条件概率的独立性1
第三节 条件概率 事件的独立性
B
相互独立即可
AB B ，由概率的可减性，得
P A B P B P AB
P B P A P B
事件
A 与 B 的独立性
1 P A P B
所以，事件
A 与 B 相互独立．
2、多个事件的独立性 三个事件的独立性 定义：对于三个事件A、B、C ，若下列 四个等式: P(AB)= P(A)P(B)
1
假设独立重复地做
n 次某一试验
E , A 是某一随机
事件 , A i 表示第 i 次试验中 A 出现 , 则前 n 次试验中 A 至少出现一次的概率为
n n P A 1 1 p i i 1
此结论说明 :小概率事件迟早要发生 .
例3 三人独立地去破译一份密码，已知各人 能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人 中至少有一人能将密码译出的概率是多少？ 解：将三人编号为1，2，3， 记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3 所求为 P(A1+A2+A3)
则称 A 与 B 是相互独立的随机事件．
性质1: A 与 B是两个事件，而且
则 A 与 B 相互独立的充要条件
P A 0
P B A P B
证明：必要性 由于事件 A 与 B 相互独立，故
P AB
因此，
P A P B
P AB
P B A
P A
已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4
P(A1+A2+A3) 1 P ( A
1
A2 A3 )
知识讲解 条件概率 事件的相互独立性
条件概率事件的相互独立性【学习目标】1．了解条件概率的概念和概率的乘法公式．2．能运用条件概率解决一些简单的实际问题．3．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．4．能运用相互独立事件的概率解决一些简单的实际问题．【要点梳理】要点一、条件概率的概念1.定义设A、B为两个事件，且()0P A>，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率。
用符号(|)P B A表示。
(|)P B A读作：A发生的条件下B发生的概率。
要点诠释在条件概率的定义中，事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．2．P（A｜B）、P（）、P（B）的区别P（A｜B）是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
P（）是事件A与事件B同时发生的概率，无附加条件。
P（B）是事件B发生的概率，无附加条件．它们的联系是：() (|)()P ABP A BP B=．要点诠释一般说来，对于概率P()与概率P(A)，它们都以基本事件空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的。
概率P(A)是指在整个基本事件空间Ω的条件下事件A发生的可能性大小，而条件概率P()是指在事件B发生的条件下，事件A发生的可能性大小。
例如，盒中球的个数如下表。
从中任取一球，记“取得篮球”，“取得玻璃球”。
基本事件空间Ω包含的样本点总数为16，事件A包含的样本点总数为11，故11 ()P A=。
如果已知取得玻璃球的条件下取得篮球的概率就是事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，那么在事件B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，即把样本空间压缩到玻璃球全体。
而在事件B 发生的条件下事件A 包含的样本点数为蓝玻璃球数，故42(|)63P A B ==。
要点二、条件概率的公式1．计算事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率，常有以下两种方式： ①利用定义计算．先分别计算概率P （）及P （B ），然后借助于条件概率公式()(|)()P AB P A B P B =求解． ②利用缩小样本空间的观点计算．在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件B ，原来的事件A 缩小为事件，从而(|)AB P A B B =包含的基本事件数包含的基本事件数，即：()(|)()n AB P B A n A =，此法常应用于古典概型中的条件概率求解． 要点诠释概率P()与P()的联系与区别： 联系：事件A ，B 都发生了。
条件概率与事件的独立性
P( AB)
P( A)
16 11
4 11
16
变式:若已知取得是玻璃球,求取得是篮球的概率.
4
P(A| B)
P( AB)
P(B)
16 6
4 6
16
例3.设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品， 规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取 得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是 一等品的概率．
∴P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.7=0.56
⑶1–P(A·B)=1-P(A)·P(B)=1-(1-0.8)(1-0.7)=0.94
⑷P(A·B)+P(A·B)=P(A)P(B)+P(A)P(B) =0.8(1-0.7)+(1-0.6)×0.7=0.38
答：两粒种子都能发芽的概率是0.56；至少有一粒种子能 发芽的概率是0.94；恰好有一粒种子能发芽的概率是0.38
P(A |
B)
P( AB) P(B)
52 1
1 13
P(A)
4
P(A | B) P(A)
P( AB) P( A) P(B)
B发生时A发生的条件概率
A发生的概率
P(AB) P(A)P(B)
则称A，B相互独立
相互独立事件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没 有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件
中一等奖的概率为多少？
P
1
C
7 31
（2）如果在甲没有中一等奖后乙去买彩票，
则乙中一等奖的概率为多少？
P
1
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7 31
2．一个袋子中有5个白球和3个黑球，从袋中分 两次取出2个球。设第1次取出的球是白球叫做 事件A，第2次取出的球是白球叫做事件B。
知识讲解条件概率事件的相互独立性(理)(基础)
条件概率事件的相互独立性【学习目标】1．了解条件概率的概念和概率的乘法公式．2．能运用条件概率解决一些简单的实际问题．3．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．4．能运用相互独立事件的概率解决一些简单的实际问题．【要点梳理】要点一、条件概率的概念1.定义设A 、 B 为两个事件，且 P( A) 0 ，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做条件概率。
