指数方程与对数方程

指数方程与对数方程

一、素质教育目标

(一)知识教学点

1．对数方程的定义．

2．简单对数方程的解法．

(二)能力训练点

1．掌握简单对数方程的解法．

2．培养学生应用化归及数形结合等数学思想的意识，提高数学思维能力．二、教学重点、难点和疑点

1．教学重点：对数方程的解法．

2．教学难点：对数方程的增根与失根．

3．教学疑点：造成增根与失根的原因．

三、课时安排

本课题安排1课时．

四、教与学过程设计

(一)复习引入新课

求下列函数的定义域(请两位学生板演)．

1．y=log2(x2-x-2)

2．y=log(x-2)4

(学生板演后教师评讲)

师：如果以上的函数式中，y=2，那么怎样求x呢？

生：可以得到两个等式：

log2(x2-x-2)=2及log(x-2)4=2．

师：这是方程吗？

生：是．

师：对，这就是我们今天要学习的对数方程．它是如何定义的？

师生共同得出：对数的真数或底数中(或对数符号后面)含有未知数的方程叫对数方程．

(二)对数方程的解法

师：一些简单的对数方程我们是可以求解的．如方程log(x-2)4=2，但怎么解呢？我们首先需考虑的问题是能否将其转化为已学过的普通方程去解？(这里体现了化归思想．)

生：能，因为对数式与指数式可互相转化，只需将其改为指数式，就可脱去对数符号，转化为普通方程了．

师：很好，由原方程得

(x-2)2=4．

解得x1=4，x2=0．

它们是原方程的解吗？

生：是．

师：不要急着回答，再好好想一想．

生：x=0不是，当x=0时，原方程中的对数底数x-2小于0了，所以它不是原方程的解．

师：对了，那为什么会出现这种情形呢？实际上当我们将原方程

log(x-2)4=2转化为新方程(x-2)2=4后，未知数x的范围变大了，由{x|x＞2，且x≠3}，扩大为{x|x∈R且x≠2}，这样就容易产生增根，因此当得出新方程的解后，必须将其代入原方程中的真数或底数的式子中加以检验，舍去使对数无意义的值，这个过程叫验根．

小结：形如logg(x)f(x)=a的对数方程的解法是“化指法”，即将其化为指数式f(x)=g(x)a再求解，注意需验根．

例1 解方程lg(x2+11x+8)-lg(x+1)=1．

分析：利用对数运算法则变形为logg(x)f(x)=a．

解：(学生口述)

原方程可化为：

即x2+x-2=0．

解得x1=-2，x2=1．

经检验，x=-2是增根，原方程的根是x=1．

师：我们注意到，原方程变为①时，x的取值范围由

生：这一题我是这样做的，由对数运算法则可得到：

lg(x2+11x+8)=lg[10(x+1)]

进而 x2+11x+8=10(x+1)．

即 x2+x-2=0以下解法相同．

师：很好，完全正确，我们又可得出：形如logaf(x)=logag(x)的对数方程可用“同底法”脱去对数符号，得f(x)=g(x)，解出x后，须满足

例2 解方程lg2(x+10)-lg(x+10)3-4=0．

分析：用“化指法”“同底法”均不奏效，由方程特征，将lg(x+10)看作为一个整体，故考虑换元法，将其转化为普通方程解之．

解：原方程可化为

lg2(x+10)-3lg(x+10)-4=0．

令lg(x+10)=y，

则：y2-3y-4=0．

∴y=4或y=-1．

即lg(x+10)=4或lg(x+10)=-1．

∴x+10=104或x+10=10-1．

∴x1=9990，x2=-9.9．

经检验，它们均是原方根的根．

小结：形如A(logax)2+Blogax+C=0的方程用换元法，令logax=y，将原方程简化为Ay2+By+C=0然后解之．

(三)学生练习

1．解下列方程

①lg(x-1)2=2；

②lgx=lg(x+2)-lg(x+1)=1；

④log3(x+1)·log3(3x+3)=2．

注：方程①注意不要失根，并讲明为何会失根．

2．求方程x+lgx=3的近似解

分析：它不是简单的对数方程，无法用常规方法求其解，这说明不是所有对数方程我们现在都能解，此类非常规方程，我们目前只能用数形结合法求其近似解．

解：(引导学生一起阅读课本)

原方程为lgx=3-x

令y=lgx，y=3-x，在同一坐标系内画出函数y=lgx与y=3-x的图象，求得交点的横坐标x≈2.6，这个x值近似地满足lgx=3-x，所以它就是原方程的近似解．

学生练习：

①求方程x2-lgx=0的解．

②求方程logax+2-x=0(0＜a＜1)的解的个数．

小结：1．对于一些非常规对数方程可用数形结合法求近似解或研究其解的个数．

2．目前我们只学习了简单对数方程的解法．

(四)小结

1．简单对数方程的解法：

①型如logg(x)f(x)=a：化指法；

②型如logaf(x)=logag(x)：同底法；

③型如A(logax)2+Blogax+C=0：换元法；

④数形结合法．

2．解对数方程验根是必不可少的．

3．增强应用重要数学思想方法的意识，如本节课里体现的化归、数形结合等．

五、作业

P．65中10、12、13．

六、板书设计