最新高中数学不等式知识点归纳汇总

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高中数学不等式知识点

不等式知识点概括 :一、不等式的观点与性质1、实数的大小次序与运算性质之间的关系：2、不等式的性质：（ 1） a b b a， a b b a（反对称性）（ 2）a b, b c a c， a b, b c a c（传达性）（ 3） a b a c b c ，故 a b c a c b （移项法例）推论： a b, c d a c b d（同向不等式相加）（ 4）a b, c0ac bc， a b, c0ac bc推论 1：a b0, c d0ac bd推论 2：a b0 a n b n推论 3：a b0n a n b不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，要点是正确理解和娴熟运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和增强。

3、常用的基本不等式和重要的不等式（ 1） a R, a20, a0当且仅当 a0,取“”（ 2）a, b R,则 a2 b 22ab（ 3）a, b R ，则 a b 2 ab（4） a 2b2( a b)2224、最值定理 : 设 x, y0,由x y 2 xy（1）如积xy P(定值），则积x y有最小值2 P（ 2）如积x y S(定值），则积xy有最大值（S ）2 2即 : 积定和最小，和定积最大。

运用最值定理求最值的三因素：一正二定三相等5、均值不等式 :a b两个正数的均值不等式：ab2三个正数的均不等是：a b c3 abc3n 个正数的均不等式：a1a2an n a1 a2 a nn6、四种均的关系：两个正数 a、b 的和均匀数、几何均匀数、算均匀数、均方根之的关系是小 : 在不等式的性中，要特注意下边 4 点：1、不等式的性：若 a>b,b>c,a>c, 是放法的依照，在运用性，要注意不等式的方向，否易生的：明a>c, 中量 b, 在出 a>b,c>b,后，就能获得a>c。

2、同向不等式可相加但不可以相减，即由 a>b,c>d ，能够得出 a+c>b+d, 但不可以得 a—c>b—d。

高中不等式全套知识点总结

高中不等式全套知识点总结一、不等式的基本概念1. 不等式定义不等式是指两个数量在大小上的关系，包含大于、小于、大于等于、小于等于四种关系。

一般用符号“>”表示大于，“<”表示小于，“≥”表示大于等于，“≤”表示小于等于。

2. 不等式的解不等式的解是指满足不等式关系的所有实数集合，解集可以是一个区间、一个集合或者一个无穷集合。

3. 不等式的性质（1）两个不等式如果左右两边分别相等，那么其关系也相等；（2）两个不等式如果相互交换左右两边，那么关系会相反；（3）不等式两边同时加或减同一个数，不等式关系不变；（4）不等式两边同时乘或除同一个正数，不等式关系不变；（5）不等式两边同时乘或除同一个负数，不等式关系反转。

二、一元一次不等式1. 线性不等式线性不等式的一般形式为 ax+b>c 或者ax+b≥c，其中a≠0。

2. 一次不等式的解法（1）基本不等式直接解法：按照不等式的性质逐步解题；（2）图像法：将不等式转化为直线或者直线段的图像，然后通过图像解题；（3）分情况讨论法：根据不等式的取值范围分情况进行讨论，再分别求解。

3. 一次不等式的应用（1）生活中常见的线性不等式问题，比如买苹果不超过20元；（2）工程建设中的线性不等式问题，比如某公式里的参数要求取值范围。

三、一元二次不等式1. 二次不等式定义二次不等式的一般形式为 ax²+bx+c>0 或者ax²+bx+c≥0，其中a≠0。

2. 一元二次不等式解法（1）解法一：配方法、图像法；（2）解法二：利用一元二次不等式的图像特点；3. 一元二次不等式的应用（1）生活中常见的二次不等式问题，比如某项业务的收入和支出之间的关系；（2）工程建设中的二次不等式问题，比如求最大值、最小值。

