《流形与几何》测验一 - MathInstitute
瑟斯顿 三维流形与几何拓扑 -回复
瑟斯顿三维流形与几何拓扑-回复什么是瑟斯顿（Cech）三维流形与几何拓扑？如何定义它们？这些概念与几何学和拓扑学的联系是什么？在本文中，我们将一步一步回答这些问题。
首先，让我们来了解什么是瑟斯顿三维流形。
瑟斯顿三维流形是指具有一些特定性质的三维空间。
它是几何学和拓扑学中的一个重要概念，因为它能够帮助我们理解和研究空间的结构与性质。
在几何学中，我们通常关注的是空间的度量性质，例如距离和角度。
而拓扑学则更关注空间的形状和连通性。
瑟斯顿三维流形处于这两者的交叉点上，它既有几何学的度量性质，又有拓扑学的形状和连通性。
那么，如何定义瑟斯顿三维流形呢？在数学上，我们可以通过瑟斯顿流形的三个条件来定义它。
首先，瑟斯顿三维流形是一个拓扑空间，它是一个具有开覆盖的空间，其中每个开集可以由一个有限个开集覆盖。
其次，瑟斯顿三维流形是局部欧几里德的，也就是说，每个点都有一个邻域与欧几里德空间同胚。
最后，瑟斯顿三维流形是可分离的，也就是说，存在一个可数的稠密子集。
瑟斯顿三维流形的定义可能有些复杂，但它确实是一个重要的数学概念。
它具有广泛的应用，例如在物理学中描述时空的结构，以及在计算机图形学和计算机视觉中进行形状分析和建模。
接下来，让我们了解一下几何拓扑学。
几何拓扑学是拓扑学的一个分支，它研究的是在不考虑度量性质的情况下，空间的形状和连续性的性质。
几何拓扑学关注的是空间的内禀性质，例如空间的维度、曲率和纽结。
它与其他分支的拓扑学相比，更强调空间的几何性质。
在几何拓扑学中，瑟斯顿三维流形是一个重要的研究对象。
它在研究三维几何形状和连续性方面提供了一个框架。
瑟斯顿三维流形的研究涉及到许多重要的问题和概念，例如拓扑等价性、壳结构、结点结构等。
最后，让我们来看一下瑟斯顿三维流形与几何学和拓扑学的联系。
几何学和拓扑学是数学中密切相关的两个分支。
几何学研究空间的度量性质和形状，而拓扑学研究空间的连通性和变形性质。
瑟斯顿三维流形作为几何学和拓扑学的交叉领域，将这两个分支相互结合起来。
大学数学一年级下学期单元测试题全册
大学数学一年级下学期单元测试题全册第一章流形简介1. 下列命题中正确的是：(A) 一个流形一定是拓扑空间；(B) 一个流形一定是度量空间；(C) 具有欧氏空间的所有性质的空间不是流形；(D) 平凡空间是流形。
2. 判断以下说法是否正确：(A) 同胚不一定相似；(B) 积流形上的切空间同直积切空间的直和；(C) 边界上的点不是流形内点。
3. 证明：球面$\mathbb{S}^{2}$是拓扑意义下的一维流形。
第二章相对论简介4. 判断以下说法是否正确：(A) 只有除质量外的量才能不变；(B) 相对论中能量和质量守恒而动量不守恒；(C) 任何速度均不可能超过光速；(D) 在相对论中时间和空间是相对的。
5. 试证明相对论中的能量-动量关系式。
6. 阐述闵可夫斯基时空中的四矢量概念。
第三章微积分基础7. 下列极限中，不收敛的是：(A) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$；(B) $\lim_{n \to \infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!}$；(C) $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}$；(D) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$。
8. 求下列定积分：(A) $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx$；(B) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sqrt{\sin x}}$；(C) $\iiint_{\Omega} xyz dV$，其中$\Omega$为单位球体。
9. 求曲线$\begin{cases}x = t - \sin t, \\y = 1 - \cos t\end{cases}$从$t=0$到$t=2\pi$的长度。
第四章线性代数简介10. 判断以下说法是否正确：(A) 矩阵的秩小于其列数；(B) n次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同；(C) 矩阵的逆存在的充要条件是该矩阵的秩等于其行数；(D) 任何矩阵都可以对角化。
几何量试题及答案
几何量试题及答案几何量是数学中的一个重要分支，它涉及到形状、大小、位置等概念。
以下是一些常见的几何量试题及答案，供学生练习和参考。
# 试题一：点、线、面的位置关系问题：在平面直角坐标系中，点A(3,4)、B(-1,2)、C(2,-1)，判断点A、B、C是否在同一直线上。
答案：要判断三点是否共线，可以计算线段AB和AC的斜率是否相等。
斜率公式为：\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]对于线段AB，斜率\( k_{AB} = \frac{2 - 4}{-1 - 3} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} \)。
对于线段AC，斜率\( k_{AC} = \frac{-1 - 4}{2 - 3} = \frac{-5}{-1} = 5 \)。
由于\( k_{AB} \neq k_{AC} \)，所以点A、B、C不在同一直线上。
# 试题二：三角形的内角和问题：已知三角形ABC的三个内角分别为α、β、γ，证明三角形的内角和为180度。
答案：根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和等于180度。
证明如下：设三角形ABC的顶点A、B、C分别对应角α、β、γ。
将三角形ABC沿边BC翻折，使得点A与点A'重合，形成四边形ABA'C。
由于翻折，A'C与AC重合，A'B与AB重合，所以四边形ABA'C是一个矩形。
在矩形ABA'C中，对角线相等，即∠A'AB = ∠ABC，∠ABA' = ∠ACB。
由于矩形的对角线互相平分，所以∠A'AB + ∠ABA' = 180度。
又因为∠A'AB = α，∠ABA' = γ，所以α + β + γ = 180度。
# 试题三：圆的面积和周长问题：已知圆的半径为r，求圆的面积和周长。
答案：圆的面积公式为：\[ A = πr^2 \]圆的周长公式为：\[ C = 2πr \]其中，π是圆周率，约等于3.14159。
第八届哈佛大学麻省理工数学竞赛代数题及解答
February 19, 2005
Individual Round: Algebra Subject Test
1. How many real numbers x are solutions to the following equation? |x − 1| = |x − 2| + |x − 3|
3. Let x, y, and z be distinct real numbers that sum to 0. Find the maximum possible
value of
xy x2
+ +
yz y2
+ +
zx z2
.
Solution: −1/2
Note that 0 = (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx. Rearranging, we get that
√
x2 + 2 − x
x4 + 4 .
8. Compute
∞ n=0
n4
+
n n2
+
1
.
