空间几何体的体积及球的面积和体积ppt
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高二数学必修2课件-空间几何体的表面积和体积
步骤三
如果计算正确,则可以庆祝问题 的解决,并享受数学带来的成就 感。
其他的空间几何体常识
名称
圆锥体 圆柱体 球 正方体
特点
底面为圆形,侧面为三角形 底面为圆形,侧面为矩形 表面积为4πr²,体积为(4πr³)/3 6个面组成,每个面积为a²
小结
知识点
• 空间几何体的表面积 • 空间几何体的体积 • 解题方法和步骤
高二数学必修2课件-空间 几何体的表面积和体积 ppt
本课程将带领大家深入理解空间几何体的表面积和体积,掌握重要的公式和 概念,并提供多个实例进行演示。
为什么要学习空间几何体的表面积和 体积?
1 实际应用广泛
几何体是我们日常生活中常见的物体,如箱子、瓶子、汽车等,熟练掌握空间几何体的 表面积和体积可以应用于各种实际计算中。
技能
• 应用公式解决实际问题 • 掌握计算技巧和策略 • 提高自我学习和思考能力
效果
• 成为数学大师 • 提高应对数学竞赛能力 • 在各种实际计算和操作
中表现更加出色
矩形的体积
面积×高:bh
三角形的体积
底面积之和×高的一半:(ah)/2
立体几何体的体积
1
圆柱体的体积
2
பைடு நூலகம்
πr²h
3
球的体积
(4πr³)/3
圆锥体的体积
(πr²h)/3
解题示例:如何计算球的体积?
步骤一
根据题目提供的半径长度,计算 球的表面积公式:4πr³/3
步骤二
把计算结果与题目所需体积相比 较,如相等则问题解决;如不相 等需检查计算过程是否正确。
2 提高数学水平
对于数学专业的学生,掌握空间几何体的表面积和体积是必不可少的,是数学基础中不 可或缺的一部分。
高一数学课件:球的体积和表面积
□ 1.球的体积
如果球的半径为 R,那么它的体积 V=
1 43πR3 .
2.球的表面积
□ 如果球的半径为 R,那么它的表面积 S= 2 4πR2 .
4
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A版 ·数学 ·必修2
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)决定球的大小的因素是球的半径.( √ ) (2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半 径.( √ ) (3)球的体积 V 与球的表面积 S 的关系为 V=R3S.( √ )
S=12×4π×12+6×22-π×12=24+π. 该几何体的体积为 V=23+12×43π×13=8+23π.
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拓展提升
(1)由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积 和体积,关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含 义.
6
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3.(教材改编,P27,例 4)若球的过球心的圆面圆周长是 c,
则这个球的表面积是( )
c2 A.4π
c2 B.2π
c2 C. π
D.2πc2
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探究 2 球的三视图 例 2 某个几何体的三视图如图所示,求该几何体的表 面积和体积.
球的体积和表面积 课件
【解析】 ①当截面在球心的同侧时, 如图所示为球的轴截面,由球的截面性质 知,AO1∥BO2,且 O1、O2 分别为两截面圆的圆 心,则 OO1⊥AO1, OO2⊥BO2,设球的半径为 R. ∵π· O2B2=49π,∴O2B=7. ∵π·O1A2=400π,∴O1A=20. 设 OO1=x,则 OO2=x+9.
6 12 a.
【答案】
6 12 a
探究 4 (1)正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球 的球心.
(2)求多面体内切球半径,往往可用“等体积法”. V 多=S 表·R 内切·13.
(3)正四面体内切球半径是高的14,外接球半径是高的34. (4)并非所有多面体都有内切球(或外接球).
思考题 4 半径为 R 的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两
【答案】 27π
(2)求棱长为 1 的正四面体外接球的体积.
【解析】 设 SO1 是正四面体 S-ABC 的高,外接球的球心 O 在 SO1 上,设外接球半径为 R,AO1=r,
则在△ABC 中,用解直角三角形知识得 r= 33,
从而 SO1= SA2-AO12=
1-13=
2 3.
在 Rt△AOO1 中,由勾股定理,得
【答案】 C
题型四 几何体的内切球 例 4 正四面体的棱长为 a,则其内切球的半径为________.
