地震作用计算(扭转耦联振型分解反应谱法)
计算地震作用的方法
计算地震作用的方法地震作用计算可是个很重要又有点复杂的事儿呢。
一、底部剪力法。
这是一种比较简单的方法哦。
它主要适用于高度不超过40m、以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构。
就像是那种规规矩矩的小房子，不太复杂的建筑结构就可以用这个方法来计算地震作用。
它的基本思路呢，就是先算出一个总的底部剪力，这个剪力就像是整个建筑在地震时受到的一个总的“拉拽力”。
然后再根据一定的规则把这个总的力分配到各个楼层上去。
就好比是有一大袋糖果（底部剪力），要按照一定的方法分给每个小朋友（楼层）。
二、振型分解反应谱法。
这个方法就相对复杂一些啦。
它适用于比较高的建筑或者结构不规则的建筑。
它的理念是把结构在地震下的振动分解成好多不同的振型，每个振型都有自己的频率、周期和振型参与系数。
这就像是把一个复杂的舞蹈动作（建筑在地震中的振动）分解成一个个单独的舞步（振型）。
然后呢，根据反应谱曲线，算出每个振型对应的地震作用，最后再把这些不同振型的地震作用组合起来，得到结构总的地震作用。
这就像是把每个舞步的力量（每个振型的地震作用）合起来，才是这个舞蹈完整的力量（结构总的地震作用）。
三、时程分析法。
这个方法可就更酷啦。
它是直接输入地震波，就像真的让建筑去经历一场地震一样。
然后通过数值计算，一步一步地算出结构在地震过程中的反应。
不过呢，这个方法计算量超级大，就像要做一个超级复杂的大工程。
它一般用于特别重要的建筑或者是超高层、大跨度等复杂结构。
因为这些建筑结构太特殊啦，用前面两种方法可能不够准确，就像对待超级宝贝一样，得用最精细的方法来计算地震作用。
不管是哪种方法，都是为了让我们的建筑在地震的时候能够尽可能地安全。
建筑工程师们就像建筑的守护者，通过这些方法算出地震作用，然后设计出安全可靠的建筑结构，让大家在房子里住着安心、放心。
这也是对每一个生命的尊重和保护呢。
关于振型分解反应谱法求地震作用的几个基本问题的探讨
关于振型分解反应谱法求地震作用的几个基本问题的探讨作者：任泽军来源：《建筑建材装饰》2015年第14期摘要：结构专业设计人员每天的设计工作都离不开“抗震设计”。
目前一般结构的抗震设计主要采用的方法是振型分解反应谱法。
本文主要讨论振型反应谱法的有关重要概念。
关键词：振型反应谱法；抗震；定量前言计算结构地震作用效应时应根据一定的设计原则和假定条件对结构简化计算。
振型分解反应谱法是用来计算多自由度体系地震作用的一种方法。
该法是利用单自由度体系的加速度设计反应谱和振型分解的原理，求解各阶振型对应的等效地震作用，然后按照一定的组合原则对各阶振型的地震作用效应进行组合，从而得到多自由度体系的地震作用效应。
1反应谱理论目前PKPM等程序在分析结构在多遇地震作用下的抗震验算时，基本上全部采用的是振型分解反应谱法。
这里涉及两个问题：反应谱法和振型分解。
所谓反应谱法是指单自由度弹性体系的最大地震反应与体系自振周期的关系曲线。
需注意的两个前提条件：（1）必须是单自由度体系，反映到工程实际当中就是必须是单层建筑或者能凝聚成单自由体系的其它建筑物；（2）必须是弹性体系，这一点适用于多遇地震而不是设防地震或罕遇地震，因为在后两者水准的地震作用下结构已进入弹塑性状态而非弹性状态。
反应谱法中的反应量可以是位移反应谱、速度反应谱和位移反应谱，由于结构所受的地震作用与质点运动的加速度最直接相关，因此常采用加速度反应谱计算结构的地震作用，下面的讨论也是针对加速度反应谱展开。
在抗震设计中，并没必要求出结构在每一时刻所受的地震作用，而只需求出在整个震动过程中水平作用的最大绝对值。
根据数学模型分析，单自由度弹性体系最大地震作用可用下式来表示：（式1）-水平地震作用标准值-地震系数-动力系数-质点加速度最大值-建筑的重力荷载代表值由上式可见，求作用在质点上的水平地震作用，关键在于求出地震系数和动力系数。
地震系数是地震动峰值加速度与重力加速度的比值，即-地震动峰值加速度地面峰值加速度越大，则地震的影响就越强烈，这时地震系数也就越大。
弹性地震作用下计算多层建筑扭转耦联振动的一种方法_何广乾
夕
其有 效地 震 作 用 的 基 本 形 式 与 前 面 的 类 似
N
相 应于第 夕振
下,
万B一 万 一 毋了
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1
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、
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3
.
14
)
从 ( 与
3
.
4 ) 式 可以看 出 1 月有 关
为 仅与 乡
*
方 向的振 型分 量有关
阶 多 层 建 筑 结 构 j 振 型 的 最 大 相 对 位 移 最 大 弹 性 地震 作 用 的 公 式 与 N 个 自 由 度 集 中
,
质 量 体 系 j 振 型 的 最 大相 对 位 移
型 的 最 大 位 移为
最 大 弹性地 震 作 用 的 公 式 ( U
1
,
3N
其 有效 地 震 作 用 万 B
,
振 型 分解 后 的 右 端项 为 必
,
,
万B
,
相应 第 j 振 型 参 与 系 数 可表 示 为
`
万B 一 一必 罗
。
, 艺丸 (
葱) m
( 3 7 )
,
.