用符号 P(B | A) 表示。
P(B | A) 读作： A 发生的条件下 B 发生的概率。
要点诠释在条件概率的定义中，事件 A 在“事件 B 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．2． P（ A｜ B）、 P（ AB ）、 P（ B）的区别P（ A｜ B）是在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
P（ AB ）是事件 A 与事件 B 同时发生的概率，无附加条件。
P（ B）是事件 B 发生的概率，无附加条件．它们的联系是： P(A |B) P( AB) ．P(B)要点诠释一般说来，对于概率 P(A|B) 与概率 P(A) ，它们都以基本事件空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的。
概率 P(A) 是指在整个基本事件空间Ω的条件下事件 A 发生的可能性大小，而条件概率P(A|B)是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的可能性大小。
例如，盒中球的个数如下表。
从中任取一球，记A=“取得篮球”， B=“取得玻璃球”。
基本事件空间Ω包含的样本点总数为 16 ，事件 A 包含的样本点总数为 11，故P( A) 11 。
16玻璃木质总计红235蓝4711 总计610 16如果已知取得玻璃球的条件下取得篮球的概率就是事件B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率，那么第 1 页共 12 页在事件 B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，即把样本空间压缩到玻璃球全体。
条件概率及独立性
1.3条件概率与独立性East China University of Science And TechnologyEast China University of Science And Technology1.3.1 条件概率, 乘法公式条件概率──考虑事件A 已发生的条件下,事件B 发生的概率。
1. 条件概率定义East China University of Science And Technology引例袋中有7只白球, 3只红球, 白球中有4只木球, 3只塑料球; 红球中有2只木球,1只塑料球.现从袋中任取1球, 假设每个球被取到的可能性相同.若已知取到的球是白球, 问它是木球的概率是多少？设A 表示任取一球，取得白球；B 表示任取一球，取得木球.所求的概率称为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。
记为.()A B PEast China University of Science And Technology 解列表()74=A B P ()(|)()P AB P B A P A =白球红球小计木球426塑球314小计73104/107/10=而47(),()1010P AB P A ==P B A P AB P A (|)()()=恒成立吗？?East China University of Science And Technology定义给定一个随机试验, Ω是它的样本空间,对于任意两个事件A,B, 其中P (A )>0, 称为在已知事件A 发生的条件下, 事件B 的条件概率.()(|)()P AB P B A P AEast China University of Science And Technology概率P (B|A)与P (AB)的区别与联系联系：事件A ，B 都发生了.区别：（1）在P (B |A )中，事件A ，B 发生有时间上的差异，A 先B 后；在P (AB ）中，事件A ，B 同时发生。
数学课件：2.3《事件的独立性(1)》
（1）2人都击中目标的概率；0.36
0.48 （2）其中恰有1人击中目标的概率；
（3）2人都没有击中目标的概率；0.16
（4）至少有一人击中目标的概率
0.84
练习1、若甲以10发8中，乙以10发7中的命中率打靶， 两人各射击一次，则他们都中靶的概率是( D )
(A)
3 5
(B)
3 4
(C)
12 25
例1.口袋中有a只黑球b只白球，连摸两次，每次
一球.记A={第一次摸时得黑球}，B={第二次摸时 得黑球}.问A与B是否独立？就两种情况进行讨论： ① 放回抽取；② 不放回抽取.
① 放回抽取 a 解：P(A) =
ab
a P（B）= ab
a P(B|A)= a b
② 不放回抽取.
a P（A）= P（B）= a b a 1 a a 1 P(AB)= P(B|A)= a b 1 a b a b 1 a ab
A、B中至多有一个发生的概率
独立重复试验
（一） 形成概念
掷一枚图钉，针尖向上的概 率为0.6，则针尖向下的概率为 1－0.6=0.4
问题（1）第1次、第2次、第3次… 第n次针尖向上的概率是多少?
第1次、第2次、第3次…第n次针尖向----在同样条 件下进行的，各次之间相互独立的一种试验。
解 设A表示“活到20岁”(即≥20)，B表示 “活到25岁” (即≥25) 则 P( A) 0.7, P( B) 0.56 所求概率为
P( AB) P( B) P( B A) 0.8 P( A) P( A)
B
5
0.56
0.7
A
, 2． 根据以往的临床记录某种诊断癌症的试 验具有如下的效果: 若以 A 表示事件" 试验反应 为阳性" , 以 C 表示事件" 被诊断者患有癌症 , 则 " 有 P( A C ) 0.95, P( A C ) 0.95.现在对自然人群 进行普查, 设被试验的人患有癌症 的概率为 .005, 0 即 P(C ) 0.005, 试求 P(C A).
条件概率与独立性
A={掷出偶数点}， P(B|A)=？
掷骰子 P(B|A)= 1/3.
1 1 6 P( AB) P(B|A) 3 3 6 P( A)
条件概率 Conditional Probability
定义 设Ａ，Ｂ为同一个随机试验中的两个随机事件 , 且Ｐ（A）＞０， 则称
P ( AB ) P ( B A) P ( A)
1 两事件相互独立的定义
直观定义： 已知事件A与B，若 其中任何一个事件发生
的概率不受另一个事件发生与否的影响，则称事件A与 B是相互独立的。
定义1.3 设 是一个样本空间，A、B是其上的 的两个事件，若A，B满足 P(AB)= P(A) P(B) 则称A与B独立，或称A、B相互独立.
例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑桃的}
问事件A、B是否独立？ 解： 由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=13/52=1/4 P(AB)=1/52=1/52 可见, P(AB)=P(A)P(B)
说明事件A、B独立.
在实际应用中, 往往根据问题的实际意 义去判断两事件是否独立.
练习.