【解析】 如图正四面体 A-BCD 的中心为 O,即内切球球
心,内切球半径 R 即为 O 到正四面体各面的距离.
∵AB=a,
∴正四面体的高
h=
6 3 a.
又 VA-BCD=4VO-BCD,
∴R=14h=
在 Rt△OO1A 中,R2=x2+202, 在 Rt△OO2B 中,R2=(x+9)2+72, ∴x2+202=72+(x+9)2, 解得 x=15,∴R2=x2+202=252. ∴R=25,∴V 球=43πR3=62 3500π(cm3). ② 当 截 面 在 球 心 异 侧 时 , OO1 + OO2 = 9 = R2-72 + R2-202,无解.
新教材高中数学第6章立体几何初步6简单几何体的再认识 球的表面积和体积课件北师大版必修第二册
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
球的表面积
例 1 一个球内有相距9 cm的两个平行截面,面积分别为49π cm2和400π cm2,试求球的表面积.
[分析] 求球的表面积或体积只需要求出球的半径,要求球的半径只 需解球的半径、截面圆半径和球心到截面的距离组成的直角三角形.
[解析] (1)当球心在两个截面同侧时,如右图,设OD=x,由题意知 π·CA2=49π,
(B)
4.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为
A.R
B.2R
(D)
C.3R
D.4R
[解析] 设圆柱的高为h,则πR2h=3·43πR3,∴h=4R.
4π 5.球的表面积为4πcm2,则其体积为______3_cm3.
[解析] 设球的半径为r,则4πr2=4π,∴r=1(cm). ∴V=43πr3=43π(cm3).
知识点2 球的表面积和体积公式 S球面=__4_π_R__2 __,V球=_____43_π_R_3.其中R为球的半径.
基础自测
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)球心和球的小圆圆心的连线和球的小圆垂直.
(2)球的表面积S和体积V的大小是关于半径R的函数.
2.球的体积是323π,则此球的表面积是
知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的高为 4
3 ,底面周长
为3,那么这个球的体积为___3_π__.
[分析] 要求球的体积,关键是求出其半径R,而正六棱柱外接球的 直径恰好是正六棱柱的体对角线长.
[解析] ∵底面是正六边形, ∴边长为12.∴AD=1. AD1为球直径,其长度为 3+1=2,∴R=1. ∴V=43πR3=43π.
棱柱棱锥棱台和球的表面积和体积精选ppt
O`
注意:表面积=全面积= 侧面积+底面积.
O
.
圆锥的表面积
圆锥的侧面展开图是扇形
2r
l rO
S圆锥侧rl
S 圆锥 表 r2 面 . r 积 lr(r l)
例5:
已知圆锥的底面半径为2cm,母线长为3cm。
它的侧面展开图的形状为__扇__形____。该图形
的弧长为_4_π___cm,半径为___3___cm,所以圆 锥的侧面积为_6_π__cm2。表面积为_1_0_π__cm2,
S2r(rl)
S侧
1 2
2r
l
rl
Sr(rl)
S侧
1 2
(2
r
'
2
r)
l
S(r'2r2r'lr)l
(r ' r) l
.
三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系?
rO
r 'O’
r′=r
l 上底扩大
O
rO
l r′=0
上底缩小
l rO
S柱2r(rl) S 台 (r2r2rlr)lS锥r(rl)
(5)扇形面积公式:___S___12_rl__。
(6)梯形面积公式: __S__12_(_a__b)_h。
.
把长方体展成平 面图形,利用平 面图形求面积的 方法,求长方体
的表面积
正方体、长方体的表面积.就是各个面的面积之和。
二、棱柱、棱台、棱锥的表面积
用空间几何体的展开图来求它的表面积
几何体的侧面展开图
D A
D A11
C B
O C1
B1
D A
D A11
注意:表面积=全面积= 侧面积+底面积.
O
.
圆锥的表面积
圆锥的侧面展开图是扇形
2r
l rO
S圆锥侧rl
S 圆锥 表 r2 面 . r 积 lr(r l)
例5:
已知圆锥的底面半径为2cm,母线长为3cm。
它的侧面展开图的形状为__扇__形____。该图形
的弧长为_4_π___cm,半径为___3___cm,所以圆 锥的侧面积为_6_π__cm2。表面积为_1_0_π__cm2,
S2r(rl)
S侧
1 2
2r
l
rl
Sr(rl)
S侧
1 2
(2
r
'
2
r)
l
S(r'2r2r'lr)l
(r ' r) l
.
