2018年初中数学联赛试题及参考答案_一_
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２０１８年初中数学联赛试题及参考答案 （一）
第 一 试 （Ａ）
一 、选 择 题 （本 题 满 分 ４２ 分 ，每 小 题 ７ 分 ）
１．设
二
次
函
数
ｙ＝ｘ２
ａ２ ＋２ａｘ＋
２
的
图
像
的
顶
点
为
Ａ，与 ｘ 轴的交 点 为 ＢＣ，当 △ＡＢＣ 为 等 边 三 角 形 时，
其 边 长 为 （ ）．
（Ａ）槡６ （Ｂ）２ 槡２ （Ｃ）２ 槡３ （Ｄ）３ 槡２
得
ｘ
＝槡３－１．所以 ＢＥ＝槡３－１．
３．设 ｐ，ｑ 均 为 大 于 ３ 的 素 数，则 使 ｐ２ ＋５ｐｑ＋ ４ｑ２ 为完全平方数的素数对（ｐ，ｑ）的个数为（ ）．
（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４ 答 （Ｂ）． 设 ｐ２ ＋５ｐｑ＋４ｑ２ ＝ｍ２ （ｍ 为 自 然 数 ），则 （ｐ ＋
１．如 图 ２，在 平 行 四
边 形 ＡＢＣＤ 中，ＢＣ ＝
２ＡＢ，ＣＥ⊥ＡＢ 于 Ｅ，Ｆ 为
ＡＤ 的 中 点，若 ∠ＡＥＦ ＝
４８°，则 ∠Ｂ ＝
．
图２
来自百度文库
答 ８４°．
设 ＢＣ 的中点为Ｇ，连 结 ＦＧ 交ＣＥ 于 Ｈ ，由 题 设
条件知 ＦＧＣＤ 为菱形．
由 ＡＢ∥ＦＧ ∥ＤＣ 及 Ｆ 为 ＡＤ 的 中 点，知 Ｈ 为
数学竞赛之窗
（０，０，０），故 共 有 ４ 个 符 合 要 求 的 整 数 组 ．
６．设
Ｍ
１１１ ＝＋＋＋
２０１８ ２０１９ ２０２０
…
＋ １ ，则 ２０５０
１ Ｍ
的 整 数 部 分 是 （ ）． （Ａ）６０ （Ｂ）６１ （Ｃ）６２
（Ｄ）６３
答 （Ｂ）．
因为
Ｍ
＜２０１１８×３３，所以
１ Ｍ
＝６ 或 ａ２ ＝０（舍 去 ）．
所以，△ＡＢＣ 的边长ＢＣ＝ 槡２ａ２ ＝２ 槡３．
２．如图１，在矩形 ＡＢ－ ＣＤ 中，∠ＢＡＤ 的 平 分 线 交 ＢＤ 于 点 Ｅ，ＡＢ ＝１，
∠ＣＡＥ ＝ １５°，则 ＢＥ ＝
（ ）．
（Ａ）槡３３
图１
（Ｂ）槡２２
（Ｃ）槡２－１
答 （Ｄ）．
（Ｄ）槡３－１
则使得（ｘ＠ｙ）＠ｚ＋（ｙ＠ｚ）＠ｘ＋（ｚ＠ｘ）＠ｙ＝０ 的 整
数 组 ）（ｘ，ｙ，ｚ）的 个 数 为 （ ）．
（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４
答 （Ｄ）．
（ｘ＠ｙ）＠ｚ＝ （ｘ＋ｙ－ｘｙ）＠ｚ＝ （ｘ＋ｙ－ｘｙ）＋ｚ
－ （ｘ＋ｙ－ｘｙ）ｚ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ，
由 对 称 性 ，同 样 可 得
