9、从常量到变量数学-培优数学张老师

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人教版八年级数学下册第19章19.1.1变量与常量(教案)

3.培养学生运用函数思想解决实际问题，提高问题解决和数学应用的能力。
4.引导学生在探索变量与常量过程中，培养严谨的数学态度和逻辑推理的素养。
5.培养学生的团队协作意识，通过小组讨论、互动交流，提升合作探究的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解变量与常量的定义及表示方法，并能正确区分两者。
-掌握函数概念的基本内涵，了解变量之间关系的表示方式。
在新课讲授的案例分析部分，我选取了一个与学生生活密切相关的例子，这样做的目的是让学生们感受到数学知识在解决实际问题中的应用。通过这个案例，我看到了学生们开始尝试将数学概念与实际情境联系起来，这是一个很好的开始。
实践活动环节，学生们在分组讨论中表现出了很高的热情。他们通过讨论和实验操作，亲身体验了变量与常量的变化过程，这种亲自动手的方式似乎比单纯的讲授更能加深他们的理解。
在小组讨论环节，我发现有的小组在分析问题时还不够深入，可能是因为他们对变量的理解还不够透彻。我适时地介入，提出了几个引导性的问题，帮助学生进一步思考。看到他们在讨论中逐渐找到问题的解决办法，我感到很欣慰。
最后，我发现在总结回顾环节，有些学生仍然对自己的理解不够自信，可能需要在课后进行个别辅导，确保他们能够真正掌握变量与常量这一知识点。此外，我也会在课后反思自己的教学方法，探索更有效的教学策略，以提升学生们的数学核心素养。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了变量与常量的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对变量与常量的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。

高中数学常量和变量的关系解题技巧

高中数学常量和变量的关系解题技巧在高中数学中，常量和变量是我们经常遇到的概念。

常量是指数学中不变的数，而变量是指数学中可以变化的数。

常量和变量之间的关系在解题过程中起着重要的作用。

本文将介绍一些常见的常量和变量的关系解题技巧，以帮助高中学生更好地应对数学考试。

一、常量和变量的关系在解题过程中，常常会遇到常量和变量之间的关系。

常量和变量之间的关系可以通过方程、不等式等形式来表示。

例如，已知一个正方形的边长是x，求正方形的面积。

在这个问题中，边长是变量x，而面积是常量。

通过建立方程x^2 = 面积，我们可以求解出正方形的面积。

二、常量和变量的关系解题技巧1. 列方程或不等式当遇到常量和变量之间的关系时，我们可以通过列方程或不等式来解决问题。

例如，已知一个矩形的长是x，宽是2，求矩形的面积大于10。

我们可以列出不等式x * 2 > 10，通过求解这个不等式，可以得到满足条件的x的取值范围。

2. 利用常量和变量的关系进行代入有时候，我们可以利用已知的常量和变量之间的关系进行代入。

例如，已知一个长方形的长是x，宽是2，面积是8，求x的值。

我们可以利用长方形的面积公式，代入已知的常量和变量的关系，得到方程x * 2 = 8，进而求解出x的值。

3. 利用常量和变量的比例关系在一些问题中，常量和变量之间存在比例关系。

例如，已知一个正方形的边长是x，求正方形的面积与边长的比值。

我们可以利用正方形的面积公式，得到面积与边长的比值为x^2 : x，即x : 1。

4. 利用常量和变量的函数关系在一些函数问题中，常量和变量之间存在函数关系。

例如，已知函数f(x) = 2x + 1，求f(3)的值。

我们可以将x代入函数中，得到f(3) = 2 * 3 + 1 = 7。

三、举一反三通过上述解题技巧，我们可以解决一些常见的常量和变量的关系问题。

但是在实际解题中，我们还需要灵活运用这些技巧。

例如，已知一个等差数列的首项是a，公差是d，求第n项的值。

八年级数学上册知识点归纳：常量与变量

八年级数学上册知识点归纳：常量与变量八年级数学上册知识点归纳：常量与变量自变量的取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体叫做函数的自变量的取值范围.对于一个确定的函数关系式，自变量的取值必须使含有自变量的代数式有意义.四、函数值函数值是指自变量在数值范围内取某个值时，另外一个变量与之对应的一个值.五、函数的表示方法在表达变量之间关系时，图像法、列表法和解析法是表达变量之间关系的重要方式：1.图象法：用图象表示两个变量之间的函数关系，这种表示函数的方法叫做图象法.优点：可以直观、形象地把函数关系表示出来，从图象中函数的性质一目了然地看出来.缺点：由图象只能观察出函数近似的数量关系. 2.列表法：用表格列出自变量与函数的对应值，表示函数两个变量之间的关系，这种表示函数的方法叫做列表法.优点：能明显地显示出自变量的值和与之对应的函数值.缺点：它只能把部分自变量的值和与之对应的函数值列出，不能反映函数变化的全貌.3.解析法：用自变量x的各种运算构成的式子表示函数y的方法叫做解析法.优点：简明扼要、规范准确，并且可以根据解析式列表和画图象，进而研究函数的性质；缺点：有些函数无法写出解析式，只能通过列表或画图象来表示.【变量间的关系考点分析】变量之间的关系与其它联系密切，应用广泛，因而成为中考热点之一，是历来中考数学的重点和热点，考查这部分以填空题、选择题、解答题等形式出现.既有对函数基本知识的考查，也有函数的综合题目.跨越了代数、几何、等多个知识点，囊括了整个初中数学知识和重要的思想方法.特别是近几年涌现出大量设计新颖、贴近生活、反映时代特点的阅读理解题、开放探索题以及函数应用题.这就要求同学们要注重生活实际，善与思考和分析，活用数学知识，学会把实际问题转化为数学问题，注重数学思想方法来解决实际问题．复习本考点主要集中于基本概念、写变化关系式、观察图象获取信息的能力以及学生对自变量与因变量的概念的理解，来考查通过对表达变量之间关系的正确理解，来书写变量之间关系的表示方法；考查学生会阅读图象获取有用信息，弄请图象反映的是哪两个变量之间的关系，用数学语言加以合理地表达；考查学生通过对表达变量之间关系的正确理解，来书写变量之间关系的表示方法.考查学生会阅读图象获取有用信息，弄请图象反映的是哪两个变量之间的关系，用数学语言加以合理地表达.考查学生用表格分析数据关系的能力.能从中提炼信息，发现规律，归纳出一般性的结论，从而解决实际问题.【变量间的关系知识点误区】解题中出现错误是难免的，但必须弄清产生错误的原因，掌握正确的解题方法．1．概念混淆有些同学往往将自变量当成因变量，同时对变化趋势表述不准确．2．忽视书写要求有些同学在写出的变化关系式中往往出现以下错误：未分清自变量；写成方程的形式，没有把因变量单独放在等式的左边，自变量与常量放在等式的右边．3．忽视横、纵轴的意义在解关于坐标系的问题时，未弄清横、纵轴表示的意义，从而得出了与答案相反的结论.4．注意两种图象的区别公路上依次有A，B，C三个汽车站，上午8时，小明骑自行车从A，B两站之间距离A站8km处出发，向C站匀速前进，他骑车的速度是每小时16.5km，若A，B两站间的路程是26km，B，C两站的路程是15km．（1）在小明所走的路程与骑车用去的时间这两个变量中，哪个是自变量？哪个是因变量？（2）设小明出发x小时后，离A站的路程为ykm，请写出y与x之间的关系式．（3）小明在上午9时是否已经经过了B站？（4）小明大约在什么时刻能够到达C站？ma满分网如图所示，梯形的上底长是5cm，下底长是13cm．当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化．（1）在这个变化过程中，自变量是，因变量是．（2）梯形的面积y（cm2）与高x（cm）之间的关系式为．（3）当梯形的高由l0cm变化到1cm时，梯形的面积由cm2变化到cm2．已知等腰三角形的顶角为x度，底角为y度，那么底角度数y与顶角度数x之间的关系式是，其中自变量是，因变量是．在烧开水时，水温达到l00℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：ma满分网（1）上表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的？（3）时间推移2分钟，水的温度如何变化？（4）时间为8分钟，水的温度为多少？你能得出时间为9分钟时，水的温度吗？（5）根据表格，你认为时间为16分钟和18分钟时水的温度分别为多少？（6）为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？一次试验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂砝码，下面是测得的弹簧长度y（cm）与所挂砝码的质量x（g）的一组对应值：ma满分网（1）表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）弹簧的原长是多少？当所挂砝码质量为3g时，弹簧的长度是多少？（3）砝码质量每增加1g，弹簧的长度增加______cm．下表给出了橘农王林去年橘子的销售额（元）随橘子卖出质量（千克）的变化的有关数据：ma满分网（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）当橘子卖出5千克时，销售额是多少？（3）估计当橘子卖出50千克时，销售额是多少？下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据：ma满分网（1）时间是8分钟时，水的温度为；（2）此表反映了变量和之间的关系，其中是自变量，是因变量；（3）在时间内，温度随时间增加而增加；时间内，水的温度不再变化．2012年1-12月某地大米的平均价格如下表所示，其中自变量是，因变量是；当自变量等于时，因变量的值最小．ma满分网在正方形的面积公式S=a2中，随a的增大，S也，其中自变量是，因变量是．公路上一辆汽车以50km/h的速度匀速行驶，它行驶的时间与路程这两个量中，是自变量，是因变量．。

