《概率论第四章》PPT课件
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1. 问题的提出
若随机变量 X 和 Y 相互独立,那么
D(X Y ) D(X ) D(Y ).
若随机变量 X 和 Y 不相互独立
D(X Y ) ?
D( X Y ) E{(X Y ) E(X Y )}2
D(X ) D(Y ) 2E{[X E(X )][Y E(Y )]}.
协方差
D D(aX bY ) a2DX b2DY (a2 b2 ) 2
E( ) E(a2 X 2 b2Y 2 ) a2EX 2 b2EY 2
(a2 b2 ) 2
所以
Cov( ,) D D
E( ) EE D D
a2 b2 a2 b2
(2) 当 a b 时， 0
当 a b 时， 0
E[XY YE( X ) XE(Y ) E( X )E(Y )]
E( XY ) 2E( X )E(Y ) E( X )E(Y ) E( XY ) E( X )E(Y ).
(2)D( X Y ) E{[(X Y ) E( X Y )]2 }
E{[( X E( X )) (Y E(Y )]2 }
解: (1) X ~ N(0, 2 ) , Y ~ N(0, 2 ) EX EY 0, DX DY 2
E E(aX bY ) aEX bEY 0 E E(aX bY ) aEX bEY 0
已知X ,Y相互独立, 所以aX ,bY也相互独立
故有 D D(aX bY ) a2DX b2DY (a2 b2 ) 2
离散型:P{X xk } pk , k 1, 2, .
E( X ) xk pk . k 1
连续型:E(X )
x f (x) d x.
2随机变量函数的数学期望
(1)离散型随机变量函数的数学期望
若 Y=g(X), 且 P{ X xk } pk , k 1,2,,
则有
E( g( X )) g( xk ) pk .
注：cov(X, X) EX EX (X EX) E(X EX)2 DX
4. 协方差的计算公式
(1) Cov(X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y ); (2) D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2Cov( X ,Y ). 证明 (1)Cov(X ,Y ) E{[X E( X )][Y E(Y )]}
x
(x
μ)2
1
e
(
x μ)2 2σ2
d
x.
2πσ
令 x μ t,得
σ
D( X ) σ2
t
2e
t2 2
dt
2π
σ2 2π
t2
te 2
t2
e2
d
t
0 σ2 2π σ2. 2π
正态分布的期望和方差分别为两个参数 μ 和 σ2.
(1) 已知X P(2),则E(3X 2)
____
2. 定义
量 E{[X E( X )][Y E(Y )]} 称为随机变量
X 与 Y 的协方差. 记为 Cov( X ,Y ), 即
Cov( X ,Y ) E{[X E( X )][Y E(Y )]}.
而
ρXY
Cov(X ,Y ) D( X ) D(Y )
称为随机变量 X 与 Y 的相关系数.
k 1
(2)连续型随机变量函数的数学期望
若 X 是连续型的,它的分布密度为 f (x) ,
则
E(g( X )) g( x) f ( x)d x.
3. 二维随机变量函数的数学期望
(1) 设 X ,Y 为离散型随机变量, g( x, y) 为二元函
数,则 E [g( X ,Y )]
g( xi , y j ) pij .
ij
其中( X ,Y ) 的联合概率分布为 pij .
(2) 设 X , Y 为连续型随机变量, g( x, y) 为二元函 数,则
E[g( X ,Y )]
g(x, y) f (x, y)d xd y.
数学期望的性质
1o E(C) C; 2o E(CX ) CE( X ); 3o E( X Y ) E(X ) E(Y ); 4o X ,Y 独立 E( XY ) E(X )E(Y ).
0
ab
1 0
μ,σ 0
数学期望 方差
p
p(1 p)
np
np(1 p)
(a b) 2
1
μ
(b a)2 12
1 2
σ2
6. 正态分布
设 X ~ N( μ,σ2 ), 其概率密度为
f (x)
1
( x μ)2
e
2σ2
,
σ 0,
x .
