函数零点的性质
函数零点
一、 函数的零点1. 零点的概念：对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． 2. 函数零点的意义：方程f (x )=0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． 3. 零点存在性判定定理：如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,且f (a )·f (b )＜0,则函数y =f (x )在区间(a ,b )内有零点，即存在c ∈(a ,b ),使得f (c )=0,这个c 就是方程f (x )=0的根． 4. 二次函数零点的判定（1）二次函数零点的判定二次函数2y ax bx c =++的零点个数，方程20ax bx c ++=的实根个数见下表．（2① 二次函数的图象是连续的，当它通过零点时(不是二次零点)，函数值变号． ② 相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号．【说明】对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立． （3）二次函数的零点的应用① 利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图．② 根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质．重难点【定理1】21x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042 如图所示：f【定理2】kx x <≤21⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042．如图所示：【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af ．如图所示：推论1 210x x <<⇔0<ac ． 推论2 211x x <<⇔0)(<++c b a a ．【定理4】有且仅有11x k <(或2x )2k <⇔0)()(21<k f k f如图所示：【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a【定理6】2211k x x k <≤<⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b如图所示：二、 二分法1. 对于在区间[],a b 上连续，且满足()()0f a f b <的函数()y f x =通过不断把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点从而得到零点近似值的方法，叫做二分法．2. 用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证()()0f a f b <，给定精确度． 第二步：求区间(),a b 的中点1x ． 第三步：计算()1f x○1若()10f x =，则1x 就是函数的零点； ○2若()()1.0f a f x <，则令1b x =； ○3若()()10f x f b <，则令1a x =．第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点的近似值a （或b ），否则重复第二、三、四步．函数零点的性判定及求解：【例1】 判断下列函数在给定的区间上是否纯在零点．（1）()2318f x x x =--，[]1.8x ∈ （2）()331f x x x =--，[]1,2x ∈- （3）()()2log 2f x x x =+-，[]1,3x ∈．【解析】（1）方法一：()1200f =-<，()8220f =>，()()180f f ∴⋅<．故()2318f x x x =--在[]1,8上存在零点． 方法二：令23180x x --=，解得3x =-或6x =，()23180f x x x ∴=--=在[]1,8上存在零点． （2）()110f -=-<，()250f =>，()31f x x x ∴=--在[]1,2-上存在零点． （3）()()221log 121log 210f =+->-=，()()223log 323log 830f =+-<-=，()()130f f ∴⋅<．故()()2log 2f x x x =+-在[]1,3上存在零点．【例2】 设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像交点为()00,x y ，则0x 所在的区间（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()1,3D ．()3,4【答案】B【例3】 （天津理2）函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是（ ）Ａ．()2,1-- Ｂ．()1,0- Ｃ．()0,1 Ｄ．()1,2【答案】B【解析】解法1．因为()22260f --=-<，()11230f --=-<，()00200f =+>，所以函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是()1,0-．故选Ｂ． 解法2．()230x f x x =+=可化为23x x =-．画出函数2x y =和3y x =-的图象，可观察出选项Ｃ，Ｄ不正确，且()00200f =+>，由此可排除Ａ，故选Ｂ．例题精讲【例4】 （2010宣武一模理4）设函数231()2x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其零点所在的区间为（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）【答案】B【解析】 ()f x 在R 上单调增，(1)10f =-<，(2)70f =>，故零点所在区间(1,2)．【例5】 （合肥第三次质检）“14a =-”是“函数()21f x ax x =--只有一个零点”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要C ．必要而不充分D ．既不充分也不必要【答案】B【解析】由“函数()21f x ax x =--只有一个零点”可得14a =-或0a =，故14a =-充分而不必要．【例6】 （2010浙江文）已知x 是函数()121x f x x=+-的一个零点．若()101,x x ∈，()20,x x ∈+∞，则 A ．()10f x <，()20f x < B ．()10f x <，()20f x > C ．()10f x >，()20f x <D ．()10f x >，()20f x >【答案】B【例7】 （山东理10）已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x <≤时,()3f x x x =-，则函数()y f x =的图象在区间[]0,6上与x 轴的交点的个数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】A【解析】因为当02x <≤时，()3f x x x =-,又因为()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且()00f =,所以()()()()6420f f f f ===,又因为()10f =,所以()30f =,()50f =,故函数()y f x =的图象在区间[]0,6上与x 轴的交点的个数为6个,选A ．【例8】 （2010福建文）函数()223,0-2+ln ,0x x x f x x x ⎧+-=⎨>⎩≤的零点个数为 ( )A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C ．二次函数的零点问题【例9】 方程()2250x m x m +-+-=的两根都大于2，则m 的取值范围________． 【答案】(]5,4--【解析】令()()225f x x m x m =+-+-，要使()0f x =的两根都大于2，则()()()22450,20,22,2m m f m ⎧⎪=---⎪⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩Δ≥ 54m -<<-．【例10】 关于x 的方程()234210m x mx m +-+-=的两根异号，且负的绝对值不正的绝对值大，那么实数m 的取值范围时（ ）A ．30m -<<B ．03m <<C ．3m <-或0m >D ．0m <或3m >【解析】由题意知()()2121216432104032103m m m m x x m m x x m ⎧=-+->⎪⎪⎪+=<⎨+⎪⎪-⋅=<⎪+⎩Δ得30m -<<，故选A ．【变式】（福建文6）若关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（－1，1）B ．（－2，2）C ．()(),22,-∞-+∞ D ．()(),11,-∞-+∞．【答案】C【变式】（重庆理10）设m ，k 为整数，方程220mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m k +的最小值为（ ）A ．-8B ．8C ．12D ． 13【答案】D【例11】 已知m ∈R ，函数()()21f x m x x a =-+-恒有零点，求实数a 的取值范围．【答案】当0m =时，a R ∈；当0m ≠时，11a -≤≤【解析】 (1)当0m =时，()0f x x a =-=解得x a =恒有解，此时a R ∈；．(2)当0m ≠时，∵ ()0f x =，即20mx x m a +--=恒有解，∴ 211440m am ∆=++≥恒成立，令()2441g m m am =++ ∵()0g m ≥恒成立，∴2α2∆=16-16≤0，解得11a -≤≤,综上所述知，当0m =时，a R ∈； 当0m ≠时，11a -≤≤．函数图象与方程【例12】 关于x 的方程10ax a +-=在区间()0,1内有实根，求实数a 的取值范围是（ ）A ．1a >B ．12a <C ．112a << D ．12a <或1a > 【解析】只需()()010f f <即可，解得112a <<．【例13】 （2010•上海理17）若0x 是方程1312xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解，则0x 属于区间（ ）【例14】 设123,,x x x 依次是方程12log 2x x +=，2log (2)x +22x x +=的实数根，试比较123,,x x x 的大小 ．【答案】231x x x <<【解析】 在同一坐标内作出函数2y x =-，12x12log y x=，2x y =-的图象从图中可以看出，310x x << 又20x <，故231x x x <<【例15】 （山东理16）已知函数()log a f x x x b =+-（0a >，且0a ≠），当234a b <<<<时，函数()f x 的零点()0,1x n n ∈+，n N *∈，则N =_________ ．【答案】5【解析】方程()log a f x x x b =+-（0a >，且0a ≠）=0的根为0x ,即函数log a y x =()23a <<的图象与函数()34y x b b =-<<的交点横坐标为0x ,且()0,1x n n ∈+，n N ∈*,结合图象,因为当()23x a a =<≤时,1y =,此时对应直线上1y =的点的横坐标()14,5x b =+∈;当2y =时, 对数函数()log 23a y x a =<<的图象上点的横坐标()4,9x ∈,直线()34y x b b =-<<的图象上点的横坐标()5,6x ∈,故所求的5=．