设A、B为互不相容事件，且P(A)>0,P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是： 1. P(B|A)>0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B) 设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是：
n个事件相互独立的定义： 设A1,A2, …,An是 n个事件，如果对任意k (2 k n)个事件 Ai1,Ai2, …,Aik , 有等式
P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( Aik )
大学数学易考知识点概率论的条件概率与独立性
大学数学易考知识点概率论的条件概率与独立性大学数学易考知识点：概率论中的条件概率与独立性概率论是数学中一个重要的分支，研究事物发生的可能性。
在大学数学的学习中，概率论是一个比较常见的考点。
其中，条件概率与独立性是概率论中的两个基本概念。
本文将详细介绍条件概率与独立性的概念、性质以及应用。
一、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
其计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的计算可以通过实际问题的转化来帮助理解。
例如，某班级有60%的男生和40%的女生，已知班级中80%的学生喜欢数学。
现在要求已知一位学生是男生的条件下，他也喜欢数学的概率。
根据条件概率的计算公式，我们可以得到：P(喜欢数学|男生) = P(喜欢数学∩男生) / P(男生)由于已知喜欢数学的学生占总人数的80%，而男生占总人数的60%，则有：P(喜欢数学|男生) = (0.8*0.6) / 0.6 = 0.8所以，在已知一位学生是男生的条件下，他也喜欢数学的概率为0.8。
条件概率的计算方法对于实际问题的解决非常有用。
通过合理的条件划分，我们可以计算出各种条件下的概率，从而更好地理解和解决问题。
二、独立性在概率论中，独立性是指两个事件的发生与否互相不影响。
具体而言，事件A与事件B相互独立的条件为：P(A|B) = P(A)P(B|A) = P(B)即事件A发生的概率与事件B发生与否无关，事件B发生的概率与事件A发生与否无关。
两个独立事件的条件概率相等于事件的边际概率。
例如，某扑克牌中共有52张牌，我们从牌中随机抽取一张，记录下此牌的花色，然后将此牌放回。
再次从牌中随机抽取一张，记录下此牌为红桃。
问第一次所抽取的牌为红色的概率是多少？根据题意，第一次所抽取的牌为红色的概率为1/2，因为扑克牌中共有52张牌，其中红色牌有26张。
条件概率与事件的独立性
＝0.648.
(2)X的可能取值为2,3. 由于各局比赛结果相互独立，所以
P(X＝2)＝P(A3A4∪B3B4)＝P(A3A4)＋P(B3B4)
＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4) ＝0.6×0.6＋0.4×0.4 ＝0.52， P(X＝3)＝1－P(X＝2)＝1－0.52＝0.48.
X的分布列为
[题组自测] 3 3 1．(2010· 南京三月模拟)已知P(AB)＝ ，P(A)＝ ，则 10 5 P(B|A)等于________．
PAB 3 5 1 解析：P(B|A)＝ ＝ × ＝ . PA 10 3 2
1 答案： 2
2．某学校一年级共有学生100名，其中男生60人，女
生40人；来自北京的有20人，其中男生12人，若
[归纳领悟] 1．若事件A、B相互独立，则A与 B 、 A 与B、 A 与 B 也都 相互独立． 2．要正确理解含有“恰好”“至少”“至多”等词的相 互独立事件的含义，恰当分类． 3．对于“至少”“至多”型问题，可考虑对立事件求其 概率.
[题组自测]
1．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概
此时称随机变量X服从参数为n、p的二项分布， 记作 X～B(n，p) ．
[究 疑 点] 1．条件概率中P(B|A)与P(A|B)是一回事吗？
提示： P(B|A)是在A发生条件下B发生的概率．
P(A|B)是在B发生条件下A发生的概率，不一样． 2．“相互独立”与“事件互斥”有何不同？ 提示：两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两 事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生 的概率没有影响．两事件相互独立不一定互斥．
1 P(X＝1)＝C4×0.4×(1－0.4)3＝0.345 6， 2 P(X＝2)＝C4×0.42×(1－0.4)2＝0.345 6， 3 P(X＝3)＝C4×0.43×(1－0.4)＝0.153 6，
条件概率与事件的独立性-讲义(学生版)
条件概率与事件的独立性一、课堂目标1．掌握条件概率的定义和计算公式，以及条件概率与乘法公式之间的关系．2．掌握独立事件的定义和性质．3．掌握互斥事件和独立事件的综合应用．4．掌握全概率公式的定义及应用，了解贝叶斯公式．二、知识讲解1. 条件概率知识精讲（1）定义一般地，当事件发生的概率大于时（即），则事件发生的条件下事件发生的概率，称为条件概率，记作.（2）计算公式一般地，设为两个随机事件，且，则：．（3）性质①非负性：条件概率具有的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即．②若事件A与B互斥，即与不可能同时发生，则．③可加性：如果和是两个互斥事件，则．（4）条件概率的求法①定义法，先求和，再求；②基本事件法，借助古典型概率公式，先求事件包含的基本事件数，再求事件所包含的基本事件数，得．注意：求复杂事件的条件概率时，可以把它分解为若干个互不相容的简单事件，求出这些简单事件的条件概率，再利用概率的可加性，得到最终结果．经典例题A. B.C.D.1.某地气象台预计，月日该地区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设表示下雨，表示刮风，则（）．巩固练习A.B.C.D.2.小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为，在第二个路口遇到红灯的概率为，在两个路口连续遇到红灯的概率是．某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是（）．经典例题A. B.C.D.3.一个盒子内装有个红球，个白球，从盒子中取出两个球，已知一个球是红球，则另一个也是红球的概率是（）．巩固练习A. B.C.D.4.某盒中装有只乒乓球，其中只新球，只旧球，不放回地依次摸出个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（）．经典例题A. B.C.D.5.袋中装有形状和大小完全相同的个黑球，个白球，从中不放回地依次随机摸取两个球，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是（）．巩固练习A.B.C.D.6.抛掷一颗质地均匀的骰子的基本事件构成集合，令事件，，则的值为（）．2.乘法公式知识精讲由条件概率的计算公式可知，这就是说，根据事件发生的概率，以及事件发生的条件下事件发生的概率，可以求出与同时发生的概率.一般地，这个结论称为乘法公式.经典例题7.甲袋中有个白球，个红球；乙袋中有个白球，个红球，从两个袋子中任取一袋，然后从所取到的袋子中任取一球 ,则取到白球的概率是．巩固练习A.B.C.D.8.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是（）．A.B.C.D.9.已知箱中有红球个，白球个，箱中有白球个，（、箱中所有的球除颜色外完全相同）．