9. The number 27,000,001 has exactly four prime factors. Find their sum.
10. Find the sum of the absolute values of the roots of x4 − 4x3 − 4x2 + 16x − 8 = 0.
0 = (x2 − x − 4)2 − (x2 − x − 4) + 15x − 36 = x4 − 2x3 − 7x2 + 8x + 16 − x2 + x + 4 + 15x − 36 = x4 − 2x3 − 8x2 + 24x − 16 = (x − 2)(x3 − 8x + 8) = (x − 2)2(x2 + 2x − 4). √
初等几何研究第一章习题的答案（1）
初等⼏何研究第⼀章习题的答案（1）初等⼏何研究试题答案⼀、线段与⾓的相等 P4911. ⊙O 1、⊙O 2相交于A 、B,⊙O 1的弦BC 交⊙O 2于E,⊙O2的弦BD 交⊙O 1于F, 求证: （1）若∠DBA=∠CBA,则DF=CE; (2)若DF=CE,则∠DBA=∠CBA. 证明:(1)连接AC 、AE 、AF 、AD在⊙O 1中,由∠CBA=∠DBA 得AC=AF 在⊙O 2中,由∠CBA=∠DBA 得AE=AD 由A 、C 、B 、E 四点共圆得∠1=∠2 由A 、D 、B 、E 四点共圆得∠3=∠4 所以△ACE ≌△AF ∴DF=CE(2)由（1）得∠1=∠2,∠3=∠4 ∵DF=CE ∴△ACE ≌△AFD ∴AD=AE在⊙O 2中,由AD=AE 可得∠DBA=∠CBA2.在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90O ,D 是AC 上的⼀点,AE ⊥BD 的延长线于E,⼜AE=12BD,求证:BD 平分∠ABC. 证明:延长AE,BC 交于点FAED BCA 90 ADE BDC CBD CAFACF BCA 90 AC BC ACF BCD AF BD 11AE BD AE AF22ABEE BE BE ABF BD ABC∠=∠=?∠=∠∴∠=∠∠=∠=?=∴∴==∴=⊥∴∠∠⼜⼜⼜平分即平分3.已知在凸五边形ABCDE 中,∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180o－2α, 求证:∠BAC=∠CAD=∠DAE.证明:连接BD,得ΔCBD 是等腰三⾓形且底⾓是∠CDB=[180o－(180o－2α)]÷2=α.∴∠BDE=(180°－2α)-α=180o－3α∴A 、B 、D 、E 共圆同理A 、C 、D 、E 共圆∴∠BAC=∠CAD=∠DAE4.设H 为锐⾓△ABC 的垂⼼,若AH 等于外接圆的半径.求证:∠BAC=60o 证明:过点B 作BD ⊥BC,交圆周于点D,连结CD 、AD ∵∠DBC=90o, ∴CD 是直径,则∠CAD=90o 由题,可得AH ⊥BC, BH ⊥AC ∴BD ∥AH, AD ∥BH ∴四边形ADBH 是□∴AH=BD ⼜∵AH 等于外接圆的半径(R) ∴BD=R,⽽CD=2R ∴在Rt △BCD 中,CD=2BD,即∠BCD=30o ∴∠BDC=60o ⼜∵∠BAC=∠BDC∴∠BAC=∠BDC=60o5. 在△ABC 中,∠C=90o ,BE 是∠B 的平分线,CD 是斜边上的⾼,过BE 、CD 之交点0且平⾏于AB 的直线分别交AC 、BC 于F 、G,求证AF=CE. 证明:如图∵∠1＝∠3,∠1=∠2. ∴∠2=∠3, ∴GB = GO, ∵∠5=∠4=∠6,∴CO =CE, ∵ FG ∥AB, ∴AF ／CF=BG ／CG=GO ／CG, ⼜∵△FCO ∽△COG,∴CO ／CF=GO ／CG=AF ／CF, ∴CO=AF, ∵CO=CE, ∴AF=CE.6. 在△ABC 中,先作⾓A 、B 的平分线,再从点C 作上⼆⾓的平分线值平⾏线,并连结它们的交点D 、E,若DE ∥BA,求证:△ABC 等腰.证明:如图所⽰设AC 、ED 的交点为F ∵AD 是∠A 的平分线∴∠1=∠2 ∵DE ∥AB ∴∠1=∠3 ∵CE ∥AD ∴∠3=∠5, ∠4=∠2 ∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5则△FAD 和△FCE 是等腰三⾓形∴AF=DF,EF=CF ∴AC=DE 同理可证 BC=DE ∴AC=BC ∴△ABC 是等腰三⾓形7. 三条中线把△ABC 分成6个三⾓形,若这六个三⾓形的内切圆中有4个相等. 求证:△ABC 是正三⾓形．证明:∵△AOF 、△AOE 、△COD 、△COE 、△BOF 、△BOD ⾯积都相等∴S △OFB =S △OEC 即:21BF ×r+21FO ×r+21BO ×r=21CE ×r+21OE ×r+21OC ×r 21 (BF+FO+BO)×r=21 (CE+OE+OC)×r ∴r rOF E AHIG LK JBF+FO+BO=CCE+OE+OC∴CE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ ∴2DH+2BH=2FK+2CK ∴2BF=2CE ⼜F 、E 分别为AB 、AC 之中点∴AB=AC 同理:AB=BC 故△ABC 是正三⾓形.8. 平⾏四边形被对⾓线分成四个三⾓形中,若有三个的内切圆相等证明:该四边形为菱形.证明:⼜∵△AO B 、△BOC 、△COD 、△DOA 四个三⾓形的⾯积相等()()1122OD DC OC r OB BC OC r ∴++?=++?CD OC OD BC OB OC∴++=++OD OC DC OE OG OB OC BC OI OG++--=++--2222DF CF BH CH ?+=+22DC BCDC BC== ∴四边形为菱形9. 凸四边形被对⾓线分成4个三⾓形,皆有相等的内切圆,求证:该四边形是菱形 . 证明:连结O 1 、O 2,分别作O 1 、O 2到AC 的垂线,垂⾜分别为P 、M∵在△ABC 中,BO 是☉O 1 、☉O 2的公切线∴BO ⊥O 1 O 2⼜∵☉O 1 、☉O 2半径相同,且都与AC 相切∴O 1 O 2‖AC ∴BO ⊥AC BD ⊥AC ∵两个相等的内切圆☉O 1 、☉O 3在对顶三⾓形△AOB 与△COD 中∴周长C △AOB =C △COD ∴AO+BO+AB=CO+DO+CD ⼜∵OP=OQ=OM=ON ∴（AO+BO+AB)-(OP+OQ)= (CO+DO+CD)-(OM+ON) ∴2AB=2CD ∴AB=CD 同理AD=BC∴四边形ABCD 是平⾏四边形⼜∵AC ⊥BD ∴四边形ABCD 是菱形10. 在锐⾓△ABC 中,BD,CE 是两⾼,并⾃B 作BF ⊥DE 于F,⾃C 作CG ⊥DE 于G ,证明:EF=DG .证明:设O,M 分别是BC,FG 的中点, 所以OM ∥BF,因为BF ⊥FG , 所以OM ⊥FG ,ABDCEFIHGO ABDCP NO 1O 2O O 3O 4 M Q MGFEDA⼜因为∠BEC=∠BDC=90所以BCDE四点在以BC为直径的圆上, 因为OM⊥DE, 所以OM平分ED, 所以FM-EM=MG-MD 即EF=DG.11. △ABC中,M是BC的中点,I是内⼼,BC与内切圆相切与K.求证:直线IM平分线段AK.证明:作出∠A的旁切圆O,设它与BC边和AB,BC的延长线分别切于D,E,F,连接AD交内接圆于L,则因内接圆和旁切圆以A为中点成位似,则:IL⊥BC,即K,I,L共线于是原题借中位线可如下转化MI平分AK, ∴M平分DK ∴BD=KC 后者利⽤圆I与圆O两条外公切线相等∴EG=FH ∴BD+BK=CD+CK 则反推过去,得到IM平分线段AK.12．在△ABC中,M是BC的中点,I是内⼼,A H⊥BC于H,AH交MI于E,求证:AE 与内切圆半径相等.证明:如图所⽰作△ABC的内切圆,∴切点分别交于BC于点K、AB于点F、AC于点G,连接KL与AC∴KL是直径, ⼜∵M为BC的中点,I为内⼼,则A L∥ＭＩ⼜∵A H⊥BC ∴A H∥LK ⼜∵点E点I分别都在AH、LK上∴A E∥LI ∴四边形AEIL为平⾏四边形∴A E＝LI 命题得证.13. 在矩形ABCD中,M是AD的中点,N是BC的中点,在CD的延长线取P 点,记Q为PM与AC的交点,求证:∠QNM＝∠MNP 证明:利⽤矩形的中⼼设O是矩形ABCD的中⼼,则O也是MN的中点, 延长QN交OC的延长线于R,如图,则O ⼜是PR的中点,故NC平分∠PNR.,⽽NM⊥NG. ∴NM平分∠PNQ14. 给定以O为顶点的⾓,以及与此⾓两边相切于A、B的圆周,过A作OB的平⾏线交圆于C,连结OC交圆于E,直线AE交OB于K,求证:OK=KB.证明:如图所⽰,过C作圆的切线交OB延长线于D.∵OD,OA,CD都是圆的切线,且A C∥CD∴四边形ACDO是等腰梯形,∠DOA=∠D∵∠BOC=∠ACO,∠ACO=∠OAKIOMLKHGFEDCBAELKM HGFIB CA∴∠BOC=∠OAK ∵∠DOA=∠D ∴△AOK ～△ODC ∵21=OD CD ∴21=AO KO∵OA=OB ∴OB=OA=2KO,即OK=KB15. 在等腰直⾓?ABC 的两直⾓边CA,CB 上取点D 、E 使CD=CE,从C 、D 引AE 得垂线,并延长它们分别交AB 于K 、L,求证:KL=KB. 证明:延长AC ⾄E'使CE'=CE,再连BE'交AE 的延长线于H. ∵?ABC 是等腰直⾓三⾓形∴AC=BC ,∠ACB=∠BCE'=90° ⼜∵CE=CE' ∴?BCE'≌?ACE ∴∠CAE=∠CBE'∵∠AEC=∠BEH ∴?BHE ∽?ACE ∴∠BHE=∠ACB=90° ∵DL ∥CK ∥E'B 及DC=CE' ∴KL=LB.16. 