八年级数学上册《常量与变量》教案、教学设计

2.教师指导：在每个小组讨论过程中，教师巡回指导，提供必要的帮助和引导，确保讨论的有效性。
3.小组分享：各小组向全班同学分享自己的讨论成果，展示问题解决过程和数学表达式的建立。
4.互动交流：鼓励学生提问、发表观点，促进全班范围内的互动交流，加深对常量与变量知识的理解。
（四）课堂练习
1.练习设计：根据学生的掌握情况，设计不同难度的练习题，涵盖识别常量与变量、列表达式、数据分析等方面。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对数学概念和运算规则有初步的了解。在此基础上，他们对《常量与变量》这一章节的学习将面临以下挑战：
1.抽象思维能力：学生对抽象概念的理解能力尚需提高，需要通过具体实例和形象教学手段帮助他们理解常量与变量的本质区别。
2.问题解决能力：学生在解决实际问题时，可能难以把握问题中的常量和变量，需要教师引导他们学会分析问题、提炼关键信息。
2.教师提问：请同学们思考，在生活中还有哪些类似的现象？这些现象中的常量和变量是什么？
3.学生回答：学生分享自己的观察和思考，如温度、降雨量、植物生长等，尝试区分这些现象中的常量和变量。
4.教师引导：根据学生的回答，总结常量与变量的概念，引出本节课的学习主题。
（二）讲授新知
1.教学内容：讲解常量与变量的定义，通过具体实例阐述它们在数学表达中的表示方法。
2.设计丰富多样的例题和练习，培养学生的问题解决能力。
3.加强小组合作指导，提高学生的合作交流能力。
4.结合实际问题，引导学生体会数学知识在生活中的应用，培养数学应用意识。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.理解并掌握常量与变量的概念，能够区分实际问题中的常量和变量。
2.学会使用变量表示数量关系，并能够根据问题情景列出相应的表达式。

数学知识点总结之常量与变量

数学知识点总结之常量与变量
数学知识点总结之常量与变量
关于常量与变量的数学知识点，同学们认真看看下面的讲解知识。

常量与变量：
在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；
数值始终不变的量叫做常量
通过上面对常量与变量知识点的总结学习，相信上面的`知识点能很好的帮助同学们的复习学习工作。

初中数学知识点总结：平面直角坐标系
下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

平面直角坐标系
平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合
三个规定：
①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向
②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

浙教版数学八年级上《常量和变量》精品教案

教案名称：常量和变量教学目标：1.了解常量和变量的概念2.能够区分常量和变量3.能够灵活运用常量和变量教学重点：1.常量和变量的概念2.区分常量和变量3.运用常量和变量解决问题教学难点：如何正确运用常量和变量解决问题教学准备：1.教材：浙教版数学八年级上册2.多媒体教学设备教学过程：Step 1 导入新课通过引入一个实际生活中的例子，帮助学生理解常量和变量的概念。