【例16】 （2010广东深圳）已知函数()221f x x ex m =-++-，()()20e g x x x x=+>．（1）若()g x m =有零点，求m 的取值范围；（2）确定m 的取值范围，使得()()0g x f x -=有两个相异样的实根．【解析】（1）()22e g x x e x=+≥等号成立的条件是x e =故()g x 得值域是(]2,e +∞．故此只需2m e >，则()g x m =就有零点． （2）若()()0g x f x -=有两个相异实根，而()()g x f x =中()g x 与()f x 的图像有两个不同的交点．作出()2e g x x x=+()0x >的图像，如图()21f x x ex m =-++-=()221x e m e --+-+，其对称轴为x e =，开口向下，最大值为21m e -+故当212m e e -+>，即221m e e >-++时，()g x 与()f x 有两个交点，即()()0g x f x -=有两个实数根．∴m 的取值范围是()221,e e -+++∞．函数零点的应用【例17】 （辽宁文16）已知函数()2x f x e x a =-+有零点，则a 的取值范围是___________．【答案】(],2ln 22-∞-【例18】 （2011•湖南）已知函数()1x f x e =-，()243g x x x =-+-，若有()()f a f b =，则b 的取值范围为（ ）A．2⎡⎣B．(2+C ．[]1,3D ．()1,3【例19】 已知2()log f t t =，8t ⎤∈⎦，对于()f t 值域内的所有实数m ，不等式2424x mx m x ++>+恒成立，求x 的取值范围．【解析】 ∵t ∈8]，∴ ()f t ∈[12，3]， ∴m ∈[12，3] ． 原题转化为：2(2)(2)m x x -+->0恒成立， 当2x =时，不等式不成立．∴2x ≠，令2()(2)(2)g m m x x =-+-，m ∈[12，3]， 则：2212()(2)022(3)3(2)(2)0x g x g x x -⎧=+->⎪⎨⎪=-+->⎩，解得：21x x ><-或． ∴x 的取值范围为(,1)(2,)-∞-+∞．【答案】(,1)(2,)-∞-+∞【例20】 （2009福建卷文）若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0．25， 则()f x 可以是（ ）A ．()41f x x =-B ．()2(1)f x x =-C ．()1xf x e =- D ．()12f x In x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】 A【解析】 ()41f x x =-的零点为14x =，()2(1)f x x =-的零点为1x =, ()1xf x e =-的零点为0x =，()12f x In x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点为x=23．现在我们来估算()422x g x x =+-的零点，因 为g(0)=-1,g(21)=1,所以g(x)的零点x ∈(0, 21),又函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0．25，只有()41f x x =-的零点适合，故选A ．【例21】 （2010西城一模文20）已知函数2()()e x f x x mx m =-+，其中m ∈R ．（1）若函数()f x 存在零点，求实数m 的取值范围；（2）当0m <时，求函数()f x 的单调区间，并确定此时()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．【解析】 （1）设()f x 有零点，即函数2()g x x mx m =-+有零点，所以240m m -≥，解得4m ≥或0m ≤；（2）2()(2)e ()e (2)e x x x f x x m x mx m x x m '=-⋅+-+⋅=-+， 令()0f x '=得0x =或2x m =-， 因为0m <，所以20m -<，当(,2)x m ∈-∞-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当(2,0)x m ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增． 此时，()f x 存在最小值．()f x 的极小值为(0)0f m =<．根据()f x 的单调性，()f x 在区间(2,)m -+∞上的最小值为m ，解()f x =0，得()f x 的零点为1x =和2x =结合2()()e x f x x mx m =-+⋅可得在区间1(,)x -∞和2(,)x +∞上，()0f x >． 因为0m <，所以120x x <<，并且1(2)2x m m --=+=4|2|4(2)1022m m m m -+---+-->===>，即12x m >-，综上，在区间1(,)x -∞和2(,)x +∞上，()0f x >，()f x 在区间(2,)m -+∞上的最小值为m ，0m <，所以，当0m <时()f x 存在最小值，最小值为m ．【例22】 设函数()32f x x ax bx a =+++，()232g x x x =-+，其中x R ∈，a ，b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点()2,0处有相同的切线1． (I) 求a ，b 的值，并写出切线1的方程；(II)若方程()()f x g x mx +=有三个互不相同的实根0，1x ，2x ，其中12x x <，且对任意的1,2x x x ⎡⎤∈⎣⎦，()()(1)fxg x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围．判断函数()y f x =在某区间上是否有零点，有几个零点，常用以下方法： 解方程：方程根的个数即为零点的个数 定理法：利用函数零点存在性定理直接判断图像法：转化为求两个函数图像的交点个数问题进行判断课后总结【习题1】 （天津文4）函数()e 2xf x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2 【答案】C【解析】因为()11e 120f --=--<，()00e 0210f =+-=-<，()11e 12e 10f =+-=->，所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选Ｃ．【习题2】 偶函数()f x 在区间[]0,a ()0a >是单调函数，且满足()()00f f a <，则函数()f x 在区间[],a a -内零点的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C ．【习题4】 （2009安徽卷理）设a ＜b,函数2()()y x a x b =--的图像可能是（ ）【答案】 C【解析】/()(32)y x a x a b =---，由/0y =得2,3a bx a x +==，∴当x a =时，y 取极大值0，当课堂检测23a bx +=时y 取极小值且极小值为负．故选C ．【习题5】 方程2210(0ax x a --=>，且1)a ≠在区间[]1,1-上有且仅有一个实根，求函数23xxy a -+=的单调区间．【解析】 令2()21f x ax x =--，（1）由(1)20f a -==，得0a =，舍去； （2）由(1)220f a =-=，得1a =，舍去； （3）(1)(1)0f f -⋅<⇔20a a -<⇔01a << 综上：01a << 对于函数23xxy a -+=，令t y a =，221133()612t x x x =-+=--+则t y a =在R 上为减函数，t 在1(,]6-∞上为增函数，在1[,)6+∞上为减函数． ∴当1(,]6x ∈-∞时，23x x y a -+=是减函数；当1[,)6x ∈+∞时，23x x y a -+=是增函数．【答案】单调减区间1(,]6-∞单调增区间1[,)6+∞【习题6】 若函数()()01xf x a x a a a =-->≠且有两个零点，则实数a 的取值范围是 _________．【答案】}1|{>a a【解析】 设函数(0,x y a a =>且1}a ≠和函数y x a =+,则函数()()01x f x a x a a a =-->≠且有两个零点, 就是函数(0,xy a a =>且1}a ≠与函数y x a=+有两个交点,由图象可知当10<<a 时两函数只有一个交点,不符合,当1>a 时,因为函数(1)x y a a =>的图象过点(0,1),而直线y x a =+所过的点（0，a ）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是}1|{>a a ．。
分析高中数学中的函数的零点与极限的重要性质
分析高中数学中的函数的零点与极限的重要性质函数是高中数学中的重要概念之一，它包含了数学研究中的许多重要性质。
函数的零点和极限是函数研究的两个关键概念，它们在数学理论和实际问题求解中都具有重要意义。
首先，我们来讨论函数的零点。
函数的零点是指使函数取值为零的输入值。
零点的概念在数学中是非常重要的，因为零点可以帮助我们解决方程和不等式等问题。
通过求得函数的零点，我们可以找到方程的根或者不等式的解，这在解决实际问题时具有重要作用。
零点的概念也与函数图像的特征密切相关。
函数的零点可以揭示函数图像与x轴的交点，通过分析零点的性质，我们可以得到函数图像的有关信息。
例如，函数在零点处取得极值，或者函数图像在零点处存在断点等情况。
其次，我们来讨论函数的极限。
极限是用来描述函数在某一点“无限接近于某个值”的概念。
函数的极限与函数的连续性和稳定性相关。
通过研究函数的极限，我们可以了解函数在某一点附近的行为，判断函数的连续性和研究函数的性质。
函数的极限还可以帮助我们解决一些求解问题的困难。
例如，在求导数的过程中，我们经常会使用极限的性质来进行推导。
通过对函数极限的理解，我们可以更好地理解导数的概念，从而更加深入地研究函数的性质。
此外，函数的极限还与数学分析中的许多重要概念密切相关。
例如，利用函数的极限可以定义函数的导数、积分和级数等。
这些概念在数学分析中起着重要的作用，并且在实际问题求解中也有广泛的应用。
函数的零点和极限在高中数学中的学习和理解中是不可或缺的。
通过研究函数的零点和极限，我们可以深入了解函数的性质，从而在实际问题求解中更加准确地把握函数的特点。
同时，对于将来进一步学习数学的同学来说，函数的零点和极限也是他们深入研究数学分析所必备的基础。
总结起来，函数的零点和极限是高中数学中的重要概念。
它们不仅是数学理论中的关键概念，而且在实际问题求解中具有重要意义。
函数的零点和极限能够帮助我们解决方程和不等式等问题，同时也能揭示函数图像和函数性质的重要信息。
二次函数零点的有趣性质及其应用
二次函数零点的有趣性质及其应用二次函数是高中数学中经常研究的内容之一，它是一类常见的二元二次方程。
二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 为实数且a≠0。
二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，也就是使函数取值为零的x值。
二次函数的零点有以下几个有趣的性质：1. 零点的判别法：由于二次函数是一个二元二次方程，可以应用求根公式得到它的零点。
判别式Δ = b^2 - 4ac可以揭示零点的性质。
当Δ > 0时，函数有两个不相等的实根；当Δ = 0时，函数有两个相等的实根；当Δ < 0时，函数没有实根，但可能有两个虚根。
2.零点与系数之间的关系：对于一个给定的二次函数，它的零点与系数之间有一定的关系。
零点的和为-x轴对称的顶点横坐标的两倍的相反数，即x1+x2=-b/a；零点的乘积等于常数项与系数a的商的负数，即x1*x2=c/a。
