ∠ttt =sin (∠ttt +∠t )=sin ∠tttttt ∠t +cos ∠tttttt ∠t =2√525，因为∠ttt ∈(0,t2)，所以cos ∠ttt =√1−sin 2∠ttt =11√525，所以tan ∠ttt =sin ∠ttt cos ∠ttt=211．(8) 【2020全国高考I 卷(理)第16题】如图，在三棱锥t −ttt 的平面展开图中，tt =1，tt =tt =，AB AC ，ABAD ，ttt =，则ttt =__________．解：由已知得tt =√2tt =√6， ∵t 、E 、F 重合于一点，∴tt =tt =√3，tt =tt =√6， ∴ △ttt 中，由余弦定理得，∴tt =tt =1， ∴在△ttt 中，由余弦定理得．故答案为．(9) 【2020全国高考天津卷第15题】如图，在四边形ABCD 中，∠t =60°，tt =3，tt =6，且tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，tt⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数t 的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______． (10) 【答案】16 132(11) 【解析】解：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B =60°，AB =3，∴A(32,3√32)， ∵BC =6， ∴C(6,0)， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD//BC ， 设D(x 0,3√32)， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−32,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32(x 0−32)+0=−32，解得x 0=52，∴D(52,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ=16，∵|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 设M(x,0)，则N(x +1,0)，其中0≤x ≤5，∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52,−3√32)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −32,−3√32)， ∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52)(x −32)+274=x 2−4x +212=(x −2)2+132，当x =2时取得最小值，最小值为132， 故答案为：16，132．以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D 的坐标，即可求出λ的值，再设出点M ，N 的坐标，根据向量的数量积可得关于x 的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．(12) 【2020全国高考（浙江卷）第18题】在锐角△ttt 中，角t ,t ,t 的对边分别为t ,t ,t .已知2t sin t −√3t =0． (1)求角B ；(2)求cos t +cos t +cos t 的取值范围．【答案】解：(1)∵2t sin t =√3t ， ∴2sin t sin t =√3sin t ， ∵sin t ≠0， ∴sin t =√32， ，∴t =t3，(2)∵△ttt 为锐角三角形，t =t3， ∴t =2t3−t ，，△ttt 为锐角三角形，，，解得， ，，∴cos t+cos t+cos t的取值范围为(√3+12,32 ]．【解析】本题考查了正弦定理，三角函数的化简，三角函数的性质，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题．(1)根据正弦定理可得sin t=√32，结合角的范围，即可求出，(2)根据两角和差的余弦公式，以及利用正弦函数的性质即可求出．(13)【2020全国高考（上海卷）第18题】已知函数t(t)=sin tt，t>0．(1)f(x)的周期是4π，求ω，并求f(x)=12的解集；(2)已知ω=1，g(x)=f2(x)+√3f(−x)f(π2−x)，x∈[0,π4]，求g(x)的值域．【答案】解：(1)由于t(t)的周期是4t，所以t=2t4t =12，所以t(t)=sin12t．令sin12t=12，故12t=2tt+t6或2tt+5t6，整理得t=4tt+t3或t=4tt+5t3．故解集为{t|t=4tt+t3或t=4tt+5t3，t∈t}．(2)由于t=1，所以t(t)=sin t．所以t(t)=sin2t+√3sin(−t)sin(t2−t)=1−cos2t2−√32sin2t=−√32sin2t−12cos2t+12=12−sin(2t+t6)．由于t∈[0,t4]，所以t6≤2t+t6≤2t3．故−1≤−sin(2t+t6)≤−12，故−12≤t(t)≤0．所以函数t(t)的值域为[−12,0]．【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．(1)直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的值域．【2020全国高考（天津卷）第16题】在△ttt中，角A，B，C所对的边分别为a，b，t.已知t=2√2，t=5，t=√13．(1)求角C的大小；(2)求sin A的值；(3)求sin(2t+t4)的值．【答案】解：(1)由余弦定理以及a=2√2，b=5，c=√13，则cosC=a2+b2−c22ab =2×22×5=√22，∵C∈(0,π)，∴C=π4；(2)由正弦定理，以及C=π4，a=2√2，c=√13，可得sinA= asinCc=2√2×√22√13=2√1313；(3)由a<c，及sinA=2√1313，可得cosA=√1−sin2A=3√1313，则sin2A=2sinAcosA=2×2√1313×3√1313=1213，∴cos2A=2cos2A−1=513，∴sin(2A+π4)=√22(sin2A+cos2A)=√22(1213+513)=17√226．【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．(1)根据余弦定理即可求出C的大小；(2)根据正弦定理即可求出sin A的值；(3)根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．(14)【2020全国高考I卷（文）第18题】∆ttt的内角t,t,t的对边分别为t,t,t，已知t=150∘．（1）若a=√3c，b=2√7，求∆ABC的面积；（2）若sinA+√3sinC=√22，求C．【答案】解：(1)由余弦定理得t2=t2+t2−2tt cos t，即28=3t2+t2−2√3t2cos150∘，解得t=4，所以t=4√3，所以t△ttt=12tt sin t=12×4√3×4×12=4√3．(2)因为t=180∘−t−t=30∘−t，所以sin t+√3sin t=sin(30∘−t)+√3sin t=12cos t+√32sin t=sin(30∘+t)=√22，因为t>0°，t>0°，所以0°<t<30°，所以30°<30°+t<60°，所以30°+t=45°，所以t=15°．【解析】【解析】本题考查余弦定理，三角形面积公式的应用，三角恒等变换的应用，属于中档题．(1)由已知条件结合余弦定理可求得c，从而可根据三角形面积公式求解；(2)由两角差的正弦公式对已知式进行化简，再由辅助角公式根据C的范围求解即可．(15) 【2020全国高考II 卷（理）第17题】∆ttt 中，sin 2t −sin 2t −sin 2t =sin t sin t ．(2) 求A ；(2) 若BC =3，求∆ABC 周长的最大值．【答案】解：(1)在▵ttt 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 因为sin 2t −sin 2t −sin 2t =sin t sin t ，由正弦定理得，t 2−t 2−t 2=tt ，即t 2+t 2−t 2=−tt ， 由余弦定理得，cos t =t2+t 2−t 22tt =−12，因为0<t <t ，所以t =2t 3． (2)由(1)知，t =2t3，因为tt =3，即t =3，由余弦定理得，t 2=t 2+t 2−2tt cos t ，所以9=t 2+t 2+tt =(t +t )2−tt ， 由基本不等式可得tt ≤(t +t )24，所以9=(t +t )2−tt ≥34(t +t )2,所以t +t ≤2√3(当且仅当t =t =√3时取得等号)， 所以▵ttt 周长的最大值为3+2√3．【解析】本题主要考查利用正余弦定理解三角形的问题，属于中档题． (1)直接利用正余弦定理即可求解；(2)利用余弦定理与基本不等式即可求解．(16) 【2020全国高考II 卷（文）第17题】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2(π2+A)+cosA =54．(1)求A ；(2)若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．【答案】【解答】解：(1)∵cos2(t2+t)+cos t=54，化简得cos2t−cos t+14=0，解得cos t=12，∵t是tttt的内角，故t=t3．(2)证明：∵t−t=√33t，t=t3，由正弦定理可得sin t−sin t=√33sin t=12，又t=t−t−t=2t3−t，∴sin(2t3−t)−sin t=12，化简可得√32cos t−12sin t=12，即可得cos(t+t6)=12，又t∈(0,2t3)，得t+t6∈(t6,5t6)，故可得t+t6=t3，即t=t6，故t+t=t3+t6=t2，∴tttt是直角三角形．【解析】本题考查了正弦定理的应用以及两角和差的正余弦公式的应用，考查了诱导公式和辅助角公式，属于中档题．(1)利用诱导公式和同角的三角函数关系对已知式进行化简，得到cos t=12，再结合A为三角形的一内角，即可求出角A；(2)利用正弦定理把t−t=√33t中的边化成角，得到sin t−sin t=√33sin t=12，再结合t+t=2t3，对式子进行化简，最后结合辅助角公式以及角C的范围，求出角C，即可证得三角形为直角三角形．（17）【2020全国高考II卷理科21题】已知函数t(t)=sin2t sin2t．(1)讨论t(t)在区间(0,t)的单调性；(2)证明：|t(t)|≤3√38；(3)设t∈N∗，证明：sin2t sin22t sin24t⋯sin22t t≤3t4t．【答案】解：(1)t(t)=sin2t⋅sin2t=2sin2t⋅sin t⋅cos t =2sin3t⋅cos tt′(t)=2[sin2t(3cos2t−sin2t)]=2sin2t⋅(√3cos t+sin t)⋅(√3cos t−sin t)=−8sin2t⋅sin(t+t3)⋅sin(t−t3)所以对于f’(t)有：当t∈(0,t3)时，t′(t)>0；当t∈[t3,23t]时，t′(t)≤0；当t∈(2t3,t)时t′(t)>0。
2020高考—三角函数(选择+填空+答案)
2020年高考——三角函数1.(20全国Ⅰ文7)．设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π22.(20全国Ⅰ理9)．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= A 5B ．23C ．13D 53.（20全国Ⅱ理2）．若α为第四象限角，则 A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<04.（20全国Ⅲ文5）．已知πsin sin=3θθ++（）1，则πsin =6θ+（） A ．12B 3C ．23D 2 5.（20全国Ⅲ文11）．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B = A 5B ．5C ．5D ．56.（20全国Ⅲ文12）．已知函数f (x )=sin x +1sin x，则 A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图像关于y 轴对称C ．f (x )的图像关于直线x =π对称D ．f (x )的图像关于直线2x π=对称 7.（20全国Ⅲ理7）．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．238.（20全国Ⅲ理9）．已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=A ．–2B ．–1C ．1D ．29.（20新高考Ⅰ10）．下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x - C ．πcos(26x +） D ．5πcos(2)6x -10.(20天津8)．已知函数π()sin()3f x x =+．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②π()2f 是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是 A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③11.(20浙江4)．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是12.(20北京9)．已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13.(20北京10)．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）．A ．30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．60606sintan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 14. （20全国Ⅱ文13）．若2sin 3x =-，则cos2x =__________． 15.（20全国Ⅲ理）16．关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．16.(20浙江13)．已知tan 2θ=，则cos2θ=_______，πtan()4θ-=_______．17.（20江苏8）．已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是 ▲ ．18.（20江苏10）．将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ▲ ．19.(20北京14)．若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________． 参考答案：1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．D 7．A 8．D 9．BC 10．B 11.A 12. C 13. A14.1915．②③ 16.31,53- 17．13 18．524x π=- 19.2π。
