自控 第二章
自动控制原理第2章
电气信息学院
任课教师: 高秀梅
1
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 微分方程 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图 §2-4 信号流图 §2-5 梅逊（Mason）公式 §2-6 自动控制系统的传递函数
2
一、什么是数学模型？ 二、为什么要建立数学模型？ 三、建立数学模型的方法？ 四、数学模型的形式有哪些？
2) . 比例定理： f (t ) Kf1 (t ), L[ f1 (t )] F1 (s) 若 则 st
0
L[ f (t )] Kf1 (t )e dt KF1 ( s)
1）和2）为拉氏变换的线性特性。 3). 微分定理： 若 L df (t ) df (t ) e at dt sF (s) f (0 ) dt dt 0 则
1、系统输入量： F(t) 输出量： y(t) 2、列写方程组：
F(t)
k m f y(t)
11
§2-1 微分方程
3、消去中间变量并写成标准形式：
m d y (t ) f dy ( t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k k dt k dt
令T
2 2
2
m f 1 , , K k k 2 mk
有
T
d y (t ) dt 2
dy ( t ) 2 T y ( t ) KF ( t ) dt
12
§2-1 微分方程
例3 求下图的微分方程
i1
i1
i
i2
13
§2-1 微分方程 二、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线 性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
自动控制原理第二章复习总结（第二版）
⾃动控制原理第⼆章复习总结（第⼆版）第⼆章过程装备控制基础本章内容：简单过程控制系统的设计复杂控制系统的结构、特点及应⽤。
第⼀节被控对象的特性⼀、被控对象的数学描述（⼀）单容液位对象1．有⾃衡特性的单容对象2．⽆⾃衡特性的单容对象（⼆）双容液位对象1．典型结构：双容⽔槽如图2-5所⽰。
图2-5 双容液位对象图2-6 ⼆阶对象特性曲线2．平衡关系：⽔槽1的动态平衡关系为：3．⼆阶被控对象：1222122221)(Q K h dt dh T T dt h d T T ?=+++式（2-18）就是描述图2-5所⽰双容⽔槽被控对象的⼆阶微分⽅程式。
称⼆阶被控对象。
⼆、被控对象的特性参数（⼀）放⼤系数K（⼜称静态增益）（⼆）时间常数T（三）滞后时间τ（1）．传递滞后τ0（或纯滞后）：（2）．容量滞后τc可知τ=τ0+τc。
三、对象特性的实验测定对象特性的求取⽅法通常有两种：1．数学⽅法2．实验测定法（⼀）响应曲线法：（⼆）脉冲响应法第⼆节单回路控制系统定义：（⼜称简单控制系统），是指由⼀个被控对象、⼀个检测元件及变送器、⼀个调节器和⼀个执⾏器所构成的闭合系统。
⼀、单回路控制系统的设计设计步骤：1．了解被控对象2．了解被控对象的动静态特性及⼯艺过程、设备等3．确定控制⽅案4．整定调节器的参数（⼀）被控变量的选择（⼆）操纵变量的选择（三）检测变送环节的影响（四）执⾏器的影响⼆、调节器的调节规律1．概念调节器的输出信号随输⼊信号变化的规律。
2．类型位式、⽐例、积分、微分。
（⼀）位式调节规律1．双位调节2．具有中间区的双位调节3．其他三位或更多位的调节。
（⼆）⽐例调节规律（P ）1．⽐例放⼤倍数（K ）2．⽐例度δ3．⽐例度对过渡过程的影响（如图2-24所⽰）4．调节作⽤⽐例调节能较为迅速地克服⼲扰的影响，使系统很快地稳定下来。
通常适⽤于⼲扰少扰动幅度⼩、符合变化不⼤、滞后较⼩或者控制精度要求不⾼的场合。
（三）⽐例积分调节规律（PI ）1．积分调节规律（I ）（1）概念：调节器输出信号的变化量与输⼊偏差的积分成正⽐==?t I t I dt t e T dt t e K t u 00)(1)()(式中：K I 为积分速度，T I 为积分时间。
自动控制原理：第二章 控制系统数学模型
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
y = Kx
式中， K f 'x0 是比例系数，它是函数f(x)在A点
的切线斜率。
18
对于有两个自变量x1,x2的非线性函数f(x1,x2)，同样 可以工作在某工作点(x10,x20)附近进行线性化。
这种小偏差线性化对控制系统大多数工作状态是可 行的。事实上，自动控制系统在正常情况下都处于 一个稳定的工作状态，即平衡状态，这时被控量与 期望值保持一直，控制系统也不进行控制动作。一 旦被控量偏离期望值产生偏差时，控制系统便开始 控制动作，以便减小这个偏差。因此控制系统中被 控量的偏差一般不会很大，只是“小偏差”。
RC传网0 递络函的数阶G跃(响s)确应立曲了线t 电路输入