点M 在四边形ABCD 内,使得ABMD 为平⾏四边形,试证:若∠CBM= ∠CDM,则∠ACD=∠BCM.证明:作AN ∥BC 且AN=BC,连接DN 、NC∵ABMD 为平⾏四边形,AN ∥BC 且AN=BC∴ABCN 、DMCN 为平⾏四边形,AD=BM ∴DN=CM 、AN=BC ∴△ADN ≌△BMC ∴∠1=∠3,∠2=∠4,∠6=∠7∵∠1=∠2 ∴∠3=∠4 ∴A 、C 、N 、D 共圆（视⾓相等）∴∠5=∠7（同弧AD ）∴∠5=∠6即∠ACD=∠BCM17. 已知∠ABC=∠ACD=60°,且∠ADB=90°-21∠BDC,求证:△ABC 是等腰的证明:延长CD 使得BD ＝DE,并连结AE ∵∠ADB ＝90°－21∠BDC ∴2∠ADB ＋∠BDC ＝180° ⼜∠BDC ＋∠ADB ＋∠ADE ＝180° ∴∠ADB ＝∠ADE ⼜∵BD ＝DE,AD ＝AD ∴△ADB ≌△ADE ∴∠ABD ＝∠AED ＝60°,AB ＝AE ⼜∵∠ACD ＝60°∴△ACE 为正三⾓形∴AC ＝AE ∴AB ＝AC ∴△ABC 为等腰三⾓形18.⊙O1、⊙O2半径皆为r,⊙O1平⾏四边形`过的⼆顶A、B,⊙O2过顶点B、C,M是⊙O1、⊙O2的另⼀交点,求证△AMD 的外接圆半径也是r.证明:设O为MB的终点连接CO并延长⊙O1于E 则由对称知O为CE的中点∵O平分MB O平分CE∴MEBC是平⾏四边形∴ME∥BC∥AD∴MEAD亦是平⾏四边形∴△MAE≌△AMD∴△AMD的外接圆半径也为r19. 在凸五边形ABCDE中,有∠ABC=∠ADE,∠AEC=∠ADB,求证:∠BAC=∠DAE.证明:连接BD,CE,设它们相交于F,如图,∵∠AEC=∠ADB. ∴A,E,D,F四点共圆.∴∠DAE=∠DFE. ⼜∠ABC=∠ADE=∠AFE.∴A,B,C,F四点共圆∴∠BAC=∠BFC.⼜∠DFE=∠BFC. ∴∠BAC=∠DAE.20.在锐⾓△ABC中,过各顶点作其外接圆的切线,A、C处的两切线分别交B处的切线于M、N,设BD是△ABC的⾼（D为垂⾜）,求证:BD平分∠MDN.证明:如上图,m、n分别表⽰过M、N的切线长,再⾃M作MM’⊥AC于M’, 作NN’⊥AC于N’,则有∵∠N＝∠B＝∠NCN’∴△MAM’∽△NCN’∴AM’/’CN’=AM/CN=m/n⼜∵MM’∥BD∥NN’∴M’D/DN’=MB/BN=m/n由等⽐性质知m/n=(M’D－AM’)/(DN’-CN’)=AD/DC∴△ADM∽△CDN ∴DM/DN=m/n即DM/m=DN/n∴BD平分∠MDN21.已知:AD、BE、CF是△ABC的三条⾼.求证:DA、EB、FC是△DEF的三条⾓平分线.证明:连结DF、FE、DE ∵C F⊥AB AD⊥BC ∴B、D、H、F共圆∴∠1＝∠3 ∵AD⊥BC BE⊥AC ∴B、D、E、A共圆∴∠2=∠3 ∴∠2=∠1 ∴AD平分∠EDF 同理,CF平分∠2 1OEMDB O OCADCB EAFEFD BE 平分∠FED即证:DA 、EB 、FC 是△DEF 的三条⾓平分线22.已知AD 是△ABC 的⾼,P 是AD 上任意⼀点,连结BP-CP,延长交AC 、AB 于E 、F,证DA 平分∠EDF. 证明:过E 、F 两点分别作EH 、FG ,使EH ⊥BC,FG ⊥BC,且交CF 、BE 于I 、J∵EH ⊥BC,AD ⊥BC,FG ⊥BC ∴EH ∥AD ∥FG ∴EI EH =AP AD =FJ FG ∴FJ EI FG EH = ⼜∵GDHDPJ EP = ∴△EIP ∽△JFP ∴PJEPFJ EI =∴△EHD ∽FGD∴∠DFJ =∠DEI ∴∠FDB=∠EDC 即∠ADF=∠AD 即DA 平分∠EDF23.圆内三条弦PP 1、QQ 1、RR 1、两两相交,PP 1与QQ 1交于B,QQ 1与RR 1交于C,RR 1与PP 1交于A,已知:AP=BQ=CR,AR 1=BP 1=CQ 1,求证:ABC 是正三⾓形.解:设AP=BQ=CR=m,AR 1=BP 1=CQ 1, 则由相交弦定理得｛m(c+n)=n(b+m) m(a+n)=n(c+m) m(b+n)=n(a+m) 即ma=ncmb=na mc=n 三式相加得m=n 所以a=b=c 即△ABC 是正三⾓形24.H 为?ABC 的垂⼼,D 、E 、F 分别为BC 、CA 、 AB 的中点,⼀个以H 为⼼的圆交DE 于P 、Q, 交EF 于R 、S,交FD 于T 、V . 求证:CP=CQ=AR=AS=BT=BU 证明:连结AS 、AR 、RH由相交弦定理知:AH ·HA`=BH ·HB`=CH ·HC`AS 2=AR 2=AK 2+KR 2设O H 的半径为r, 在?KR 中,KR 2=r 2-HK 2∴AS 2=r 2+（AK+KH ）·（AK-HK ）=r 2+AH ·(AK-HK) 在?ABC 中,F 、E 为AB 、AC 的中点,且AA ⊥`BC∴AK=KA` ∴AS 2=AR 2=r 2+AH ·HA` 同BC HDEFR S T QK C`A `B `理:BT 2=BU 2=r 2+BH ·HB` CP 2=CQ 2=r 2+CH ·HC`25、在锐⾓三⾓形ABC 中,AD 、BE 、CF 是各边上的⾼,P 、Q 分别在线段DF 、EF 上,且∠PAQ 与∠DAC 同向相等.求证:AP 平分∠FPQ证明:作出△APQ 的外接圆,延长PF 交圆于R,分别连结 RA 、RQ 由图可知,AQPR 内接于圆∴∠PRQ=∠PAQ=∠DAC=21∠DFE 由外⾓定理得,∠PRQ+∠FQR=∠DFE ∴FC ∥RQ ∴AF ⊥RQ FR=FQ ∴AF 垂直平分RQ∴∠ARQ=∠AQR ⼜AQPR 内接于圆∴∠APQ=∠ARQ∠APR=∠AQR ∴∠APQ=∠APR ∴AP 平分∠FPQ00090)2()1(,45,30,15.26=∠==∠=∠=∠=∠=∠=∠??BAC ABAC CQP BRP CPQ BPR ARQ AQR PQR C B A PQR 求证：之外，且在、、是任意三⾓形，RF D E A B C P Q27．已知:凹四边形ABCD 中,?=∠=∠=∠45D B A .求证:AC=BD. 证明: 如图,延长DC 交AB 于点E,延长BC 交AD 于点F.∵?=∠=∠45D A ,DE AE =∴且?=∠90AED ⼜?=∠45B ?=∠∴45ECBDBAC DEB S AEC S EBEC =∴∴=∴。
微分几何测试题集锦(含答案)
微分几何测试题集锦(含答案)《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈向量r(t)??t,3t,a?具有固定方向，则a=___t__。
??? ⒉非零向量r(t)满足?r,r,r??0的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊设曲线在P点的切向量为?，主法向量为?，则过P由?,?确定的平面是曲线在P点的___密切平面__________。
⒋曲线r?r(t)在点r(t0)的单位切向量是?，则曲线在r(t0)点的法平面方程是__________________________。
⒌曲线r?r(t)在t = 1点处有??2?，则曲线在t = 1对应的点处其挠率?(1)。
⒍主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _ ⒎如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。
)y点(x0,y0,z0的⒐曲面z?(z,x在)法线方程是_____________________。
1二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。
A、直线B、平面曲线C、球面曲线D、圆柱螺线12、曲线r?r(t)在P(t)点的曲率为k , 挠率为?，则下列式子___A___不正确。
A、k?13r??r??r?2 B、k?对于曲r??r??r?3 C、k?r D、??的第一基本?r?r??r???? 2?r??r???形式、面I?Edu2?2Fdudv?Gdv2,EG?F2__D___。
A、?0B、?0C、?0D、?0三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线r??cost,sint,t?，试求??0,1, ⑴在点???的切线和法平面。
?2? ⑵曲率和挠率。
22、对于圆柱面?:r???cos?,?sin?,u?，试求⑴?的第一、第二基本形式；2⑵?在任意点处沿任意方向的法曲率；⑶?在任意点的高斯曲率和平均曲率；⑷试证?的坐标曲线是曲率线。
瑟斯顿 三维流形与几何拓扑 -回复
瑟斯顿三维流形与几何拓扑-回复瑟斯顿（Seifert）三维流形与几何拓扑引言：在数学中，几何拓扑学是研究几何对象不变性的一个分支。
而瑟斯顿三维流形是几何拓扑学中的一个重要概念。
在本文中，我们将一步一步地回答“瑟斯顿三维流形与几何拓扑”这个主题，从基本概念到相关定理的介绍，希望能够让读者对这一领域有一个初步的了解。
1. 什么是流形？首先，我们需要了解什么是流形。
在数学中，流形是指具有局部欧几里得空间性质的空间。
简单来说，流形可以用一个数学模型在局部上近似为欧几里得空间。
例如，一个二维的球面就是一个流形，因为在局部上它可以用平面模型来近似。
流形的定义可以更加抽象和严格，但是这个直观的理解对于我们理解瑟斯顿三维流形非常有帮助。
2. 什么是三维流形？三维流形是指具有欧几里得空间性质的三维空间。
