高三文科三角函数复习
高考数学三角函数、解三角形 考点及知识点总结解析(文科)
()
A．153
B．1123
C．152
D．－153
答案：A
2．3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角．
答案：四 一
考点一 角的集合表示及象限角的判定
[题组练透]
1．给出下列四个命题：
①－
3π 4
是第二象限角；②
4π 3
是第三象限角；③－400°是第
四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有
cos α sin α
cos α
－sin α
口诀
函数名不变 符号看象限
函数名改变 符号看象限
记忆 规律
奇变偶不变，符号看象限
课 前 ·双 基 落 实 课 堂 ·考 点 突 破
课 后 ·三 维 演 练
任意角和弧度制及任意角的三角函数 结 束
[小题体验] 1．已知 sinπ2＋α＝35，α∈0，π2，则 sin(π＋α)＝______．
_x__叫做 α 的正切，记
正弦，记作 的余弦，记
作 tan α
sin α
作 cos α
三角函数 一
各象限 二 符号 三 四
正弦 ＋ ＋ － －
余弦 ＋ － － ＋
正切 ＋ － ＋ －
三角函 数线
有向线段_M__P_ 有向线段_O_M__ 有向线段__A_T_
为正弦线
为余弦线
为正切线
[小题体验]
答案：－45 2．若 sin θcos θ＝12，则 tan θ＋csions θθ的值为________．
答案：2
课 前 ·双 基 落 实 课 堂 ·考 点 突 破
课 后 ·三 维 演 练
任意角和弧度制及任意角的三角函数 结 束
高中三角函数及解三角形知识点总结(高考复习)
= 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α .
变形如下：
1 + cos 2α = 2 cos 2 α 升幂公式： 2 1 − cos 2α = 2sin α cos 2 α = 1 (1 + cos 2α ) 2 降幂公式： sin 2 α = 1 (1 − cos 2α ) 2
y = sin x 在 x ∈ [0, 2π ] 上的五个关键点为：
π 3π （0， 0） （ ， ， 1 ） （ ， π， 0） （ ， ，） -1（ ， 2π ， 0） . 2 2
-1-
§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象：
y
2、记住余切函数的图象：
y
y=tanx
y=cotx
y = A sin ω x
横坐标变为原来的 | 平 移
ϕ ω
2− 3
§ 3.1.2 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1 ω
|倍
个 单 位
1、 sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β 2、 sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
r = x2 + y 2 ） sin α = x y x y ， cos α = ， tan α = ， cot α = y r r x
π sin + α = cos α , 2 π cos + α = − sin α . 2
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象：
ymax + ymin . 2
ymax − ymin ， 2
高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总
高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总高考文科数学题型分类汇总：三角函数篇本文旨在汇总高考文科数学中的三角函数题型，包括定义法求三角函数值、诱导公式的使用、三角函数的定义域或值域、三角函数的单调区间、三角函数的周期性、三角函数的图象变换和三角函数的恒等变换。
题型一：定义法求三角函数值这类题目要求根据三角函数的定义，求出给定角度的正弦、余弦、正切等函数值。
这类题目的难点在于熟练掌握三角函数的定义，以及对角度的准确度量。
题型二：诱导公式的使用诱导公式是指通过对已知的三角函数进行代数变形，得到新的三角函数值的公式。
这类题目需要熟练掌握各种诱导公式，以及灵活应用。
题型三：三角函数的定义域或值域这类题目要求确定三角函数的定义域或值域。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数的定义域和值域的概念和计算方法。
题型四：三角函数的单调区间这类题目要求确定三角函数的单调区间，即函数在哪些区间上单调递增或单调递减。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数单调性的判定方法。
题型五：三角函数的周期性这类题目要求确定三角函数的周期。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数周期的计算方法。
题型六：三角函数的图象变换这类题目要求根据给定的变换规律，确定三角函数图象的变化。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对图象变换的计算方法。
题型七：三角函数的恒等变换这类题目要求根据已知的三角函数恒等式，进行变形和推导。
需要掌握各种三角函数的恒等式，以及灵活应用。
2）已知角α的终边经过一点P，则可利用点P在单位圆上的性质，结合三角函数的定义求解．在求解过程中，需注意对角终边位置进行讨论，避免忽略或重复计算．例2已知sinα=0.8，且α∈[0,π2]，则cosα=．答案】0.6解析】∵sinα=0.8，∴cosα=±√1-sin²α=±0.6XXXα∈[0,π2]，∴cosα>0，故cosα=0.6易错点】忘记对cosα的正负进行讨论思维点拨】在求解三角函数值时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．同时，需根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型二诱导公式的使用例3已知tanα=√3，且α∈(0,π2)，则sin2α=．答案】34解析】∵ta nα=√3，∴α=π/30<α<π/2，∴0<2α<πsin2α=sin(π-2α)=sinπcos2α-cosπsin2α=-sin2α2sin2α=0，∴sin2α=0sin2α=3/4易错点】忘记利用诱导公式将sin2α转化为sin(π-2α)思维点拨】在解决三角函数的复合问题时，可利用诱导公式将一个三角函数转化为其他三角函数的形式，从而简化计算．同时，需注意根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型三三角函数的定义域或值域例4已知f(x)=2sinx+cosx，则f(x)的值域为．答案】[−√5,√5]解析】∵f(x)=2sinx+cosx=√5(sin(x+α)+sin(α-x))，其中tanα=-121≤sin(x+α)≤1，-1≤sin(α-x)≤15≤f(x)≤√5f(x)的值域为[−√5,√5]易错点】忘记利用三角函数的性质将f(x)转化为含有同一三角函数的形式思维点拨】在确定三角函数的定义域或值域时，可利用三角函数的性质将其转化为含有同一三角函数的形式，从而方便计算．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其定义域或值域．题型四三角函数的单调区间例5已知f(x)=sin2x，则f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为．答案】[0,π/4]∪[3π/4,π]解析】∵f'(x)=2cos2x=2(2cos²x-1)=4cos²x-2f'(x)>0的充要条件为cosx12f(x)在[0,π/4]∪[3π/4,π]上单调递增易错点】忘记将f'(x)化简为含有同一三角函数的形式，或对于三角函数的单调性判断不熟练思维点拨】在求解三角函数的单调区间时，需先求出其导数，并将其化简为含有同一三角函数的形式．然后，利用三角函数的单调性进行判断，得出函数的单调区间．题型五三角函数的周期性例6已知f(x)=sin(2x+π)，则f(x)的周期为．答案】π解析】∵sin(2x+π)=sin2xcosπ+cos2xsinπ=-sin2xf(x)的周期为π易错点】忘记利用三角函数的周期性质思维点拨】在求解三角函数的周期时，需利用三角函数的周期性质，即f(x+T)=f(x)，其中T为函数的周期．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其周期．题型六三角函数的图象变换例7已知f(x)=sinx，g(x)=sin(x-π4)，则g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移了．答案】π4解析】∵g(x)=sin(x-π4)=sinxcosπ4-cosxsinπ4g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移π4易错点】忘记利用三角函数的图象变换公式，或对于三角函数的图象不熟悉思维点拨】在求解三角函数的图象变换时，需利用三角函数的图象变换公式，即y=f(x±a)的图象相对于y=f(x)的图象向左（右）平移a个单位．同时，需对于各种三角函数的图象有一定的了解，以便准确判断图象的变化情况．题型七三角函数的恒等变换例8已知cosα=12，且α∈(0,π2)，则sin2α的值为．答案】34解析】∵cosα=12，∴sinα=√3/2sin2α=2sinαcosα=√3/2×1/2=3/4易错点】忘记利用三角函数的恒等变换公式思维点拨】在求解三角函数的恒等变换时，需熟练掌握三角函数的基本恒等式和常用恒等式，从而简化计算．同时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．已知角α的终边所在的直线方程，可以通过设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义来解决相关问题。
2023年高考数学(文科)一轮复习——三角函数的图象与性质
令12x－π6＝π2＋kπ(k∈Z)， 得 x＝43π＋2kπ(k∈Z)， 故 f(x)图象的对称中心为2kπ＋43π，0，k∈Z. 令12x－π6＝kπ(k∈Z)， 得 x＝2kπ＋π3(k∈Z)， 故 f(x)图象的对称轴方程是 x＝2kπ＋π3，k∈Z.
索引
考点三 三角函数的单调性
角度1 求三角函数的单调区间
索引
解析 (1)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条. (2)正切函数 y＝tan x 在每一个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上都是增函数，但在定 义域内不是单调函数，故不是增函数. (3)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.
索引
2.函数 f(x)＝－2tan2x＋π6的定义域是( D )
索引
(2)已知函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为 4π，且∀x∈R 有 f(x)≤fπ3成立，则 f(x)图象的对称中心是__2_k_π_＋__43_π_，__0_，__k_∈__Z___，对称轴方程是 ___x_＝__2_k_π_＋__π3_，__k_∈__Z______. 解析 由 f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为 4π，得 ω＝12， 因为 f(x)≤fπ3恒成立，所以 f(x)max＝fπ3，即21×π3＋φ＝2kπ(k∈Z). 又∵|φ|<π2，所以 φ＝－π6， 故 f(x)＝cos12x－π6，
∴当 sin x＝21时，ymax＝54.
当sin x＝－1时，ymin＝－1.
索引
5.函数 f(x)＝cos2x＋π4的最小正周期是___π_____.
索引
6.(易错题)函数 y＝tanx＋π4的图象的对称中心是__k2_π_－__π4_，__0_，__k_∈__Z_____. 解析 由 x＋π4＝k2π，k∈Z，得 x＝k2π－π4，k∈Z， ∴对称中心是k2π－π4，0，k∈)
高三文科数学三角函数概念、同角关系、诱导公式
义的应用原点）的角为，OB为终边的角为，那么 sin(+ )等于多少？
（第103页例1）
二、三角函数定义的应用
例2 直线y=2x+m和圆x2+y2=1交于 以x轴正方向为始边，OA为终边（
典例分析
原点）的角为，OB为终边的角为 sin(+ )等于
典例分析
二、三角函数定义的应用
例3 如图，已知点A（3，4），C(2,0),
点B在第二象限，且OB=3，O为坐标原点，
记AOC= . (1)求sin2的值；
y
A
（2）若AB=7， 求 BOC的面积.
B
O
C
x
典例分析
三、
－７ 例4
已知-
2
x
0, sin
x
cos
x
1 5
,
5 求sin x cos x 的值.
sin x cos x与方程思想
典例分析
sin x cos x与方程思想
复习回顾
二、三角函数 定义的应用
1.齐次式的问题
一、同角关系的应用
2.已知一个角的三角函数值,求其它的 三角函数值
典例分析
若角的终边落在射线y=二-、x三(角函x数定义0的)应上用 ，
in
1 cos2 的值为 （第104页第6题）2 直线y=2x+m和圆x2+y2=1交于点A,B， 以x轴正方向为始边，OA为终边（O是坐标
例5
已知 （０，）,sin２
－24 , 25
－７
求 cos sin 的值.