＋３ａｂ］＝０，
又ａ－ｂ＝２，所 以 ２－２［４＋４ａｂ］＋２［４＋３ａｂ］＝
０，解得ａｂ＝１．所 以ａ２＋ｂ２＝ （ａ－ｂ）２ ＋２ａｂ＝６，ａ３ －
ｂ３＝（ａ－ｂ）［（ａ－ｂ）２＋３ａｂ］＝１４，ａ５ －ｂ５ ＝ （ａ２ ＋ｂ２）
（ａ３－ｂ３）－ａ２ｂ２（ａ－ｂ）＝８２．
５．对任意的 整 数 ｘ，ｙ，定 义 ｘ＠ｙ＝ｘ＋ｙ－ｘｙ，
ＣＥ 的中点．
又 ＣＥ⊥ＡＢ，所 以 ＣＥ⊥ＦＧ，所 以 ＦＨ 垂 直 平 分 ＣＥ，故
∠ＤＦＣ＝ ∠ＧＦＣ＝ ∠ＥＦＧ＝ ∠ＡＥＦ＝４８°．
所 以 ∠Ｂ ＝ ∠ＦＧＣ＝１８０°－２×４８°＝８４°．
２．若
实
数
ｘ，ｙ
满
足ｘ３＋ｙ３＋
１ ４
（ｘ＋ｙ）＝１２５，则
ｘ＋ｙ 的最大值为
．
答 ３．
由
ｘ３
＋ｙ３
２ｑ）２ ＋ｐｑ＝ｍ２ ，即 （ｍ －ｐ－２ｑ）（ｍ ＋ｐ＋２ｑ）＝ｐｑ．
由于 ｐ，ｑ 为素 数，且 ｍ ＋ｐ＋２ｑ＞ｐ，ｍ ＋ｐ＋２ｑ
＞ｑ，所以 ｍ－ｐ－２ｑ＝１，ｍ ＋ｐ＋２ｑ＝ｐｑ，从 而 ｐｑ－
２ｐ－４ｑ－１＝１，即（ｐ－４）（ｑ－２）＝９，所 以 （ｐ，ｑ）（５，
１１）或 （７，５）．
所 以 ，满 足 条 件 的 素 数 对 （ｐ，ｑ）的 个 数 为 ２．
４．若实数ａ，ｂ 满 足ａ－ｂ＝２，（１－ａ）２ － （１＋ｂ）２
ｂ
ａ
＝４，则ａ５－ｂ５＝（ ）．
（Ａ）４６ （Ｂ）６４ （Ｃ）８３ （Ｄ）１２８
答 （Ｃ）．
由
条
件
（１－ａ）２ ｂ
－
（１＋ｂ）２ ａ
＝４
得
ａ
－ｂ－２ａ２
－
２ｂ２－４ａｂ＋ａ２－ｂ３＝０，
即 （ａ－ｂ）－２［（ａ－ｂ）２ ＋４ａｂ］＋ （ａ－ｂ）［（ａ－ｂ）２
延 长 ＡＥ 交ＢＣ 于点Ｆ，过点 Ｅ 作 ＢＣ 的垂线，垂
足为 Ｈ．
由已 知 得 ∠ＢＡＦ ＝ ∠ＦＡＤ ＝ ∠ＡＦＢ ＝ ∠ＨＥＦ
＝４５°，ＢＦ＝ＡＢ＝１，∠ＥＢＨ ＝∠ＡＣＢ＝３０°．
设 ＢＥ＝ｘ，则
ｘ ＨＦ＝ＨＥ＝
，ＢＨ
＝槡３ ｘ．
２
２
因为
ＢＦ＝ＢＨ
＋ＨＦ ，所 以
１＝槡３２ ｘ＋
ｘ ２
，解
烄ｘ－１＝－１， 烄ｘ－１＝－１， 或烅ｙ－１＝１， 或烅ｙ－１＝－１，
烆ｚ－１＝１， 烆ｚ－１＝－１，
所 以 ，（ｘ，ｙ，ｚ）＝ （２，２，０）或 （２，０，２）或 （０，２，２）或
· ２８ · 网址：ｚｘｓｓ．ｃｂｐｔ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ 投稿邮箱：ｚｘｓｓ２４８６＠１６３．ｃｏｍ
＋
１ ４
（ｘ＋ｙ）＝１２５可
得
（ｘ
＋ｙ）（ｘ２
－
ｘｙ－ｙ２）＋
１ ４
（ｘ＋ｙ）＝１２５，即
（ｘ＋ｙ）（ｘ２
－ｘｙ＋ｙ２
＋
１ ４
）＝１２５．
①
令
ｘ＋ｙ＝ｋ，注