三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系?
rO
r 'O’
r′=r
l 上底扩大
O
rO
l r′=0
上底缩小
l rO
S柱2r(rl) S 台 (r2r2rlr)lS锥r(rl)
(5)扇形面积公式:___S___12_rl__。
(6)梯形面积公式: __S__12_(_a__b)_h。
.
把长方体展成平 面图形,利用平 面图形求面积的 方法,求长方体
的表面积
正方体、长方体的表面积.就是各个面的面积之和。
二、棱柱、棱台、棱锥的表面积
用空间几何体的展开图来求它的表面积
几何体的侧面展开图
D A
D A11
C B
O C1
B1
D A
D A11
球的体积和表面积57张.ppt
(2)设木星和地球的半径分别为r、R. 依题意,有4πr2=120×4πR2,解得r=2 30R. 所以VV木地=4343ππRr33=43π243πR303 R3=240 30. 故木星的体积约是地球体积是240 30倍.
[点评] 求解球的体积的大小问题,实际是转化为求类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球 的直径或半径,关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截 面图,把空间问题转化为平面问题来计算.
(3)此类问题的具体解题流程:
[例3] (2010·全国高考)设长方体的长、宽、高分别为
2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )
A.3πa2
第一章
空间几何体
第一章
1.3 空间几何体的表面积与体积
第一章
1.3.2 球的体积和表面积
课前自主预习 思路方法技巧 探索延拓创新
课堂基础巩固 课后强化作业
课前自主预习
温故知新 在初中,我们已经学习了圆的概念和周长、面积公式, 即圆是“在平面内到定点的距离等于定长的点的集合”,周 长c=2πr ,面积S= πr2 ,其中r是圆的半径,而球面是“在空 间中到定点的距离等于定长的点的集合”.以半圆的直径所 在直线为旋转轴,半圆旋转一周,形成的旋转体叫做 球 ,半 圆的圆心叫 球心 ,半圆的 半径 叫球的半径.
43πr2 43πR3
=
8 27
,所
以Rr =23,则这两个球的表面积之比为44ππRr22=(Rr )2=49.
6.将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中, 水面升高4cm,则钢球的半径是________.
[答案] 3cm
[解析] 圆柱形玻璃容器中水面升高4cm,则知钢球的体 积为V=π·32·4=36π,即有43πR3=36π,∴R=3.
高考数学空间几何体及其表面积、体积ppt课件
21
2.(多选)下列命题,正确的有( )
A.棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形
√B.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直 √C.在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直
四棱柱
√D.存在每个面都是直角三角形的四面体
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第八章 立体几何与空间向量
22
解析:A 不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行 四边形,但不一定全等;B 正确,若三棱锥的三条侧棱两两垂 直,则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角;C 正 确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;D 正确, 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中的三棱锥 C1ABC,四个面都是直角三角形.
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第八章 立体几何与空间向量
32
平面图形与其直观图的关系
(1)在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段.平行于 x 轴的线段平行性不
变,长度不变;平行于 y 轴的线段平行性不变,长度减半.
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关
系:S
= 直观图
2 4S
原图形.
第八章 立体几何与空间向量
11
3.正方体与球的切、接常用结论 正方体的棱长为 a,球的半径为 R, (1)若球为正方体的外接球,则 2R= 3a; (2)若球为正方体的内切球,则 2R=a; (3)若球与正方体的各棱相切,则 2R= 2a.
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第八章 立体几何与空间向量
12
常见误区 1.求组合体的表面积时,组合体的衔接部分的面积问题易出错. 2.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析 图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的 截面图.
北师大版必修二 球的表面积和体积PPT课件
高为2R.
V球
4R3
3
V圆柱 R 2 2R 2 R 3
RO
2
V球
V 圆柱 3
(2)
S球4R2
S 圆 柱 2 R 侧 2 R 4 R 2
S球S圆柱侧
最新课件
13
讨论
长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5,若 它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积 是——
分析:长方体内接于球,则由球和长 方体都是中心对称图形可知,它们中 心重合,则长方体对角线与球的直径 相等。
2、在球心同侧有相距9cm的两个平行截面,它们的面积分别
为49 c m 2 和400 c m 2,求球的表面积。
答案:2500 c m 2
最新课件
26
3、若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 __2_ 倍.