四、多项式不等式1. 多项式不等式的定义多项式不等式是指由多项式构成的不等式，一般形式为 f(x)>0 或者f(x)≥0。

2. 多项式不等式的解法（1）概念法：直接按照多项式不等式的定义和性质进行解题；（2）函数法：将多项式在坐标系中的图像出发，进行解题。

数学必修一不等式知识点

数学必修一不等式知识点一、不等式的基本性质。

1. 对称性。

- 如果a > b，那么b < a；如果a < b，那么b > a。

2. 传递性。

- 如果a > b，b > c，那么a > c。

3. 加法法则。

- 如果a > b，那么a + c>b + c。

- 推论：如果a > b，c > d，那么a + c>b + d。

4. 乘法法则。

- 如果a > b，c>0，那么ac > bc；如果a > b，c < 0，那么ac < bc。

- 推论：如果a > b>0，c > d>0，那么ac > bd。

- 乘方法则：如果a > b>0，那么a^n>b^n(n∈ N,n≥slant1)。

- 开方法则：如果a > b>0，那么sqrt[n]{a}>sqrt[n]{b}(n∈ N,n≥slant2)。

二、一元二次不等式及其解法。

1. 一元二次不等式的一般形式。

- ax^2+bx + c>0(a≠0)或ax^2+bx + c < 0(a≠0)。

2. 求解一元二次不等式的步骤（以ax^2+bx + c>0(a>0)为例）- 先求出一元二次方程ax^2+bx + c = 0的根（判别式Δ=b^2-4ac）。

- 当Δ>0时，方程ax^2+bx + c = 0有两个不同的实根x_1,x_2(x_1，不等式的解集为{xx < x_1或x>x_2}。

- 当Δ = 0时，方程ax^2+bx + c = 0有两个相同的实根x_0，不等式的解集为{xx≠ x_0}。

- 当Δ<0时，方程ax^2+bx + c = 0无实根，不等式ax^2+bx + c>0的解集为R。

- 对于ax^2+bx + c < 0(a>0)的情况，当Δ>0时，解集为{xx_1；当Δ = 0时，解集为varnothing；当Δ<0时，解集为varnothing。

高中数学不等式知识点总结归纳(教师版)

高中数学不等式知识点总结归纳(教师版)高中数学不等式专题教师版一、高考动态考试内容：不等式。

不等式的基本性质。

不等式的证明。

不等式的解法。

含绝对值的不等式。

考试要求：1.理解不等式的性质及其证明。

2.掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单地应用。

3.掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。

4.掌握简单不等式的解法。

5.理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。

二、不等式知识要点1.不等式的基本概念1) 不等（等）号的定义：a-b>⟺a>b；a-b=⟺a=b；a-b<⟺a<b。

2) 不等式的分类：绝对不等式，条件不等式，矛盾不等式。

3) 同向不等式与异向不等式。

4) 同解不等式与不等式的同解变形。

2.不等式的基本性质1) a>XXX<a（对称性）。

2) a>b，b>c⟹a>c（传递性）。

3) a>b⟹a+c>b+c（加法单调性）。

4) a>b，c>d⟹a+c>b+d（同向不等式相加）。

5) a>b，cb-d（异向不等式相减）。

6) a>b，c>0⟹ac>bc；a<b，c<0⟹ac<bc（乘法单调性）。

7) a>b>0，c>d>0⟹ac>bd（同向不等式相乘）。

8) a>b>0，0bc（异向不等式相除）。

9) a>b，ab>0⟹a/b>b/a。

10) a>b，ab<0⟹a/b<b/a。

11) a>b>0，n>1⟹a^n>b^n（平方法则）。

12) a>b>0，n>1⟹a^(1/n)>b^(1/n)（开方法则）。

3.几个重要不等式1) 若a∈R，则|a|≥0，a^2≥0.2) 若a、b∈R+，则a^2+b^2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）。

高中不等式知识点总结

高中不等式知识点总结摘要：一、不等式的基本概念1.不等式的定义2.不等式的符号表示二、不等式的基本性质1.对称性2.传递性3.可加性4.乘法原则三、常见不等式的解法1.作差比较法2.作商比较法3.韦达定理四、实际应用1.生活中的应用2.数学中的应用正文：一、不等式的基本概念不等式是数学中的一种基本概念，用于表示两个数的大小关系。