安徽省各地市2020年高考数学最新联考试题分类大汇编(5)三角函数
第5部分:三角函数一、选择题：(8) (安徽省“江南十校”2020年3月高三联考文科)在中，角A,B ，C 所对的边分别为a ，b ，c,已知，C=,则=( )A. 30°B. 450C. 45° 或 1350D. 60°(5) (安徽省“江南十校”2020年3月高三联考文科)在下图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4（5）解析：先算出三角函数值，然后根据每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，填1 322 523 12 1543214 12x =18 516y =116316z =10、（安徽省安庆市2020年3月高三第二次模拟理科）在△ABC 中，a,b,c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对应三角形的边长，若4230aBC bCA cAB ++=uu u r uu r uu u r r，则cosB ＝【答案】A二、填空题：13. (安徽省合肥一中2020届高三下学期第二次质量检测文科)已知函数()tan(),(0,||)2f x A x πωϕωϕ=+><，()y f x =的部分图像如图，则7()=24f π3-3 ．14、（安徽省蚌埠市2020年3月高三第二次质检文科）若函数sin()(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低眯，O 为坐标原点，且OM ON •u u u u r u u u r＝0，则A ω•＝＿＿＿76π 三、解答题：(16) (安徽省“江南十校”2020年3月高三联考理科) (本小题满分12分） 设函数，，(w 为常数，且m >0),已知函数f(x)的最大值为2.(I)求函数的单调递减区间；(II)已知a,b,c 是的三边，且.若，，求B 的值.(16) (安徽省“江南十校”2020年3月高三联考文科) (本小题满分12分 己知函数. (I )若，，求的值；(II)求函数的最大值和单调递增区间.（16）解析：（Ⅰ）∵()sin cos f x x x =+， ∴()cos sin f x x x -=-．┄┄┄┄┄1分又∵()2()f x f x =-，∴()sin cos 2cos sin x x x x +=-且cos 0x ≠1tan 3x ⇒=．┄┄┄┄┄┄┄┄3分 ∴22cos sin cos 1sin x x x x -+222cos sin cos 2sin cos x x x x x -=+21tan 2tan 1x x -=+611=；┄┄┄┄┄┄6分 （Ⅱ）由题知22()cos sin 12sin cos F x x x x x =-++()cos 2sin 21F x x x ⇒=++()2214F x x π⎛⎫⇒=++ ⎪⎝⎭．┄┄┄┄┄┄┄10分∴当sin 214x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，max ()21F x =+．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分由222242k x k πππππ-+≤+≤+解得，单调递增区间为3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分16. (安徽省合肥一中2020届高三下学期第二次质量检测文科)（12分）设函数b a x f ⋅=)(，其中向量)2sin 3,(cos ),1,cos 2(x x b x a ==.(1)求函数()f x 的最小正周期和在[]0,π上的单调递增区间； (2)ABC ∆中，角A,B,C 所对的边为,,a b c ，且222a b c ab +-≥，求()f C 的取值范围．16. (安徽省合肥一中2020届高三下学期第二次质量检测理科)（12分）设函数b a x f ⋅=)(，其中向量)2sin 3,(cos ),1,cos 2(x x b x a ==.(1)求函数()f x 的最小正周期和在[]0,π上的单调递增区间； (2)ABC ∆中，角A,B,C 所对的边为,,a b c ，且222a b c ab +-≥，求()f C 的取值范围．解：(1)2()2cos 3sin 22sin(2)1,6f x x x x π=+=++Q ……………2分ππ==∴22)(T x f 的最小正周期函数 ………………4分 在[0，π]上单调递增区间为],32[],6,0[πππ． ………………6分(2) 222a b c ab +-≥，1cos 2C ≥………………………8分 03C π∴<≤……………………………9分()2sin(2)1,6f C C π=++由max C ()36f C π==当时，…10分 当C=3π时，min ()2f C =……………11分 ()[2,3]f C ∴∈ ………………………12分16、（安徽省安庆市2020年3月高三第二次模拟文科）（本题满分12分） 在△ABC 中，7cos 25A =-，3cos 5B =。
专题09 三角函数——三年(2021-2021)高考真题文科数学分项汇编(原卷版)
专题 09 三角函数1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知sinθ+ sin（θ+π）=1 ，则sin（θ+π）=A.12B. 333C.236D. 222.【2020 年高考全国Ⅰ卷文数】设函数f (x) = cos(ωx +π) 在[−π，π]的图像大致如下图，则f（x）的最小正6周期为A.10π9C．4π3B．7π6D．3π23.【2020 年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数f(x)=sin x+ 1，则sin xA．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图像关于y 轴对称C．f(x)的图像关于直线x =π对称D．f(x)的图像关于直线x =π对称24.【2020 年高考天津】已知函数f (x) = sin(x +π) ．给出下列结论：3① f (x) 的最小正周期为2π；π② f ( )2是f (x) 的最大值；③把函数y = sin x 的图象上所有点向左平移π个单位长度，可得到函数y =3f (x) 的图象．其中所有正确结论的序号是A．①B．①③C．②③D．①②③5.【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是33⎛ 30︒ 30︒ ⎫ ⎛ 30︒ 30︒ ⎫A. 3n sin n + tan ⎪n B. 6n sin n + tan ⎪n ⎝ ⎭⎝ ⎭⎛ 60︒ 60︒ ⎫⎛ 60︒ 60︒ ⎫ C. 3n sin n + tan ⎪n D. 6n sin n + tan ⎪n ⎝ ⎭⎝ ⎭6. 【2020 年新高考全国Ⅰ卷】下图是函数 y = sin(ωx +φ)的部分图像，则 sin(ωx +φ)=A. sin(x + π）B ． sin( π - 2x )C ． cos(2x + π）D ． cos( 5π- 2x )33 6 67. 【2019 年高考全国Ⅰ卷文数】函数 f (x ) =sin x + xcos x + x 2在[-π, π] 的图像大致为A.B ．C ．D ．8. 【2019 年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=A ．−2−B ．−2+C ．2−D ．2+ 9. 【2019 年高考全国Ⅱ卷文数】若 x 1= π ，x 2=3π是函数 f (x )= sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω=443 A ．2 B ．21 C ．1D ．210. 【2019 年高考全国Ⅱ卷文数】已知 a ∈（0， π），2sin2α=cos2α+1，则 sin α=2A. 15 B.53 32 C.33D. 2 551. 【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数 f (x ) = 2sin x - sin2x 在[0，2π]的零点个数为A ．2B ．3C ．4D ．512. 【2019 年高考北京卷文数】设函数 f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A. 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13. 【2019 年高考天津卷文数】已知函数 f (x ) = A sin(ωx +ϕ)( A > 0,ω> 0,|ϕ|< π) 是奇函数，且 f ( x ) 的 最小正周期为π，将 y = f (x ) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象 对应的函数为 g ( x ) .若 g ⎛ π ⎫=，则 f ⎛ 3π ⎫ =4 ⎪ 8 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭A ．−2B ． -C ．14. 【2018 年高考全国Ⅲ卷文数】函数 f (x )=πA ．4 D ．2 tan x1+ tan 2 xπB ．2的最小正周期为C ．π D ． 2π15. 【2018 年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数 f ( x ) = 2 c os 2 x -sin 2 x + 2 ，则 A. f ( x ) 的最小正周期为π，最大值为 3 B. f (x ) 的最小正周期为π，最大值为 4 C. f (x ) 的最小正周期为2π，最大值为 3 D. f (x ) 的最小正周期为 2π，最大值为 4 16. 【2018 年高考天津卷文数】将函数 y = sin(2x + π) 的图象向右平移 π个单位长度，所得图象对应的函数[- π π510A. 在区间, ] 上单调递增B ．在区间上单调递减4 42 22 5 5π π πC ．在区间[ , ] 上单调递增D ．在区间[ , π] 上单调递减 4 2217. 【2018 年高考全国Ⅲ卷文数】若sin α= 1，则cos 2α= 387A.B ．9 9 C ． - 7 9D ． - 8 918. 【2018 年高考全国Ⅰ卷文数】已知角α的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a ) ，B (2 ，b ) ，且cos 2α= 2，则 a - b =3A. 1 B ． 55 5C ．D ．119. 【2018 年高考全国Ⅱ卷文数】若 f (x ) = cos x - sin x 在[0, a ] 是减函数，则 a 的最大值是 π πA.B ．4 2C ．3π D ．π 420. 【2018 年高考浙江卷】函数 y = 2 x sin2x 的图象可能是A.B ．C ．D ．21. 【2018 年高考北京卷文数】在平面直角坐标系中， AB , C D , E F , G H 是圆x 2 + y 2 = 1 上的四段弧（如图），点 P 在其中一段上，角α以 O x 为始边，OP 为终边，若tan α< cos α< sin α，则 P 所在的圆弧是A. AB B ． C D C ． E FD ． G H 2. 【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若sin x = - 2，则cos 2x = ． 323. 【2020 年高考江苏】已知sin 2 ( π +α) = 2，则sin 2α的值是▲．4 324. 【2020 年高考北京】若函数 f (x ) = sin(x +ϕ) + cos x 的最大值为 2，则常数ϕ的一个取值为．25. 【2020 年高考浙江】已知tan θ= 2 ，则cos 2θ=， tan(θ- π) = ． 4 26. 【2020 年高考江苏】将函数 y = 3sin(2x π) 的图象向右平移 π个单位长度，则平移后的图象中与 y 轴最 ﹢ 4 6近的对称轴的方程是▲ ．27. 【2020 年新高考全国Ⅰ卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边 形 DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为 C ，tan ∠ODC = 3， BH ∥DG ，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线5 DE 和 EF 的距离均为 7 cm ，圆孔半径为 1 cm ，则图中阴影部分的面积为cm 2．28. 【2019 年高考全国Ⅰ卷文数】函数 f (x ) = sin(2x +3π) - 3cos x 的最小值为．2tan α = - 2 ⎛ π ⎫ 29. 【2019 年高考江苏卷】已知 tan ⎛α+ π ⎫ 3 ，则sin 2α+ 4 ⎪ 的值是 ▲.4 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭30.【2018 年高考全国Ⅱ卷文数】已知tan(α-5π) =1，则tanα=．4 531.【2018 年高考江苏卷】已知函数y = sin (2x +ϕ)(-π<ϕ<π) 的图象关于直线x =π对称，则ϕ的值2 2 3是．32.【2019 年高考浙江卷】设函数f (x) = sin x, x ∈R .（1）已知θ∈[0, 2π), 函数f (x +θ) 是偶函数，求θ的值；（2）求函数y = [ f (x +π)]2 +[ f (x +π)]2 的值域．12 43.【2018 年高考北京卷文数】已知函数f (x) = sin2x+3 sin x cos x .（1）求f (x) 的最小正周期；（2）若f (x) 在区间[-π, m] 上的最大值为3，求m 的最小值.3 234.【2018 年高考浙江卷】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（-3，-4）．5 5（1）求sin（α+π）的值；5（2）若角β满足sin（α+β）=13，求cosβ的值．35．【2018年高考江苏卷】已知α,β为锐角，tanα=4，cos(α+β)=-5．3 5（1）求cos 2α的值；（2）求tan(α-β) 的值．。
