4第四章 运输问题(第1-2节)

m行 行
n行 行
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必有有限最优解。 特点 2 ：必有有限最优解。 证明： 证明：设
∑a = ∑b
ຫໍສະໝຸດ Baidui =1 i j =1
m
n
j
=Q
令变量 x ij =
n n
ai b j Q
, i = 1,..., m ; j = 1,..., n
∵ ∑ x ij
j =1
=
∑
aib j
j =1
ai = Q Q
∑a
i=1
m
i
≠
∑b
j=1
n
j
称为产销不平衡运输问题。 称为产销不平衡运输问题。 产销不平衡运输问题
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三、运输问题数学模型的特点
1、有 m×n 个变量。 、 × 个变量。
2、（m + n）个约束条件，且都为等式。 、 ）个约束条件，且都为等式。
3、其系数矩阵为： 、其系数矩阵为：
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（5）重复（2）和（3）的过程； ）重复（ ） ）的过程； （6）表中每填入一个数字，就划去一行或一列，表 ）表中每填入一个数字，就划去一行或一列， 中共有 m 行 n 列，总共可划（m+n）条直线； 总共可划（ ）条直线； （7）当表中只剩一个元素时，在表上填写这个数字， ）当表中只剩一个元素时，在表上填写这个数字， 并同时划去一行和一列。 并同时划去一行和一列。
B j0
Ai0 的物资量由 供应给
2）若 xi0 j0 = ai0 ，则产地 Ai0 的可供物品已用完（划 ） 的可供物品已用完（ 去该元素所在的行） 去该元素所在的行），且 B j0 的需求量由 b j0 减少 为 b j − ai ； 0 0 3）若 x i0 j0 = b j0 ，则销地 B j0 的需求已全部满足（划 ） 的需求已全部满足（ 去该元素所在的列） 去该元素所在的列），且 Ai0 的可供量由 a i0 减少 为 ai − b j ； 0 0
用数学语言对上述问题进行描述： 用数学语言对上述问题进行描述： 1. 有 m个生产地 Ai ：i=1,2,…,m；供应量分别为：ai， 个生产地 ；供应量分别为： i=1,2,…,m； ； 2. 有 n个消费地 Bj ： j=1,2,…,n； 需求量分别为 ： bj ， 个消费地 ； 需求量分别为： j=1,2,…,n； ； 3. 单位物资从 Ai 到 Bj 的运价为 cij 。
ai ∑1 b j = Q × Q = a i j=
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n
∑
m
i=1
x ij =
∑
m
a ib j Q
=
bj Q
i=1
∑
m
i=1
ai =
bj Q
× Q = bj
∴
x ij =
ai b j Q
满足所有约束条件。 满足所有约束条件。
又因为 x ij =
ai b j Q
≥0
∴
x ij =
aib j Q
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4、对于产销平衡的运输问题： 、对于产销平衡的运输问题： 个约束条件方程独立。 特点 1：模型中最多只有 ：模型中最多只有m+n-1个约束条件方程独立。 个约束条件方程独立 证明： 证明： 前m个约束条件方程之和为：∑ 个约束条件方程之和为： 个约束条件方程之和为 个约束条件方程之和为： 后n个约束条件方程之和为： 个约束条件方程之和为
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例：
销地 产地 A1 1 A2 7 A3 销量 3 6 5 6
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B1 3
B2 11
B3 3
B4 10
产量 7
9
2
8 4
4
10
5 9
解：判断：问题为一产销平衡问题。 判断：问题为一产销平衡问题。
销地 产地 A1 B1 3 B2 11 4 1 A2 7 A3 销量 3 2 6 2 4 3 5 3 9 2 10 6 6
有有限最优解。 有有限最优解。
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例 判断题
运输问题是一种特殊的线性规划模型， 运输问题是一种特殊的线性规划模型 ，因而求解结
果也可能出现下列四种情况之一：唯一最优解， 果也可能出现下列四种情况之一 ：唯一最优解 ，无
穷多最优解，无界解，无可行解。 穷多最优解，无界解，无可行解。 （×）
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第四章 运输问题
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第一节 运输问题的数学模型 第二节 表上作业法 第三节 产销不平衡的运输问题 第四节 有转运的运输问题 第五节 应用举例