不等式的定义很简单，就是一个比较式，用符号">"或"<"来表示大小关系。

例如，x > y表示x大于y，x < y表示x小于y。

二、不等式的基本性质不等式有许多基本性质，这里我们介绍四个常见的性质。

1.对称性：如果x > y，则y < x。

这就是说，不等式两边同时改变符号，不等式的方向不会改变。

2.传递性：如果x > y，且y > z，则x > z。

这就是说，如果一个数大于另一个数，而另一个数又大于第三个数，那么第一个数一定大于第三个数。

3.可加性：如果x > y，且a > 0，则x + a > y + a。

这就是说，如果一个数大于另一个数，而加上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。

4.乘法原则：如果x > y，且m > 0，则x * m > y * m。

这就是说，如果一个数大于另一个数，而乘上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。

三、常见不等式的解法有许多方法可以解不等式，这里我们介绍三种常用的方法。

1.作差比较法：如果x > y，则x - y > 0。

我们可以通过作差来比较两个数的大小。

2.作商比较法：如果x > y，则x / y > 1。

我们可以通过作商来比较两个数的大小。

3.韦达定理：如果x > y，则(x + y) / 2 > (x - y) / 2。

我们可以通过韦达定理来比较两个数的大小。

完整版)高中数学不等式知识点总结

完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。

②传递性：a>b。

b>c则a>c。

③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。

同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。

异向可减性：a>b，cb-d。

④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。

⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。

异向正数可除性：a>b>0，0bc。

a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。

⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。

2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。

a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。

a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。

a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。

a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。

a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。

a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。

a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。

3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。

高中不等式知识点总结（最新最全）

高中不等式知识点总结（最新最全）不等式的定义a^2+b^2≥2ab，通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z)，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。

一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）“≥”、不大于号（小于或等于号）“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。

总的来说，用不等号(<，>，≥，≤，≠)连接的式子叫做不等式。

1.不等式的解法（1）同解不等式（(1)与同解；（2）与同解，与同解；（3）与同解）；2．一元一次不等式情况分别解之。

3．一元二次不等式或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象。

4．分式不等式分式不等式的等价变形：>0f(x)·g(x)>0，≥0。

5．简单的绝对值不等式解绝对值不等式常用以下等价变形：|x|0)，|x|>ax2>a2x>a或x<－a(a>0)。

一般地有：|f(x)|g(x)f(x)>g(x)或f(x)6．指数不等式；；8．线性规划（1）平面区域一般地，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示某一侧所有点组成的平面区域。