（ｙ＠ｚ）＠ｘ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ，（ｚ
＠ｘ）＠ｙ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ．
所以，由已知可得 ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ
＝０，即 （ｘ－１）（ｙ－１）（ｚ－１）＝ －１．
所以，ｘ，ｙ，ｚ 为整数时，只能有以下几种情况：
烄ｘ－１＝１， 烄ｘ－１＝１， 烅ｙ－１＝１， 或烅ｙ－１＝－１， 烆ｚ－１＝－１， 烆ｚ－１＝１，
答 （Ｃ）．
由题设
知
Ａ（－ａ，－ａ２ ２
），设
Ｂ（ｘ１，０），Ｃ（ｘ２，０），二
次函数的图像的对称轴与ｘ 轴的交点为 Ｄ，则 ＢＣ＝｜ｘ１
槡 － ｘ２ ｜ ＝ 槡（ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ２ ＝
４ａ２－４×ａ２ ＝ ２
槡２ａ２ ．
又 ＡＤ＝槡２３ＢＣ，则｜－ａ２２｜＝槡２３· 槡２ａ２ ，解 得ａ２
２０１８ ５ ＞ ３３ ＝６１３３．
又 Ｍ ＝ （２０１１８＋２０１１９＋ … ＋２０１３０）＋ （２０１３１＋
１ ２０３２＋
…
＋２０１５０）＞２０１３０×１３＋２０１５０×２０＝８１３３２４３５０，
所以
１ Ｍ
＜８１３３２４３５０＝６１１１１３８４５５，故
１ Ｍ
的
整
数
部
分
为
６１．
二、填空题 （本题满分２８分，每小题７分）
第 一 试 （Ａ）
一 、选 择 题 （本 题 满 分 ４２ 分 ，每 小 题 ７ 分 ）
１．设
二
次
函
数
ｙ＝ｘ２
ａ２ ＋２ａｘ＋
２
的
图
像
的
顶
点
为
Ａ，与 ｘ 轴的交 点 为 ＢＣ，当 △ＡＢＣ 为 等 边 三 角 形 时，
其 边 长 为 （ ）．
（Ａ）槡６ （Ｂ）２ 槡２ （Ｃ）２ 槡３ （Ｄ）３ 槡２
得
ｘ
＝槡３－１．所以 ＢＥ＝槡３－１．
３．设 ｐ，ｑ 均 为 大 于 ３ 的 素 数，则 使 ｐ２ ＋５ｐｑ＋ ４ｑ２ 为完全平方数的素数对（ｐ，ｑ）的个数为（ ）．
（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４ 答 （Ｂ）． 设 ｐ２ ＋５ｐｑ＋４ｑ２ ＝ｍ２ （ｍ 为 自 然 数 ），则 （ｐ ＋
１．如 图 ２，在 平 行 四
边 形 ＡＢＣＤ 中，ＢＣ ＝
２ＡＢ，ＣＥ⊥ＡＢ 于 Ｅ，Ｆ 为
ＡＤ 的 中 点，若 ∠ＡＥＦ ＝
４８°，则 ∠Ｂ ＝
．
图２
来自百度文库
答 ８４°．
设 ＢＣ 的中点为Ｇ，连 结 ＦＧ 交ＣＥ 于 Ｈ ，由 题 设
条件知 ＦＧＣＤ 为菱形．
由 ＡＢ∥ＦＧ ∥ＤＣ 及 Ｆ 为 ＡＤ 的 中 点，知 Ｈ 为
数学竞赛之窗