现随意从箱中取出个球放入箱，将箱中的球充分搅匀后，再从箱中随意取出个球放入箱，则红球从箱移到箱，再从箱返回箱中的概率等于（）．3. 事件的独立性知识精讲（1）定义当时，与独立的充要条件是这时，我们称事件、相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．（2）独立事件的性质对于两个独立事件和，有如下两个性质：①与，与，与也相互独立；②．经典例题A. B.C.D.10.袋中有大小形状都相同的个黑球和个白球．如果不放回地依次取次球，每次取出个，那么在第次取到的是黑球的条件下，第次取到白球的概率为（）．巩固练习A. B.C.D.11.已知件次品和件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是（）．经典例题12.甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为，，，则此密码能被译出的概率为．巩固练习13.某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为．4. 互斥事件与独立事件知识精讲互斥事件与独立事件的区别：“互斥事件”和“相互独立事件”是两个不同的概念，前者表示两个事件不可能同时发生，后者指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响．知识点睛已知两个事件，它们的概率分别为.将中至少有一个发生记为事件，都发生记为事件，都不发生记为事件，恰有一个发生记为事件，至多有一个发生记为事件，则它们的概率间的关系见下表.概率互斥相互独立1经典例题A.不相互独立事件B.相互独立事件C.互斥事件D.对立事件14.一袋中装有只白球，只黄球，在有放回地摸球中，用表示第一次摸得白球，表示第二次摸得白球，则事件与是（ ）．巩固练习A.互斥但不相互独立B.相互独立但不互斥C.互斥且相互独立D.既不相互独立也不互斥15.掷一颗骰子一次，设事件：“掷出奇数点”，事件：“掷出点或点”，则事件，的关系（ ）．经典例题A.B.C.D.16.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过概率是（ ）．（1）（2）17.某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为，数学为，英语为，并且该生各科取得第一名相互独立．问一次考试中：三科成绩均未获得第一名的概率是多少？恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？巩固练习18.从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，假设各项标准互不影响，从中任选一名学生，则该学生恰有一项合格的概率为（ ）．A.B. C.D.A.B.C.D.19.社区开展“建军周年主题活动——军事知识竞赛”，甲乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为（）．5. 全概率公式知识精讲（1）公式公式的推导：一般地，如果样本空间为，而为事件，则与是互斥的，且,所以,当且时，由乘法公式得：,所以，．（2）全概率公式的一般结论前面提到的全概率公式，本质上是将样本空间分成互斥的两部分（即与）后得到的.如果将样本空间分成更多互斥的部分，从而得到更一般的结论，如下：定理：若样本空间中的事件满足：①任意两个事均互斥，即；②；③.则对中的任意事件，都有，且.上述公式也称为全概率公式.经典例题20.某射击小组共有名射手，其中一级射手人， 二级射手人， 三级射手人， 四级射手人． 一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是、、、． 求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率．巩固练习（1）（2）21.某仓库有同样规格的产品箱，其中箱、箱、箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为、、．现从这箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一件产品，求：取得一件产品是次品的概率．若已知取得的一件产品为次品，这件次品是乙厂生产的概率．6. 贝叶斯公式知识精讲（1）贝叶斯公式一般地，当且时，有.这称为贝叶斯公式.（2）贝叶斯公式的推广同全概率公式一样，贝叶斯公式也可以进行推广.定理：若样本空间中的事件满足：①任意两个事件均互斥，即；②；③.则对中的任意概率非零事件，有.上述公式也称为贝叶斯公式.经典例题22.甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的，乙厂生产的占；甲厂商品的合格率为，乙厂商品的合格率为．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为 ．巩固练习23.某地区居民的肝癌发病率为 ，现用甲胎蛋白法进行普查医学研究表明，化验结果是存在错误的已知患有肝癌的人其化验结果呈阳性（有病），而没患肝癌的人其化验结果呈阴性（无病）.现某人的检查结果呈阳性，问他真的患肝癌的概率有多少？三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！四、出门测A.B.C.D.24.下面结论正确的是（ ）．若，则事件与是互为对立事件若，则事件与是相互独立事件若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件若事件与是相互独立事件，则与也是相互独立事件25.根据某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在刮风天里，下雨的概率为 ，在下雨天里，刮风的概率为 ．26.已知件产品中有件次品，现逐一不放回的检验，直到件次品都能被确认为止，则检验次数为的概率为 ．27.甲、乙、丙的投篮命中率分别为，，．三人各投篮一次，假设三人投篮相互独立，则至少有一人命中的概率是 ．。
条件概率与独立性
条件概率与独立性1、条件概率：一般地，若有两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下考虑事件A发生的概率，则称此概率为B 已发生的条件下A的条件概率。
记作：P(A|B)。
2、事件的积的概率：两个事件A、B同时发生时，其概率通常称为事件A与事件B的积的概率。
记作：P(A∩B)或P(AB)。
3、条件概率的有关计算：P(A|B)＝P(A B)/ P(B)；P(AB)＝P(A|B)·P(B)＝P(B|A)·P(A)。
4、事件的独立性：若事件A、B满足P(A|B)＝P(A)，即事件B的发生不影响事件A发生的概率(同样，事件A发生也不影响事件B发生的概率，即P(B|A)＝P(B))，则称事件A、B互相独立。
5、当事件A、B 互相独立时，P(AB)＝P(A)·P(B)。
若有n个事件(n＞2)互相独立，则有P(A1A2……A n)＝P(A1)·P(A2)·……·P(A n)。
例1：将一枚硬币抛掷两次，事件A表示两次正面向上，事件B表示至少有一次正面向上，求P(A)、P(B)、P(A B)、P(A|B)、P(B|A)。
例2：抛掷一颗质地均匀的骰子所得点数的样本空间记为S＝{1，2，3，4，5，6}，令事件A＝{2，3，4}，B＝{1，2，4，6}，求P(A)、P(A B)、P(A|B)。
例3：如图一所示的正方形被平均分成A、B、C、D、E、F、G、H、I九个部分，向大正方形区域随机投掷一个点(每次均能投中)，若投中左侧3个小正方形区域(即A、B、C)的事件记作M，投中最上面三个小正方形及正中间的一个小正方形事件(即A、D、G、E)，记作N，求P(MN)、P(M|N) 。
例4：在一个盒子中有大小相同的10个红球和10个白球，求第一个人摸出一个红球(不放回)，第 2 个人摸出一个白球的概率。