2020年高考文科数学试题(全国3卷试卷版+解析版)
(400 ， 600]
1（优 )
2
16
25
2（良 )
5
10
12
3（轻度污染）
6
7
8
4（中度污染）
7
2
0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3 或 4，则称这天“空气质量不
1．已知集合 A {1 ，2，3，5，7，11} ， B {x | 3 x 15} ，则 A B 中元素的个数为 (
)
A．2
B．3
C．4
D．5
【思路分析】求出集合 A ， B ，由此能求出 A B ，进而能求出 A B 中元素的个数．
【解析】：集合 A {1 ，2，3，5，7，11} ， B {x | 3 x 15) ，
7．设 O 为坐标原点，直线 x 2 与抛物线 C : y2 2 px( p 0) 交于 D ，E 两点，若 OD OE ，则 C 的焦点坐标为 ( )
A． ( 1 ， 0) 4
B． ( 1 ， 0) 2
C． (1, 0)
D． (2, 0)
【思路分析】利用已知条件转化求解 E 、 D 坐标，通过 kOD kOE 1，求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点坐标．
B． 3 3
C． 2 3
D． 2 2
【思路分析】利用两角和差的三角公式，进行转化，利用辅助角公式进行化简即可．
【解析】：法一：（通解）sin sin( ) 1，sin 1 sin 3 cos 1 ，
3
第2020年高考数学(文科)复习 三单元 三角函数、解三角形 作业答案
7.A[解析]∵3sinα+cosα=0,∴tanα=- ,又∵sin2α+cos2α=1,∴ = = = .
8.C[解析]∵f(2018)=asin(2018π+α)+bcos(2018π+β)=asinα+bcosβ=-1,∴f(2019)=asin(2019π+α)+bcos(2019π+β)=-(asinα+bcosβ)=1.
13.20°,140°,260°[解析]∵β=k·360°+60°,k∈Z,∴ =k·120°+20°,k∈Z.又 ∈[0°,360°),∴0°≤k·120°+20°<360°,k∈Z,∴- ≤k< ,k∈Z,∴k=0,1,2.此时 分别为20°,140°,260°.故在[0°,360°)内,与角 的终边相同的角为20°,140°,260°.
16.B[解析]由2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z得kπ- ≤x≤kπ+ ,则f(x)在 - , , , 上单调递增,因此 解得 ≤x0≤ ,故选B.
课时作业(十九)
1.D[解析]由函数图像的平移性质可知,函数g(x)=f x- =sinπ x- =sin πx- =-cosπx.
2.B[解析]由题图可知f =2sin ω- =2,即sin ω- =1,则 ω- = +2kπ,k∈Z,得ω=2+6k,k∈Z,又ω>0,故ω的值可以为2.
3.C[解析]因为 = ,所以应将y=sin 2x- 的图像向左平移 个单位长度,故选C.
4.2+ [解析]由图知A=2, =6-2=4,∴T=8,则ω= = .∵2sin ×2+φ =2,∴ +φ= +2kπ(k∈Z),则φ=2kπ(k∈Z),∴f(x)=2sin x,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(18)=2f(1)+2f(2)+…+2f(8)+f(17)+f(18)=f(17)+f(18)=f(1)+f(2)=2+ .
2020全国卷高考专题：三角函数和解三角形
05三角函数和解三角形1.（2020•北京卷）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）．A . 30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B . 30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C . 60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D . 60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长，利用它们的算术平均数作为2π的近似值可得出结果.【详解】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n︒︒=⨯，每条边长为302sinn︒， 所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n︒， 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ︒，其周长为3012tan n n︒， 303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，则30303sintan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查圆周率π的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.2.（2020•北京卷）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【解析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得()()f x x θ=+2=，即可解出.【详解】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=.故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.3.（2020•北京卷）在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin 2C =, S =选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =, 4S =. 【解析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得sin A ,再根据正弦定理求sin C ,最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得sin ,sin A B ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求sin C ，再根据三角形面积公式求结果. 【详解】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==-，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=（Ⅱ）1cos (0,)sin 7A A A π=-∈∴==，由正弦定理得：7sin sin sin sin 7a c C A C C ==∴=11sin (118)822S ba C ==-⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，sin A B ∴====由正弦定理得：6sin sin a b a A B === （Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos 8161684C A B A B B A =+=+=+=11sin (116)622S ba C ==-⨯=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.4.（2020•全国1卷）设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A . 10π9 B .7π6 C . 4π3D . 3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解. 【详解】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.5.（2020•全国1卷）已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ） AB .23C .13D【答案】A 【解析】用二倍角余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=， 即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin απα∈∴==故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.6.（2020•全国2卷）若α为第四象限角，则（ ） A. cos 2α＞0 B. cos 2α＜0C. sin 2α＞0D. sin 2α＜【答案】D【解析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可. 【详解】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈， 所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α< 故选：D. 方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误； 当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误； 由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.（2020•全国2卷）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sinC. （1）求A ；（2）若BC ＝3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+ 【解析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.8.（2020•全国3卷）在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B ＝（ ） A.19B.13C.12D.23【答案】A【解析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案. 【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅,2224322433AB =+-⨯⨯⨯, 可得29AB = ，即3AB =,由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯,故1cos 9B =.故选：A. .【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 9.（2020•全国3卷）已知2tan θ–tan(θ＋π4)＝7，则tan θ＝（ ） A. –2 B. –1C. 1D. 2【答案】D【解析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. 【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题. 10.（2020•全国3卷）关于函数f （x ）＝1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x ＝2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.11.（2020•江苏卷）已知2sin()4πα+ ＝23，则sin 2α的值是____. 【答案】13【解析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果. 【详解】221sin ())(1sin 2)42παααα+=+=+121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=,故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.12.（2020•江苏卷）将函数y ＝πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】524x π=-【解析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 【详解】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈,当1k =-时524x π=-,故答案为：524x π=-【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.13.（2020•江苏卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知3,45a c B ==︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）sin C =；（2）2tan 11DAC ∠=.【解析】（1）利用余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sin C .（2）根据cos ADC ∠的值，求得sin ADC ∠的值，由（1）求得cos C 的值，从而求得sin ,cos DAC DAC ∠∠的值，进而求得tan DAC ∠的值.