除了基本的性质之外，二次函数的零点还具有一些应用价值：1.解决实际问题：二次函数可以用来描述很多实际问题，例如炮弹的抛射轨迹、物体的自由落体运动等。
这些问题中，零点代表了一些事件发生的时间或位置。
通过求解二次函数的零点，我们可以得到这些问题的解决方法。
2.优化问题的求解：在很多优化问题中，需要找出函数取得最大值或最小值的点。
二次函数在特定的条件下可以很方便地用来描述这类问题。
通过求解二次函数的零点，我们可以找到函数的顶点，从而确定函数的极值点。
3.统计学中的应用：二次函数在统计学中具有广泛的应用。
例如，通过拟合二次函数可以对一组数据进行回归分析，从而预测未来的趋势或估计缺失的数据。
4.工程中的应用：工程领域中，二次函数常常用来描述其中一种物理量与时间或空间的关系。
例如，用来描述电路中的电流、电压变化等。
通过求解二次函数的零点，我们可以得到这些物理量的变化趋势。
总之，二次函数的零点具有很多有趣的性质和应用。
它不仅有助于理解二次函数的性质，还可以解决实际问题和优化问题，应用到统计学和工程领域中。
高中数学：2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
2．4．2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法1．了解变号零点与不变号零点的概念．2．理解函数零点的性质．3．会用二分法求近似值．1．函数零点的性质如果函数y＝f(x) 在区间[a，b]上的图象是不间断的曲线，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)·f(b)<0，那么这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0，若函数图象通过零点时穿过x轴，这样的零点称为变号零点，如果没有穿过x轴，则称为不变号零点．2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法．3．用二分法求函数 f (x ) 零点近似值的步骤 给定精确度(1)确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0； (2)求区间(a ，b )的中点 x 1；(3)计算 f (x 1)；①若f (x 1)＝0，则 x 1 就是函数的零点；②若f (a )·f (x 1)<0，则令 b ＝x 1 (此时零点 x 0∈(a ，x 1))；③若f (x 1)·f (b )<0，则令a ＝x 1(此时零点 x 0∈(x 1，b ))．(4)判断是否达到精确度，即若|a －b |<，则得到零点近似值 a (或 b )；否则重复 (2)～(4)．1．函数f (x )＝x 3－2x 2＋3x －6在区间[－2，4]上的零点必属于区间( ) A ．[－2，1] B ．⎣⎡⎦⎤52，4 C ．⎣⎡⎦⎤1，74 D ．⎣⎡⎦⎤74，52解析：选D ．由于f (－2)<0， f (4)>0，f (－2＋42)＝f (1)<0，f (1＋42)＝f (52)>0， f (1＋522)＝f (74)<0， 所以零点在区间⎣⎡⎦⎤74，52内．2．用二分法研究函数f (x )＝x 2＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0．5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次计算________．以上横线应填的内容分别是( )A ．(0，0．5) f (0．25)B ．(0，1) f (0．25)C ．(0．5，1) f (0．75)D ．(0，0．5) f (0．125)解析：选A ．因为f (0)<0，f (0．5)>0， 所以函数f (x )的一个零点x 0∈(0，0．5)， 第二次计算f ⎝⎛⎭⎫0＋0.52＝f (0．25)．3．函数的零点都能用“二分法”求吗？解：不一定．例如：函数y ＝x 2的零点为x ＝0，但不能用二分法求解．判断函数在某个区间内是否有零点(1)指出方程 x 5－x －1＝0 的根所在的大致区间；(2)求证：方程x3－3x＋1＝0 的根一个在区间(－2，－1)内，一个在区间(0，1)内，另一个在区间(1，2)内．【解】(1)方程x5－x－1＝0，即x5＝x＋1，令F(x)＝x5－x－1，y＝f(x)＝x5，y＝g(x)＝x＋1．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)与g(x)的图象如图，显然它们只有1 个交点．两函数图象交点的横坐标就是方程的解．又F(1)＝－1<0，F(2)＝29>0，所以方程x5－x－1＝0 的根在区间(1，2)内．(2)证明：令F(x)＝x3－3x＋1，它的图象一定是不间断的，又F(－2)＝－8＋6＋1＝－1<0，F(－1)＝－1＋3＋1＝3>0，所以方程x3－3x＋1＝0 的一根在区间(－2，－1)内．同理可以验证F(0)·F(1)＝1×(－1)＝－1<0，F(1)·F(2)＝(－1)×3＝－3<0，所以方程的另两根分别在区间(0，1)和(1，2)内．本题考查的是如何判断方程的根所在的大致区间问题，它是用二分法求方程近似解的前提．对于连续的函数可以多次验证某些点处的函数值的符号是否异号；若异号，则方程的解在以这两数为端点的区间内，这种方法需多次尝试，比较麻烦．另外在这个区间内也不一定只有一个解．已知f(x) 为偶函数，且当x≥0 时，f(x)＝(x－1)2－1，求函数f(x)的零点，并判断哪些零点是变号零点，哪些零点是不变号零点．解：因为x≥0 时，f(x)＝(x－1)2－1，而当x<0 时，－x>0，所以f(－x)＝(－x－1)2－1，而f(x) 为偶函数，则f(－x)＝f(x)，所以 f (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2－1（x ≥0），（x ＋1）2－1（x <0）.解方程 (x －1)2－1＝0， 得 x 1＝0，x 2＝2． 解方程 (x ＋1)2－1＝0， 得 x 1＝0，x 2＝－2，故函数 f (x ) 共有 3 个零点为 －2，0，2，如图所示，可知函数 f (x )的变号零点为 －2，2，不变号零点为 0．用二分法求方程近似解用二分法求函数f(x)＝x3－x－2的一个正实数零点(精确到0．1)．【解】由f(1)＝－2<0，f(2)＝4>0，可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，具体如表．1．5，所以1．5可作为所求函数的一个正实数零点的近似值．用二分法求函数零点的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使其长度尽量小，其次要依据条件给定的精确度及时检验计算所得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算．借助计算器，用二分法求方程(x＋1)(x －2)(x－3)＝1在区间(－1，0)内的近似解(精确到0．1)．解：令f(x)＝(x＋1)(x－2)(x－3)－1，由于f(－1)＝－1<0，f(0)＝5>0，可取区间[－1，0]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：5－0．9即为区间(－1，0)内的近似解．1．函数零点判定定理的应用判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x) 在区间[a，b]上的图象是否连续，并且是否存在f(a)·f(b)<0，若存在，那么函数y＝f(x) 在区间(a，b)内必有零点．对于函数f(x)，若满足f(a)·f(b)<0，则f(x) 在区间[a，b]内不一定有零点，反之，f(x) 在区间[a，b]内有零点也不一定有f(a)·f(b)<0，如图所示．即此方法只适合变号零点的判断，不适合不变号零点．2．二分法的使用条件和范围(1)二分法的理论依据：如果函数y＝f(x)是连续的，且f(a)与f(b)的符号相反(a<b)，那么方程f(x)＝0至少存在一个根在(a，b)之间．(2)用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合．(3)每一次二分有根区间(a，b)为两个小区间，区间的长度都是原来区间长度的一半．用零点存在性定理判断函数的零点时，两个条件是缺一不可的．因此，在判断已知函数在区间上的零点是否存在时，应首先确定图象是不间断的．1．下列函数中能用二分法求零点的是()解析：选C．由二分法的定义知．2．设f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内() A．至少有一实根B．至多有一实根C．没有实根D．必有唯一实根答案：D3．下面关于二分法的叙述，正确的是________．①用二分法可求所有函数零点的近似值；②用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位；③二分法无规律可循，无法在计算机上完成；④只有在求函数零点时才用二分法． 答案：②4．设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不间断曲线，且f (a )·f (b )<0，取x 0＝a ＋b2，若f (a )·f (x 0)<0，则利用二分法求方程根时取有根区间为________．解析：利用二分法求方程根时，根据求方程的近似解的一般步骤，由于f (a )·f (x 0)<0， 则[a ，x 0]为新的区间． 答案：[a ，x 0][A 基础达标]1．函数f (x )＝x 3－3x －3有零点的区间是( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2)D ．(2，3)解析：选D ．因为f (2)·f (3)＝(8－6－3)·(27－9－3)＝－15<0， 所以f (x )有零点的区间是(2，3)．2．如图是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点，给出下列四个区间中，存在不能用二分法求出的零点，则该零点所在的区间是( )A ．[－2．1，－1]B ．[1．9，2．3]C ．[4．1，5]D ．[5，6．1]解析：选B ．由不变号零点的特征易判断该零点在[1．9，2．3]内． 3．方程2x 3－4x 2＋7x －9＝0在区间[－2，4]上的根必定属于区间( ) A ．(－2，1) B ．(52，4)C ．(π4，1)D ．(1，74)解析：选D ．设f (x )＝2x 3－4x 2＋7x －9， 由f (1)·f (74)<0知选D ．4．已知函数f (x )与g (x )满足的关系为f (x )－g (x )＝－x －3，根据所给数表，判断f (x )的一个零点所在的区间为( )A ．(－1，0) C ．(1，2)D ．(2，3)解析：选C ．由列表可知f (1)＝g (1)－1－3＝2．72－4＝－1．28，f (2)＝g (2)－2－3＝7．39－5＝2．39，所以f (1)·f (2)<0．所以f (x )的一个零点所在的区间为(1，2)．5．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正整零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A ．1．2B ．1．3C ．1．4D ．1．5解析：选C ．由零点的定义知，方程的根所在区间为[1．406 25，1．437 5]，故精确到0．1的近似根为1．4．6．函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法求出，则a ，b 的关系是________． 解析：因为函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法，所以函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴相切，所以Δ＝a 2－4b ＝0，所以a 2＝4b ． 