4、若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来 的__4_倍. 5、若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是_1_:_2__2_
4 .长方体的共顶点的三个 侧面面积分别为 3,
5, 15,求它的外接球表面积 .
长方体对角线
最新课件
l 2 a2 b2 c229
半径为3的球的体积是(
A.9π
B.81π
) C.27π
D.36π
[答案] D
[解析] V=43π×33=36π.
最新课件
30
半径为 2的球的表面积等于________. [答案] 8π [解析] S=4π×( 2)2=8π.
3
32 6
最新课件
7
例题讲解
(变式1)把钢球(直径是5cm)放入一个正方体 的有盖纸盒中,至少要用多少纸?
用料最省时,球与正方体有什么位置关系?
高中数学人教版必修二:1.3.2《球的体积与表面积》课件
D1
C1
A1
B1
表面积为 4 ( 3 a) 2 3 a 2 2
典例展示
由三视图求几何体的体积和表面积 2r
例5.(2015年新课标I)圆柱被一 个平面截去一部分后与半球(半 径为r)组成一个几何体,该几何 体三视图中的正视图和俯视图如 r 图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ,则r=( ) ( A) 1 ( B) 2 ( C) 4 ( D) 8
正视图
侧视图
1 ( A) 8 1 ( C) 6
1 (B) 7 1 ( D) 5
俯视图
【解析】由三视图得,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,截去四面体 A A1B1D1,如图所示, 设正方体棱长为 a 则 VA A B D
1 1 1
D1
C1
A1
B1
【答案】D
1 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 5
2 V球 = V柱 3
与球组合的组合体的表面积和体积
两个几何体相切: 一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切.
典例展示
例3.求棱长为
a 的正方体的内切球的体积和表面积.
D1 A1 C1
分析:正方体的中心为球的球心, 正方体的棱长为球的直径。
【解析】正方体的内切球的直径为
4 3 所以球的体积为 a . 3
1 3 5 3 故剩余几何体体积为 a a a 6 6
3
1 1 3 1 3 a a 3 2 6
一、基本知识
柱体、锥体、台体、球的表 面积 展开图
圆柱 S 2r (r l ) 圆台S (r2 r 2 rl rl )
圆锥 S r (r l )
《空间几何体》课件
02
空间几何体的定义包括多面体、 旋转体和组合体等。
空间几何体的分类
1 2
3
多面体
由多个平面围成的立体图形,如长方体、正方体、三棱锥等 。
旋转体
由一个平面图形围绕其一条边旋转形成的立体图形,如圆柱 、圆锥、圆台等。
组合体
由两个或多个简单几何体组合而成的立体图形,如房屋、机 械零件等。
空间几何体的性质
数学建模
教学辅助
在中学数学教学中,通过《空间几何 体》ppt课件可以帮助学生更好地理 解空间几何体的表面积和体积的计算 方法,提高学习效果。
表面积和体积的计算是数学建模的基 础,通过解决几何问题可以培养数学 思维和解决问题的能力。
04
空间几何体的画法
投影法的基本原理
01
02
03
投影法定义
通过光线将物体投影到平 面上,以呈现物体的轮廓 和形状。
建筑设计中的应用
建筑设计中的空间几何体应用广泛, 如建筑物的外观、内部结构和装饰等 。
建筑设计中的空间几何体可以通过与 自然环境的融合,实现建筑与环境的 和谐统一。
建筑设计中的空间几何体可以创造出 独特的视觉效果,增强建筑的艺术性 和实用性。
建筑设计中的空间几何体可以通过合 理的布局和设计,提高建筑物的空间 利用率和使用舒适度。
主视图、俯视图和左视图相互垂 直,且主视图和俯视图长度相等 ,主视图和左视图高度相等。
空间几何体的画法步骤
确定观察角度
选择合适的角度,以便清晰地呈现几何体的特 征。
绘制投影线
根据投影法的基本原理,确定投影线的方向和 位置。
绘制轮廓线
根据几何体的形状,使用平滑的曲线或直线绘 制轮廓线。
05
空间几何体的实际应用
空间几何体的定义包括多面体、 旋转体和组合体等。
空间几何体的分类
1 2
3
多面体
由多个平面围成的立体图形,如长方体、正方体、三棱锥等 。