2πσ
则有
E( X ) xf ( x)d x
相互独立
不相关
特殊:
(X
,Y
)
~
N ( μ1,
μ2
,
σ12
,
σ
2 2
,
ρ)
( 1) 二维正态分布密度函数中,参数 ρ 代表了X
与Y 的相关系数;
(2) 二维正态随机变量 X 与 Y 不相关 等价
于 X 与 Y 相互独立.
4. 相关系数的性质
(1) ρXY 1.
(2) ρXY 1 的充要条件是: 存在常数 a, b 使 P{Y a bX } 1.
证明
(1) min e E[(Y (a bX ))2 ] a ,b (1 ρX2Y )D(Y ) 0 1 ρX2 Y 0
ρXY 1.
(2) ρXY 1的充要条件是,存在常数 a,b 使 P{Y a bX } 1.
事实上, ρXY 1 E[(Y (a0 b0 X ))2] 0 0 E[(Y (a0 b0 X ))2 ] D[Y (a0 b0 X )] [E(Y (a0 b0 X ))]2 D[Y (a0 b0 X )] 0, E[Y (a0 b0 X )] 0.
x
1
e
( x μ)2 2σ2
d
x.
2πσ
令 x μ t x μ σt, σ
所以
E(X) x
1
( x μ)2
e
2σ2
dx
2πσ
1
t2
( μ σt)e 2 d t
2π
μ 1
t2
e 2 dt
σ
t2
te 2 d t
2π
2π
μ.
D( X )
(
x
μ)2
f
(x)d
C
已知X~B(n,p),且EX=8,DX=4.8则n=(
(D)不 )
(A)10
(B)15
(C)20
(CD)25
已知X~B(n,p),且EX=0.5,DX=0.45则n,p分别为
()
(A)5, 0.9 (B)10, 0.05 (C)5, 0.1 (D)1, 0.5
已知X的概率密度函数为
f (x) 1 ex2 2x1
2. 方差的定义
设 X 是一个随机变量,若E{[X E( X )]2}存在, 则称 E{[X E( X ) ]2} 为 X 的方差, 记为 D( X ) 或
Var(X ), 即 D( X ) Var( X ) E{[X E( X )]2 }.
称 D( X ) 为标准差或均方差, 记为 σ( X ).
D(3X--2)=_____
X P(),已知E(X 1（) X 2) 1,则
(2)
_f_X
x
1 e 则 x2 2x1
(3)
EX=____, DE=____
(4) 设一次实验成功的概率为P,进行1000次独立的重复实验, 当P=____时,成功的次数的标准差的值最大,其最大值为 ____
一、协方差与相关系数的概念及性质
4. 随机变量方差的计算
(1) 利用定义计算
离散型随机变量的方差
D( X ) [ xk E( X )]2 pk ,
其中
P{ X
k 1
xk }
pk ,
k
1,2,是
X
的分布律.
连续型随机变量的方差
D( X )
[
x
E
(
X
)]2
f
(
x
)
d
x
,
其中 f ( x) 为X的概率密度.
(2) 利用公式计算
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2.
方差的性质
1o D(C) 0; 2o D(CX ) C 2D( X ); 3o X ,Y独立，D( X Y ) D( X ) D(Y ).
分布 两点分布 二项分布
泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布
参数
0 p1 n 1,
0 p1
X和Y满足D(X+Y)=DX+DY则必有( (A)X与Y独立 (B)X 与Y不相关 AB B
) (C)DY=0 (D)DX=0
设(X,Y)服从二维正态分布,则X+Y与X-Y不相关的
充要条件为( )
(A)EX=EY
(B)E( X
2)
[E(X )]2
E(Y 2)
2
[E(Y )]
E{[X E( X )]2} E{[Y E(Y )]2} 2E{[X E( X )][Y E(Y )]}
D( X ) D(Y ) 2Cov(X ,Y ).