从 (
振 型的
3N
x
.
3
7 )
式可 以 看 出
,
对 于 多层建 筑 结 构
,
,
当 仅 考 虑 X 方 向 地 面运 动时
地震作用计算
1．0．5 一般情况下，建筑的抗震设
防烈度应采用根据中国地震动参数区 划图确定的地震基本烈度(本规范设计 基本地震加速度值所对应的烈度值)。
设防烈度的确定——抗规附录A
（3）确定抗震设防烈度的目的
确定设计基本地震加速度和设计特征周期
或设计地震动参数
3．2．2 抗震设防烈度和设计基本地震加速度取值的对应关系， 应符合表3．2．2的规定。设计基本地震加速度为0.15g和0.30g 地区内的建筑，除本规范另有规定外，应分别按抗震设防烈度7 度和8度的要求进行抗震设计。
1.抗震设防的三水准目标——抗规GB50011-2010
1．0．1 按本规范进行抗震设计的建筑，其基本 的抗震设防目标是：当遭受低于本地区抗震设防 烈度的多遇地震影响时，主体结构不受损坏或不 需修理可继续使用；当遭受相当于本地区抗震设 防烈度的设防地震影响时，可能发生损坏，但经 一般性修理仍可继续使用；当遭受高于本地区抗 震设防烈度的罕遇地震影响时，不致倒塌或发生 危及生命的严重破坏。使用功能或其他方面有专 门要求的建筑，当采用抗震性能化设计时，具有 更具体或更高的抗震设防目标。
限批准作为一个地区抗震设防依据的地震 烈度。一般情况，取50年内超越概率10％ 的地震烈度。 抗震设防标准 ——衡量抗震设 防要求高低的尺度，由抗震设防烈度或设 计地震动参数及建筑抗震设防类别确定。
（2）设防依据——抗规
1．0．4 抗震设防烈度必须按国家规
定的权限审批、颁发的文件(图件)确 定。
3．3．2 建筑场地为Ⅰ类时，对甲、乙类的建筑应允许仍
3．3．3 建筑场地为Ⅲ、Ⅳ类时，对设计基本地震加速度
C.建筑物使用功能的设防标准 ——自身 条件问题。
3．1．1 抗震设防的所有建筑应按现行国家
振型分解反应谱法
振型分解反应谱法振型分解反应谱法就是用来计算多自由度体系地震作用得一种方法、该法就是利用单自由度体系得加速度设计反应谱与振型分解得原理,求解各阶振型对应得等效地震作用,然后按照一定得组合原则对各阶振型得地震作用效应进行组合,从而得到多自由度体系得地震作用效应。
振型分解反应谱法一般可考虑为计算两种类型得地震作用:不考虑扭转影响得水平地震作用与考虑平扭藕联效应得地震作用。
适用条件(1)高度不超过４0米,以剪切变形为主且质量与刚度沿高度分布比较均匀得结构,以及近似于单质点体系得结构,可采用底部剪力法计算、(此为底部剪力法得适用范围)(2) 除上述结构以外得建筑结构,宜采用“振型分解反应谱法”。
(3) 特别不规则得建筑、甲类建筑与规范规定得高层建筑,应采用时程分析法进行补充计算。
刚重比刚重比就是指结构得侧向刚度与重力荷载设计值之比,就是影响重力二阶效应得主要参数刚重比=Di*Hｉ/GiDi—第i楼层得弹性等效刚度,可取该层剪力与层间位移得比值Hi－第i楼层层高Ｇi-第i楼层重力荷载设计值刚重比与结构得侧移刚度成正比关系;周期比得调整将导致结构侧移刚度得变化,从而影响到刚重比。
因此调整周期比时应注意,当某主轴方向得刚重比小于或接近规范限值时,应采用加强刚度得方法;当某主轴方向刚重比大于规范限值较多时,可采用削弱刚度得方法、同样,对刚重比得调整也可能影响周期比。
特别就是当结构得周期比接近规范限值时,应采用加强结构外围刚度得方法规范上限主要用于确定重力荷载在水平作用位移效应引起得二阶效应就是否可以忽略不计。
见高规5.４。
1与5、4.２及相应得条文说明。
刚重比不满足规范上限要求,说明重力二阶效应得影响较大,应该予以考虑。
规范下限主要就是控制重力荷载在水平作用位移效应引起得二阶效应不致过大,避免结构得失稳倒塌。
见高规５、4.4及相应得条文说明。
刚重比不满足规范下限要求,说明结构得刚度相对于重力荷载过小。
但刚重比过分大,则说明结构得经济技术指标较差,宜适当减少墙、柱等竖向构件得截面面积。
抗震验算
河南理工大学土木工程学院
2020/4/19
3.8 竖向地震作用的计算
目前，国外抗震设计规定中要求考虑竖向地震作用的结构 或构件有：
1. 8度和9度的长悬臂结构； 2.8度和9度的大跨度结构； 3.9度高层建筑；
烟 筒 有 专 门 的 规 范
n
VEKi G j j 1
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3.8 竖向地震作用的计算
地震作用一般简化为三个方向：两个水平方向和竖向。
竖向 地震 作用 下的 破坏
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3.8 竖向地震作用的计算
震害调查表明
在烈度较高的震中区，竖向地震对结构的破坏也会有较大影响。 烟囱等高耸结构和高层建筑的上部在竖向地震的作用下，因上下 振动，而会出现受拉破坏
按右表采用（单位：s）；
烈度
场地类别
Ⅲ
Ⅳ
8 0.08 0.20
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9 0.10
0.25
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3.7 地基与结构的相互作用