【详解】（1）由余弦定理得2222cos 92235b a c ac B =+-=+-⨯=，所以b =由正弦定理得sin sin sin sin c b c B C C B b =⇒==. （2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5ADC ∠==.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 5C == 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅34555525⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos DAC ∠==.所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题. 14.（2020•新全国1山东）下图是函数y ＝ sin(ωx ＋φ)的部分图像，则sin(ωx ＋φ)＝ （ ）A. πsin(3x +）B. πsin(2)3x - C. πcos(26x +）D.5πcos(2)6x -【答案】BC【解析】首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果. 【详解】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A , 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭,故选：B C. 【点睛】已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.15.（2020•新全国1山东）在①ac =②sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin AB ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析【解析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tanA 的值，得到角,,A B C 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.【详解】解法一：由sin 3sin AB 可得：ab=(),0a b m m ==>，则：2222222cos 322c a b ab C m m m m =+-=+-⨯⨯=，即c m =.选择条件①的解析：据此可得：2ac m =⨯==，1m ∴=，此时1c m ==.选择条件②的解析：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-，则：sin A ==，此时：sin 32c A m =⨯=，则：c m ==选择条件③的解析：可得1c mb m==，c b =，与条件=c 矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵(),,6sinA C B A C ππ===-+,∴()6sinA A C A π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭,()1?2sinA A C =+= ，∴sinA =,∴tanA =23A π=,∴6B C π==,若选①，ac =,∵a ==2=c ＝1;若选②，3csinA =,3=,c =;若选③,与条件=c 矛盾. 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．16.（2020•天津卷）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是 A . ① B . ①③C . ②③D . ①②③【答案】B【解析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确；将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象， 故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.17.（2020•天津卷）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．已知5,a b c ===．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【答案】（Ⅰ）4Cπ；（Ⅱ）sin A =；（Ⅲ）sin 2426A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可； （Ⅰ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅰ）先计算出sin ,cos ,A A 进一步求出sin 2,cos 2A A ，再利用两角和的正弦公式计算即可.【详解】（Ⅰ）在ABC中，由5,a b c ===及余弦定理得222cos 22a b c C ab +-===，又因为(0,)C π∈，所以4C π；（Ⅰ）在ABC 中，由4Cπ，a c ==及正弦定理，可得sin sin a C A c=== （Ⅰ）由a c <知角A为锐角，由sin A =cos A= 进而2125sin 22sin cos ,cos22cos 11313A A A A A ===-=，所以125sin(2)sin 2coscos2sin444132132A A A πππ+=+=⨯+⨯=26.【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.17.（2020•浙江卷）.已知tan 2θ=，则cos2θ=________；πtan()4θ-=______． 【答案】 (1).35 (2). 13【解析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos2θ，根据两角差正切公式得tan()4πθ-【详解】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++， tan 1211tan()41tan 123πθθθ---===++，故答案为：31,53-【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.18.（2020•浙江卷）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin b A =．（I ）求角B ；（II ）求cos A ＋cos B ＋cos C 的取值范围．【答案】（I ）3B π=；（II ）32⎤⎥⎝⎦ 【解析】（I ）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B 的大小； （II ）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定∠A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围.【详解】（I ）由2sin b A =结合正弦定理可得：2sin sin ,sin 2B A A B =∴=△ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 32A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，113sin ,2232A π⎛⎤⎛⎫++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.10.（2020•上海卷）已知()=sin (0)f x x ωω>. （1）若f (x )的周期是4π，求ω，并求此时1()2f x =的解集； （2）已知=1ω，2g()()()()2x f x x f x π=+--，0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求g (x )的值域. 【答案】（1）1=2ω，5|=44,33x x x k x k k Z ππππ⎧⎫∈+=+∈⎨⎬⎩⎭或;（2）1-,02⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
专题6 三角函数-2020届全国卷高考数学真题分类汇编含答案
专题6三角函数研究发现，课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和延续性，每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定，掌握了全国卷的各种题型，就把握了全国卷命题的灵魂，基于此，潜心研究全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及高考数学考试说明，精心分类汇总至少最近三年全国卷的所有题型（按年份先理后文排列），对把握全国卷命题的方向，指导我们的高考有效复习，走出题海，快速提升成绩，会起到事半功倍的效果。
三角函数——近3年三角函数考了45道，每年理科1-3道小题，文科2-4道小题，当考3-4道小题时，当年就不在考三角函数大题了，题目多数难度较小，主要考查公式熟练运用、平移、图像性质、化简求值、解三角形等问题（含应用问题），多数属于“中档题”，小心平移（重点，难点，几乎年年考），也会有难题，如2016年全国1卷12题和2018年全国1卷16题的考法是比较难的，所以当了压轴题。
1.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理16））已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是．【答案】见解析。
【考点】利用导数研究函数的最值；三角函数的最值．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值．【分析】由题意可得T=2π是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在[0，2π）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．【解答】解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1），令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=﹣1，可得此时x=，π或；∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，π或和边界点x=0中取到，计算可得f（）=，f（π）=0，f（）=﹣，f（0）=0，∴函数的最小值为﹣，故答案为：．【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题．2.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理9））已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．3.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理12））已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．4.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理6））在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．2【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．5.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理10））若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性．【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，结合已知条件即可求出a的最大值．【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[﹣a，a]是减函数，得，∴．则a的最大值是．故选：A．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．6.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理15））已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=．【答案】见解析。
三角函数—高考真题文科数学分项汇编(解析版)
y
f
(x)的图象．
其中所有正确结论的序号是
A．①
B．①③
【答案】B
C．②③
D．①②③
2
【解析】因为 f (x) sin(x )，所以周期T 2 2，故①正确；
3
f ( ) sin( ) sin5 1 1，故②不正确；
2
23
62
将函数 y sin x的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 y sin(x )的图象，
2
D．2
【答案】C
sin x
【解析】 f (x)
tan x 1 tan2 x
cos 1(sin
x sin xcos x 1sin2x，
x) 2
2
cos x
故所求的最小正周期为T 2π π，故选 C. 2
【名师点睛】函数 y Asin(x ) B(A 0, 0)的性质：
(1) ymax=B+A，ymin B A.
对应的函数为
gx.若
g
π4
2
，则
f
3π 8
A．−2
B． 2
C． 2
D．2
【答案】C
【解析】∵ f (x)为奇函数，∴ f (0) Asin 0,=kπ,k Z,k 0, 0；
∵ f x的最小正周期为π，T
2π
π,∴
2，
∴ g(x) Asin 1x Asin x,
2
又 g(π) 2，∴ A 2，
f x max
3
2
5 2
4，故选
B.
【名师点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质， 在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.