自动控制原理第二章2-2
Uc(s)
超前校正装置
4
“由内而外”化简
R(s)
-
-
G1 H1
G2
H4
G3 H2 H3
G4
C(s)
思考：是否能用基本等效法则进行简化？ H3 R(s) C(s) G1 G2 G3 G4 -
-
H1 H4
“支路交错”
H2
5
H2(s)
R(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) C(s)
H3(s)
E ( s) 1 Ger ( s ) = = R( s ) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s)
- G2 ( s ) H ( s ) E( s) Gen ( s ) = = N ( s ) 1+ G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
24
第二章
d = s dt
小结
微分方程
干扰信号下的闭环传递函数 【令R(s)=0】
G2 ( s ) C ( s) GBN ( s ) = = N ( s ) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
22
N(s) R(s) E(s)
G1(s) H(s)
C(s)
N
G2(s)
R
1
1 E
G1
1
G2
1
C
-H
二、系统误差传递函数
G2(s)
1
R 1
G1
G2
1
C
-H
E
一、系统开环传递函数
GK ( s) = G1( s)G2 ( s) H ( s)
21
N(s) R(s) E(s)
N C(s) 1 R 1
自动控制原理第2章
※传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以
用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。
微分方程 t （时域）
L
L
1
F
F 1
系统
传递函数
s j
j
频率特性
s
（复域）
s
（频域）
2.3.1拉氏变换相关知识
2.3.2传递函数的定义
线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f 2 ( x1 x10 ) 2 y f ( x10 , x20 ) ( x1 x10 ) ( x2 x20 ) ( x1 x10 )(x2 x20 ) 2 ( x2 x20 ) 2 x 2! x x2 x1x2 x2 1 1
例2.5试建立如图2.4所示系 统的微分方程。
R1
解：根据克希霍夫电压定律， 可写出下列方程组
u1
R2
ur
i1
C1 图2.4
i2
C2
uc
1 ur R1i1 C (i1 i2 )dt 1 1 1 (i1 i2 )dt R2i2 i2 dt C2 C1 1 uc i2 dt C2
用台劳级数展开为
df ( x) 1 d 2 f ( x) y f ( x) f ( x0 ) ( ) x 0 ( x x0 ) ( ) x 0 ( x x0 ) 2 ... dx 2! dx 2
自动控制原理第二章
d 2 x(t ) dx(t ) m f kx(t ) F (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
X ( s) 1 G( s) 2 F ( s) ms fs k
三、性质： ★
1、传递函数表达系统本身固有的动态性能，与输入量大
an c ( n ) (t ) an 1c ( n 1) (t ) ... a1c (1) (t ) a0 c(t ) bm r ( m ) (t ) bm 1r ( m 1) (t ) ... b1r (1) (t ) b0 r (t ), (n m)
2-2 微分方程（基本数学模型）
一、微分方程的建立（时域）
控制系统中的输出量和输入量通常都是时间 t 的函数。
很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用 一个微分方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间 的导数或积分。这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学 方程。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为 系统的阶数。
例2-1的RLC串联电路的微分方程为
d 2 u o (t ) du o (t ) LC RC u o (t ) u i (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
U o ( s) 1 G( s) U i ( s) LCs 2 RCs 1
本章只讨论解析法建立系统的数学模型。
3.模型表示形式