与二维流形不同，三维流形在拓扑学中更加复杂而有趣。
瑟斯顿三维流形是研究三维流形的一项重要课题。
3. 瑟斯顿三维流形的研究内容和目的是什么？瑟斯顿三维流形的研究内容包括它们的分类、性质以及与其他数学领域的联系等。
其中，最重要的目标就是对三维流形的分类和刻画。
瑟斯顿三维流形的分类问题是一个关键的研究方向，在数学界引起了广泛的兴趣和讨论。
通过对三维流形进行分类，我们可以更好地理解它们的区别和共性，揭示它们的内在结构以及与其他数学领域的联系。
4. 瑟斯顿三维流形的分类方法有哪些？瑟斯顿三维流形的分类存在许多不同的方法和定理。
其中，瑟斯顿两个定理是最重要的结果之一。
第一个定理是瑟斯顿-佩尔曼定理，它指出了三维流形的规范分解问题。
这个定理的重要性在于它使得三维流形的分类变得可行。
第二个定理是瑟斯顿定理，它刻画了闭曲面边界的三维流形。
这两个定理为瑟斯顿三维流形的分类研究提供了重要的工具和方法。
5. 瑟斯顿三维流形的应用领域有哪些？瑟斯顿三维流形的研究不仅局限于数学领域，它也有着广泛的应用。
例如，在物理学中，瑟斯顿三维流形与弦理论的研究有着密切的联系。
《高等几何》考试练习题及参考答案
《高等几何》考试练习题及参考答案一、单选题1. 菱形的仿射对应图形是()A 、菱形B 、平行四边形C 、正方形D 、不等边四边形答案：B2. 圆经过中心射影之后的对应图形是()A 、圆B 、椭圆C 、二次曲线D 、二共点直线答案：C3. 射影平面上所有射影变换的集合构成群，称为射影变换群，它是()A 、8维群B 、6维群C 、4维群D 、3维群答案：A4. 正六边形经过中心射影后的对应图形是()A 、正六边形B 、二次曲线C 、二平行直线D 、内接于二次曲线的六边形答案：D5. 在射影平面上，两条相交直线可以把平面分成几个区域？()A 、1B 、2C 、3D 、4答案：B6. 欧式平面内所有正交变换的集合构成群，称为正交变换群，它是()A 、3维群B 、4维群C 、6维群D 、8维群答案：A7. 双曲型曲线与无穷远直线的关系是()A 、相交B 、相切C 、相离D 、相割答案：A8. 下面属于欧式几何学的是()A 、梯形B 、离心率C 、重心D 、塞瓦定理和麦尼劳斯定理答案：B9. 直角三角形经过中心射影后的对应图形是()A 、三角形B 、等腰三角形C 、直角三角形D 、四边形答案：A10. 共点的直线经过中心射影之后的对应图形是()A 、二直线B 、二垂直直线C 、共点的直线D 、二平行直线答案：C11. 在射影平面上二阶曲线可共分为（）类.A 、2B 、3C 、4D 、5答案：D12. 双曲线有几条主轴？()A 、1B 、2C 、3D 、4答案：B13. 已知两点A(2,-1,1),B(3,1,-2),下列哪一个点与它们共线？()A 、(7 ，-1 ，0)B 、（7 ，-1 ，1)C 、（5 ，0 ，2)D 、（0 ，0 ，1）答案：A14. 等腰梯形的仿射对应图形是：()A 、等腰梯形B 、梯形C 、四边形D 、平行四边形答案：B15. 对于非恒等二维射影变换下列说法错误的是()A 、是非奇线性对应B 、保持共线四点的交比不变C 、不变直线不能超过三条D 、不共线的不变点至多有三个答案：C16. 下列哪些图形具有射影性质？()A 、平行直线B 、三点共线C 、两点间的距离D 、两直线的夹角答案：B17. 圆的仿射对应图形是：()A 、梯形B 、四边形C 、椭圆D 、平行四边形答案：C18. 矩形的仿射对应图形是：()A 、四边形B 、平行四边形C 、梯形D 、圆答案：B19. 下列名称或者定理不属于仿射几何学的是A 、三角形的垂心B 、梯形C 、在平面内无三线共点的四条直线有六个交点D 、椭圆答案：A二、判断题1. 一维基本形间的射影对应不保持对应四元素的交比. ()A 、正确B 、错误答案：错误2. 两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形()A 、正确B 、错误答案：错误3. 射影平面的不共点三直线将平面分成四部分.()A 、正确B 、错误答案：正确4. 一个角的内外角平分线调和分离角的两边()A 、正确B 、错误答案：正确5. 共线三点的单比经中心射影后不变. ()A 、正确B 、错误答案：错误6. 二直线所成角度是相似群的不变量.()A 、正确B 、错误答案：正确7. 射影平面上的一直线能将射影平面剖分成两部分. ()A 、正确B 、错误答案：错误8. 三点形经中心射影之后还是三点形.()A 、正确B 、错误答案：正确9. 在一维射影变换中，若已知一对对应元素（非自对应元素）符合对合条件，则此射影变换一定是对合. ()A 、正确B 、错误答案：正确10. 在仿射变换下，等腰三角形的对应图形是三角形. ()A 、正确B 、错误答案：正确11. 仿射变换的基本不变量是单比. ()A 、正确B 、错误答案：正确12. 抛物线有一对主轴. ()A 、正确B 、错误答案：错误13. 三角形的垂心属于仿射几何学的范畴()A 、正确B 、错误答案：错误14. 在仿射变换下，正方形的对应图形是正方形.()A 、正确B 、错误答案：错误15. 共线点的极线必共点，共点线的极点必共线()A 、正确B 、错误答案：正确16. 椭圆和双曲线的四个焦点中有二实点二虚点.()A 、正确B 、错误答案：正确17. 配极变换是一种非奇线性对应，()A 、正确B 、错误答案：正确18. 两个三角形的面积之比是仿射不变量. ()A 、正确B 、错误19. 德萨格定理属于射影几何学的范畴. ()A 、正确B 、错误答案：正确20. 二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数. ()A 、正确B 、错误答案：正确21. 菱形的仿射对应图形是四边形. ()A 、正确B 、错误答案：错误22. 两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应. ()A 、正确B 、错误答案：错误23.A 、正确B 、错误答案：正确24. 两个不同的无穷远点所决定的直线上可以含有有穷远点.()A 、正确B 、错误答案：错误三、名词解释1. 图形的仿射性质答案：图形经过任何仿射变换后都不变的性质称为图形的仿射性质.2. 二次曲线的直径答案：无穷远点关于二次曲线的有穷极线称为此二次曲线的直径.3. 二次曲线的中心答案：无穷远直线关于二次曲线的极点称为此二次曲线的中心.4. 配极原则答案：如果P点的极线通过Q点，则Q点的极线也通过P点.5. 二阶曲线答案：在射影平面上，成射影对应的两个线束对应直线的交点的集合称为二阶曲线.6. 二次曲线的渐近线答案：二次曲线上的无穷远点的切线，如果不是无穷远直线，则称为二次曲线的渐近线.7. 对偶原则答案：在射影平面里，如果一个命题成立，则它的对偶命题也成立.8. 完全四点形答案：由四个点（其中无三点共线）以及连结其中任意两点的六条直线所组成的图形称为完全四点形.四、问答题1. 下列图形的仿射对应图形是什么？（1）圆；（2）等腰三角形；（3）三角形的内心；（4）两个合同的矩阵；（5）三角形的重心；（6）相似三角形；（7）三角形的垂心；（8）矩形。
大学几何学考试题及答案
大学几何学考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项不是欧几里得几何的公理？A. 两点之间可以画一条直线B. 所有直角都相等C. 两点确定一条直线D. 直线外一点与直线上各点连接的线段中，垂线段最短答案：C2. 在平面几何中，一个三角形的内角和是多少？A. 180度B. 360度C. 90度D. 270度答案：A3. 以下哪个几何图形是中心对称图形？A. 正方形B. 矩形C. 等腰三角形D. 等边三角形答案：A4. 一个圆的面积公式是？A. A = πr²B. A = 2πrC. A = πrD. A = 4πr²答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个圆的周长公式是______。
答案：C = 2πr2. 如果一个矩形的长是10cm，宽是5cm，那么它的面积是______平方厘米。
答案：503. 在直角坐标系中，点(3,4)关于x轴的对称点的坐标是______。
答案：(3,-4)4. 一个正方体的体积公式是______。
答案：V = a³三、简答题（每题10分，共30分）1. 什么是勾股定理？请给出其公式并解释其意义。
答案：勾股定理是直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
公式为a² + b² = c²，其中a和b是直角边，c是斜边。
这个定理说明了在直角三角形中，边长之间的关系。
2. 描述一下什么是相似三角形，并给出相似三角形的性质。
答案：相似三角形是指两个三角形的对应角相等，对应边的比例相等的三角形。
相似三角形的性质包括：对应角相等，对应边成比例，以及面积比等于对应边长比的平方。
3. 解释一下什么是圆的切线，并给出切线的性质。
答案：圆的切线是指在圆上某一点处与圆相切的直线。
切线的性质包括：切线与过该点的半径垂直，且在切点处只有一个切线。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个半径为5cm的圆，求其周长和面积。
高等几何测试题及答案