5. 性质 Cov(X ,Y ) E{[X E(X )][Y E(Y )]}
(1) Cov(X ,Y ) Cov(Y , X ); (2) Cov( aX ,bY ) abCov( X ,Y ) , a, b 为常数; (3) Cov( X1 X2 ,Y ) Cov( X1,Y ) Cov( X2 ,Y ). (4) Cov(aX1 bX 2,Y ) a Cov( X1,Y ) b Cov( X 2,Y ).
(A)4
(B)6
(C)8
(D)10
A
X与Y相互独立,且D(X)=4,D(Y)=2,则Z=3X-2Y
的方差为( )
(A)44
(B)28
(C)16
(D)8
3利用常见分布的期望与方差公式
X~B(n,p) ,其方差与期望之比为3:4,则该分布
的参数p=(A )
(A)0.25 (B)0.5 (C)0.75
能确定
定义
若X与Y的协方差cov(X,Y)=0或相关系数XY =0，
则称X与Y不相关，否则X与Y相关
不相关的充要条件 1o X , Y 不相关 ρXY 0; 2o X , Y 不相关 Cov(X ,Y ) 0; 3o X , Y 不相关 E( XY ) E( X )E(Y ).
3. 注意
不相关与相互独立的关系
A, A
X和Y都服从正态分布,则( )
(A)若XY =0
,则X和Y独立
(B)若X和Y独立,则(X,Y)不一定是二维正态分布
(C)若X和Y不独立则(X,Y)有可能二维正态分布
(D)若 XY
不等于0 ,则X和Y有可能独立
X和Y满足D(X+Y)=D(X-Y)则必有( ) (A)X与Y独立 (B)X 与Y不相关 (C)DY=0 (D)DX=0
, 不相关 , 相关
由于 X ,Y 都服从正态分布且相互独立 ,
, 为X ,Y的线性组合
所以 , 都服从正态分布N(0，(a2 b2 ) 2 )
在正态分布中,不相关与独立是等价的
所以当 a b 时, , 独立
当 a b 时, , 不独立
(3) 当 , 相互独立时,即a 2 b2 , , 都服从
设 X ~ N (μ, σ 2 )
的概率密度D曲 线比较平缓( )
(A) 较小 (B)
(D) 较大
,在下列哪种情况下
较大 (C) 较小
2利用期望和方差的性质:
X和Y的关系为Y=2X+2,如果DX=2,则DY=( C )
(A)4
Fra Baidu bibliotek
(B)6
(C)8
(D)10
B
X和Y的关系为Y=2X+2,如果EX=2,则EY=( )
由方差性质知
P{Y (a0 b0 X ) 0} 1, 或 P{Y a0 b0 X } 1.
例4.4.3 设 X 和 Y 是相互独立的随机变量, 都服从 正态分布N (0, 2 ) , 又 aX bY , aX bY (1) 求 与 的相关系数 (2) 问 ， 是否相关？是否独立？ (3) 当 ， 相互独立时,求 ( ,) 的联合密度函数
正态分布 N (0,2a 2 2 )
f (s)
1
e
s2 22 a 2
2
2 2 a
f (t)
1
e
t2 22 a 2
2
2 2 a
所以
f(s, t)
4
1
a 2
2
s2t2
e 4a2 2
1对概念的理解:
描述随机变量X波动大小的量( B )
(A)数学期望EX
(B)方差DX
(C)X的分布函数F(x) (D)X的密度函数f(x)
则E(X)=____, D(X)=____
1,1/2
x
4独立与相关之间的关系
X与Y满足DX>0.DY>0,E(XY)=EXEY 则( )
(A)X与Y不相关
(B)X与Y相关
(C) X与Y相互独立
(D)X与Y不独立
设(X,Y)为2维随机变量,则( ) (A)若X与Y独立,X与Y必定不相关 (B)若X与Y不独立,X与Y必定相关 (C)若X与Y独立,X与Y必定相关 (D)若X与Y不独立,X与Y必定不相关
若随机变量 X 和 Y 相互独立,那么
D(X Y ) D(X ) D(Y ).