比如：小明每天花在网吧上网的时间是固定的，这个时间就是常量；而他花在网吧的费用却是每次不同的，这就是变量。

请同学们来举一些其他的例子。

Step 2 常量和变量的概念在板书上写下“常量”和“变量”两个词，让学生试着解释这两个概念。

通过讨论，让学生梳理出常量和变量的特点和区别。

Step 3 区分常量和变量给学生出示几个含有常量和变量的数学表达式，请学生梳理出其中的常量和变量。

比如：2x+3y=10，x和y是变量，而2和3是常量。

Step 4 运用常量和变量解决问题通过一些实际问题，让学生运用常量和变量来解决。

比如：问题1：一个矩形的面积是12平方米，长边是3米，请问宽是多少？问题2：一道数学题的答案是10，比答案小5的数是多少？请学生用变量表示未知数，解决以上问题。

Step 5 合作探究将学生分成小组，每个小组给出一个问题，让其他小组运用常量和变量来解决。

鼓励学生通过合作来思考解决问题的不同方法。

Step 6 讲解总结对学生提出的问题进行总结，并给予解答。

总结常量和变量的特点和运用方法。

Step 7 练习巩固通过一些练习题来巩固学生对常量和变量的理解和运用能力。

教学拓展：1.给学生出示一些数学公式，让学生找出其中的常量和变量。

2.引导学生思考常量和变量在实际生活中的其他应用。

教学反思：本课设计通过引入实际例子和问题，让学生理解常量和变量的概念，并能灵活运用。

在教学过程中，教师需要注意引导学生的思考和合作探究，培养学生的数学思维能力和团队合作能力。

初中数学知识归纳变量的概念和性质

初中数学知识归纳变量的概念和性质初中数学知识归纳：变量的概念和性质在初中数学中，我们经常会遇到许多问题需要用到变量来解决。

变量是数学中非常重要的概念之一，它在问题求解和数学建模中起到了至关重要的作用。

本文将全面介绍变量的概念和性质。

一、变量的概念什么是变量？变量是指在问题中可以改变的数值或量。

它通常用字母来表示，表示的是一个未知数或未定数。

变量的值是可以改变的，它可以取不同的数值，用来表示不同情况下的数值关系。

我们通常用字母x，y，z等来表示变量。

例如，在一条直线上，我们可以用x来表示不同点在横坐标上的位置，用y来表示对应的纵坐标的值。

又如，在一个正方形中，我们可以用x来表示正方形的边长。

二、变量的性质变量具有一些特殊的性质，了解这些性质对于数学问题的分析和解决很有帮助。

1. 变量的取值范围与问题相关每一个变量都有它的取值范围，这个取值范围与问题的具体情境相关。

例如，如果一个问题中涉及到人的年龄，那么变量的取值范围应该是正整数，且通常限制在一定范围内，如0到150岁。

因此，在使用变量时，需要根据问题的需求来确定合适的取值范围。

2. 变量之间可以相互影响在很多数学问题中，不同的变量之间存在着某种关系。

这种关系可以是线性的，也可以是非线性的。

通过研究变量之间的关系，可以找到问题的解法和规律。

3. 变量的变化通常具有一定规律性变量的变化通常会遵循一定的规律。

通过观察和分析变量的变化规律，可以找到问题的解法或者总结出一般性的结论。

例如，在一个等差数列中，每一项与前一项之间的差值是相等的，这是一个通用的规律。

4. 变量可以代表一组数值变量不仅可以代表一个具体的数值，还可以代表一组数值。

这样，问题就可以转化为寻找这组数值之间的关系。

通过确定关系，可以找到问题的解法。

5. 解方程是利用变量的重要方法在数学问题的解决中，解方程是一种非常重要的方法。

方程是通过等号连接的两个代数式，其中包含了变量和常数。

通过求解方程，可以求得变量的具体数值，从而解决问题。

数学中的变量与常量应用技巧

数学中的变量与常量应用技巧在数学中，变量和常量是一种非常重要的概念，它们在数学问题的解决过程中具有着关键的作用。

本文将探讨数学中变量和常量的应用技巧，并分享一些解题方法。

一、变量与常量的概念变量是指在数学问题中可以改变数值的量，通常用字母表示。

常量则是指数值始终不变的量，如π、e等。

变量和常量分别代表了问题中具有可变性和恒定性的量，它们相互配合，能够帮助我们解决各种数学难题。

二、解一元方程解一元方程是数学中常见的问题。

一元方程中，我们通常用一个变量来表示未知数，通过变量的求解，来确定未知数的数值。

解一元方程的关键是确定方程中的变量和常量，并运用适当的技巧进行求解。

例如，我们考虑以下的一元线性方程：2x + 5 = 11。

在这个方程中，变量是x，常量是2、5和11。

我们的目标是找到使方程成立的x的值。

首先，我们可以通过逆向运算来消去常量，得到2x = 11 - 5，即2x = 6。

然后，我们再通过逆向运算除以系数，得到 x = 6/2，即x = 3。

因此，解方程2x + 5 = 11的解为x = 3。

三、应用变量与常量解数学问题除了解方程外，变量和常量在解决数学问题中还有其他的应用。

1. 几何问题在几何问题中，变量可以表示长度、角度等未知量，常量则代表已知条件。

我们可以通过列方程、应用几何原理来求解问题。

例如，使用变量表示某个角的度数，通过等式关系求解角的大小。

2. 函数求解在函数求解中，变量表示自变量，常量则是函数的系数或截距等。

通过确定变量和常量的值，可以计算函数在给定自变量上的函数值。

这对于实际问题的模型建立和求解提供了重要的数学工具。

3. 数量关系在数量关系问题中，变量通常用来表示不同数之间的关系。

例如，如果我们知道一个数的倍数与另一个数的和等于第三个数，可以设一个数为变量，通过列方程解出变量的值。

四、结果的验证与应用在数学问题解决完毕后，为了验证结果的正确性，可以将解得的变量代入原方程或问题中进行验证。

初中变量和常量的概念教案

初中变量和常量的概念教案1. 让学生理解变量和常量的概念，掌握它们之间的区别和联系。

2. 培养学生从实际问题中抽象出变量和常量的能力，感受数学与生活的紧密联系。

3. 培养学生运用变量和常量解决实际问题的能力，提高学生的数学应用意识。

二、教学内容1. 变量和常量的定义及其区别和联系。

2. 实际问题中变量和常量的应用。

三、教学重难点1. 掌握变量和常量的概念，能够从实际问题中识别变量和常量。

2. 理解变量和常量在实际问题中的作用，能够运用它们解决实际问题。

四、教学方法1. 采用情境教学法，让学生在实际问题中感受变量和常量的存在。

2. 采用合作学习法，让学生通过讨论、交流，共同探讨变量和常量的特点和应用。

3. 采用引导发现法，引导学生从实际问题中发现变量和常量，培养学生的问题意识。

五、教学过程1. 导入：通过展示一幅图，让学生观察图中的变化，引出变量和常量的概念。

2. 新课：介绍变量和常量的定义，讲解它们之间的区别和联系。

3. 实例分析：给出几个实际问题，让学生识别其中的变量和常量，并探讨它们的运用。

4. 小组讨论：让学生分组讨论，总结变量和常量的特点，以及如何运用它们解决实际问题。

5. 总结：对变量和常量的概念进行归纳总结，强调它们在数学和生活中的重要性。

6. 练习：布置一些练习题，让学生巩固所学内容，提高运用变量和常量解决实际问题的能力。

七、教学反思通过本节课的教学，学生应该能够理解变量和常量的概念，掌握它们之间的区别和联系。

在实际问题中，学生应能够识别变量和常量，并运用它们解决实际问题。

同时，学生应感受到数学与生活的紧密联系，提高数学应用意识。

在教学过程中，教师应关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，引导学生从实际问题中发现变量和常量。

此外，教师还应注重培养学生的合作学习能力，鼓励学生积极参与讨论，提高问题意识。

总之，本节课的教学目标是让学生掌握变量和常量的概念，培养学生运用它们解决实际问题的能力。

八年级数学《常量与变量》学习要点必备

八年级数学《常量与变量》学习要点必备
数学学习一定要注意对基础的培养，老师也要注重同学们对基础的掌握，八年级数学常量与变量学习要点整理给大家，请老师参考并提出宝贵意见。

数学中表征事物量的一对概念。

在事物的特定运动过程中，固定保持不变，则称之为常量;反之，可以去不同数值的量则称之为变量，在生活中有广泛运用。

数学中表征事物量的一对概念。

在事物的特定运动过程中，某量若保持不变，则称之为常量;反之，则称之为变量。

变量分为自变量和因变量，亦称函数。

人们在实践活动中，为了从量的方面研究事物运动、变化的规律性,或者事物之间的数……
八年级数学常量与变量学习要点及时提供给同学们，知识点对朋友们的学习非常重要，大家一定要认真掌握，希望大家能够使用~
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1、分解方法的延拓-培优数学张老师