旋转体
由一个平面图形围绕其一条边旋转形成的立体图形,如圆柱 、圆锥、圆台等。
组合体
由两个或多个简单几何体组合而成的立体图形,如房屋、机 械零件等。
空间几何体的性质
数学建模
教学辅助
在中学数学教学中,通过《空间几何 体》ppt课件可以帮助学生更好地理 解空间几何体的表面积和体积的计算 方法,提高学习效果。
表面积和体积的计算是数学建模的基 础,通过解决几何问题可以培养数学 思维和解决问题的能力。
04
空间几何体的画法
投影法的基本原理
01
02
03
投影法定义
通过光线将物体投影到平 面上,以呈现物体的轮廓 和形状。
建筑设计中的应用
建筑设计中的空间几何体应用广泛, 如建筑物的外观、内部结构和装饰等 。
建筑设计中的空间几何体可以通过与 自然环境的融合,实现建筑与环境的 和谐统一。
建筑设计中的空间几何体可以创造出 独特的视觉效果,增强建筑的艺术性 和实用性。
建筑设计中的空间几何体可以通过合 理的布局和设计,提高建筑物的空间 利用率和使用舒适度。
主视图、俯视图和左视图相互垂 直,且主视图和俯视图长度相等 ,主视图和左视图高度相等。
空间几何体的画法步骤
确定观察角度
选择合适的角度,以便清晰地呈现几何体的特 征。
绘制投影线
根据投影法的基本原理,确定投影线的方向和 位置。
绘制轮廓线
根据几何体的形状,使用平滑的曲线或直线绘 制轮廓线。
05
空间几何体的实际应用
第一章 §1.3.1 球的表面积和体积.
84 48 即所得旋转体的表面积为 π,体积为 π. 5 5
例题讲解
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
4 4 5 3 125 3 V R ( ) cm 3 3 3 2 6
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
例题讲解
圆锥的母线长 2a,底面半径 a. ∴圆柱的侧面积 S1=2π·2a· 3a=4 3πa2, 圆锥的侧面积 S2=π·a· 2a=2πa2, 圆柱的底面积 S3=π(2a)2=4πa2, 圆锥的底面积 S4=πa2, ∴组合体上底面积 S5=S3-S4=3πa2, ∴旋转体的表面积 S=S1+S2+S3+S5=(4 3+9)πa2.
分析:正方体内接于球,则由球和正方 体都是中心对称图形可知,它们中心重 合,则正方体对角线与球的直径相等。
略解: RtB1 D1 D中 : ( 2 R ) 2 a 2 ( 2a ) 2 , 得 3 R a 2 S 4R 2 3a 2
A
D D
B
C
O
A1 A
1
C1 B1 B
D
夹在两个平行平面之间的两个空间几何体,被平行 于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的 面积总相等,那么这两个空间几何体的体积相等.
棱柱的体积公式:V=S h
重要结论:等底等高的两个棱柱的体积相等
棱锥的体积
棱柱的体积公式:V=S h
问题1.棱锥的体积公式是什么?
问题2.棱锥的体积公式是如何推导的.
(2)因为 S 球=4πR2,S 圆柱侧=2πR· 2R=4πR2, 所以 S 球=S 圆柱侧.
证明
小结
(1)球与正方体的六个面均相切,则球的直径等于正方
例题讲解
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
4 4 5 3 125 3 V R ( ) cm 3 3 3 2 6
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
例题讲解
圆锥的母线长 2a,底面半径 a. ∴圆柱的侧面积 S1=2π·2a· 3a=4 3πa2, 圆锥的侧面积 S2=π·a· 2a=2πa2, 圆柱的底面积 S3=π(2a)2=4πa2, 圆锥的底面积 S4=πa2, ∴组合体上底面积 S5=S3-S4=3πa2, ∴旋转体的表面积 S=S1+S2+S3+S5=(4 3+9)πa2.
分析:正方体内接于球,则由球和正方 体都是中心对称图形可知,它们中心重 合,则正方体对角线与球的直径相等。
略解: RtB1 D1 D中 : ( 2 R ) 2 a 2 ( 2a ) 2 , 得 3 R a 2 S 4R 2 3a 2
A
D D
B
C
O
A1 A
1
C1 B1 B
D
夹在两个平行平面之间的两个空间几何体,被平行 于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的 面积总相等,那么这两个空间几何体的体积相等.