（０，０，０），故 共 有 ４ 个 符 合 要 求 的 整 数 组 ．
６．设
Ｍ
１１１ ＝＋＋＋
２０１８ ２０１９ ２０２０
…
＋ １ ，则 ２０５０
１ Ｍ
的 整 数 部 分 是 （ ）． （Ａ）６０ （Ｂ）６１ （Ｃ）６２
（Ｄ）６３
答 （Ｂ）．
因为
Ｍ
＜２０１１８×３３，所以
１ Ｍ
＝６ 或 ａ２ ＝０（舍 去 ）．
所以，△ＡＢＣ 的边长ＢＣ＝ 槡２ａ２ ＝２ 槡３．
２．如图１，在矩形 ＡＢ－ ＣＤ 中，∠ＢＡＤ 的 平 分 线 交 ＢＤ 于 点 Ｅ，ＡＢ ＝１，
∠ＣＡＥ ＝ １５°，则 ＢＥ ＝
（ ）．
（Ａ）槡３３
图１
（Ｂ）槡２２
（Ｃ）槡２－１
答 （Ｄ）．
（Ｄ）槡３－１
则使得（ｘ＠ｙ）＠ｚ＋（ｙ＠ｚ）＠ｘ＋（ｚ＠ｘ）＠ｙ＝０ 的 整
数 组 ）（ｘ，ｙ，ｚ）的 个 数 为 （ ）．
（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４
答 （Ｄ）．
（ｘ＠ｙ）＠ｚ＝ （ｘ＋ｙ－ｘｙ）＠ｚ＝ （ｘ＋ｙ－ｘｙ）＋ｚ
－ （ｘ＋ｙ－ｘｙ）ｚ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ，
由 对 称 性 ，同 样 可 得
＋３ａｂ］＝０，
又ａ－ｂ＝２，所 以 ２－２［４＋４ａｂ］＋２［４＋３ａｂ］＝
０，解得ａｂ＝１．所 以ａ２＋ｂ２＝ （ａ－ｂ）２ ＋２ａｂ＝６，ａ３ －
ｂ３＝（ａ－ｂ）［（ａ－ｂ）２＋３ａｂ］＝１４，ａ５ －ｂ５ ＝ （ａ２ ＋ｂ２）
（ａ３－ｂ３）－ａ２ｂ２（ａ－ｂ）＝８２．
５．对任意的 整 数 ｘ，ｙ，定 义 ｘ＠ｙ＝ｘ＋ｙ－ｘｙ，
ＣＥ 的中点．
又 ＣＥ⊥ＡＢ，所 以 ＣＥ⊥ＦＧ，所 以 ＦＨ 垂 直 平 分 ＣＥ，故
∠ＤＦＣ＝ ∠ＧＦＣ＝ ∠ＥＦＧ＝ ∠ＡＥＦ＝４８°．
所 以 ∠Ｂ ＝ ∠ＦＧＣ＝１８０°－２×４８°＝８４°．
２．若
实
数
ｘ，ｙ
满
足ｘ３＋ｙ３＋
１ ４
（ｘ＋ｙ）＝１２５，则
ｘ＋ｙ 的最大值为
．
答 ３．
由
ｘ３
＋ｙ３
２ｑ）２ ＋ｐｑ＝ｍ２ ，即 （ｍ －ｐ－２ｑ）（ｍ ＋ｐ＋２ｑ）＝ｐｑ．
由于 ｐ，ｑ 为素 数，且 ｍ ＋ｐ＋２ｑ＞ｐ，ｍ ＋ｐ＋２ｑ
＞ｑ，所以 ｍ－ｐ－２ｑ＝１，ｍ ＋ｐ＋２ｑ＝ｐｑ，从 而 ｐｑ－
２ｐ－４ｑ－１＝１，即（ｐ－４）（ｑ－２）＝９，所 以 （ｐ，ｑ）（５，
１１）或 （７，５）．
所 以 ，满 足 条 件 的 素 数 对 （ｐ，ｑ）的 个 数 为 ２．
４．若实数ａ，ｂ 满 足ａ－ｂ＝２，（１－ａ）２ － （１＋ｂ）２
ｂ
ａ
＝４，则ａ５－ｂ５＝（ ）．
（Ａ）４６ （Ｂ）６４ （Ｃ）８３ （Ｄ）１２８
答 （Ｃ）．
由
条
件
（１－ａ）２ ｂ
－
（１＋ｂ）２ ａ
