高中数学绝对值不等式

|a-b|, |a|+|b|, |a|-|b| 吗? 它们的大小有什么几何意义?
|a|-|b|<|a+b|<|a|+|b|,
a ,
b 同向时:
|a|-|b|<|a-b|<|a|+|b|. 问: |a+b| 与 |a|+|b| 在什
|a| a
|b| b
么情况下相等? 同向时 (ab≥0),
a ,
|a+b| b 异向时:
)
=
(-
x)+
(-
1 x
)
2
(-
x)(-
1 x
)
=
2.
由①②得
|
x
+
1 x
|
2.
3. 求证: (1) |x-a|+|x-b|≥|a-b|; (2) |x-a|-|x-b|≤|a-b|.
证明: (1) ∵|x-a|+|x-b| = |a-x|+|x-b| ≥|(a-x)+(x-b)|
= |a-b|, ∴|x-a|+|x-b|≥|a-b|. (2) ∵|a-b|+|x-b| = |b-a|+|x-b|
bx
|a+b| > |a|-|b|, (ab<0, 且 |a|>|b|
时取等号)
|a+b| |a-b|
|a-b|≤= |a|+|b|, (ab≤0 取等号) |-b| |b| |a-b|
|a-b| > |a|-|b|, (ab>0, 且 |a|>|b|
(ab>0) 时, 时取等号)
-b
0
B b
A ax
一 不等式 二 绝对值不等式
绝对值不等式
第一课时 第二课时
1. 两个数的和或差的绝对值, 与两个 数的绝对值的和或差的大小关系如何?
2. 两个数的和或差的大小关系的几何 表示是怎的?
1. 绝对值三角不等式
问题1. 将实数 a, b 用数轴上的点表示, 你能说
出 |a|, |b|, |a+b|, |a-b|, |a|+|b|, |a|-|b| 的几何意义吗?
|a+b|
当 ab≥0 时, ab=|ab|,
当 ab<0 时, ab= -|ab|,
① = |a|2 +2|ab|+|b|2
① = |a|2 -2|ab|+|b|2
= (|a|+|b|)2
|a|2 +2|ab|+|b|2
= |a|+|b|;
= (|a|+|b|)2 = |a|+|b|.
问题 3. 已知 a, b, c 是实数, 你能根据定理 1, 证明 |a-c|≤|a-b|+|b-c| 吗?
∴|(A+B)-(a+b)|<e.
e
2
+
e
2
=e,
(2) ∵|(A-B)-(a-b)| = |(A-a)+(b-B)|
≤|A-a|+|b-B|
=
|A-a|+|B-b|
e
2
+
e2=e,
∴|(A-B)-(a-b)|<e.
5. 求函数 y=|x-4|+|x-6| 的最小值.
解: y=|x-4|+|x-6| =|x-4|+|6-x| ≥|(x-4)+(6-x)| =2,
x
由公段函数画=出2(|Sx0(-x01)0的|+图|20象-x可0|)看出最小值.
【课时小结】
1. 绝对值三角不等式
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
两边之差 小于第三 边.
两边之和 大于第三 边.
(定理1)
|a-b|
a
与
b
共线时等号成立.
【课时小结】
1. 绝对值三角不等式
|a-c|≤|a-b|+|b-c| (定理2)
一般地, 如果 a>0, 那么从绝对值的几何意义看, |x|<a 表示数轴上到原点的距离小于 a 的点的集合, |x|>a 表示到原点的距离大于 a 的点的集合, 因而
|x|<a -a<x<a; |x|>a x<-a 或 x>a. 因此, 不等式 |x|<a 的解集是 (-a, a); 不等式 |x|>a 的解集是 (-∞, -a)∪(a, +∞).
|
=
2,
|
x
+
1 x
|
2.
2. 用两种或两种以上方法证明
证明: 法二,
|
x
+
1 x
|
2
(
x
0).
|
x
+
1 x
|
=
(
x
+
1 x
)2
=
x2
+
1 x2
+
2
2
x2
1 x2
+
2
= 2+2
= 2,
|
x
+
1 x
|
2.