棱柱的体积公式:V=S h
重要结论:等底等高的两个棱柱的体积相等
棱锥的体积
棱柱的体积公式:V=S h
问题1.棱锥的体积公式是什么?
问题2.棱锥的体积公式是如何推导的.
(2)因为 S 球=4πR2,S 圆柱侧=2πR· 2R=4πR2, 所以 S 球=S 圆柱侧.
证明
小结
(1)球与正方体的六个面均相切,则球的直径等于正方
空间几何体的体积PPT课件
类似地,底面积相等、高也相等的两个锥体,它
们的体积也相等。
由圆锥体积公式可知 V锥体=Sh/3
h
2020年9月28日
h
S
S
4
台体(棱台、圆台)的体积可以转化为锥体的体积来 计算。如果台体的上、下底面面积分别为S‘, S,高是h, 可以推得它的体积是
1 V台体 3h(S
SSS)
h
2020年9月28日
空间几何体的体积
2020年9月28日
1
类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面积,我 们可以用单位正方体(棱长为1个长度单位的正方体)的 体积来度量几何体的体积。
一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍,那 么这个几何体的体积的数值就是多少。
长方体的长、宽、高分别为a,b,c,那么它的体积为
V长方体=abc 或 V长方体=Sh
h
S
S
5
想 一 想 ?
上一节中,我们知道正棱柱、正 棱锥、正棱台的侧面积之间有一定 的关系。那么,这里柱体、锥体、 台体的体积公式之间有没有类似的
关系?
柱体、锥体、台体的体积公式之间的 关系如下:
S’=S
V柱体 Sh
2020年9月28日
V台 体1 3h(S SSS`) S’=0
V锥体
1 3
Sh
6
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2020年9月28日
汇报人:云博图文 日期:20XX年10月10日
8
例 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重 5.8kg.已知底面六边形的边长是12mm, 高是10mm,内孔直径是10mm.那么约有 毛坯多少个?
分析:六角螺帽毛坯的体积是一个 正六棱柱的体积与一个圆柱的体积 的差,再由比重算出一个六角螺帽 毛坯的体积即可.
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(2R)2 a2 ( 2a)2,得:R 3 a 2
S 4R2 3a2
变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切,则有S=——a。2
变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切,则有S=2— —a2 。
关键:找正方体的棱长a与球半径R之间的关系
例4、有三个球,一球切于正方体的各面,一 球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的 各顶点,求这三个球的体积之比. 1 : 2 2 : 3 3
V V1 V2 V3 ... Vn
第二步:求近似和
Si
hi
O
O
Vi
Vi
1 3
Si
hi
由第一步得: V V1 V2 V3 ... Vn
V
1 3
S1h1
1 3
S2h2
1 3
S3h3
...
1 3
Sn
hn
第三步:转化为球的表面积
Si
hi
如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥。 hi 的值就趋向于球的半径R
V台体=
1 h(s + 3
ss' + s')
x
s/
s/
h
s
s
推论:如果圆台的上,下底面半径是r1.r2,高是
h,那么它的体积是:
1
V圆台= 3
πh
(r12
r1r2
r22 )
五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?
上底扩大
上底缩小
V Sh
S S V 1 (S
3
SS S)h
S 0
P
Q
祖暅原理
二:柱体的体积
定理1: 柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它
的底面积 s 和高 h 的积。
V柱体= sh
推论 : 底面半径为r,高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
三:锥体体积
例2 如图:三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h.
问(1)从A点出发能将棱柱分割成几个三棱锥?
D1
C1
D1
3.几何体的表面积应注意重合部分的处理.
一、体积的概念与公理:
几何体占有空间部分的大小叫做它的体积
公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积 。
V长方体= abc 推论1 、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积
。
V长方体= sh
推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。
V正方体= a3
公理2、夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行 于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截 面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等。
Vi
Si
R
O Vi
V
1 3
Vi
Si
R
1 3
S2
1
3 R
Si R
1 3
S3
R...1 3来自SnR1 3
R(Si
S2
S3
...