答案：a 2＝4b7．方程x 3＝2x 精确到0．1的一个近似解是________． 解析：令f (x )＝x 3－2x ，f (1)＝－1<0，f (2)＝4>0，所以在区间[1，2]上求函数f (x )的零点，即为方程x 3＝2x 的一个根，依照二分法求解得x ＝1．4．答案：1．48．某方程有一无理根在区间D ＝(1，3)内，若用二分法求此根的近似值，则将D 至少等分________次后，所得近似值的精确度为0．1．解析：由3－12n ≤0．1，得2n ≥20，n >4，故至少等分5次． 答案：59．分别求出下列函数的零点，并指出是变号零点还是不变号零点． (1)f (x )＝3x －6； (2)f (x )＝x 2－x －12； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1； (4)f (x )＝(x －2)2(x ＋1)x ． 解：(1)零点是2，是变号零点． (2)零点是－3和4，都是变号零点． (3)零点是1，是不变号零点．(4)零点是－1，0和2，其中变号零点是0和－1，不变号零点是2． 10．已知函数f (x )＝13x 3－x 2＋1(1)证明方程f (x )＝0在区间(0，2)内有实数解；(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f (x )＝0(x ∈[0，2])的实数解x 0在哪个较小的区间内．解：(1)证明：因为f (0)＝1>0，f (2)＝－13<0，所以f (0)·f (2)<0，由函数的零点存在性定理可得方程 f (x )＝0在区间(0，2)内有实数解． (2)取x 1＝12(0＋2)＝1，得f (1)＝13>0，由此可得f (1)·f (2)<0，下一个有解区间为(1，2)． 再取x 2＝12(1＋2)＝32，得f ⎝⎛⎭⎫32＝－18<0， 所以f (1)·f ⎝⎛⎭⎫32<0，下一个有解区间为⎝⎛⎭⎫1，32． 再取x 3＝12⎝⎛⎭⎫1＋32＝54，得f ⎝⎛⎭⎫54＝17192>0， 所以f ⎝⎛⎭⎫54·f ⎝⎛⎭⎫32<0，下一个有解区间为⎝⎛⎭⎫54，32． 综上所述，得所求的实数解x 0在区间⎝⎛⎭⎫54，32内．[B 能力提升]11．若函数f (x )的图象在R 上连续不断，且满足f (0)<0，f (1)>0，f (2)>0，则下列说法正确的是()A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点C．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点D．f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点解析：选C．根据零点存在性定理，由于f(0)·f(1)<0，f(1)·f(2)>0，所以f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上无法确定，可能有，也可能没有，如图所示：12．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：则f(x解析：由于f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，所以f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，故f(x)的零点个数至少有3个．答案：313．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子．则：(1)维修线路的工人师傅怎样工作最合理？(2)算一算要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m 左右，即一两根电线杆附近，要查多少次？解：(1)如图，他首先从中点C查．用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．(2)每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因此只要7 次就够了．14．(选做题)求方程3x2－4x－1＝0的根的近似值．解：令f(x)＝3x2－4x－1，列出x，f(x)的一些对应值如下表：00若x0∈[－1，0]，取区间[－1，0]的中点x1＝－0．5，则f(－0．5)＝1．75，因为f(－0．5)·f(0)<0，所以x0∈[－0．5，0]．再取区间[－0．5，0]的中点x2＝－0．25，则f(－0．25)＝0．187 5，因为f(－0．25)·f(0)<0，所以x0∈[－0．25，0]．同理，可得x0∈[－0．25，－0．125]，x0∈[－0．25，－0．187 5]，x0∈[－0．218 75，－0．187 5]，区间[－0．218 75，－0．187 5]的左、右端点精确到0．1所取的近似值都是－0．2．所以把x0＝－0．2作为方程3x2－4x－1＝0的一个根的近似值．同理，若x0∈[1，2]时，方程的根的近似值为1．5．2±7综上，方程3x2－4x－1＝0的根的精确值为x1，2＝3，近似值为－0．2或1．5．。
高中数学-函数零点问题及例题解析
高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。
（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。
若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。
2、二分法：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。
根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例、函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。
分析：显然函数xx x f 2)1ln()(-+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。
高中数学讲义：零点存在的判定与证明
零点存在的判定与证明一、基础知识：1、函数的零点：一般的，对于函数()y f x =，我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数()y f x =的零点。
2、零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ×<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点，即()0,x a b $Î，使得()00f x =注：零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续，如果()f x 是分段的，那么零点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。
因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调4、几个“不一定”与“一定”（假设()f x 在区间(),a b 连续）（1）若()()0f a f b ×<，则()f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。
要分析()f x 的性质与图像，如果()f x 单调，则“一定”只有一个零点（2）若()()0f a f b ×>，则()f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。
如果()f x 单调，那么“一定”没有零点（3）如果()f x 在区间(),a b 中存在零点，则()()f a f b ×的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。
如果()f x 单调，则()()f a f b ×一定小于05、零点与单调性配合可确定函数的符号：()f x 是一个在(),a b 单增连续函数，0x x =是()f x 的零点，且()0,x a b Î，则()0,x a x Î时，()0f x <；()0,x x b Î时，()0f x >6、判断函数单调性的方法：（1）可直接判断的几个结论：① 若()(),f x g x 为增（减）函数，则()()f x g x +也为增（减）函数② 若()f x 为增函数，则()f x -为减函数；同样，若()f x 为减函数，则()f x -为增函数③ 若()(),f x g x 为增函数，且()(),0f x g x >，则()()f x g x ×为增函数（2）复合函数单调性：判断()()y f g x =的单调性可分别判断()t g x =与()y f t =的单调性（注意要利用x 的范围求出t 的范围），若()t g x =，()y f t =均为增函数或均为减函数，则()()y f g x =单调递增；若()t g x =，()y f t =一增一减，则()()y f g x =单调递减（此规律可简记为“同增异减”）（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像7、证明零点存在的步骤：（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数()f x （3）分析函数()f x 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间（4）利用零点存在性定理证明零点存在例1：函数()23x f x e x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A.1,02æö-ç÷èø B.10,2æöç÷èø C.1,12æöç÷èø D.31,2æöç÷èø思路：函数()f x 为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可解：1211234022f e -æöæö-=+×--=-<ç÷ç÷èøèø，()020f =-<11232022f æö=+×-=-<ç÷èø()12310f e e =+-=->()1102f f æö\×<ç÷èø01,12x æö\Îç÷èø，使得()00f x =答案：C例2：函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是（ ）A.31,2æöç÷èø B.3,22æöç÷èøC.()2,eD.(),e +¥思路：先能判断出()f x 为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。
函数零点的概念
函数零点的概念
函数零点是指在函数图像上的一个点，虽然它看起来很小，但它
却具有重要的数学意义。
它的特殊性在于，它代表了一个位置，在这
个位置上，函数的值为零，这意味着函数在零点处的曲线图是水平的
而不是斜的。
当我们考虑一个函数时，试图理解函数零点是非常重要的，因为
它可以为我们提供有关函数的额外信息，以此来确定函数的行为特征。
特别是，我们可以利用函数零点来确定函数的奇偶性，即零点可以帮
助我们确定函数是否对称。
对称函数是具有对称性的函数，它具有相
同的形式，无论在任一方向上做出的变化（例如，左或右移动）都是
不变的。
函数零点的另一重要特征是，它可以帮助我们了解函数的单调性。
显然，除了零点之外，函数的曲线是单调的，即曲线在该点的一侧始
终是上升的，而在另一侧始终下降。
总之，函数零点是一个非常重要的概念，它允许我们在数学上测
量函数的行为，以确定它的特征和性质。
函数零点可以为我们提供宝
贵的信息，允许我们确定函数的奇偶性和单调性，从而使我们能够更
好地理解和解释函数的行为。
二分法求函数的零点
若f(a)·f(c)<0 ，则零点x0∈(a,c)；
若f(c)·f(b)<0 ，则零点x0∈(c,b).
