4第四章运输问题(第1-2节)

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运筹学运输问题

运筹学运输问题
运筹学是一门研究如何最优地规划和管理资源以实现预定目标的学科。

在运筹学中，运输问题是其中一个重要的应用领域。

运输问题主要关注如何有效地分配有限的资源到不同的需求点，以最小化总体运输成本或最大化资源利用效率。

这些资源可以是货物、人员或其他物资。

运输问题通常涉及到多个供应地点和多个需求地点之间的物流调度。

运输问题的目标是找到一种最佳的调度方案，使得满足所有需求的同时，总运输成本达到最小。

为了解决运输问题，可以采用线性规划、网络流和启发式算法等方法。

在运输问题中，需要确定以下要素：
1. 供应地点：确定从哪些地点提供资源，例如仓库或生产基地。

2. 需求地点：确定资源需要分配到哪些地点，例如客户或销售点。

3. 运输量：确定每个供应地点与需求地点之间的运输量。

4. 运输成本：确定不同供应地点与需求地点之间运输的成本，可以
包括距离、时间、燃料消耗等因素。

通过数学建模和优化技术，可以对这些要素进行量化和分析，以求得最佳的资源分配方案。

这样可以降低运输成本、提高物流效率，并且满足不同地点的需求。

总而言之，运输问题是运筹学中的一个重要领域，涉及到如何有效地规划和管理资源的物流调度。

通过数学建模和优化方法，可以找到最优的资源分配方案，从而实现成本最小化和效率最大化。

线性规划运输问题

第四章运输问题Chapter 4Transportation Problem§4.1 运输问题的定义设有同一种货物从m 个发地1，2，…，m 运往n 个收地1，2，…，n 。

第i 个发地的供应量（Supply ）为s i （s i ≥0），第j 个收地的需求量（Demand ）为d j （d j ≥0）。

每单位货物从发地i 运到收地j 的运价为c ij 。

求一个使总运费最小的运输方案。

我们假定从任一发地到任一收地都有道路通行。

如果总供应量等于总需求量，这样的运输问题称为供求平衡的运输问题。

我们先只考虑这一类问题。

图4.1.1是运输问题的网络表示形式。

运输问题也可以用线性规划表示。

设x ij 为从发地i 运往收地j 的运量，则总运费最小的线性规划问题如下页所示。

运输问题线性规划变量个数为nm 个，每个变量与运输网络的一条边对应，所有的变量都是非负的。

约束个数为m+n 个，全部为等式约束。

前m 个约束是发地的供应量约束，后n 个约束是收地的需求量约束。

运输问题约束的特点是约束左边所有的系数都是0或1，而且每一列中恰有两个系数是1，其他都是0。

运输问题是一种线性规划问题，当然可以用第一章中的单纯形法求解。

但由于它有特殊的结构，因而有特殊的算法。

在本章中，我们将在单纯形法原理的基础上，根据运输问题的特点，给出特殊的算法。

图4.1x x x x x x x x x d x x x d x x x d x x x s x x x s x x x s x x x .t .s x c x c x c x c x c x c x c x c x c z min mn2m 1m n22221n11211n mnn 2n122m 221211m 2111m mn2m 1m 2n222211n11211mn mn 2m 2m 1m 1m n 2n 222222121n 1n 112121111≥=++=++=++=++=+++=++=+++++++++++++=在运输问题线性规划模型中，令X =（x 11，x 12，…，x 1n ，x 21，x 22，…，x 2n ，……，x m1，x m2，…，x mn ）TC =（c 11，c 12，…，c 1n ，c 21，c 22，…，c 2n ，……，c m1，c m2，…，c mn ）T A =[a 11，a 12，…，a 1n ，a 21，a 22，…，a 2n ，……，a m1，a m2，…，a mn ]T=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡行行n m 111111111111111111b =（s 1，s 2，…，s m ，d 1，d 2，…，d n ）T则运输问题的线性规划可以写成：min z=C TX s.t. AX =b X ≥0其中A 矩阵的列向量a ij =e i +e m+je i 和e m+j 是m+n 维单位向量，元素1分别在在第i 个分量和第m+j 个分量的位置上。