5
三、
三角函数的概念 同角 三角函数的关系 诱导
公式
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高三总复习(三角函数重要知识点)
三角函数知识点一、任意角的三角函数1、终边在x 轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ．2．象限角是指： ．3．区间角是指： ．4．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．5．弧度与角度互化：180º＝ 弧度，1º＝ 弧度，1弧度＝ ≈ º．6．弧长公式：l ＝ ；扇形面积公式：S ＝ .7．定义：设P(x, y)是角α终边上任意一点，且 |PO| ＝r ，则sin α＝ ； cos α＝ ；tan α＝ ；8．三角函数的符号与角所在象限的关系：910．三角函数线：在图中作出角α的正弦线、余弦线、正切线．二、同角三角函数的基本关系及诱导公式1．同角公式：(1) 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1，1＋tan 2α＝ ，1＋cot 2α＝ (2) 商数关系：tanα＝ ，cotα＝(3) 倒数关系：tanα ＝1，sinα ＝1，cotα ＝1 2．诱导公式：－ ＋ －+cos x ,＋ ＋ － － sin x ,－ ＋ ＋ － tan x ,x y O xyO x y O规律：奇变偶不变，符号看象限3．同角三角函数的关系式的基本用途：根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式．4．诱导公式的作用：诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为0°~90º角的三角函数值．三、两角和与差的三角函数1．两角和的余弦公式的推导方法： 2．基本公式sin(α±β)＝sinα cosβ±cosα sinβ cos(α±β)＝ ; tan(α±β)＝ . 3．公式的变式tanα＋tanβ＝tan (α＋β)(1－tanα tanβ) 1－tanα tanβ＝)tan(tan tan βαβα++4．常见的角的变换： 2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝2βα+＋2βα-α＝(α＋β)－β ＝(α－β)＋β 2βα+＝(α－2β)－(2α－β)； )4()4(x x ++-ππ＝2π四、二倍角的正弦、余弦、正切1．基本公式：sin2α＝ ； cos2α＝ ＝ ＝ ； tan2α＝ . 2．公式的变用：1＋cos2α＝ ； 1－cos2α＝ ．五、三角函数的化简和求值1．三角函数式的化简的一般要求：① 函数名称尽可能少； ② 项数尽可能少；③ 尽可能不含根式； ④ 次数尽可能低、尽可能求出值． 2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次． 3．求值问题的基本类型及方法① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．② “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；③ “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．4．反三角函数arcsinα、arccosα、arctanα分别表示[2,2ππ-]、[0，π]、（2,2ππ-）的角．六、三角函数的恒等变形（一）、三角恒等式的证明1．三角恒等式的证明实质是通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差异、函数名称的差异等）．2．证三角恒等式的基本思路是“消去差异，促成同一”，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、结构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进同一．3．证明三角恒等式的基本方法有：⑴ 化繁为简；⑵ 左右归一；⑶ 变更问题． （二）、三角条件等式的证明1．三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程，须注意转化过程确保充分性成立．2．三角条件等式的证明，关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在联系，其常用的方法有：⑴ 代入法：就是将结论变形后将条件代入，从而转化为恒等式的证明． ⑵ 综合法：从条件出发逐步变形推出结论的方法．⑶ 消去法：当已知条件中含有某些参数，而结论中不含这些参数，通过消去条件中这些参数达到证明等式的方法．⑷ 分析法：从结论出发，逐步追溯到条件的证明方法，常在难于找到证题途径时用之．七、三角函数的图象与性质1．用“五点法”作正弦、余弦函数的图象．“五点法”作图实质上是选取函数的一个 ，将其四等分，分别找到图象的 点， 点及“平衡点”．由这五个点大致确定函数的位置与形状． 2．y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 的图象． 函数y ＝sinx y ＝cosx y ＝tanx 图象注：⑴ 正弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ． ⑵ 余弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ． ⑶ 正切函数的对称中心为 ．3．“五点法”作y ＝Asin(ωx ＋ϕ)(ω>0)的图象．令x'＝ωx ＋ϕ转化为y ＝sinx'，作图象用五点法，通过列表、描点后作图象． 4．函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)的图象与函数y ＝sinx 的图象关系．振幅变换：y ＝Asinx(A>0，A≠1)的图象，可以看做是y ＝sinx 的图象上所有点的纵坐标都 ，(A>1)或 (0<A<1)到原来的 倍（横坐标不变）而得到的．周期变换：y ＝sinωx(ω>0，ω≠1)的图象，可以看做是把y ＝sinx 的图象上各点的横坐标 (ω>1)或 (0<ω<1)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的．由于y ＝sinx 周期为2π，故y ＝sinωx(ω>0)的周期为 ．相位变换：y ＝sin(x ＋ϕ)(ϕ≠0)的图象，可以看做是把y ＝sinx 的图象上各点向 (ϕ>0)或向 (ϕ<0)平移 个单位而得到的．由y ＝sinx 的图象得到y ＝Asin(ωx ＋ϕ)的图象主要有下列两种方法：或说明：前一种方法第一步相位变换是向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平移 个单位．后一种方法第二步相位变换是向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平移 个单位．八、三角函数的性质1．三角函数的性质函 数 y ＝sinx y ＝cosx y ＝tanx 定义域 值 域 奇偶性 有界性 周期性 单调性最大(小)值2．函数y ＝sinx 的对称性与周期性的关系．⑴ 若相邻两条对称轴为x ＝a 和x ＝b ，则T ＝ ． ⑵ 若相邻两对称点(a ，0)和(b ，0) ，则T ＝ ．⑶ 若有一个对称点(a ，0)和它相邻的一条对称轴x ＝b ，则T ＝ ． 注：该结论可以推广到其它任一函数．九、三角函数的最值1．一元二次函数与一元二次方程一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标． 2．函数与方程两个函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标就是方程()()f x g x =的解；反之，要求方程()()f x g x =的解，也只要求函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标．3．二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(,)m n ，则必有()()0f m f n ⋅<，再取区间的中点2m np +=，再判断()()f p f m ⋅的正负号，若()()0f p f m ⋅<，则根在区间(,)m p 中；若()()0f p f m ⋅>，则根在(,)p n 中；若()0f p =，则p 即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．。
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)三角函数考点1：三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
考点2：三角恒等变换三角恒等变换包括两角和、差公式、倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式等。
考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质都需要掌握。
考点4：函数y=Asin(x)(A,)的图像与性质函数y=Asin(x)(A,)的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质也需要掌握。
此外，该函数的图像还可以通过一定的变换得到。
一、三角函数求值问题1.三角函数的概念例1.若角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，则sin=-3/5.2.公式法例2.设(0,π/2)，若sin=1/2，则2cos()=√3.练1.已知角的终边上一点的坐标为（sinθ。
cosθ）(θ∈(π/2,π))，则sin=-cosθ。
3.化简求值例3.已知为第二象限角，且sin=15/17，求sin(+π/4)的值。
练：1.已知sin=1/5，则sin4-cos4的值为-24/25.2.已知tan(θ+)=1/2，求tanθ和sin2θ-cosθ.sinθ+2cos2θ的值。
4.配凑求值例4．已知,∈(π/3,π/2)，且sin(+)=-√3/2，sin(-)=1/2，求cos(+)的值。
练：1.设α∈(π/12,π/3)，β∈(0,π/6)，且sin(α+β)=-√3/2，sin(β-α)=-1/2，则cos(α+β)=1/2.1.已知三角函数的值，求其他三角函数的值已知 $sin\alpha = \frac{4}{5}$，$cos\beta = \frac{3}{5}$，$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$，$sin(\beta + \theta) =\frac{3}{5}$，求 $sin(\alpha + \beta)$ 和 $tan(\alpha - 2\beta)$。
文科三角函数知识点整理
文科三角函数知识点整理三角函数是高中数学中的重要内容，也是高考中的重点和难点。
对于文科学生来说，掌握好三角函数的知识点至关重要。
下面我们就来对文科三角函数的知识点进行一个系统的整理。
一、角的概念的推广1、正角、负角和零角按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。
2、象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。
3、终边相同的角所有与角α终边相同的角（包括角α在内），均可表示为：k·360°＋α，k∈Z。
二、弧度制1、弧度与角度的换算180°＝π 弧度，1°＝π/180 弧度，1 弧度＝（180/π）°。
2、扇形的弧长和面积公式弧长公式：l ＝｜α|·r （α为圆心角的弧度数，r 为半径）面积公式：S ＝ 1/2·l·r 或 S ＝ 1/2·｜α|·r²三、任意角的三角函数1、定义设α是一个任意角，它的终边上任意一点 P（x，y），r ＝｜OP| ＝√（x²＋ y²) ，那么：正弦函数：sinα ＝ y/r余弦函数：cosα ＝ x/r正切函数：tanα ＝ y/x （x ≠ 0）2、三角函数值在各象限的符号正弦函数在一、二象限为正，三、四象限为负；余弦函数在一、四象限为正，二、三象限为负；正切函数在一、三象限为正，二、四象限为负。
3、同角三角函数的基本关系平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 1商数关系：tanα ＝sinα/cosα四、诱导公式1、公式一sin（2kπ ＋α）＝sinα，cos（2kπ ＋α）＝cosα，tan（2kπ ＋α）＝tanα，k∈Z2、公式二sin（π ＋α）＝sinα，cos（π ＋α）＝cosα，tan（π ＋α）＝tanα3、公式三sin（α）＝sinα，cos（α）＝cosα，tan（α）＝tanα4、公式四sin（π α）＝sinα，cos（π α）＝cosα，tan（π α）＝tanα5、公式五sin（π/2 α）＝cosα，cos（π/2 α）＝sinα6、公式六sin（π/2 ＋α）＝cosα，cos（π/2 ＋α）＝sinα诱导公式可以概括为：“奇变偶不变，符号看象限”。
高考三角函数复习专题
三角函数复习专题一、核心知识点归纳：★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：★★2.正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===R 为ABC ∆外接圆半径2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ⇒ sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆===③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩三、例题集锦： 考点一：三角函数的概念1.如图,设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点,Q P 、是 单位圆上的两点,O 是坐标原点,6π=∠AOP ,[)παα,0,∈=∠AOQ ．1若34(,)55Q ,求⎪⎭⎫⎝⎛-6cos πα的值；2设函数()f OP OQ α=⋅,求()αf 的值域． 2．已知函数2()22sin f x x x =-.Ⅰ若点(1,P在角α的终边上,求()f α的值； Ⅱ若[,]63x ππ∈-,求()f x 的值域.考点二：三角函数的图象和性质3.函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．Ⅰ求()f x 的最小正周期及解析式；Ⅱ设()()cos 2g x f x x =-,求函数()g x 在区间[0,]x π∈上的最大值和最小值．考点三、四、五：同角三角函数的关系、 诱导公式、三角恒等变换4．已知函数x x x f 2cos )62sin()(+-=π.1若1)(=θf ,求θθcos sin ⋅的值；2求函数)(x f 的单调增区间.3求函数的对称轴方程和对称中心 5.已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-0x ω∈>R ，,相邻两条对称轴之间的距离等于2π．Ⅰ求()4f π的值；Ⅱ当 02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时,求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值． 6、已知函数2()2sin sin()2sin 12f x x x x π=⋅+-+ ()x ∈R . Ⅰ求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；Ⅱ若0()23x f =,0ππ(, )44x ∈-,求0cos 2x 的值.7、已知πsin()410A +=,ππ(,)42A ∈． Ⅰ求cos A 的值； Ⅱ求函数5()cos 2sin sin 2f x x A x =+的值域．考点六：解三角形8．已知△ABC 中,2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+. Ⅰ求角B 的大小；Ⅱ设向量(cos , cos 2)A A =m ,12(, 1)5=-n ,求当⋅m n 取最 小值时,)4tan(π-A 值.9．已知函数23cos sin sin 3)(2-+=x x x x f ()R x ∈． Ⅰ求)4(πf 的值；Ⅱ若)2,0(π∈x ,求)(x f 的最大值；Ⅲ在ABC ∆中,若B A <,21)()(==B f A f ,求AB BC 的值．10、在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 分,且满足2cos cos c b Ba A-=． Ⅰ求角A 的大小；Ⅱ若a =求△ABC 面积的最大值．11、 在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且b 2+c 2-a 2=bc ．9第题图Ⅰ求角A 的大小；Ⅱ设函数2cos 2cos 2sin 3)(2x x xx f +=,当)(B f 取最大值23时,判断△ABC 的形状．12、在ABC ∆中,内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ,已知1tan 2B =,1tan 3C =,且1c =. Ⅰ求tan A ； Ⅱ求ABC ∆的面积.13、在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,且274sin cos222A B C +-=． Ⅰ求角C 的大小； Ⅱ求sin sin A B +的最大值．高三文科---三角函数专题11.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x =上,则cos2θ=A .45- B .35- C .35 D .452.如图,质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为)2,2(0-P ,角速度为1,那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为3.动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知时间0t =时,点A 的坐标是13(,)22,则当012t ≤≤时,动点A 的纵坐标y 关于t 单位：秒的函数的单调递增区间是A 、[]0,1B 、[]1,7C 、[]7,12D 、[]0,1和[]7,124.函数f (x)Asin(wx ),(A,w,=+φφ）为常数,)0,0>>w A 的部分图象如图所示,则f (0)____的值是5.已知函数f (x)A tan(x )=ω+ϕω＞0,2π＜ϕ,y f (x)=的部分图象如下图,则f24π=__________. 6. 函数f x=sinx －cosx ＋6π的值域为A ． －2 ,2B .33C .－1,1D .－33 8.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+,其中ϕ为实数,若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立,且()()2f f ππ>,则()f x 的单调递增区间是 A ,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C 2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦14.定义在⎪⎭⎫⎝⎛20π,的函数y=6cosx 图像与y=5tanx 图像的交点为P,过点P 作PP 1⊥x轴于点P 1,直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为 .16.如图,四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间,各自作出三个函数sin 2y x =, sin()6y x π=+,sin()3y x π=-的图像如下,结果发现其中有一位同学作出的图像有错误,那么有错误．．的图像是 A B C D17.已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是20.设sin 1+=43πθ（）,则sin 2θ=A 79- B 19- C 19 D 7922.已知,2)4tan(=+πx 则x x2tan tan 的值为__________25.若tan θ＋1tan θ=4,则sin 2θ=A ．15B . 14C . 13D . 1226.已知α为第二象限角,33cos sin =+αα,则cos2α=A 555527.若02πα<<,02πβ-<<,1cos ()43πα+=,3cos ()42πβ-=则cos ()2βα+= A33 B 33-53 D 628. 设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则)122sin(π+a 的值为 ． 29.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,1若,cos 2)6sin(A A =+π 求A 的值；2若c b A 3,31cos ==,求C sin 的值.30.如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC=3点D 在BC 边上,∠ADC=45°,则AD 的长度等于___.31.在ABC ∆中,内角A,B,C 所对的边分别是c b a ,,,已知8b=5c,C=2B,则cosC=A257 B 257- C 257± D 2524 34.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且53cos =A ,135cos =B ,3=b 则c =35. 如图,正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ,使1AE =,连接EC 、ED 则sin CED ∠=A 、31010 B 、1010 C 、510 D 、51536. 在ABC ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c , 若2222a b c +=,则cos C 的最小值为A .3. 22C . 12D . 12-37.在ABC 中,60,3B AC ==则2AB BC +的最大值为 . 39. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是①若2ab c >；则3C π<②若2a b c +>；则3C π<③若333a b c +=；则2C π<④若()2a b c ab +<；则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<；则3C π>43. 已知函数()tan(2),4f x x =+πⅠ求()f x 的定义域与最小正周期；II 设0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πα,若()2cos 2,2f =αα求α的大小45. 设函数22())sin 4f x x x π=++. I 求函数()f x 的最小正周期；II 设函数()g x 对任意x R ∈,有()()2g x g x π+=,且当[0,]2x π∈时, 1()()2g x f x =-,求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.47.设426f (x )cos(x )sin x cos x π=ω-ω+ω,其中.0>ω Ⅰ求函数y f (x )= 的值域Ⅱ若y f (x )=在区间322,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,求 ω的最大值.48. 函数2()6cos 33(0)2xf x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.Ⅰ求ω的值及函数()f x 的值域； Ⅱ若083()f x =,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值. 52. 已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边,cos 3sin 0a C a C b c --= 1求A ； 2若2a =,ABC ∆的面积为3；求,b c .53.在∆ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ．已知cos A ＝23,sin B ＝5C ．Ⅰ求tan C 的值； Ⅱ若a 2求∆ABC 的面积．54.在△ABC中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知,sin()sin()444A b C cB a πππ=+-+= 1求证： 2B C π-=2若2a =,求△ABC 的面积.56.已知向量(cos sin ,sin )x x x ωωω=-a ,(cos sin ,23cos )x x x ωωω=--b ,设函数()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称,其中ω,λ为常数,且1(,1)2ω∈.Ⅰ求函数()f x 的最小正周期；Ⅱ若()y f x =的图象经过点π(,0)4,求函数()f x 在区间3π[0,]5上的取值范围. 57.在ABC ∆中,已知3AB AC BA BC =． 1求证：tan 3tan B A =； 2若5cos 5C =，求A 的值．58. 已知△ABC 得三边长成公比为2的等比数列,则其最大角的余弦值为_____.59.已知ABC ∆ 的一个内角为120o ,并且三边长构成公差为4的等差数列,则ABC ∆的面积为_______60.已知等比数列{a n }的公比q=3,前3项和313.3S = I 求数列{a n }的通项公式；II 若函数()sin(2)(0,0)f x A x A p ϕϕπ=+><<<在6x π=处取得最大值,且最大值为a 3,求函数fx 的解析式.63.函数22xy sin x =-的图象大致是 64.函数fx=sin x ωϕ+的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示,其中,P 为图像与y 轴的交点,A,C 为图像与x 轴的两个交点,B 为图像的最低点.1若6πϕ=,点P 的坐标为0,332,则ω= ； 2求∆ABC 面积65设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.I 求BII 若1sin sin 4A C =,求C .66在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且222a b c =++.Ⅰ求A ;Ⅱ设a =S 为△ABC 的面积,求3cos cos S B C +的最大值,并指出此时B 的值.67在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3cos()cos sin()sin()5A B B A B A c ---+=-.Ⅰ求sin A 的值;Ⅱ若a =5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影68已知函数()sin cos f x x a x =+的一个零点是3π4. Ⅰ求实数a 的值;Ⅱ设22()[()]2sin g x f x x =-,求()g x 的单调递增区间.69在△ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=.Ⅰ求证：,,a b c 成等比数列； Ⅱ若1,2a c ==,求△ABC 的面积S .三角函数1、在ABC ∆中,已知内角3A π=,边BC =设内角B x =,面积为y .1求函数()y f x =的解析式和定义域； 2求y 的最大值.2、已知a ＝coos α,sin α,b ＝coos β,sin β,其中0＜α＜β＜π． 1求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；2若k a ＋b 与a －k b 的长度相等,求β－α的值k 为非零的常数．3、已知3sin22B A ++cos 22BA -=2, cocacobs ≠0,求tanAtanB 的值; 5、已知ABC ∆中,1||=AC ,0120=∠ABC ,θ=∠BAC ,记→→•=BC AB f )(θ, 1求)(θf 关于θ的表达式； 2求)(θf 的值域；6、已知向量],2[),2cos ),122(cos(),2cos ),122(sin(ππππ∈-+=+=x x x b x x a ,函数b a x f ⋅=)(.I 若53cos -=x ,求函数)(x f 的值；II 将函数)(x f 的图象按向量c ＝)0)(,(π<<m n m 平移,使得平移后的图象关于原点对称,求向量c .9、在ABC ∆中,已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,向量(2sin ,m B =,2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ;I 求锐角B 的大小；II 如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值; 10、已知向量()()3cos2,1,1,sin2,,m a x n b a x a b R ==-∈,集合{}2cos ,22M x x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦,若函数()f x m n x M =∈在时,取得最大值3,最小值为－1,求实数,a b 的值16、在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且.cos cos 3cos B c B a C b -= I 求cos B 的值；II 若2=⋅BC BA ,且22=b ,求c a 和b 的值.21、已知向量m =()B B cos 1,sin -, 向量n = 2,0,且m 与n 所成角为错误!,其中A 、B 、C 是ABC ∆的内角;ＡＢＣ1201求角B 的大小;2求 C A sin sin +的取值范围;26、在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,C ＝2A,43cos =A , 1求B C cos ,cos 的值；2若227=⋅BC BA ,求边AC 的长; 30、已知ABC △的面积为3,且满足60≤⋅≤AC AB ,设AB 和AC 的夹角为θ． I 求θ的取值范围；II 求函数)4(sin 2)(2πθθ+=f －θ2cos 3的最大值与最小值．33、已知△ABC 的面积为３,且06,AB AC AB AC θ→→→→≤•≤设和的夹角为; 1求θ的取值范围；2求函数22()(sin cos )f θθθθ=+-的最大值和最小值; 36、已知A B 、是△ABC 的两个内角,向量2cos, sin 22A B A Ba +-=（）,若6||2a =. Ⅰ试问B A tan tan ⋅是否为定值若为定值,请求出；否则请说明理由； Ⅱ求C tan 的最大值,并判断此时三角形的形状. 38、在△ABC 中,已知35=BC ,外接圆半径为5. Ⅰ求∠A 的大小； Ⅱ若ABC AC AB ∆=⋅，求211的周长. 40、如图A 、B 是单位圆O 上的点,C 是圆与x 轴正半轴的交点,A 点的坐标为)54,53(,三角形AOB 为正三角形． Ⅰ求COA ∠sin ；Ⅱ求2||BC 的值．45、已知函数fx=4sin 24π42x ππ≤≤1求)(x f 的最大值及最小值；2若不等式|fx －m|<2恒成立, 求实数m 的取值范围49、已知函数fx ＝·,其中＝sin ωx ＋cos ωx,错误!cos ωx,＝cos ωx －sin ωx,2sin ωx ω＞0,若fx 相邻的对称轴之间的距离不小于错误!. 1求ω的取值范围；2在△ABC 中,a,b,c 分别为A,B,C 的对边,a ＝错误!,b+c ＝3,当ω最大时,fA ＝1,求△ABC 的面积.56、已知角C B A ,,为ABC ∆的三个内角,其对边分别为c b a ,,,若)2sin ,2cos (A A -=m ,)2sin ,2(cos A A =n ,32=a ,且21=⋅n m ．1若ABC ∆的面积3=S ,求c b +的值． 2求c b +的取值范围．59、在锐角△ABC 中,已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且tanA －tanB＝1＋tanA ·tanB ．1若a 2－ab ＝c 2－b 2,求A 、B 、C 的大小；2已知向量m ＝sinA,cosA,n ＝cosB,sinB,求｜3m －2n ｜的取值范围．62、已知函数0)6(,cos sin cos 2)(2=+=πf x x a x x f1求函数)(x f 的最小正周期及单调增区间；2若函数)(x f 的图象按向量)1,6(-=πm 平移后得到函数)(x g 的图象,求)(x g 的解析式.64、设向量)2,(),,0(),0,1(),sin ,cos 1(),sin ,cos 1(ππβπαββαα∈∈=-=+=c b a ,2sin,3,,2121βαπθθθθ-=-求且的夹角为与的夹角为与c b c a 的值;68已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角,向量65(,cos )22A B A B +-=a ,且3|| 5.5=a 1求tan tan A B 的值；2求C 的最大值,并判断此时ABC ∆的形状.74、在△ABC 中,,0),1,(),cos ,sin 3(),2cos ,(cos πλ≤≤--x C x x B x x A 若△ABC 的重心在y 轴负半轴上,求实数λ的取值范围．76、在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若).(R k k BC BA AC AB ∈=⋅=⋅ Ⅰ判断△ABC 的形状； Ⅱ若k c 求,2=的值.77、在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且cos cos B C ba c=-+2. I 求角B 的大小；II 若b a c =+=134，,求△ABC 的面积.78、已知ABC ∆中,a 、b 、c 是三个内角A 、B 、C 的对边,关于x 的不等式2cos 4sin 60x C x C ++<的解集是空集． 1求角C 的最大值；2若72c =,ABC ∆的面积S =求当角C 取最大值时a b +的值． 84、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,且tan 21tan A c Bb+=． Ⅰ求角A ； Ⅱ若m (0,1)=-,n ()2cos ,2cos 2C B =,试求|m +n |的最小值． 90、已知锐角△ABC 三个内角为A 、B 、C,向量22sin ,cos sin pA A A 与向量sin cos ,1sin qA A A 是共线向量.Ⅰ求角A. Ⅱ求函数232sin cos 2C By B 的最大值.96、已知]),0[,0)(cos()(πωωπ∈Φ>Φ+=x x f 是R 上的奇函数,其图像关于直线43=x 对称,且在区间]41,41[-上是单调函数,求ω和Φ的值; 98、已知向量(1tan ,1),(1sin 2cos 2,3)x x x =-=++-b a ,记().f x =⋅b a1求fx 的值域及最小正周期；2若224f f ααπ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求角.α。