思考4:若给定精确度ε，如何选取近似 值？ 当|m—n|<ε 时，区间[m，n]内的任意 一个值都是函数零点的近似值.
用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
知识探究:
用二分法求函数零点近似值的步骤
思考1:求函数f(x)的零点近似值第一步 应做什么？
确定区间[a,b]，使 f(a)f(b)<0 思考2:为了缩小零点所在区间的范围， 接下来应做什么？
求区间的中点c，并计算f(c)的值
思考3:若f(c)=0说明什么？ 若f(a)·f(c)<0或f(c)·f(b)<0 ，则 分别说明什么？
4、判断是否达到精确度ε ，即若|a-b|< 则得到零点近似值a(或b),否则重复2~4
ε
(4) 思考：下列函数中能用二分法求零点的是(1) ____.
用二分法求方程的近似解一般步骤：
口 诀
定区间，找中点， 同号去，异号算， 周而复始怎么办? 中值计算两边看. 零点落在异号间. 精确度上来判断.
A
C
E
D
B
利用我们刚才的方法，你能否求出方 程lnx+2x-6=0 的近似解 ? 如果能的话，怎么去解？你能用函数的 零点的性质吗？
见excel软件演示
对于区间[a,b]上连续不断且f(a) · f(b)<0的函数 y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进 而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection).
y
零点存在性定理
零点存在性定理前⾔函数的零点对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使得f (x )=0的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点．简⾔之，零点不是点，是实数；零点是函数对应的⽅程f (x )=0的根。
有关零点的⼏个结论(1).若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )⾄多有⼀个零点，也可能没有零点，⽐如f (x )=2x 单调递增，但没有零点。
(2).连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。
⽐如函数f (x )=−(x −1)⋅(x −2)，在1<x <2时，函数值f (x )都是正值。
(3).连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，如y =x 3在零点x =0处两侧的函数值不同；也可能不变号，如y =x 2在零点x =0处两侧的函数值相同。
重要转化函数y =f (x )=h (x )−g (x )有零点[数的⾓度]⟺函数y =f (x )与x 轴有交点[形的⾓度]⟺⽅程f (x )=0有实根[数的⾓度]⟺函数y =h (x )与函数y =g (x )的图像有交点[形的⾓度]具体应⽤时务必注意对函数f (x )的有效拆分，⽐如函数f (x )=lnx −x +2，拆分为①h (x )=lnx 和g (x )=x −2，或者拆分为②h (x )=lnx −2和g (x )=x ，都⽐拆分为③h (x )=ln x −x 和g (x )=2要强的多。
当拆分为①②时，我们都可以轻松的画出其图像，但是拆分为③时，要画出函数h (x )的图像，就需要导数参与。
这时候，我们也就能理解有时候选择⽐努⼒更重要。
拆分原则：尽可能的拆分为我们学过的基本初等函数或初等函数，这样的拆分是上上策。
零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的⼀条曲线，并且有f (a )⋅f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内⾄少有⼀个零点，即⾄少存在⼀个c ∈(a ，b )，使得f (c )=0，这个c 也就是⽅程f (x )＝0的根．定理的理解需要注意：①零点存在性定理的使⽤有两个条件必须同时具备，其⼀在区间[a ，b ]上连续，其⼆f (a )⋅f (b )<0，缺⼀不可；⽐如，函数f (x )=1x在区间[−1，1]上满⾜f (−1)⋅f (1)<0，但是其在区间[−1，1]没有零点，原因是不满⾜第⼀条；再⽐如函数f (x )=2x ，在区间[−1，1]上满⾜连续，但是其在区间[−1，1]没有零点，原因是不满⾜第⼆条；②零点存在性定理只能判断函数的变号零点，不能判断不变号零点。
数学必修一函数的零点知识点
数学必修一函数的零点知识点
数学必修一中，函数的零点是一个重要的知识点。
以下是关于函数的零点的基本知识点：
1. 零点的定义：对于函数 f(x)，如果存在某个实数 a，使得 f(a) = 0，那么 a 就是 f(x) 的零点。
换句话说，就是函数图像与 x 轴相交的点。
2. 方程的根：函数的零点也可以理解为方程 f(x) = 0 的根。
解方程 f(x) = 0 可以求得函数的零点。
3. 判断零点的方法：
- 通过图像：可以通过绘制函数的图像，找到函数与 x 轴相交的点来确定零点。
- 通过方程：可以将函数 f(x) 置为零，即 f(x) = 0，然后解方程来求得零点。
4. 零点的性质：
- 零点可能有重根：即某个 x 值对应的函数值可能为 0 的次数大于 1。
- 零点的奇偶性：如果 f(x) 有一个零点 a，则 f(-x) 也有一个零点 -a。
即零点是关于原点对称的。
5. 零点与图像的关系：函数的零点与函数图像的交点有着紧密的关系。
例如，函数上方和下方零点的个数的差别可以用来分析函数的增减性。
6. 零点的应用：零点在数学中应用广泛，可以用来求方程的根、函数的解析式等。
这些是关于函数的零点的一些基本知识点，希望对你有帮助！。
函数零点的性质及应用
函数零点的性质及应用函数的零点指的是函数的图像与x轴（或称为横轴）相交的点，在数学中也被称为函数的根、解或交点。
零点的性质及其应用广泛存在于数学、物理、工程等各个领域，下面将从数学的角度来探讨函数零点的性质及应用。
一、函数零点的性质：1. 零点的存在性：函数存在零点的条件是函数的图像与x轴相交，即f(x) = 0。
对于连续函数而言，根据介值定理，如果函数在闭区间[a, b]上有不同的符号，即f(a)f(b) < 0，则在[a, b]上一定存在一个实数c，使得f(c) = 0，即函数在[a, b]上一定存在一个零点。
2. 零点的唯一性：对于单调函数而言，如果函数在某个区间上是单调递增（递减）的，那么这个函数在该区间上的零点是唯一的。
特别地，对于严格单调递增（递减）的函数，其零点一定只有一个。
3. 零点的重数：零点的重数指的是函数在该零点处连续的次数，也叫做该零点的重子数。
常见的有一重零点、二重零点等。
如果一个函数在某个点x=a处的导数为0，且导数的导数在该点不为0，则称x=a是函数的二重零点。
4. 零点的性质：函数的零点是函数图像与x轴的交点，因此在零点处，函数的取值为0。
而在零点附近，函数的取值可能会从负数变成正数或从正数变成负数，因此可以利用函数的零点来确定函数表达式的变号区间。
此外，零点还可以用来求解函数的方程，即通过求解f(x)=0来确定x的值。
二、函数零点的应用：1. 方程的求解：函数的零点在求解方程中有很重要的作用。
通过求解f(x)=0，可以将一个方程转化为一个函数的零点问题，从而可以利用函数零点的性质来解决方程。
例如，求解一元二次方程ax^2+bx+c=0可以转化为求解函数f(x)=ax^2+bx+c的零点问题。
2. 函数图像的描绘：函数的零点是函数图像与x轴相交的点，因此可以通过求解函数的零点来确定函数图像的交点。
通过绘制函数的零点，可以更加清晰地了解函数的增减性、拐点、极值等信息。
零点定理_讲义
函数与方程知识要点梳理知识点一、函数的零点1.函数的零点一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 要点诠释：函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．2.二次函数零点的判定二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点3.二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.4.二次函数的零点的应用①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图.②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质.引伸：二次函数的零点的应用可推广到一般函数.5.零点存在性定理如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使.知识点二、二分法1.二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.2.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令；……继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度. 零点定理的探究：（1）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：○1 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______, )2(-f ·)1(f _____0（＜或＞）． ○2 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞）． （2）观察下面函数)(x f y =的图象○1 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞）． ○2 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）． ○3 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）．练习1.若函数f (x )在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且函数f (x )在(－2,2)内有一个零点，则f (－2)·f (2)的值 ( ) A ．大于0 B ．小于0C ．等于0D ．不能确定2．设函数f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f (－12)·f (12)＜0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根类型二、确定函数零点的个数1．二次函数中，，则函数的零点的个数是( ) A ．1B ．2C ．0D ．无法确定练习1．函数f (x )＝(x －1)ln xx －3的零点有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个类型三 通过零点定理判定零点区间2设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间 ( )A ．(1.25,1.5)B ．(1,1.25)C ．(1.5,2)D ．不能确定练习：1 ．用二分法求函数f (x )＝3x －x －4的一个零点，其参考数据如下：f (1.600 0)＝0.200 f (1.587 5)＝0.133 f (1.575 0)＝0.067 f (1.562 5)＝0.003f (1.556 2)＝－0.029f (1.550 0)＝－0.060据此数据，可得f (x )＝3x －x －4的一个零点的近似值(精确到0.01)为____________．2．设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是 ( ) A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[－2，－1] D ．[－1,0]3．下列方程在(0，1)内存在实数解的是( )．A ．x 2＋x －3＝0B ．x1＋1＝0C ．21x ＋ln x ＝0 D ．x 2－lg x ＝04．若函数f (x )的图象是连续不断的，且f (0)＞0，f (1)f (2)f (4)＜0，则下列命题正确的是( )． A ．函数f (x )在区间(0，1)内有零点 B ．函数f (x )在区间(1，2)内有零点 C ．函数f (x )在区间(0，2)内有零点 D ．函数f (x )在区间(0，4)内有零点5.