物流运筹学第4章运输最优化-精选文档

min
2
0 13 11 6 0 10 4 0 5 7 9 7 0 1 4 4
0 13 6 0 0 5 0 1 7 6 3 0
2 11 4 2 2 min
0 9 (bij ) 2 0
第一步，画出该问题的供销平衡表和单位运价表
超市仓库 A1 A2 A3
B1
B2
B3
B4
3 1 7
11 9 4
3 2 10
10 8 5
第二步，求初始解

1、最小元素法超市仓库 A1 A2 A3 销量 3 6 5 6 3 B1 B2 B3 B4 储量 7 4 9
计算过程表超
市仓库
A1 A2
X 0

用矩阵描述时为
max z CX
AX b X 0 a 11 a 12 a 1 n A (p ,p , ,p ) 1 2 n a a a 1 m 2 mn m

b为资源向量； c为价值向量； x为决策变量的向量
单纯形法简介
问题要求极小化时数学模型是
Min z c x ij ij
i j
x 1 ,j 1 , 2 n
ij i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 1 ,i 1 , 2 n
ij j

xij 1 或 0

例题：某物流公司现有四项运输任务A、B、C、D，现有甲、乙、丙、丁四辆车，他们完成任务所需时间如表所示。问应指派何人去完成何工作，使所需总时间最少？
min z cij xij
i 1 j 1
m
n
x b, j 1 ,2 , ,n
i 1 ij j

北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第4章运输问题

第四章运输问题4.1 运输问题的数学模型4.1.1 运输问题的模型本章研究物资的运输调度问题，其典型情况是：设某种物品有m个产地，A1，A2，…，A m；各产地的产量分别是a1，a2，…，a m；有n个销地B1，B2，…，B n；各销地的销量分别是b1，b2，…，b n；假定从产地向销地运输单位物品的运价是c ij；问：怎样调运这些物品才能使总运费最小?设变量ij x为第i个产地运往第j个销地的产品数量。

为直观起见，可将产品产地、销地的产销量以及运输物品的单价为一个汇总表，如表4-1所示。

表4-11A2A1B2BmAnB"#11c12c1n c2ncmnc2mc1mc21c22c11x12x1n x21x22x2n x1mx2m x mn x1a2ama1b2b n b"#如果运输问题的总产量等于其总销量，即有∑∑===njjmiiba11(4-1)则称该运输问题为产销平衡运输问题；反之，称为产销不平衡运输问题。

产销平衡运输问题的数学模型可表示如下：m nij iji1i1nij ij1mij ji1ijmin z c xx a,i1,2,,mx b,j1,2,,nx0,i1,2,,m,j1,2,,n=====⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩≥==∑∑∑∑""""目标函数约束条件决策变量(4-2)其中，约束条件右侧常数a i，和b j，满足总量平衡条件。

在模型(4-2)中，目标函数表示运输总费用极小化；约束条件前m个约束条件的意义是：由某一产地运往各个销地的物品数量之和等于该产地的产量；中间n个约束条件是指由各产地运往某一销地的物品数量之和等于该销地的销量；后m×n个约束条件为变量非负条件。

运输问题模型是线性规划问题特例。

因而可用单纯形法求解，但是，需要引进很多个人工变量，计算量大而复杂。

应该寻求更简便的、更好的解法。

例4.1某公司经销甲产品。

八年级地理上册第四章第一节交通运输教案(新版)新人教版

学习者分析
1. 学生已经掌握了哪些相关知识：
学生在之前的地理学习中，已经掌握了地图阅读、地理位置的基本知识，对我国的主要交通干线有所了解。同时，学生也学习了简单的人口、城市、经济发展与交通的关系。这些知识为本节课的学习奠定了基础。
2. 学生的学习兴趣、能力和学习风格：
八年级的学生对实际生活中的问题充满好奇，对于交通运输这一与生活密切相关的主题，学生的学习兴趣较高。在学习能力方面，学生具备一定的分析问题和解决问题的能力，能够从地图和案例中获取信息，并进行简单的评价。在学习风格上，学生喜欢通过图片、视频等直观的方式学习，对小组讨论和实践活动有较高的参与度。
技能训练：
设计实践活动或实验，让学生在实践中体验交通运输知识的应用，提高实践能力。
在交通运输新课呈现结束后，对交通运输知识点进行梳理和总结。
强调交通运输的重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。
（四）巩固练习（预计用时：5分钟）
随堂练习：
随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对交通运输知识的掌握情况。
提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。
知识点梳理
1. 交通运输方式
- 铁路运输：特点、优势、局限
- 公路运输：特点、优势、局限
- 航空运输：特点、优势、局限
- 水运：特点、优势、局限
- 管道运输：特点、优势、局限
2. 交通运输网络
- 交通线路的布局原则
- 交通枢纽的选择与建设
- 交通运输网络的优化
学具准备
Xxx
课型
新授课
教法学法
讲授法
课时
第一课时
步骤
师生互动设计
二次备课
教学方法与策略
1. 选择适合教学目标和学习者特点的教学方法：