高等几何测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在三维空间中，以下哪个几何体的体积是最小的？A. 正方体B. 球体C. 圆柱体D. 圆锥体答案：D2. 以下哪个定理是关于直线与平面关系的？A. 勾股定理B. 泰勒斯定理C. 毕达哥拉斯定理D. 欧拉定理答案：B3. 在欧几里得几何中，以下哪个图形是不可测量的？A. 线段B. 角度C. 面积D. 体积答案：B4. 以下哪个几何概念与曲面的曲率有关？A. 向量B. 张量C. 标量D. 矢量答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个球体的表面积公式是_______。
答案：4πr²2. 一个圆柱体的体积公式是_______。
答案：πr²h3. 欧拉特征数对于一个球体的值是_______。
答案：24. 一个圆锥体的侧面积公式是_______。
答案：πrl三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：在三维空间中，任何两个不同平面的交线都是一条直线。
答案：略2. 解释并证明高斯-博内定理在曲面上的适用性。
答案：略四、计算题（每题15分，共30分）1. 计算半径为3的球体的体积。
答案：4/3π(3)³ = 36π2. 计算底面半径为4，高为5的圆柱体的表面积。
答案：2π(4)² + 2π(4)(5) = 32π + 40π = 72π结束语：以上为高等几何测试题及答案，希望同学们通过这些题目能够更好地理解和掌握高等几何的基本概念和定理。
imo中文试题及答案
imo中文试题及答案1. 请解释“对称性”在数学中的含义，并给出一个具体的例子。
答案：对称性在数学中指的是一个对象在某种变换下保持不变的性质。
例如，在几何学中，一个正方形在旋转90度后，其形状和位置与旋转前相同，因此正方形具有旋转对称性。
2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的最小值。
答案：首先对函数f(x)进行配方，得到f(x) = (x-2)^2 - 1。
由于平方项(x-2)^2总是非负的，所以f(x)的最小值出现在(x-2)^2 = 0时，即x = 2。
此时f(x)的最小值为-1。
3. 请列举至少三种不同的数学证明方法。
答案：数学证明方法有很多种，以下是三种常见的方法：a) 直接证明：直接从已知条件出发，通过逻辑推理得出结论。
b) 反证法：假设结论不成立，推导出矛盾，从而证明原结论的正确性。
c) 归纳法：通过观察特定情况下的规律，归纳出一般性的结论。
4. 计算下列定积分的值：∫(0到1) (x^2 - 3x + 2) dx。
答案：首先找到被积函数的原函数，即∫(x^2 - 3x + 2) dx =(1/3)x^3 - (3/2)x^2 + 2x。
然后计算定积分：[(1/3)x^3 -(3/2)x^2 + 2x](0到1) = [(1/3)(1)^3 - (3/2)(1)^2 + 2(1)] - [(1/3)(0)^3 - (3/2)(0)^2 + 2(0)] = (1/3 - 3/2 + 2) = 1/6。
5. 证明：如果一个三角形的两边相等，则其对应的两个角也相等。
答案：设三角形ABC中，AB = AC，我们需要证明∠B = ∠C。
根据等边对等角定理，如果两边相等，则其对应的角也相等。
因此，∠B = ∠C。
微分流形期末考试题及答案
微分流形期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个不是微分流形的局部坐标系的性质？A. 局部坐标系是唯一的B. 局部坐标系是光滑的C. 局部坐标系可以覆盖整个流形D. 局部坐标系是任意的2. 微分流形上的切向量场定义为：A. 一个光滑函数B. 一个光滑曲线C. 一个光滑映射D. 一个光滑向量场3. 微分流形上的张量场可以看作是：A. 一个光滑函数B. 一个光滑曲线C. 一个光滑映射D. 一个光滑向量场4. 微分流形上的黎曼度量可以定义为：A. 一个光滑函数B. 一个光滑曲线C. 一个光滑映射D. 一个对称的二阶协变张量场5. 微分流形上的测地线是：A. 一条最短路径B. 一条最长路径C. 一条直线D. 一条局部最短路径6. 微分流形上的拉普拉斯算子是：A. 一个一阶微分算子B. 一个二阶微分算子C. 一个三阶微分算子D. 一个四阶微分算子7. 微分流形上的李群作用可以看作是：A. 一个光滑映射B. 一个光滑函数C. 一个光滑曲线D. 一个光滑向量场8. 微分流形上的黎曼曲率张量可以描述：A. 流形的局部几何性质B. 流形的全局拓扑性质C. 流形的全局几何性质D. 流形的局部拓扑性质9. 微分流形上的联络可以看作是：A. 一个光滑映射B. 一个光滑函数C. 一个光滑曲线D. 一个光滑向量场10. 微分流形上的测地线的存在性和唯一性由以下哪个定理保证？A. 黎曼几何基本定理B. 李群基本定理C. 牛顿-莱布尼茨定理D. 格林公式二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述微分流形的定义及其基本性质。
2. 解释什么是微分流形上的切空间，并给出一个例子。
3. 描述微分流形上的黎曼度量和黎曼曲率张量的关系。
三、计算题（每题25分，共50分）1. 给定一个二维微分流形 \( M \) 嵌入到 \( \mathbb{R}^3 \) 中，其局部坐标表示为 \( x(u,v) = (u,v,u^2+v^2) \)。
人教A版选择性必修1第一章 空间向量与立体几何基础达标与能力提升必刷检测卷(全解全析)
第一章：空间向量与立体几何基础达标与能力提升必刷检测卷数学·全解全析1．D 【详解】对于A ，假设a b λ=，则121122λλλ⎧⎪=⎪-=⎨⎪⎪=-⎩，此方程组无解，所以a 与b 不平行，所以l 与m 不平行，故A 不正确；对于B ，因为011(1)1(1)0a n ⋅=⨯+⨯--⨯-=，所以a n ⊥，所以//l α或l α⊂，故B 不正确；对于C ，因为1201103260n n ⋅=⨯+⨯+⨯=≠，所以1n 与2n 不垂直，所以α与β不垂直，故C 不正确；对于D ，因为(1,1,1)AB =-，(2,2,1)AC =-，且向量()1,,n u t =是平面α的法向量，所以00AB n AC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以1111021210u t u t -⨯+⨯+⨯=⎧⎨-⨯+⨯+⨯=⎩，解得10u t =⎧⎨=⎩，所以1u t +=，故D 正确.故选：D 2．D因为0a b ⋅=，0a c ⋅=，所以9404x y -+-=，30x y +=，解得952x =-，2752y =，所以9271,,52524a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭r .故选：D 3．B因为a c ⊥，所以3630x -+=，解得1x =，所以()1,1,1a =，因为//b c ，所以11363y ==-，解得2y =-，所以()1,2,1b =-，所以(2,1,2)a b +=-，所以3a b +==.故选：B4．A 【详解】因为MN ON OM =-，又因为()()2211,3322a OM OA ON OB OC cb =+===+，所以211322MN a b c =-++.故选：A 5．B因为90BAC ∠=︒，所以BA AC ⊥，因为PA ⊥平面ABC ，,BA AC ⊂平面ABC ，所以,PA AC PA AB ⊥⊥，以A 为空间直角坐标系的原点，以AB AC AP ，，所在的直线为,,x y z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，()()11110,0,0,0,0,2,,0,0,,,0,0,,12222A P D E F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(0,0,2)PA =，1(0,,0)2DE =，11,,122DF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面DEF 的法向量为(,,)m x y z =，所以有()1022,0,1110022y m DE m DE m m DF m DF x y z ⎧=⎪⎧⎧⊥⋅=⎪⇒⇒⇒=⎨⎨⎨⊥⋅=⎩⎩⎪-++=⎪⎩，设直线PA 与平面DEF 所成角为θ，所以5sin cos ,5PA m PA m PA mθ⋅=〈〉==⋅，故选：B6．C据题意，得AC AB BC CC ''=++，32AC a AB bBC cCC =+'+'，所以32AB BC CC a AB bBC cCC ''++=++，即(31)(21)(1)0a AB b BC c CC '-+-+-=.又因为,,AB BC CC '为空间不共面的三个向量，所以312110a b c -=-=-=，所以11,,132a b c ===，所以16abc =.故选：C.7．C如图所示，取AC 的中点D ，以D 为原点，,,BD DC DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设2AC =，则1(0,1,0),(0,0,2),((,2)2A MB N --，所以1(0,1,2),,2)2AM BN ==-，设异面直线,AM BN 所成的角为α，向量AM 与BN 所成的角为θ，所以772cos cos 10AM BNAM BNαθ⋅===⋅,即异面直线,AM BN 所成的角的余弦值为710.故选：C.8．D设直线l 与平面α的夹角为02πθθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭则sin |cos ,||15s n θ⨯+⨯-+⨯=<>=直线l 与平面α故选：D9．