专题3 三角函数的图象与性质【高考文科数学】含答案
第一讲 三角函数的图象与性质1．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2 函数 性质 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x定义域RR{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}图象值域[－1,1] [－1,1]R对称性对称轴：x ＝k π＋π2(k ∈Z)；对称中心：(k π，0)(k ∈Z)对称轴：x ＝ k π(k ∈Z)；对称中心： (k π＋π2，0)(k ∈Z)对称中心：⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z)； 单调减区间[2k π＋π2，2k π＋3π2] (k ∈Z) 单调增区间 [2k π－π，2k π]( k ∈Z)；单调增区间 (k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z)奇偶性 奇 偶 奇3． y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法：设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π时求相应的x值、y 值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点(－φω，0)作为突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――――――→向左φ>0或向右φ<0平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．1． (2013·江西)函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________．答案 π解析 y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3， ∴T ＝π.2． (2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4C ．0D ．－π4答案 B解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＝π4.3． (2013·四川)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2，∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 4． (2012·课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12D ．(0,2]答案 A解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ， 显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⃘⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 5． (2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 答案 C解析 由∀x ∈R ，有f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，当x ＝π6时f (x )取最值，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)， ∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z )．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6. 令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )， ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．题型一 三角函数的概念问题例1 如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为(－35，45)．(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)．审题破题 (1)先根据三角函数的定义求sin α，cos α，代入求三角函数式子的值；(2)根据OP →⊥OQ →和β范围可求sin β，cos β.解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×(－35)2＝1825.(2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725. 反思归纳 (1)三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦、余弦、正切值．(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件．变式训练1 (1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x上，则cos 2θ等于( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析 依题意得tan θ＝2，∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值为________．答案 －34解析 原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，所以原式＝－34.题型二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用 例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．审题破题 (1)先由函数图象确定A ，ω，再代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2求φ；(2)利用转化思想先把方程问题转化为函数问题，再利用数形结合法求解．解 (1)由图象知：A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，则T ＝π，所以ω＝2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2， 所以2×π6＋φ＝π2，即φ＝π6.所以所求的函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6和y ＝m (m ∈R )的图象，如图所示，由图可知，－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2.当－2<m <1时，两根之和为4π3； 当1<m <2时，两根之和为π3.反思归纳 (1)已知图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最大、最小值求出A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ(代点时尽量选最值点，或者搞清点的对应关系)；(2)利用数形结合思想从函数图象上可以清楚地看出当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，利用图象的对称性便可求出两根之和． 变式训练2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3π4答案 B解析 由图象可知A ＝2，T 2＝3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2π，即T ＝4π.又T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝1，即－π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝3π4＋2k π，k ∈Z ，因为－π<φ<π，所以φ＝3π4，所以函数为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4，选B.题型三 三角函数的性质例3 已知函数f (x )＝4sin ωx cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值． 审题破题 利用和差公式、倍角公式将f (x )化为A sin(ωx ＋φ)的形式，然后求三角函数的最值．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ωx cos π3－sin ωx sin π3＋ 3＝2sin ωx cos ωx －23sin 2ωx ＋ 3＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3. ∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)∵－π4≤x ≤π6，∴－π6≤2x ＋π3≤2π3，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，即－1≤f (x )≤2， 当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )min ＝－1，当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝2.反思归纳 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后再求解． (2)对于y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)(cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝ba 2＋b 2)的形式来求．(3)讨论y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，可以利用换元思想设t ＝ωx ＋φ，转化成函数y ＝A sint ＋B 结合函数的图象解决．变式训练3 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 答案 C解析 因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z )，所以当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，选C.(2)设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，其图象关于直线x ＝0对称，∴f (0)＝±2，∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴φ＝k π＋π6，又|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . ∴y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．题型四 三角函数的应用例4 已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．审题破题 (1)首先化简f (x )再根据题意求出最小正周期，然后可求ω，即可得f (x )的表达式；(2)根据图象平移求出g (x )，然后利用换元法并结合图形求解．解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋31＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3， 由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2， 所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象． 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数g (x )＝sin t 与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.所以－12<k ≤12或k ＝－1.反思归纳 确定函数y ＝g (x )的解析式后，本题解法中利用两个数学思想：整体思想(设t ＝2x －π6，将2x －π6视为一个整体)．数形结合思想，将问题转化为g (x )＝sin t 与y＝－k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上只有一个交点的实数k 的取值范围．互动探究 在例4(2)中条件不变的情况下，求函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调区间．解 g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数y ＝g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋56π，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2. 变式训练4 (2013·天津一中高三月考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3(x ∈R )的图象为C ，以下结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .答案 ①②③解析 当x ＝11π12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×11π12－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6－π3＝sin 3π2＝－1，为最小值，所以图象C 关于直线x ＝11π12对称，所以①正确；当x ＝2π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3－π3＝sin π＝0，图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，所以②正确；当－π12≤x≤5π12时，－π2≤2x －π3≤π2，此时函数单调递增，所以③正确；y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，所以④错误，所以正确的是①②③.典例 (12分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0<φ<π)，其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12.(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．规范解答解 (1)f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x ＋12cos φ－12cos φ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． [3分]又∵f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12， ∴12＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ，cos(π3－φ)＝1. 由0<φ<π知φ＝π3.[5分](2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.[7分]将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到g (x )＝12cos(4x －π3)．[9分]∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π3.当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )有最大值12；当4x －π3＝2π3，即x ＝π4时，g (x )有最小值－14.[12分]评分细则 (1)将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12代入解析式给1分；从cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝1，由0<φ<π，得φ＝π3得1分；(2)4x －π3范围计算正确，没有写出x 取何值时g (x )有最值不扣分． 阅卷老师提醒 (1)解决此类问题时，一般先将函数解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的形式，然后在此基础上把ωx ＋φ看作一个整体，结合题目要求进行求解．(2)解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．1． (2013·江苏)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为 ________. 答案 π解析 ω＝2，T ＝2π|ω|＝π.2． (2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.3． 若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A ．－34B.34C.43D ．－43答案 D 解析 cos α＝39＋y 2＝35，∴y 2＝16. ∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4． 设函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数答案 B解析 当2π3≤x ≤7π6时，2π3＋π3≤x ＋π3≤7π6＋π3，即π≤x ＋π3≤3π2，此时函数y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3单调递减，所以y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数，选B.5． 已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ等于( )A.π4 B.π3C.π2D.3π4答案 A解析 由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1， ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.6． 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin3x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π4个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 B解析 由题意，得函数f (x )的周期T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫5π12－π4＝2π3，ω＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×5π12＋φ＝－1，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，所以将函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数g (x )＝sin 3x 的图象．专题限时规范训练一、选择题1． 已知sin θ＝k －1，cos θ＝4－3k ，且θ是第二象限角，则k 应满足的条件是( )A ．k >43B ．k ＝1C ．k ＝85D ．k >1答案 C解析 根据已知(k －1)2＋(4－3k )2＝1，即5k 2－13k ＋8＝0，解得k ＝1或k ＝85，由于sin θ>0，cos θ<0，所以k >43，可得k ＝85.2． 设tan α＝33，π<α<3π2，则sin α－cos α的值为( )A ．－12＋32B ．－12－32C.12＋32D.12－32答案 A解析 由tan α＝33，π<α<3π2，不妨在角α的终边上取点P (－3，－3)，则|OP |＝23，于是由定义可得sin α＝－12，cos α＝－32，所以sin α－cos α＝－12＋32，故选A. 3． 函数y ＝log 2sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4时的值域为( ) A ．[－1,0]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 C ．[0,1)D ．[0,1]答案 B解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4，得12≤sin x ≤22， ∴－1≤log 2sin x ≤－12.4． 设函数y ＝3sin(2x ＋φ) (0<φ<π，x ∈R )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ等于( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 D解析 由题意知，2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－π6(k ∈Z )，又0<φ<π，故当k ＝1时，φ＝5π6，选D.5． 将函数f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为( )A.π8 B.38π C.34π D.π2答案 B解析 依题意可得y ＝f (x )⇒y ＝－4sin[2(x －φ)＋π4]＝－4sin[2x －(2φ－π4)]⇒y ＝g (x )＝－4sin[4x －(2φ－π4)]，因为所得图象关于直线x ＝π4对称，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝±4， 得φ＝k 2π＋38π(k ∈Z )，故选B.6． 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)等于( )A ．－ 3B ．－1 C. 3D ．1答案 C解析 由图形知，T ＝πω＝2(3π8－π8)＝π2，ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－3π4，k ∈Z .又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.7． (2012·课标全国)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9答案 C解析 由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.8． 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈ZB ．[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈ZC ．[k π－π3，k π＋π6]，k ∈ZD ．[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ωx ＋π6)(ω＞0)．∵f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期，∴2πω＝π，ω＝2.∴f (x )＝2sin (2x ＋π6)．故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．二、填空题9． 函数f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．答案 5π2解析 f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x ＝2sin(25x ＋π3)，∴周期为T ＝2π25＝5π，则相邻的对称轴间的距离为T 2＝5π2.10．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为________．答案 2、－π3解析 由图可知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2.把(7π12，－1)代入y ＝sin (2(x ＋π3)＋φ)得sin (7π6＋2π3＋φ)＝－1，∴11π6＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，φ＝2k π－π3(k ∈Z )，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π3.11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6 (ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是__________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 解析 ∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 12．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f (x )的周期为π；②x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴；③⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)． 答案 ①③解析 由f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4， 得T ＝2π2＝π，故①对；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4≠±2，故②错； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin 0＝0，故③对； y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 故④错．故填①③. 三、解答题13．(2013·湖南)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335，得sin α＝35，又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≥12.从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．14．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象． 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个交点， 由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1. 所以－32<k ≤32或k ＝－1.。
高考三角函数复习专题知识点涵盖齐全答案详细
k 1．
时， y min
1．
周期性
2
2
奇偶性
奇函数
偶函数
既无最大值也无最小值 奇函数
在 2k
, 2k
2
2
单调性
k
上是增函数；在
3
2k, 2k22k上是减函数．
对称中心 k ,0 k
对称轴 对称性
xk
k
2
在 2k ,2 k k
上 是增 函数 ；在 在k
2k ,2 k k
k
上是减函数．
,k
2
2
上是增函数．
2
sin(2 x ) ． 6
因为 0 x ，所以
5
2x
．
2
6
66
…… 10 分
当 2x
，即 x 时， g( x) 有最大值，最大值为 1；
62
3
当 2x 6
，即 x 0 时， g( x) 有最小值，最小值为 6
1
．…… 13 分
2
T
2
相邻平衡点 （最值点） 横坐标的差等； | |
；
2
T
1 ymax ymin ; φ ---- 代点法
（Ⅱ）若 f ( x0 ) 2
2 3 ， x0
(
ππ
, 4
4 ) ， 求 cos 2x0 的值 .