2024年八年级地理上册4.1交通运输教案(新版)新人教版

7. 交通运输规划与管理：了解交通运输规划与管理的基本原理和方法，如交通流量分析、交通运输网络优化等，提高学生对交通运输问题的分析和解决能力。
课堂小结，当堂检测
本节课我们学习了交通运输业的基本概念、重要性和应用。下面进行课堂小结和当堂检测，以巩固所学知识。
课堂小结：
1. 交通运输业是指利用各种交通工具，在不同的地点之间进行人员和物资的移动。
学情分析
学生在进入八年级地理上册第四章《交通运输》的学习之前，已经掌握了基本的地理知识和地图阅读技巧。他们对地理学科具有一定的兴趣和好奇心，但同时也存在一定的学习障碍，如对复杂的概念和抽象的理论理解起来较为困难。
在知识层面，学生对地理的基本概念和地图阅读技巧有一定的了解，为本节课的交通运输业的学习奠定了基础。然而，他们对交通运输业的细节和实际应用可能了解不多，需要通过本节课的学习来补充和扩展相关知识。
2. 增加互动式教学和实践活动：在教学中，增加互动式教学和实践活动，提高学生的参与度和学习兴趣，培养学生的实践能力。
3. 加强对学生的学习指导和管理：在教学中，加强对学生的学习指导和管理，帮助学生养成良好的学习习惯，提高学习效果。
1. 交通运输业的基本概念和重要性
2. 我国交通运输业的现状和挑战
3. 交通运输方式的选择和比较
4. 各种交通运输方式的特点和优缺点
5. 交通运输建设的实例分析
6. 交通运输规划与管理的基本原理和方法
反思改进措施
（一）教学特色创新
1. 引入实际案例：在教学中，引入具体的交通运输建设实例，如高铁、高速公路等，帮助学生更好地理解理论知识，提高学生的学习兴趣。
多媒体
课型
新授课
教法学法
讲授法
课时
第一课时

第四章第一节被动运输

水分进出植物细胞是不是也通过渗透作用呢？
课件创意@小狗啃骨头（刘永生）
课件引用图片仅限于教学用途
1.4.1.1 水进出细胞的原理
细
细胞壁
胞液
已知：植物细胞壁对于水
和大部分溶质都是通透的。
未知：原生质层对于水和溶质也都是通透的吗？
课件创意@小狗啃骨头（刘永生）
水分进出这样的细胞主要是指水分进出它的中央大液泡。
作出假设：原生质层也具有选择透过性
课件创意@小狗啃骨头（刘永生）
课件引用图片仅限于教学用途
探究·实践——探索植物细胞的吸水和失水
演绎推理，形成思路
若原生质层具有选择透过性，当外界溶液浓度比细胞液浓度高时，植物细胞会____水；当外界溶液浓度比细胞液浓度低时，植物细胞会____水。（预期实验结果）
控制外界溶液浓度的方法？
高
低
浓
浓
度
度
糖
清
水
水
处
处
理
理
课件创意@小狗啃骨头（刘永生）
适合观察细胞吸水和失水的材料？
水分进出植物细胞主要指进出液泡
液泡要大
最好有颜色
紫色洋葱鳞片叶外表皮细胞
课件引用图片仅限于教学用途
探究·实践——探究植物细胞的吸水和失水（低倍物镜足矣）播放课前实验视频
课件创意@小狗啃骨头（刘永生）
原这要经过细胞生的哪些结构呢？质层
课件引用图片仅限于教学用途
探究·实践——探究植物细胞的吸水和失水
观察现象：植物器官会吸水和失水将萎蔫菜叶浸在水里，不久菜叶硬挺；用糖拌西红柿，不久可见到有水渗出。
推测
植物细胞会吸水和失水
提出问题：水分经过的原生质层具有选择透过性吗?