11、分解方法的延拓因式分解(factorization)是针对多项式的一种恒等变形，提公因式(common factor)法、公式法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．一些复杂的因式分解问题，常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数、降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．【例l 】分解因式：=+++-+10)3)(4(2424x x x x(第12届“五羊杯”竞赛题)思路点拨视24x x +为一个整体，用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2/222222-⋅++-+-因式分解后的结果是( )．))()(..(z x y x z y A -+- ))()(.(z x y x z y B +-- ))()(.(z x y x z y C +-+ ))()(.(z x y x z y D -++(上海市竞赛题)思路点拨原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x 2； (天津市竞赛题)(2)1999x 2一(19992—1)x 一1999； (重庆市竞赛题)(3)(x+y 一2xy)(x+y 一2)+(xy--1)2； (“希望杯”邀请赛试题)(4)(2x 一3y)3+(3x--2y)3—125(x--y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)思路点拨 (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+Y ，xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．【例4】把下列各式分解因式：);()()()1(222b a c a c b c b a -+-+- .672)2(22-+--+y x y xy x思路点拨 (1)式字母多、次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax2+bxy+cy 2+dx+ey+ f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．【例5】证明：对任何整数x 和y ，下式的值都不会等于33．.1241553.54322345y xy y x y x y x x ++--+(莫斯科奥林匹克八年级试题)思路点拨33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．1．分解因式：=+-2232ab b a a(2005年陕西省中考题)2．分解因式：=-+-9222y xy x(2004年北京市中考题)3．分解因式：=-++++12)2)(1(22x x x x 4．已知a 、b 、C 满足a+b=5，,92-+=b ab c 则C=5．将多项式3224--xx 分解因式，结果正确的是( )． )1)(3.(22-+x x A )3)(1.(22-+x x B )1)(1)(3.(2-++x x x C 3)(3)(1.(2-++x x x D6．多项式22b a bc ac -+-分解因式的结果是( )．))(.(c b a b a A ++- ))(.(c b a b a B -+- ))(.(c b a b a C -++ ))(.(c b a b a D +-+(2005年四川省中考题)7．要使二次三项式P x x +-52在整数范围内能进行因式分解，那么整数P 的取值可以有( )．A ．2个B ．4个C ．6个D ．无数个(2004年杭州市中考题)8．若,13,51=+-=+b a b a 则53912322+++b ab a 的值为( )． 92.A 32.B 54.C D.0 (大连市“育英杯”竞赛题)9．分解因式：;2)84(3)84)(1(2222x x x x x x ++++++ ;13322)132)(2(222-+-+-x x x x;200120002001)3(21+++x x x ;)1)(13)(12)(16)(4(2x x x x x +---- ;1)()()5(22++-+b a b a ab(第16届“希望杯”邀请赛试题).6136)6(22-++-+y x y xy x(“希望杯”邀请赛试题)10．分解因式：=+++-12)5)(3)(1(2x x x(河南省竞赛题)11．分解因式：=++++22635y y x xy x 12．分解因式：=-----333)()2()2(y x y x(第12届“五羊杯”竞赛题)13．在1～100之间若存在整数n ，使n x x -+2能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的n 有个．(北京市竞赛题)14．613223+-+x x x 的因式是( )．A ．2x-lB ．x+2C ．x 一3 1.2+x D 12.+x E(美国犹他州竞赛题)15．已知a>b>C ，,,222222ca bc ab N a C c b b a M ++=++=则M 与N 的大小关系是 ( )． A ．M<N B ．M>N C ．M=N D ．不能确定(第13届“希望杯”邀请赛试题)16．把下列各式分解因式：;12)16)(1)(1(222a a a a a ++-++ ;91)72)(9)(52)(2(2---+a a a(湖北省黄冈市竞赛题);)()())(3(42224y x y x y x -+-++(第16届“五羊杯”竞赛题);10)13)(14)(4(42424x x x x x ++++-(第13届“五羊杯”竞赛题).3469)5(22-+--y y x x(2004年河南省竞赛题)17．对方程,20042222=++b a b a 求出至少一组整数解．(2005年莫斯科市竞赛题)18．已知在△ABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)．求证：a+C = 2b ．(天津市竞赛题)。

七年级数学变量常量知识点

七年级数学变量常量知识点在数学中，变量和常量是我们经常会遇到的概念。

它们分别有什么含义，如何应用于数学问题中，下面我们将详细介绍。

一、变量的概念变量是一个数学符号，代表一个未知的数值，通常用字母表示。

在数学中，我们通常会遇到一些未知数值，比如x、y、z等，这些都是变量。

例如，我们要解方程“2x+1=9”，其中的x就是一个变量，我们需要通过运算来求出x的具体值。

变量可以在数学中起到非常重要的作用，它在表达式中可以作为数值的占位符，使得我们可以运用各种公式来求解问题。

二、常量的概念与变量相反，常量是一个已知的数值，通常用数字表示。

在数学中，常量可以用作数据的基础，并可以在计算中保持不变。

例如，圆周率π的数值就是一个常量，通常表示为3.14159……。

它在几何中的应用非常广泛，可以帮助我们计算圆的周长、面积等。

三、变量和常量的应用1.代数式在代数式中，变量可以代表一段文本或数字，例如“3x-2y”中的x和y就是变量。

常量可以代表已知的数字，例如“3x-2y=7”，其中的7就是常量。

通过代数式的运算，我们可以得出变量的值，从而可以得出问题的答案。

2.函数函数也是数学中的一个重要概念，它将一个或多个变量与一个输出关联起来。

函数通常用字母和输入的变量表示，并用等式或某种关系式定义。

函数可以帮助我们研究一些变量之间的关系，例如，y=2x+1就是一个函数，其中的x和y分别代表输入和输出，通过改变x的值，我们可以得到y的值。

3.方程方程是一种数学表达式，其中的变量和常量通过等式相连。

方程可以通过代数运算来求解其中未知变量的值，从而得到问题的答案。

例如，我们可以通过方程式“2x+3=7”来求解x的值，从而得到x=2的结果。

四、总结变量和常量是数学中基本的概念，它们可以帮助我们解决各种数学问题。

变量是未知的数值，常量是已知的数值，在数学运算中起着不同的作用。

我们需要了解它们的概念，才能更好地应用它们来解决问题。

浙教版数学八年级上册《常量和变量》word教案

常量和变量教学目标1、通过实例体验在一个过程中有些量固定不变，有些量不断地变化。

2、了解常量、变量的概念，体验在一个过程中常量与变量相对地存在。

3、会在简单的过程中辨别常量和变量。

教学重点常量和变量的概念。

教学难点范例设计亮点教学过程备注变化着的气温；某段河道一天中时刻变化着的水位……在某一个过程中，有些量固定不变，有=r cm =s c mm =25t在根据不同的工作时数计算钟点工应得工资额的过程中，哪些量在改变？哪些量不变？可以取不同数值的量称为变量。