2.高宽比不小于3的结构,底部的地震剪力按1款规定折减, 顶部不折减,中间各层按线性插入值折减. 3.折减后各楼层的水平地震剪力应符合第5.2.5条的规定。
F EVk
按各构件承受的重力 荷载代表值的比例分 配，并宜乘以1.5的增
大系数
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3.8 竖向地震作用的计算
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3.8 竖向地震作用的计算
条件：今有一办公大楼，地上10层，高40m，钢筋混凝土框架 结构位于9度抗震设防区，设计基本地震加速度值为0.40g，设 计地震分组为第一组，建筑场地属II类。剖面见图所示。该楼 屋顶为上人屋面。已知每层楼面的永久荷载标准值共13000kN， 每层楼面的活荷载标准值共2100kN；屋面的永久荷载标准值共 14050kN，屋面的活荷载标准值共2100kN。经动力分析，考虑 了填充墙的刚度后的结构基本自振周期T1=1.0s。该楼的结构 布置，侧向刚度及质量等均对称，规则，均匀，属规则结构， 要求： 求该楼底层中柱A的竖向地震轴向力标准值。
扭转耦联振型与地震力计算的最经典解释。(精)
考虑扭转耦联振型的情况首先，计算结构的耦联振型时，与后面要计算哪个方向的地震作用，是两个完全独立的过程，即便后面仅仅选择计算一个方向的地震作用，比如X方向，这时统计各层地震作用标准值时依然要采用考虑每层三个自由度的耦联振型，因为结构的耦联振型是结构的固有特性，不会因为要计算哪个方向的地震作用而发生改变。
振型分解反应谱法的实质就是得到固有特性（振型），再利用求解得到的振型去统计地震作用，就是地震荷载当量，有了地震荷载当量，计算地震内力是一个静力求解过程，所以用振型分解反应谱法算地震内力，结构从来没真正的“振动”起来。
真正振动起来的情况是动力时程分析。
结构的每阶振型都会对在各个自由度的各个方向上形成一个地震荷载当量，对结构施加该振型的所有地震荷载当量进行一个静力分析，就可以得到该振型造成的地震效应值（例如截面弯矩、剪力等）。
依次类推，每阶振型都能得到其对应的效应值。
而实际的地震效应值肯定要综合考虑各阶振型的耦合，这就有了高规中的3.3.11-5式，把各阶振型的地震效应值通过这种特定的方式累加起来，当然累加计算的方式主要涉及到各阶振型的周期和振型阻尼。
从这个角度来说，通过振型分反应谱法计算地震内力，有两次涉及到“耦合”，第一次是计算振型的时候，考虑了各楼层的转角自由度，是一个考虑平动和扭转变形耦合的振型求解过程，第二次“耦合”就是确定了各阶振型的地震内力后，通过3.3.11-5式耦合得到实际的地震内力（地震效应值）。
综上所述，振型分解反应谱的特点就是求振型和求地震内力是两个几乎不关联的过程，方法是固定的，satwe也不例外，所以设置satwe参数时就知道了地震作用计算方法里面的“总刚”和“侧刚”的真实含义，就是用来做振型分解和统计地震当量荷载的，选择总刚算法，结构模型中的每个节点的每个自由度都会给统计一个当量荷载，选择侧刚算法，按照每个楼层三个自由度考虑。
地震当量荷载确定之后，就是静力求解了，静力求解同样会涉及到结构的刚度矩阵，如果前面计算地震作用采用的是“总刚”算法，其实结构的刚度矩阵已经有了，甚至是完成矩阵分块的一个总刚，这样静力求解可以直接用它，加上位移边界，就可以求解节点位移，进而计算梁、柱、墙、弹性板内力。
土木工程抗震第3章教案工程结构地震反应分析与抗震验算
第3章 工程结构地震反应分析与抗震验算1、地震作用的计算方法：底部剪力法（不超过40m 的规则结构）、振型分解反应谱法、时程分析法（特别不规则、甲类和超过规定范围的高层建筑）、静力弹塑性方法。
一般的规则结构：两个主轴的振型分解反应谱法；质量和刚度分布明显不对称结构：考虑扭转或双向地震作用的振型分解反应谱法；8、9度时的大跨、长悬臂结构和9度的高层建筑：考虑竖向地震作用。
2、结构抗震理论的发展：静力法、定函数理论、反应谱法、时程分析法、非线性静力分析方法。
3、单自由度体系的运动方程：g xm kx x c x m -=++或m t F x x x e /)(22=++ωξω 。
杜哈美积分x(t)= ⎰----tt t e xd )(g dd )(sin )(1ττωτωτξω , ωξωm cm k 2,2== 单自由度体系自由振动：)sin cos ()(d d000t x xt x e t x d t ωωξωωξω++=- 。
4、最大反应之间的关系：d v a S S S 2ωω==5、地震反应谱：单自由度体系在给定的地震作用下某个最大反应与体系自振周期的关系曲线。
特点：⑴阻尼比对反应谱影响很大；⑵对于加速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值随周期急剧增大，大于某个值时，快速下降；⑶对于速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值随周期增大，随后趋于常数；⑷对于位移反应谱，幅值随周期增大。
地震反应谱是现阶段计算地震作用的基础，通过它把随时程变化的地震作用转化为最大等效侧向力。