我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。

当我们在坐标系中画不等式所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线。

说明：由于直线同侧的所有点的坐标代入，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域。

特别地，当时，通常把原点作为此特殊点。

（2）有关概念引例：设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值。

由题意，变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。

由图知，原点不在公共区域内，当时，，即点在直线：上，作一组平行于的直线：，，可知：当在的右上方时，直线上的点满足，即，而且，直线往右平移时，随之增大。

(完整版)高中数学不等式知识点总结

选修 4--5 知识点1、不等式的基本性质①（对称性） a b b a同向可加性）a b,c⑧（倒数法则）2、几个重要不等式用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大）三相等” .④ （可积性）a b,cac bca b ,c 0 acbc⑤ （同向正数可乘性）a b0,c d 0 acbdb 0,0cdab （异向正数可除性） cd⑥ （平方法则）a bna b n(n N,且n1)异向可减性）a b,c dN,且n b 1)a na n b(n③（三个正数的算术—几何平均不等式） abc33 abc(a 、b 、 cR ）（当且仅当a b c 时取到等号）②（传递性）a b,bc ac③（可加性） a bacbc⑦（开方法则） 11a b ;a22①a 2b 2 2aba ，,（当且仅当b时取 "" 号） . 变形公式：aba2 b22②（基本不等式）aba ，,（当且仅当 a b 时取到等号）变形公式： a 2 ababa b2，要注意满足三个条件“一正、二定、(a 2 b 2)(c 2 d 2) (ac bd ）2 （a,b,c,d R ）.当且仅当 ad bc 时，等号成立2ax⑨绝对值三角不等式3、几个著名不等式②幂平均不等式：④二维形式的柯西不等式：2④ab 22c ab bc ca a ， b R（当且仅当a b c 时取到等号） .3⑤ab33c 3abc(a 0,b 0,c 0)（当且仅当a b c 时取到等号） .若ab⑥0,则ba2ab （当仅当 a=b 时取等号）若ab b 0,则aa 2b (当仅当 a=b 时取等号）b b m1anbn a ⑦aa mb ，（其中a b 0，规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小 .⑧当a 0时，x22a x a x a 或 x a;m 0， n 0)1（a 1n ③二维形式的三角不等式： 22 a 1 a 2 2 a n a 2a n )2.22 x 1 y 122x 2 y 2(x 1 x 2)2 (y 1 y 2)2(x 1,y 1,x 2,y 2 R).a. b.①平均不等式： 211ababb a 2 b 2，（a,b R ，当且仅当 ab 时取 " "号） . （即调和平均变形公式：几何平均算术平均平方平均） .aba b22abb 2(a b)2 20)⑤ 三维形式的柯西不等式：顺序和)，当且仅当 a1 a2 ... an 或 b1 b2 ... bn 时，反序和等于顺序和 ⑨琴生不等式 : (特例 :凸函数、凹函数)若定义在某区间上的函数f ( x),对于定义域中任意两点 x1,x2(x1 x2),有f(x 1 x 2)f(x 1) f(x 2)或 f(x 1 x 2) f (x 1) f(x 2).f (2 )2或 f (2 )2 .则称 f(x) 为凸(或凹)函数4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法(作差，作商法) 、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等一化：化二次项前的系数为正数二判：判断对应方程的根 . 三求：求对应方程的根 .2 2 2 2 2 2 (a 1 a 2 a3 )(b 1 b 2 b 3) (a 1b 1 a 2b 2⑥一般形式的柯西不等式：(a 12a 22... a n 2)(b 12b 22... b n 2) (a 1b 1⑦向量形式的柯西不等式：ur urur urur ur设 ,是两个向量，则,当且仅当等号成立 .⑧排序不等式( 排序原理)：设a 1 a 2... a n ,b 1 b 2bn为两组实数 a 1b n a 2b n 1... a n b 1a 1c 1 a 2c 2... a n c na 3b 3) .a 2b 2 ... a n b n ) .ur ur ur是零向量，或存在实数 k ，使 k 时， .c 1,c 2,...,c n是b 1,b 2,...,b n的任一排列，则①舍去或加上一些项，如 1(a12)234②将分子或分母放大(缩小) ，11,11如k 2 k(k 1),k 2k(k1),1 2 (k * N *,k1)等.kk k 15、一元二次不等式的解法2求一元二次不等式 ax bx c0(或12(a12)2;22 1 22 k k k k k k 1常见不等式的放缩方法：(a 0,2b 4ac 0)解集的步骤：四画：画出对应函数的图象 . 五解集：根据图象写出不等式的解集 . 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边 .6、高次不等式的解法：穿根法 . 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿(奇穿偶切) ，结合原式不等号的方向，写出不等式的解集 .7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则f(x)0 f (x) g(x) 0 g(x)f(x) 0f (x) g(x) 0g(x) g(x) 0(“ 或 ”时同理)规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解 .8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑵当0 a 1时,a f(x) a g(x)f (x) g(x)规律：根据指数函数的性质转化 .10、对数不等式的解法f(x) 0log a f (x) log a g(x) g(x) 0⑴当a 1时,f(x) g(x)f(x)⑴a(a 0)f(x) f(x)f(x)⑵a(a 0)f(x) f(x) f(x) g(x) f(x)g(x) f(x) 0 02 [g(x)]2或f(x) 0 或g(x) 0 f(x)g(x) f(x)g(x) f(x)0 02[g(x)]2f(x)g(x)f (x) g(x) f (x) 0g(x) ⑸ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解 9、指数不等式的解法：⑴当 a 1时 ,af (x) a g(x)f (x) g(x)f (x) 0log a f(x) log a g(x) g(x) 0 .f (x) g(x)⑵当0 a 1时,规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：a (a 0)a.⑴定义法： a (a 0)2(x) g2(x).⑵平方法：f(x) g(x) f⑶同解变形法，其同解定理有：①x a a x a(a 0);或x a(a 0);②x a x a③ f (x) g(x) g(x) f (x) g(x) (g(x) 0)或f(x) g(x) (g(x) 0) 规律：关键是去掉绝对值的符号.④f (x) g(x) f(x) g(x)12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法2解形如ax bx c 0 且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论a与0的大小；⑵讨论与0 的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题c 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是⑴不等式ax2 bx0 时b0,c 0;①当aa00.②当a0时⑵不等式ax2 bx c 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是①当a 0 时b 0,c 0;a0②当a 0 时0.⑶f (x) a恒成立f (x)max a;f(x) a恒成立f(x)max a⑷ f (x) a 恒成立f (x)min a;f(x) a恒成立f(x)min a.15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：zAx By;z ②“斜率”型：y z yx 或x b; a③“距离”型：z22x2 y2或z22 xyz (x a)2 (y b)2或z (x a)2(y b)2.在求该“三型” 的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，题简单化.从而使问。