解 : f (x) 2sin x cos x 2sin 2 x 1
…………………………………… 1 分
sin 2x cos2 x
…………………………………… 2 分
π 2 sin(2 x ) .
4
和差角公式逆用
sin C 2R
注意变形应用
2024届高三数学一轮复习：三角函数知识梳理清单
三角函数知识梳理1.角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
按方向旋转所形成的角叫正角，按方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。
2.象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称作轴线角。
(1)四个象限内的角的集合终边在第一象限：终边在第二象限：终边在第三象限：终边在第四象限：(2)若α为第一象限的角，则2α所在象限为若α为第三象限的角，则2α所在象限为3.终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上)⇔.（3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔.（4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔.（5）α终边与θ终边关于原点对称⇔.（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：；α终边在坐标轴上的角可表示为：.4.弧度制(1)1弧度定义：，角α的弧度数的绝对值α=弧长公式：，扇形面积公式：(2)换算关系:1︒=rad ，1rad=︒.5．三角函数定义：⑴设α是一个任意角，终边与单位圆交于点P(x,y)，那么y 叫作α的正弦，记作sinα；x 叫作α的余弦，记作cosα；yx叫作α的正切，记作tanα.⑵已知角α终边上一点()y x P ,，且r OP =，则有=αsin =αcos =αtan 三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.(3)一些特殊角的三角函数：α000300450600900120013501500180015075αsin αcos αtan 6．同角三角函数的基本关系式：①平方关系；②商式关系.关于公式1cos sin 22=+αα的深化1＋sin 2α＝(sin α＋cosα)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，③一些常用特殊三角函数值：αsin αcos αtan 勾股关系αsin αcos αtan 勾股关系53222534=+1785128735132210314117.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α(k ∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α余弦cos α正切tan α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限六组诱导公式统一为“()2k k Z πα±∈”，记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为 0~ 90角的三角函数。
高中三角函数及解三角形知识点总结(高考复习)
2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定 义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、 奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.
y = sin x 在 x ∈ [0, 2π ] 上的五个关键点为：
π 3π （0， 0） （ ， ， 1 ） （ ， π， 0） （ ， ，） -1（ ， 2π ， 0） . 2 2
ymax + ymin . 2
ymax − ymin ， 2
② 先伸缩后平移：
三角恒等变换
y = A sin x
§3.1.1、两角差的余弦公式 记住 15°的三角函数值：
y = sin x
横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 纵坐标不变
α
π 12
sin α
6− 2 4
cos α
6+ 2 4
tan α
6、诱导公式六：
那么： （设 ) 为角 α 终边上任意一点，
r = x2 + y 2 ） sin α = x y x y ， cos α = ， tan α = ， cot α = y r r x
π sin + α = cos α , 2 π cos + α = − sin α . 2
-1-
§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象：
y
2、记住余切函数的图象：
y
y=tanx
y=cotx
-
3π 2
-π
-
π 2
o
π 2
π
3π 2
x
-π
-
π 2
o
π 2
π
3π 2
2π
x
高三文科数学专题复习三角函数、解三角形
高考文科数学专题复习 三角函数、解三角形专题一 三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·福建，6)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125B.－125C.512D.－512 2.(2014·大纲全国，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C.－35 D.－45 3.(2014·新课标全国Ⅰ，2)若tan α＞0，则( )A.sin α＞0B.cos α＞0C.sin 2α＞0D.cos 2α＞04.(2016·新课标全国Ⅰ，14)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________.5.(2016·四川，11)sin 750°＝________.6.(2015·四川，13)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·济南一中高三期中)若点(4，a )在12y x =图象上，则tan a6π的值为( )A.0B.33C.1D. 3 2.(2016·贵州4月适应性考试)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin ()π－2α＝( )A.2425 B.1225 C.－1225 D.－24253.(2016·南充市第一次适应性考试)已知角α的终边经过点P (2，－1)，则sin α－cos αsin α＋cos α＝( )A.3B.13C.－13D.－34.(2015·乐山市调研)若点P 在－10π3角的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y 等于( )A.－33 B.33C.－ 3D. 3 5.(2015·石家庄一模)已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( )A.－1－k 2B.1－k 2C.－kD.±1－k 26.(2015·洛阳市统考)已知△ABC 为锐角三角形,且A 为最小角,则点P (sin A -cos B ,3cos A -1)位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.(2016·山东日照第一次模拟)已知角α为第二象限角，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝45，则cos α＝________.8.(2015·湖南长沙一模)在平面直角坐标系xOy 中，将点A (3，1)绕原点O 逆时针旋转90°到点B ，那么点B 坐标为________，若直线OB 的倾斜角为α，则tan 2α的值为________.专题二 三角函数的图象与性质 A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，6)若将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π32.(2016·新课标全国卷Ⅱ，3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π33.(2016·四川，4)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向上平行移动π3个单位长度D.向下平行移动π3个单位长度4．(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z5.(2015·山东，4)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位6.(2014·天津，8)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2 B.2π3C.πD.2π7.(2014·陕西，2)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( )A.π2 B.π C.2π D.4π8.(2014·四川，3)为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度9.(2014·浙江，4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( ) A.向右平移π12个单位 B.向右平移π4个单位 C.向左平移π12个单位 D.向左平移π4个单位10.(2014·安徽，7)若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4 C.3π8 D.3π411.(2014·新课标全国Ⅰ，7)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A.①②③B.①③④C.②④D.①③12.(2014·福建，7)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A.y ＝f (x )是奇函数B.y ＝f (x )的周期为πC.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 D.y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称13.(2016·新课标全国Ⅲ，14)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到.14.(2015·天津，11)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．15.(2015·陕西，14)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．16.(2015·湖南，15)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.17.(2014·重庆，13)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2≤φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________.18.(2015·湖北，18)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：(1) (2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．19.(2014·湖北，18)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．20.(2014·四川，17)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．21.(2014·福建，18)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．22.(2014·北京，16)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·四川成都第二次诊断)将函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的解析式为( )A.g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B.g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6C.g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3D.g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π62.(2016·山西四校联考)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π2⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π6，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π3，k ∈Z3.(2015·石家庄模拟)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4 C.0 D.－π44.(2015·黄冈模拟)当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x 是( )A.奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B.偶函数且图象关于点(π，0)对称C.奇函数且图象关于直线x ＝π2对称 D.偶函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称5.(2015·河南焦作市统考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且其图象向右平移π12个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( )A.关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称B.关于直线x ＝5π12对称C.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称D.关于直线x ＝π12对称6.(2015·怀化市监测)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调增区间为________.7.(2015·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝32sin ωx ＋32cos ωx (ω＞0)的周期为4. (1)求f (x )的解析式；(2)将f (x )的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g (x )的图象，P ，Q 分别为函数g (x )图象的最高点和最低点(如图)，求∠OQP 的大小.专题三 三角恒等变换A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅲ，6)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A.－45B.－15C.15D.452.(2016·新课标全国Ⅱ，11)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( )A.4B.5C.6D.73.(2015·重庆，6)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17B.16C.57D.564.(2016·浙江，11)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________.5.(2016·山东，17)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝⎛⎭⎫π6的值.6.(2016·北京，16)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)求f (x )的单调递增区间.7.(2015·广东，16)已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．8.(2015·北京，15)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值．9.(2015·福建，21)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x2＋10cos 2x2. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2.①求函数g (x )的解析式； ②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0.10.(2014·广东，16)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322.(1)求A 的值； (2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ.11.(2014·浙江,18)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin ＝2＋ 2.(1)求角C 的大小； (2)已知b ＝4,△ABC 的面积为6,求边长c 的值．B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·江西九校联考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A.7 B.17 C.－17D.－72.(2016·洛阳统考)若α∈[0，2π)，则满足1＋sin 2α＝sin α＋cos α的α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π2 B.[]0，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π4，2π3.(2016·河南六市联考)设a ＝12cos 2°－32sin 2°，b ＝2tan 14°1－tan 214°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A.a <c <b B.a <b <c C.b <c <a D.c <a <b 4.(2015·大庆市质检二)已知sin α＝54，则sin 2α－cos 2α的值为( ) A.－18 B.－38 C.18 D.385.(2015·烟台模拟)已知cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，α，β都是锐角，则cos β等于( )A.－6365B.－3365C.3365D.63656.(2015·河北唐山模拟)已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( ) A.43 B.－43 C.43或0 D.－43或0 7.(2015·巴蜀中学一模)已知sin αcos α1－cos 2α＝12，tan(α－β)＝12，则tan β＝________.8.(2015·河南洛阳统考)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝41313.(1)求cos(α－β)的值； (2)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0且sin β＝－45，求sin α的值.专题四 解三角形A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，4)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A. 2B. 3C.2D.32.(2016·山东，8)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π63.(2015·广东,5)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a ＝2,c ＝23,cos A ＝32,且b <c ,则b ＝( ) A. 3 B.2 2 C.2 D. 3 4.(2014·四川，8)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m5.(2016·新课标全国Ⅱ，15)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.6.(2016·北京，13)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc＝________.7.(2015·北京，11)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝________.8.(2015·重庆，13)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.9.(2015·安徽，12)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________. 10.(2015·湖北，15)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.11.(2014·新课标全国Ⅰ，16)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.12.(2014·湖北，13)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________. 13.(2014·福建，14)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．14.(2014·北京，12)在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________；sin A ＝________.15.(2016·浙江，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B. (1)证明：A ＝2B ； (2)若cos B ＝23，求cos C 的值.16.(2016·四川，18)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc.(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B.17.(2015·江苏，15)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．18.(2015·新课标全国Ⅱ，17)在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC .(1)求sin ∠B sin ∠C ； (2)若∠BAC ＝60°，求∠B .19.(2015·天津，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6的值．20.(2015·山东，17)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ＝33， sin (A ＋B )＝69，ac ＝23， 求sin A 和c 的值．21.(2015·湖南，17)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .(1)证明：sin B ＝cos A ； (2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .22.(2015·浙江，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2.(1)求sin 2A sin 2A ＋cos 2A 的值； (2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．23.(2015·新课标全国Ⅰ,17)已知a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边,sin 2B ＝2sin A sinC . (1)若a ＝b ,求cos B ； (2)设B ＝90°,且a ＝2,求△ABC 的面积．24.(2014·重庆，18)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．25.(2014·山东，17)△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2.(1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．26.(2014·陕西，16)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值．27.(2014·湖南，19)如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3. (1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·湖南四校联考)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若(a 2＋b 2－c 2)tan C ＝ab ,则角C 为( ) A.π6或5π6 B.π3或2π3 C.π6 D.2π32.(2016·河南三市调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积为( )A.3B.932C.332D.3 33.(2016·济南一中检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别为a ，b ，c ，A 为锐角，lg b ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1c ＝lg sin A ＝－lg 2，则△ABC 为( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4.(2015·山东省实验中学三诊)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)·sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，则△ABC 是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 5.(2015·江西赣州摸底)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B (如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC ＝50 m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A.50 2 mB.50 3 mC.25 2 mD.2522m6.(2015·湖南十二校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若tan A ＝7tan B ，a 2－b 2c＝3，则c ＝( )A.4B.3C.7D.67.(2016·湖南株洲3月模拟)在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin A ＝________.8.(2015·太原模拟)在△ABC 中，已知(sin A ＋sin B ＋sin C )·(sin B ＋sin C －sin A )＝3sin B sin C . (1)求角A 的值； (2)求3sin B －cos C 的最大值高考文科数学专题复习 三角函数、解三角形专题一 三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角， ∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D. 答案 D2.解析 记P (－4，3)，则x ＝－4，y ＝3，r ＝|OP |＝（－4）2＋32＝5， 故cos α＝x r ＝－45＝－45，故选D. 3.解析 由tan α＞0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号， 故sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选C. 答案 C4.解析 由题意，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45，∴tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝34.∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－43. 答案 －435.解析 ∵sin θ＝sin(k ·360°＋θ)，(k ∈Z )， ∴sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝12. 答案 126.解析 ∵sin α＋2cos α＝0， ∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2，又∵2sin αcos α－cos 2α＝2sin α·cos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1， ∴原式＝2×（－2）－1（－2）2＋1＝－1. 答案 －1 B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 ∵a ＝412＝2， ∴tan a6π＝ 3. 答案 D2.解析 由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35得cos α＝－35， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 则sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－2425. 答案 D3.解析 因为角α终边经过点P (2，－1)，所以tan α＝－12，sin α－cos αsin α＋cos α＝tan α－1tan α＋1＝－12－1－12＋1＝－3，故选D.4.解析 －10π3＝－4π＋2π3，所以－10π3与2π3的终边相同，所以tan 2π3＝－3＝－y ，则y ＝ 3. 答案 D5.解析 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin α>0，则sin ()π＋α＝－sin α＝－1－cos 2 α＝－1－k 2，故选A. 答案 A6.解析 由题意得，A ＋B ＞π2即A ＞π2－B ，且A ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，π2－B ＞0，故sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ，即sin A －cos B ＞0， 3cos A －1＞3×12－1＝12， 故点P 在第一象限. 答案 A7.解析 sin α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝45， 又α为第二象限角， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－35. 