2. 用两种或两种以上方法证明
证明: 法三,
|
x
+
1 x
|
2
(
x
0).
|
x
+
1 x
|
=
|
x
2+ x
=2(|x0-10|+|20-x0|)
例2. 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地
点施工, 这两个地点分别位于公路路碑的第 10 km 和
第 20 km 处, 现要在公路沿线建两个施工队的共同临
时生活区, 每个施工队每天在生活区和施工地点之间
往返一次, 要使两个施工队每天往返的路y程之和最小,
生活区应该建于何处?
|a|-|b|<|a+b|<|a|+|b|, |a|-|b|<|a-b|<|a|+|b|. 问: |a+b| 与 |a|+|b| 在什 么情况下相等?
a
a+b
b
a b
a
-
b
|a-b|
1. 绝对值三角不等式
问题2. 绝对值有距离的几何意义, 向量的模也是
距离, 由此联想, 你能用向量来表示 |a|, |b|, |a+b|,
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
|a+b| |a|
1. 绝对值三角不等式
问题2. 绝对值有距离的几何意义, 向量的模也是
距离, 由此联想, 你能用向量来表示 |a|, |b|, |a+b|,
形|a-法b已|则三, 知|作角a|+向向形|b量量两|, 边|aaa,|+-之b|bb,和,| 吗用a大 -?三于b它角.第们三的大小有a什a么+ b几何b 意义?
≥|(b-a)+(x-b)| = |x-a|, ∴|x-a|-|x-b|≤|a-b|.
4.
已知
|
A-
a
|
e
2
,
|
B
-
b|
e
2
,
求证:
(1) |(A+B)-(a+b)|<e;
(2) |(A-B)-(a-b)|<e;
证明: (1) ∵|(A+B)-(a+b)| = |(A-a)+(B-b)|
≤|A-a|+|B-b|
1
|
=
|
x2 +1| |x|
=
|
x|2 +1 |x|
2||
x x
| |
= 2,
|
x
+
1 x
|
2.
2. 用两种或两种以上方法证明
证明: 法四,
|
x
+
1 x
|
2
(
x
0).
① 当 x>0 时,
1 x
0.
|
x
+
1 x
|
=
x
+
1 x
2
x
1 x
=
2;
② 当 x<0 时,
1 x
0.
|
x
+
1 x
|
=
-(
x
+
1 x
-3 0
3
x
满足条件的 x 在 -3 与 3 之间, 即 x(-3, 3).
|x|>3 表示数轴上到原点的距离大于 3 的那些 x.
-3 0
3
xwk.baidu.com
满足条件的 x 在 -3 的左边和 3 的右边,
即 x(-∞, -3)∪(3, +∞).
问: 由此你能归纳出不等式 |x|<a (a>0), |x|>a
(a>0) 的解集吗?
你能说出它们的大小关系吗?
|a| |b|
|a|, |b| 分别表示 A, B 两点到原点的距离.
|a-b| 表示 A, B 两点
A -b a 0
B bx
间的距离.
|a+b| |a-b|
|a+b|=|a-(-b)|, 表示 数 a 点到数 -b 点这两点 间的距离.
|a|+|b| 表示两距离之
|a|-|b| 表示两距离之 差.
∴|a+b|+|a-b|≥2|a|.
(2) ∵|2b|+|a-b|≥|2b+(a-b)| = |a+b|,
∴|a+b|-|a-b|≤|2b| =2|b|.
1. 求证: (1) |a+b|+|a-b|≥2|a|; (2) |a+b|-|a-b|≤2|b|.
证明: (1) ∵|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)| = |2a| = 2|a|,
要点:距离解释绝对值.
和.
1. 绝对值三角不等式
问题1. 将实数 a, b 用数轴上的点表示, 你能说
出 |a|, |b|, |a+b|, |a-b|, |a|+|b|, |a|-|b| 的几何意义吗?
你能说出它们的大小关系吗?
|a| |b|
大小关系: (ab<0 时)
A
B
|a+b| < |a|+|b|, (ab≥0 取等号) -b a 0
≤|2x-2a|+|3y-3b| =2|x-a|+3|y-b|
<2e +3e =5e. ∴|2x+3y-2a-3b|<5e.
例2. 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地
点施工, 这两个地点分别位于公路路碑的第 10 km 和
第 20 km 处, 现要在公路沿线建两个施工队的共同临
时生活区, 每个施工队每天在生活区和施工地点之间
往返一次, 要使两个施工队每天往返的路程之和最小,
生活区应该建于何处? 解: 以公路为数轴,
路碑
生活区
A
B
路碑为原点, 则两施工 地坐标分别为10, 20.