6、单自由度体系的水平地震作用：F G k G gt x t xS mgg g a αβ===maxmax)()(β为动力系数，k 为地震系数，α=k β为水平地震影响系数。
7、抗震设计反应谱αmax 地震影响系数最大值，查表；T 为结构周期；T g 为特征周期，查表；例：单层单跨框架。
屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。
地震作用计算
地震作用计算一、确定计算前提：烈度：甲类建筑按安评报告且应高于本地设防烈度，乙、丙类按本地设防烈度。
（高层适用）方向：两个主轴方向+斜交抗侧力构件方向（斜交角度大于15度）双向地震：质量刚度明显不对称（1）从平面形状上判别：平面为L 形，T形等属于平面不规则的结构为明显不对称的结构，位移比无论为何值，均应考虑双向地震作用（2）位移比大于1.2（或1.3，尚无定论）的结构属平面不规则中的扭转不规则，无论平面形状对称与否，均应考虑双向地震作用。
（3）从竖向形状上判别：大地盘结构为明显的质量及刚度竖向不对称应考虑双向地震作用（4）竖向质量和刚度明显不对称的结构，如上下刚度差别较大，或上下的质量差别较大的结构应考虑双向地震作用。
竖向地震：7度半（高层）、8度、9度的大跨度和长悬臂结构，9度时的高层考虑。
8、9度时的隔震结构偶然偏心：(高层、单向地震考虑，多层不考虑，双向地震不考虑)二、选择计算方法：底部剪力法、振型分解反应谱发、时程分析法。
三、计算重力荷载代表值：采用半层集中法，屋面活荷载和软钩吊车荷载不计入，书库、档案馆等活载组合系数取0.8楼顶计算: 楼板+下半层墙体重力+活荷载×0+雪荷载×0.5+积灰荷载×0.5每层计算:楼板+上下半墙重量+等效均布活载×0.5（书库、档案活载×0.8）+实际情况的楼活载×1.0四、计算水平地震作用效应：地震效应Fi计算楼层剪力计算考虑扭转耦联作用边榀构件地震效应放大（采用扭转耦联振型分解法的除外）考虑地基与结构相互作用地震效应折减薄弱层放大系数1.25剪重比调整0.2V0调整（框剪）筒体结构调整。
框支柱调整（部分框支剪力墙）地震作用标准值五、计算竖向地震作用效应：（1）9度高层：Geq=0.75Ge (水平地震计算时，Geq=0.85Ge)ɑvmax=0.65ɑmax地震效应按各构件所承受的重力荷载代表值分配，并宜乘以1.5的放大系数。
结构抗震计算三种方法
结构抗震计算三种方法
1、底部剪力法
把地震作用当做等效静力荷载，计算结构最大地震反应→拟静力法。
特点：1、结构计算量最小。
2、忽略了高振型的影响，且对第一振型也作了简化，因此计算精度稍差。
2、振型分解反应谱法
利用振型分解原理和反应谱理论进行结构最大地震反应分析，拟动力方法。
特点：1、计算量稍大
2、计算精度较高，计算误差主要来自振型组合时关于地震动随机特性的假定
3、时程分析法
选用一定的地震波，直接输入到所设计的结构，然后对结构的运动平衡微分方程进行数值积分，求得结构在整个地震时程范围内的地震反应。
特点：计算量大，而计算精度高。
第 1 页共1 页。
第三章3多自由度体系的最大地震反应的振型分解反应谱法-文档资料
16
• 由于广义坐标表示的微分方程（12）在形式上与单自 由度振动微分方程相同，其解可仿照得到：
q
j
(t
)
j
j
t o
xg
(
)e
j
j
(t
)
sin
j
(t
)d
(3 91)
令：
j
(t
)
1
j
t o
xg
(
)e
j
j
(t
)
sin
j
(t
)d
则 q j (t) j j (t) j 1,2,, n
12
22
j2
n
2
为振型矩阵。
1n
2n
jn
nn
4
这样，体系任意时刻质点的位移如图。
xi (t)
mn
mi m1
n
xi (t) ji q j (t) j 1
i 1, 2, , n
(3 80)
5
3. 广义坐标表示的速度和加速度
x q
(3 81)
将式（3 81）对时间求一阶导数得速度：
qj
2 j jq j
2 j
q
j
j xg
j 1,2,, n
(3 -89)
15
原来n个自由度体系由度体系的运动微分方程
式中
称为第
j
j
振型阻尼比。
• 根据实测表明，结构各振型的阻尼比数量级相同，从 数值上看，高振型时略大些。但为简单起见，抗震分 析中通常只用一个阻尼比，即假定： j= 。
j
(t
)
1
多自由度体系的水平地震作用(精)
因此，多质点体系的等效总重力荷载即为：
Geq 0.85 Gi
i 1
n
2. 质点的地震作用
在求得结构的总水平地震作用后，将其分配到各个质 点，可以得到各质点的地震作用。 由于质量和刚度沿高度分布比较均匀，高度不高，以 剪切变形为主的多自由度结构，其地震反应以基本振 型为主，而结构的基本振型接近于倒三角形。 故假定水平地震作用按倒三角形分布。
1．结构底部剪力
多质点体系在水平地震作用任一时刻的底部剪力为
F (t ) mi [ x0 (t ) xi (t )]
i 1
n
在设计时取其时程曲线的峰值，即：
FE { mi [ x0 (t ) xi (t )]}max
i 1
n
为简化计算，根据底部剪力相等的原则，将多自由度体系 用一个与其基本周期相等的单质点体系来代替。 同时根据反应谱方法，底部剪力就可以简单地用单自由度 体系的公式计算：
多自由度体系的水平地震作用