(2009·天津高考)设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x ) ( )A ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点B ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均无零点C ．在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点类型四、用二分法求函数的零点的近似值1．如图所示，以下每个函数都有零点，但不能．．用二分法求图中函数零点的是类型四、用二分法解决实际问题3．中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖给选手，同时获得一枚商标.某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1000元之间，选手开始报价：1000元，主持人说：高了，紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？过关题一、选择题1.（2011 东北四市 6）已知函数有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（）A. B. C. D.2.有两个互为相反数的零点的函数( )A.只能是偶函数B.可以是奇函数C.可以是增函数D.可以是减函数3.（2011 广东广州3月6）若函数没有零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.4.设函数是[-1，1]上的增函数，且，则方程在[-1，1]内( )A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根5.若已知，则下列说法中正确的是()A.在上必有且只有一个零点B.在上必有正奇数个零点C.在上必有正偶数个零点D.在上可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点，还可能没有零点。
高一数学函数的零点存在定理及其应用分析总结
零点存在定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a, b)内有零点。
单调性判断：根据零点存在定理，如果函数f(x)在区间[a, b]上有零点，则f(x)在区间(a, b)上至少有一个单调区间。
应用实例：例如，判断函数f(x)=x^3-x在区间[-1, 1]上的单调性，可以通过零点存在定理来判断。
结合实际应用：结合实际例子，理解定理的应用方法和技巧
注意定理的局限性：了解定理的局限性和适用条件
掌握定理的应用范围：了解定理的应用条件和适用范围
感谢您的观看
注意事项：在使用零点存在定理判断函数单调性时，需要注意函数的连续性和零点的存在性。
在研究函数图像中的应用
求解函数方程：通过零点存在定理，可以求解函数方程，得到函数的解析式
确定函数图像的零点：通过零点存在定理，可以确定函数图像的零点位置
判断函数图像的性质：通过零点存在定理，可以判断函数图像的连续性、单调性等性质
研究函数图像的极限：通过零点存在定理，可以研究函数图像的极限，得到函数的极限值
在解决实际问题中的应用
零点存在定理在解决实际问题中的应用广泛，如求解方程、优化问题等
零点存在定理在解决实际问题时，需要注意定理的适用条件和范围，避免错误应用
零点存在定理在解决实际问题时，需要结合实际问题的具体情况，灵活运用
零点存在定理的数学表达
零点存在定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a, b)内至少有一个零点。
零点：函数f(x)的零点是指使得f(x)=0的x值。
பைடு நூலகம்
连续函数：如果函数f(x)在区间[a, b]上每一点x都有定义，且对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时，|f(x)-f(x0)|<ε，则称f(x)在区间[a, b]上是连续的。
函数的零点与方程的解讲义
新教材必修第一册4.5.1：函数的零点与方程的解课标解读：1. 函数零点的概念.（理解）2. 0)(=x f 有解与)(x f y =有零点的关系.（理解）3. 函数零点的判断.（理解）学习指导：在熟练掌握基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图像与性质的基础上，提炼方程0)(=x f 的解与函数)(x f y =的图像与x 轴交点的关系，进而理解并准确把握函数零点的概念，以及函数零点、方程的实数解、函数图像与x 轴交点三者之间的关系，并能从“形”（函数图像）与“数”（函数零点存在定理）两个角度分析解决函数零点有关问题.知识导图知识点1：函数的零点1.函数零点的概念对于一般函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点.即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.2.函数的零点与方程的解的关系函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数解，也就是函数)(x f y =的图像与x 轴的公共点的横坐标.所以方程0)(=x f 有实数解⇔函数)(x f y =有零点⇔函数)(x f y =的图像与x 轴有公共点.3.几种常见函数的零点（1）二次函数的零点一元二次方程）（002≠=++a c bx ax 的实数根也称为函数）（02≠++=a c bx ax y 的零点.当0>a 时，一元二次方程02=++c bx ax 的实数根、二次函数c bx ax y ++=2的零点之间的关系如下表所示： ac b 42-=∆0>∆ 0=∆ 0<∆ 02=++c bx ax 的实数根a acb b x 2422,1-±-=（其中21x x <）a b x x 221-== 方程无实数根 c bx ax y ++=2的图像c bx ax y ++=2的零点 aac b b x 2422,1-±-= a b x x 221-== 函数无零点 类似可得当0<a 的情形.（2）正比例函数)0(≠=k kx y 仅有一个零点0.（3）一次函数)0(≠+=k b kx y 仅有一个零点.kb -（4）反比例函数)0(≠=k x k y 没有零点.（5）指数函数)10(≠>=a a a y x 且没有零点.（6）对数函数）且（00log ≠>=a a x y a 仅有一个零点1.（7）幂函数,a x y =当0>a 时仅有一个零点0；当0≤a 时，没有零点.例1-1：观察如图所示的四个函数图像，指出在)0,(-∞上哪个函数有零点.例1-2：判断下列说法是否正确：（1）函数)102(1)(≤≤-=x x x f 的零点为1；（2）函数x x x f 2)(2-=的零点为（0,0），（2,0）.例1-3：函数x x x f -=3)(的零点个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3例1-4：”“1<m 是“函数m x x x f ++=2)(有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件知识点2：函数零点存在定理1.函数零点存在定理如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图像是一条连续不断的曲线，且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内至少有一个零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的解.2.函数零点存在定理的几何意义.在闭区间],[b a 上有连续不断的曲线)(x f y =，且曲线的起点))(,(a f a 与终点))(,(b f b 分别在x 轴的两侧，则连续曲线与x 轴至少有一个交点.3.函数零点的性质如果函数图像通过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为变号零点.如图（1）所示，210,,x x x 都是变号零点；如果没有穿过x 轴，则称这样的零点为不变号零点，如图（2）所示，二次函数2x y =有一个不变号零点（或叫二重零点）.对于任意函数)(x f y =，只要它的图像是连续不断的，则有：（1）当它的图像听过零点且穿过x 轴时，零点两侧的函数值异号；（2）相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.例2-5：若函数)(x f y =在区间],[b a 上的图像是一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是（ ）A.若0)()(>⋅b f a f ，则不存在实数),(b a c ∈，使得0)(=c fB.若0)()(<⋅b f a f ，则只存在实数),(b a c ∈，使得0)(=c fC.若0)()(>⋅b f a f ，则有可能在实数),(b a c ∈，使得0)(=c fD.若0)()(<⋅b f a f ，则有可能不存在实数),(b a c ∈，使得0)(=c f。
函数的零点与方程的解ppt课件
二、函数零点的性质及求法
【强调3】f(a)f(b)<0（异号性）
对于[a,b]上的函数f(x)，“异号”和“连续”能够证明在 （a,b）内存在零点。 “连续不异号”：不能说明是否有零点 “异号不连续”：不能说明是否有零点 “不异号不连续”：不能说明是否有零点
二、函数零点的性质及求法
函数零点的求法：
一、函数零点的概念 已学基本初等函数的零点
一、函数零点的概念 已学基本初等函数的零点
一、函数零点的概念 已学基本初等函数的零点
二、函数零点的性质及求法
零点存在性定理：
如果函数y=f(x)在[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线， 并且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间（a,b）内至少有一 个零点。
函数零点个数的判定： （3）利用单调性和奇偶性综合判断 已知，函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=log2x+x, 则函数y=f(x)有几个零点？
三、课堂小结
把这里的实数a与b都叫做相应区间上的端点。
一、函数零点的概念
对于一般函数y=f(x)，我们把f(x)=0的 实数x叫做函数y=f(x)的零点。
【强调】函数的零点不是一个点，而是一个实数。
一、函数零点的概念
【练习1】函数f(x)=x2-5x+6的零点为： A. 2，3 B.（2，0），（3，0） C.（2，3） D. -2，-3
即存在
，使得
，这个c也就是方程f(x)=0的解。
二、函数零点的性质及求法
【强调1】连续不断（连续性） 【练习】（多选）下列函数中是连续函数的是：
二、函数零点的性质及求法
【强调2】闭区间[a,b]
二、函数零点的性质及求法
零点定理需要满足的三个条件
零点定理需要满足的三个条件零点定理（ZeroPointTheorem）是数学领域的一个重要定理，它在拓扑学、微分几何、代数几何、复分析等领域有广泛的应用。
零点定理的本质是关于函数的零点的存在性问题，即是否存在一定条件下，函数必有零点。
在本文中，我们将讨论零点定理需要满足的三个条件。
一、函数的连续性零点定理的第一个条件是函数的连续性。
连续性是指函数在定义域内任何一点处的极限值等于该点的函数值。
如果一个函数不连续，那么它在某些点处可能没有零点，因为在这些点处函数值可能突然跳变，导致零点不存在。
因此，如果我们要证明一个函数存在零点，首先需要证明它是连续的。
二、函数的边界性零点定理的第二个条件是函数的边界性。
边界性是指函数在定义域的边界处是否有定义。
如果在定义域的边界处函数没有定义，那么在这些点处也可能没有零点。
因此，如果我们要证明一个函数在整个定义域内都有零点，必须证明它在定义域的边界处也有定义。
三、函数的拓扑性零点定理的第三个条件是函数的拓扑性。
拓扑学是研究空间的性质和变换的学科，它的基本概念是开集和闭集。
开集是指任意点都可以找到一个包含该点的开区间，闭集是指包含其所有极限点的集合。
在证明一个函数存在零点时，我们需要证明它的定义域是一个闭集，并且在定义域的内部存在一个开集，使得函数在这个开集内部的任意一点都有定义，并且在这个开集的边界处函数的值不为零。
综上所述，零点定理需要满足的三个条件是函数的连续性、函数的边界性和函数的拓扑性。
只有当一个函数同时满足这三个条件时，才能证明它存在零点。