答案 －358.解析 设点A (3，1)为角θ终边上一点，如图所示，|OA |＝2，由三角函数的定义可知：sin θ＝12，cos θ＝32，则θ＝2k π＋π6(k ∈Z )， 则A (2cos θ，2sinθ)，设B (x ，y )，由已知得x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3＝－1，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋23π＝3，所以B (－1，3)，且tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝3. 答案 (－1，3) 3专题二 三角函数的图象与性质A 组 三年高考真题（2016～2014年）答案精析1.解析 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故选D. 答案 D 2.解析 由题图可知，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，故选A. 答案 A3.解析 由y ＝sin x 得到y ＝sin(x ±a )的图象，只需记住“左加右减”的规则即可. 答案 A4.解析 由图象知T 2＝54－14＝1， ∴T ＝2.由选项知D 正确． 答案 D5.解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12，∴要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位． 答案 B6.解析 由题意得函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)， 又曲线y ＝f (x )与直线y ＝1相邻交点距离的最小值是π3，由正弦函数的图象知，ωx ＋π6＝π6和ωx ＋π6＝5π6对应的x 的值相差π3， 即2π3ω＝π3，解得ω＝2，所以f (x )的最小正周期是T ＝2πω＝π. 答案 C7.解析 由余弦函数的复合函数周期公式得T ＝2π2＝π. 答案 B8.解析 由图象平移的规律“左加右减”，可知选A. 答案 A9.解析 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，所以将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后可得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象．答案 A 10.解析 方法一 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，将函数f (x )的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ，由该函数为偶函数可知2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ， 即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ， 所以φ的最小正值为3π8.方法二 f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，将函数f (x )的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数为y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4－2φ，且该函数为偶函数， 故2φ＋π4＝k π，k ∈Z ， 所以φ的最小正值为3π8. 答案 C11.解析 ①y ＝cos|2x |，最小正周期为π；②y ＝|cos x |，最小正周期为π；③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，最小正周期为π；④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4，最小正周期为π2，所以最小正周期为π的所有函数为①②③，故选A. 答案 A12.解析 函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位后，得到函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x 的图象，f (x )＝cos x为偶函数，排除A ；f (x )＝cos x 的周期为2π，排除B ；因为f ⎝⎛⎭⎫π2＝cos π2＝0，所以f (x )＝cos x 不关于直线x＝π2对称，排除C ；故选D. 答案 D 13.解析 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，由y ＝2sin x 的图象至少向右平移π3个单位长度得到. 答案 π314.解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4， 由－π2＋2k π≤ωx ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤ωx ≤π4＋2k π， 由题意f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，可知k ＝0，ω≥π2，又函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称， 所以sin(ω2＋π4)＝1，ω2＋π4＝π2， 所以ω＝π2. 答案 π215.解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5， ∴y max ＝k ＋3＝8. 答案 816.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx ，知sin ωx ＝cos ωx ， 即sin ωx －cos ωx ＝0， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝0， ∴ωx ＝π4＋k π，x ＝1ω⎝⎛⎭⎫π4＋k π(k ∈Z )， ∴两函数交点坐标为⎝⎛⎭⎫1ω⎝⎛⎭⎫π4＋k π，2(k ＝0，2，4，…)，或⎝⎛⎭⎫1ω⎝⎛⎭⎫π4＋k π，－2(k ＝…，－3，－1，1，3，…) ∴最短距离为（22）2＋π2ω2＝23，∴π2ω2＝4， ∴ω＝π2. 答案 π217.解析 把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象， 所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 答案 22 18.解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎭⎫2x －π6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 因此g (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0.19.解 (1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t ＜24， 所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 20.解 (1)由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z .(2)由已知，有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z ，此时cos α－sin α＝－ 2. 当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或cos α－sin α＝－52. 21.解 f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .22.解 (1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0. 于是当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0； 当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，则有g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 答案 B2.解析 依题意得T ＝2πω＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，ω＝2，f ⎝⎛⎭⎫π3＝cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π6＝1，又|φ|<π2，因此φ＝－π6，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3.当f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3取得最小值时，2x －π3＝2k π－π，k ∈Z ，即x ＝k π－π3，k ∈Z ， 答案 B3.解析 函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位， 得g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ的图象，又g (x )的函数图象关于y 轴对称，所以g (x )为偶函数， 所以π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，φ＝π4，故选B. 答案 B4.解析 当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，即π4＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－3π4＋2k π，k∈Z ，所以f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4(A ＞0)， 所以y ＝f (3π4－x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x ＋3π4＝－A cos x ，所以函数为偶函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称，选D. 答案 D5.解析 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， π＋2k π≤2x ＋π6≤2π＋2k π，k ∈Z ，即5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z . 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z )6.解析 由于函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π， 故2πω＝π，ω＝2. 把其图象向右平移π12个单位后得到函数的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋φ，为奇函数，∴－π6＋φ＝k π，∴φ＝k π＋π6，k ∈Z ， ∴φ＝π6，∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，可得x ＝k π2－π12，k ∈Z ， 故函数的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0(k ∈Z ).故点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0是函数的一个对称中心. 答案 C 7.解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫sin ωx cos π3＋cos ωx sin π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3.∵T ＝4，ω＞0，∴ω＝2π4＝π2. ∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π3.(2)将f (x )的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g (x )＝3sin π2x .∵P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点， ∴P (1，3)，Q (3，－3).∴OP ＝2，PQ ＝4，OQ ＝12， ∴cos ∠OQP ＝OQ 2＋PQ 2－OP 22OQ ·QP ＝32.∵∠OQP 是△OPQ 的一个内角， ∴∠OQP ＝π6.专题三 三角恒等变换答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 tan θ＝－13，则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45. 答案 D2.解析 因为f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5，故选B. 答案 B3.解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝12－131＋12×13＝17. 答案 A4.解析 ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1＋sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，∴A ＝2，b ＝1. 答案 2 15.解 (1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x )＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z ).所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12（k ∈Z ）.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1，把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋3－1的图象.再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1. 所以g ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.6.解 (1)f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin 2ωx ＋22cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4 由ω＞0，f (x )最小正周期为π得2π2ω＝π， 解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z ，即f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z ).7.解 (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝tan α＋11－tan α＝2＋11－2＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－（2cos 2α－1）－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1. 8.解 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3.＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－ 3. 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3时，所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3.9.(1)解 因为f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x 2＝53sin x ＋5cos x ＋5＝10sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋5，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π.(2)证明 ①将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到y ＝10sin x ＋5的图象，再向下平移a(a ＞0)个单位长度后得到g (x )＝10sin x ＋5－a 的图象．又已知函数g (x )的最大值为2，所以10＋5－a ＝2，解得a ＝13. 所以g (x )＝10sin x －8.②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0－8＞0，即sin x 0＞45. 由45＜32知，存在0＜α0＜π3，使得sin α0＝45.由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0，π－α0)时，均有sin x ＞45. 因为y ＝sin x 的周期为2π，所以当x ∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)(k ∈Z )时，均有sin x ＞45.因为对任意的整数k ，(2k π＋π－α0)－(2k π＋α0)＝π－2α0＞π3＞1，所以对任意的正整数k ，都存在正整数x 0∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)，使得sin x k ＞45.亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0.10.解 (1)∵f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322， ∴A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π3＝322⇒A sin 3π4＝322⇒A ＝3.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∵f (θ)－f (－θ)＝3， ∴3sin(θ＋π3)－3sin ⎝⎛⎭⎫－θ＋π3＝3，展开得3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ＋32cos θ－3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ－12sin θ＝3， 化简得sin θ＝33.∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos θ＝63. ∴f ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6.11.解 (1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2， 化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2， 故cos(A ＋B )＝－22. 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4. (2)因为S △ABC ＝12ab sin C ， 由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝32，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，cos α＝－45， ∴sin α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝34， ∴tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝17. 答案 B2.解析 由1＋sin 2α＝sin α＋cos α得sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≥0，又因为α∈[0，2π)，所以α的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π4，2π，故选D. 答案 D3.解析 利用三角公式化简得a ＝12cos 2°－32sin 2°＝cos(60°＋2°)＝cos 62°＝sin 28°，b ＝tan 28°，c ＝sin 225°＝sin 25°.因为sin 25°<sin 28°<tan 28°， 所以c <a <b ，故选D. 答案 D 4.解析 sin 2α－cos 2α＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝－38. 答案 B5.解析 ∵α，β是锐角，∴0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－513＜0，cos α＝35，∴π2＜α＋β＜π， ∴sin(α＋β)＝1213，sin α＝45. 又cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－513×35＋1213×45＝3365. 答案 C6.解析 因为2sin 2α＝1＋cos 2α，所以2sin 2α＝2cos 2α， 所以2cos α·(2sin α－cos α)＝0，解得cos α＝0或tan α＝12.若cos α＝0，则α＝k π＋π2，k ∈Z ， 2α＝2k π＋π，k ∈Z ，所以tan 2α＝0；若tan α＝12，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43. 综上所述，故选C. 答案 C 7.解析 ∵sin αcos α1－cos 2α＝sin αcos α2sin 2α＝cos α2sin α＝12， ∴tan α＝1.∵tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝12，∴tan β＝13. 答案 138.解 (1)∵a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，∴|a －b |2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)， ∴1613＝2－2cos(α－β)，∴cos(α－β)＝513. (2)∵0＜α＜π2，－π2＜β＜0且sin β＝－45，∴cos β＝35且0＜α－β＜π.又∵cos(α－β)＝513，∴sin(α－β)＝1213.∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)·cos β＋cos(α－β)·sin β＝1213×35＋513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝1665.专题四 解三角形答案精析 A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去，故选D.答案 D2.解析 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∵b ＝c ，∴a 2＝2b 2(1－cos A )，又∵a 2＝2b 2(1－sin A )， ∴cos A ＝sin A ，∴tan A ＝1，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4，故选C.答案 C3.解析 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，∴b ＝4或b ＝2，又b <c ，∴b ＝2. 答案 C4.解析 ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝2－3，∴BC ＝60tan 60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)，故选C. 答案 C 5.解析 在△ABC 中由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.答案 21136.解析 由a sin A ＝csin C得sin C ＝c sin A a ＝13×32＝12， 又0＜C ＜π3，所以C ＝π6，B ＝π－(A ＋C )＝π6. 所以b c ＝sin Bsin C＝sin π6sinπ6＝1. 答案 17.解析 由正弦定理得sin ∠B ＝b sin ∠A a ＝6sin2π33＝22，因为∠A 为钝角，所以∠B ＝π4. 答案 π48.解析 由3sin A ＝2sin B ，得3a ＝2b ，∴b ＝32a ＝32×2＝3，在△ABC 中，由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16， 解得c ＝4. 答案 410.解析 依题意，在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝45°，由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，得BC ＝3002， 在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝1006(m)．答案 100 611.解析 在三角形ABC 中，AC ＝1002，在三角形MAC 中，MA sin 60°＝ACsin 45°，解得MA ＝1003，在三角形MNA 中，MN 1003＝sin 60°＝32，故MN ＝150，即山高MN 为150 m ．答案 15012.解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B 得sin B ＝b sin A a ＝32，又B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以B ＝π3或2π3.答案 π3或2π313.解析 在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，所以2sin B ＝3sin 60°，解得sin B ＝1，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π2，所以AB ＝22－（3）2＝1. 答案 114.解析 根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12＋22－2×1×2×14＝4，故c ＝2，因为cos C ＝14，于是sin C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154， 于是，由正弦定理，sin A ＝a sin C c ＝1×1542＝158(或：由a ＝1，b ＝2，c ＝2，得cos A ＝22＋22－122×2×2＝78，于是，sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝158). 答案 2 15815.(1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B ).又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ， 所以A ＝2B . (2)解 由cos B ＝23得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，故cos A ＝－19，sin A ＝459，cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2227.16.(1)证明 根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0). 则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C，变形可得：sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ).在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 所以sin A sin B ＝sin C .(2)解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ， 根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35. 所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin Bcos B＝4.17.解 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7， 所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BC sin A ， 所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277.。
高三文科数学专题复习 三角函数、解三角形