求解结构地震作用的方法有两大类：一类是拟静力 方法；另一类为直接动力方法。 多自由度体系的水平地震作用可采用第一类方法，也 就是振型分解反应谱方法，在一定条件下还可采用更为 简单的底部剪力法。
一、振型分解反应谱法
多自由度弹性体系在地震时质点所受到的地 震作用为惯性力，当不考虑扭转耦联时，质点 i上的地震作用为
1．各振型的最大地震作用
由上式可知，作用在第j振型第i质点上的水平地震作用绝对最大标 准值为:
Fji (t ) mi j X ji [ x0 (t ) j (t )]max
j
[ x0 (t ) j (t )]max g
令
Gi mi g
则作用在第j振型第i质点上的水平地震作用绝对最大标准值可表示 为: （i=1, 2, … , m；j=1, 2, … , n） Fji (t ) j j X jiGi
扭转耦联(振型分解反应谱法)
扭转耦联
1、扭转分为单向地震的扭转，双向地震的扭转，结构自身振型的扭转；耦联，是结构自身振型之间的相互影响，称为耦联。
2、单向地震的扭转，按4.3.3 条，考虑偶然偏心。
就是考虑单向地震的扭转。
3、双向地震的扭转，按4.3.10 条3 款，式4.3.10-7、8 计算地震作用，就是考虑双向地震的扭转。
4、结构自身振型的扭转。
按 4.3.9 条 1 款计算地震作用，一个振型下各楼层仅取一个与地震作用同方向的水平位移Xji，进行单向地震作用计算，一个方向的地震作用只能计算得到该方向对应的地震作用标准值，不会产生与该方向垂直方向的地震作用标准值，就是不考虑振型的扭转。
按 4.3.10 条 1 款计算地震作用，一个振型各楼层取两个正交的水平位移Xji和Yji，和一个转角位移φji，共三个位移，在一个方向的地震作用下，一个振型地震作用可以算出三个方向的水平地震作用标准值，Xji对应Fxji，Yji对应Fyji，φji对应Ftji，Fxji、Fyji为水平力，Ftji为扭矩，Ftji 不会增加楼层地震剪力，但会增大每个构件的地震剪力，该剪力与水平力分配到构件上的剪力叠加得到构件一个振型下的地震剪力，就是考虑振型的扭转。
5、按4.3.9 条2 款进行振型地震力的组合，叫SRSS 组合，不考虑振型之间的耦联。
6、按4.3.10 条2 款进行振型地震力的组合，叫CQC 组合，就是考虑振型之间的耦联。
简述确定结构地震作用的振型分解反应谱法的基本原理
简述确定结构地震作用的振型分解反应谱法的基本原理结构地震作用是指当地震发生时，土地和建筑结构受到强烈震动的现象。
这种地震作用对建筑物的安全性、抗震等级和寿命有着重要的影响。
为了研究建筑结构的抗震性能，需要掌握结构地震作用的特点和规律。
振型分解反应谱法是一种最常用的结构地震反应计算方法之一，本文将对其基本原理进行简述。
振型分解反应谱法是一种建筑结构的动力分析方法，其原理是将结构的振动分解为一系列单自由度振动系统的组合。
这些单自由度结构可以看作是理想的固定质量、无阻尼、线性弹性振动系统，其特定振动模式称为振型。
建筑结构的复杂振动模式可以通过这些简单的振型组合表示出来，从而计算建筑结构的反应谱。
在振型分解反应谱法中，先要将建筑结构的振动模式分解为单自由度振动系统，然后对每个单自由度系统进行动力分析。
在单自由度振动系统中，结构包含一个质点及其连接着的刚性弹簧和阻尼器。
在地震激励下，质点会因惯性力而振动，其振动的形式由单自由度系统的振型所决定。
振型由结构的固有振动和阻尼比所决定。
通过计算每个单自由度系统的反应谱，可以获得结构在地震作用下的最大响应。
在振型分解反应谱计算中，每个振型被赋予一个动力增益因子。
该因子测定了该振型对于特定的频率范围内地震激励的放大效应。
动力增益因子的大小受到结构的频率和阻尼比的影响。
因此，结构频谱密度和激励频谱密度的乘积可以得到该振型的放大系数。
通过对不同振型的反应谱进行叠加，可以得到结构的总反应谱。
总反应谱代表结构的响应特性，包括其最大加速度、速度和位移。
同时，当知道入射地震波的激励谱时，可以通过反应谱计算出结构的最大位移、应力和感应力等参数。
总之，振型分解反应谱法是一种有效的结构地震反应计算方法，其基本原理是将结构振动分解为单自由度振动系统，通过计算每个单自由度系统的反应谱来获得结构的总反应谱。
利用振型分解反应谱法可以计算结构地震作用下的反应特性，为建筑结构的抗震设计和评估提供重要依据。
振型分解反应谱法公式推导过程
振型分解反应谱法公式推导过程一、振型分解反应谱法基本原理。
1. 多自由度体系的运动方程。
- 对于一个具有n个自由度的线性弹性结构体系，在地震作用下的运动方程为：M ẍ(t)+C ẋ(t)+Kx(t)= - M1ẍ_g(t)其中，M为质量矩阵（n× n阶），C为阻尼矩阵（n× n阶），K为刚度矩阵（n× n阶），ẍ(t)、ẋ(t)和x(t)分别为相对于地面的加速度、速度和位移向量（n维），ẍ_g(t)为地震地面加速度时程，1是元素全为1的列向量。
2. 振型分解。
- 假设多自由度体系的位移x(t)可以按照体系的振型φ_j（j = 1,2,·s,n）进行分解，即：x(t)=∑_j = 1^nφ_jq_j(t)其中，φ_j为第j阶振型向量（n维），q_j(t)为第j阶广义坐标（标量）。