D 【详解】设1,,AB a BC b AA c===则11,2,0,1212a b c a b a c b c ======⨯⨯=则()()11111111111111111122222AO AA AO AA AC AA A B B C AA AB BC a b c =+=+=++=++=++12AO ∴=故选：D 10．C设正四棱锥的棱长为1，且,,AB a AC b AD c ===，因为E 为棱CD 的中点，可得1()2AE b c =+，则2AE ===设,[0,1]BF BC λλ=∈，可得()(1)AF AB BC a b a a b λλλλ=+=+-=-+，则AF ===又由2111()[(1)][(1)(1)](2)224AE AF b c a b a b b a c b c λλλλλπλ⋅=+⋅-+=-⋅++-⋅+⋅=+，所以1(2)4cos ,AE AF AE AF AE AFλ+⋅=⋅令2t λ=+，则[2,3]t ∈，可得111[,]32t ∈==，设217511()1,[,32g t t t t =-+∈当1514t =时，函数()g t 取得最小值，最小值为53()1428g =，≤=即cos ,AE AF.故选：C.11．BCD由题3030b c ⋅=-++=，所以0a b b c a c ⋅=⋅=⋅=()0,0a b c b c ⋅=⋅=不相等，所以A 选项错误；()()0a b c a b c a b b c a b a c +⋅-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅=，所以()()a b c a b c +⋅=⋅+，所以B 选项正确；()2222222222a b c a b c a b b c a c a b c ++=+++⋅+⋅+⋅=++，所以C 选项正确；()2222222222a b ca b c a b b c a c a b c --=++-⋅+⋅-⋅=++，即()()22a b c a b c ++=--，a b c a b c ++=--，所以D 选项正确.12．AB由向量垂直的充要条件可得A 正确；1344PC PA PB =+，∴11334444PC PA PB PC -=-即3AC CB =，∴A ，B ，C 三点共线，故B 正确；当3x =-时，两个向量共线，夹角为π，故C 错误；由于向量的数量积运算不满足结合律，故D 错误．故选：A 、B 13．ABC由题易知EC =2PE =，PC =所以222PE EC PC +=，所以PE EC ⊥，又PE ED ⊥，ED EC E ⋂=，所以PE ⊥平面DEBC ，所以PE DC ⊥，又DC DE ⊥，PE DE E =，所以DC ⊥平面PED ，又DC ⊂平面PCD ，所以平面PED ⊥平面PCD ，故A 正确；PC 在平面EBCD 内的射影为EC ，又EBCD 为正方形，所以BD EC ⊥，PC BD ⊥，故B 正确；易知PDE ∠即为二面角P DC B --的平面角，又PE ED ⊥，PE ED =，所以4PDE π∠=，故C 正确；易知CPD ∠为PC 与平面PED 所成的角，又PD =，2CD =，CD PD ⊥，所以tan2CD CPD PD ∠=，故D 错误.14．BCD以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,1,0E ，()0,2,0D，()10,2,2D ，()10,0,2A ，()2,0,1F ，所以()2,1,0AE =，()10,2,2AD =，()2,1,0DE =-，()2,2,1DF =-.设平面1AED 的法向量为(),,m x y z =，则由100m AE m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得20220,x y y z +=⎧⎨+=⎩令1x =，则2y =-，2z =，故()1,2,2m =-.∵()2,2,1DF =-，不存在λ使m DF λ=，即DF 与m 不共线，∴DF 与面1AED 不垂直故A 不正确；又∵()10,0,2DD =，∴143DD m d m⋅==，故B 正确；又()2,1,0DE =-.∴sin cos ,DE m θ=∴C 正确；又()10,0,2AA =为平面AED 的一个法向量，∴1142cos 233AA m AA mα⋅===⨯，故D 正确，故选：BCD.15．18P ，A ，B ，C 四点共面，且3148OP OA OB OC t =++，31148t ++=，解得18t =.故答案为:1816．1依题意，122CD e e =+，故()()()()1212121254276AD AB BC CD e ke e e e e e k e =++=+++++=++，A ，B ，D 三点共线，可设AD AB λ=uuu r uu u r，则()()121276e k e e ke λ++=+，所以76k k λλ=⎧⎨+=⎩，解得k ＝1．故答案为：1.17．23【详解】1111111()2323366PD PM MD PA MN PA PN PM PA PB PC =+=+=+-=++所以11,36x y z ===，所以23x y z ++=.18．【详解】如图建立空间直角坐标系：设1 A ,,04,04,(,,4),04,04E a D F b a b P x y x y == ，则(0,,4),(4,,0),(,,0)F b E a PF x b y =--，点P 到F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，2(4)x =-，整理得P 点轨迹方程：2()28b y x -=-，所以P 到平面11ABB A 的距离PP d '=，2()428b y d x -=-=+,所以min 2d =，此时P 与F 共线垂直11D C ,又||2PE =∴当E,F 分别是AB ,11C D 上的中点，P 为正方形1111D C B A 中心时，PE 取最小值，此时(2,2,4),(4,2,0)P E ，(0,2,4)F .故答案为：19．（I ）()2,1,2BC =-，由于//c BC ，故可设()2,,2c n n n =-，故33c n ===，解得1n =±，故c 为()2,1,2-或()2,1,2--.（II ）()()1,1,0,1,0,2a AB b AC ==--==-，()1,,2ka b k k +=---，由于ka b +与b 垂直，则()()1,,21,0,2140,5k k k k ---⋅-=-+==.（III ）依题意()1,1,0AB =--=()1,0,2AC =-=()2,1,23BC =-=，故由余弦定理得cos A ==sin 10A ==.故三角形面积为113sin 222AB AC A ⋅⋅⋅==.20．（1）1111111111BC BB B C BB AC A B AA AC AB a c b =+=+-=+-=+-，因为11||||cos 11cos 602a b a b BAA ︒⋅=⋅∠=⨯⨯=，同理可得12a cbc ⋅=⋅=，所以1BC ====．（2）因为1AB a b =+，所以1AB ==，因为2211()1111111222)2(AB BC a b a c b a a c a b b a c b b ⋅=+⋅+-=+⋅+-⋅+⋅+⋅=+-+=--，所以111111cos ,AB BC AB BC AB BC ⋅<>==所以异面直线1AB 与1BC所成角的余弦值为6．21．（Ⅰ）证明：取点G 是PB 的中点，连接EG ，FG ，则//FG BC ，且12FG BC =，∵//DE BC 且12DE BC =，∴//DE FG 且DE FG =，∴四边形DEGF 为平行四边形，∴//DF EG ，∴//DF 平面PBE ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知//DF 平面PBE ，所以点D 到平面PBE 的距离与F 到平面PBE 的距离是相等的，故转化为求点D 到平面PBE 的距离，设为d ．利用等体积法：D PBE P BDE V V --=，即1133PBE BDE S d S PD ∆∆⋅=⋅，112BDE S DE AB ∆=⨯⨯=，∵PE BE ==PB =PBE S ∆=d =22．解：（1）由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .因为BC ⊥CD ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM .因为M 为CD 上异于C ，D 的点,且DC 为直径，所以DM ⊥CM .又BCCM =C ,所以DM ⊥平面BMC .而DM ⊂平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC .（2）以D 为坐标原点,DA 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz .当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为CD 的中点.由题设得()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,1,1D A B C M ，()()()2,1,1,0,2,0,2,0,0AM AB DA =-==设(),,n x y z =是平面MAB 的法向量,则0,0.n AM n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩可取()1,0,2n =.DA 是平面MCD 的法向量,因此5cos ,5n DA n DA n DA⋅==，sin ,5n DA =，所以面MAB 与面MCD.23．