a.时域：微分方程；b.复数域：传递函数，c.频域：频率特 性
三种数学模型之间的关系
线性定常系统
拉氏 s=jω 微分方程 变换 传递函数 频率特性
自动控制原理第2章 习题及解析
第二章 习题解析2-4 当系统处于零初始条件下时，给系统输入单位阶跃响应信号，其输出响应为2()1t t y t e e --=-+试求该系统的传递函数。
参考解答：2111421()()21(2)(1)s s Y s R s s s s s s s s++=-+==++++ 22()42()()32Y s s s G s R s s s ++==++2-5 某可控硅整流器的输出电压d 2cos U KU αΦ=式中，K 为常数；2U Φ为整流变压器副边相电压有效值；α为可控硅的控制角。
设α在0α附近作微小变化，试将d U 与α的关系式线性化。
参考解答：将非线性微分方程d 2cos U KU αΦ=进行线性化，即在平衡点α0 附近将其展为泰勒级数取一次近似，线性化后用变量增量的线性方程ΔU d = C Δα 代替原来的非线性方程，式中常数2020sin sin dd dU C KU U KU d ααααααΦΦ===-→∆=-∆略去增加量符号“Δ”，上式可简写为20sin d U KU ααΦ=- 2-6 试求图2-70所示电路的传递函数()/()y r U s U s 。
参考解答：图 a)可作出该无源电路的动态结构图（图a-1）亦可作成图（图a-2）所示由结构图等效变换可求得传递函数212()11()()11c r U s R Cs bTs U s R R Cs Ts ++==+++式中21212(),1R T R R C b R R =+=<+ ，该网络称为滞后网络。
图 b)由图（b ）网络可作出其动态结构图（b-1），简化为（b-2）即可得传递函数：112221122112212()(1)(1)()()1y r U s R C s R C s U s R C R C s R C R C R C s ++=++++该网络称为滞后-超前网络（滞后-超前电路）。
2-7 试求图2-71所示有源电路的传递函数y r ()/()U s U s 。
自动控制理论-第二章
2-1 控制系统的时域数学模型
1、控制系统微分方程的建立 （1）举例 例1：电路无源网络 试列写以 u (t ) 为输入量，以 u (t )为 输出量的网络微分方程
i
o
解：设回路电流为 i(t ) ，由基尔霍夫 定律可写出回路方程为
di ( t ) 1 + i ( t ) dt + Ri ( t ) = u i ( t ) dt C ∫ 1 u o (t ) = i ( t ) dt C ∫ L
f 2 (t )
c(t ) = c1 (t )
作用时， c(t ) = c2 (t ) 叠加性：当 f (t ) 、 f (t ) 同时作用时，c(t ) = c1 (t ) + c2 (t ) 均匀性：当 f (t ) = A ⋅ f1 (t ) 时， c(t ) = A ⋅ c1 (t ) 线性系统的叠加原理表明：两个外作用同时加于系统所产生的 总输出，为各个外作用单独作用时分别产生的输出之和。
[
]
1 1 1 F ( s ) + n f ( −1) (0) + L + f ( − n ) (0) n s s s
式中
f
( −1)
f ( −1) (0)、f ( −2) (0) L f ( − n ) (0)
(−n)
为
f (t )
的各重积分在 t = 0 时的值。如果
(0) = f ( −2 ) (0) = L = f
(0) = 0 ，则有
L ∫ L ∫ f (t )(dt ) n =
[
]
1 F (s) sn
（4）初值定理 若函数 f (t ) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则
f (0 + ) = lim f (t ) = lim sF ( s)
自控第二章
Fi 0
式中：Fi是作用于质量块上
f
的主动力，约束力以及惯性
力。
将各力代入上等式，则得
K M y(t)
d2 y(t) dy(t) m dt2 f dt Ky(t) F (t)
(2 1 6)
式中：y——质量块m的位移（m）；
f——阻尼系数（N·s/m)；
K ——弹簧刚度（N/m)。
将式(2-1-6)的微分方程标准化
加若干倍，这就是叠加原理。
2－3 传递函数
传递函数的定义：
线性定常系统在零初始条件下，输出
的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。
•传递函数是在拉氏变换基础上引申出来的复数域数 学模型。传递函数不仅可以表征系统的动态特性， 而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性 能的影响。经典控制理论中广泛应用的根轨迹法和 频域法，就是以传递函数为基础建立起来的。因此 ，传递函数是经典控制理论中最基本也是最重要的 数学模型.
