高中数学解三角形和平面向量

高中数学解三角形和平面向量试题

一、选择题：

1.在△ABC 中，若a = 2 ,23b =,0

30A = , 则B 等于（ B ）

A ．60o

B ．60o

或 120o

C ．30o

D ．30o

或150o

2．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若c =2,b =6,B =120o

，则a 等于（ D ）

A ．6

B ．2

C ．3

D ．2

3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ，A=45°，2=b 则sinB=（ A ）

A ．

1

2

B ．22

C ．

3

2

D ．1

4．ABC ∆的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若5

,22

a b A B ==，则cos B =（ B ） A ．

53 B ．54 C ．55 D ．5

6

5．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ C ） A ．0

90 B ．0

60

C ．0

120

D ．0

150

6．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为（D ）

A.

6

π B. 3π C.6π或56

π

D.

3π或23

π

7. 在△ABC 中，

b

a

B A =--cos 1cos 1，则△AB

C 一定是（ A ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形

8.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a=1，

ABC S b ∆=则,3等于（ C ）

A.

2 B.

3 C.

2

3

D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3则角C 大小为（ B ）

A 、75°

B 、60°

C 、45°

D 、30°

10．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ A ） A.

3

400

米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米

11．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，现测得0

120ABC ∠=,则A,C 两地

的距离为（ D ）。

A. 10km

B. 103km

C. 105km

D. 107km

12．已知M 是△ABC 的BC 边上的中点，若向量AB =a ,AC = b ，则向量AM 等于（ C ） A ．

21(a －b ) B ．21(b －a ) C ．21( a ＋b ) D ．1

2

-(a ＋b ) 13．若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线，且 BC AB λ=则λ等于（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4

14．已知平面向量),2(),2,1(m -==，且∥，则32+=（ C ）

A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 （ C ）

A 、17

B 、18

C 、19

D 、20

16．(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r

若向量若则的值为 ( B )

A ．31-或 B.13-或 C ．3

D ． -1

17. 若|2|= ，2||= 且（-）⊥ ，则与的夹角是 （ B ）

（A ）

6π （B ）4π （C ）3π

（D ）π12

5 183 =b ， a 在 b 方向上的投影是2

3

，则 b a ⋅是（ B ） A 、3 B 、

29 C 、2 D 、2

1 19．若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r

，且c a ⊥r r ，则向量a r 与b r 的夹角为( C )

（A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°

二、填空题：

20． ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若26120c b B ===o ，，，则a 等于2

21．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2

2

2

120°。 22．在ABC △中，12AB BC ==，，AC =3，则角B= 60o ．

23. 在ABC ∆中，AC=2，BC=1，sinC=

5

3

，则AB 的长为_5205553或___。 24．ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为___4

3

15______． 25. 在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为c b a ,,，若B b A a cos cos =，则ABC ∆的形状是 等腰三角形或直角三角形 。

26. 已知向量a r =（3，1） ，b r =（1，3），c r =（k ，7）,若（a r - c r ）b r

27．已知向量2411()()，，，a =b =．

若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是 3-

．

28.已知10a =r 、12b =r

，若a r 与b r 的夹角为120°，则⑴a b ⋅r r =_-60_____； ⑵(32)(4)b a a b -⋅+r r r r

=__-968_________.

29．若两个向量a r 与b r 的夹角为θ，则称向量“a b ⨯r r ”为“向量积”，其长度||a b ⨯=r r ||||sin a b θr r

，若已知||1,||5,4a b a b ==⋅=-r r r r ，则||____a b ⨯=r r

3。

三、解答题：

30、已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,()cos 2sin 1B C A ++=且

()sin cos ;A A I 求和 ()∏若ABC ∆的面积为4，且2c = ,求a

解: ()()cos 2sin 12sin 1cos B C A A A I ++=-=由已知得

两边平方并整理得2

5sin 4sin 0A A -=

4

sin 0,sin 5

3cos 2sin 15

A A A A ≠∴=

=-=

Q

()1

sin 4,22 5

S bc A c b ∏===∴=Q 根据余弦定理得222cos 17a b c bc A =+-= 31. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3

a b c B π

=

，4

cos ,35

A b =

=。 （I ）求sin C 的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积。 解：（Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且4,cos 3

5B A π

=

=

，∴23

,sin 35

C A A π=-=， ∴231343sin sin cos sin 32210C A A A π+⎛⎫

=-=+=

⎪⎝⎭

. （Ⅱ）由（Ⅰ）知3343sin ,sin 510

A C +=

=， 又∵,33

B b π

=

=，

∴在△ABC 中，由正弦定理，得 ∴sin 6

sin 5

b A a B =

=. ∴△ABC 的面积1163433693sin 32251050

S ab C ++=

=⨯⨯⨯=. 32．在⊿ABC 中，BC=5，AC=3，sinC=2sinA (Ⅰ) 求AB 的值； (Ⅱ) 求sin 24A π⎛

⎫

- ⎪⎝

⎭

的值 （Ⅰ）解：在△ABC 中，根据正弦定理，

sin sin AB BC

C A

= 于是sin 225sin C

AB BC BC A

=

==