微积分：不定积分的分部积分法

Q( p)
1 1 p 1 p 1000 ln 3 ( ) C 1000 ( ) C 1 3 3 ln 3
1 p Q( p) d p ( 1000ln 3 ( ) ) d p 3
由已知条件，p=0,Q=1000,代入上式得C=0.得 到需求对价格的函数
1 p Q( p) 1000 ( ) 3
1 4 1 4 x ln x x C . 4 16
总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂
函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函 数或反三角函数为 u.
1 1 ln( x 1) dx d( ) dx. 练习 求 2 2 x x x ln( x 1) 解 x 2 dx 1 ln( x 1)d ( ) x ln( x 1) 1 1 dx x x x 1 ln( x 1) 1 1 ( )d x x x 1 x ln( x 1) ln( x 1) ln x C. x
23
数为：q 1000 2 p 例4. 设某产品的市场需求函 元 ), (q表示需求量，单位： kg; p表示价格，单位： kg
边际成本函数为： C(q) 100 q,固定成本为 15000 .
试求： (1)该产品的成本函数，收 入函数和利润函数。 (2)该产品的最大利润产量 和最大利润。 (3)在最大利润产量时的边 际成本和边际收入。
解：
由：C(q) 100 q
有： C (q) C (q)dq (100 q)dq
由条件：C(0) 15000 , C0 15000
1 2 C (q) 100 q q 15000 2
1 2 100 q q C0 2
1 由： q 1000 2 p p 500 q 2
总成本等于可变成本与固定成本之和，当产 量为零时，可变成本为零，此时总成本为固 定成本90,即C（0）＝90.代入总成本函数的 一般形式，有
2 0.20 C ( 0) e C 10 C 90 0.2
所以，C=80.
总成本函数的表达式为
C (q) 10e
0.2q
80
例2 已知某集团公司生产的某种产品的边际收入是 64q-q2 (单位：万元／百台)，其中q是售出的产品数量 （单位：百台），求其收入函数。
1 x
指: 指数函数 三: 三角函数
x 1 x 2
dx
2
1
x arccos
x1 2
2 2 ( 1 x ) d( 1 x )
x arccos x 1 x 2 C
练习. 求
1 , 则 解: 令 u ln cos x , v cos 2 x u tan x , v tan x
第二十四节 法
分部积分
一、基本内容 二、小结
三、思考题
一、基本内容
问题
xe dx ?
x
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u u( x ) 和v v ( x )具有连续导数,
uv uv uv,

uv uv uv ,
uvdx uv uvdx, udv uv vdu.
例6 求积分 解
Leabharlann Baidu
sin(ln x )dx .
x sin(ln x ) xd[sin(ln x )]
sin(ln x )dx
1 x sin(ln x ) x cos(ln x ) dx x
x sin(ln x ) x cos(ln x ) xd[cos(ln x )] x[sin(ln x ) cos(ln x )] sin(ln x )dx
x arctan xdx .
x2 1 arctan x ( x arctan x ) C . 2 2
例4 求积分 x ln xdx .
3
4 x 3 解 u ln x , x dx d dv , 4 1 4 1 3 3 x ln xdx 4 x ln x 4 x dx
例3 求积分
x2 解 令 u arctan x , xdx d dv 2 2 2 x x x arctan xdx 2 arctan x 2 d(arctan x ) x2 x2 1 arctan x dx 2 2 2 1 x x2 1 1 arctan x (1 )dx 2 2 2 1 x

解（二） 令 u x , cos xdx dsin x dv
x cos xdx xdsin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C .
例2 解
2 x x 求积分 e dx .
u x2 ,
e xdx de x dv ,
MC(q ) 100 q 100 200 300(元 kg)
1 2 MR (q) R(q) (500 q q ) 500 q 2
MR(q) 500 q 500 200 300(元 kg)
例3 设某商品的需求量Q是价格p的函数，该商品的 最大需求是1000（即当p=0时，Q＝1000）。已知需 求量的变化率(边际需求)为
1 p Q( p) 1000 ln 3 ( ) 3
求需求量Q与价格p的函数关系。 解：已知需求量的变化率 Q( p) ，求需求量 函数，即求不定积分。有
2 x 2 x x x e d x x e 2 xe dx
（再次使用分部积分法）u x , e x dx dv
x 2e x 2( xe x e x ) C .