Sn
)
1 3
RS
①
球的体积: V 4 R3 ②
由①② 得:
3
S 4πR2
设球的半径为R,则球的体积公式为 V球= 4∕3π.R3
例1.(2009年高考上海卷)若球O1、O2表 面积之比=4,则它们的半径之比=______.
几何体的表面积问题小结
1.高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中, 借以考查空间想象能力和运算能力,只要正确把握几何体 的结构,准确应用面积公式,就可以顺利解决.
2.多面体的表面积是各个面的面积之和.圆柱、 圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个 曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆 的面积之和.
R
R O
R
R O
1 2
V球
=
πR2 R - 1 πR2 R 3
= 2 πR3 3
V球
=
4 3
πR3
R
R O
R
R O
知识点三、球的表面积和体积
(
第一步:分割
球面被分割成n个网格, 表面积分别为:
S1,S2,S3...Sn
O
则球的表面积:
S S1 S2 S3 ... Sn
Si
O
Vi
设“小锥体”的体积为:Vi 则球的体积为:
D1
C1
A
A A
D
CD
B
答:可分成棱锥A-D1DC, 棱锥A-D1C1C, 棱锥A-BCD.
A C
C
D
C
B
定理︰如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面
积是S,高是h,那么它的体积是:
推论:V如果锥圆体=锥的13S底面h半径是r,高是h,
那么它的体积是:
V圆锥=
1 3
πr2h
h
h
S
S
S
四.台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h,则
解析:S 球=4πR2,故RR12=
SS12= 4=2.
答案:2
例2:
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的—2倍。
(2)若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的—4倍。
(3)若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是—1—: 2—2。
(4)若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是—1—: 3—4。
V 1 Sh 3
S为底面面积, S分别为上、下底面 h为锥体高 面积,h 为台体高
S为底面面积, h为柱体高
题型二 组合体的体积
例1 从一个正方体中,如图那样截去4个三棱 锥后,得到一个正三棱锥A-BCD,求它的体积 是正方体体积的几分之几?
探究 球的体积:
一个半径和高都等于R的圆柱,挖去一个 以上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥 后,所得的几何体的体积与一个半径为R的 半球的体积相等。
例3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 个顶点都在球O的球面上,问球O的表面积。
分析:正方体内接于球,则由球和正方体都是中心对称图形可
知,它们中心重合,则正方体对角线与球的直径相等。
D A
D A11
C B
O C1
B1
D A
D A11
C B
O C1
B1
略解:
RtB1D1D中: B1D 2R,B1D 2a
作轴截面
例5已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm,求球的体 积,表面积.
解:如图,设球O半径为R, 截面⊙O′的半径为r,
O
OO R , ABC是正三角形,
2
C
A
O
OA 2 3 AB 2 3 r
32
3
B
几何体的体积小结
1.求空间几何体的体积除利用公式法外,还 常用分割法、补体法、转化法等,它们是解决一 些不规则几何体体积计算问题的常用方法.
解 如图所示,
过C作CO1⊥AB于O1,在半圆中可得
∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,
∴AC= 3R ,BC=R,CO1
2.计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据 条件找出相应的底面面积和高,要充分利用多面体 的截面及旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面 问题.
【例2】
如图所示,半径为R的半圆内的 阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋 转一周得到一几何体,求该几何体的 表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.
思维启迪
先分析阴影部分旋转后形成几何体的形状,再 求表面积.
S 4R2 3a2
变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切,则有S=——a。2
变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切,则有S=2— —a2 。
关键:找正方体的棱长a与球半径R之间的关系
例4、有三个球,一球切于正方体的各面,一 球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的 各顶点,求这三个球的体积之比. 1 : 2 2 : 3 3
V V1 V2 V3 ... Vn
第二步:求近似和
Si
hi
O
O
Vi
Vi
1 3
Si
hi
由第一步得: V V1 V2 V3 ... Vn
V
1 3
S1h1
1 3
S2h2
1 3
S3h3
...
1 3
Sn
hn
第三步:转化为球的表面积
Si
hi
如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥。 hi 的值就趋向于球的半径R
V台体=
1 h(s + 3
ss' + s')
x
s/
s/
h
s
s
推论:如果圆台的上,下底面半径是r1.r2,高是
h,那么它的体积是:
1
V圆台= 3
πh
(r12
r1r2
r22 )
五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?