当△ABC的面积S一定时，在关系式中的常量是，变量是。

小贴士：常量与变量在一个过程中是相对地存在的.4、请同学们举例，说出其中的常量和变量。

三、例题：一家快递公司的收费标准如图，用t表示邮件的质量，p表示每件快递费，n表示快递邮件的件数。

图略课本141（1）填写下表。

t(千克) 3 6 10 11 12.5 13p（元）（2）在投寄快递邮件的事项中，t、p、n是常量还是变量？若0＜t≤10，投寄件的快递费为w，此时，t、p、n、w中哪些是常量？哪些是变量？做一做：海水受日月的引力而产生潮汐现象. 早晨海水上涨叫做潮，黄昏海水上涨叫做汐，合称潮汐. 潮汐与人类的生活有着密切的联系. 某港口某天从0时到12时的水深情况如下表，其中T表示时刻，h表示水深：T(时) 0 3 6 9 12h(米) 5 7.4 5.1 2.6 4.5上述问题中，字母T，h表示的是变量还是常量，简述你的理由.四、小结回顾，反思提高1、常量和变量的概念。

2、常量与变量不是绝对的，而是相对于一个变化过程而言的。

五、作业布置常量与变量不是绝对的，而是相对于一个变化过程而言的。

七年级数学上册《认识常量与变量》教案、教学设计

2.学生的逻辑思维能力和问题解决能力正处于发展阶段，需要通过具体案例和实际操作来帮助他们构建数学模型，从而更好地理解常量与变量之间的关系。
3.学生在团队合作和表达交流方面能力各异，教师在教学过程中要关注个体差异，创设多元化的教学活动，使每个学生都能在合作与交流中提升自己的能力。
4.部分学生对数学学习存在畏惧心理，教师应关注学生的情感态度，通过鼓励和肯定，帮助他们建立自信，激发学习兴趣。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，每组选择一个生活中的实例，讨论其中涉及的常量和变量。我会提供一些讨论话题，如：
1.在你的生活中，还有哪些类似的常量与变量的例子？
2.如何将这些现实问题转化为数学模型？
3.在解决这些问题的过程中，常量与变量是如何相互作用的？
讨论过程中，我会巡回指导，关注学生的思考过程和讨论内容，适时予提示和引导。讨论结束后，每组选代表进行汇报，分享他们的发现和成果。
-安排练习题，让学生练习在给定变量或常量的条件下，推导出相关的数学公式。
（二）过程与方法
1.通过观察、比较、归纳等逻辑推理方法，让学生体验从特殊到一般的思维过程。
-引导学生从具体的实例中归纳出常量与变量的定义，培养他们的观察力和归纳能力。
-组织小组讨论，鼓励学生交流各自的思考过程和解决问题的策略。
2.培养学生运用数学语言表达数学概念的能力，以及合作学习和交流表达的能力。
（四）课堂练习
课堂练习环节，我会设计一些具有针对性的习题，让学生巩固常量与变量的概念。习题分为基础题和提高题，以满足不同层次学生的学习需求。
1.基础题：识别下列各实例中的常量和变量。
-圆的周长C = 2πr
-购买水果，每千克x元，购买y千克的总价

九年级数学竞赛讲座：由常量数学到变量数学

九年级数学竞赛讲座：由常量数学到变量数学数学漫长的发展历史大致历经四个时期：以自然数、分数体系形成的萌芽期；以代数符号体系形成的常量数学时期；以函数概念产生的变量数学时期；以集合论为标志的现代数学时期．函数是数学中最重要的概念之一，它是变量数学的标志，“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性．函数的基本知识有：与平面直角坐标系相关的概念、函数概念、函数的表示法、函数图象概念及画法．在坐标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”相互转换的最基本形式．点的坐标是解决函数问题的基础，函数解析式是解决函数问题的关键，所以，求点的坐标、探求函数解析式是研究函数的两大重要课题．【例题求解】【例1】在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(2，-3)，点P在y轴上，且△APB为直角三角形，则点P的个数为． (河南省竞赛题)思路点拨先在直角坐标平面内描出A、B两点，连结AB，因题设中未指明△APB的哪个角是直角，故应分别就∠A、∠B、∠C为直角来讨论，设点P(0，x)，运用几何知识建立x的方程．注：点的坐标是数与形结合的桥梁，求点的坐标的基本方法有：(1)利用几何计算求；(2)通过解析式求；(3)解由解析式联立的方程组求．【例2】如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽．水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系，大致是下列图象中的( )思路点拨向烧杯注水需要时间，并且水槽中水面上升高0h．注：实际生活中量与量之间的关系可以形象地通过图象直观地表现出来，如心电图、，股市行情走势图等，图象中包含着丰富的图象信息，要善于从图象的形状、位置、发展变化趋势等有关信息中获得启示．【例3】南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选择其中的一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示：运输工具途中速度(千米／时)途中费用(元／千米)装卸费用(元)装卸时间(小时)飞机200 16 1000 2火车100 4 2000 4汽车50 8 1000 2x 千米．(1)如果用Wl 、W2、W3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用(包括损耗)，求出Wl 、W2、W3与小x间的函数关系式．(2)应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小?(湖北省黄冈市中考题)思路点拨每种运输工具总支出费用＝途中所需费用(含装卸费用)+损耗费用；总支出费用随距离变化而变化，由Wl —W2＝0，W2一W3=0，先确定自变量的特定值，通过讨论选择最佳运输方式．【例4】已知在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，把它放在直角坐标系中，使AD边在y轴上，点C的坐标为(23，8)．(1)画出符合题目条件的菱形与直角坐标系；(2)写出A、B两点的坐标；(3)设菱形ABCD的对角线交点为P．问：在y轴上是否存在一点F，使得点P与点F关于菱形ABCD的某条边所在的直线对称，如果存在，写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由． (江苏省常州市中考题)思路点拨 (1)关键是探求点A是在y轴正半轴上、负半轴上还是坐标原点，只须判断∠COy 与∠CAD的大小；(2)利用解直角三角形求A，B两点坐标；(3)设轴上存在点F(0，y)，则P 与F只可能关于直线DC对称．注：建立函数关系式，实际上都是根据具体的实际问题和一些特殊的关系、数据而抽象、归纳建立函数的模型．【例5】如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点，若P为AB边上的一个动点，PQ∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A 的右侧作正方形PQMN，记PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y．(1)当AP＝3cm时，求的值；(2)设AP=cm时，求y与x的函数关系式；(3)当y=2cm2，试确定点P的位置．(2001年天津市中考题)思路点拨对于(2)，由于点P的位置不同，y与x之间存在不同的函数关系，故需分类讨论；对于(3)，由相应函数解析式求x值．注：确定几何元素间的函数关系式，首先是借助几何知识与方法把相应线段用自变量表示，再代入相应的等量关系式，需要注意的是：(1)当图形运动导致图形之间位置发生变化，需要分类讨论；(2)确定自变量的几何意义，常用到运动变化、考虑极端情形、特殊情形等思想方法．学力训练1．如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、B(4，4)，∠OAB ＝90°，有直角三角形与Rt △ABO 全等且以AB 为公共边，请写出这些直角三角形未知顶点的坐标． (贵州省中考题)2．在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C 在x 轴上(C 与A 不重合)，当点C 的坐标为时，使得由点B 、O 、C 组成的三角形与△AOB 相似(至少找出两个满足条件的点的坐标)． (广西桂林市中考题)3．根据指令(S ≥0，0°<A<180°)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离S ．现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x 轴的正方向，(1)若给机器人下了一个指令，则机器人应移动到点；(2)请你给机器人下一个指令，使其移动到点(一5，5)．(浙江省杭州市中考题)4．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴的夹角为60°，且点A 的坐标为(一2，0)，点B 在x 轴上方，设AB ＝a ，那么点B 的横坐标为( ) A ．22a - B ．22a + C ．22a -- D ．22a +-(年南昌市中考题)5．一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米，小军先走了一段路程，爸爸才开始出发．图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程(米)与登山所用的时间(分钟的关系)(从爸爸开始登山时计时)，根据图象，下列说法错误的是( ) A ．爸爸登山时，小军已走了50米 B ．爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面 C ．小军比爸爸晚到山顶D ．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟之后登山的速度比小军快 (江苏省淮安市中考题) 6．若函数mx x y ++=212的自变量x 的取值范围为一切实数，则m 的取值范围是( )A ．m<lB ．m=1C ． m>lD ．m ≤17．如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、点B(0，3)，若有一个直角三角形与Rt △ABO 全等，且它们有一条公共边，请写出这个直角三角形未知顶点的坐标(不必写出计算过程)． (常州市中考题)8．如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：（1）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ，请写出y 与n (n 表示第n 个图形)的函数关系式； (2)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n 的值； (3)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中，共需花多少元钱购买瓷砖? (4)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等情形?请通过计算说明为什么?(吉林省中考题)9．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD ，它的4个顶点为A(10，0)，B (0，10)，C(一10，0)，D(0，一10)，则该正方形内及边界上共有个整点(即纵横坐标都是整数的点)． (上海市初中数学竞赛题)10．如图，已知边长为l的正方形OABC在直角坐标系中，A、B两点在第一象限内，OA与x轴的夹角为30°，那么点B的坐标是．11．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一分钟内它从原点运动到(1，0)，而后它接着按图所示在与x轴、y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在1989分钟后这个粒子所处位置为．(美国高中数学考试题)12．在直角坐标系中，已知A(1，1)，在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有( )A．1个 B．2个 C． 3个 D．4个 (2001年湖北赛区选拔赛题)13．已知点P的坐标是(a+2l，b+2)，这里a、b是有理数，PA、PB分别是点P到x轴和y 轴的垂线段，且矩形OAPB的面积为2，则P点可能出现的象限有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (江苏省竞赛题)14．甲、乙二人同时从A地出发，沿同一条道路去B地，途中都使用两种不同的速度Vl与V 2(Vi<V2)，甲用一半的路程使用速度Vl、另一半的路程使用速度V2；关于甲乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有图中4个不同的图示分析．其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程，其中正确的图示分析为( )A．图(1) B．图(1)或图(2) C．图(3) D．图(4)(河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)15．依法纳税是每个公民应尽的义务．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民每月工资、薪金收入不超过800元，不需交税；超过800元的部分为全月应纳税所得额，都应交税，且根据超过部分的多少按不同的税率交税，详细的税率如下表：级别全月应纳税所得额税率(％)1 不超过500元部分 52 超过500元至2000元部分103 超过2000元至5000元部分15……(1)(2)设表示每月收入(单位：元)，y表示应交税款(单位：元)，当1300<x≤2800时，请写出y 关于x的函数关系式；(3)某企业高级职员2002年11月应交税款55元，问该月他的总收入是多少元?(四川省竞赛题)16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB上任意一点(A、B两点除外)，过D作AB垂线与△ABC的直角边相交于E，设AD=x，△ADE的面积为y，当点D在AB上移动时，求y关于x之间的函数关系式．17．现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用6000元，使用月型车厢每节费用为8000元．(1)设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x之间的函数关系式；(2)如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节月型B车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案?(3)在上述方案中，哪个方案运费最高?最少运费为多少元? (广州市中考题)18．如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为(14，0)，(14，3)，(4，3)．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位；点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．(1)设从出发起运动了x秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试分别写出这时点Q在OC上或在CB上时的坐标(用含x的代数式表示)；(2)设从出发起运动了x秒，如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半，①试用含x的代数式表示这时点Q所经过的路程和它的速度；②试问：这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分?如有可能，求出相应的x的值和P、Q的坐标；如不可能，请说明理由． (苏州市中考题)参考答案。