例5：连续抛掷一枚硬币n次(n＞2)，若前n－1次均为正面，求第n次出现反面的概率。
概率论与数理统计第1.3节条件概率及独立性
练习 一个家庭中有若干个小孩，假定生
男生女是等可能的，令
A =“一个家庭中有男孩又有女孩”
B =“一个家庭最多有一个女孩”
（1）家庭中有两个小孩， （2）家庭中有三个小孩。
对上述2种情况，讨论事件
A, B 的独立性。
(1) {( B, B),( B, G),(G, B),(G, G)}
(2) {( B, B, B),( B, B, G),( B, G, B),(G, B, B), (G, G, B),(G, B, G),( B, G, G),(G, G, G)}
今任选一个袋子然后再从选到的袋子中任取一个球问取到红球的概率为多上述分析的实质是把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件再将概率的加法公式和乘法定理结合起来这就产生了全概率公式
课堂练习: 化简事件
( AB
AC
C ) AC
解 原式 AB C
AC ABC AC
( A B)C
AC BC AC
P ( AB ) 1 6 P( A | B) 3 P( B) 3 6 2)从加入条件后改变了的情况去算
1
掷骰子
1 P(A|B）= 3
B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A所含样本点 个数
问题 : 分别考虑
P ( A)与P A B 哪个大？
A B, B A, AB
条件概率是概率(P30)
首先，不难验证条三条公理：
(1) 非负性 P( A | B) 0 (2) 正规性 P( | B) 1
(3) 完全可加性 若A1, A2 ,, An ,两两互斥， P( B) 0, 则
由此得
P( An | B) P( An | B)
大学概率论的条件概率与独立性
大学概率论的条件概率与独立性概率论是数学的一个重要分支，用于研究随机现象和随机事件的规律性。
在大学的概率论课程中，我们学习了许多基本概念和理论。
其中，条件概率和独立性是概率论中重要的概念，对于理解和应用概率论具有重要意义。
一、条件概率条件概率是指在某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
设A和B是两个事件，且P(B)>0，则在事件B发生的条件下事件A发生的概率，记为P(A|B)，表示为“A在B发生的条件下发生的概率”。
计算条件概率的公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)这个公式可以从概率的定义来推导。
根据概率的性质，我们可以得到以下重要性质：性质1：对于任何事件A和B，有P(A∩B) = P(A|B) × P(B)性质2：如果事件A和B相互独立，那么P(A|B) = P(A)，P(B|A) = P(B)条件概率的概念和性质为我们研究随机事件之间的联系提供了很好的工具。
在实际问题中，条件概率常常用于解决一些复杂的概率计算问题。
二、独立性独立性是概率论中另一个重要的概念，指的是两个事件的发生不受对方的影响。
设A和B是两个事件，如果P(A∩B) = P(A) × P(B)，则称事件A和B是相互独立的。
在独立性的定义下，我们有以下性质：性质1：如果事件A和B相互独立，则P(A|B) = P(A)，P(B|A) =P(B)性质2：如果事件A和B相互独立，则事件A与B的补事件也相互独立。
性质3：如果事件A和B相互独立，则事件A与B的并事件、交事件以及差事件也相互独立。
独立性是概率论中非常重要的概念，它能够帮助我们简化概率计算过程，提高问题的求解效率。
三、条件概率与独立性的关系在一般情况下，条件概率与独立性是两个不同的概念。
然而，在特殊情况下，条件概率和独立性之间存在着紧密的联系。
具体来说，对于两个事件A和B，如果P(B)>0，以下两个命题等价：命题1：事件A和B相互独立。
概率论中的条件概率与事件独立性
条件概率与事件 独立性的实际案 例分析
天气预报的准确率与事件独立性分析
天气预报准确率与事件独立性的关系 不同天气预报模型对独立性的影响 实际案例分析：某地区连续两天的天气预报准确率 结论：提高天气预报准确率有助于更好地分析事件独立性
股票价格波动与事件独立性分析
股票价格波动与事件独立性的概念 股票价格波动与事件独立性的关系 股票价格波动与事件独立性的实际案例分析 股票价格波动与事件独立性的应用
掌握条件概率与事件独立性的概念和性质，对于理解概率论和统计学的基本原理、进行科学推断 和决策具有重要的意义。
未来研究方向与展望
深入研究条件概率 与事件独立性的关 系
探讨其在不同领域 的应用前景
探索如何更好地解 释和预测事件发生 的可能性
进一步研究条件概 率与事件独立性的 数学理论基础
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条件概率与事件独立性
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目录
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01
条件概率的定义与计 算
02
事件独立性的定义与 性质
03
条件概率与事件独立 性的关系
04
条件概率与事件独立 性的应用场景
05
条件概率与事件独立 性的实际案例分析
06
添加章节标题
条件概率的定义 与计算
条件概率的定义
条件概率是指在某 一事件B已经发生 的情况下，另一事 件A发生的概率，
在统计推断中，条件概率与事件独立性可用于构建复杂的概率模型，如贝叶斯推断和 马尔科夫链蒙特卡洛方法。
条件概率与事件独立性在统计推断中的应用有助于提高预测精度和决策的科学性。
在决策论中的应用
风险决策：根据条 件概率评估不同方 案的风险和收益
第三节 条件概率 事件的独立性分解
对于三个事
件的独立性， 要求其中任何 一事件发生的 概率不受其它
பைடு நூலகம்
P(ABC)= P(A)P(B)P(C)
事件发生与否 的影响。
同时成立，则称事件A、B、C相互独立。
n个事件的相互独立性
设 A1， A2， ， An 为n个 随 机 事 件 ， 如 果 下 列等 式 成 立 ：
PAi Aj PAi PAj 1 i j n
P( A)
P(A)>0
2)从加入条件后改变了的情况去算
例：B={掷出2点}，A={掷出偶数点} 掷骰子
P(B|A）= 1 3
A发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数
在缩减样本空间 中B所含样本点
个数
例2 设某种动物由出生算起活到20年以上 的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以 上的概率是多少？
（1）一年内该行计划贷款被突破的概率 ．
（2）乙申请贷款后甲也向该行申请贷款的概 率
解：设A={一年内甲申请更新设备贷款}， B={一年内乙申请更新设备贷款}
据题意有
P(A)=0.15 P(B)=0.2 P(B/A)=0.3 （1）若一年内该行计划贷款总额被突破，则事
件中至少有一个发生，故所求概率为
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
= P(A)+P(B)-P(A) P(B/A) = 0.15+ 0.2 –0.15×0.3
=0.305
(2) P( A | B) P( AB) P( A)P(B / A)
P(B)
P(B)
0.15 0.3 0.225 0.2
条件概率与概率的乘法公式的区别 ：
条件概率与事件的独立性
有可能结果构成的集合就是B，
B中共有3个元素, 它们的出现是等 可能的, 其中只有 1个在集A中，
于是P(A|B)= 1/3. 容易看到
P(A|B)116 P(AB) 3 36 P(B)
又如，10件产品中有7件正品，3件次品， 7件正品中有3件一等品，4件二等品. 现从这 10件中任取一件，记
第1个人抽到入场券的概率是1/5.