上底扩大
上底缩小
V Sh
S S V 1 (S
3
SS S)h
S 0
P
Q
祖暅原理
二:柱体的体积
定理1: 柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它
的底面积 s 和高 h 的积。
V柱体= sh
推论 : 底面半径为r,高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
三:锥体体积
例2 如图:三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h.
问(1)从A点出发能将棱柱分割成几个三棱锥?
D1
C1
D1
3.几何体的表面积应注意重合部分的处理.
一、体积的概念与公理:
几何体占有空间部分的大小叫做它的体积
公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积 。
V长方体= abc 推论1 、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积
。
V长方体= sh
推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。
V正方体= a3
公理2、夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行 于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截 面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等。
Vi
Si
R
O Vi
V
1 3
Vi
Si
R
1 3
S2
1
3 R
Si R
1 3
S3
R...1 3来自SnR1 3
R(Si
S2
S3
...
Sn
)
1 3
RS
①
球的体积: V 4 R3 ②
由①② 得:
3
S 4πR2
设球的半径为R,则球的体积公式为 V球= 4∕3π.R3
例1.(2009年高考上海卷)若球O1、O2表 面积之比=4,则它们的半径之比=______.
几何体的表面积问题小结
1.高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中, 借以考查空间想象能力和运算能力,只要正确把握几何体 的结构,准确应用面积公式,就可以顺利解决.
2.多面体的表面积是各个面的面积之和.圆柱、 圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个 曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆 的面积之和.
R
R O
R
R O
1 2
V球
=
πR2 R - 1 πR2 R 3
= 2 πR3 3
V球
=
4 3
πR3
R
R O
R
R O
知识点三、球的表面积和体积
(
第一步:分割
球面被分割成n个网格, 表面积分别为:
S1,S2,S3...Sn
O
则球的表面积:
S S1 S2 S3 ... Sn
Si
O
Vi
设“小锥体”的体积为:Vi 则球的体积为:
D1
C1
A
A A
D
CD
B
答:可分成棱锥A-D1DC, 棱锥A-D1C1C, 棱锥A-BCD.
A C
C
D
C
B
定理︰如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面
积是S,高是h,那么它的体积是:
推论:V如果锥圆体=锥的13S底面h半径是r,高是h,
那么它的体积是:
V圆锥=
1 3
πr2h
h
h
S
S
S
四.台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h,则
解析:S 球=4πR2,故RR12=
SS12= 4=2.
答案:2
例2:
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的—2倍。
(2)若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的—4倍。
(3)若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是—1—: 2—2。
(4)若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是—1—: 3—4。
V 1 Sh 3
S为底面面积, S分别为上、下底面 h为锥体高 面积,h 为台体高
S为底面面积, h为柱体高
题型二 组合体的体积
例1 从一个正方体中,如图那样截去4个三棱 锥后,得到一个正三棱锥A-BCD,求它的体积 是正方体体积的几分之几?
探究 球的体积:
一个半径和高都等于R的圆柱,挖去一个 以上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥 后,所得的几何体的体积与一个半径为R的 半球的体积相等。
例3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 个顶点都在球O的球面上,问球O的表面积。
分析:正方体内接于球,则由球和正方体都是中心对称图形可
知,它们中心重合,则正方体对角线与球的直径相等。
D A
D A11
C B
O C1
B1
D A
D A11
C B
O C1
B1
略解:
RtB1D1D中: B1D 2R,B1D 2a
作轴截面
例5已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm,求球的体 积,表面积.
解:如图,设球O半径为R, 截面⊙O′的半径为r,
O
OO R , ABC是正三角形,
2
C
A
O
OA 2 3 AB 2 3 r
32
3
B
几何体的体积小结
1.求空间几何体的体积除利用公式法外,还 常用分割法、补体法、转化法等,它们是解决一 些不规则几何体体积计算问题的常用方法.
解 如图所示,
过C作CO1⊥AB于O1,在半圆中可得
∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,
∴AC= 3R ,BC=R,CO1
2.计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据 条件找出相应的底面面积和高,要充分利用多面体 的截面及旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面 问题.
【例2】
如图所示,半径为R的半圆内的 阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋 转一周得到一几何体,求该几何体的 表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.
思维启迪
先分析阴影部分旋转后形成几何体的形状,再 求表面积.