浙教版数学八年级上册专题培优讲义《专题9 常量、变量、函数、一次函数》

浙教版数学八年级上册专题培优讲义专题9常量、变量、函数、一次函数【知识梳理】函数是“数与代数”最重要的内容之一，也是初中数学的核心内容．它在实际问题及数学综合性问题中都有着极为广泛的应用．函数知识可以分为三个方面：1．函数的意义和表示法；2．函数关系式的建立；3．函数的性质及其运用．本专题知识点主要是常量与变量、函数的概念及函数表示方法、一次函数的概念及表达式．1．常量与变量在一个过程中，______________称为常量；可以取不同数值的量称为变量．注意：常量和变量是相对的．2．函数的概念及表示方法(1)函数的概念：在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的_________的值，y都有_________的值，那么就说y是x的_________，x叫做_________．(2)函数的表示方法：①_________；②_________；③_________．3．一次函数的概念(1)一般地，形如_________(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数．(2)当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k为常数，k≠0)，叫做_________，常数k叫做_________．4．求一次函数表达式的方法可以_________法，按以下步骤进行：(1)设出一次函数表达式为y＝kx＋b，其中k，b是待确定的常数，k≠0.(2)把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y＝kx＋b，得到关于k，b的二元一次方程组．(3)解这个关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值．(4)把求得的k，b的值代入y＝kx＋b，就得到所求的一次函数表达式．5．函数自变量的取值范围考虑自变量的取值范围必须使表达式有意义，当表达式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；当表达式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为0的所有实数；当表达式中含有平方根时，自变量的取值范围是使被开方数不小于0的实数；当表达式表示实际问题时，自变量的取值范围必须使实际问题有意义．【例题探究】【例1】函数y ＝2－x ＋1x －3中自变量x 的取值范围是()A ．x ≤2B ．x ＝3C ．x ＜2且x ≠3D ．x ≤2且x ≠3【思路点拨】要使函数y ＝2－x ＋1x －3有意义，应满足－x ≥0，－3≠0，解不等式组即可得出x 的取值范围．【例2】解决下列问题：(1)下列关系，不是函数关系的是()A ．y ＝x －1(x ≥1)B ．y ＝－x －1(x ≥1)C ．y ＝1－x (x ≤1)D ．y ＝±x －1(x ≥1)(2)下列四个图象中，不表示某一函数图象的是()【思路点拨】本题的两个小题是从表达式和图象来判别y 是否是x 的函数．可以紧扣函数的概念来进行判断．【例3】已知函数y ＝(m ＋1)x ＋(m 2－1)．(1)当m 取什么值时，y 是x 的正比例函数？(2)当m 取什么值时，y 是x 的一次函数？【思路点拨】解：(1)根据正比例函数的定义可知，m ＋1≠0且m 2－1＝0，从而可求得m 的值；(2)根据一次函数的定义可知，m ＋1≠0，即可得出m 的取值范围．【例4】根据如图的程序计算函数y 的值，若输入x 的值是7，则输出y 的值是－2．若输入x 的值是－8，则输出y 的值是()A ．5B ．10C ．19D ．21【思路点拨】把x ＝7代入y ＝－x ＋b 2，根据输出y 的值是－2可求得b 的值，再把x ＝－8代入y ＝－2x ＋b ，即可得出y 的值．【例5】大家知道乌鸦喝水的故事，如图，它看到一个水位较低的瓶子，喝不着水，沉思一会儿后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间变量为x ，水位高度变量为y ，下列图象最符合故事情景的大致是()【思路点拨】由于原来水位较低，乌鸦沉思一会儿后才想出办法，说明在沉思的这段时间内水位没有变化，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，乌鸦喝水后的水位又逐渐降低，但不低于开始时的水位，由此即可作出判断．【例6】甲、乙两组同时加工某种零件，甲组每小时加工80件，乙组加工的零件数量y(件)与时间x(小时)为一次函数关系，部分数据如下表所示．(1)求y与x(2)甲、乙两组同时生产，加工的零件合在一起装箱，每满340件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱．【思路点拨】(1)根据y与x为一次函数关系，可设y＝kx＋b，再将表格中的两组数据代入，用待定系数法即可求得函数关系式；(2)设经过t小时恰好装满第1箱，根据甲组生产的零件＋乙组生产的零件＝340列出方程，解方程即可求得t的值．【例7】《中华人民共和国个人所得税》规定，公民月工资、薪金所得不超过5000元的部分不纳税，超过5000元的部分为全月纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：(1)(2)设王先生的月工资、薪金所得为x元，且6500<x≤14000，当月应缴纳个人所得税为y元，求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围．(3)已知李先生一月份应缴纳个人所得税为303元，那么他当月的工资、薪金所得为多少元？【思路点拨】(1)根据表格提供的所得税的计算方法分段计算即可；(2)分6500<x≤9500，9500<x≤14000两种情况分别求出y关于x的函数表达式；(3)先根据李先生应缴纳的个人所得税额，判断出x的取值范围，再代入相应的函数表达式，解方程即可得出答案．【答案解析】【知识梳理】函数是“数与代数”最重要的内容之一，也是初中数学的核心内容．它在实际问题及数学综合性问题中都有着极为广泛的应用．函数知识可以分为三个方面：1．函数的意义和表示法；2．函数关系式的建立；3．函数的性质及其运用．本讲知识点主要是常量与变量、函数的概念及函数表示方法、一次函数的概念及表达式．1．常量与变量在一个过程中，固定不变的量称为常量；可以取不同数值的量称为变量．注意：常量和变量是相对的．2．函数的概念及表示方法(1)函数的概念：在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量．(2)函数的表示方法：①表达式法；②列表法；③图象法．3．一次函数的概念(1)一般地，形如y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数．(2)当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k为常数，k≠0)，叫做正比例函数，常数k叫做比例系数．4．求一次函数表达式的方法可以用待定系数法，按以下步骤进行：(1)设出一次函数表达式为y＝kx＋b，其中k，b是待确定的常数，k≠0.(2)把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y＝kx＋b，得到关于k，b的二元一次方程组．(3)解这个关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值．(4)把求得的k，b的值代入y＝kx＋b，就得到所求的一次函数表达式．5．函数自变量的取值范围考虑自变量的取值范围必须使表达式有意义，当表达式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；当表达式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为0的所有实数；当表达式中含有平方根时，自变量的取值范围是使被开方数不小于0的实数；当表达式表示实际问题时，自变量的取值范围必须使实际问题有意义．【例题探究】【例1】函数y＝2－x＋1x－3中自变量x的取值范围是()A．x≤2B．x＝3C．x＜2且x≠3D．x≤2且x≠3【解题过程】由题意，－x≥0，－3≠0.解得x≤2．故选A.【方法归纳】函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，考虑被开方数非负．【例2】解决下列问题：(1)下列关系，不是函数关系的是()A．y＝x－1(x≥1)B．y＝－x－1(x≥1)C．y＝1－x(x≤1)D．y＝±x－1(x≥1)(2)下列四个图象中，不表示某一函数图象的是()【解题过程】(1)在选项A中，对于自变量x在它的取值范围内每取一个确定的值(如x ＝5)，变量y都有唯一一个确定的值(如y＝2)与之对应，所以选项A中的关系式表示函数关系．用同样的方法可以确定选项B，C中的关系式也表示函数关系．而在选项D中，因为对于自变量x在它的取值范围内每取一个确定的值(如x＝5)，变量y都有两个确定的值(如y＝±2)与之对应，根据函数的概念，y不是x的函数．故选D.(2)自变量x在它的取值范围内取一个确定的值，过这个数对应的点作x轴的垂线，只有选项D与这条垂线有两个交点，即变量y有两个确定的值与之对应，根据函数的概念，y不是x的函数．故选D.【方法归纳】用关系式给出两个变量x，y之间的关系，关键是看变量x每取一个值时，变量y是否有唯一的值与其对应，若有，则y是x的函数；否则，y不是x的函数．【例3】已知函数y ＝(m ＋1)x ＋(m 2－1)．(1)当m 取什么值时，y 是x 的正比例函数？(2)当m 取什么值时，y 是x 的一次函数？【解题过程】(1)∵函数y ＝(m ＋1)x ＋(m 2－1)是正比例函数，∴m ＋1≠0且m 2－1＝0．解得m ＝1.(2)∵函数y ＝(m ＋1)x ＋(m 2－1)是一次函数，∴m ＋1≠0．解得m ≠－1.【方法归纳】本题主要考查一次函数和正比例函数的概念．一次函数y ＝kx ＋b 要满足k ，b 为常数，k ≠0，自变量x 的次数为1，其中当b ＝0时是正比例函数．【例4】根据如图的程序计算函数y 的值，若输入x 的值是7，则输出y 的值是－2．若输入x 的值是－8，则输出y 的值是()A ．5B ．10C ．19D ．21【解题过程】当x ＝7时，y ＝－7＋b 2＝－2，解得b ＝3.当x ＝－8时，y ＝－2×(－8)＋3＝19.故选C.【方法归纳】求函数值时，先要判断选用哪个表达式，再代入自变量x 的值求出y 的值．【例5】大家知道乌鸦喝水的故事，如图，它看到一个水位较低的瓶子，喝不着水，沉思一会儿后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间变量为x ，水位高度变量为y ，下列图象最符合故事情景的大致是()【解题过程】∵乌鸦在沉思的这段时间内水位没有变化，∴排除C；∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，∴排除A；∵乌鸦喝水后的水位应不低于开始时的水位，∴排除B；∴D正确．故选D.【方法归纳】本题考查动点问题的函数图象问题．注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求函数表达式来解决．【例6】甲、乙两组同时加工某种零件，甲组每小时加工80件，乙组加工的零件数量y(件)与时间x(小时)为一次函数关系，部分数据如下表所示．x(小时)246y(件)50150250(1)求y与x之间的函数关系式．(2)甲、乙两组同时生产，加工的零件合在一起装箱，每满340件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱．【解题过程】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．由表格中的数据知，当x＝2时，y＝50；x＝4时，y＝150.50＝2k＋b，150＝4k＋b.k＝50，b＝－50.∴y与x之间的函数关系式为y＝50x－50.(2)设经过t小时恰好装满第1箱，根据题意，得80t＋50t－50＝340，∴t＝3.答：经过3小时恰好装满第1箱．【方法归纳】本题考查一次函数的应用，运用待定系数法求出y与x之间的函数关系式是解题的关键．【例7】《中华人民共和国个人所得税》规定，公民月工资、薪金所得不超过5000元的部分不纳税，超过5000元的部分为全月纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：(1)(2)设王先生的月工资、薪金所得为x元，且6500<x≤14000，当月应缴纳个人所得税为y元，求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围．(3)已知李先生一月份应缴纳个人所得税为303元，那么他当月的工资、薪金所得为多少元？【解题过程】解：(1)张先生当月应缴纳个人所得税为1500×3%＋3000×10%＋500×20%＝445(元)．(2)当6500<x≤9500时，y＝1500×3%＋(x－5000－1500)×10%＝0.1x－605.当9500<x≤14000时，y＝1500×3%＋3000×10%＋(x－5000－4500)×20%＝0.2x－1 555.∴y x－615（6500<x≤9500），x－1555（9500<x≤14000）.(3)李先生一月份缴纳个人所得税为303元，故必有6500＜x≤9500，∴303＝0.1x－605，解得x＝9080.∴李先生当月的工资、薪金所得为9080元．【方法归纳】本题考查分段函数的求法及其应用，正确理解个人所得税的计算方法是解题的关键．。