高一数学不等式知识点整理归纳

高一数学不等式知识点整理归纳一、不等式的基本性质1. 对称性：若 $a > b$，则 $b a$；若 $a b$，则$b > a$。

2. 传递性：若 $a > b$ 且 $b > c$，则 $a > c$；若$a b$ 且 $b c$，则 $a c$。

3. 加法性质：若 $a > b$，则 $a + c > b + c$。

4. 乘法性质：若 $a > b$ 且 $c > 0$，则 $ac > bc$；若 $a > b$ 且 $c 0$，则 $ac bc$。

二、一元一次不等式形如 $ax + b > 0$ 或 $ax + b 0$（$a \neq 0$）的不等式。

解法步骤：1. 移项：将常数项移到不等式的另一边。

2. 化简：将 $x$ 的系数化为 $1$，注意当系数为负数时，不等号方向改变。

三、一元二次不等式形如 $ax^2 + bx + c > 0$ 或 $ax^2 + bx + c 0$（$a \neq 0$）的不等式。

解法：1. 求出方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根（可用求根公式 $x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 4ac}}{2a}$ ）。

2. 根据二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图像与 $x$ 轴的交点，确定不等式的解集。

当 $a > 0$ 时：若方程有两个不同实根 $x_1$ ， $x_2$ （$x_1x_2$），则不等式 $ax^2 + bx + c > 0$ 的解集为 $x x_1$或 $x > x_2$ ；不等式 $ax^2 + bx + c 0$ 的解集为 $x_1x x_2$ 。

高中不等式知识点总结

高中不等式知识点总结一、学问点1.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：abba②传递性:ab,bcac③可加性:aba+cb+c④可积性:ab,c0acbc;ab,c0acbc;⑤加法法则:ab,cda+cb+d⑥乘法法则：ab0,cd0acbd⑦乘方法则：ab0,anbn(n∈N)⑧开方法则：ab0,2.算术平均数与几何平均数定理：(1)假如a、b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号)(2)假如a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：假如为实数，则重要结论1)假如积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;(2)假如和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。

3.证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。

当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;遇到肯定值或根式，我们还可以考虑作平方差。

综合法：从已知或已证明过的不等式出发，依据不等式的性质推导出欲证的不等式。

综合法的放缩常常用到均值不等式。

分析法：不等式两边的联系不够清楚，通过查找不等式成立的充分条件，逐步将欲证的不等式转化，直到查找到易证或已知成立的结论。

4.不等式的解法(1)不等式的有关概念同解不等式：两个不等式假如解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。

同解变形：一个不等式变形为另一个不等式时，假如这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解变形。

提问：请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形去分母、去括号、移项、合并同类项(2)不等式axb的解法①当a0时不等式的解集是{x|xb/a};②当a0时不等式的解集是{x|x③当a=0时,b0,其解集是R;b0,其解集是ф。

(3)一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系(4)肯定值不等式|x|0)的解集是{x|-aoo-a 0 a|x|a(a0)的解集是{x|x-a或xa｝，几何表示为：oo-a0a小结：解肯定值不等式的关键是-去肯定值符号(整体思想，分类讨论)转化为不含肯定值的不等式，通常有下列三种解题思路：(1)定义法：利用肯定值的意义，通过分类讨论的方法去掉肯定值符号;(2)公式法：|f(x)|af(x)a或f(x)-a;|f(x)|a-a(3)平方法：|f(x)|a(a0)f2(x)a2;|f(x)|a(a0)f2(x)a2;(4)几何意义。

高三数学不等式知识点

高三数学不等式知识点高三数学不等式知识点11.一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为ax>b或axb而言，当a>0时，其解集为(ab，+∞)，当a例1：解关于x的不等式ax-2>b+2x解：原不等式化为(a-2)x>b+2①当a>2时，其解集为(b+2a-2，+∞)②当a③当a=2，b≥-2时，其解集为φ④当a=2且b2.一元二次不等式的解法任何一个一元二次不等式都可化为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c0)的`形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。