2020衡水名师文科数学专题卷：专题6《三角函数》 Word版含答案
2020衡水名师原创文科数学专题卷专题六 三角函数考点16：三角函数的有关概念、同角三角函数关系式及诱导公式（1-4题，13题，17题） 考点17：三角函数的图象及其变换（5,6题，18题）考点18：三角函数的性质及其应用（7-12题，14-16题，19-22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
）1．考点16 易 若π02α-<<，则点tan ,()cos P αα位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2． 考点16 易已知ABC ∆中, 5tan 12A =-,则cos A 等于( ) A.1213B. 513C. 513- D. 1213- 3． 考点16 易已知()P y 为角β的终边上的一点,且sin 13β=,则y 的值为( ) A.12± B.12 C.12-D.2± 4． 考点16 中难 若点2π2π(sin ,cos )33在角α的终边上，则sin 2α的值为（ ）A. 12-B. C. 12 D. 5． 考点17 中难()cos()f x A x ωϕ=+(0,0,0π)A ωϕ>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG △是边长为2的等边三角形，则(1)f 的值为( )A ．2-B ．2-CD ．6．考点17 中难将函数()sin 2f x x =的图象向左平移π12个单位,得到函数()sin(2)0π2g x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象,则ϕ等于( ) A. π3 B. π4 C. π6 D. π127.考点18 易 关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数②()f x 在区间(,)2ππ单调递增③()f x 在[,]-ππ有4个零点④()f x 的最大值为2其中所有正确结论的编号是( )A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③8．考点18 中难若函数()π)f x x ω=-5πsin 2x ω⎛⎫++ ⎪⎝⎭，且()2f α=，()0f β=，αβ-的最小值是π2，则()f x 的单调递增区间是（ ） A.2ππ2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z)k ∈ B.5ππ2π,2π66k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z)k ∈ C.5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z)k ∈ D.πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z)k ∈ 9． 考点18 中难 设函数()sin()(0)5f x x ωωπ=+>，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点③()f x 在(0,)10π单调递增 ④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭其中所有正确结论的编号是( )A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④10．考点18 中难下列函数中，以π为周期且在区间(0,)2π上单调递增的函数是（ ） A.sin 2x y = B.sin y x = C.tan y x =- D.cos 2y x =-11． 考点18 难已知线段AB 的长为6，以AB 为直径的圆有一内接四边形ABCD ，其中//AB CD ，则这个内接四边形的周长的最大值为（ ）A ．15B ．16C ．17D ．1812． 考点18 难 已知函数π()sin()(0,)2f x x ωϕωϕ=+><的最小正周期为4π，且对R x ∀∈，有π()()3f x f ≤成立，则()f x 的一个对称中心坐标是( ) A ．2π(,0)3- B ．π(,0)3- C ．2π(,0)3 D ．5π(,0)3第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题（每题5分，共20分）13． 考点16 中难已知sin tan 1αα=,则cos α=__________14． 考点18 易 函数π()cos(3)6f x x =+在[0,π]的零点个数为________． 15. 考点18中难函数1πsin [0,]22y x x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭的单调递增区间是__________ 16． 考点18 难已知33()sin 4(,R)f x a x x a b =++∈，且(sin10)5f ︒=，则(cos100)f ︒=__________．三.解答题（共70分）17．（本题满分10分） 考点16易已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点34P -（,）. 1.求sin α，cos α的值； 2.sin(π)cos()πcos()2a αα++--的值.18．（本题满分12分） 考点17 易已知函数()sin()f x A x O ω=+（其中π0,0,||2A O ω>><）的部分图象如图所示．1.求函数()y f x =的解析式；2.求函数()y f x =的单调增区间；3.求方程()0f x =的解集.19.考点18 易已知函数2()sin 2f x x x a =-.1.求函数()f x 的单调递减区间;2.设π[0,]2x ∈时,函数()f x 的最小值是-2,求()f x 的最大值.20.（本题满分12分）考点18 中难已知函数的解析式()()sin ,R f x A x x ωϕ=+∈ (其中π0,0,02A ωϕ>><<)的图象与x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为π2,且图象上一个最低点为2π,23M ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 1.求()f x 的解析式.2.当,,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求()f x 的值域. 21．（本题满分12分） 考点18 中难已知22()(sin cos )2cos f x x x x =++1.求π()6f 的值2.求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的值（2）已知0ω>，函数()212x g x f ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 在区间2,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，求ω的最大值．22．（本题满分12分） 考点18 难已知2()cos 2cos 1f x x x x =+-1.求函数()f x 的最小正周期2.已知π0,,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求()f x 的值域参考答案 1答案及解析：答案：B解析：2答案及解析：答案：D解析：3答案及解析：答案：B解析：0y r r β====>解得12y =.4答案及解析：答案：B解析：由题意，2π2π1sin cos ,13232x y r ====-=，1sin ,cos 22y x αα∴==-==．1sin 22sin cos 2()2ααα∴==⨯-=5答案及解析：答案：D解析：6答案及解析：答案：C解析：由题意知()πsin 2sin 212π6g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 又()()si πn 202g x x ϕϕ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭, ∴π6ϕ=.故选C.7答案及解析：答案：C 解析：画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．8答案及解析：答案：A解析：9答案及解析：答案：D 解析：()sin (0)5f x wx w π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在[0,2]π有且仅有5个零点．02x ∴≤≤π，12555wx w ππ≤+≤π+，1229510w ≤<，④正确．如图213,,x x x 为极大值点为3个，①正确；极小值点为2个或3个．∴②不正确． 当010x π<<时，5105w wx f πππ<+<+π，当2910w =时，2920491051001001002w +=+=<ππππππ． ∴③正确，故选D ．10答案及解析：答案：D解析：11答案及解析：答案：D解析：12答案及解析：答案：A解析：由题意得，函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，所以2π4πω=，解得12ω=，即()1sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得1ππ2π232k ϕ⨯+=+，Z k ∈，又π2ϕ<，所以π3ϕ=，故()1πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1ππ23x k +=，可得2π2π3x k =-，Z k ∈，所以函数()f x 的对称中心是2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选A13答案及解析：答案：12- 解析： 221sin cos αα+=,由1sin tan αα=,得2sin cos αα=,令,0cos x x α=>,则21x x -=,解得12x -=14答案及解析：答案：3个解析：15答案及解析： 答案：π[0,]6解析：16答案及解析：答案：3解析：设33()sin g x a x x =+，则()()4f x g x =+，∴(sin10)(sin10)45f g ︒=︒+=，∴(sin10)1g ︒=，又(cos100)(sin10)(sin10)4(sin10)43f f g g ︒=-︒=-︒+=-︒+=．17答案及解析：答案：1.∵角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点34P -（,），故3,4,||5x y r OP =-====， 43sin ,cos 55y x r r αα∴====- 2.sin(π)cos()sin cos πsin cos()2a a a ααα++--+=- cos 3711sin 44a a =-+=--=- 解析：18答案及解析：答案：1.由图知，1A =，∵周期7ππ4()π123T =-=， ∴2π2πω==， ∴()sin(2)f x x O =+，又∵7π()112f =- ∴7πsin()16O +=-， ∴7π3π2π(Z)62O k k +=+∈， ∴π2π,Z 3O k k =+∈, ∵π||2O <, ∴π3O = ∴π()sin(2)3f x x =+． 2.πππ2π22π,Z 232k x k k --≤+≤-∈，得5ππ[π,π],Z 1212k k k --+∈， ∴函数()y f x =的单调增区间为5ππ[π,π],Z 1212k k k --+∈． 3.∵()0f x =， ∴π2,Z 3x k k +=∈， ∴π1π,(Z)62x k k =-+∈ ， ∴方程()0f x =的解集为π1{|π,Z}62x x k k =-+∈． 解析：19答案及解析：答案：1.π()sin 2cos 2)sin 222sin(2)3f x x x a x x a x a =+=+=-+, 令ππ3π2π22π232k x k +≤-≤-,得5π11ππ+π+,Z 1212k x k k ≤≤∈, ()f x ∴的单调递减区间5π11π[π,π](Z)1212k k k ++∈.2.π02x ≤≤,ππ2ππ2,sin(2)13333x x ∴≤-≤≤-≤,min max ();()2f x a f x a ∴==+,令2a =-,得2a =,所以max ()22f x =解析：20答案及解析：答案：1.由最低点为2π(,2)3M -得2A =. 由轴上相邻的两个交点之间的距离为π2得π22T =, 即2ππ,2T Tω=∴== 由点M 在图象上,2π2sin(2)23ϕ⨯+=-即4πsin()13ϕ+=- 故4π3π2π,Z 32k k ϕ+=+∈,π2π6k ϕ∴=+. 又ππ(0,),26ϕϕ∈∴= 故π()2sin(2)6f x x =+ 2.ππππ7π[,],2[,]122636x x ∈∴+∈ 当ππ262x +=即π6x =时,()f x 取得最大值2; 当π7π266x +=即π2x =时,()f x 取得最小值, 故()f x 的值域为[1,2]-解析：21答案及解析：答案：1.22ππππ()(sin cos )2cos 6666f =++2215(222=++⨯=+2.2π()1sin 22cos 11sin 2cos 22)24f x x x x x x =++-+=++=++ 由ππ22π42x k +=-+可得3ππ8x k =-+，故函数的最小值为2-， 当3ππ,(Z)8x k k =-+∈时取得最小值. 解析：22答案及解析：答案：1.2()cos 2cos 12cos 22sin 6π2f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭， 令ππ3π2π22π,Z,262k x k k +≤+≤+∈ 解得π2πππ,Z,63k x k k +≤≤+∈ 可得函数()y f x =的单调递减区间为：π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ 2.π02x ≤≤ 02πx ∴≤≤ππ7π2666x ∴≤+≤ π1sin(2)[,1]62x ∴+∈- π2sin(2)[1,2]6x ∴+∈- ()f x ∴的值域为[1,2].-解析：。
2020年全国各地高考数学试题分类汇编3 三角函数 文