＝４
得
ａ
－ｂ－２ａ２
－
２ｂ２－４ａｂ＋ａ２－ｂ３＝０，
即 （ａ－ｂ）－２［（ａ－ｂ）２ ＋４ａｂ］＋ （ａ－ｂ）［（ａ－ｂ）２
延 长 ＡＥ 交ＢＣ 于点Ｆ，过点 Ｅ 作 ＢＣ 的垂线，垂
足为 Ｈ．
由已 知 得 ∠ＢＡＦ ＝ ∠ＦＡＤ ＝ ∠ＡＦＢ ＝ ∠ＨＥＦ
＝４５°，ＢＦ＝ＡＢ＝１，∠ＥＢＨ ＝∠ＡＣＢ＝３０°．
设 ＢＥ＝ｘ，则
ｘ ＨＦ＝ＨＥ＝
，ＢＨ
＝槡３ ｘ．
２
２
因为
ＢＦ＝ＢＨ
＋ＨＦ ，所 以
１＝槡３２ ｘ＋
ｘ ２
，解
烄ｘ－１＝－１， 烄ｘ－１＝－１， 或烅ｙ－１＝１， 或烅ｙ－１＝－１，
烆ｚ－１＝１， 烆ｚ－１＝－１，
所 以 ，（ｘ，ｙ，ｚ）＝ （２，２，０）或 （２，０，２）或 （０，２，２）或
· ２８ · 网址：ｚｘｓｓ．ｃｂｐｔ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ 投稿邮箱：ｚｘｓｓ２４８６＠１６３．ｃｏｍ
＋
１ ４
（ｘ＋ｙ）＝１２５可
得
（ｘ
＋ｙ）（ｘ２
－
ｘｙ－ｙ２）＋
１ ４
（ｘ＋ｙ）＝１２５，即
（ｘ＋ｙ）（ｘ２
－ｘｙ＋ｙ２
＋
１ ４
）＝１２５．
①
令
ｘ＋ｙ＝ｋ，注
（ｙ＠ｚ）＠ｘ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ，（ｚ
＠ｘ）＠ｙ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ．
所以，由已知可得 ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ
＝０，即 （ｘ－１）（ｙ－１）（ｚ－１）＝ －１．
所以，ｘ，ｙ，ｚ 为整数时，只能有以下几种情况：
烄ｘ－１＝１， 烄ｘ－１＝１， 烅ｙ－１＝１， 或烅ｙ－１＝－１， 烆ｚ－１＝－１， 烆ｚ－１＝１，
答 （Ｃ）．
由题设
知
Ａ（－ａ，－ａ２ ２
），设
Ｂ（ｘ１，０），Ｃ（ｘ２，０），二
次函数的图像的对称轴与ｘ 轴的交点为 Ｄ，则 ＢＣ＝｜ｘ１
槡 － ｘ２ ｜ ＝ 槡（ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ２ ＝
４ａ２－４×ａ２ ＝ ２
槡２ａ２ ．
又 ＡＤ＝槡２３ＢＣ，则｜－ａ２２｜＝槡２３· 槡２ａ２ ，解 得ａ２
２０１８ ５ ＞ ３３ ＝６１３３．
又 Ｍ ＝ （２０１１８＋２０１１９＋ … ＋２０１３０）＋ （２０１３１＋
１ ２０３２＋
…
＋２０１５０）＞２０１３０×１３＋２０１５０×２０＝８１３３２４３５０，
所以
１ Ｍ
＜８１３３２４３５０＝６１１１１３８４５５，故
１ Ｍ
的
整
数
部
分
为
６１．
二、填空题 （本题满分２８分，每小题７分）