因此，在研究一个函数的零点性质时，我们需要综合考虑这三个方面的因素，才能得出准确的结论。
零点定理 讲义
函数与方程知识要点梳理知识点一、函数的零点1.函数的零点一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.要点诠释：函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．2.二次函数零点的判定二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点3.二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.4.二次函数的零点的应用①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图.②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质.引伸：二次函数的零点的应用可推广到一般函数.5.变号零点与不变号零点如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点.知识点二、二分法1.二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.2.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令；……继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度.三、规律方法指导1．如何求函数的零点？3北洋教育答：求函数的零点即为求出相应方程的解或函数图象与轴交点的横坐标. 2．如果函数在其定义域内为单调函数，则函数在其定义域内最多有几个零点？答：单调函数在其定义域内最多有一个零点.经典例题透析类型一、求函数的零点1．求下列函数的零点.(1)； (2).（3）12)(-=xx f举一反三：【变式1】求函数：(1)； (2)的零点.练习 1求函数)1lg()(-=x x f 的零点．2．设函数f (x )＝222[1,),2(,1)x x x x x -∈+∞⎧⎨-∈-∞⎩则函数F (x )＝f (x )－14的零点是________．类型二、确定函数零点的个数2．二次函数中，，则函数的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．0D ．无法确定练习1．函数f (x )＝(x －1)ln xx －3的零点有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2 函数f (x )＝⎩⎨⎧0＞，ln ＋2－0，3－2＋2x x x x x ≤的零点个数为( ).A ．0B ．1C ．2D ．3零点定理的探究：（1）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：○1 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______, )2(-f ·)1(f _____0（＜或＞）． ○2 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞）． （2）观察下面函数)(x f y =的图象○1 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞）． ○2 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）． ○3 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）．练习1.若函数f (x )在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且函数f (x )在(－2,2)内有一个零点，则f (－2)·f (2)5北洋教育的值 ( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不能确定2．设函数f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f (－12)·f (12)＜0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根类型三 通过零点定理判定零点区间设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间 ( ) A ．(1.25,1.5) B ．(1,1.25) C ．(1.5,2) D ．不能确定练习：1 ．用二分法求函数f (x )＝3x －x －4的一个零点，其参考数据如下：f (1.600 0)＝0.200 f (1.587 5)＝0.133 f (1.575 0)＝0.067 f (1.562 5)＝0.003f (1.556 2)＝－0.029f (1.550 0)＝－0.060据此数据，可得f (x )＝3x －x －4的一个零点的近似值(精确到0.01)为____________．2．设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是 ( )A ．[0,1]B ．[1,2]C ．[－2，－1]D ．[－1,0]3．下列方程在(0，1)内存在实数解的是( )． A ．x 2＋x －3＝0 B ．x1＋1＝0 C ．21x ＋ln x ＝0D ．x 2－lg x ＝04．若函数f (x )的图象是连续不断的，且f (0)＞0，f (1)f (2)f (4)＜0，则下列命题正确的是( )． A ．函数f (x )在区间(0，1)内有零点B ．函数f (x )在区间(1，2)内有零点C ．函数f (x )在区间(0，2)内有零点D ．函数f (x )在区间(0，4)内有零点5.(2009·天津高考)设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x ) ( )A ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点B ．在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点C ．在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间(1e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点类型四、用二分法求函数的零点的近似值1．如图所示，以下每个函数都有零点，但不能．．用二分法求图中函数零点的是3．求函数的一个正数零点(精确到0.1).举一反三：【变式1】用二分法求函数的一个正零点（精确到）类型四、用二分法解决实际问题4．中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，7北洋教育如果猜中，就把物品奖给选手，同时获得一枚商标.某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1000元之间，选手开始报价：1000元，主持人说：高了，紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？学习成果测评基础达标一、选择题1.（2011 东北四市 6）已知函数有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（）A. B. C. D.2.有两个互为相反数的零点的函数( )A.只能是偶函数B.可以是奇函数C.可以是增函数D.可以是减函数3.（2011 广东广州3月6）若函数没有零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.4.设函数是[-1，1]上的增函数，且，则方程在[-1，1]内( )A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根5.若已知，则下列说法中正确的是( )A.在上必有且只有一个零点B.在上必有正奇数个零点C.在上必有正偶数个零点D.在上可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点，还可能没有零点6.函数在区间内的函数值( )A.大于等于0B.小于等于0C.大于0D.小于07.如图，下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )二、填空题1.三次方程在下列连续整数____________之间有根.①-2与-1 ②-1与0 ③0与1 ④1与2 ⑤2与32.函数的零点是__________.三、解答题1.用二分法求在区间的一个实根(精确到0.01).高考真题【变式2】（2011 山东理16）已知函数，当时，函数的零点,则___________． .。
零点定理 讲义
函数与方程知识要点梳理知识点一、函数的零点1.函数的零点一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.要点诠释：函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．2.二次函数零点的判定二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.3.二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.4.二次函数的零点的应用①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图.②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质.引伸：二次函数的零点的应用可推广到一般函数.5.变号零点与不变号零点如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点.知识点二、二分法1.二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.2.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令；……继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度.三、规律方法指导1．如何求函数的零点？答：求函数的零点即为求出相应方程的解或函数图象与轴交点的横坐标. 2．如果函数在其定义域内为单调函数，则函数在其定义域内最多有几个零点？答：单调函数在其定义域内最多有一个零点.经典例题透析类型一、求函数的零点1．求下列函数的零点.(1)； (2).（3）12)(-=x x f举一反三：【变式1】求函数：(1)； (2)的零点.练习 1求函数)1lg()(-=x x f 的零点．2．设函数f (x )＝222[1,),2(,1)x x x x x -∈+∞⎧⎨-∈-∞⎩则函数F (x )＝f (x )－14的零点是________．类型二、确定函数零点的个数2．二次函数中，，则函数的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．0D ．无法确定练习1．函数f (x )＝(x －1)ln xx －3的零点有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2 函数f (x )＝⎩⎨⎧0＞，ln ＋2－0，3－2＋2x x x x x ≤的零点个数为( ).A ．0B ．1C ．2D ．3零点定理的探究：（1）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：○1 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______, )2(-f ·)1(f _____0（＜或＞）． ○2 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞）． （2）观察下面函数)(x f y =的图象○1 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞）． ○2 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）． ○3 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）．练习1.