由于 A2 A1A2
由乘法公式
因为若第2个人抽到
了入场券，第1个人
P (A 2)P (A 1 )P (A 2|A 1 ) 肯定没抽到.
也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1 个人未抽到，
计算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5
同理，第3个人要抽到“入场券”，必须 第1、第2个人都没有抽到. 因此
下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
容易证明,若两事件A、B独立，则
A与 B,A与 B,A与 B也相互独立.
证明: 仅证A与 B 独立 概率的性质 P(AB )= P(A-A B)
A、B独立
= P(A)-P(AB)= P(A)-P(A) P(B)
的球具有相同颜色的球.
b个白球, r个红球
解: 设Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4
Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4
于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第 一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”
用乘法公式容易求出 P(W1W2R3R4)
=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
条件概率与事件的独立性(1)
2021/3/2
19
概率论与数理统计
例：市场上有甲，乙，丙三家工厂生产同一品牌 的产品；已知三家产品的市场占有率分别为 25%， 25% 及 50%, 且三家工厂的产品次品率分别为 2%， 1% 及 3%, 求此品牌产品的次品率？
解：设 B 买到一件产品是次品；A1 甲厂生产的产品 A2 乙厂生产的产品； A3 丙厂生产的产品
2021/3/2
3
概率论与数理统计
例：设箱中有 5 个红球和 3 个白球。现不放回 地取出 2 个球，假设每次抽取时，箱中各球被 取出是等可能的。第一次取出红球时，问：第
2 次仍取出红球的概率是多少？
解 一 ： 缩 减 样 本 空 间 法
设 Ai 第 i 次取出红球，i 1, 2
由 于 A1 已 经 发 生 ， 第 2 次 取 球 时 ， 共 剩 下 7 个 球 ， 其 中 有 4 个 红 球 ， 故 P ( A2 | A1 ) 4 7 .
n
m
n
n
m m
n
m
n
1
n
m
n
n
2
m
n
mn
m
1
n
.
2021/3/2
22
概率论与数理统计
P32 题 7 解：设 B 取得该球是红球
A1 取自甲袋； A2 取自乙袋
则 1. P B P A1 P B A1 P A2 P B A2
1 6 1 8 41； 2 10 2 14 70
aa202132114概率论与数理统计复杂的事件分解成若干个互不相容的部人们在计算某一比较的概率时有时根据事件在不同情况或不同原因下发生而将它分别计算每一部分的概率然后求和这就是我们接下来要讨论的全概率公式
条件概率与事件的独立性
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为(
)
A．0.35
C．0.20
B．0.25
D．0.15
[解析]
24 由随机数可估算出每次投篮命中的概率p≈ 60
2 ＝ ，则三次投篮中两次为C32×P2×(1－P)≈0.25. 5
[答案] B
3 ．(2009·湖北) 甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能
(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；
(2) 设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最 低保费(单位：元)．
[解]
各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是
p，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则ξ－B(104，p)． (1)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元 赔偿金，则 A 发生当且仅当ξ＝0， P(A)＝1－P( A ) ＝1－P(ξ＝0) ＝1－(1－p)104， 又P(A)＝1－0.9999104， 故p＝0.001.
＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.
P(ξ＝3)＝1－P(ξ＝2)＝1－0.52＝0.48
ξ的分布列
ξ P
2 0.52
3 0.48
Eξ＝2×P(ξ＝2)＋3×(ξ＝3) ＝2×0.52＋3×0.48＝2.48.
(2009· 北京)某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在 1 各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 3， 遇到红灯时停留的时间都是 2min.
4.在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 P(X＝k)＝CnkPk(1－P)n－k，k＝0,1,2，„，n，其中P是一次 试验中该事件发生的概率．实际上，CnkPk(1－P)n－k正好是二项 式[(1－P)＋P]n的展开式中的第k＋1项．
独立性与条件概率的关系-高二数学(人教B版2019选择性必修第二册)
知识点回顾
必修课本中我们学习过， 互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式.