总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
2 tan x ln cos x tan 原式 = x dx
tan x ln cos x (sec 2 x 1) dx tan x ln cos x tan x x C
练习 求 2 x ln( x 2 1)d x.
解
2 2 x ln( x 1)d x
1 1 2 (这是收入 R(q) qp q(500 q) 500 q q 函数） 2 2
利润函数： L(q) R(q) C (q)
1 2 1 2 (500 q q ) (15000 100 q q ) 2 2
400q q 15000
2
(2)由：L(q) 400q q 15000
分部积分(integration by parts)公式 1)v 容易求得 ; 容易计算 .
例1 求积分 x cos xdx .
1 解（一） 令 u cos x , xdx d x 2 dv 2 x2 x2 x cos xdx 2 cos x 2 sin xdx u, v 选择不当，积分更难进行. 显然，
x
x
注意循环形式
e e sin xdx (sin x cos x ) C . 2
例8 求积分

x arctan x 1 x
2
2
dx .
解



1 x


x , 2 1 x
dx arctan xd
2
x arctan x 1 x
2
2

1 x2

1 x arctan x 1 x d(arctan x )


x arctan x 1 x2
dx
1 x 2 arctan x ln( x 1 x 2 ) C .
练习 求
e
2 x 1
dx.
解 令 t 2x 1, 则 1 2 x (t 1), dx tdt , 2
e
2 x 1
dx e t t d t t d e t
例1 已知某企业的某种产品在产量为q（单位：千 件）时的边际成本函数为
0.2q C (q ) 2 e (单位：万件／千件）
且固定成本为90万元，求总成本函数。
解：总成本函数一般形式：
C (q ) C (q ) d q
2e
0 .2 q
dq
2 0.2q e C 10e 0.2q C 0.2
1 x arctan x
2
1 1 x dx 2 1 x
2
1 x arctan x
2
1 1 x
2
dx
令 x tan t

1 1 x
dx 2
1 1 tan 2 t
sec 2 tdt sec tdt
ln(sec t tan t ) C ln( x 1 x 2 ) C
x sin(ln x )dx [sin(ln x ) cos(ln x )] C . 2
例7 解
x e 求积分 sin xdx .
x x sin x d e e sin x d x

e x sin x e x d(sin x ) e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xd e x e x sin x (e x cos x e x dcos x ) e x (sin x cos x ) e x sin xdx
解题技巧: 把被积函数视为两类函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 反: 反三角函数 v . 顺序, 前者为 u 后者为 对: 对数函数 例5. 求 幂: 幂函数 解: 令 u arccos x , v 1 , 则 u 1 2 , v x 原式 = x arccos x
f ( x ), f ( x )dx e
x2
f ( x )dx
C,
两边同时对 x求导, 得
f ( x ) 2 xe
x2
,
xf ( x )dx xf ( x ) f ( x )dx
2 x e
2 x2
e
x2
C.
二、不定积分在经济分析中的应用
2x ( x 1) ln( x 1) ( x 1) 2 dx x 1
2 2 2
ln( x 2 1)d (x 2 1)
( x 2 1) ln( x 2 1) 2 xdx
( x 2 1) ln(x 2 1) x 2 C.
2
L(q) 400 2q, L(q) 2 0
L (q) 400 2q 0 q 200(kg)
q 200 (kg)就是最大利润产量。
L最大 L(q ) 400 200 (200)2 15000
25000 (元）
(3)由：MC(q) C(q) 100 q
tet et dt tet et C
( 2x 1 1)e
2 x 1
C.
例 11 已知 f ( x ) 的一个原函数是 e
x2
, 求 xf ( x )dx .
解

xf ( x )dx xd f ( x ) xf ( x ) f ( x )dx ,
解：收入函数一般形式
3 q R(q ) R(q ) d q (64q q 2 ) d q 32q 2 C 3
销售量为0时，收入为0,即R(0)=0.代入收入函 数的一般形式，有 3 0 得，C=0 R(0) 32 02 C 0 3 3 q 2 21 收入函数的表达式为：R(q ) 32q 3