解：依题意，可以建立以D 为原点，分别以DA ，DC ，DG 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D （0，0，0），A （2，0，0），B （1，2，0），C （0，2，0），E （2，0，2），F （0，1，2），G （0，0，2），M （0，32，1），N （1，0，2）．（Ⅰ）依题意DC =（0，2，0），DE =（2，0，2）．设n 0=(x ，y ，z )为平面CDE 的法向量，则0000DC DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即20220y x z ，，=⎧⎨+=⎩不妨令z =–1，可得n 0=（1，0，–1）．又MN =（1，32-，1），可得00MN n ⋅=，又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以MN ∥平面CDE ．（Ⅱ）依题意，可得BC =（–1，0，0），()122BE =-，，，CF =（0，–1，2）．设n =（x ，y ，z ）为平面BCE 的法向量，则00n BC n BE ，，⎧⋅=⎨⋅=⎩即0220x x y z -=⎧⎨-+=⎩，，不妨令z =1，可得n =（0，1，1）．设m =（x ，y ，z ）为平面BCF 的法向量，则00m BC m CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即020x y z -=⎧⎨-+=⎩，，不妨令z =1，可得m =（0，2，1）．因此有cos <m ，n>=⋅=m n m n ，于是sin <m ，n．所以，二面角E –BC –F的正弦值为10．（Ⅲ）设线段DP 的长为h （h ∈［0，2］），则点P 的坐标为（0，0，h ），可得()12BP h =--，，．易知，DC =（0，2，0）为平面ADGE 的一个法向量，故BP DCcos BP DC BP DC ⋅⋅==sin60°=2，解得h=3∈［0，2］．所以线段DP.。
《几何原本》的几何五大公设
過任意兩點可連成一直線 任意直線可向它的兩方延長 以任意點為圓心，任意長度為半徑，可劃一圓 凡直角皆相等 若一直線與兩直線相交，且同旁的兩角之和小 於兩直角，則兩直線向該旁延長必定相交
第五公設
a a + b <180o
b
第五公設的另類陳述方式
• 通過一直線 L 以外的一點 P，只能畫出 一條與 L 平行的直線
•(Step 1)畫一長度為一單位之線段
•(Step 2)把該線段分成三等分，去掉中間的一分， 並以一邊長為1/3之等邊三角形的兩邊取代之
•(Step 3)重複以上步驟，把每條線段再分成三等 分，去掉中間的一分，並以一邊長為1/9之等邊 三角形的兩邊取代之。如此類推，直至獲得一條 無限長的曲線為止。
四色問題(Four Color Problem)
• 在平面或球面上繪製世界或全國地圖， 使得相鄰的國家或地區塗上不同的顏色， 問最少要使用多少種顏色？
• 1976年Wolfgang Haken及Kenneth Appel 借助電腦證明了用四種顏色便可以了
• 若是環面的話，則最少要用7種顏色
密比烏斯帶(Mobius Strip)
三種幾何體系的模型
歐氏幾何
羅氏幾何
黎曼幾何
非歐幾何的世界
• 1915年愛因斯坦(A. Einstein, 1879~1955)利用非歐幾何創立廣義相 對論(General Relativity)
• 人類生存的空間只是小範圍可被視為 歐氏空間，大範圍以致整個宇宙則必 須用非歐幾何來描述
幾何學分類
P
•
L
• 三角形的內角之和是180o
• 若一四邊形有一對對邊相等，且它們與 第三邊構成的角為直角，則其餘的兩隻 角也是直角
尤西斯金几何思维水平测试题
尤西斯金几何思维水平测试题以下是关于尤西斯金几何思维水平的一些测试题：
1. 图形F是一个三角形，则下列说法正确的是：
A. 如果描述1正确，那么描述2也正确
B. 如果描述1错误，那么描述2就正确
C. 1和2不可能都正确
D. 1和2不可能都错误
2. 下列图形中，哪些是长方形？
A. 全部都是
B. 只有Q
C. 只有R
D. 只有P和Q
E. 只有Q和R
3. 下列说法正确的是：
A. 所有正方形都具有长方形的所有性质
B. 所有长方形都具有正方形的所有性质
C. 所有平行四边形都具有长方形的所有性质
D. 所有平行四边形都具有正方形的所有性质
E. 以上说法都不正确
4. 下列性质中，所有长方形都具备而某些平行四边形不具备的性质是：
A. 对边等长
B. 对角线等长
C. 对边平行
D. 对角相等
5. 对任一等腰三角形来说，下列说法正确的是：
A. 三条边都相等
B. 其中一边长必须是另一边长的两倍
C. 至少有两个角相等
D. 所有三个角都相等
E. 对每一个等腰三角形来说，以上说法都错误。
6. 下列说法正确的是：
A. 所有的正方形都是矩形
B. 所有的矩形都是正方形
C. 所有的矩形都是平行四边形
D. 所有的平行四边形都是矩形
E. 以上说法都不正确。
微分流形期末试题及答案
微分流形期末试题及答案题1：定义和性质1.1 什么是微分流形？微分流形是一种数学对象，局部上具有欧几里德空间的性质，但整体结构可以是曲线的。
它可以用一族局部坐标系统来描述，使得这些坐标系统在交叠的区域上满足一定的连续性条件。
1.2 微分流形的关键属性是什么？微分流形有以下几个关键属性：- 维度：流形可以是任意维度的。
- 来自欧几里德空间的局部性：流形的每个点都有一个局部坐标系统，使得该点附近的几何性质具有欧几里德空间的性质。
- 连续性：局部坐标系统在交叠的区域上具有连续性，使得整个流形在全局上是连续的。
- 可微性：在流形上可以定义可微函数和可微映射，从而使得流形上可以进行微积分运算。
题2：曲面理论2.1 什么是曲面？曲面是二维流形，它可以嵌入到三维欧几里德空间中。
在二维欧几里德空间中，曲面可以用一个参数方程来表示。
2.2 自然参数化的定义与优点是什么？自然参数化是指选择一组参数，使得曲面上的每个点都可以用这组参数的函数来表示。
自然参数化的优点是可以准确描述曲面上的点，并方便计算曲面上的各种几何性质，如切向量、法向量等。
题3：黎曼流形3.1 什么是黎曼流形？黎曼流形是一种具有内积结构和可微性质的流形。
它在每个切空间上定义了一个内积，使得局部上可以定义度量张量，从而引入了距离和角度的概念。
3.2 黎曼流形的应用有哪些？黎曼流形在数学和物理学中有广泛的应用，其中一些包括广义相对论中的时空结构、曲面理论、最优控制等领域。
答案：1.1 微分流形是一个具有欧几里德空间性质的数学对象，它的整体结构可以是曲线的。
微分流形具有局部坐标系统，在交叠的区域上满足一定的连续性条件。
1.2 微分流形的关键属性包括维度、局部性、连续性和可微性。
微分流形可以是任意维度的，具有来自欧几里德空间的局部性质，在整个流形上具有连续性，并且可以进行微积分运算。
2.1 曲面是一个二维流形，可以嵌入到三维欧几里德空间中。
曲面可以用参数方程来表示，在二维欧几里德空间中具有特定的几何性质。
Van hiele几何测试题
Van hiele 几何测试题 （Usiskin, 1982）1. 下面哪个是正方形? (A)只有K (B)只有L (C)只有M (D)L 和M(E)都是2. 下面哪些是三角形?(A)一个都不是 (B)只有V (C)只有W (D)W 和X (E)V 和W3. 下面哪些是矩形? (A)只有S (B)只有T (C)S 和T(D)S 和U(E)都是SU4. 下面哪些是正方形?(A)都不是 (B)只有G (C)F 和G (D)G 和I(E)都是F G H IK LMUXWV5. 下面哪些是平行四边形? (A)只有J (B)只有L (C)J 和M(D)都不是 (E)都是JML6. PQRS 是一个正方形. 下列关系中对所有正方形都正确的是 ( ) (A)PR 和RS 的长度相等(B)QS 和PR 垂直(C)PS 和QR 垂直 (D)PS 和QS 的长度相等 (E)角Q 大于角R7.在矩形GHJK 中, GJ 和HK 是对角线, 下面哪个结论不是对所有矩形都正确?(A) 有四个直角(B) (B)有四条边 (C) 对角线相等(D) (D)对边相等 (E)上述结论都正确8.菱形是所有边长都相等的四边形, 下面是三个例子. 下面哪个结论不是对所有菱形都正确?(A) 对角线相等(B) 对角线平分对角 (C) 对角线互相垂直(D) 对角相等 (E)以上都对9.等腰三角形是有两条边长相等的三角形, 下面是三个例子. 下面哪个结论对所有三角形都正确?(E) 三条边长都相等(F) 一条边是另外一条边的两倍(G) 至少有两个角相等(H) 三个角都相等SPRQJ(E)以上都不对10.两个圆的圆心P 、Q 及这两个圆的两个交点R 、S 构成一个四边形PQRS ，下面是两个例子。