自动控制原理
第二章 自动控制系统的数学模型
第二章 自动控制系统的数学模型
主要内容 2-1 控制系统微分方程的建立 2-2 非线性微分方程的线性化 2-3 传递函数 2-4 动态结构图 2-5 系统的脉冲响应函数 2-6 典型反馈系统传递函数
基本要求 1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。 2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉 氏变换形式。 3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。 4.掌握传递函数的概念及性质。 5.掌握典型环节的传递函数形式。
K s
1 Ts
K——比例系数 T——积分时间常数
可以应用在一些信号转换电路上，比如关于X轴对称的方波 经过积分电路处理后，输出三角波。
3.微分环节
• 理想的微分环节，其输出与输入量的导数成比例。
自动控制原理第二章
1 ui (t ) 1(t ), U i ( s) s Ui 0.1s 0.2 1 1 u0 (t ) L [U 0 ( s )] L [ 2 2 ] s s 1 s s 1 1 0.1s 0.2 1 L [ 2 ] 2 s ( s s 1) s s 1
m=10, f=1, k=1
m=10, f=1, k=5
输入： Fi 1(t )
m=10, f=1, k=1
m=10, f=1, k=5
相似系统
RLC无源网络和弹簧-质量-阻尼器机械系 统的数学模型均是二阶微分方程，为相似 系统。 相似系统便于用一个简单系统去研究与其 相似的复杂系统，也便于控制系统的计算 机数字仿真。
化的过程。
4、线性系统的基本特性 叠加性：系统在几个输入信号同时作用 下的总响应，等于这几个输入信号单独 作用的响应之和。
如果元件输入为： r1(t)、r2(t)、r(t) ，
对应的输出为： c1(t)、c2(t)、c(t) 。
如果 r(t)=r1(t)+r2(t) 时， c(t)=c1(t)+c2(t) 满足叠加性。
满足齐次性。
满足叠加性和齐次性的元件才是线性元件
例如 y=kx 是线性元件
输入 x1 输出 y1=kx1 x2 输入x1 ＋x2 C为常数， Cx1 y2=kx2 y1 ＋ y2 满足迭加性 Cy1 满足齐次性
所表示的元件 为线性元件
线性方程不一定满足迭加性和齐次性
y=kx+b(b为常数 0)线性方程，所表示的元件不是 线性元件 . 输入 x1y1 输出 y1＝ kx1+b x2 y2 y2 =kx2+b 输入 x1 ＋ x2 输出 y=k(x1 ＋ x2)+b =k x1 +kx2+b y1 +y2 不满足迭加性 k为常数 :kx1输出y=k(kx1)+b=k2x1+b ky1=k(kx1+b)= k2x1+kb yky1 不满足齐次方程。 所表示的元件不是线性元件。
《自动控制原理》第2章线性系统的传递函数
《自动控制原理》第2章线性系统的传递函数线性系统是指系统的输出与输入之间存在线性关系的系统。
线性系统的传递函数是描述系统输入输出之间关系的一种数学表示方法。
在线性系统中，传递函数是一个复变函数，通常表示为H(s)，其中s是复变数，表示Laplace变换域中的复频率。
传递函数可以通过对系统的微分方程进行Laplace变换得到。
传递函数的形式可以根据系统的特点进行表示。
例如，对于一个惯性系统，其传递函数可以表示为H(s)=k/(Ts+1)，其中k是系统的增益，T是系统的时间常数。
传递函数的分子表示系统的输出与输入之间的增益关系，分母表示系统的动态响应特性。
通过传递函数，我们可以分析系统的频率响应特性。
频率响应可以通过将复变数s替换为jω，其中j是虚数单位，ω是真实频率。
通过计算传递函数在不同频率下的幅频特性和相频特性，我们可以了解系统对不同频率的输入信号的响应情况。
另外，传递函数还可以用于系统的稳定性分析。
对于一个线性时不变系统，如果其传递函数的分母没有极点位于劣半平面，即实部为负的复数域中，那么系统是稳定的。
通过分析传递函数的极点位置，我们可以判断系统的稳定性。
在实际应用中，我们可以利用传递函数进行系统的设计和控制。
例如，对于给定的控制要求，我们可以通过选择合适的传递函数参数，来设计满足要求的控制器。
控制器的设计过程可以通过将传递函数相乘或串联、并联等操作来实现。
总结起来，线性系统的传递函数是描述系统输入输出关系的一种数学表示方法。
通过传递函数，我们可以分析系统的频率响应和稳定性，并进行系统的设计和控制。
掌握传递函数的理论和应用，对于理解和应用自动控制原理具有重要意义。
以上是关于《自动控制原理》第2章线性系统的传递函数的1200字以上的介绍。
希望对读者理解和学习该章节内容有所帮助。
《自动控制原理》第二章传递函数
输出信号的拉氏变换 传递函数 = 输入信号的拉氏变换 零初始条件
C ( s) G(s) = R( s)
autocumt@ 1 中国矿业大学信电学院
一、 传递函数的定义和主要性质
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述： 设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
dn d n −1 d a 0 n c (t ) + a1 n −1 c (t ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a n −1 c (t ) + a n c (t ) dt dt dt d m −1 d dm = b0 m r (t ) + b1 m −1 r (t ) + ⋅ ⋅ ⋅ + bm −1 r (t ) + bm r (t ) dt dt dt
autocumt@
15
中国矿业大学信电学院
自动控制原理
4、振荡环节
特点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个 包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时， 包含两个独立的储能元件 储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。 储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。
z1 n 2 (t) = n1 (t) z2
G(s) = N 2 (s) z1 = =K N1 (s) z 2
传递函数： 传递函数：
autocumt@
9
中国矿业大学信电学院
其它一些比例环节
自动控制原理
R2 R1
r (t )
Ec
R
c (t )
ic (t )
r1
r2
r (t )
c(t )
C
例：积分电路 积分电路
i1 (t )
R1
自动控制原理第二章
R(S)
C(S) 式中 1
自动控制原理
北华大学 电气信息工程学院 白晶B
单位阶跃响应曲线 r(t) c(t) c(t)
T
1 0.632 0
r(t)
t
特点: 输出量不能瞬时完成与输入量 完全一致的变化.
