数字逻辑逻辑代数基础

? 注意：1.无论自变量或函数均只能取0或1两值。函数和自变 量的关系只能由“与”、“或”、“非”三种基本运算来定 义。
? 2.设F1=f１(A1,A2, …An)，F2=f２(A1,A2, …An)，若对应 于A1,A2, …An的任何一组取值， F1和F2的值都相同，则称 函数F1和F2相等，记成F1=F2。
分配律 互补律
16
因此，根据公理5（互补律）
可得到：
同理，可证明：
A+B=A?B，或是 A+B=A?B 即得证
A?B=A+B
17
定理7（合并律）
A?B+A?B=A
(A+B)?(A+B)=A
证明： A?B+A?B=A?(B+B)
公理3
=A?1
公理5
=A
公理4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(A+B)?(A+B)=A+(B?B)
公理3
定理2：A+A=A，A·A=A
? 证明： A+A=(A+A)·1
?
=(A+A)·(A+A)
?
=A+(A·A)
?
=A+0
?
=A
? 证明： A·A=A·A+0
?
=A·A+A·A
?
=A(A+A)
?
=A
（重叠律）
公理4（0-1律） 公理5（互补律） 公理3（分配律） 公理5 公理4 公理4 公理5 公理3 公理4
★ 逻辑代数中也用字母表示变量 ,这种变量称为逻 辑变量。变量的取值只能是 1或0，代表逻辑电路 中两种不同的逻辑状态，如开关的闭合与打开， 电路的导通与截止，电压与电流的有或无等。
2
1、基本逻辑运算
1）逻辑“与”运算
对于逻辑问题，如果决定某一事件发生的多个 条件必须同时具备，事件才能发生，则这种因果关 系称之为“与”逻辑。逻辑代数中，“与”逻辑关 系用“与”运算描述。
第二章 逻辑代数基础
★ 逻辑代数 是描述 /分析 /设计数字逻辑 电路的数学工具。运用逻辑运算可以 设计最简逻辑电路。
1
2.1 逻辑代数的基本概念
★ 逻辑代数：是由逻辑变量集、常量“ 0”、“ 1” 及“与”、“或”、“非”等运算符号、函数、 表达式等构成的代数系统。利用逻辑代数可以描 述任何复杂的电路中条件与输出结果间的逻辑关 系。
10
2、基本定理 (由上述公理推出下述基本定理)
定理1：0+0=0，1+0=1，0+1=1，1+1=1 0·0=0，1·0=0，0·1=0，1·1=1
证明：由公理4(0-1律)，分别以0和1代替A， 可得上述各式。
推论：1=0，0=1 证明：由公理5(互补律)，分别以0和1代替A，
可得上述两式。
11
=1?(A+B)
(互补律)
=A+B
(0-1律)
A?(A+B)=A?B 证明 : A?(A+B)=A?A+A?B
=0+A?B =A?B
(分配律) (互补律) (0-1律)
14
定理5： ?A=A （还原律） ?证明 : 由公理5可以得出A=A
15
定理6：(摩根定理)(是最重要和有用的定理)
?A+B=A?B
=A+0
公理5
=A
公理4
18
定理8（包含律、多余项定理）：
?A?B+A?C+B?C=A?B+A?C ?(A+B)?(A+C)?(B+C)=(A+B)?(A+C)
19
3、逻辑代数三条重要规则
规则1：代入规则 任何一个含有变量 A的逻辑等式，如果将所有出
现A的位置都代之以同一个逻辑函数 F，则等式仍然 成立。
?例：F=AB+BCD，则
“与”运算又称为逻辑乘，其符号为“·”、 “∧”、“AND”。
逻辑表达式： F=A·B=A∧B=
1 (A、B均为1) 0 (A、B中任一为0)
3
4
2）逻辑“或”运算
对于逻辑问题，如果决定某一事件发生的多个 条件中，只要有一个或一个以上条件成立，事件便 可发生，则这种因果关系称之为“或”逻辑。逻辑 代数中，“或”逻辑关系用“或”运算描述。
运算符号：“ — ”（上面加横线）
逻辑表达式为： F= —A =
1 （A=0） 0 （A=1）
7
4）复合逻辑运算
①与非逻辑 ②或非逻辑 ③与或非逻辑 ④异或逻辑 ⑤同或逻辑
8
3、逻辑函数
? 在数字电路中，如某一输出变量与一组输入变量存在着一定 对应关系，即输入变量取任意一组确定的值，输出变量的值 也就唯一地被确定，则称这种关系为逻辑函数关系。设输入 变量为A1,A2,…An,输出变量为F，则：F=f(A1,A2, …An)。
用途：利用代入规则，可以将逻辑代数公理、 定理中的变量用任意函数代替，从而推导出更多的 等式。
20
规则2：反演规则：
?如果将逻辑函数式 F 中所有的 “ ?”变成 “+”，“+”变成“?”，“0”变成“1”， “1”变成“ 0”，原变量变成反变量，反 变量变成原变量，则所得到的新函数表达 式为原函数F的反函数F。
A?B=A+B
证明 :定义两组逻辑式为 A+B和A?B，则
(A?B)+(A+B)=(A ?B+A)+B
=(A+A?B)+B
=(A+A) ?(A+B)+B
=1?(A+B)+B=(A+B)+B
结合律 交换律 分配律
=A+1=1 (A?B)?(A+B)= A ?B?A+A?B?B
=B?0+A?0 =0+0=0
“或”运算又称为逻辑加，其符号为“ +”、 “∨”、“OR”。
逻辑表达式： F=A+B=A ∨B= 1 (A、B中任一为1)
0 (A、B均为0)
5
举例
DC
DC
6
3）逻辑“非”运算
对逻辑问题，如果某一事件的发生取决于
条件的否定，即事件与事件发生的条件之间构 成矛盾，则这种因果关系称为“非”逻辑。 逻 辑“非”又称为逻辑反运算 .
9
2.2 逻辑代数的公理、定理及规则
1.公理系统： (满足一致性、独立性和完备性 ) 交换律：A+B=B+A ，A?B=B?A； 结合律：(A+B)+C=A+(B+C); (A?B)?C=A?(B?C) 分配律：A+(B?C)=(A+B)?(A+C) A?(B+C)=A?B+A?C 0-1律：A+0=A，A?1=A； A+1=1，A?0=0 互补律： A+A=1 ，A?A=0
12
定理3： A+A?B=A （吸收律）
证明：A+A?B=A?1+A?B
公理4（0-1律）
=A?(1+B)
公理3 （分配律）
=A?1
公理4
=A
公理4
A?(A+B)=A
证明：A?(A+B)=A?A+A?B =A+A?B =A
公理3
13
定理4： A+A?B=A+B （消因律）
证明：A+A?B=(A+A)?(A+B) (分配律)