0
10 x0 20 x
设生活区的坐标为 x0 , 两施工队每天往返路程 之和为 S(x0), 则
S(x0)=2(|x0-10|+|x0-20|)
|a-c|≤|a-b|+|b-c|
(a-b)(b-c)≥0 时, 等号成立.
第 1、2、3、4、5 题.
1. 求证: (1) |a+b|+|a-b|≥2|a|; (2) |a+b|-|a-b|≤2|b|.
证明: (1) ∵|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)| = |2a| = 2|a|,
当且仅当 (x-4)(6-x)≥0 时, 等号成立. 即 4≤x≤6 时, 函数取得最小值 2.
绝对值不等式
第一课时 第二课时
1. a>0 时, |x|<a, |x|>a 的几何意义是 什么?
2. 怎样解绝对值不等式?
2. 绝对值不等式的解法 问题4. |x|<3 的几何意义是什么? 你能写出 x 的 范围吗? |x|>3 呢? |x|<3 表示数轴上到原点的距离小于 3 的那些 x.
证明: |a-c| = |a-b+b-c| = |(a-b)+(b-c)| ≤|a-b|+|b-c|,
当且仅当 (a-b)(b-c)≥0 时, 等号成立.
定理 2
如果 a, b, c 是实数, 那么 |a-c|≤|a-b|+|b-c|,
当且仅当 (a-b)(b-c)≥0 时, 等号成立.
几何意义如图:
|a+b|=|a|+|b|.
|a| a
b
|a+b| |b|
1. 绝对值三角不等式 定理 1 如果 a, b 是实数, 则
a
a
+
b
b
|a+b|≤|a|+|b|, 当且仅当 ab≥0 时, 等号成立.
证明: |a + b| = (a + b)2
|a|
|b|
ab
= a2 + 2ab+ b2 , ①
O
a
b c
a
-
c
A
a
-
b
B
b-c
|AC|≤|AB|+|BC| C
【课时小结】
2. 等号成立的条件 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| |a|>|b|, 且 ab≤0 时左边取等号. ab≥0 时右边取等号. |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b| |a|>|b|, 且 ab≥0 时左边取等号. ab≤0 时右边取等号.
|x|<a
-a<x<a
-a 0 a x
|x|>a
x<-a
-a 0
或 x>a
a
x
问题5. 根据问题 4 的讨论, 设 a>0, 对于不等式 |f(x)|<a, |f(x)|>a 怎样解?
∴|a+b|+|a-b|≥2|a|.
(2) 或 ∵|a+b|-|a-b|≤|(a+b)-(a-b)| = |2b| = 2|b|,
∴|a+b|-|a-b|≤2|b|.
2. 用两种或两种以上方法证明
证明: 法一,
|
x
+
1 x
|
2
(
x
0).
x
1 x
=1
0,
|
x
+
1 x
|
=
|
x
|+
|
1 x
|
2
|
x||
1 x
边, 两边之差小于第三边.
一个绝对值表示一边长,
即 |a|, |b|, |a+b|, |a-b| 分别表 示一条边长.
|a|+|b| 为两边之和, |a|-|b|
a b
a
-
b
|a-b|
为两边之差. (请写出结论)
1. 绝对值三角不等式 问题2. 绝对值有距离的几何意义, 向量的模也是 距离, 由此联想, 你能用向量来表示 |a|, |b|, |a+b|, |a-b|, |a|+|b|, |a|-|b| 吗? 它们的大小有什么几何意义?
解: 以公路为数轴,
路碑
6A0 生活区 B
40
之路 地和碑 坐为设为标∴生原分当生解S(活点 别x且活得0)区为,仅区,10的则1当可则≤0S坐x两,建((0xx≤标2施0在0≥2-0)=02为=.工1两2.|20(0x()施x,|(0x02-0工0,1--01队x两)0+0|)A+(施≥2|与x00工00-时-Bx队2之0,0)|每|间)等天12的式O00往任成1x返0一0立20路地,320程方0 .x
AC
ac
AB
ab
B
bx
C
cx
O
a
b c
a
-
c
A
a
-
b
B
b-c
B 不在 AC 之间时, AC<AB+BC. C
B 在 AC 之间时, AC=AB+BC.
例 1. 已知 e >0, |x-a|<e, |y-b|<e, 求证: |2x+3y-2a-3b|<5e.
证明: ∵|2x+3y-2a-3b| = |2x-2a+3y-3b|