自动控制原理
北华大学 电气信息工程学院 白晶B
惯性环节实例 (a)
运算放大器构成的惯性环节
R1
ur
比例环节实例 (b) (a) 线性电位器构成的比例环节 (c) 由运算放大器构成的比例环节 传动齿轮构成的比例环节
+ r(t) R1 R ur 1 + ∞ uc ur(t) + i u (t) + R c 2 c(t) R2
RR 22 K= K= - R +R R21 1 K=i
自动控制原理
北华大学 电气信息工程学院 白晶B
自动控制原理
北华大学 电气信息工程学院 白晶B
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1 微分方程式的编写 2.2 非线性数学模型的线性化 2.3 传递函数 2.4 系统动态结构图 2.5 系统传递函数和结构图的等效变换 2.6 信号流图
自动控制原理
北华大学 电气信息工程学院 白晶B
重点掌握： 微分方程 传递函数 系统结构图及信号流图 梅逊公式
自动控制原理
北华大学 电气信息工程学院 白晶B
由数学模型求取系统性能指标的主要途径
求解 观察
线性微分方程
时域响应
性能指标
拉氏变换
拉氏反变换
傅 氏 变 换
估算
传递函数
估算
S=jw 计算
频率特性
复域响应
自动控制原理
《自动控制原理》第2章 拉氏变换与拉氏反变换
=
(s
+
s+a a)2 +
2
（四）有理分式的拉氏反变换
Ch2 控制系统的数学模型
F (s)
=
B(s) A(s)
=
b0 s m a0 s n
+ b1sm−1 + a1sn−1
++ bm ++ an
(m n)
定义: F(s) 的零点：B(s)=0的解 zj F(s)的极点：A(s)=0的解 pi F(s)的特征多项式：A(s)
c1
=
F (s)s
s=0
=
s+2 (s + 3)(s +1)2
s=0
=
2 31
=
2 3
c2
=
F (s)(s
+ 3)
s = −3
=
s+2 s(s +1)2
s = −3
=
−1 − 3 4
=
1 12
Ch2 控制系统的数学模型
c3
=
F (s)(s
+ 1) 2
s = −1
=
s+2 s(s + 3)
s = −1
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
或 相似定理
Ch2 控制系统的数学模型
设 p1 = + j, p1 = − j,
自动控制原理第二章
解 根据系统的物理特性，可写出以下微 分方程
ui (t ) − uc (t ) = uo (t ) duc (t ) uc (t ) + i (t ) = C dt R1 uc (t ) = R2i (t )
进而可得
U i ( s) − U c ( s) = U o (s) R1Cs + 1 U c ( s) I (s) = R1 U o ( s ) = R2 I ( s )
2.2传递函数 传递函数
引言： 引言：传递函数是在拉氏变换基础上引 申出来的复数域数学模型。传递函数不 仅可以表征系统的动态特性，而且可以 用来研究系统的结构或参数变化对系统 性能的影响。经典控制理论中广泛应用 的根轨迹法和频域法，就是以传递函数 为基础建立起来的。因此，传递函数是 经典控制理论中最基本也是最重要的数 学模型。
传递函数的零点和极点 零点：传递函数中分子多项式为零的值称为传 递函数的零点，通常用Zi 表示，在复平面坐标 中用“0”表示。 极点：传递函数中分母多项式为零的值，称为 传递函数的极点，通常用Pj表示，在复平面坐 标中用“X”表示。
零、极点可以是实数、复数（若为复数则 共轭成对出现），在复平面上总能找到 相对应的一点，故系统的传递函数与复 平面有相应的对应关系。因此在传递函 数分子多项式和分母多项式互质时，传 递函数的零、极点分布图也表征了系统 的动态性能。
(2-2)
传递函数是在零初始条件下定义的。零 初始条件有两方面含义：一是指输入是 在 t = 0 以后才作用于系统，因此，系统 输入量及其各阶导数在 t ≤ 0 时均为零； 二是指输入作用于系统之前，系统是 “相对静止”的，即系统输出量及各阶 t≤0 导数在 时的值也为零。
自动控制理论第二章传递函数_图文
§2.6 一般反馈控制系统
传递函数的各种术语 误差传函 扰动传函 一般控制作用
1. 一般控制系统
前向通道传函 闭环系统的开环传函 系统闭环传递函数 系统在给定作用下的输出
1、由系统输入到系统输出端的信号通路定义为系统 前向主通路(道)[简称主通路或前向通路]
②方框：表示输入、输出信号之间的传递 关系。
③引出点(测量点)：表示信 号引出或测量位置，从同一 点引出的信号完全相同。
④比较点(综合点)：表示两个或两个以上 的信号，在该点相加、减。注意，比较点 处信号的运算符号必须标明正(+)、负(-)， 一般不标者取正号。同时进行运算的信号 必须具有相同的量纲。
梅逊公式
回路总增益 (闭环传函)