例2：解不等式ax2+4x+4>0(a>0)解：△=16-16a①当a>1时，△②当a=1时，△=0，则x≠-2，故其解集(-∞，-2)∪(-2，+∞)③当a0，其解集(-∞，-2-21-aa)∪(-2+21-aa，+∞)3.不等式组的解法将不等式中每个不等式求得解集，然后求交集即可.高三数学不等式知识点21、建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。

高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。

学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的`特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。

良好的学习数学习惯包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。

2、针对自己的学习情况，采取一些具体的措施(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。

记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

(2)建立数学纠错本。

把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。

争取做到：找错、析错、改错、防错。

高中不等式知识点大全总结

高中不等式知识点大全总结一、基本不等式性质1. 两个数的比较：（1）当 a > b 时，a-b>0；（2）当 a < b 时，a-b<0；（3）当 a = b 时，a-b=0。

2. 不等式的四则运算：不等式有“加减乘除”运算律，即不等式两边都同时加减(乘除)同一个数，不等式依然成立。

3. 绝对值不等式：对于任何实数 a 和正实数 b，有|a| > b 的不等式解集是 a > b 或 a < -b。

4. 不等式的取反：若不等式 a > b 成立，则其取反 a < b 也成立；若不等式 a > b 不成立，则其取反 a < b 亦成立。

5. 不等式的合并：若不等式 a > b 和 c > d 同时成立，则其合并为 a + c > b + d 成立。

6. 不等式的分拆：若不等式 a + b > c + d 成立，则其分拆为 a > c - b + d 或 b > d - a + c 成立。

二、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次函数不等式，通常具有形式 ax+b > 0 或ax+b < 0。

1. 解不等式的方法一元一次不等式的解法包括两种：一是化简法，即通过使用运算律化简不等式，然后求出不等式的解集；二是图解法，即将不等式用图形表示出来，然后求出不等式的解集。

2. 一元一次不等式组一元一次不等式组是由若干个一元一次不等式组成的系统。

解一元一次不等式组的方法同样包括化简法和图解法。

三、一元二次不等式一元二次不等式是指只含有一个未知数的二次函数不等式，通常具有形式 ax^2+bx+c > 0 或 ax^2+bx+c < 0。

1. 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法通常使用折线法和区间法。

折线法是利用二次函数的拐点和零点来求解不等式的解集；区间法是将一元二次不等式用图像表示出来，然后找出其零点和开口方向，从而求出解集。

完整版高中数学不等式知识点总结3篇

完整版高中数学不等式知识点总结第一篇：基本不等式和二元平均数不等式一、基本不等式：基本不等式又称柯西不等式，是数学中重要的基本工具，对于解决不等式问题有重大意义。

基本不等式的形式如下：$$(a_1^2 + a_2^2 + … + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + … + b_n^2) \geqslant (a_1b_1 + a_2b_2 + … + a_nb_n)^2$$其中$a_1,a_2,…,a_n$ 和$b_1,b_2,…,b_n$ 是任意实数。

基本不等式的证明过程多种多样，这里给出一种简单易懂的证明方法：设$x=a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n$，则 $x^2$ 可以表示为：$$x^2={(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)}^2$$$$={a_1}^2{b_1}^2+{a_2}^2{b_2}^2+…+{a_n}^2{b_n}^ 2+2a_1b_1a_2b_2+2a_1b_1a_3b_3+…+2a_{n-1}b_{n-1}a_nb_n$$又因为：$${a_1}^2+{a_2}^2+…+{a_n}^2\geqslant2a_1a_2+2a_1a_3+…+2a_{n-1}a_n$$$${b_1}^2+{b_2}^2+…+{b_n}^2\geqslant2b_1b_2+2b_1b_3+…+2b_{n-1}b_n$$因此：$${a_1}^2{b_1}^2+{a_2}^2{b_2}^2+…+{a_n}^2{b_n}^2 \geqslant 2a_1b_1a_2b_2+2a_1b_1a_3b_3+…+2a_{n-1}b_{n-1}a_nb_n$$故：$$x^2={a_1}^2{b_1}^2+{a_2}^2{b_2}^2+…+{a_n}^2{b_ n}^2+2a_1b_1a_2b_2+2a_1b_1a_3b_3+…+2a_{n-1}b_{n-1}a_nb_n$$$$\leqslant({a_1}^2+{a_2}^2+…+{a_n}^2)({b_1}^2+{ b_2}^2+…+{b_n}^2)$$即为所求基本不等式。