若随机变量 X 和 Y 不相互独立
D(X Y ) ?
D( X Y ) E{(X Y ) E(X Y )}2
D(X ) D(Y ) 2E{[X E(X )][Y E(Y )]}.
协方差
D D(aX bY ) a2DX b2DY (a2 b2 ) 2
E( ) E(a2 X 2 b2Y 2 ) a2EX 2 b2EY 2
(a2 b2 ) 2
所以
Cov( ,) D D
E( ) EE D D
a2 b2 a2 b2
(2) 当 a b 时， 0
当 a b 时， 0
E[XY YE( X ) XE(Y ) E( X )E(Y )]
E( XY ) 2E( X )E(Y ) E( X )E(Y ) E( XY ) E( X )E(Y ).
(2)D( X Y ) E{[(X Y ) E( X Y )]2 }
E{[( X E( X )) (Y E(Y )]2 }
解: (1) X ~ N(0, 2 ) , Y ~ N(0, 2 ) EX EY 0, DX DY 2
E E(aX bY ) aEX bEY 0 E E(aX bY ) aEX bEY 0
已知X ,Y相互独立, 所以aX ,bY也相互独立
故有 D D(aX bY ) a2DX b2DY (a2 b2 ) 2
离散型:P{X xk } pk , k 1, 2, .
E( X ) xk pk . k 1
连续型:E(X )
x f (x) d x.
2随机变量函数的数学期望
(1)离散型随机变量函数的数学期望
若 Y=g(X), 且 P{ X xk } pk , k 1,2,,
则有
E( g( X )) g( xk ) pk .
注：cov(X, X) EX EX (X EX) E(X EX)2 DX
4. 协方差的计算公式
(1) Cov(X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y ); (2) D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2Cov( X ,Y ). 证明 (1)Cov(X ,Y ) E{[X E( X )][Y E(Y )]}
x
(x
μ)2
1
e
(
x μ)2 2σ2
d
x.
2πσ
令 x μ t,得
σ
D( X ) σ2
t
2e
t2 2
dt
2π
σ2 2π
t2
te 2
t2
e2
d
t
0 σ2 2π σ2. 2π
正态分布的期望和方差分别为两个参数 μ 和 σ2.
(1) 已知X P(2),则E(3X 2)
____
2. 定义
量 E{[X E( X )][Y E(Y )]} 称为随机变量
X 与 Y 的协方差. 记为 Cov( X ,Y ), 即
Cov( X ,Y ) E{[X E( X )][Y E(Y )]}.
而
ρXY
Cov(X ,Y ) D( X ) D(Y )
称为随机变量 X 与 Y 的相关系数.
k 1
(2)连续型随机变量函数的数学期望
若 X 是连续型的,它的分布密度为 f (x) ,
则
E(g( X )) g( x) f ( x)d x.
3. 二维随机变量函数的数学期望
(1) 设 X ,Y 为离散型随机变量, g( x, y) 为二元函
数,则 E [g( X ,Y )]
g( xi , y j ) pij .
ij
其中( X ,Y ) 的联合概率分布为 pij .
(2) 设 X , Y 为连续型随机变量, g( x, y) 为二元函 数,则
E[g( X ,Y )]
g(x, y) f (x, y)d xd y.
数学期望的性质
1o E(C) C; 2o E(CX ) CE( X ); 3o E( X Y ) E(X ) E(Y ); 4o X ,Y 独立 E( XY ) E(X )E(Y ).
0
ab
1 0
μ,σ 0
数学期望 方差
p
p(1 p)
np
np(1 p)
(a b) 2
1
μ
(b a)2 12
1 2
σ2
6. 正态分布
设 X ~ N( μ,σ2 ), 其概率密度为
f (x)
1
( x μ)2
e
2σ2
,
σ 0,
x .