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第8讲由常量数学到变量数学

第八讲由常量数学到变量数学数学漫长的发展历史大概历经四个期间：以自然数、分数系统形成的萌芽期；以代数符号系统形成的常量数学期间；以函数观点产生的变量数学期间；以会合论为标记的现代数学期间．函数是数学中最重要的观点之一，它是变量数学的标记，“函数”是从量的侧面去描绘客观世界的运动变化、互相联系，从量的侧面反应了客观世界的动向和它们的互相限制性．函数的基本知识有：与平面直角坐标系有关的观点、函数观点、函数的表示法、函数图象观点及画法．在座标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”互相变换的最基本形式．点的坐标是解决函数问题的基础，函数分析式是解决函数问题的重点，因此，求点的坐标、探求函数分析式是研究函数的两大重要课题．【例题求解】【例 1】在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(2，-3)，点P在y轴上，且△ APB为直角三角形，则点P 的个数为．思路点拨先在直角坐标平面内描出 A 、 B 两点，连接 AB ，因题设中未指明△ APB 的哪个角是直角，故应分别就∠ A 、∠ B、∠ C 为直角来议论，设点 P(0， x)，运用几何知识成立 x 的方程．注：点的坐标是数与形联合的桥梁，求点的坐标的基本方法有：(1)利用几何计算求；(2)经过分析式求；(3)解由分析式联立的方程组求．【例 2】如图，向放在水槽底部的烧杯灌水(流量必定 )，注满烧杯后，持续灌水，直至注满水槽．水槽中水面上涨高度h 与灌水时间t 之间的函数关系，大概是以下图象中的()思路点拨向烧杯灌水需要时间，而且水槽中水面上涨高h0 ．注：实质生活中量与量之间的关系能够形象地经过图象直观地表现出来，如心电图、，股市行情走势图等，图象中包含着丰富的图象信息，要擅长从图象的形状、地点、发展变化趋向等有关信息中获取启迪．【例 3】南方 A 市欲将一批简单变质的水果运往 B 市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选择此中的一种，这三种运输方式的主要参照数据以下表所示：运输工具途中速度 (千米／时 )途中花费 (元／千米 )装卸花费 (元 )装卸时间 (小时 )飞机2001610002火车100420004汽车50810002若这批水果在运输(包含装卸)过程中的消耗为200 元 /小时，记 A 、B两市间的距离为x 千米．求出(1) 假如用 W l、W 2、W 3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出花费W l、W 2、W 3与小 x 间的函数关系式．(包含消耗)，(2) 应采纳哪一种运输方式，才使运输时的总支出花费最小?思路点拨每种运输工具总支出花费＝途中所需花费(含装卸花费 )+消耗资用；总支出花费随距离变化而变化，由W l— W 2＝ 0， W 2一 W 3=0，先确立自变量的特定值，经过议论选择最正确运输方式．【例 4】已知在菱形ABCD 中，∠ BAD ＝ 60°，把它放在直角坐标系中，使AD 边在 y 轴上，点 C 的坐标为 (2 3 ， 8)．(1)画出符合题目条件的菱形与直角坐标系；(2)写出 A、 B 两点的坐标；(3)设菱形 ABCD 的对角线交点为 P．问：在 y 轴上能否存在一点 F，使得点 P 与点对于菱形ABCD 的某条边所在的直线对称，假如存在，写出点 F 的坐标；假如不存在，请说明原因．F思路点拨(1)重点是探究点A 是在y 轴正半轴上、负半轴上仍是坐标原点，只须判断∠COy 与∠CAD 的大小； (2)利用解直角三角形求 A ，B 两点坐标； (3) 设轴上存在点 F(0，y)，则 P 与 F 只可能对于直线 DC 对称．注：成立函数关系式，实质上都是依据详细的实质问题和一些特别的关系、纳成立函数的模型．数据而抽象、归【例 5】如图，已知在 Rt△ ABC 中，∠ B＝ 90°， BC＝ 4cm， AB ＝ 8cm， D、 E、 F 分别为AB 、 AC 、 BC 边上的中点，若 P 为 AB 边上的一个动点， PQ∥ BC，且交 AC 于点 Q，以 PQ 为一边，在点 A 的右边作正方形 PQMN ，记 PQMN 与矩形 EDBF 的公共部分的面积为y．(1)当 AP ＝ 3cm 时，求的值；(2)设 AP=cm 时，求 y 与 x 的函数关系式；(3)当 y=2cm2，试确立点P 的地点． (2001 年天津市中考题 )思路点拨对于 (2) ，因为点P 的地点不一样， y 与 x 之间存在不一样的函数关系，故需分类议论；对于(3) ，由相应函数分析式求 x 值．注：确立几何元素间的函数关系式，第一是借助几何知识与方法把相应线段用自变量表示，再代入相应的等量关系式，需要注意的是：(1)当图形运动致使图形之间地点发生变化，需要分类议论；(2)确立自变量的几何意义，常用到运动变化、考虑极端情况、特别情况等思想方法．学力训练1．如图，在直角坐标系中，已知点A(4 ， 0)、 B(4 ， 4) ，∠ OAB ＝ 90°，有直角三角形与Rt△ ABO 全等且以AB 为公共边，请写出这些直角三角形未知极点的坐标．2．在直角坐标系中有两点A(4 ，0)， B(0 ， 2)，假如点C 在 x 轴上 (C 与 A 不重合 )，当点 C的坐标为时，使得由点B、O、C 构成的三角形与△AOB 相像 (起码找出两个知足条件的点的坐标)．3．依据指令 [S，A](S ≥ 0， 0° <A<180 ° )，机器人在平面上能达成以下动作：先原地逆时针旋转角度 A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离S．现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对 x 轴的正方向， (1)若给机器人下了一个指令[4， 60° ]，则机器人应挪动到点；(2) 请你给机器人下一个指令，使其挪动到点 ( 一 5， 5)．4．如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴的夹角为60°，且点 A 的坐标为 (一 2，0)，点 B 在 x 轴上方，设 AB ＝a，那么点 B 的横坐标为 ()A ．2aB ．2aC．2a2a 22D ．225．一天，小军和爸爸去爬山，已知山脚到山顶的行程为300 米，小军先走了一段行程，爸爸才开始出发．图中两条线段分别表示小军和爸爸走开山脚爬山的行程(米) 与爬山所用的时间( 分钟的关系 )(从爸爸开始爬山时计时)，依据图象，以下说法错误的选项是()A ．爸爸爬山时，小军已走了50 米B ．爸爸走了 5 分钟，小军仍在爸爸的前方C．小军比爸爸晚到山顶D ．爸爸前 10 分钟爬山的速度比小军慢，10 分钟以后爬山的速度比小军快6．若函数 y1的自变量 x 的取值范围为一确实数，则m 的取值范围是() 2x mx2A ． m<lB ． m=1C． m>l D． m≤ 17．如图，在直角坐标系中，已知点A(4 ，0)、点 B(0 ，3)，若有一个直角三角形与Rt△ABO 全等，且它们有一条公共边，请写出这个直角三角形未知极点的坐标(不用写出计算过程 )．8．如图，用相同规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请察看以下图形并解答有关问题：（ 1）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ，请写出 y 与n ( n表示第n个图形 )的函数关系式；(2) 按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506 块瓷砖，求此时n 的值；(3) 若黑瓷砖每块 4 元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中，共需花多少元钱购置瓷砖?(4) 能否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等情况?请经过计算说明为何?9．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD ，它的 4 个极点为A(10 ，0)，B (0 ，10)，C(一 10， 0)，D(0 ，一 10)，则该正方形内及界限上共有个整点(即纵横坐标都是整数的点 )．10．如图，已知边长为l 的正方形OABC 在直角坐标系中， A 、 B 两点在第一象限内，OA 与 x 轴的夹角为30°，那么点 B 的坐标是．11．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一分钟内它从原点运动到(1， 0)，尔后它接着按图所示在与x 轴、y轴平行的方向上往返运动，且每分钟挪动1个单位长度，那么在1989 分钟后这个粒子所处地点为．12．在直角坐标系中，已知A(1 ， 1)，在x轴上确立点P，使△ AOP 为等腰三角形，则切合条件的点 P共有()A．1个B．2个C． 3个D．4个13．已知点 P 的坐标是 ( 2 a l，2 b )，这里 a 、 b 是有理数，PA、PB分别是点P 到x轴和 y 轴的垂线段，且矩形 OAPB 的面积为2，则 P 点可能出现的象限有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个14．甲、乙二人同时从 A 地出发，沿同一条道路去 B 地，途中都使用两种不一样的速度V l与V 2(Vi<V2) ，甲用一半的行程使用速度V l、另一半的行程使用速度V 2；对于甲乙二人从A地抵达 B 地的行程与时间的函数图象及关系，有图中 4 个不一样的图示剖析．此中横轴 t表示时间，纵轴 s 表示行程，此中正确的图示剖析为()A ．图 (1)B ．图 (1) 或图 (2)C．图 (3)D．图 (4)15．依法纳税是每个公民应尽的义务．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民每个月工资、薪金收入不超出800 元，不需交税；超出 800 元的部分为全月应纳税所得额，都应交税，且依据超出部分的多少按不一样的税率交税，详尽的税率以下表：级别全月应纳税所得额税率 (％)1不超出 500 元部分52超出 500 元至 2000 元部分103超出 2000 元至 5000 元部分15(1) 某公民 2002 年 10月的总收人为 1350 元，问他应交税款多少元?(2)设表示每个月收入 (单位：元 )， y 表示应交税款 (单位：元 )，当 1300<x ≤2800 时，请写出 y 对于 x 的函数关系式；(3) 某公司高级职员2002 年 11 月应交税款55 元，问该月他的总收入是多少元?16．如图，在△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC ＝ 3，BC ＝4，点 D 是 AB 上随意一点 (A 、B 两点除外 )，过 D 作 AB 垂线与△ ABC 的直角边订交于 E，设 AD= x，△ ADE 的面积为 y ，当点 D 在 AB 上挪动时，求 y 对于x之间的函数关系式．17．现计划把甲种货物1240 吨和乙种货物880 吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A 、B 两种不一样规格的货车厢共40 节，使用 A 型车厢每节花费6000 元，使用月型车厢每节花费为 8000 元．(1)设运送这批货物的总花费为 y 万元，这列货车挂 A 型车厢x节，试写出 y 与x之间的函数关系式；(2)假如每节 A 型车厢最多可装甲种货物 35 吨和乙种货物 15 吨，每节月型 B 车厢最多可装甲种货物25 吨和乙种货物35 吨，装货时按此要求安排哪几种安排车厢的方案?A 、B 两种车厢的节数，那么共有(3)在上述方案中，哪个方案运费最高?最少运费为多少元 ?18．如图，梯形O ABC 中， O 为直角坐标系的原点，A 、 B 、C 的坐标分别为 (14， 0)， (14，3)， (4，3)．点 P、 Q 同时从原点出发，分别作匀速运动，此中点P 沿 OA 向终点 A 运动，速度为每秒 1 个单位；点Q 沿 OC、CB 向终点 B 运动，当这两点中有一点抵达自己的终点时，另一点也停止运动．(1) 设从出倡始运动了上或在 CB 上时的坐标x 秒，假如点Q 的速度为每秒(用含x的代数式表示)；2 个单位，试分别写出这时点Q 在OC(2) 设从出倡始运动了x 秒，假如点P 与点 Q 所经过的行程之和恰巧为梯形OABC 的周长的一半，①试用含x 的代数式表示这时点Q 所经过的行程和它的速度；②试问：这时直线PQ 能否可能同时把梯形OABC 的面积也分红相等的两部分?若有可能，求出相应的x 的值和P、Q 的坐标；如不行能，请说明原因．参照答案。