2020年全国各地高考文科数学试题分类汇编3：三角函数一、选择题1 ．（2020年高考大纲卷（文））已知a 是第二象限角,5sin ,cos 13a a ==则 （ ）A ．1213-B ．513-C ．513D ．1213【答案】A2 ．（2020年高考课标Ⅰ卷（文））函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为【答案】C ;3 ．（2020年高考四川卷（文））函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是（ ）A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π【答案】A4 ．（2020年高考湖南（文））在锐角∆ABC 中,角A,B 所对的边长分别为a,b. 若2sinB=3b,则角A 等于______（ ）A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π【答案】A5 ．（2020年高考福建卷（文））将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象,若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ,则ϕ的值可以是 （ ） A ．35π B ．65π C ．2πD ．6π【答案】B 6 ．（2020年高考陕西卷（文））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为 （ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 【答案】A 7 ．（2020年高考辽宁卷（文））在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】A8 ．（2020年高考课标Ⅱ卷（文））△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC 的面积为 （ ）A ．2+2B ．+1C ．2-2D ．-1【答案】B9 ．（2020年高考江西卷（文））3sincos 23αα==若，则 （ ）A ．23-B ．13-C ．13 D ．23【答案】C10．（2020年高考山东卷（文））ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、,若2B A =,1a =,3b =,则c = （ ）A ．23B ．2C ．2D ．1【答案】B11．（2020年高考课标Ⅱ卷（文））已知sin2α=,则cos 2(α+)=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A12．（2020年高考广东卷（文））已知51sin()25πα+=,那么cos α= （ ）A ．25-B ．15-C ．15D ．25【答案】C13．（2020年高考湖北卷（文））将函数3cos sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是（ ）A ．π12B ．π6C ．π3 D ．5π6【答案】B 14．（2020年高考大纲卷（文））若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则 （ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B15．（2020年高考天津卷（文））函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．1-B ．2C 2D ．0【答案】B16．（2020年高考安徽（文））设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C = （ ）A ．3πB ．23πC ．34π D ．56π 【答案】B17．（2020年高考课标Ⅰ卷（文））已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,223cos cos 20A A +=,7a =,6c =,则b =（ ）A ．10B ．9C ．8D ．5【答案】D18．（2020年高考浙江卷（文））函数f(x)=sin xcos x+32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是 （ ）A ．π,1B ．π,2C ．2π,1D ．2π,2【答案】A19．（2020年高考北京卷（文））在△ABC 中,3,5a b ==,1sin 3A =,则sin B = （ ）A ．15B ．59C ．53D ．1【答案】B20．（2020年高考山东卷（文））函数x x x y sin cos +=的图象大致为【答案】D二、填空题21．（2020年高考四川卷（文））设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是________.【答案】322．（2020年高考课标Ⅱ卷（文））函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤<的图像向右平移2π个单位后,与函数sin(2)3y x π=+的图像重合,则||ϕ=___________.【答案】56π23．（2020年上海高考数学试题（文科））已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ,b ,c .若2220a ab b c ++-=,则角C 的大小是________(结果用反三角函数值表示).【答案】23π24．（2020年上海高考数学试题（文科））若1cos cos sin sin 3x y x y +=,则()cos 22x y -=________. 【答案】79-25．（2020年高考课标Ⅰ卷（文））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______.【答案】255-;26．（2020年高考江西卷（文））设f(x)=sin3x+cos3x,若对任意实数x 都有|f(x)|≤a,则实数a 的取值范围是_____._____【答案】2a ≥ 三、解答题27．（2020年高考大纲卷（文））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(I)求B(II)若31sin sin A C -=,求C . 【答案】(Ⅰ)因为()()a b c a b c ac ++-+=, 所以222a cb ac +-=-.由余弦定理得,2221cos 22a cb B ac +-==-, 因此,0120B =.(Ⅱ)由(Ⅰ)知060A C +=,所以cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+cos()2sin sin A C A C =++ 131224-=+⨯ 3=, 故030A C -=或030A C -=-, 因此,015C =或045C =.28．（2020年高考湖南（文））已知函数f(x)=(1) 求2()3f π的值; (2) 求使 1()4f x <成立的x 的取值集合【答案】解: (1) 41)212cos 232(sin 21)3sin sin 3cos(cos cos )(+⋅+⋅=⋅+⋅⋅=x x x x x x f ππ41)32(.414123sin 21)32(41)62sin(21-==-=+=⇒++=ππππf f x 所以. (2)由(1)知,)2,2()62(0)62sin(4141)62sin(21)(f ππππππk k x x x x -∈+⇒<+⇒<++=.),12,127(.),12,127(Z k k k Z k k k x ∈--∈--∈⇒ππππππππ所以不等式的解集是：29．（2020年高考天津卷（文））在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =,a = 3, 2cos 3B =.(Ⅰ) 求b 的值; (Ⅱ) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】30．（2020年高考广东卷（文））已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值; (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【答案】(1)133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭Q ,4sin 5θ==-,1=2cos 2cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.31．（2020年高考山东卷（文））设函数23()3sin sin cos (0)2f x x x x ωωωω=-->,且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π,(Ⅰ)求ω的值 (Ⅱ)求()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值 【答案】32．（2020年高考浙江卷（文））在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2asinB=3b .(Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ) 若a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:2sin sin 3sin A B B =,且3(0,)sin 0sin 22B B A π∈∴≠∴=,且(0,)23A A ππ∈∴=;(Ⅱ)由(1)知1cos 2A =,由已知得到: 222128362()3366433623b c bc b c bc bc bc =+-⨯⇒+-=⇒-=⇒=, 所以1283732323ABCS =⨯⨯=V ; 33．（2020年高考福建卷（文））如图,在等腰直角三角形OPQ ∆中,90OPQ ∠=o,22OP =,点M 在线段PQ 上.(1)若3OM =,求PM 的长;(2)若点N 在线段MQ 上,且30MON ∠=o ,问:当POM ∠取何值时,OMN ∆的面积最小?并求出面积的最小值.【答案】解:(Ⅰ)在OMP ∆中,45OPM ∠=︒,5OM =22OP =,由余弦定理得,2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒, 得2430MP MP -+=,解得1MP =或3MP =.(Ⅱ)设POM α∠=,060α︒≤≤︒, 在OMP ∆中,由正弦定理,得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠, 所以()sin 45sin 45OP OM α︒=︒+,同理()sin 45sin 75OP ON α︒=︒+故1sin 2OMN S OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠()()221sin 454sin 45sin 75OP αα︒=⨯︒+︒+ ()()1sin 45sin 4530αα=︒+︒++︒()()()131sin 45sin 45cos 4522ααα=⎡⎤︒+︒++︒+⎢⎥()()()2131sin 45sin 45cos 4522ααα=︒++︒+︒+()()1311cos 902sin 90244αα=-︒++︒+⎡⎤⎣⎦1331sin 2cos 2444αα=++()131sin 23042α=++︒因为060α︒≤≤︒,30230150α︒≤+︒≤︒,所以当30α=︒时,()sin 230α+︒的最大值为1,此时OMN ∆的面积取到最小值.即230POM ∠=︒时,OMN ∆的面积的最小值为843-.34．（2020年高考陕西卷（文））已知向量1(cos ,),(3sin ,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】(Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x . 最小正周期ππ==22T . 所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π.(Ⅱ) 上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈.]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-.35．（2020年高考重庆卷（文））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问9分)在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且2223a b c ab =++. (Ⅰ)求A ; (Ⅱ)设3a =,S 为△ABC 的面积,求3cos cos S B C +的最大值,并指出此时B 的值.【答案】36．（2020年高考四川卷（文））在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3cos()cos sin()sin()5A B B A B A c ---+=-.(Ⅰ)求sin A 的值; (Ⅱ)若42a =5b =,求向量BA u u u r 在BC uuur 方向上的投影.【答案】解:(Ⅰ)由3cos()cos sin()sin()5A B B A B A c ---+=- 得53sin )sin(cos )cos(-=---B B A B B A ,则 53)cos(-=+-B B A ,即 53cos -=A又π<<A 0,则 54sin =A(Ⅱ)由正弦定理,有BbA a sin sin =,所以22sin sin ==a A b B , 由题知b a >,则 B A >,故4π=B .根据余弦定理,有 )53(525)24(222-⨯⨯-+=c c , 解得 1=c 或 7-=c (负值舍去),向量BA u u u r 在BC uuur 方向上的投影为=B BA cos 22 37．（2020年高考江西卷（文））在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.(1)求证:a,b,c 成等差数列;(2) 若C=23π,求ab的值. 【答案】解:(1)由已知得sinAsinB+sinBsinC+1-2sin 2B=1.故sinAsinB+sinBsinC=2sin 2B 因为sinB 不为0,所以sinA+sinC=2sinB 再由正弦定理得a+c=2b,所以a,b,c 成等差数列 (2)由余弦定理知2222cos c a b ac C =+-得2222(2)2cos3b a a b ac π-=+-化简得35a b = 38．（2020年高考湖北卷（文））在△ABC 中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c . 已知cos23cos()1A B C -+=.(Ⅰ)求角A 的大小; (Ⅱ)若△ABC 的面积53S =,5b =,求sin sin B C 的值.【答案】(Ⅰ)由cos23cos()1A B C -+=,得22cos 3cos 20A A +-=,即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=,解得1cos 2A = 或cos 2A =-(舍去).因为0πA <<,所以π3A =. (Ⅱ)由1133sin 53,2224S bc A bc bc ==⋅==得20bc =. 又5b =,知4c =.由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故21a =.又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=.39．（2020年高考安徽（文））设函数()sin sin()3f x x x π=++.(Ⅰ)求()f x 的最小值,并求使()f x 取得最小值的x 的集合;(Ⅱ)不画图,说明函数()y f x =的图像可由sin y x =的图象经过怎样的变化得到.【答案】解:(1)3sincos 3cossin sin )(ππx x x x f ++=x x x x x cos 23sin 23cos 23sin 21sin +=++=)6sin(3)6sin()23()23(22ππ+=++=x x当1)6sin(-=+πx 时,3)(min -=x f ,此时)(,234,2236Z k k x k x ∈+=∴+=+πππππ所以,)(x f 的最小值为3-,此时x 的集合},234|{Z k k x x ∈+=ππ.(2)x y sin =横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍,得x y sin 3=; 然后x y sin 3=向左平移6π个单位,得)6sin(3)(π+=x x f 40．