04 第四章运输问题

黄芪运输问题最小元素法示例
例1的产销平衡运输表的产销平衡运输表
销地产地基变量
B1 2 × 1 3 8 × 3 ﹨0 3 × 5
B2 9 × 3 × 4 4 8﹨ ﹨5 0
B3 10 4 4 2 2 × 4 ﹨0
B4 7 2
产量
A1 A2 A3
销量
﹨ ﹨5 0 9 5 ﹨2 0 ﹨
5 7 ﹨3 0 ﹨ 64 ﹨﹨0
在运输问题中，如果总产量等于总销量，即：
∑a = ∑b
i =1 i j =1
m
n
j
则称该运输问题为“产销平衡”的运输问题；否则称为产销不平衡的运输问题。设xij代表从第i个产地调运给第j个销地的物资单位的数量，则产销平衡运输问题的数学模型可表示为如下形式： m n M in Z = ∑∑ cij xij
B3 10
B4 7 4 4 2 2
产量
A1 A2 A3
销量
9 5 5 6 7
1 3 8 3 8
2 4 4
三、运输问题的模型特征及有关结论（一）运输问题的模型特征 m个产地和n个销地的产销平衡运输问题其约束方程组的系数矩阵具有如下形式：
x11 x12 L x1n x21 x22 L x2 n 1 1 L 1 1 1 L 1 A= 1 1 1 1 O O 1 1 L xm1 xm 2 L xmn O 1 1 L 1 L 1 L 1 O L 1
n
i =1 j =1
产销平衡运输表的结构
销地产地
1 c11 x11 … x12
2 c12
… …
n c1n x1n …
产量
1 … m

第四章-运输问题

初始基本可行解
是否最优解？ Y
结束
寻找新的基本可行解 N
步骤1：初始基本可行解的确定
❖西北角法：从 x11开始分配，从西北向东南方向逐个分配；
❖ 最小元素法：采用最小费用优先分配的原则；
步骤2：最优解的检验-位势法
检验数的公式为：
ijcij(ui vj)
其中 u i , v j 分别称为行位势、列位势。
结论：
（1）基变量所对应的检验数： ijcij(uivj)0 （2）若非基变量所对应的检验数 ijcij(uivj)0
当前解即为最优解；
步骤3：寻找新的基本可行解-闭回路法
闭回路：从进基变量的空格出发，沿水平或垂直方向前进，每
碰到数字格转90o（有些情况也可以不改变方向）继续前进，直到回到出发的空格为止，由此形成的封闭的折线称为闭回路。
销地产地
A1 A2 销量
B1 7 10 300
B2 6 4 350
B3 8 5 250
产量
400 200
❖ 其中， B3的销量必须得到满足。请问，应如何调运产品，使得总运费最少？
4.某公司有从三个产地A1，A2， A3 ，将物品运送到三个销地B1，B2，B3，各产地的产量、各销地的销量、各产地到各销地的单位运价如下表所示：
9
销量
3
6
5
6
❖ 请用最小元素法确定初始基本可行解，并用闭回路法检验初始基本可行解是否为最优解。
2.表上作业法（产销不平衡的运输问题）
❖ 总产量>总销量
某公司有从三个产地A1，A2，A3，将物品运送到三个销地B1 ，B2，B3，各产地的产量、各销地的销量、各产地到各销地的单位运价如下表所示：

第4章最优化方法(运筹学)

例题分析5：投资问题
例5 某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。问应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？

欧洲的古代城堡为什么建成圆形？
案例：生产计划问题
例1.
某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：
Ⅰ
设备原料 A 原料 B 单位产品获利 1 2 0 50 元
Ⅱ
1 1 1 100 元资源限制 300 来自时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能
使工厂获利最多？
第一节线性规划
一、在管理中一些典型的线性规划应用二、线性规划的一般模型