互斥事件
特点
概率公式
不可能同时发生的两个事件
P( A B) P( A) P(B)
对立事件 两个事件不可能同时发生， 但必有一个发生
相互独立事件 事件A是否发生对事件B发 生的概率没有影响
P( A) P( A) 1 P( AB) P( A)P(B)
④D AB ，
以上为说法正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
对于① P A 3 1 ，P B 2 1
62
63
，P( AB) 1 ，
6
P AB P A P B ，事件A与B是独立事件，故①正确；
题型一：互斥事件、对立事件、相互独立事件的判断
例2：掷一枚骰子，记事件A表示事件“出现奇数点”，事件B表
示事件“出现4点或5点”，事件C表示事件“点数不超过3”，事
件D表示事件“点数大于4”，则
①事件A与B是独立事件
②事件B与C是互斥事件
③事件C与D是对立事件 以上为说法正确的有（ ）
④D AB ，
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
对于②，事件B与事件C不能同时发生， 事件B与事件C是互斥事
件，故②正确；
对于该试验，第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响，而且 事件A、B可以同时发生， 所以A、B相互独立，但不互斥，也不对立，更不相等.
练习：
2.袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回
地摸球，设事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白
球”，事件C=“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（ B ）
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第三章 条件概率的独立性习题3 一．填空题1.设A.B 为两个互相独立事件，若P （A ）=0.4，P （B ）=0.3，则(P B A ⋃)=2.在一次实验中A 发生的概率为p ，现在进行n 次独立重复试验，那么事件A 至少发生1次的概率为3.设A.B.C 构成一完备事件组，且P(A)=0.4，P(B )=0.7，则P （C ）= ,p(AB)=4.若P(A)=21,P(B)=31，P(A B )=32,则P(B A )= 5.某人向同一目标重复独立射击，每次命中目标的概率为P(0<P<1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 二．选择题1. 同一目标进行5次射击，每次命中的概率为0.8，则恰好命中两次的概率为（ ） (A) 0.00512 (B) 0.64 (C) 0.256 (D) 0.05122. 5人以摸彩的方式决定谁从五张彩票中摸的一张电影票，设Ai 表示“第i 次个人摸到电影票”(i=1,2,3,4,5),则下列结果不正确的是（ ） (A) P(1A 2A )=41 (B) P(2A )= 54 (C) P(2A )=51 (D) 53)(21=A A P 3 袋中有5个球（3个新球，2个旧球），现每次取一个，无放回的抽取两次，则第二次取到新球的概率为（ )53)(A 43)(B 42)(c 103)(D 4,对于任意两个事件A 与B ，下面结论正确的是（ ） (A)若P(A)=0，则A 是不可能事件(B)若P(A)=0，P(B)≥0，则事件B 包含事件A(C)若P(A)=0，则P(B)=1，则事件A 与事件B 对立 (D)若P(A)=0，则事件A 与B 独立 三，计算题1.设A 与B 是两个随机事件，且P(A)=41,31)(=A B P ,21)(=B A P ,试求P(B A ⋃). 2.设A 与B 是两个随机事件，P(A)=0.7，P(B)=0.6，，4.0)(=A B P 试求P(B A ⋃).3.如果每次试验成功的概率都是P ，并且已知在三次独立重复试验中至少成功一次的概率为2719，试求P 的值. 4.设随机事件A 与B 互相独立，P(A)=P(B)=a-1，P()B A ⋃=97,求a 的值. 四．应用题1.三人独立的同时解答一道题，他们每人能够解出的概率为21，4131，，求此题能破解出的概率.2.设在全部产品中有2％是废品，而合格产品中有85％是一级品，求随机抽出一个产品是一级品的概率.3.汽车保险公司得到投保人资料如表3-1所示：5.设10个考签中4个难签，今有3人按甲先，乙次，丙最后的次序参加抽签(不放回），求： （1）甲没有抽到难签而乙抽到难签的概率； （2）甲，乙，丙都抽到难签的概率.6.设有4个独立工作的原件1,2,3,4 他们的可靠性都是p,将他们按图3.2的方式联接，求整个系统的可靠性.7.甲，乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被击中，求他是甲击中的概率。
8.假设一个年级甲乙丙三个班学生参加一项技能测试，三个班级学生依次占全年级总人数的20％，45％，35％，测试后各个班级的不及格率分别为5％，4％，2％. （1）求该年级学生技能测试的不及格率；（2）若在全年级学生中随机抽查发现一个学生不及格，试判断他是甲班学生的概率。
9.已知男子有5％是色盲患者，女子有0.25％是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机的挑选一人，恰好是色盲患者，求此人是男性的概率. 五．证明题1、设随机事件A 与B 互斥，且0<P(B)<1,试证明；)(1)()(B P A P B A P -=2.若),()(A B P A B P =证明；A 与B 互相独立。