（2020年高考北京卷（文））已知函数21(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（）. (I)求f x （）的最小正周期及最大值;(II)若(,)2παπ∈,且f α=（）求α的值. 【答案】解:(I)因为21(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（）=1cos 2sin 2cos 42x x x +=1(sin 4cos 4)2x x +)4x π+,所以()f x 的最小正周期为2π,.(II)因为f α=（）所以sin(4)14πα+=. 因为(,)2παπ∈, 所以9174(,)444πππα+∈,所以5442ππα+=,故916πα=. 41．（2020年上海高考数学试题（文科））本题共有2个小题.第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>. (1)令1ω=,判断函数()()()2F x f x f x π=++的奇偶性并说明理由;(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再往上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像.对任意的a R ∈,求()y g x =在区间[,10]a a π+上零点个数的所有可能值.【答案】法一:解:(1)()2sin 2sin()2sin 2cos )24F x x x x x x ππ=++=+=+ ()F x 是非奇函数非偶函数.∵()0,()44F F ππ-==∴()(),()()4444F F F F ππππ-≠-≠-∴函数()()()2F x f x f x π=++是既不是奇函数也不是偶函数.(2)2ω=时,()2sin 2f x x =,()2sin 2()12sin(2)163g x x x ππ=++=++, 其最小正周期T π= 由2sin(2)103x π++=,得1sin(2)32x π+=-, ∴2(1),36k x k k Z πππ+=--⋅∈,即(1),2126k k x k Z πππ=--⋅-∈ 区间[],10a a π+的长度为10个周期,若零点不在区间的端点,则每个周期有2个零点;若零点在区间的端点,则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点,其它区间仍是2个零点; 故当(1),2126k k a k Z πππ=--⋅-∈时,21个,否则20个. 法二:42．（2020年高考辽宁卷（文））设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x =g 求的最大值 【答案】。
2020高考全国试题分类解析(三角函数部分)
选择题1.（北京卷）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是 D （A ）sin(α+β)>sin α+sin β （B ）sin(α+β)>cos α+cos β （C ）cos(α+β)<sinα＋sinβ （D ）cos(α+β)<cosα＋cosβ2.（北京卷）函数f (x )=cos xA （A ）在[0,),(,]22πππ上递增，在33[,),(,2]22ππππ上递减（B ）在3[0,),[,)22πππ上递增，在3(,],(,2]22ππππ上递减（C ）在3(,],(,2]22ππππ上递增，在3[0,),[,)22πππ上递减（D ）在33[,),(,2]22ππππ上递增，在[0,),(,]22πππ上递减3.（全国卷Ⅰ）当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为D（A ）2 （B ）32 （C ）4（D ）344.（全国卷Ⅰ）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan =+，给出以下四个论断：B① 1cot tan =⋅B A② 2sin sin 0≤+<B A ③ 1cos sin 22=+B A④ C B A 222sin cos cos =+其中正确的是 （A ）①③（B ）②④ （C ）①④（D ）②③5.（全国卷Ⅱ）函数f (x ) = | sin x +cos x |的最小正周期是 C (A) 4π (B)2π（C ）π （D ）2π6.（全国卷Ⅱ）已知函数y =tan x ω 在（-2π，2π）内是减函数，则 B（A ）0 < ω ≤ 1 （B ）-1 ≤ ω < 0 （C ）ω≥ 1 （D ）ω≤ -17.（全国卷Ⅱ）锐角三角形的内角A 、B 满足tan A - A2sin 1= tan B,则有（A ）sin 2A –cos B = 0 (B)sin 2A + cos B = 0 (C)sin 2A – sin B = 0 (D) sin 2A+ sin B = 0 8.（全国卷Ⅲ）已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 D （A ）第一或第二象限 （B ）第二或第三象限（C ）第一或第三象限 （D ）第二或第四象限9.（全国卷Ⅲ）设02x π≤≤,sin cos x x =-,则 C(A) 0x π≤≤ (B)744x ππ≤≤(C) 544x ππ≤≤ (D) 322x ππ≤≤10.（全国卷Ⅲ）22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+ααααB (A) tan α (B) tan 2α (C) 1(D)1211.(浙江卷)已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( A )(A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋1 12．(浙江卷)函数y ＝sin(2x ＋6π)的最小正周期是( B )(A)2π(B) π (C) 2π (D)4π 13．（江西卷）已知==ααcos ,32tan 则（ B ） A ．54B ．－54C ．154 D ．－5314.（江西卷）设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为（ A ）A ．周期函数，最小正周期为32π B ．周期函数，最小正周期为3πC ．周期函数，数小正周期为π2D ．非周期函数15.（江西卷）在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，=θ（ D ） A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π16、（江苏卷）若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos =（ A ） A ．97- B ．31- C ．31 D ．97 17．（湖北卷）若∈<<=+απαααα则),20(tan cos sin（ C ）A ．)6,0(πB ．)4,6(ππC ．)3,4(ππD ．)2,3(ππ18．（湖南卷）tan600°的值是（ D ） A ．33-B ．33C ．3-D ．319．（重庆卷）=+-)12sin 12)(cos 12sin12(cos ππππ（ D ）A ．23-B ．21- C ．21D ．23 20．（福建卷）函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则 （ C ）A ．4,2πϕπω== B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==21．（福建卷）函数x y 2cos =在下列哪个区间上是减函数（ C ）A ．]4,4[ππ-B ．]43,4[ππ C ．]2,0[πD ．],2[ππ22.（山东卷）已知函数)12cos()12sin(π-π-=x x y ，则下列判断正确的是（ B ）（A ）此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,12(π（B ）此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是)0,12(π（C ）此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,6(π（D ）此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是)0,6(π23（山东卷）函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0,01),sin()(12x e x x x f x ，若2)()1(=+a f f ，则a 的所有可能值为（ B ） （A ）1 （B ）22,1-（C ）22- （D ）22,1 24.（天津卷）要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（C ）(A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度(B)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度(D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度25（天津卷）函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（ A ）（A ）)48sin(4π+π-=x y （B ）)48sin(4π-π=x y（C ）)48sin(4π-π-=x y （D ）)48sin(4π+π=x y填空题：1.（北京卷）已知tan 2α=2，则tanα的值为－34，tan ()4πα+的值为－712.（全国卷Ⅱ）设a 为第四象限的角，若513sin 3sin =a a ，则tan 2a=___43-___________.3.（上海卷）函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________。
2020年高考数学 试题解析分项版之专题05 三角函数--教师版 文
2020年高考试题解析数学（文科）分项版之专题05 三角函数--教师版一、选择题:1.(2020年高考山东卷文科5)设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是(A)p 为真 (B)q ⌝为假 (C)p q ∧为假 (D)p q ∨为真2.(2020年高考山东卷文科8)函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为(A)23- (B)0 (C)－1 (D)13--3.（2020年高考辽宁卷文科6）已知sin cos 2αα-=α∈(0，π)，则sin 2α=(A) -1 (B) 22- (C) 22(D) 1 【答案】A【解析】2sin cos 2,(sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-Q 故选A【考点定位】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题.4. (2020年高考广东卷文科6)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32AC ＝A. 4333 D.325. （2020年高考新课标全国卷文科9）已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ= （A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π46. (2020年高考浙江卷文科6)把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】由题意，y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即解析式为y=cosx+1，向左平移一个单位为y=cos （x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos （x-1)，利用特殊点,02π⎛⎫⎪⎝⎭变为1,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，选A. 【考点定位】本题主要考查了三角函数中图像的性质，具体考查了在x 轴上的伸缩变换，在x 轴、y 轴上的平移变化，利用特殊点法判断图像的而变换。
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原创文科数学专题卷 专题 三角函数考点15：三角函数的有关概念、同角三角函数关系式及诱导公式（1-4题，13题，17题） 考点16：三角函数的图象及其变换（5,6题，18题）考点17：三角函数的性质及其应用（7-12题，14-16题，19-22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
） 1．【来源】2017届山西运城市高三上学期期中 考点15 易已知3cos()25πϕ+=，且||2πϕ<，则tan ϕ为（ ） A ．43- B ．43 C ．34- D ．342．【来源】2016-2017学年广东清远三中高二月考 考点15 易 设3tan =α，则=++--+-)2cos()2sin()cos()sin(απαπαππα（ ）.A ．3B ．2C ．1D ．﹣1 3．【来源】2017届山东临沂市高三理上学期期中 考点15 易 若点22sin,cos 33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在角α的终边上，则sin α的值为 A. 12-B. 2-12D. 24．【来源】2017届山东德州市高三上学期期中 考点15 中难已知sin cos x x +=()0 x π∈，，则tan x =（ ）A.5．【来源】2017届湖南五市十校高三理12月联考 考点16 中难已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，则201616n n f π=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑（ ）A ．-1B ．0C ．12D ．1 6．【2017课标1，理9】 考点16 中难 已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 27.【2017课标3，理6】 考点17 易 设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减 8．【来源】2016-2017学年广东清远三中高二文上学期月考 考点17 中难定义行列式运算=a 1a 4﹣a 2a 3．将函数f （x ）=的图象向左平移n （n ＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为（）. A ．B ．C ．D ．9．【来源】2017届河南豫北名校联盟高三文上精英对抗赛 考点17 中难已知函数()sin f x x x =+，当[0,]x π∈时，()1f x ≥的概率为（ ） A.13 B.14 C.15 D.1210．【2017天津，理7】 考点17 中难设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A 23ω=，12ϕπ= B 23ω=，12ϕ11π=- C 13ω=，24ϕ11π=- D 13ω=，24ϕ7π= 11．【来源】2017届福建厦门一中高三理上期中 考点17 难若函数()1sin 2cos 2f x x a x =+在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A.(],1-∞- B.[)1,-+∞ C.(],1-∞ D.[)1,+∞12．【来源】2017届重庆市一中高三上学期期中 考点17 难 已知)2,0(π∈x ，则函数x x x x x f cot cos tan sin )(+=的值域为（ ）A ．)2,1[B ．),2[+∞C ．]2,1(D ．),1[+∞ 第Ⅱ卷（非选择题） 二.填空题（每题5分，共20分）13．【2017北京，理12】 考点15 中难在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称. 若1sin 3α=，cos()αβ-=___________. 14．【2017课标II ，理14】 考点17 易 函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 。