三、线性规划问题的计算机求解
（Excel，lingo）
第一节线性规划
一、在管理中一些典型的线性规划应用 1、合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下，下料最少 2、配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润 3、投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大 4、产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大 5、劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 6、运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小

2019新人教版高中生物必修一第四第五第六章(后三章)课后练习答案

第四章第1节被动运输问题探讨1.漏斗管内的液面为什么会升高？如果漏斗管足够长，管内的液面会无限升高吗？为什么？【答案】烧杯中的水分子进入漏斗中导致漏斗液面升高。

事实上半透膜两侧的水分子都能够通过扩散作用自由进出，但由于蔗糖溶液中水的相对含量(单位体积中的水分子数)比烧杯中的水的相对含量低，因此烧杯中的水扩散到漏斗中的速度比漏斗中的水扩散到烧杯中的速度相对更快些，导致漏斗中水量增加,液面上升。

如果漏斗管足够长，当管内的液面上升到一定高度之后，管中的水柱产生的压力将加快漏斗中水分向外扩散的速度最终达到平衡，液面将不再上升。

2.如果用一层纱布代替玻璃纸，还会出现原来的现象吗？【答案】不会，因为纱布不是半透膜，孔隙很大，可溶于水的物质都可能自由通过，包括水分子和蔗糖分子都能通过。

3.如果烧杯中不是清水，而是同样浓度的蔗糖溶液，结果会怎样？【答案】漏斗管中的液面将保持不变。

思考•讨论分析图4-1所示水进出哺乳动物红细胞的现象。

讨论：1.红细胞内的血红蛋白等有机物能够透过细胞膜吗？这些有机物相当于“问题探讨”所示装置中的什么物质？【答案】红细胞中的有机物有的能通过细胞膜，有的不能。

血红蛋白是有机大分子物质，不能透过细胞膜，它相当于“问题探讨”中的蔗糖分子。

2.红细胞的细胞膜是否相当于一层半透膜？【答案】是。

但细胞膜具有生命活性，物质通过细胞膜的方式不只是简单扩散。

3.当外界溶液溶质的浓度低时，红细胞一定会由于吸水而涨破吗？【答案】不一定。

因为红细胞吸水膨胀后细胞内液浓度也会下降，如果外界溶液浓度不是很低，有可能细胞内液浓度下降后与外界溶液的浓度达到平衡，此时，红细胞将不再吸水。

4.红细胞吸水或失水取决于什么条件？【答案】取决于红细胞内外溶液的浓度差，一般情况下，浓度差越大时，细胞吸水或失水越多。

5.想一想临床上输液为什么要用生理盐水。

【答案】因为生理盐水的浓度与血浆的浓度基本一致，血细胞不会因为过度吸水或失水而出现形态和功能上的异常。

八年级地理上册：第四章第一节：交通运输(精品课件)人教版新课标

✓
北京城区
✓
五十吨钢材上海－济南一万吨海盐天津－上海
✓ ✓
十万吨大米武汉－上海
达标检测
1.历史上，我国著名的四大“米市”的运输方式都是（B ）
A.公路运输 B.水路运输 C.人力搬运 D.牲畜驮运
2.结束了“蜀道难，难于上青天”历史的铁路是（A ）
A.宝成铁路 B.大秦铁路 C.宝中铁路 D.南昆铁路
长江干支流与京杭运河交汇，水运便利；人口集中，市场广阔。
我国四通八达的交通运输网
（1）看总体分布，在空间分布上哪里密集，哪里稀疏；（东密西疏）
（2）我国的交通运输网呈现这种特点的原因是什么；自然条件——可行性社会经济条件——必要性
（3）从这幅图上看，哪种交通运输方式最重要；铁路运输
第21次列车的始发站是__北__京____，终点站是__上__海____，它与__1_4_6_1___次列车的始发站和终点站相同；两次列车相比， ________T__2_1_次列车快，为什么？
北
京是全国重要的交通运输枢纽
不同运输工具的速度
火车时速 80～140千米
汽车时速 40～60千米
议一议从火车时刻表中可以获取哪些信息？
列
1461
Z21
车次
Z22 1460
车时
普快北京
直达北京
自北京起（km
）
列车种类自上海起
始发站
(Km)
直达上海
普快上海
刻
上海
上海
终到站
北京北京
表
15：00 19：00
0
北京
1460 07：05 11：14