高中不等式所有知识及典型例题(超全)

一．不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。

其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

三．重要不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．5.a 3+b 3+c 3≥3abc （a,b,c ∈ R +）, a +b +c 3 a =b =c 时取等号）； 6. 1n (a 1+a 2+……+a n )2n a (a i ∈ R +,i=1,2,…，n)，当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号；变式：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤( a +b 2 )2 (a,b ∈ R +) ; abc ≤( a +b +c 3)3(a,b,c ∈ R +)a ≤ 2ab a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 22 ≤b.(0<a ≤b) 7.浓度不等式：b －n a －n< b a < b +ma +m ,a>b>n>0,m>0; 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

高中数学不等式知识点总结精选7篇

高中数学不等式知识点总结精选7篇高中数学不等式知识点总结精选7篇计算机科学和信息技术是数字化时代的重要工具和核心竞争力。

人工智能、机器人等科技前沿领域对人类生活和工作产生了巨大影响。

下面就让小编给大家带来高中数学不等式知识点总结，希望大家喜欢!高中数学不等式知识点总结11、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

当λ>0时，λa与a同方向;当λ<0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

高中数学不等式知识点总结

弹性学制数学讲义不等式（4课时）★知识梳理1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式：a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2baab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b aab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b an b n a m a mb a b<++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a ab b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式： 2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法： ①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kk k <- 211,(1)k k k >+=⇒<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩⑶2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或⑷2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时 0,0;b c ⇒=> ②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=< ②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或z =22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。

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最新高中数学不等式知识点归纳汇总
知识点一：绝对值三角不等式
1．定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b|≤|a|＋|b|，
当且仅当ab ≥０时，等号成立．
2．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c|≤ |a －b|+ |b －c|，当且仅当(a-b)(b-c)
≥０时，等号成立．知识点二：绝对值不等式的解法
1．不等式|x|<a 与|x|>a 的解集：
不等式
a>0a ＝0a<0|x|<a
{x|－a<x<a}??|x|>a {x|x>a ，或x<－a}{x|x ≠0}R
2．|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：
(1)|ax ＋b|≤ｃ?-c ≤ax ＋b ≤ｃ；
(2)|ax ＋b|≥ｃ?ax ＋b ≤-c 或ax ＋b ≥c.
(3)|x －a|＋|x －b|≥c(c>0)和|x －a|＋|x －b|≤c(c>0)型不等式的解法：
巩固专区：典例
[例1].函数y=|x+1|+ |x+3|的最小值为___________.
解析：由|x+1|+ |x+3|≥｜（x+1）-（x+3）|=2，故y 的最小值2。