2πσ
则有
E( X ) xf ( x)d x
相互独立
不相关
特殊:
(X
,Y
)
~
N ( μ1,
μ2
,
σ12
,
σ
2 2
,
ρ)
( 1) 二维正态分布密度函数中,参数 ρ 代表了X
与Y 的相关系数;
(2) 二维正态随机变量 X 与 Y 不相关 等价
于 X 与 Y 相互独立.
4. 相关系数的性质
(1) ρXY 1.
(2) ρXY 1 的充要条件是: 存在常数 a, b 使 P{Y a bX } 1.
证明
(1) min e E[(Y (a bX ))2 ] a ,b (1 ρX2Y )D(Y ) 0 1 ρX2 Y 0
ρXY 1.
(2) ρXY 1的充要条件是,存在常数 a,b 使 P{Y a bX } 1.
事实上, ρXY 1 E[(Y (a0 b0 X ))2] 0 0 E[(Y (a0 b0 X ))2 ] D[Y (a0 b0 X )] [E(Y (a0 b0 X ))]2 D[Y (a0 b0 X )] 0, E[Y (a0 b0 X )] 0.
x
1
e
( x μ)2 2σ2
d
x.
2πσ
令 x μ t x μ σt, σ
所以
E(X) x
1
( x μ)2
e
2σ2
dx
2πσ
1
t2
( μ σt)e 2 d t
2π
μ 1
t2
e 2 dt
σ
t2
te 2 d t
2π
2π
μ.
D( X )
(
x
μ)2
f
(x)d
C
已知X~B(n,p),且EX=8,DX=4.8则n=(
(D)不 )
(A)10
(B)15
(C)20
(CD)25
已知X~B(n,p),且EX=0.5,DX=0.45则n,p分别为
()
(A)5, 0.9 (B)10, 0.05 (C)5, 0.1 (D)1, 0.5
已知X的概率密度函数为
f (x) 1 ex2 2x1
2. 方差的定义
设 X 是一个随机变量,若E{[X E( X )]2}存在, 则称 E{[X E( X ) ]2} 为 X 的方差, 记为 D( X ) 或
Var(X ), 即 D( X ) Var( X ) E{[X E( X )]2 }.
称 D( X ) 为标准差或均方差, 记为 σ( X ).
D(3X--2)=_____
X P(),已知E(X 1（) X 2) 1,则
(2)
_f_X
x
1 e 则 x2 2x1
(3)
EX=____, DE=____
(4) 设一次实验成功的概率为P,进行1000次独立的重复实验, 当P=____时,成功的次数的标准差的值最大,其最大值为 ____
一、协方差与相关系数的概念及性质
4. 随机变量方差的计算
(1) 利用定义计算
离散型随机变量的方差
D( X ) [ xk E( X )]2 pk ,
其中
P{ X
k 1
xk }
pk ,
k
1,2,是
X
的分布律.
连续型随机变量的方差
D( X )
[
x
E
(
X
)]2
f
(
x
)
d
x
,
其中 f ( x) 为X的概率密度.
(2) 利用公式计算
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2.
方差的性质
1o D(C) 0; 2o D(CX ) C 2D( X ); 3o X ,Y独立，D( X Y ) D( X ) D(Y ).
分布 两点分布 二项分布
泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布
参数
0 p1 n 1,
0 p1
X和Y满足D(X+Y)=DX+DY则必有( (A)X与Y独立 (B)X 与Y不相关 AB B
) (C)DY=0 (D)DX=0
设(X,Y)服从二维正态分布,则X+Y与X-Y不相关的
充要条件为( )
(A)EX=EY
(B)E( X
2)
[E(X )]2
E(Y 2)
2
[E(Y )]
E{[X E( X )]2} E{[Y E(Y )]2} 2E{[X E( X )][Y E(Y )]}
D( X ) D(Y ) 2Cov(X ,Y ).