高考文科数学专题复习 三角函数、解三角形专题一 三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·福建，6)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125B.－125C.512D.－5122.(2014·大纲全国，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C.－35 D.－453.(2014·新课标全国Ⅰ，2)若tan α＞0，则( )A.sin α＞0B.cos α＞0C.sin 2α＞0D.cos 2α＞04.(2016·新课标全国Ⅰ，14)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.5.(2016·四川，11)sin 750°＝________.6.(2015·四川，13)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·济南一中高三期中)若点(4，a )在12y x =图象上，则tan a6π的值为( )A.0B.33C.1D. 3 2.(2016·贵州4月适应性考试)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin ()π－2α＝( )A.2425 B.1225 C.－1225 D.－24253.(2016·南充市第一次适应性考试)已知角α的终边经过点P (2，－1)，则sin α－cos αsin α＋cos α＝( )A.3B.13C.－13D.－34.(2015·乐山市调研)若点P 在－10π3角的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y 等于( )A.－33 B.33C.－ 3D. 3 5.(2015·石家庄一模)已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( )A.－1－k 2B.1－k 2C.－kD.±1－k 26.(2015·洛阳市统考)已知△ABC 为锐角三角形,且A 为最小角,则点P (sin A -cos B ,3cos A -1)位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.(2016·山东日照第一次模拟)已知角α为第二象限角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝45，则cos α＝________.8.(2015·湖南长沙一模)在平面直角坐标系xOy 中，将点A (3，1)绕原点O 逆时针旋转90°到点B ，那么点B 坐标为________，若直线OB 的倾斜角为α，则tan 2α的值为________.专题二 三角函数的图象与性质 A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，6)若将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 2.(2016·新课标全国卷Ⅱ，3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 3.(2016·四川，4)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向上平行移动π3个单位长度D.向下平行移动π3个单位长度4．(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z5.(2015·山东，4)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位6.(2014·天津，8)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2 B.2π3C.πD.2π 7.(2014·陕西，2)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是( )A.π2B.πC.2πD.4π8.(2014·四川，3)为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度9.(2014·浙江，4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( ) A.向右平移π12个单位 B.向右平移π4个单位 C.向左平移π12个单位 D.向左平移π4个单位10.(2014·安徽，7)若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8 B.π4 C.3π8 D.3π4 11.(2014·新课标全国Ⅰ，7)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A.①②③B.①③④C.②④D.①③12.(2014·福建，7)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A.y ＝f (x )是奇函数B.y ＝f (x )的周期为πC.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D.y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称 13.(2016·新课标全国Ⅲ，14)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到.14.(2015·天津，11)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．15.(2015·陕西，14)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．16.(2015·湖南，15)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.17.(2014·重庆，13)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2≤φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.18.(2015·湖北，18)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：(1) (2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．19.(2014·湖北，18)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．20.(2014·四川，17)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．21.(2014·福建，18)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．22.(2014·北京，16)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示． (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·四川成都第二次诊断)将函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的解析式为( )A.g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B.g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6C.g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3D.g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π62.(2016·山西四校联考)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π2⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示， 则y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π6，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π6，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π3，k ∈Z3.(2015·石家庄模拟)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4 C.0 D.－π44.(2015·黄冈模拟)当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x 是( )A.奇函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称 B.偶函数且图象关于点(π，0)对称 C.奇函数且图象关于直线x ＝π2对称 D.偶函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称5.(2015·河南焦作市统考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且其图象向右平移π12个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( ) A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称 B.关于直线x ＝5π12对称 C.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称 D.关于直线x ＝π12对称6.(2015·怀化市监测)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调增区间为________.7.(2015·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝32sin ωx ＋32cos ωx (ω＞0)的周期为4. (1)求f (x )的解析式；(2)将f (x )的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g (x )的图象，P ，Q 分别为函数g (x )图象的最高点和最低点(如图)，求∠OQP 的大小.专题三 三角恒等变换A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅲ，6)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A.－45B.－15C.15D.452.(2016·新课标全国Ⅱ，11)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A.4B.5C.6D.73.(2015·重庆，6)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17B.16C.57D.564.(2016·浙江，11)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________.5.(2016·山东，17)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值.6.(2016·北京，16)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)求f (x )的单调递增区间.7.(2015·广东，16)已知tan α＝2.(1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．8.(2015·北京，15)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值．9.(2015·福建，21)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x2＋10cos 2x2. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2.①求函数g (x )的解析式； ②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0.10.(2014·广东，16)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322.(1)求A 的值； (2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ.11.(2014·浙江,18)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin ＝2＋ 2.(1)求角C 的大小； (2)已知b ＝4,△ABC 的面积为6,求边长c 的值．B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·江西九校联考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( ) A.7 B.17 C.－17D.－72.(2016·洛阳统考)若α∈[0，2π)，则满足1＋sin 2α＝sin α＋cos α的α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2B.[]0，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π4，2π3.(2016·河南六市联考)设a ＝12cos 2°－32sin 2°，b ＝2tan 14°1－tan 214°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A.a <c <b B.a <b <c C.b <c <a D.c <a <b 4.(2015·大庆市质检二)已知sin α＝54，则sin 2α－cos 2α的值为( ) A.－18 B.－38 C.18 D.385.(2015·烟台模拟)已知cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，α，β都是锐角，则cos β等于( )A.－6365B.－3365C.3365D.63656.(2015·河北唐山模拟)已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( ) A.43 B.－43 C.43或0 D.－43或0 7.(2015·巴蜀中学一模)已知sin αcos α1－cos 2α＝12，tan(α－β)＝12，则tan β＝________.8.(2015·河南洛阳统考)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝41313.(1)求cos(α－β)的值； (2)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0且sin β＝－45，求sin α的值.专题四 解三角形A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，4)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A. 2B. 3C.2D.32.(2016·山东，8)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π63.(2015·广东,5)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a ＝2,c ＝23,cos A ＝32,且b <c ,则b ＝( ) A. 3 B.2 2 C.2 D. 34.(2014·四川，8)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m5.(2016·新课标全国Ⅱ，15)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.6.(2016·北京，13)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________.7.(2015·北京，11)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝________.8.(2015·重庆，13)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.9.(2015·安徽，12)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.10.(2015·湖北，15)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.11.(2014·新课标全国Ⅰ，16)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.12.(2014·湖北，13)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.13.(2014·福建，14)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．14.(2014·北京，12)在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________；sin A ＝________.15.(2016·浙江，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B. (1)证明：A ＝2B ； (2)若cos B ＝23，求cos C 的值.16.(2016·四川，18)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc.(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B.17.(2015·江苏，15)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．18.(2015·新课标全国Ⅱ，17)在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC .(1)求sin ∠B sin ∠C ； (2)若∠BAC ＝60°，求∠B .19.(2015·天津，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6的值．20.(2015·山东，17)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ＝33， sin (A ＋B )＝69，ac ＝23， 求sin A 和c 的值．21.(2015·湖南，17)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .(1)证明：sin B ＝cos A ； (2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .22.(2015·浙江，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2. (1)求sin 2A sin 2A ＋cos 2A 的值； (2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．23.(2015·新课标全国Ⅰ,17)已知a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边,sin 2B ＝2sin A sinC . (1)若a ＝b ,求cos B ； (2)设B ＝90°,且a ＝2,求△ABC 的面积．24.(2014·重庆，18)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．25.(2014·山东，17)△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2.(1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．26.(2014·陕西，16)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值．27.(2014·湖南，19)如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3. (1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·湖南四校联考)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若(a 2＋b 2－c 2)tan C ＝ab ,则角C 为( ) A.π6或5π6 B.π3或2π3 C.π6 D.2π32.(2016·河南三市调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC的面积为( )A.3B.932C.332D.3 33.(2016·济南一中检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别为a ，b ，c ，A 为锐角，lg b ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1c ＝lg sin A ＝－lg 2，则△ABC 为( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4.(2015·山东省实验中学三诊)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)·sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，则△ABC 是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形5.(2015·江西赣州摸底)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B (如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC ＝50 m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A.50 2 mB.50 3 mC.25 2 mD.2522m6.(2015·湖南十二校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若tan A ＝7tan B ，a 2－b 2c＝3，则c ＝( )A.4B.3C.7D.67.(2016·湖南株洲3月模拟)在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin A ＝________.8.(2015·太原模拟)在△ABC 中，已知(sin A ＋sin B ＋sin C )·(sin B ＋sin C －sin A )＝3sin B sin C .高考文科数学专题复习 三角函数、解三角形专题一 三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角， ∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D. 答案 D2.解析 记P (－4，3)，则x ＝－4，y ＝3，r ＝|OP |＝（－4）2＋32＝5， 故cos α＝x r ＝－45＝－45，故选D.3.解析 由tan α＞0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号， 故sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选C. 答案 C4.解析 由题意，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－43. 答案 －435.解析 ∵sin θ＝sin(k ·360°＋θ)，(k ∈Z )， ∴sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝12. 答案 126.解析 ∵sin α＋2cos α＝0， ∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2，又∵2sin αcos α－cos 2α＝2sin α·cos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1， ∴原式＝2×（－2）－1（－2）2＋1＝－1. 答案 －1B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 ∵a ＝412＝2， ∴tan a6π＝ 3. 答案 D2.解析 由sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－35得cos α＝－35， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 则sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－2425. 答案 D3.解析 因为角α终边经过点P (2，－1)，所以tan α＝－12，sin α－cos αsin α＋cos α＝tan α－1tan α＋1＝－12－1－12＋1＝－3，故选D.4.解析 －10π3＝－4π＋2π3，所以－10π3与2π3的终边相同，所以tan 2π3＝－3＝－y ，则y ＝ 3. 答案 D5.解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin α>0，则sin ()π＋α＝－sin α＝－1－cos 2 α＝－1－k 2，故选A.答案 A6.解析 由题意得，A ＋B ＞π2即A ＞π2－B ，且A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，π2－B ＞0，故sin A ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，即sin A －cos B ＞0， 3cos A －1＞3×12－1＝12， 故点P 在第一象限. 答案 A7.解析 sin α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝45， 又α为第二象限角， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－35. 答案 －358.解析 设点A (3，1)为角θ终边上一点，如图所示，|OA |＝2，由三角函数的定义可知：sin θ＝12，cos θ＝32，则θ＝2k π＋π6(k ∈Z )， 则A (2cos θ，2sin θ)，设B (x ，y )，由已知得x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3＝－1，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋23π＝3， 所以B (－1，3)，且tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝ 3. 答案 (－1，3) 3专题二 三角函数的图象与性质A 组 三年高考真题（2016～2014年）答案精析1.解析 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D. 答案 D 2.解析 由题图可知，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，故选A. 答案 A3.解析 由y ＝sin x 得到y ＝sin(x ±a )的图象，只需记住“左加右减”的规则即可. 答案 A4.解析 由图象知T 2＝54－14＝1， ∴T ＝2.由选项知D 正确． 答案 D5.解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12， ∴要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位． 答案 B6.解析 由题意得函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)， 又曲线y ＝f (x )与直线y ＝1相邻交点距离的最小值是π3，由正弦函数的图象知，ωx ＋π6＝π6和ωx ＋π6＝5π6对应的x 的值相差π3， 即2π3ω＝π3，解得ω＝2，所以f (x )的最小正周期是T ＝2πω＝π. 答案 C7.解析 由余弦函数的复合函数周期公式得T ＝2π2＝π. 答案 B8.解析 由图象平移的规律“左加右减”，可知选A. 答案 A9.解析 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4，所以将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后可得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象．答案 A 10.解析 方法一 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，将函数f (x )的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2φ，由该函数为偶函数可知2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ， 即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ， 所以φ的最小正值为3π8.方法二 f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，将函数f (x )的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数为y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－2φ，且该函数为偶函数， 故2φ＋π4＝k π，k ∈Z ， 所以φ的最小正值为3π8. 答案 C 11.解析 ①y ＝cos|2x |，最小正周期为π；②y ＝|cos x |，最小正周期为π；③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最小正周期为π；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，最小正周期为π2，所以最小正周期为π的所有函数为①②③，故选A. 答案 A12.解析 函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位后，得到函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x 的图象，f (x )＝cos x为偶函数，排除A ；f (x )＝cos x 的周期为2π，排除B ；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝cos π2＝0，所以f (x )＝cos x 不关于直线x ＝π2对称，排除C ；故选D. 答案 D13.解析 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，由y ＝2sin x 的图象至少向右平移π3个单位长度得到. 答案 π314.解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4， 由－π2＋2k π≤ωx ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤ωx ≤π4＋2k π， 由题意f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，可知k ＝0，ω≥π2，又函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称， 所以sin(ω2＋π4)＝1，ω2＋π4＝π2， 所以ω＝π2. 答案 π215.解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5， ∴y max ＝k ＋3＝8. 答案 816.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx ，知sin ωx ＝cos ωx ， 即sin ωx －cos ωx ＝0， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4＝0，∴ωx ＝π4＋k π，x ＝1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π(k ∈Z )， ∴两函数交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π，2(k ＝0，2，4，…)， 或⎝ ⎛⎭⎪⎫1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π，－2(k ＝…，－3，－1，1，3，…) ∴最短距离为（22）2＋π2ω2＝23，∴π2ω2＝4， ∴ω＝π2. 答案 π217.解析 把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 答案 2218.解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 因此g (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0.19.解 (1)f (8)＝10－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃. (2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t ＜24， 所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.20.