[例2].不等式|2x-1|<x+1的解集为__________.
解析：∵|2x-1|<x+1，即-（x+1）<2x-1<x+1,
∴Error!即Error!，∴解集为{x|0<x<2}．
[例3].(2012·肇庆模拟)|x|2－2|x|－15>0的解集是________．
解析：∵|x|2－2|x|－15>0，∴|x|>5或|x|<－3(舍去)，∴x<－5或x>5.
答案：(－∞，－5)∪(5，＋∞）
[例4].若存在实数x 满足不等式|x －4|＋|x －3|<a ，则实数a 的取值范围是________．解析：由绝对值不等式的性质知，
|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1，所以函数y ＝|x －4|＋|x －3|的最
小值为1，
又因为原不等式有实数解，所以
a 的取值范围是(1，＋∞）．答案：(1，＋∞）
[例5].(2012·湖南高考)不等式|2x ＋1|－2|x －1|＞0的解集为________．
解析：原不等式即
|2x ＋1|＞2|x －1|，两端平方后解得12x ＞3，即x ＞.答案：Error!14方法总结(一)：
1.不等式|x －a|＋|x －b|≥ｃ的解就是数轴上到A(a)，B(b)两点的距离之和不小于c 的点所对应的实数，只
要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．2．不等式|a|－|b|≤|a ＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是
ab ≥０，左侧“＝”成立的条件是ab ≤０且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a －b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab ≤０，左侧“＝”成立的条件是ab ≥０且|a|≥|b|.[例6]　(2012·新课标全国卷)已知函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|.
的解集；
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥３
－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
(2)若f(x)≤|x
解：(1)当a＝－3时，f(x)＝Error!
当x≤２时，由f(x)≥３得－2x＋5≥３，解得x≤１；
当2＜x＜3时，f(x)≥３无解；
当x≥３时，由f(x)≥３得2x－5≥３，解得x≥４；
所以f(x)≥３的解集为{x|x≤１，或x≥4}．
(2)f(x)≤|x
－4|?|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.
当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|
－a.
?4－x－(2－x)≥|x＋a|,?－2－a≤x≤２
由条件得－2－a≤１且2－a≥２，即－3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．
在本例条件下，若f(x)≥３对一切实数x恒成立，求a的取值范围．
解：∵f(x)＝|x＋a|＋|x－2|，
∴f(x)≥|(x＋a)－(x－2)|＝|a＋2|.
由条件知|a＋2|≥３
，即
a＋2≥３或a＋2≤－3，
∴a≥１或a≤－5.
即a的取值范围为(－∞，－5]∪[1，＋∞）．
方法总结(二)：
　1.形如|x－a|±|x－b|≥ｃ不等式的常用解法：
(1)零点分段讨论法，其步骤为：
①求零点；②划分区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值．
(2)用|x－a|±|x－b|的几何意义求解．
(3)数形结合，作出y＝|x－a|±|x－b|的图象，直观求解．
[例7]．已知函数f(x)＝|x－8|－|x－4|.
(1)作出函数y＝f(x)的图象；
(2)解不等式|x－8|－|x－4|>2.
解：(1)f(x)＝Error!
图象如下：
(2)不等式|x－8|－|x－4|>2，即f(x)>2.
由－2x ＋12＝2，得x ＝5.
由函数f(x)图象可知，原不等式的解集为(－∞，5)．
[例8].(2015·延边质检)已知函数f(x)＝|2x ＋1|＋|2x －3|＋a.
(1)当a ＝0时，解不等式f(x)≥６；
(2)若不等式f(x)≥3a 2对一切实数x 恒成立时，求实数a 的取值范围．
[自主解答]　(1)当a ＝0时，求得
f(x)＝Error!由f(x)≥６?x ≤－1或x ≥2.
所以不等式的解集是(－∞，－1]∪[2，＋∞）．
(2)法一：f(x)＝Error!的最小值是4＋a.
要使不等式f(x)≥3a 2恒成立，只要4＋a ≥3a 2，
解得－1≤a ≤.所以a 的取值范围是.
4
3[－1，4
3]法二：因为|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4.
所以f(x)min ＝4＋a ，
要使f(x)≥3a 2对一切实数x 恒成立，只要4＋a ≥3a 2，
解得－1≤a ≤.所以a 的取值范围为.
4
3[－1，4
3]方法总结(三)：
1.对于求y ＝|x －a|＋|x －b|或y ＝|x ＋a|－|x －b|型的最值问题，利用绝对值不等式的性质更方便．形如y ＝|x －a|＋|x －b|的函数只有最小值，形如y ＝|x －a|－|x －b|的函数既有最大值又有最小值．
[例9]．(2012·长春模拟)设函数f(x)＝|2x －1|＋|2x －3|，x ∈R.
(1)解不等式f(x)≤５；
(2)若g(x)＝的定义域为R ，求实数m 的取值范围．
1
()f x m 解：(1)原不等式等价于Error!或Error!或Error!
因此不等式的解集为.
[－1
4，9
4](2)由于g(x)＝的定义域为R ，则f(x)＋m ＝0在R 上无解．
1
()f x m 又f(x)＝|2x －1|＋|2x －3|≥|2x －1－2x ＋3|＝2，f(x)的最小值为2，
所以－m<2，即m>－2，m 的取值范围为(－2，＋∞).
[例10].(2012·长春调研)已知f(x)＝，a ≠ｂ，求证：|f(a)－f(b)|<|a －b|.
1＋x 2　证明：∵|f(a)－f(b)|＝|－|
1＋a 21＋b 2＝＝，
|a 2
－b 2|1＋a 2＋1＋b 2|a －b||a ＋b|
1＋a 2＋1＋b 2又|a ＋b|≤|a|＋|b|＝＋<＋，a 2b 21＋a 21＋b 2。

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