- 将x(t)=∑_j = 1^nφ_jq_j(t)代入运动方程M ẍ(t)+C ẋ(t)+Kx(t)= - M1ẍ_g(t)，然后左乘φ_i^T（φ_i的转置向量），得到：φ_i^TM∑_j = 1^nφ̈_jq_j(t)+φ_i^TC∑_j = 1^nφ̇_jq_j(t)+φ_i^TK∑_j = 1^nφ_jq_j(t)=-φ_i^TM1ẍ_g(t)- 由于振型具有正交性，即φ_i^TMφ_j=0（i≠ j），φ_i^TKφ_j=0（i≠ j），并且对于比例阻尼C = α M+β K，也有φ_i^TCφ_j=0（i≠ j）。
- 当i = j时，定义广义质量M_j^*=φ_j^TMφ_j，广义刚度K_j^*=φ_j^TKφ_j，广义阻尼C_j^*=φ_j^TCφ_j，则对于第j阶振型，有：M_j^*q_j(t)+C_j^*q_j(t)+K_j^*q_j(t)=-φ_j^TM1ẍ_g(t)进一步化为标准形式：q_j(t)+2ξ_jω_j q_j(t)+ω_j^2q_j(t)=-frac{φ_j^TM1}{M_j^*}ẍ_g(t)其中，ω_j=√((K_j)^*)/(M_{j)^*}为第j阶圆频率，ξ_j=frac{C_j^*}{2M_j^*ω_j}为第j阶阻尼比。
计算水平地震作用的振型分解反应谱法
例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8 类场地，设计地震分组为第二组。 抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。 解： 1）求体系的自振周期和振型 （ m = 180t
3
职业技学院
K 3 = 98MN/m
职业技学院
（6）计算地震作用效应（层间剪力） 计算地震作用效应（层间剪力）
2 2 V = V 2 +V21 +V31 = 845.8kN 1 11
334 . 2
2 2 V2 = V 2 +V22 +V32 = 671.6kN 12
120 . 8 0 .1
120 . 8
2振型
668 . 6 836
γ j --- j振型的振型参与系数； 振型的振型参与系数；
Gi --- i质点的重力荷载代表值。 质点的重力荷载代表值。
F1n
mi
F2 n F2i F22 F21
F jn
Fnn Fni
Fn 2
地震作用效应 弯矩、位移等） （弯矩、位移等）
SEK =
F1i
m2 m1
F ji
Fj 2 F j1
j振型
F12 F11
0.1 < T3 < Tg s α3 =η2αmax = 0.16
α =[η20.2γ η1(T5Tg )] max α
T(s)
5Tg
6.0
0.05 ξ 0.05 ξ γ = 0.9 + η2 =1+ 0.5 + 5ξ 0.06 +1.7ξ
职业技学院
（3）计算各振型的振型参与系数
地震作用计算(扭转耦联振型分解反应谱法)
1g
n
[kyy ]与[kxx ]相似,而[ky ]( [k y ]T )
与[kx ]相似，只需将下标x换成y即可。
1.5偏心结构的地震作用
• 1.5.1振型分解反应谱法 要求解方程（1.8），采用振型分解法，令
{U} [ A]{q}
(1.9)
[ A] [{A}1{A}2...{A}j...{A}n ]
k rs
k n1 k n2
k rs xi i
k rs xi
yis
yir
i
k
1n xx
e
yn
k
2n xx
e
yn
k
nn xx
e
yn
k 1n k 2n
k nn
k
rs yj
x
s j
x
r j
j
{U}
ux uy , ux
u1x u2x , uy
u1 y u2 y
unx
uny
1
2 ,{U g}
1 ugx 1 ugy
k k 11
12
xx
xx
k 1n xx
k k 21
22
xx
xx
k 2n xx
k k n1
n2
xx
xx
k nn xx
[kx ] [k x ]T
k
e 11
xx
y1
k
e 21
xx
y1
k
e 12
xx
y
2
k
22 xx
e
y
2
k
e n1
xx
y1
k
e n 2
xx
y
2
简述振型分解反应谱法求地震作用的步骤
简述振型分解反应谱法求地震作用的步骤振型分解反应谱法是一种常用的求解地震作用的方法。
其基本思想是将结构的振型分解成若干个单自由度系统，并在每个单自由度系统上进行分析，最后将分析结果合成得到整个结构的反应谱。
具体步骤如下：
1. 确定结构的振型
通过结构的模态分析，得到结构的振型及对应的振动周期和阻尼比。
2. 将振型分解为单自由度系统
根据振型的特点，将其分解为若干个单自由度系统，并确定每个单自由度系统的振动周期和阻尼比。
3. 计算单自由度系统的反应谱
在每个单自由度系统上，按照地震加速度谱和单自由度系统的特性进行计算，得到该单自由度系统的反应谱。
4. 合成结构的反应谱
将各个单自由度系统的反应谱按照一定的规则进行合成，得到整个结构在不同周期下的反应谱。
5. 分析反应谱
根据结构的设计要求和反应谱的分析结果，确定结构在地震作用下的最大位移、最大加速度等参数，以便进行结构的设计和验算。
总之，振型分解反应谱法是一种简单有效的求解地震作用的方法，但其结果的精度受到结构的振型分解精度等因素的影响，需要结合实
际情况进行综合分析。
第四章地震作用计算
场地类别
Ⅲ
Ⅳ
剪力按1款规定折减,顶部不折减,中间 8 0.08 0.20
各层按线性插入值折减.