第i条前向通 道余子式
第i个前向 通道增益
特征式
例：三级RC滤波网络如
图所示，求传递函数G(s)。
解： 前向通路1条 独立回路5个
两两不接触回路6个
三三不接触回路 特征式 余子式 传递函数
例：试求取图示系统的传递函数
解：前向通路3条
独立回路2个
例：系统结构图如图所示，试求其传递函数
积分器框图
特性：调节系统稳态误差，也称为无差 环节。
电压的传递函数
三、纯微分环节
定义：环节的输出响应正比于输入信号的变化率 。
微分方程 传递函数
测速发电机
四、惯性环节
定义：环节的输出不能立即复现输入，而是经过 一定时间后才能复现输入的变化。
微分方程
传递函数
运算放大器
五、振荡环节
定义：在输入作用下，环节输出响应随时间变化的 过渡过程总是在某一稳定值上下出现衰减振荡，而 最终趋于稳定值。
自动控制原理第二第二章数学模型线性化
目录
• 线性化基础 • 线性化方法 • 线性化应用 • 线性化案例分析
01
线性化基础
线性化的定义
线性化是指将非线性系统在平衡点附 近近似表示为线性系统的过程。
在自动控制原理中，线性化主要用于 分析系统的动态特性和稳定性。
线性化的过程
确定系统的平衡点
找到非线性系统的平衡点，这是线性化的起点。
高阶项的影响
在泰勒级数展开中，高阶项被忽略，因此线性化可能 引入误差。
02
线性化方法
泰勒级数展开法
总结词
泰勒级数展开法是一种通过将非线性函数在某一点处展开成幂级数来线性化非线性系统的有效方法。
详细描述
泰勒级数展开法基于数学中的泰勒级数，通过将非线性函数在某一参考点处展开成无穷级数的形式， 可以近似地表示该非线性函数。在自动控制系统中，选取适当的参考点，将非线性函数进行泰勒级数 展开，然后保留前几项，可以得到近似的线性化模型。
案例二：复杂控制系统线性化
总结词
对复杂控制系统进行线性化处理，以简化分析过程。
详细描述
复杂控制系统通常由多个相互耦合的动态元件组成，其数学模型通常为高阶非线性微分 方程。通过适当的线性化处理，可以将非线性模型简化为线性模型，从而简化分析过程。
案例三：多变量控制系统线性化
总结词
对多变量控制系统进行线性化处理，以实现 多变量控制。
幂级数展开法
总结词
幂级数展开法是一种将非线性函数表示为幂次函数的级数展开式的线性化方法。
详细描述
幂级数展开法的基本思想是将非线性函数表示为一系列幂次函数的和，通过选取适当的幂次函数，可以近似地表 示非线性函数。在自动控制系统中，利用幂级数展开法可以将非线性函数进行近似线性化，从而方便建立系统的 数学模型。
自动控制原理(王万良)第二章
时间之后才接近所要求的输出值；
延迟环节: 从输入开始后在0－τ时间内没有输出，在t =τ之后，才有输出。
r(t) c(t)
0τ
24
2.4 结构图
2.4.1 结构图的基本组成 控制系统的结构图是系统数学模型的图解形式； 结构图可以形象直观地描述系统中各元件间的相互
2
2.1 系统数学模型的概念
自控理论方法是先将系统抽象完数学模型，然后用数学的方法处理。 控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量） 之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。
F(t)
m
f
X(t)
d 2 X (t) m
+
f
dX (t)
+ kX (t)
=
F (t)
dt 2
dt
＋ ur(t) －
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±
Q(s)
1/G (s)
C(s) = [R(s) ± Q(s) ]G(s) G(s)
30
◆ 比较点后移：
R(s)
±
C(s) G (s)
Q(s) C (s) = [R(s) ± Q(s)]G(s)
R(s) G (s)
Q(s) G (s)
C(s)
±
C (s) = R(s)G (s) ± Q(s)G (s)
G1(s)
U1
+
C(s)
+
G2(s) U2
思考：多个环节并联？
? R(s)
C(s) G1(s)+G2(s)
结论：并联的总传递函数等于各个方框传递函数的代数和。
27
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2-1 试列写图2-1所示机械系统的运动微分方程。