【高中生物】必修一第四章第1节《物质跨膜运输的实例》教案

第4章第1节物质跨膜运输实例一、教材分析：由“问题探讨”引入。

可以从“扩散”迁移到“渗透”。

分析教材给出的“水分进出哺乳动物红细胞的状况”，来认识动物细胞的吸水和失水。

二、教学目标：知识方面：举例说出细胞膜是选择透过性膜能力方面：1、尝试提出问题，做出假设，对探究活动进行设计2、进行关于植物细胞吸水和失水的实验设计和操作三、教学重点、难点及解决方法1、教学重点：举例说出细胞膜是选择透过性膜，相当于半透膜。

解决方法：（1）通过渗透作用的演示实验，组织引导学生分析渗透现象。

归纳总结渗透作用的概念、条件、原理、结果，指出半透膜的特性。

（2）通过分析水分进出红细胞的状况，总结出细胞膜相当于半透膜。

2、教学难点：尝试提出问题，作出假设。

解决方法：（1）通过名人名言使学生认识到提出问题的重要性。

爱因斯坦曾说过，“提出一个问题比解决一个问题更重要。

”（2）充分利用学生已有的知识和生活经验，引导学生对有关知识现象深入思考，提出相关问题，开展合作学习，利用小组活动讨论确定有价值的问题。

四、学情分析：学生生活中有感性认识，萝卜条用盐淹的前后，久旱的庄稼灌溉前后的现象都见过，引导学生思考原因，学习这一部分内容就有了基础。

五、教学方法：直观教学法、讲述法、启示法、演示法自学讨论法六、课前准备：吸水、萎蔫的菠菜叶，大烧杯，漏斗，半透膜，清水，蔗糖溶液。

七、课时安排：2课时八、教学过程（一）预习检查、总结疑惑(1)、水稻培养液里的Ca2＋和Mg2＋浓度为什么会增高？(2)、不同作物对无机盐的吸水有差异吗？(3)、水分子跨膜运输是顺相对含量梯度的，其他物质的跨膜运输也是这样的吗？(4)、细胞对物质的吸收有选择吗？如果有，这种选择性有普遍性吗？（二）情景导入、展示目标细胞是一个开放的系统，每时每刻与环境进行着物质的交换，物质的进进出出都要细胞的边界——细胞膜。

这一节课我们共同来探究水分进出细胞的情况。

（三）合作探究、精讲点拨首先我们来探究渗透现象。

4.4 表上作业法(三)：闭回路调整法

第4章运输问题
第1节第2节
第3节
运输问题的数学模型表上作业法
2.1 确定初始基可行解 2.2 最优解的判别 2.3 闭回路调整法 2.4 表上作业法计算中的问题
产销不平衡的运输问题及其求解方法
1
2.3 改进的方法——闭回路调整法
当在表中空格处出现负检验数时，表明未得最优解。若有两个和两个以上的负检验数时，一般选其中最小的负检验数，
10 2
A2
1 （7）（1） 8 0
A3 （-2） 4 （-2） 5 -3
Vi
1 7 18
检验数表
销地
产地
A1 A2 A3
B1 B2
02 2
9
B3 B4
1 12
检验数都非负，得最优解
5
39
销量
3
65 6
销地
B1 B2 B3 B4 产量产地
A1
5 27
A2
3
0 14
A3Βιβλιοθήκη 639销量 3 6 5 6
（1）从一个检验数为负数且最小的空格出发，和其它数字格构成闭回路。此闭回路存在且唯一。
（2）在闭回路上进行运量调整，使选定空格处的运量尽可能地增加。
（3）运量调整后，必然使某个数字格变成零。把一个变成零的数字格抹去，得新的调运方案。
以它对应的空格为调入格。即以它对应的非基变量为换入变量。由表4-18得(2，4)为调入格。以此格为出发点，作一闭回路，如表
4-19所示。
表4-18
表4-19 2
(2，4)格的调入量θ是选择闭回路上具有(-1)的数字格中的最小者。
即θ=min(1,3)=1(其原理与单纯形法按θ规划来确定换出变量相同) 然后按闭回路上的正、负