若函数f (x )在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且函数f (x )在(－2,2)内有一个零点，则f (－2)·f (2)的值 ( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不能确定2．设函数f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f (－12)·f (12)＜0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根类型三 通过零点定理判定零点区间设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间 ( ) A ．(1.25,1.5) B ．(1,1.25) C ．(1.5,2) D ．不能确定练习：1 ．用二分法求函数f (x )＝3x －x －4的一个零点，其参考数据如下：据此数据，可得f (x )＝3x －x －4的一个零点的近似值(精确到0.01)为____________．2．设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是 ( )A ．[0,1]B ．[1,2]C ．[－2，－1]D ．[－1,0]3．下列方程在(0，1)内存在实数解的是( )． A ．x 2＋x －3＝0 B ．x1＋1＝0 C ．21x ＋ln x ＝0D ．x 2－lg x ＝04．若函数f (x )的图象是连续不断的，且f (0)＞0，f (1)f (2)f (4)＜0，则下列命题正确的是( )． A ．函数f (x )在区间(0，1)内有零点 B ．函数f (x )在区间(1，2)内有零点 C ．函数f (x )在区间(0，2)内有零点 D ．函数f (x )在区间(0，4)内有零点5.(2009·天津高考)设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x ) ( )A ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点B ．在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点C ．在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间(1e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点类型四、用二分法求函数的零点的近似值1．如图所示，以下每个函数都有零点，但不能．．用二分法求图中函数零点的是3．求函数的一个正数零点(精确到0.1).举一反三：【变式1】用二分法求函数的一个正零点（精确到）类型四、用二分法解决实际问题4．中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖给选手，同时获得一枚商标.某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1000元之间，选手开始报价：1000元，主持人说：高了，紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？学习成果测评基础达标一、选择题1.（2011 东北四市 6）已知函数有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（）A. B. C. D.2.有两个互为相反数的零点的函数( )A.只能是偶函数B.可以是奇函数C.可以是增函数D.可以是减函数3.（2011 广东广州3月6）若函数没有零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.4.设函数是[-1，1]上的增函数，且，则方程在[-1，1]内( )A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根5.若已知，则下列说法中正确的是( )A.在上必有且只有一个零点B.在上必有正奇数个零点C.在上必有正偶数个零点D.在上可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点，还可能没有零点6.函数在区间内的函数值( )A.大于等于0B.小于等于0C.大于0D.小于07.如图，下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )二、填空题1.三次方程在下列连续整数____________之间有根.①-2与-1 ②-1与0 ③0与1 ④1与2 ⑤2与32.函数的零点是__________.三、解答题1.用二分法求在区间的一个实根(精确到0.01).高考真题【变式2】（2011 山东理16）已知函数，当时，函数的零点,则___________． .。
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1．如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，且 ，通过不断地把函数 的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
2.用二分法求曲线交点的坐标要注意两个问题
（1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根
（2）求曲线 和 的交点的横坐标，实际上就是求函数 的零点，即求方程 的根
考点2用二分法求方程的近似解
1利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
那么方程 的一个根位于下列区间的（）.
A. B. C. D.(1,2)
9．方程 的解所在区间是（）
A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）
10．下列范围中，存在函数f(x)=lnx+2x－6的零点的是( )
A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)
11.若 是方程式 的解，则 属于区间（）
（A）（0，1）.（B）（1，1.25）.（C）（1.25，1.75）（D）（1.75，2）
７．二次函数零点的性质是什么？
8．二次函数 的零点与 根之间有什么关系？如何求函数零点？
【课堂检测】
１．下列函数中在［１，２］上有零点的是（ ）
A. B.
C. D.
２．若方程 在(0,1)内恰有一个实根，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
３．函数 ，若 ，则 在 上零点的个数为（ ）
A.至多有一个B.有一个或两个C.有且只有一个D.一个也没有
A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）
C．（1.5，2）D．不能确定
1．函数y=f(x)在区间[a，b ]上的图象是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)内( )
A．恰有一个零点B．至少有一个零点C．至多有一个零点D．没有零点
2．函数y=f(x)在区间[a，b ]上的图象是连续不断的曲线，且在区间(a，b)上有零点，则f(a)f(b)的值( )
又有 ，所以函数f(x)= lnx＋2x－6只有一个零点。
方法二：求函数f(x)=lnx＋2x－6的零点个数即是求方程lnx＋2x－6=0的解的个数
即求 的交点的个数。画图可知只有一个。
[指引]求函数 的零点是高考的热点，有两种常用方法：
①（代数法）求方程 的实数根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点．
函数 的零点就是方程 实数根，即 的图象与 轴交点的横坐标。即方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点。
3、函数零点的求法：（代数法）求方程 的实数根；（几何法）数形结合法，求图象交点个数。
4、零点定理：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是f(x)=0的根。
5.函数 的零点所在的区间为（）A．（－1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，e）
6.函数f（x）=
(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1）(D)（1,2）
7.函数f(x)= 的零点所在的一个区间是
(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）
8.函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间 （）
A．大于0B．小于0C．等于0D．无法确定
3.已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)=0在区间（a，b）内（）
A．至少有一实根B．至多有一实根C．没有实根D．必有唯一的实根
4.如果二次函数 有两个不同的零点，则m的取值范围是（）
A．（－2,6）B．[－2,6] C． D．
A.（0.6，1.0）；B.（1.4，1.8）；C.（1.8，2.2）；D.（2.6，3.0）
2．若函数 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程 的一个近似根（精确到0.1）为（）.
A．1.2; B．1.3;C．1.4 ; D．1.5
3.设 ，用二分法求方程 在 内近似解的过程中得 ，则方程的根落在区间（）
5、函数零点的理解：
（1）函数 的零点、方程 的根、函数 的图像与x轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程 根的个数就是函数 的零点的个数，亦即函数 的图像与x轴交点的个数
(2)函数的零点不是点，而是函数函数 的图像与x轴交点的横坐标，即零点是一个实数。
(3)若函数 在区间 上的图象是一条连续的曲线，则 是 在区间 内有零点的充分不必要条件。
12. 有解的区域是（）
A． B． C． D．
13．函数 的零点个数为 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
14．方程 的实数解的个数为_______
1.(2009山东卷理)若函数f(x)=a -x-a(a>0且a 1)有两个零点，则实数a的取值范围是.
2.（2009福建卷文）若函数 的零点与 的零点之差的绝对值不超过0.25，则 可以是
考点1零点的求法及零点的个数
例1．求函数f(x)=x3－x的零点，并画出它的图象
题型2：确定函数零点的个数.
例2求函数f(x)=lnx＋2x－6的零点个数.
[解题思路]求函数f(x)=lnx＋2x－6的零点个数就是求方程lnx＋2x－6=0的解的个数
[解析]方法一：易证f(x)= lnx＋2x－6在定义域 上连续单调递增，
A. B.
C. D.
3.若函数 有3个不同的零点,则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
4．已知函数 ，若实数 是方程 的解，且 ，则 的值（）
A．恒为正值；B．等于零；C.恒为负值；D.不大于零
３．会用零点性质解决实际问题。
学习探究
【知识再现】
１．如何判一元二次方程式实根个数？
２．二次函数 顶点坐标，对称轴分别是什么？
【概念探究】
１．已知函数 ， ＝０， ＜０， ＞０。
叫做函数 的零点。
２．请你写出零点的定义。
３．如何求函数的零点？
４．函数的零点与图像什么关系？
５．请结合上例指出函数、方程式、不等式三者之间存在的联系。
４．已知函数 是Ｒ上的奇函数，其零点 ， …… ，则 ＝。
５．一次函数 在［０，１］无零点，则 取值范围为。
6.关于 的二次方程 ，若方程式有两根，其中一根在区间 内，另一根在(1,2)内，求 的范围。
一、函数的零点
1、函数零点的概念：
对于函数 ,我们把方程 的实数根叫做函数 的零点
2、函数零点的意义：
课题
函数零点
教学目标
熟练掌握函数零点的性质
重点、难点
函数零点性质的应用。
教学内容
函数的零点
【预习要点】
１．理解函数零点的概念。２．会判定二次函数零点的个数。
３．会求函数的零点。４．掌握函数零点的性质。
【预习要求】
１．能结合二次函数图象判断一元二次方程式根存在性及根的个数。
２．理解函数零点与方程式根的关系。