解：根据力平衡方程，可得()()11111221112122122F K y f y K y y M y M g K y y M y ----=⎧⎪⎨--=⎪⎩ 即()()11111112212221221F M y f y K y K y y M g M y K y y =+++-⎧⎪⎨=+-⎪⎩2-2 试证明图2-2(a)和(b)所示网络的传递函数分别为：)1(221121121112()1()1U s R R C sR U s R R R C sR R +=+++)2(()()2213121122312211223131211221231()()1()()1R R R C C s R C R C R C s U s U s R R R R R R C C s R C R C R C R C s +++++=+++++++证明：(1)对于图2-2(a)所示的无源网络，根据复数阻抗的方法可得222112111122112121*********211()111()111U s R R R C s R R C sR R R R U s R R R R R C s R C s C s R C s R R R R R C s ++====++⋅+++++++(2)对于图2-2(b)所示的无源网络，根据复数阻抗的方法可得图2-1()()2222211311231311121223112213121122312122313121122123111()1()1111()()11R R U s C sC sR R R C s U s R R R R C s R C s C s C s R C s R R C s R R R C C s R C R C R C s R R R R R R C C s R C R C R C R C s ++==+⎛⎫+++⨯ ⎪++⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭+++++=+++++++2-3 试证明图2-3所示网络的传递函数为12121111221211111()()L s U s R U s L L R R R C s R C s R R R +=⎛⎫++++ ⎪⎝⎭证明：对于图2-3所示的无源网络，根据复数阻抗的方法可得()()()()()11111112211111111112111112211111112211211111112212111111()11()1111L s R C sL s R L s R U s C s L C s R C s L s R U s L s R C s L C s R C s R R L s R C sL s L s R R L s R R L C s R C s L L R R R C s R C s R R R +⋅+++++==++⋅++++++++==⎛⎫++++++++ ⎪⎝⎭2-4 求图2-4所示系统的传递函数()()C s R s 。
解：首先对图2-4的引出点与相加点进行等效变换，将图2-4变换成图2-4(a)；其中将1133()(),()()G s H s G s H s 组成的反馈回路进行简化，如图2-4(b)所示；最后将图2-4(b)化简为2-4(c)所示的方框图，即可求得系统的传递函数为1231133131322()()()()()()1()()()()()()()()()()G s G s G s C s s R s G s H s G s H s G s G s H s H s G s H s Φ==++++2-5 试简化图2-5所示系统机构图，并求出相应的传递函数()()C s R s 和()()C s N s 。
解：(1)仅当考虑()R s 作用时，经过反馈连接等效，可得简化结构图2-5(a)，则系统传递函数为12221212221233221()()111G G G H G G C s R s G H G G H H G H -==-++⋅-(1)仅当考虑()N s 作用时，系统结构图2-5(b)所示。
系统经过比较点后移和串、并联等效，可得简化结构图如图2-5(c)，则系统传递函数为()()11221212213221231()()11G H G G G G H C s N s G H G H G H G G H --==---+ 2-6 试简化图2-6系统结构图，分别求出传递函数11221212()()()(),,,()()()()C s C s C s C s R s R s R s R s 。
解：(1)求11()()C s R s 。
此时，前向通道1G ，反馈通道234G G G ，则系统的传递函数为1111234()()1C s G R s G G G G =- (2) 求12()()C s R s 。
此时，前向通道134G G G -，反馈通道2G -，则系统的传递函数为134121234()()1G G G C s R s G G G G -=- (3) 求21()()C s R s 。
此时，前向通道123G G G -，反馈通道4G -，则系统的传递函数为123211234()()1G G G C s R s G G G G -=- (4) 求22()()C s R s 。
此时，前向通道3G ，反馈通道124G G G ，则系统的传递函数为212421234()()1C s G G G R s G G G G =- 2-7 设控制系统原理图如图2-7所示。