下面哪个结论不总是正确?(A) 四边形PQRS 有两条边长相等(B) 四边形PQRS 至少有两个角相等(C) 直线PQ 与RS 互相垂直(D) 角P 与角Q 相等 (E) 以上都对11.有两个命题: 命题1: 图形F 是一个矩形.命题2: 图形F 是一个三角形.其中, 正确的是(A) 如果命题1正确, 那么命题2也正确(B) 如果命题1错误, 那么命题2正确(C) 命题1和命题2不能同时正确(D) 命题1和命题2不能同时错误 (E) 以上都不对12.有两个命题: 命题S: △ABC 的三边都相等.命题T: 在△ABC 中, 角B 和角C 相等.其中, 正确的是(A) 命题S 和命题T 不能同时正确(B) 如果命题S 正确, 那么命题T 也正确RQSP R QSP(C)如果命题T正确, 那么命题S也正确(D)如果命题S错误, 那么命题T也错误(E) 以上都不对13.下面哪些是矩形?P Q R(A)都是(B)只有Q(C)只有R(D)P和Q(E) Q和R14.下面正确的是 ( )(A)矩形的所有性质都是任意一个正方形的性质(B)正方形的所有性质都是任意一个矩形的性质(C)矩形的所有性质都是任意一个平行四边形的性质(D)正方形的所有性质都是任意一个平行四边形的性质(E) 以上都不对15.所有矩形都满足而有些平行四边形不满足的性质是什么? ( )(A)对边相等(B)对角线相等(C)对边平行(D)对角相等(E) 以上都不对16.有一个直角三角形ABC, 在它的每条边上都构造一个等边三角形ACE, ABF 和BCD(如图).根据上述条件, 可以证明AD,BE,CF 交于一点. 从这个证明中, 你可以肯定的是(A) 只有在所给的图形中, AD,BE,CF 才交于一点(B) 对于有些直角三角形, 但不是全部, AD,BE,CF 交于一点 (C) 对于任意直角三角形, AD,BE,CF 交于一点 (D) 对于任意三角形, AD,BE,CF 交于一点 (E) 对于任意等边三角形, AD,BE,CF 交于一点17.下面是一个图形的三条性质: 性质D: 有相等的对角线; 性质S: 它是一个正方形;性质R: 它是一个矩形.其中正确的是(A) D 推出S, S 推出R (B) D 推出R, R 推出S (C) S 推出R, R 推出D (D) R 推出D, D 推出S (E) R 推出S, S 推出DDABCEA18.下面两个命题:I: 如果一个图形是矩形, 那么它的对角线互相平分;II:如果一个图形的对角线互相平分, 那么它是一个矩形.下面正确的是(A)要证明I正确, 只需证明II正确(B)要证明II正确, 只需证明I正确(C)要证明II正确, 只需找到一个矩形, 它的对角线互相平分(D)要证明II错误, 只需找到一个不是矩形的图形, 它的对角线互相平分(E)以上都不对19.在几何中, 下列说法正确的是 ( )(A)所有概念都可以定义, 所有真命题都可以证明(B)所有概念都可以定义, 但必须假设某些命题是正确的(C)有些概念可以没有定义, 但所有真命题都可以证明(D)有些概念不可以定义, 并且必须假设某些命题是正确的(E)以上都不对20.考查下面三个命题:(1)垂直于同一条直线的两条直线垂直;(2)如果一条直线垂直于两条平行直线中的一条, 那么它也垂直于另一条.(3)如果两条直线距离相等, 那么它们互相平行.在下面的图形中, 已知直线m和直线p垂直，直线n和p直线垂直. 上述哪个命题是由此推出m与n平行的理由?(A)只有(1)(B)只有(2)(C)只有(3)(D)(1)或(2)(E)(2)或(3) pmn21.在一个不寻常的几何系统F 中, 只有四个点和六条直线, 每条直线都恰好经过两个点. 其中，点用P,Q,R,S 表示(如图), 直线用{P,Q},{P,R},{P,S},{Q,R},{Q,S},{R,S}表示. 在F 系统中，我们是这样来定义两条直线相交和平行的：直线{P,Q}与直线{P,R}相交于点P ，因为{P,Q}与{P,R}有公共的元素P. 直线{P,Q}与直线{R,S}是平行的，因为{P,Q}与{P,R}没有公共元素。
初联难度几何题100道
初中教师转正必做100题第一题： (4)第二题： (5)第三题： (6)第四题： (7)第五题： (8)第六题： (9)第七题： (10)第八题： (11)第九题： (12)第十题： (13)第十一题： (14)第十二题： (15)第十三题： (16)第十四题： (17)第十五题： (18)第十六题： (19)第十七题： (20)第十八题： (21)第十九题： (22)第二十题： (23)第二十一题： (24)第二十二题： (25)第二十三题： (26)第二十四题： (27)第二十五题： (28)第二十六题： (29)第二十七题： (30)第二十八题： (31)第二十九题： (32)第三十题： (33)第三十一题： (34)第三十二题： (35)第三十三题： (36)第三十四题： (37)第三十五题： (38)第三十六题： (39)第三十七题： (40)第三十八题： (41)第三十九题： (42)第四十题： (43)第四十一题： (44)第四十二题： (45)第四十四题： (47)第四十五题： (48)第四十六题： (49)第四十七题： (50)第四十八题： (51)第四十九题： (52)第五十题： (53)第五十一题： (54)第五十二题： (55)第五十三题： (56)第五十四题： (57)第五十五题： (58)第五十六题： (59)第五十七题： (60)第五十八题： (61)第五十九题： (62)第六十题： (63)第六十一题： (64)第六十二题： (65)第六十三题： (66)第六十四题： (67)第六十五题： (68)第六十六题： (69)第六十七题： (70)第六十八题： (71)第六十九题： (72)第七十题： (73)第七十一题： (74)第七十二题： (75)第七十三题： (76)第七十四题： (77)第七十五题： (78)第七十六题： (79)第七十七题： (80)第七十八题： (81)第七十九题： (82)第八十题： (83)第八十一题： (84)第八十二题： (85)第八十三题： (86)第八十四题： (87)第八十五题： (88)第八十六题： (89)第八十八题： (91)第八十九题： (92)第九十题： (93)第九十一题： (94)第九十二题： (95)第九十三题： (96)第九十四题： (97)第九十五题： (98)第九十六题： (99)第九十七题： (100)第九十八题： (101)第九十九题： (102)第一百题： (103)第一题：已知：ABCAE⊥，ABCF⊥，AE、CF相交BAC，BC∆外接于⊙O，︒=∠60于点H，点D为弧BC的中点，连接HD、AD。
吴望一《流体力学》第一章部份习题参考答案(p48-p50).
吴望一《流体力学》第一章部份习题参考答案（p48-p50）1(2) 11, id r rgrad gradr gradr r dr x ⎛⎫ ⎪∂⎝⎭=⋅=∂直角坐标系下12()j j r x x =故1122311()()()2221i j j j j j j i i i x r gradr x x x x x x x x x r r r r grad r r-∂∂=====∂∂=- 若使用球坐标系r r r rgradr e e r r∂===∂ （3）()()j j j j j ij j i ix grad c r c x c c c c x x δ∂∂⋅=====∂∂ (5)()2()()()()22()2()ijk j k imn m n jm kn jn km j m k n k j k k j j k k j k k j j j j k l l ll j j l k k j l j grad c r c x c x c c x x x x x x c c x x c c x x c c c c x x x x c c c c x c c c r c c c c r εεδδδδ⎡⎤⨯=∇=∇-⎣⎦∂∂∂=-=-∂∂∂=--=⋅-⋅2.设x 和y 代表两个函数111111()()()m n n m m n n m m n mngrad x y y mx gradx nx y grady mgradx y x x y mx y gradx x y ------=+=+=+()0.m my gradx grad y x n nmy x const n ⇒-=⇒-=grad =3．00x x y yφϕφϕφϕ∂∂∂∂+=⇒∇⋅∇=⇒∂∂∂∂等φ线的法向n φ与等ϕ线的法向n ϕ满足0n n φϕ⋅=。
即两者正交。
考虑到等φ线与等ϕ线分别与各点的n φ和n ϕ正交，可知等φ线和等ϕ线正交。
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《流形与几何》测验一2015.3.23
说明：从下列题目中选择5题完成并于一周内交给我.
1.设M,N分别为m,n维微分流形,证明M×N为m+n维微分流形.
2.设M,N为微分流形,f:M→N为光滑映射.如果f的秩恒等于l,则
任给p∈M,存在包含p的局部坐标邻域U以及包含q=f(p)的局部坐标邻域V,使得f(U)⊂V,且f的局部表示形如
(x1,···,x m)→(x1,···,x l,0,···,0).
3.设f:M→N为微分流形之间的淹没,证明f将开集映为开集.
4.定义映射f:GL(3,R)→GL(3,R)为f(A)=AA .计算f的秩,并说
明O(3)(3阶正交矩阵的全体)为正则子流形.
5.设f:M→N为微分流形之间的光滑映射.如果S为M的正则子
流形,则f|S:S→N仍为光滑映射;如果T为N的正则子流形,且f(M)⊂T,则存在光滑映射g:M→T,使得f=i◦g,其中i:T→N 为包含映射.
6.设f:R n→R为光滑函数,x0∈R n.记
S={x∈R n|f(x)=f(x0)}.
设∇f(x0)=0,证明在x0附近S为正则超曲面.
7.设{Aα}为R n中的一族局部有限的闭集,证明它们的并集仍为闭集.
8.设M,N为紧致微分流形,f为M×N上的光滑函数.证明:任给ε>
0,存在M上的有限个光滑函数g i和N上的有限个光滑函数h i(i= 1,···,k),使得
f(x,y)−
k
∑
i=1
g i(x)h i(y)
<ε,∀x∈M,y∈N.
1。