15.【来源】【百强校】2015-2016福建师大附中高一下期中考数学（实验班）试卷 考点17中难已知函数sin()4y x πω=+（0ω>）是区间3[,]4ππ上的增函数，则ω的取值范围是 . 16．【来源】2016届山西太原市高三第二次模拟考试 考点17 难已知关于x 的函数222sin()4()2cos tx x xf x x xπ+++=+的最大值为a ，最小值为b ，若2a b +=，则实数t 的值为_________.三.解答题（共70分） 17．（本题满分10分）【来源】2017届江苏南京市高三上学期学情调研 考点15易 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点,A B ，若点A 的横坐标是31010，点B 的纵坐标是255.（1）求cos()αβ-的值； （2）求αβ+的值.18．（本题满分12分）【来源】2017届安徽六安一中高三上学期月考 考点16 易已知向量()1cos 3sin cos 22a x b x x x R ⎛⎫=-=∈ ⎪⎝⎭r r，，，，，设函数()f x a b =r r g .（1）求()f x 的表达式并完成下面的表格和画出()f x 在[]0π，范围内的大致图象；0 2π π32πx0 π()f x（2）若方程()0f x m -=在[]0π，上有两个根α、β，求m 的取值范围及αβ+的值． 19.【2017山东，理16】考点17 易 设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=.（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.20.（本题满分12分）【来源】2017届江西省高三第一次联考考点17 中难已知函数()21sin 2cos ,2f x m x x x R =--∈，若tan α=()326f α=-． （1）求实数m 的值及函数()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在[]0,π上的递增区间．21．（本题满分12分）【来源】2017届湖北省百所重点校高三联合考试 考点17 中难已知函数()23cos cos 2f x x x x =++． （1）当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()y f x =的值域； （2）已知0ω>，函数()212x g x f ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，若函数()g x 在区间2,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，求ω的最大值．22．（本题满分12分）【来源】2017届湖北襄阳五中高三上学期开学考试 考点17 难 函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><在它的某一个周期内的单调减区间是511[,]1212ππ． （1）求()f x 的解析式；（2）将()y f x =的图象先向右平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为()g x ，若对于任意的3[,]88x ππ∈，不等式|()|1g x m -<恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．C【解析】333cos(),sin ,sin 2555πϕϕϕ+=∴-==-Q ，又||2πϕ<，则43cos sin tan 54cos -==∴=ϕϕϕϕ 2．B 【解析】sin()cos()sin cos tan 1312cos sin 1tan 13sin()cos()22αππααααππααααα-+-------====----++3．A【解析】2132cos 32cos 32sin 32cossin 22-==+==ππππαry，故选A.4．D【解析】因为()0 x π∈，，且0sin cos 1x x <+=<，所以3 24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，由sin cos x x +=2sin cos x x =，即42sin 22,33x x x ππ===，tan x = D.5．B【解析】由题意得25244126T πππωω==-⇒=，sin()1,326πππϕϕϕ+=<⇒=，因为sin 636n n f πππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，周期为6，一个周期的和为零，所以201616n n f π=⎛⎫=⎪⎝⎭∑0，选B.6.【答案】D【解析】)62cos()2322cos()322sin(:2ππππ+=-+=+=x x x y C ，则把1C 上各点的横坐标缩短到原来的21倍得到x y 2cos =，再将所得曲线向左平移12π个单位得到2C . 7.【答案】D 【解析】8．B【解析】由题意可知()3cos sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭，向左平移n 个单位后得2cos 6y x n π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数566n k n πππ∴+=∴=9．D【解析】由()sin 3cos 2sin()13f x x x x π=+=+≥及[0,]x π∈得[0,]2x π∈，所以所求概率为122P ππ==，故选D.15．【答案】A11．A【解析】∵()1sin 2cos 2f x x a x =+在区间()0,π上是增函数，∴()0sin 2cos >-='x a x x f ，∴0sin sin 212>--x a x ，即0122>+--at t ，(]1,0∈t ，∴tt a 12+-<，令()tt t g 12+-=，则()0122<--='t t g ，∴()t g 在(]1,0∈t 递减，∴()11-=<g a ，故答案为：1-<a .故选：A.12．B【解析】Θx x x x x f cot cos tan sin )(+=x x x x x x x x x x x x x x x x x f cos sin ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin cos sin sin cos cos sin )(23322-++=+=+=∴设21cos sin )4sin(2cos sin 2-=⇒+=+=t x x x x x t π)2,0(π∈x Θ]2,1(]1,22()4sin()43,4(4∈⇒∈+⇒∈+∴t x x ππππ ]2,1(,1321)213()(23222∈--=--⨯-=∴t t t t t t t t t f 0)1(3)(224<---='∴t t t f )(t f ∴在区间]21，（上单调递减，21)2()2(23)2()(23min =--==f x f 13．【答案】79- 【解析】14．【答案】1 【解析】15.159(0,][,]434U 【解析】由题设因0>ω且ππ≤≤x 43,则44434πωππωωππ+≤+≤+x ,结合正弦函数的图象可知240ππωπ≤+<或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥+ππωππωππ25423434,解之得410≤<ω或4935≤≤ω.故应填159(0,][,]434U . 16．1【解析】函数2222sin()4()2cos tx t x x f x x xπ++=+x x x x x t tx cos 2cos 22sin 222222++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++= ()()xx xx t t x x x x t x x t cos 2sin cos 2sin cos 2222+++=++++=令()xx xx t x g cos 2sin 2++=，则()xx xx t x g cos 2sin 2++-=-，设()x g 的最大值为M ，最小值为N ，则0=+N M ，即有a M t =+，b N t =+，222==++=+t N M t b a ，解得1=t ．故答案为：1． 17．（1）－210（2）34π【解析】因为锐角α的终边与单位圆交于A ，且点A 的横坐标是310， 所以，由任意角的三角函数的定义可知，cos α＝310，从而sin＝． ………………………………(2分)因为钝角β的终边与单位圆交于点B ，且点B的纵坐标是，所以sinβ＝5，从而cos5． ………………………………(4分)（1）cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝10×(－5)＋10×5＝－10． ………………………………(6分)（2）sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×(－)＋×＝2． ………………………………(8分)因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈(2π，32π)，所以α＋β＝34π． ………………………………(10分)18．（1）)62sin()(π-=x x f ，表格和图象见解析；（2）)1,21()21,1(-⋃--∈m ，=+βα32π或35π． 【解析】（1）()11cos cos 22cos 2sin 2226f x a b x x x x x x π⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭r r g ， (3)分……………………………………(9分)（2）由图可知111122m ⎛⎫⎛⎫∈--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，，， 4212αβπ+=或1012π， ∴23αβπ+=或53π． ………………………………(12分) 19.【答案】（Ⅰ）2ω=.（Ⅱ）得最小值32-. 【解析】（Ⅰ）因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-， 所以31()cos cos 2f x x x x ωωω=-- 33cos 2x x ωω=- 133(sin cos )22x x ωω=- 3(sin )3x πω=-………………………………(4分)由题设知()06f π=， 所以63k ωπππ-=，k Z ∈.故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<，所以2ω=.………………………………(5分)………………………………(12分)20．（1） 32m =,T π=； （2） ()f x 在[]0,π上的递增区间是50,,,36πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 【解析】（1） ()22212tan 11tan 4311sin 2cos 211121tan 21tan 26m f m m ααααααα--=--=--=-++g g ， 又∵()326f α=-，4311312626m --=-，即3m = ………………………………(4分)故()312cos 21sin 21226f x x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期22T ππ== ………………………………(6分) （2） ()f x 的递增区间是222262k x k πππππ-≤-≤+， ∴,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以在[]0,π上的递增区间是50,,,36πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ………………………………(12分)21．（1）3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1. 【解析】（1）()31cos 232sin 22226x f x x x π+⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭．……………………(2分) ∵,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， ∴函数()y f x =的值域为3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ………………………………(4分) （2）()sin 22123x g x f x ωππω⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当22,,3633363x x πππωππωππω⎡⎤⎡⎤∈-+∈-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦g ，………………………………(6分) ∵()g x 在2,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且0ω>， ∴2,2,2,336322k k k Z ωππωππππππ⎡⎤⎡⎤-++⊆-++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 即223322632k k ωππππωππππ⎧-+≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，化简得534112k k ωω⎧≤-⎪⎨⎪≤+⎩，………………………………(10分) ∵0ω>，∴15,1212k k Z -<<∈，∴0k =，解得1ω≤，因此，ω的最大值为1 22．（1）()sin(2)3f x x π=-；（2）102m <<． 【解析】（1）由条件，115212122T πππ=-=，∴2ππω=，∴2ω=，又5sin(2)112πϕ⨯+=，∴3πϕ=-，∴()f x 的解析式为()sin(2)3f x x π=-．…………………………(4分) （2）将()y f x =的图象先向右平移6π个单位，得2sin(2)3y x π=-， ∴2()sin(4)3g x x π=-，………………………………(6分) 而3[,]88x ππ∈，∴254636x πππ-≤-≤，∴函数()g x 在3[,]88ππ上的最大值为1，此时2432x ππ-=，∴724x π=；最小值为12-，此时2436x ππ-=-，∴8x π=． 3[,]88x ππ∈时，不等式|()|1g x m -<恒成立，即1()1m g x m -<<+恒成立， 即max min ()1()1g x m g x m <+⎧⎨>-⎩，∴11112m m <+⎧⎪⎨->-⎪⎩，∴102m <<． (12)。