9
0.10
0.25
n
3.折减后各楼层的水平地震剪力应符合VEKi Gj 的规
定。
j 1
§结构竖向地震作用
竖向地震运动是可观的：
根据观测资料的统计分 析，在震中距小于200km范 围内，同一地震的竖向地面 加速度峰值与水平地面加速 度峰值之比av/ah平均值约为 1/2，甚至有时可达1.6。
目前，国外抗震设计规定中要求考虑竖向地震作用的 结构或构件有：
1.长悬臂结构； 2.大跨度结构； 3.高耸结构和较高的高层建筑； 4.以轴向力为主的结构构件（柱或悬挂结构）； 5.砌体结构； 6.突出于建筑顶部的小构件。
我国抗震设计规范规定前三类结构要考虑向上或向下 竖向地震作用的不利影响。
计算结构竖向地震作用的方法：
4、8度和9度时的大跨度结构、长悬臂结构，9度时的高层建筑，应考虑 竖向地震作用。
二、结构抗震计算方法的确定
1、高度不超过40m，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度 分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构， 宜采用底部剪力法等简化别不规则的建筑、甲类建筑和下表所列高度范围的 高层建筑，应采用时程分析法进行多遇地震下的补充 计算，可取多条时程曲线计算结果的平均值与振型分 解反应谱法计算结果的较大值。
向的水平相对位移；
y
ji ---为j振型i层的相对扭转角；
质心
j ---j振型周期Tj对应的地震 Fxji 影响系数；
Ftji x
ri Ji / Mi ---i层转动半径；
Fyji
j振型i层质心处地震作用
振型分解法描述
采用振型分解反应谱法时，对于不进行扭转耦联计算的结构，结构j振型i质点的水平地震作用标准值，按下列公式计算：(i=1,2，…n， j=1,2，…n （2-5）式中：——相应于j振型自振周期的地震影响系数，按图2-1确定；——j振型i质点的水平相对位移；——集中于质点i的重力荷载代表值；——j振型的参与系数，对于进行扭转耦联计算的结构，各楼层可取两个正交的水平位移和一个转角共三个自由度。
结构j振型i层的水平地震作用标准值，按下列公式计算：（2-6a）（2-6b）（2-6c）式中：，，——分别为j振型i层的x方向、y方向和转角方向的地震作用标准值；，——分别为j振型i层质心在x、y方向的水平位移；——j振型i层的相对扭转角；——i层转动半径，可取i层绕质心的转动惯量除以该层质量的商的正二次方根：——计入扭转的j振型的参与系数，可按下式确定：当仅取x方向地震作用时：（2-7）当仅取y方向地震作用时：（2-8）当取与x方向斜交的地震作用时：（2-9）式中：、——分别为由式（2-7）、（2-8）求得的参与系数；——地震作用方向与x方向的夹角。
地震作用效应的组合：按上述方法求出相应于j振型i质点的水平地震作用后，即可用一般结构力学方法计算相应于各振型时结构的弯矩、剪力、轴向力和变形，这些统称为地震作用效应，用表示第j振型的作用效应。
由于相应于各振型的地震作用均为最大值，所以相应各振型的地震作用效应也为最大值，但结构震动时，相应于各振型的最大地震作用效应一般不会同时发生，因此，在求结构总的地震效应时不应是各振型效应的简单代数和，由此产生了地震作用效应如何组合的问题，或称为振型组合问题。
建筑设计规范规定当不考虑平扭耦合影响时，水平地震作用效应按照平方和平方根法（SRSS）的公式确定：（2-10）式中：——水平地震作用标准值的效应；——j振型水平地震作用标准值的效应。
当考虑平扭耦合影响时，单向水平地震作用的扭转按照完全二次项平方根法（CQC）的公式确定：（2-11）（2-12）式中：——地震作用标准值的扭转效应：、——分别为j、k振型地震作用标准值的效应；、——分别为j、k振型的阻尼比；——j振型与k振型的耦联系数；——k振型与j振型的自振周期比。
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nn xx
[c x ]
[c
T ] x
c11 x 21 cx
n1 cx
c12 x 22 cx
n2 cx
n c1 x 2n cx
nn cx
[c
]
c11 c 21 c n1
c12 c 22 cn2
i
c1n c2n c nn
rs c xi yir , s r c rs x yj jxj j
rs c xx i
rs rs c xi , cx rs c xi yis yir i
c rs
[c yy ]与[cxx ]相似, 而[c y ]( [c y ] ) 与[cx ]相似，只需
T
[K ]
将下标x换成y即可。
• 类似地，有
[k xx ] [0] [k x ] [0] [k yy ] [k y ] , [k x ] [k y ] [k ] k k k
T j T j
{ X } [m]{1}ugx { X } [m]{ X } j (1.12)
• 化简得
T j
{ } [ J ]{1} { } [m ]{ } j
T j T j
g
第j振型圆频率
2 j
qj
2
j
jq j
qj
xj gx
u
yj gy
u
j
g
(1.13)
g
第j振型阻尼比
分别为相应地震动加速度 用， 第j振型参与系数
n
kx ky
k k
x i 1 t y j 1
k xi yi k yj x j
e y k xx ex k yy (1.6)
m m J k xx 0 e y k xx
ux uy 0 k yy ex k yy (1.7)
cxx 0 cx
0 c yy c y
cx cy c
ux uy m m J ugx ugy
• 若 Dpj D j ，j振型为平动为主振型 • 若 D j Dpj ，j振型为扭转为主振型 • 地震作用下，若产生扭转耦联振动，若结 构振动的扭转效应较大，那么结构振动时 可能发生扭转破坏，这对于结构抗震是非 常不利的。
① 应当避免结构偏心过大导致结构扭转效应增大， 这关键是限制平面布置的不规则性，使结构布 置尽量规则、对称，减少结构的偏心程度。
• 地震作用效应