解 (1)由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z .(2)由已知，有sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z ，此时cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或cos α－sin α＝－52. 21.解 f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2.(2)T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .22.解 (1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0. 于是当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0； 当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，则有g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 答案 B2.解析 依题意得T ＝2πω＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，ω＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6＝1， 又|φ|<π2，因此φ＝－π6，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3.当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3取得最小值时，2x －π3＝2k π－π，k ∈Z ，即x ＝k π－π3，k ∈Z ， 答案 B3.解析 函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位， 得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图象，又g (x )的函数图象关于y 轴对称，所以g (x )为偶函数， 所以π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，φ＝π4，故选B. 答案 B4.解析 当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，即π4＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－3π4＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4(A ＞0)， 所以y ＝f (3π4－x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x ＋3π4＝－A cos x ，所以函数为偶函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，选D. 答案 D5.解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， π＋2k π≤2x ＋π6≤2π＋2k π，k ∈Z ， 即5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z . 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z )6.解析 由于函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π， 故2πω＝π，ω＝2.把其图象向右平移π12个单位后得到函数的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋φ，为奇函数， ∴－π6＋φ＝k π，∴φ＝k π＋π6，k ∈Z ， ∴φ＝π6，∴函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，可得x ＝k π2－π12，k ∈Z ， 故函数的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0(k ∈Z ).故点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0是函数的一个对称中心. 答案 C7.解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ωx cos π3＋cos ωx sin π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3.∵T ＝4，ω＞0，∴ω＝2π4＝π2. ∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3.(2)将f (x )的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g (x )＝3sin π2x .∵P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点， ∴P (1，3)，Q (3，－3).∴OP ＝2，PQ ＝4，OQ ＝12， ∴cos ∠OQP ＝OQ 2＋PQ 2－OP 22OQ ·QP ＝32.∵∠OQP 是△OPQ 的一个内角， ∴∠OQP ＝π6.专题三 三角恒等变换答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 tan θ＝－13，则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45. 答案 D 2.解析 因为f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5，故选B. 答案 B3.解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝12－131＋12×13＝17. 答案 A4.解析 ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1＋sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，∴A ＝2，b ＝1. 答案 2 15.解 (1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x )＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z ).所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12（k ∈Z ）.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1， 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3－1的图象.再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1. 所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3. 6.解 (1)f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin 2ωx ＋22cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4由ω＞0，f (x )最小正周期为π得2π2ω＝π， 解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z ，即f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z ).7.解 (1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝tan α＋11－tan α＝2＋11－2＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－（2cos 2α－1）－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1. 8.解 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3.＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－ 3. 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3时，所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3.9.(1)解 因为f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x 2＝53sin x ＋5cos x ＋5＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋5，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π.(2)证明 ①将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到y ＝10sin x ＋5的图象，再向下平移a(a ＞0)个单位长度后得到g (x )＝10sin x ＋5－a 的图象．又已知函数g (x )的最大值为2，所以10＋5－a ＝2，解得a ＝13. 所以g (x )＝10sin x －8.②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0－8＞0，即sin x 0＞45. 由45＜32知，存在0＜α0＜π3，使得sin α0＝45.由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0，π－α0)时，均有sin x ＞45. 因为y ＝sin x 的周期为2π，所以当x ∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)(k ∈Z )时，均有sin x ＞45.因为对任意的整数k ，(2k π＋π－α0)－(2k π＋α0)＝π－2α0＞π3＞1，所以对任意的正整数k ，都存在正整数x 0∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)，使得sin x k ＞45.亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0.10.解 (1)∵f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322， ∴A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π3＝322⇒A sin 3π4＝322⇒A ＝3.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3， ∵f (θ)－f (－θ)＝3， ∴3sin(θ＋π3)－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ＋π3＝3，展开得3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ＋32cos θ－3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ－12sin θ＝3， 化简得sin θ＝33.∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos θ＝63. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6.11.解 (1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2， 化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2， 故cos(A ＋B )＝－22. 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4. (2)因为S △ABC ＝12ab sin C ， 由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝32，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，cos α＝－45， ∴sin α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝34， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝17. 答案 B2.解析 由1＋sin 2α＝sin α＋cos α得sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4≥0，又因为α∈[0，2π)，所以α的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π4，2π，故选D. 答案 D3.解析 利用三角公式化简得a ＝12cos 2°－32sin 2°＝cos(60°＋2°)＝cos 62°＝sin 28°，b ＝tan 28°，c ＝sin 2 25°＝sin 25°.因为sin 25°<sin 28°<tan 28°， 所以c <a <b ，故选D. 答案 D 4.解析 sin 2α－cos 2α＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝－38. 答案 B5.解析 ∵α，β是锐角，∴0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－513＜0，cos α＝35，∴π2＜α＋β＜π， ∴sin(α＋β)＝1213，sin α＝45. 又cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－513×35＋1213×45＝3365. 答案 C6.解析 因为2sin 2α＝1＋cos 2α，所以2sin 2α＝2cos 2α， 所以2cos α·(2sin α－cos α)＝0，解得cos α＝0或tan α＝12.若cos α＝0，则α＝k π＋π2，k ∈Z ， 2α＝2k π＋π，k ∈Z ，所以tan 2α＝0； 若tan α＝12，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43. 综上所述，故选C. 答案 C 7.解析 ∵sin αcos α1－cos 2α＝sin αcos α2sin 2α＝cos α2sin α＝12， ∴tan α＝1. ∵tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝12，∴tan β＝13. 答案 138.解 (1)∵a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，∴|a －b |2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)， ∴1613＝2－2cos(α－β)，∴cos(α－β)＝513. (2)∵0＜α＜π2，－π2＜β＜0且sin β＝－45，∴cos β＝35且0＜α－β＜π.又∵cos(α－β)＝513，∴sin(α－β)＝1213.∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)·cos β＋cos(α－β)·sin β＝1213×35＋513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝1665.专题四 解三角形答案精析 A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去，故选D.答案 D2.解析 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∵b ＝c ，∴a 2＝2b 2(1－cos A )，又∵a 2＝2b 2(1－sin A )，∴cos A ＝sin A ，∴tan A ＝1，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4，故选C.答案 C3.解析 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，∴b ＝4或b ＝2，又b <c ，∴b ＝2. 答案 C4.解析 ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝2－3，∴BC ＝60tan 60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)，故选C. 答案 C 5.解析 在△ABC 中由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.答案 21136.解析 由a sin A ＝csin C得sin C ＝c sin A a ＝13×32＝12， 又0＜C ＜π3，所以C ＝π6，B ＝π－(A ＋C )＝π6. 所以b c ＝sin Bsin C ＝sinπ6sinπ6＝1. 答案 17.解析 由正弦定理得sin ∠B ＝b sin ∠A a ＝6sin2π33＝22，因为∠A 为钝角，所以∠B ＝π4. 答案 π48.解析 由3sin A ＝2sin B ，得3a ＝2b ，∴b ＝32a ＝32×2＝3，在△ABC 中，由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16， 解得c ＝4. 答案 49.解析 已知∠C ＝60°，由正弦定理得ACsin ∠B ＝ABsin ∠C，∴AC ＝6sin 45°sin 60°＝6×2232＝2. 答案 210.解析 依题意，在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝45°，由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，得BC ＝3002， 在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝1006(m)．答案 100 611.解析 在三角形ABC 中，AC ＝1002，在三角形MAC 中，MA sin 60°＝ACsin 45°，解得MA ＝1003，在三角形MNA 中，MN 1003＝sin 60°＝32，故MN ＝150，即山高MN 为150 m ．答案 15012.解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B得sin B ＝b sin A a ＝32，又B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以B ＝π3或2π3.答案 π3或2π313.解析 在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，所以2sin B ＝3sin 60°，解得sin B ＝1，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π2，所以AB ＝22－（3）2＝1. 答案 1 14.解析 根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12＋22－2×1×2×14＝4，故c ＝2，因为cos C ＝14，于是sin C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154， 于是，由正弦定理，sin A ＝a sin C c ＝1×1542＝158(或：由a ＝1，b ＝2，c ＝2，得cos A ＝22＋22－122×2×2＝78，于是，sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝158). 答案 2 15815.(1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B ).又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ， 所以A ＝2B .(2)解 由cos B ＝23得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，故cos A ＝－19，sin A ＝459，cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2227.16.(1)证明 根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0). 则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C，变形可得：sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ).在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 所以sin A sin B ＝sin C .(2)解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ， 根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35. 所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin Bcos B＝4.17.解 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7， 所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BC sin A ， 所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 所以sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 18.解 (1)由正弦定理得AD sin ∠B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin ∠C ＝DCsin ∠CAD.因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以sin ∠B sin ∠C ＝DC BD ＝12.(2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°，所以sin ∠C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos ∠B ＋12sin ∠B .由(1)知2sin ∠B ＝sin ∠C ， 所以tan ∠B ＝33，即∠B ＝30°. 19.解 (1)在△ABC 中，由cos A ＝－14，可得sin A ＝154. 由S △ABC ＝12bc sin A ＝315，得bc ＝24，又由b －c ＝2，解得b ＝6，c ＝4. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a ＝8. 由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝158.(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝cos 2A ·cos π6－sin 2A ·sin π6＝32(2cos 2A －1)－12×2sin A ·cos A ＝15－7316.20.解 在△ABC 中，由cos B ＝33，得sin B ＝63. 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝69. 因为sin C ＜sin B ，所以C ＜B ，可知C 为锐角， 所以cos C ＝539.所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝63×539＋33×69＝223. 由a sin A ＝c sin C ，可得a ＝c sin Asin C ＝223c 69＝23c ， 又ac ＝23，所以c ＝1.。
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高三文科三角函数复习贵州省册亨县民族中数学组 梅瑰考纲要求:基本初等函数Ⅱ(三角函数) (1)任意角的概念、弧度制 ①了解任意角的概念。
②了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. (2)三角函数①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. ②能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、余弦、正切的诱导公式.能画出的图像了解三角函数的周期性。
③理解正弦函数、余弦函数在区间[0.27π] 上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与χ轴的交点等).理解正切函数在区间内的单调性。
④理解同角三角函数的基本关系式:22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin .的图像， ⑤了解函数y=A sin(ωχ+ψ)的物理愈义:能画出)sin()(ϕω+=x A x f 的图像，了解参数A 、ω、ϕ对函数图象变化的影响。
⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。
课时建议:5-8课 复习建议:考试要求重难点击命题展望知识网络一、任意角的三角函数的概念题型一 象限角与终边相同的角【例1】若α是第二象限角，试分别确定2α、2α的终边所在的象限.【解析】因为α是第二象限角， 所以k •360°＋90°＜α＜k •360°＋180°(k ∈Z). 因为2k •360°＋180°＜2α＜2k •360°＋360°(k ∈Z)，故2α是第三或第四象限角，或角的终边在y 轴的负半轴上.因为k •180°＋45°＜α2＜k •180°＋90°(k ∈Z)，当k ＝2n(n ∈Z)时，n •360°＋45°＜α2＜n •360°＋90°，当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，n •360°＋225°＜α2＜n •360°＋270°.所以α2是第一或第三象限角.【点拨】已知角α所在象限，应熟练地确定α2所在象限.如果用α1、α2、α3、α4分别表示第一、二、三、四象限角，则α12、α22、α32、α42分布如图，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略)，熟记右图，解有关问题就方便多了.【变式训练1】若角2α的终边在x 轴上方，那么角α是( ) A.第一象限角 B.第一或第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角 【解析】由题意2kπ＜2α＜2kπ＋π，k ∈Z ，得kπ＜α＜kπ＋π2，k ∈Z.当k 是奇数时，α是第三象限角.当k 是偶数时，α是第一象限角.故选C. 题型二 弧长公式，面积公式的应用【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R. (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C ＞0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值？并求出这个最大值.【解析】(1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，因为α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，所以l ＝10π3 cm ，S 弓＝S 扇－SΔ＝12×10×10π3－12×102×sin 60°＝50(π3－32) cm2.(2)因为C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，所以R ＝C2＋α，S 扇＝12αR2＝12α(C 2＋α)2＝C22•αα2＋4α＋4＝C22•1α＋4α＋4≤C216， 当且仅当α＝4α时，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形的面积有最大值为C216.【点拨】用弧长公式l ＝ |α| R 与扇形面积公式S ＝12lR ＝12R2|α|时，α的单位必须是弧度. 【变式训练2】已知一扇形的面积为定值S ，当圆心角α为多少弧度时，该扇形的周长C 有最小值？并求出最小值.【解析】因为S ＝12Rl ，所以Rl ＝2S ， 所以周长C ＝l ＋2R≥22Rl ＝24S ＝4S ， 当且仅当l ＝2R 时，C ＝4S ，所以当α＝lR ＝2时，周长C 有最小值4S.题型三 三角函数的定义，三角函数线的应用【例3】(1)已知角α的终边与函数y ＝2x 的图象重合，求sin α；(2)求满足sin x≤32的角x 的集合.【解析】(1)由⎩⎨⎧=+=1222y x x y ⇒交点为(－55，－255)或(55，255)，所以sin α＝±255.(2)①找终边：在y 轴正半轴上找出点(0，32)，过该点作平行于x 轴的平行线与单位圆分别交于P1、P2两点，连接OP1、OP2，则为角x 的终边，并写出对应的角. ②画区域：画出角x 的终边所在位置的阴影部分.③写集合：所求角x 的集合是{x|2kπ－4π3≤x≤2kπ＋π3，k ∈Z}.【点拨】三角函数是用角α的终边与单位圆交点的坐标来定义的，因此，用定义求值，转化为求交点的问题.利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观.【变式训练3】函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为 . 【解析】⇒2k π＜x ≤2k π＋π3，k ∈Z.所以函数的定义域为{x|2kπ＜x≤2kπ＋π3，k ∈Z}.总结提高1.确定一个角的象限位置，不仅要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小.2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致，防止出现诸如k ·360°＋π3的错误书写. 3.三角函数线具有较好的几何直观性，是研究和理解三角函数的一把钥匙.二 、同角三角函数的关系、诱导公式题型一 三角函数式的化简问题【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将α视为锐角后，再判断所求角的象限.【变式训练1】已知f(x)＝1－x ，θ∈(3π4，π)，则f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝ . 【解析】f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝1－sin 2θ＋1＋sin 2θ＝(sin θ－cos θ)2＋(sin θ＋cos θ)2＝|sin θ－cos θ|＋|sin θ＋cos θ|.因为θ∈(3π4，π)，所以sin θ－cos θ＞0，sin θ＋cos θ＜0.所以|sin θ－cos θ|＋|sin θ＋cos θ|＝sin θ－cos θ－sin θ－cos θ＝－2cos θ. 