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i=1
m
i
=
∑b
j=1
n
j
则称为产销平衡运输问题。则称为产销平衡运输问题。产销平衡运输问题
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的运量，若用 xij 表示从 Ai 到 Bj 的运量，要得出总运费最小的调运方案，可建立如下数学模型：的调运方案，可建立如下数学模型：
min z = ∑ ∑ cij x ij
i =1 j =1 m n
4 3 1
2
3
8 4 1
A2
7 A3 销量 3
4
10
5
6
6 4 5
3
6 3
3 9
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3. 伏格尔法（Vogel）伏格尔法（）罚数：针对每一个供应地或销售地，最小运价和罚数：针对每一个供应地或销售地，最小运价和次小运价之差称为该供应地或销售地的罚数；运价之差称为该供应地或销售地的罚数；之差称为该供应地或销售地的罚数若罚数大，若罚数大，则不按最小运价安排运输时造成的运费损失也大，故应尽量按最小运价安排运输；若罚数小，失也大，故应尽量按最小运价安排运输；若罚数小，则不按最小运价安排运输时造成的运费损失也小。则不按最小运价安排运输时造成的运费损失也小。
B j0
Ai0 的物资量由供应给
2）若 xi0 j0 = ai0 ，则产地 Ai0 的可供物品已用完（划）的可供物品已用完（去该元素所在的行）去该元素所在的行），且 B j0 的需求量由 b j0 减少为 b j − ai ； 0 0 3）若 x i0 j0 = b j0 ，则销地 B j0 的需求已全部满足（划）的需求已全部满足（去该元素所在的列）去该元素所在的列），且 Ai0 的可供量由 a i0 减少为 ai − b j ； 0 0
3. 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解：确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解：在表上用闭回路法调整；在表上用闭回路法调整；
4. 重复、3直到最优解为止。重复2、直到最优解为止直到最优解为止。
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一、确定初始基可行解(初始调运方案) 确定初始基可行解(初始调运方案)
第29页页
例：
销地产地 A1 1 A2 7 A3 销量 3 6 5 6
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B1 3
B2 11
B3 3
B4 10
产量 7
9
2
8 4
4
10
5 9
解：判断：问题为一产销平衡问题。判断：问题为一产销平衡问题。
销地产地 A1 1 9 B1 3 B2 11 B3 3 B4 产量 10 7 3
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一、运输问题的提出
经济建设中，经常碰到大宗物资调运问题：经济建设中，经常碰到大宗物资调材、的交通运输网络，将煤炭、钢铁、木材、粮食等物资
，从生产地运往消费地，使得总运费最小。从生产地运往消费地，使得总运费最小。
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二、运输问题的数学模型
m行行
n行行
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该系数矩阵中对应于变量 xij 的系数向量 Pij= （0…1…0…1…0）T，其分量中除第 i 个和第 m+j 个为）其分量中除第 1 以外，其余的都为 0。以外，。（1）约束条件系数矩阵的元素等于 0 或 1 ；）元素，（2）约束条件系数矩阵的每一列有两个非 0 元素，对）应于每一个变量的前个约束条件中出现一次，应于每一个变量的前 m 个约束条件中出现一次，后 n 个约束条件中也出现一次。个约束条件中也出现一次。
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单位运价
产地产量
销地产地 A1
B1
B2
… … … … …
Bn
产量
c11
x11 x12
c12
c1n
x1n
a1 … am
…
Am 销量
… cm1
xm1
… cm2
xm2
… cmn
xmn
b1
b2
bn
销地销量
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如果运输问题中，总产量等于总销量，如果运输问题中，总产量等于总销量，即有
∑a
第23页页