5. 性质 Cov(X ,Y ) E{[X E(X )][Y E(Y )]}
(1) Cov(X ,Y ) Cov(Y , X ); (2) Cov( aX ,bY ) abCov( X ,Y ) , a, b 为常数; (3) Cov( X1 X2 ,Y ) Cov( X1,Y ) Cov( X2 ,Y ). (4) Cov(aX1 bX 2,Y ) a Cov( X1,Y ) b Cov( X 2,Y ).
(A)4
(B)6
(C)8
(D)10
A
X与Y相互独立,且D(X)=4,D(Y)=2,则Z=3X-2Y
的方差为( )
(A)44
(B)28
(C)16
(D)8
3利用常见分布的期望与方差公式
X~B(n,p) ,其方差与期望之比为3:4,则该分布
的参数p=(A )
(A)0.25 (B)0.5 (C)0.75
能确定
定义
若X与Y的协方差cov(X,Y)=0或相关系数XY =0，
则称X与Y不相关，否则X与Y相关
不相关的充要条件 1o X , Y 不相关 ρXY 0; 2o X , Y 不相关 Cov(X ,Y ) 0; 3o X , Y 不相关 E( XY ) E( X )E(Y ).
3. 注意
不相关与相互独立的关系
A, A
X和Y都服从正态分布,则( )
(A)若XY =0
,则X和Y独立
(B)若X和Y独立,则(X,Y)不一定是二维正态分布
(C)若X和Y不独立则(X,Y)有可能二维正态分布
(D)若 XY
不等于0 ,则X和Y有可能独立
X和Y满足D(X+Y)=D(X-Y)则必有( ) (A)X与Y独立 (B)X 与Y不相关 (C)DY=0 (D)DX=0
, 不相关 , 相关
由于 X ,Y 都服从正态分布且相互独立 ,
, 为X ,Y的线性组合
所以 , 都服从正态分布N(0，(a2 b2 ) 2 )
在正态分布中,不相关与独立是等价的
所以当 a b 时, , 独立
当 a b 时, , 不独立
(3) 当 , 相互独立时,即a 2 b2 , , 都服从
设 X ~ N (μ, σ 2 )
的概率密度D曲 线比较平缓( )
(A) 较小 (B)
(D) 较大
,在下列哪种情况下
较大 (C) 较小
2利用期望和方差的性质:
X和Y的关系为Y=2X+2,如果DX=2,则DY=( C )
(A)4
Fra Baidu bibliotek
(B)6
(C)8
(D)10
B
X和Y的关系为Y=2X+2,如果EX=2,则EY=( )
由方差性质知
P{Y (a0 b0 X ) 0} 1, 或 P{Y a0 b0 X } 1.
例4.4.3 设 X 和 Y 是相互独立的随机变量, 都服从 正态分布N (0, 2 ) , 又 aX bY , aX bY (1) 求 与 的相关系数 (2) 问 ， 是否相关？是否独立？ (3) 当 ， 相互独立时,求 ( ,) 的联合密度函数
正态分布 N (0,2a 2 2 )
f (s)
1
e
s2 22 a 2
2
2 2 a
f (t)
1
e
t2 22 a 2
2
2 2 a
所以
f(s, t)
4
1
a 2
2
s2t2
e 4a2 2
1对概念的理解:
描述随机变量X波动大小的量( B )
(A)数学期望EX
(B)方差DX
(C)X的分布函数F(x) (D)X的密度函数f(x)
则E(X)=____, D(X)=____
1,1/2
x
4独立与相关之间的关系
X与Y满足DX>0.DY>0,E(XY)=EXEY 则( )
(A)X与Y不相关
(B)X与Y相关
(C) X与Y相互独立
(D)X与Y不独立
设(X,Y)为2维随机变量,则( ) (A)若X与Y独立,X与Y必定不相关 (B)若X与Y不独立,X与Y必定相关 (C)若X与Y独立,X与Y必定相关 (D)若X与Y不独立,X与Y必定不相关