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第一节 运输问题的数学模型
一般线性规划问题的求解方法：单纯形法。 一般线性规划问题的求解方法：单纯形法。 实际工作当中，往往有些线性规划问题， 实际工作当中 ， 往往有些线性规划问题 ， 它们的 约束方程组的系数矩阵具有特殊的结构， 约束方程组的系数矩阵具有特殊的结构 ， 这就有 可能找到比单纯形法更为简便的求解方法。 可能找到比单纯形法更为简便的求解方法。 运输问题就属于这样一类特殊的线性规划问题。 运输问题就属于这样一类特殊的线性规划问题。 就属于这样一类特殊的线性规划问题
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一、运输问题的提出
经济建设中，经常碰到大宗物资调运问题： 经济建设中，经常碰到大宗物资调运问题：利用现有
的交通运输网络，将煤炭、钢铁、木材、 的交通运输网络，将煤炭、钢铁、木材、粮食等物资
，从生产地运往消费地，使得总运费最小。 从生产地运往消费地，使得总运费最小。
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二、运输问题的数学模型
x 11 x 12 ... x 1 n x 21 x 22 ... x 2 n ... x m 1 x m 2 ... x mn 1 1 1 ... 1 1 1 ... 1 ⋮ 1 1 1 ... 1 1 ... 1 1 1 ... 1 ... 1 1
1. 西北角法 思路： 思路：优先考虑位于运输表中西北角上空格的供 销业务。 销业务。 步骤： 步骤： 格中填入x （1）在（A1，B1）格中填入 11=min(a1,b1)； ） ；
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的可供物品已用完（ （2）若 x11=a1，则产地 A1 的可供物品已用完（划去 ） 该元素所在的行） 该元素所在的行 ） ， 且 B1 的需求量由 b1 减少为 b1-a1； 则销地B 的需求已全部满足（ （3）若x11=b1，则销地 1的需求已全部满足（划去该 ） 元素所在的列） 的可供量由a 减少为a 元素所在的列），且A1的可供量由 1减少为 1- b1。 （ 4） 运输表中尚未划去的部分中 ， 左上角格子为 ） 运输表中尚未划去的部分中， （A1，B2）或（A2，B1）；
第二节 表上作业法
表上作业法是单纯型法在求解运输问题时的一种简 化方法，其实质是单纯型法。 化方法，其实质是单纯型法。 表上作业法的步骤： 表上作业法的步骤： 1. 找出初始基可行解：在（m×n）产销平衡表中给 找出初始基可行解： × ） 出（m+n-1）个数字格； ）个数字格；
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2. 求非基变量的检验数：在表上计算空格的检验数， 求非基变量的检验数：在表上计算空格的检验数， 判别是否达到最优解； 判别是否达到最优解；
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例：
销地 产地 A1 1 A2 7 A3 销量 3 6 5 6
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B1 3
B2 11
B3 3
B4 10
产量 7
9
2
8 4
4
10
5 9
解：判断：问题为一产销平衡问题。 判断：问题为一产销平衡问题。
销地 产地 A1 1 9 B1 3 B2 11 B3 3 B4 产量 10 7 3
i=1
m
i
=
∑b
j=1
n
j
则称为产销平衡运输问题。 则称为产销平衡运输问题。 产销平衡运输问题
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的运量， 若用 xij 表示从 Ai 到 Bj 的运量，要得出总运费最小 的调运方案，可建立如下数学模型： 的调运方案，可建立如下数学模型：
min z = ∑ ∑ cij x ij
i =1 j =1 m n
3. 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解： 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解： 在表上用闭回路法调整； 在表上用闭回路法调整；
4. 重复 、3直到最优解为止。 重复2、 直到最优解为止 直到最优解为止。
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一、确定初始基可行解(初始调运方案) 确定初始基可行解(初始调运方案)