（5）重复（2）和（3）的过程；）重复（））的过程；（6）表中每填入一个数字，就划去一行或一列，表）表中每填入一个数字，就划去一行或一列，中共有 m 行 n 列，总共可划（m+n）条直线；总共可划（）条直线；（7）当表中只剩一个元素时，在表上填写这个数字，）当表中只剩一个元素时，在表上填写这个数字，并同时划去一行和一列。并同时划去一行和一列。
有有限最优解。有有限最优解。
第18页页
例判断题
运输问题是一种特殊的线性规划模型，运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求解结
果也可能出现下列四种情况之一：唯一最优解，果也可能出现下列四种情况之一：唯一最优解，无
穷多最优解，无界解，无可行解。穷多最优解，无界解，无可行解。（×）
第19页页
n ∑ x ij = a i , i = 1,...., m j =1 m ∑ x ij = b j , j = 1,..., n i =1 x ij ≥ 0
这就是运输问题的数学模型。这就是运输问题的数学模型。
第8页页
如果运输问题中，总产量不等于总销量，如果运输问题中，总产量不等于总销量，即有
x 11 x 12 ... x 1 n x 21 x 22 ... x 2 n ... x m 1 x m 2 ... x mn 1 1 1 ... 1 1 1 ... 1 ⋮ 1 1 1 ... 1 1 ... 1 1 1 ... 1 ... 1 1
m n
m
∑∑
i=1 n
∑
n
j=1 m
x ij =
x ij =
∑
j=1
m
j=1 i =1
∑b
i=1 n
ai
j
而，
∑ a = ∑ b ，故模型中最多只有 m+n-1 个约束条
i =1 i j =1 j
第13页页
件方程独立，件方程独立，即系数矩阵的秩 ≤ m+n-1 。
x11 x12 ... x1n x 21 x 22 ... x 2 n ... x m 1 x m 2 ... x mn 1 1 ... 1 1 1 ... 1 1 1 1 1 ... ... 1 1 1 1 ... 1 1 1 ... 1
第26页页
B3 3
B4 10
产量 4 7
3
2
8 2 4 5 9 6
2. 最小元素法思路：优先考虑具有最小运价的供销业务。思路：优先考虑具有最小运价的供销业务。步骤：步骤： 1）对所有 i 和 j ，找出）
c i 0 j 0 = min( c ij )
，并将；
第27页页
x i0 j0 = min(a i0 , b j0 )
为可行解。 , i = 1,..., m ; j = 1,..., n 为可行解。
第17页页
由此可知：产销平衡的运输问题，存在可行解。由此可知：产销平衡的运输问题，存在可行解。
又因为，又因为，产销平衡的运输问题的目标函数有下界
，目标函数不会趋于 - ∞，由此可知，运输问题必，由此可知，
ai ∑1 b j = Q × Q = a i j=
第16页页
n
∑
m
i=1
x ij =
∑
m
a ib j Q
=
bj Q
i=1
∑
m
i=1
ai =
bj Q
× Q = bj
∴
x ij =
ai b j Q
满足所有约束条件。满足所有约束条件。
又因为 x ij =
ai b j Q
≥0
∴
x ij =
aib j Q
1. 西北角法思路：思路：优先考虑位于运输表中西北角上空格的供销业务。销业务。步骤：步骤：格中填入x （1）在（A1，B1）格中填入 11=min(a1,b1)；）；
第22页页
的可供物品已用完（（2）若 x11=a1，则产地 A1 的可供物品已用完（划去）该元素所在的行）该元素所在的行），且 B1 的需求量由 b1 减少为 b1-a1；则销地B 的需求已全部满足（（3）若x11=b1，则销地 1的需求已全部满足（划去该）元素所在的列）的可供量由a 减少为a 元素所在的列），且A1的可供量由 1减少为 1- b1。（ 4）运输表中尚未划去的部分中，左上角格子为）运输表中尚未划去的部分中，（A1，B2）或（A2，B1）；
用数学语言对上述问题进行描述：用数学语言对上述问题进行描述： 1. 有 m个生产地 Ai ：i=1,2,…,m；供应量分别为：ai，个生产地；供应量分别为： i=1,2,…,m；； 2. 有 n个消费地 Bj ： j=1,2,…,n；需求量分别为： bj ，个消费地；需求量分别为： j=1,2,…,n；； 3. 单位物资从 Ai 到 Bj 的运价为 cij 。
⋮
m行行
n行行
--- ++
第14页页
x 11 x 12 ... x 1 n x 21 x 22 ... x 2 n ... x m 1 x m 2 ... x mn 1 1 0 1 ... 1 1 1 ... 1 ⋮ 1 1 1 ... 0 ... 0 0 0 1 ... ... 0 0 0 0 1 1 ... ... 1 ... 1 0