(完整版)北师大版七年级下册数学第三章《变量间的关系》知识点梳理及典型例题,推荐文档

第三章变量之间的关系知识点梳理及典型例题知识回顾——复习路程、速度、时间之间的关系：，，；知识点一常量与变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为.数值始终不变的量为；在某一变化过程中，如果有两个变量x 和y，当其中一个变量x 在一定范围内取一个数值时，另一个变量y 也有唯一一个数值与其对应，那么，通常把前一个变量x 叫做，后一个变量y 叫做自变量的；注意：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如：s=60t，速度60 千米/时是，时间t 和里程s 为变量.t 是，s 是。

知识点二用表格表示变量之间的关系表示两个变量之间的关系的表格，一般第一行表示自变量，第二行表示因变量；借助表格，可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

注意：用表格可以表示两个变量之间的关系时，能准确地指出几组自变量和因变量的值，但不能全面地反映两个变量之间的关系，只能反映其中的一部分，从数据中获取两个变量关系的信息，找出变化规律是解题的关键.知识点三用关系式表示两个变量之间的关系= 2图象法就是用图象来表示两个变量之间的关系的方法；在用图象法表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴）上的点表示，用竖直方向的数轴（纵轴）上的点表示，用坐标来表示每对自变量和因变量的对应值所在位置；【温馨提示】图象法能直观、形象地描述两个变量之间的关系，但只是反映两个变量之间的关系的一部分，而不是整体，且由图象确定的数值往往是近似的.【方法技巧】（1）借助图象，过某点分别向横轴、纵轴作垂线可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值.（2）借助图象可判断因变量的变化趋势：图象自左向右是上升的，则说明因变量随着自变量的增大而增大，图象自左向右是上升下降的，则说明因变量随着自变量的增大而增大减小，图象自左向右是与横轴平行的，则说明因变量在自变量的增大的过程中保持不变.知识点五变量之间的关系的表示方法比较表示变量之间的关系，可以用、和；其中表格法一目了然，使用方便，但列出的数值有限，不容易看出因变量与自变量的变化规律；关系式法简单明了，能准确反映出整个变化过程中因变量与自变量之间的相互关系，但是求对应值时，要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来；图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间的变化趋势和某些性质，是研究变量性质的好工具，其不足是由图象法往往难以得到准确的对应值；专题一能从表格中获取例如，正方形的边长为x，面积为y，则这个关系式就是表示两个变量两个变量之间关系的信息之间的对应关系，其中x 是，y 是；一般地，含有两个未知数（变量）的等式就是表示这两个变量的关系式；【温馨提示】（1）写关系式的关键是写出一个含有自变量和因变量的等式，将表示因变量的字母单独写在等号的左边，右边是用自变量表示因变量的代数式.（2）自变量的取值必须使式子有意义，实际问题还要有实际意义.（3）实际问题中，有的变量关系不一定能用关系式表示出来.【方法技巧】列关系式的关键是记住一些常见图形的相关公式和弄清两个变1.有一个水箱，它的容量间的量的关系.根据关系式求值实质上是求代数式的值或解方程.知识点四用图象表示两个变量间的关系（1）在这个注水过程中，反映的是两个变量与之间的关系，其中变量是自变量，变量是因变量；（2）这个水箱原有水L；（3）min时水箱注满水；（4）由表中的数据可以看出，水箱的注水过程是均匀的，那么平均每分钟注水L. 3.七年级（1）班第一小组的同学星期天去郊外爬山，得到如下数据：（1）当爬到100 m 时，所花的时间是多少？（2）当爬到每增加10 m 时，所花的时间相同吗？（3）从表中数据的变化中，你能得到什么变化趋势？2.一根合金棒在不同的温度下，其长度也不同，合金棒的长度和温度之间有如下关系：（1）上表反映了温度与长度两个变量之间的关系，其中自变量，是因变量.（2）当温度是10 ℃时，合金棒的长度是cm．（3）如果合金棒的长度大于10.05 cm 小于10.15 cm，根据表中的数据推测，此时的温度应在℃～℃的范围内．（4）当温度为-20 ℃和100 ℃，合金棒的长度分别为cm 和cm．4.一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10 秒之间的速度经测量如下表：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个变量是自变量？哪个变量是因变量？（2）如果用t 表示时间，v 表示速度，那么随着t 的变化，v 的变化趋势是什么？（3）当t 每增加1 s 时，v 的变化情况相同吗？在哪一秒钟,v 的增加量最大？（4）若在高速公路上小汽车行驶速度的上限为120 km/h，试估计还需几秒这辆小汽车的速度就达到这个上限?专题三用关系式表示两个变量之间的关系5.某水果批发市场香蕉的价格如下表：若小强购买香蕉x 千克（x 大于40 千克）付了y 元，则y 关于x 的关系式为6.（1）某礼堂共有 25 排座位，第一排有 20 个座位，后面每一排都比前一排多 1 个座位，写出每排的座位数 m 与这排的排数 n 的关系式，并写出自变量 n 的取值范围．（2）在其他条件不变的情况下，请探究下列问题：①当后面每一排都比前一排多 2 个座位时，则每排的座位数 m 与这排的排数 n 的关系式是（1≤n ≤25，且 n 是正整数）； ②当后面每一排都比前一排多 3 个座位、4 个座位时，则每排的座位数 m 与这排的排数 n 的关系式分别是，（1≤n ≤25，且 n 是正整数）；③某礼堂共有 p 排座位，第一排有 a 个座位，后面每一排都比前一排多 b 个座位，试写出每排的座位数 m 与这排的排数 n 的关系式．专题四用关系式求值7. 一棵树苗，栽种时高度约为 80 厘米，为研究它的生长情况，测得数据如下表：（1）此变化过程中是自变量，是因变量；（2）树苗高度 h 与栽种的年数 n 之间的关系式为；（3）栽种后后，树苗能长到 280 厘米． 8. 某市为了鼓励市民节约用水，规定自来水的收费标准如下表：（1）现已知小伟家四月份用水 18 吨，则应缴纳水费多少元？（2）写出每月每户的水费 y （元）与用水量 x （吨）之间的函数关系式．（3）若已知小伟家五月份的水费为 17 元，则他家五月份用水多少吨？专题五曲线型图象9. 温度的变化是人们经常谈论的话题．请你根据图象，讨论某地某天温度变化的情况如图所示：（1）上午 10 时的温度是度， 14 时的温度是度；（2）这一天最高温度是度，是在时达到的；最低温度是度，是在时达到的；（3）这一天从最低温度到最高温度经过了小时；（4）温度上升的时间范围为，温度下降的时间范围为；（5）你预测次日凌晨 1 时的温度是．10. 如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中.（1）请分别找出与各容器对应的水的高度 h 和时间 t 的变化关系的图象，用直线段连接起来；每月每户用水量每吨价（元）不超过 10 吨部分 0.50 超过 10 吨而不超过 20 吨部分0.75 超过 20 吨部分1.50栽种以后的年数 n /年高度 h /厘米11052 130 31554 180 ……（2）当容器中的水恰好达到一半高度时，请在关系图的t 轴上标出此时t 值对应点T 的位置．专题六折线型图象11.如图，表现了一辆汽车在行驶途中的速度随时间的变化情况．（1）A、B 两点分别表示汽车是什么状态？（2）请你分段描写汽车在第0 分钟到第19 分钟的行驶状况．（3）司机休息5 分钟后继续上路，加速1 分钟后开始以60 km/h 的速度匀速行驶，5 分钟后减速，用了2 分钟汽车停止，请在原图上画出这段时间内汽车的速度与时间的关系图．第三章变量之间的关系复习题1. 一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度就会发生变化，实验数据如下表：(1)(2) 弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用 x 表示弹性限度内物体的质量，用 y 表示弹簧的长度，那么随着 x 的变化，y 的变化趋势如何？(3) 如果此时弹簧最大挂重量为 15 千克，你能预测当挂重为 10 千克时，弹簧(5) 当 x 在什么范围变化时，y 随x 的增大而增大，当 x 在什么范围变化时，y 随x 的增大而减小？你又是根据哪种表示法得到的？(6) 请你估计 x 取何值时，制成的无盖长方体的体积最大？3．小红与小兰从学校出发到距学校 5 千米的书店买书，下图反应了他们两人离开学校的路程与时间的关系。