题型二 三角函数式的求值问题【例2】已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2). (1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求 θ的值.【解析】(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，于是sin(2θ＋π4)＝－22.又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2或θ＝3π4.【变式训练2】已知tan α＝12，则2sin αcos α＋cos2α等于( ) A.45 B.85 C.65 D.2【解析】原式＝2sin αcos α＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tan α＋11＋tan2α＝85.故选B.题型三 三角函数式的简单应用问题 【例3】已知－π2＜x ＜0且sin x ＋cos x ＝15，求： (1)sin x －cos x 的值；(2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x)的值.【解析】(1)由已知得2sin xcos x ＝－2425，且sin x ＜0＜cos x ， 所以sin x －cos x ＝－(sin x －cos x)2＝－1－2sin xcos x ＝－1＋2425＝－75. (2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x)＝cos3x －sin3x ＝(cos x －sin x)(cos2x ＋cos xsin x ＋sin2x) ＝75×(1－1225)＝91125. 【点拨】求形如sin x±cos x 的值，一般先平方后利用基本关系式，再求sin x±cos x 取值符号. 【变式训练3】化简1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α.【解析】原式＝1－[(cos2α＋sin2α)2－2sin2αcos2α]1－[(cos2α＋sin2α)(cos4α＋sin4α－sin2αcos2α)]＝2sin2αcos2α1－[(cos2α＋sin2α)2－3sin2αcos2α]＝23. 总结提高1.对于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义，只要是“同一个角”，那么基本关系式就成立，如：sin2(－2α)＋cos2(－2α)＝1是恒成立的.2.诱导公式的重要作用在于：它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在联系，从而可化负为正，化复杂为简单.三、 两角和与差、二倍角的三角函数 题型一 三角函数式的化简【例1】化简θθθθθ cos 22)2cos 2 )(sin cos sin 1(+-++(0＜θ＜π).【解析】因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以原式＝2cos 2)2cos 2 )(sin 2 cos 22 cos 2 sin 2(22θθθθθθ-+＝2cos 2)2cos 2 (sin 2 sin 222θθθθ-＝－cos θ.【点拨】先从角度统一入手，将θ化成θ2，然后再观察结构特征，如此题中sin2θ2－cos2θ2＝－cos θ.【变式训练1】化简2cos4x －2cos2x ＋122tan(π4－x)sin2(π4＋x).【解析】原式＝12(2cos2x －1)22tan(π4－x)cos2(π4－x)＝cos22x 4cos(π4－x)sin(π4－x)＝cos22x 2sin(π2－2x)＝12cos 2x. 题型二 三角函数式的求值【例2】已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值；(2)求cos 2x2cos(π4＋x)sin x的值.【解析】(1)由sin x 2－2cos x 2＝0⇒tan x 2＝2，所以tan x ＝2 tan 12tan 22xx -＝2×21－22＝－43.(2)原式＝cos2x －sin2x2(22cos x －22sin x)sin x＝(cos x －sin x)(cos x ＋sin x)(cos x －sin x)sin x ＝cos x ＋sin x sin x ＝1tan x ＋1＝(－34)＋1＝14. 【变式训练2】2cos 5°－sin 25°sin 65°＝ .【解析】原式＝2cos(30°－25°)－sin 25°cos 25°＝3cos 25°cos 25°＝ 3.题型三 已知三角函数值求解【例3】已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值. 【解析】因为tan 2(α－β)＝2tan(α－β)1－tan2(α－β)＝43，所以tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan2(α－β)＋tan β1－tan 2(α－β)tan β＝1，又tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tan β1－tan(α－β)tan β＝1 3，因为α∈(0，π)，所以0＜α＜π4，又π2＜β＜π，所以－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－3π4.【点拨】由三角函数值求角时，要注意角度范围，有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小.【变式训练3】若α与β是两锐角，且sin(α＋β)＝2sin α，则α与β的大小关系是() A.α＝β B.α＜βC.α＞βD.以上都有可能【解析】方法一：因为2sin α＝sin(α＋β)≤1，所以sin α≤12，又α是锐角，所以α≤30°.又当α＝30°，β＝60°时符合题意，故选B.方法二：因为2sin α＝sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β，所以sin α＜sin β.又因为α、β是锐角，所以α＜β，故选B.总结提高1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具.(1)它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题；(2)对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”；(3)掌握角的演变规律，如“2α＝(α＋β)＋(α－β)”等.2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件.四、三角恒等变换典例精析题型一三角函数的求值【例1】已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，3sin β＝sin(2α＋β)，4tanα2＝1－tan2α2，求α＋β的值.【解析】由4tan α2＝1－tan2α2，得tan α＝2tan12tan22αα-＝12.由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，所以3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，即2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝2tan α＝1.又因为α、β∈(0，π4)，所以α＋β＝π4.【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向.【变式训练1】如果tan(α＋β)＝35，tan(β－π4)＝14，那么tan(α＋π4)等于( ) A.1318 B.1322 C.723 D.318【解析】因为α＋π4＝(α＋β)－(β－π4)，所以tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan(α＋β)－tan(β－π4)1＋tan(α＋β)tan(β－π4)＝723.故选C.题型二 等式的证明【例2】求证：sin βsin α＝sin(2α＋β)sin α－2co s(α＋β). 【证明】证法一：右边＝sin [(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin αsin α＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin αsin α＝sin [(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α＝左边.证法二：sin(2α＋β)sin α－sin βsin α＝sin(2α＋β)－sin βsin α＝2cos(α＋β)sin αsin α＝2cos(α＋β)，所以sin(2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.【点拨】证法一将2α＋β写成(α＋β)＋α，使右端的角形式上一致，易于共同运算；证法二把握结构特征，用“变更问题法”证明，简捷而新颖.【变式训练2】已知5sin α＝3sin(α－2β)，求证：tan(α－β)＋4tan β＝0.【证明】因为5sin α＝3sin(α－2β)，所以5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]， 所以5sin(α－β)cos β＋5cos(α－β)sin β＝3sin(α－β)cos β－3cos(α－β)sin β， 所以2sin(α－β)cos β＋8cos(α－β)sin β＝0. 即tan(α－β)＋4tan β＝0.题型三 三角恒等变换的应用【例3】已知△ABC 是非直角三角形.(1)求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan Atan Btan C ；(2)若A ＞B 且tan A ＝－2tan B ，求证：tan C ＝sin 2B3－cos 2B；(3)在(2)的条件下，求tan C 的最大值. 【解析】(1)因为C ＝π－(A ＋B)， 所以tan C ＝－tan(A ＋B)＝－(tan A ＋tan B)1－tan Atan B，所以tan C －tan Atan Btan C ＝－tan A －tan B ， 即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan Atan Btan C.(2)由(1)知tan C ＝－(tan A ＋tan B)1－tan Atan B ＝tan B 1＋2tan2B ＝sin Bcos B cos2B ＋2sin2B＝)2cos 2(22 sin B B-•＝sin 2B 2(2－1＋cos 2B 2)＝sin 2B3－cos 2B .(3)由(2)知tan C ＝tan B1＋2tan2B＝12tan B ＋1tan B≤122＝24，当且仅当2tan B ＝1tan B ，即tan B ＝22时，等号成立.所以tan C 的最大值为24.【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角形有关的问题，要有较明确的目标意识.【变式训练3】在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan Btan C ＝3，3tan A ＋3tan B ＋1＝tan Atan B ，试判断△ABC 的形状.【解析】由已知得tan B ＋tan C ＝3(1－tan Btan C)， 3(tan A ＋tan B)＝－(1－tan Atan B)， 即tan B ＋tan C 1－tan Btan C ＝3，tan A ＋tan B 1－tan Atan B＝－33.所以tan(B ＋C)＝3，tan(A ＋B)＝－33.因为0＜B ＋C ＜π，0＜A ＋B ＜π，所以B ＋C ＝π3，A ＋B ＝5π6. 又A ＋B ＋C ＝π，故A ＝2π3，B ＝C ＝π6. 所以△ABC 是顶角为2π3的等腰三角形.总结提高三角恒等式的证明，一般考虑三个“统一”：①统一角度，即化为同一个角的三角函数；②统一名称，即化为同一种三角函数；③统一结构形式.五、三角函数的图象和性质典例精析题型一 三角函数的周期性与奇偶性【例1】已知函数f(x)＝2sin x 4cos x 4＋3cos x2. (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)令g(x)＝f(x ＋π3)，判断g(x)的奇偶性.【解析】(1)f(x)＝2sin x 4cos x 4＋3cos x 2＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin(x 2＋π3)，所以f(x)的最小正周期T ＝2π12＝4π.(2)g(x)＝f(x ＋π3)＝2sin[12(x ＋π3)＋π3]＝2sin(x 2＋π2)＝2cos x2.所以g(x)为偶函数.【点拨】解决三角函数的有关性质问题，常常要化简三角函数.【变式训练1】函数y ＝sin2x ＋sin xcos x 的最小正周期T 等于( )A.2πB.πC.π2D.π3【解析】y ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝22(22sin 2x －22cos 2x)＋12＝22sin(2x －π4)＋12，所以T ＝2π2＝π.故选B. 题型二 求函数的值域【例2】求下列函数的值域：(1)f(x)＝sin 2xsin x1－cos x；(2)f(x)＝2cos(π3＋x)＋2cos x. 【解析】(1)f(x)＝2sin xcos xsin x 1－cos x ＝2cos x(1－cos2x)1－cos x＝2cos2x ＋2cos x＝2(cos x ＋12)2－12，当cos x ＝1时，f(x)max ＝4，但cos x≠1，所以f(x)＜4，当cos x ＝－12时，f(x)min ＝－12，所以函数的值域为[－12，4).(2)f(x)＝2(cos π3cos x －sin π3sin x)＋2cos x＝3cos x －3sin x ＝23cos(x ＋π6)， 所以函数的值域为[－23，23].【点拨】求函数的值域是一个难点，分析函数式的特点，具体问题具体分析，是突破这一难点的关键.【变式训练2】求y ＝sin x ＋cos x ＋sin xcos x 的值域.【解析】令t ＝sin x ＋cos x ，则有t2＝1＋2sin xcos x ，即sin xcos x ＝t2－12.所以y ＝f(t)＝t ＋t2－12＝12(t ＋1)2－1.又t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，所以－2≤t≤ 2.故y ＝f(t)＝12(t ＋1)2－1(－2≤t≤2)， 从而f(－1)≤y≤f(2)，即－1≤y≤2＋12. 所以函数的值域为[－1，2＋12].题型三 三角函数的单调性【例3】已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(φ＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示.(1)求ω，φ的值；(2)设g(x)＝f(x)f(x －π4)，求函数g(x)的单调递增区间.【解析】(1)由图可知，T ＝4(π2－π4)＝π，ω＝2πT＝2.又由f(π2)＝1知，sin(π＋φ)＝1，又f(0)＝－1，所以sin φ＝－1.因为|φ|＜π，所以φ＝－π2.(2)f(x)＝sin(2x －π2)＝－cos 2x.所以g(x)＝(－cos 2x)[－cos(2x －π2)]＝cos 2xsin 2x ＝12sin 4x.所以当2kπ－π2≤4x≤2kπ＋π2，即kπ2－π8≤x≤kπ2＋π8(k ∈Z)时g(x)单调递增.故函数g(x)的单调增区间为[kπ2－π8，kπ2＋π8](k ∈Z).【点拨】观察图象，获得T 的值，然后再确定φ的值，体现了数形结合的思想与方法.【变式训练3】使函数y ＝sin(π6－2x)(x ∈[0，π])为增函数的区间是( )A.[0，π3]B.[π12，7π12]C.[π3，5π6]D.[5π6，π]【解析】利用复合函数单调性“同增异减”的原则判定，选C. 总结提高1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象.2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因而特别要注意题设中所给的区间.3.求三角函数的最小正周期时，要尽可能地化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义域对周期的影响.4.判断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性.六、函数y ＝Asin(ωx ＋ )的图象和性质典例精析题型一 “五点法”作函数图象【例1】设函数f(x)＝sin ωx ＋3cos ωx(ω＞0)的周期为π.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到.【解析】(1)f(x)＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2(12sin ωx ＋32cos ωx)＝2sin(ωx ＋π3)，又因为T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x ＋π3)，所以函数f(x)＝sin ωx ＋3cos ωx(ω＞0)的振幅为2，初相为π3. (2)列出下表，并描点画出图象如图所示.(3)把y ＝sin x 图象上的所有点向左平移π3个单位，得到y ＝sin(x ＋π3)的图象，再把 y ＝sin(x ＋π3)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x ＋π3)的图象，然后把y ＝sin(2x ＋π3)的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin(2x ＋π3)的图象.【点拨】用“五点法”作图，先将原函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)形式，再令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π求出相应的x 值及相应的y 值，就可以得到函数图象上一个周期内的五个点，用平滑的曲线连接五个点，再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象.【变式训练1】函数的图象如图所示，则( )A.k ＝12，ω＝12，φ＝π6B.k ＝12，ω＝12，φ＝π3C.k ＝12，ω＝2，φ＝π6D.k ＝－2，ω＝12，φ＝π3【解析】本题的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的斜率k ＝12.另一个函数是三角函数，三角函数解析式中的参数ω由三角函数的周期决定，由图象可知函数的周期为T ＝4×(8π3－5π3)＝4π，故ω＝12.将点(5π3，0)代入解析式y ＝2sin(12x ＋φ)，得12×5π3＋φ＝kπ，k ∈Z ，所以φ＝kπ－5π6，k ∈Z.结合各选项可知，选项A 正确. 题型二 三角函数的单调性与值域【例2】已知函数f(x)＝sin 2ωx ＋3sin ωxsin(ωx ＋π2)＋2cos2ωx ，x ∈R(ω＞0)在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求ω的值；(2)若将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间.【解析】(1)f(x)＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋32＝sin(2ωx ＋π6)＋32.令2ωx ＋π6＝π2，将x ＝π6代入可得ω＝1.(2)由(1)得f(x)＝sin(2x ＋π6)＋32，经过题设的变化得到函数g(x)＝sin(12x －π6)＋32，当x ＝4kπ＋43π，k ∈Z 时，函数g(x)取得最大值52.令2kπ＋π2≤12x －π6≤2kπ＋32π，即[4kπ＋4π3，4kπ＋103π](k ∈Z)为函数的单调递减区间.【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换.【变式训练2】若将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图象向右平移π4个单位后得到的图象关于点(π3，0)对称，则|φ|的最小值是( ) A.π4 B.π3 C.π2 D.3π4【解析】将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图象向右平移π4个单位后得到y ＝2sin[3(x －π4)＋φ]＝2sin(3x －3π4＋φ)的图象.因为该函数的图象关于点(π3，0)对称，所以2sin(3×π3－3π4＋φ)＝2sin(π4＋φ)＝0， 故有π4＋φ＝kπ(k ∈Z)，解得φ＝kπ－π4(k ∈Z).当k ＝0时，|φ|取得最小值π4，故选A. 题型三 三角函数的综合应用【例3】已知函数y ＝f(x)＝Asin2(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2). (1)求φ的值；(2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008).【解析】(1)y ＝Asin2(ωx ＋φ)＝A 2－A2cos(2ωx ＋2φ)，因为y ＝f(x)的最大值为2，又A ＞0，所以A 2＋A2＝2，所以A ＝2，又因为其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0，所以12×2π2ω＝2，所以ω＝π4.所以f(x)＝22－22cos(π2x ＋2φ)＝1－cos(π2x ＋2φ)，因为y ＝f(x)过点(1,2)，所以cos(π2＋2φ)＝－1.所以π2＋2φ＝2kπ＋π(k ∈Z)，解得φ＝kπ＋π4(k ∈Z)，又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π4.(2)方法一：因为φ＝π4，所以y ＝1－cos(π2x ＋π2)＝1＋sin π2x ，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋1＋0＋1＝4， 又因为y ＝f(x)的周期为4,2 008＝4×502. 所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＝4×502＝2 008.方法二：因为f(x)＝2sin2(π4x ＋φ)，所以f(1)＋f(3)＝2sin2(π4＋φ)＋2sin2(3π4＋φ)＝2，f(2)＋f(4)＝2sin2(π2＋φ)＋2sin2(π＋φ)＝2， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4， 又因为y ＝f(x)的周期为4,2 008＝4×502. 所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＝4×502＝2 008.【点拨】函数y ＝Acos(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝kπ，可得x ＝kπ－φω，两相邻对称轴间的距离为周期的一半，解决该类问题可画出相应的三角函数的图象，借助数形结合的思想解决. 【变式训练3】已知函数f(x)＝Acos2ωx ＋2(A ＞0，ω＞0)的最大值为6，其相邻两条对称轴间的距离为4，则f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(20)＝ .【解析】f(x)＝Acos2ωx ＋2＝A×1＋cos 2ωx 2＋2＝Acos 2ωx 2＋A 2＋2，则由题意知A ＋2＝6，2π2ω＝8，所以A ＝4，ω＝π8，所以f(x)＝2cos π4x ＋4，所以f(2)＝4，f(4)＝2，f(6)＝4，f(8)＝6，f(10)＝4，…观察周期性规律可知f(2)＋f(4)＋…＋f(20)＝2×(4＋2＋4＋6)＋4＋2＝38. 总结提高1.用“五点法”作y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象，关键是五个点的选取，一般令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，即可得到作图所需的五个点的坐标，同时，若要求画出给定区间上的函数图象时，应适当调整ωx ＋φ的取值，以便列表时能使x 在给定的区间内取值.2.在图象变换时，要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后，图象平移的长度单位是不同的，这是因为变换总是对字母x 本身而言的，无论沿x 轴平移还是伸缩，变化的总是x.3.在解决y ＝Asin(ωx ＋φ)的有关性质时，应将ωx ＋φ视为一个整体x 后再与基本函数 y ＝sin x 的性质对应求解. 七、三角函数的综合应用典例精析题型一 利用三角函数的性质解应用题【例1】如图，ABCD 是一块边长为100 m 的正方形地皮，其中AST 是一半径为90 m 的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在上，相邻两边CQ 、CR 分别落在正方形的边BC 、CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值.【解析】如图，连接AP ，过P 作PM ⊥AB 于M.设∠PAM ＝α，0≤α≤π2，则PM ＝90sin α，AM ＝90cos α，所以PQ ＝100－90cos α，PR ＝100－90sin α， 于是S 四边形PQCR ＝PQ ·PR ＝(100－90cos α)(100－90sin α)＝8 100sin αcos α－9 000(sin α＋cos α)＋10 000.设t ＝sin α＋cos α，则1≤t≤2，sin αcos α＝t2－12.S 四边形PQCR ＝8 100·t2－12－9 000t ＋10 000＝4 050(t －109)2＋950 (1≤t≤2).当t ＝2时，(S 四边形PQCR)max ＝14 050－9 000 2 m2； 当t ＝109时，(S 四边形PQCR)min ＝950 m2.【点拨】同时含有sin θcos θ，sin θ±cos θ的函数求最值时，可设sin θ±cos θ＝t ，把sin θcos θ用t 表示，从而把问题转化成关于t 的二次函数的最值问题.注意t 的取值范围.【变式训练1】若0＜x ＜π2，则4x 与sin 3x 的大小关系是( ) A.4x ＞sin 3x B.4x ＜sin 3x C.4x≥sin 3x D.与x 的值有关【解析】令f(x)＝4x －sin 3x ，则f′(x)＝4－3cos 3x.因为f′(x)＝4－3cos 3x ＞0，所以f(x)为增函数.又0＜x ＜π2，所以f(x)＞f(0)＝0，即得4x －sin 3x ＞0.所以4x ＞sin 3x.故选A.题型二 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)模型的应用【例2】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f(t).下表是某日各时的浪花高度数据.经长期观测，y ＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y ＝Acos ωt ＋b.(1)根据以上数据，求出函数y ＝Acos ωt ＋b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放. 请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？【解析】(1)由表中数据知，周期T ＝12，所以ω＝2πT ＝2π12＝π6. 由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5，由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0，所以A ＝0.5，b ＝1，所以振幅为12.所以y ＝12cos π6t ＋1. (2)由题知，当y ＞1时才可对冲浪者开放，所以12cos π6t ＋1＞1，所以cos π6t ＞0，所以2kπ－π2＜π6t ＜2kπ＋π2，即12k －3＜t ＜12k ＋3.①因为0≤t≤24，故可令①中k 分别为0,1,2，得0≤t ＜3或9＜t ＜15或21＜t≤24.故在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.【点拨】用y ＝Asin(ωx ＋φ)模型解实际问题，关键在于根据题目所给数据准确求出函数解析式.【变式训练2】如图，一个半径为10 m 的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P 到水面的距离为d m(P 在水面下则d 为负数)，则d(m)与时间t(s)之间满足关系式：d ＝Asin(ωt ＋φ)＋k(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)，且当点P 从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：①A＝10；②ω＝2π15；③φ＝π6；④k ＝5.其中正确结论的序号是 .【解析】①②④.题型三 正、余弦定理的应用【例3】为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内(如图所示)，飞机能测量的数据有俯角和A 、B 之间的距离，请设计一个方案，包括：(1)指出需测量的数据(用字母表示，并在图中标示)；(2)用文字和公式写出计算M 、N 间距离的步骤.【解析】(1)如图所示：①测AB 间的距离a ；②测俯角∠MAB ＝φ，∠NAB ＝θ，∠MBA ＝β，∠NBA ＝γ.(2)在△ABM 中 ，∠AMB ＝π－φ－β，由正弦定理得BM＝ABsin φsin ∠AMB ＝asin φsin(φ＋β)，同理在△BAN 中，BN ＝ABsin θsin ∠ANB ＝asin θsin(θ＋γ)，所以在△BMN 中，由余弦定理得MN ＝MBN BN BM BN BM ∠-+•cos 222 ＝a2sin2φsin2(φ＋β)＋a2sin2θsin2(θ＋γ)－2a2sin θsin φcos (γ－β)sin(φ＋β)sin(θ＋γ).【变式训练3】一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是 海里/小时.【解析】本题考查实际模型中的解三角形问题.依题意作出简图，易知AB ＝10，∠OCB ＝60°，∠OCA ＝75°.我们只需计算出OC 的长，即可得出船速.在直角三角形OCA 和OCB 中，显然有OB OC ＝tan ∠OCB ＝tan 60°且OA OC ＝tan ∠OCA ＝tan 75°， 因此易得AB ＝OA －OB ＝OC(tan 75°－tan 60°)，即有OC ＝AB tan 75°－tan 60°＝10tan 75°－tan 60°＝10tan(30°＋45°)－tan 60°＝10tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°－tan 60°＝1013＋11－13－3＝5. 由此可得船的速度为5海里÷0.5小时＝10海里/小时.总结提高1.解三角形的应用题时应注意：(1)生活中的常用名词，如仰角，俯角，方位角，坡比等；(2)将所有已知条件化入同一个三角形中求解；(3)方程思想在解题中的运用.2.解三角函数的综合题时应注意：(1)与已知基本函数对应求解，即将ωx＋φ视为一个整体X；(2)将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝asin2x＋bsin x ＋c；(3)换元方法在解题中的运用.。