六．综合题1.甲盒中有3只正品，乙盒中有3只正品，3只次品，从乙盒中任取3只放入甲盒，再从甲盒中任取一只，求该只只为次品的概率.2.为消防的需要，某商场内同时安装甲乙两套报警系统，每套系统单独使用时其有效的概率，系统甲为0.92，系统乙为0.93，在甲系统失灵的条件下，乙系统仍有效的概率为0.85，求（1）发生火警时，这两个系统至少有一个有效的概率；（2）在乙系统失灵的条件下，甲系统仍有效的概率.(B)一．填空题1.设随机事件A 与B 互相独立，若P(A)=0.3，P(A B ⋃)=0.7，则P(B)=2.A 与B 是两个随机事件，P(A)=0.8，P(B)=0.4，若B A ⊃,则P(A B )=3.设Ａ．Ｂ为两个事件，若概率Ｐ（Ｂ）＝０．９，Ｐ（ＡＢ）＝０．６，则=)(B A P4.设两个相互独立事件Ａ和Ｂ发生的概率分别为Ｐ１，Ｐ２，则其中之一发生的概率为 二．选择题１，若一批产品为一，二等品及不及格品，其比例为４：３:１，从中任取一件，检验合格，则该产品为一等品的概率为94.74.32.21.D C B A ２．设Ａ与Ｂ是两个随机事件，已知为则，)(,9.0)(7.0)(A P B A P B A P =⋃=⋃ Ａ０.２ Ｂ０．３ Ｃ０．４ Ｄ０．６３．设Ａ，Ｂ，Ｃ是两个两两相互独立且三件事不能同时发生的事件，Ｐ（Ａ）＝Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ｃ）＝Ｘ，则使为取最大值的X C B A P )(⋃⋃41.31.1.21D C B A４．设随机事件Ａ与Ｂ互不相容，且Ｐ（Ａ）＞０，Ｐ（Ｂ）＞０，则下列结论中一定成立的有Ａ Ａ，Ｂ为对立事件 Ｂ 互不相容B A , Ｃ Ａ，Ｂ不对立 Ｄ Ａ，Ｂ互相独立三．计算题１设Ａ，Ｂ，Ｃ是随机事件，Ａ，Ｃ互不相容，Ｐ（ＡＢ）＝21，的值试求)(,31)(C AB P C P = ２已知事件Ａ与Ｂ相互独立，Ａ与Ｃ互不相容，且Ｐ（Ａ）＝０．４，Ｐ（Ｂ）＝０．３，Ｐ（Ｃ）＝０．４，)()].([2.0)(C AB P B A C P B C P ⋃=，求四．应用题１，独立的连接进行Ｎ次射击，已知第Ｉ次命中目标的概率为Ｐｉ（Ｉ＝１，２，．．．，Ｎ），求至少两次命中的目标的概率。
２.桥式电路系统由五个元件组成（如图３．３所示），每个元件的可靠性为Ｐ，且每个元件是否正常工作是相互独立的，求系统的可靠性。
３.在１－１００这一百个整数中任取一个数，求所取的数能被２或３或５整除的概率。
４.甲乙两射手轮流对同一目标进行射击，甲每枪命中的概率为Ｐ，乙每枪命中的概率为Ｒ，彼此独立，甲先射，试求甲先命中的概率。
５.某批产品优等品率为８０％有３个检验员对其检验，每个检验员对优等品的判对率为０．９７，对非优等品的判对率为０．９８，并以３个检验员的多数人的判断为最后的判断。
求：（１）一个产品最后被判断为优等品的概率；（２）在一个产品最后被判断为优等品的条件下，的却是优等品的概率。
习题4一、填空题1.若函数∫(x)=Kx，0 ,0≤X≤2是一随机变量的密度函数，则K=2.设随机变量X的分布规律为P（X=K)=c/k+1,k=o,1,2,3,则常数c3.设连续型随机变量X的分布函数为F（x)=0,x＜0或AX²，0≤x＜1或1，x＞1则A= P（-1＜x＜1/2)=4.设随机变量X的分布函数为F(X)=1/2,0≤x≤1则p（x)=二．选择题1.函数∫（x）=sinx，x∈1或0 其他可作随机变量X的密度函数，下列区间中只有（）可取为IA.［0，π/2］B.［0，π］C.［0，3π/2］D.［0，2π］2.设服从正态分布N（0,1）的随机变量X，其密度函数为∂（x），则∂（0）=（）A.O C. 1 D. 1 23.设f1(X)为标准正态分布规律的概率密度函数，f2(X)为（-1,3）上均匀分布的概率密度函数，若f(x)=af1(x),x≤0或bf2（x），x＞0，（a＞0，b＞0）为概率密度函数，则a，b 应满足（）A.2a+3b=4B.3a+2b=4C.a+b=1D.a+b=24.当随机变量X 的分布函数为F(X),在下列概率中可表示为F （a ）-F(a-0）的是 （ ) A.P(x ≤a) B. P(X ＞a ） C. P （x ＝a ） D.P(X ≥a) 三．计算题1.设随机变量X~N （10，20.02），已知∅(2.5)=0.9938,其中∅（x ）为标准正态分布的分布函数，试求P(9.95＜X ＜10.05)的值。
2.设随机变量X 的分布函数为FX=0，X 《0 FX=1-x e X -+)1(，x>0 求X 得密度函数，并计算P （X ≤1）和P(X>2)3设随机变量X~N(1,20.2)求：（1）P(X ＞1);(2)！P(∣X ∣＜1);(3)P(X ＜2) 4.已知随机变量X-N （2,θμ），且关于未知数Y 的一元二次方程X y y ++42=0无实根的概率为1/2，试求μ的值。
5.试确定常数c ，使P(X=i)=i c2（i=0,1,2,3,4）成为某个随机变量X 的分布律，并求P （X ≤2）和P （1/2<x<5/2）四．应用题1.设某运动员投篮命中率是0.8，试求在一次投篮时投中次数的分布规律及分布函数。
2.一袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从袋中同时任取3只，以X 表示取出的三支球的最小号码，试求随机变量X 的分布律。
3.一箱中装有6个产品，其中有2个是二等品，现从中随机的取出3个，试求取出的二等品个数X 的分布律。
4.某人从家到工厂去上班，路上所需时间X （单位，min)的密度函数为FX=32)50(2221--x e π,X>50 FX=0, X ≤0他每天早晨八点上班，七点离家，求此人每天迟到的概率 φ（2,5）=0.99385.在电源电压不超过200伏，在200~240伏和超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2假设电源电压服从正态分布N （220，225）。
试求1 该电子元件损坏的概率 2 该电子元件损坏时，电压在200-240V 的概率。
五，证明题设随机变量X,Y 均服从正态分布X-N(μ，16)，Y-N(μ，25)，记：P1=P(X 《μ-4)，P2=P(Y ≥μ=5)，试证明对任何实数μ，都有P1=P2. 六，综合题1.设随机变量X 在（1,4）上服从均匀分布，现在对X 进行3次独立试验，试求至少有两次观察值大于2的概率。
2.若随机变量X 在区间（1.6）上服从均匀分布，试求方程2t +Xt+1=0有实数根的概率。
3.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X 服从指数分布，其密度函数为FX=551xe -，x>0FX=0,其他某顾客在窗口等待服务，若超过10min 他就离开。
1 设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；2 设某顾客一个月去银行5次，求他五次中至多有一次未等到服务就离开的概率。