假定同步误差检测器和放大器的传递函数分别为1K 和2K ，电动机和负载的传递函数为3()()(1)m a C s K U s s Ts =+，测速发电机传递系数为4K ，齿轮系速比211z i z =>，试画出系统结构图，并求闭环传递函数()()C s R s 。
控制传感器控制变压器图2-7 制系统原理图解：根据题意，可画出系统结构图如图2-7(a)所示。
图 2-7(a)该系统结构图的简化结构图如图2-7(b)。
图 2-7(b)则系统的闭环传递函数为123123234()()(1)K K K C s i K K K R s s Ts K K K i=+++ 2-8 多环交叉反馈系统的结构图如图2-8所示，试求系统传递函数()()C s R s 和()()C s E s 。
图 2-8解：经过串联等效，可得简化结构图，如图2-8(a)所示。
设121210(1)5(1)(),(),K s K s G s G s s s ++==则将2()G s 左侧的比较点右移，可得图2-8(b)。
将2()G s 右侧的比较点继续右移，并分离该比较点，可得图2-8(c)，将2()G s 右侧的引出点分离，并经过并联等效，可得图2-8(d),再利用反馈等效与串、并联等效，可得图2-8(e)。
2-8(a)2-8(b)2-8 (c)2-8 (d)2-8 (e)则系统的传递函数为1222121222121212121211212()[1()][1()]()1()()()()[1()][1()]()[1()()]()11()()10(1)5(1)()()10(1)5(1)10(1)5(1()()()()1G s G s G s G s G s G s C s G s G s G s G s G s G s R s G s G s K s K s G s G s s s K s K s K s G s G s G s G s s s s +-++=+-++++++++==+++++++++⋅()()()221221212121)1051510550150501550K s sK K s s K K K K s K K s +++=+++++++()()()2122121210515()()1()()()()()5015050()K K s s C s C s R s C s E s R s C s K K s K K s C s ++===--++++ 2-9 系统信号流图如图2-9所示，试用梅森公式求出系统传递函数()()C s R s 。
(R s ()C s 2-9 信号流图解：考查系统信号流图可知，本系统有一条前向通道，五个单独回路，无互不接触回路，即12345,,,,L bg L f L ch L bce L abcd =====123451()1L L L L L bg f ch bce abcd ∆=-++++=----- 由梅森公式可得传递函数为()()1i i p C s abcR s bg f ch bce abcd ∆==∆-----∑2-10 图2-10为发动机速度控制系统的结构图，发动机转速由转速测量装置进行测量。
负载扰动2-10 发动机速度控制系统(1)画出该系统的信号流图 (2)求()()C s R s 和()()Cs N s 解：(1)考查系统结构图，可绘制发动机速度控制系统的信号流图，如下图示(R s 发动机速度控制系统的信号流图(2)(a)求()()C s R s 考察系统信号流图，本系统只有一条通路和一条回路。
221122221110010101001010,11401000.112011401000.112011,1,L p s s s s s s s s L =-⋅⋅=⋅⋅⋅++++++++∆=∆=-由梅森公式求得传递函数()()()2222()1000()1401000.112011000i i p C s R s s s s s ∆==∆+++++∑ (b) 求()()C s N s 本系统只有一条通路和一条回路。
21122111001010,11401000.11201101,201L L s s s s p s =-⋅⋅∆=-++++∆==+由梅森公式求得传递函数()()()()()2222210140100201()()1401000.112011000i is s s p C s N s s s s s +++∆==∆+++++∑2-11 若已知系统信号流图上从源节点()R s 到阱节点()C s 的增益为()(1)()(1)(1)C s ah ch dg p R s be dg cf--==---，式中的字母分别表示各支路增益，试绘制响应的信号流图。
解：由于()(1)()(1)(1)C s ah ch dg p R s be dg cf--==---，通过分析源节点()R s 到阱节点()C s 的增益可知本系统有一条前向通道，三个单独回路，一对互不接触回路，即1231212,,,L be L dg L cf L L L L bedg ====其中与互不接触，。