S EK
j 1 k 1 2 2 T
m
m
jk
S j Sk (1.14)
jk
1.5 8 j k (1 T )T
(1 ) 4 j k (1 )T
2 T
S EK 考虑扭转的地震作用效应
jk j, k 振型的耦联系数 T k 振型与j振型的自振周期比 j， k j, k 振型的阻尼比
[C ]
[M ]
[K ]
(1.10)
将式(1.9)(1.10)代入(1.8),并在方程两边同乘以 矩阵{A}j
qj
2
j
j
qj
2 j
qj
{ A}Tj [ M ]{U g } { A} [ M ]{ A} j
T j
(1.11)
qj
2
T j
j
j
qj
2 j
qj {Y } [m ]{1}ugy {Y } [m ]{Y } j
g
e y k xx u x ex k yy u y k
1.4多层偏心结构的振动
图示为一n层 结构简图，假设 楼盖均为刚性 楼屋盖，每层均有 3个自由度，水平 地震作用下，振动 方程为
[ M ]{U } [C ]{U } [ K ]{U }
[m ] [M ] m1 [m ] m2 mn ,[ J ] [m] [J ]
cxx 0 cx
0 c yy c y m
cx cy c m
ux uy ugx ugy J
g
• 其中
n t n
cxx
i 1
cxi , c yy
j 1 n
c yj , c
i 1
cxi y
t
2 i
t
c yj x
j 1 2 j
2 j
cx k xx
c
n
x i 1
c x , cy
t
2 xi i
c
y j 1
c yj x
② 应当控制结构的抗扭刚度不至于太弱，关键是 控制 Tt / T1 之比不要太大。（0.9,0.85）
S j , Sk j, k 振型地震作用产生的作用效应。
• 1.5.3结构振动周期的判别 • 第一扭转自振周期的判别
j振型平动方向因子
Dpj m x mi y
2 i ij i i
2 ij
j振型扭转方向因子
2 D j J iij i
同一振型中，若D j , D pj 同时出现，则水平地震 作用下，结构j振型将同时产生平动和扭转。为 不对称结构。扭转振动耦联效应明显。
y
令质量中 心的位移 为 u ,u
xk yjyk xi则第i, j 个 抗侧力构件
ey
m
ex
x
uxi u yj
ux uy
yi xj (1.3)
• 运动方程
n n
mu x
i 1 t
cxi (u x c yj (u y
j 1 n
yi )
i 1 t
k xi (u x k yj (u y
j 1 t
yi ) xj ) x j )x j J
n k1 xx e yn 2n k xx e yn
nn k xx e yn
[k
]
k 11 k 21 k n1
k 12 k 22 k n2
k 1n k 2n k nn
rs k xx i
rs k xi rs k xi yis yir i j rs s r k yj xjxj
k rs
ux {U } uy , ux
ugx , ugy ,
作
X jiGi
xj i i
X2 ji Gi
i i
2 Y ji Gi i
ri 2
2 ji
Gi
Y jiGi
yj i
X Gi
i i
2 ji
Y Gi
i
2 ji
ri Gi
2
2 ji
Gi
ri 2
j i
ji
X2 ji Gi
i
2 Y ji Gi i
ri 2
2 ji
Gi
其中Gi : 第i层楼盖重力荷载代表值 ri J i / mi 为第i层楼盖的回转半径
• 由此可见，地震是无论结构是否对称、规 则，扭转振动总是存在，分析水平地震作 用下的扭转振动有实际意义：
– 《建筑结构抗震设计规范》规定：规则结构不 进行扭转耦联计算时
1.2刚度中心和质量中心
k yj ( x j )
t
k yj x j xc
j 1 t
,(1.1a ) k yj
k xi
j 1 n
• 1.5.2地震作用计算 单向水平地震作用计算 弹性结构在单向水平地震加速度 ugx或ugy 作 用下，第j振型地震作用可按下式计算
Fxji Fyji M xji
tj
tj tj tj
tj tj
X jiGi Y jiGi
tj i
r
2 ji
Gi
yj sin
(1.14)
地震作用方向与x轴 的夹角
xj cos
g
mugx mu gy
mu y J
i 1 t
xj )
cxi (u x k yj (u y
y i ) yi
j 1 n
c yj (u y k xi (u x
x j )x j
i 1
yi ) yi
(1.4)
j 1
m m J k xx 0 k x 0 k yy k y
ux uy kx ky k (1.5) ux uy
{U } [ A]{q} (1.9) [ A] [{ A}1{ A}2 ...{ A} j ...{ A}n ] { A} j [{ X } {Y } { } ] [ X j1... X jn Y j1...Y jn
j1 T j T j T j
...
jn
]
T
式中[A]—振型矩阵 {q}—广义坐标向量 采用瑞利阻尼
[ M ]{U g }
(1.8)
J1 J2 Jn
[C ]
[cxx ] [0] [cx ] [0] [c yy ] [c y ] , [c x ] [c y ] [c ] c c c
11 xx 21 xx
[cxx ]
c c c
12 xx 22 xx
c c c
1n xx 2n xx
n1 xx
n2 xx
11 xx 21 xx
[k xx ]
k k k
12 xx 22 xx
k k k
1n xx 2n xx
n1 xx
n2 xx
nn xx
[k x ]
[k
T ] x
k 11 xx e y 1 21 k xx e y1
n1 k xx e y1
k 12 xx e y 2 22 k xx ey 2
n2 k xx ey 2
yi
(1.1b)
xm
k xi yi yc
i 1 n
ey
k xi
i 1
yc xc ex
ym
k yj
平行于y轴的第j片抗侧力构件的侧移刚度
k xi
平行于x轴的第i片抗侧力构件的侧移刚度