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4）重复2）和3）的过程； ）重复 ） ）的过程； 5） 表中每填入一个数字 ， 就划去一行或一列 ， 表 ） 表中每填入一个数字， 就划去一行或一列， 总共可划（ 中共有 m 行 n 列，总共可划（m+n）条直线； ）条直线； 6）当表中只剩一个元素时 ， 在表上填写这个数字 ， ） 当表中只剩一个元素时，在表上填写这个数字， 并同时划去一行和一列。 并同时划去一行和一列。 最小元素法的缺点： 最小元素法的缺点：按某一最小运价优先安排物品调 运时，可能导致其他供销点对之间运费很高， 运时，可能导致其他供销点对之间运费很高，从而使 得总运费很高。 得总运费很高。
为可行解。 , i = 1,..., m ; j = 1,..., n 为可行解。
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由此可知：产销平衡的运输问题，存在可行解。 由此可知：产销平衡的运输问题，存在可行解。
又因为， 又因为 ， 产销平衡的运输问题的目标函数有下界
，目标函数不会趋于 - ∞，由此可知，运输问题必 ，由此可知，
4 3 1
2
3
8 4 1
A2
7 A3 销量 3
4
10
5
6
6 4 5
3
6 3
3 9
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3. 伏格尔法（Vogel） 伏格尔法（ ） 罚数：针对每一个供应地或销售地，最小运价和 罚数：针对每一个供应地或销售地，最小运价和次小 运价之差称为该供应地或销售地的罚数； 运价之差称为该供应地或销售地的罚数； 之差称为该供应地或销售地的罚数 若罚数大， 若罚数大，则不按最小运价安排运输时造成的运费损 失也大，故应尽量按最小运价安排运输；若罚数小， 失也大，故应尽量按最小运价安排运输；若罚数小， 则不按最小运价安排运输时造成的运费损失也小。 则不按最小运价安排运输时造成的运费损失也小。
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B3 3
B4 10
产量 4 7
3
2
8 2 4 5 9 6
2. 最小元素法 思路：优先考虑具有最小运价的供销业务。 思路：优先考虑具有最小运价的供销业务。 步骤： 步骤： 1）对所有 i 和 j ，找出 ）
c i 0 j 0 = min( c ij )
，并将 ；
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x i0 j0 = min(a i0 , b j0 )
m行 行
n行 行
第11页 页
该 系 数 矩 阵 中 对 应 于 变 量 xij 的 系 数 向 量 Pij= （0…1…0…1…0）T，其分量中除第 i 个和第 m+j 个为 ） 其分量中除第 1 以外，其余的都为 0。 以外， 。 （1）约束条件系数矩阵的元素等于 0 或 1 ； ） 元素， （2）约束条件系数矩阵的每一列有两个非 0 元素，对 ） 应于每一个变量的前 个约束条件中出现一次， 应于每一个变量的前 m 个约束条件中出现一次，后 n 个约束条件中也出现一次。 个约束条件中也出现一次。
⋮
m行 行
n行 行
--- ++
第14页 页
x 11 x 12 ... x 1 n x 21 x 22 ... x 2 n ... x m 1 x m 2 ... x mn 1 1 0 1 ... 1 1 1 ... 1 ⋮ 1 1 1 ... 0 ... 0 0 0 1 ... ... 0 0 0 0 1 1 ... ... 1 ... 1 0
m n
m
∑∑
i=1 n
∑
n
j=1 m
x ij =
x ij =
∑
j=1
m
j=1 i =1
∑b
i=1 n
ai
j
而，
∑ a = ∑ b ，故模型中最多只有 m+n-1 个约束条
i =1 i j =1 j
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件方程独立， 件方程独立，即系数矩阵的秩 ≤ m+n-1 。
x11 x12 ... x1n x 21 x 22 ... x 2 n ... x m 1 x m 2 ... x mn 1 1 ... 1 1 1 ... 1 1 1 1 1 ... ... 1 1 1 1 ... 1 1 1 ... 1
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单位运价
产地产量
销地 产地 A1
B1
B2
… … … … …
Bn
产量
c11
x11 x12
c12
c1n
x1n
a1 … am
…
Am 销量
… cm1
xm1
… cm2
xm2
… cmn
xmn
b1
b2
bn
销地销量
第6页 页
如果运输问题中，总产量等于总销量， 如果运输问题中，总产量等于总销量，即有
∑a
n ∑ x ij = a i , i = 1,...., m j =1 m ∑ x ij = b j , j = 1,..., n i =1 x ij ≥ 0
这就是运输问题的数学模型。 这就是运输问题的数学模型。
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如果运输问题中，总产量不等于总销量， 如果运输问题中，总产量不等于总销量，即有