绝对强的考研数学强化资料提高总分

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五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等,求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等。

例７．求极限1lim ,lim xxx x ee →∞→解:lim ,lim 0x x x x e e →+∞→-∞=+∞=,因而x →∞时x e 极限不存在。

1100lim 0,lim x x x x e e →-→===+∞,因而0x →时1xe 极限不存在。

六、使用等价无穷小求极限时要注意:（１）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的,故统一不用。

这时，一般可以用泰勒公式来求极限。

（2)注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换 例8：求极限2112limx x x x →++--分析一:若将112x x ++--写成(11)(11)x x +-+--,再用等价无穷小替换就会导致错误。

分析二:用泰勒公式22222211()12211(1())22!11()122(1())222!1()4x x x x x x x x x x οοο-++-=+++-+-++-=-+ 原式2221()144x x x ο-+==-。

例9：求极限sin limx xxπ→解:本题切忌将sin x 用x 等价代换,导致结果为1。

sin sin lim0x x x πππ→==七、函数连续性的判断(1）设()f x 在0x x =间断,()g x 在0x x =连续，则()()f x g x ±在0x x =间断。

而2()(),(),()f x g x f x f x ⋅在0x x =可能连续。

例10.设()1x f x x ≠⎧=⎨=⎩，()sin g x x =,则()f x 在0x =间断,()g x 在0x =连续,()()()sin 0f x g x f x x ⋅=⋅=在0x =连续。

若设10()1x f x x ≥⎧=⎨-<⎩,()f x 在0x =间断，但2()()1f x f x =≡在0x =均连续。

（2)“()f x 在0x 点连续”是“()f x 在0x 点连续”的充分不必要条件。

分析：由“若lim ()x x f x a →=，则0lim ()x x f x a →=”可得“如果00lim ()()x x f x f x →=，则0lim ()()x x f x f x →=”,因此，()f x 在0x 点连续,则()f x 在0x 点连续。

再由例１0可得,()f x 在0x 点连续并不能推出()f x 在0x 点连续。

（3）()x ϕ在0x x =连续，()f u 在00()u u x ϕ==连续，则(())f x ϕ在0x x =连续。

其余结论均不一定成立。

第二章 导数与微分一、函数可导性与连续性的关系可导必连续,连续不一定可导。

例11．()f x x =在0x =连读,在0x =处不可导。

二、()f x 与()f x 可导性的关系(1)设0()0f x ≠，()f x 在0x x =连续,则()f x 在0x x =可导是()f x 在0x x =可导的充要条件。

(2)设0()0f x =，则0()0f x '=是()f x 在0x x =可导的充要条件。

三、一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论设()()()F x g x x ϕ=，()x ϕ在x a =连续，但不可导,又()g a '存在，则()0g a =是()F x 在x a =可导的充要条件。

分析:若()0g a =，由定义()()()()()()()()()limlim lim ()()()x a x a x a F x F a g x x g a a g x g a F a x g a a x a x a x aϕϕϕϕ→→→---''====--- 反之,若()F a '存在,则必有()0g a =。

用反证法，假设()0g a ≠,则由商的求导法则知()()()F x x g x ϕ=在x a =可导，与假设矛盾。

利用上述结论，我们可以判断函数中带有绝对值函数的可导性。

四、在某点存在左右导数时原函数的性质（1)设()f x 在0x x =处存在左、右导数,若相等则()f x 在0x x =处可导；若不等,则()f x 在0x x =连续。

(2)如果()f x 在(,)a b 内连续，0(,)x a b ∈，且设00lim ()lim (),x x x x f x f x m →+→-''==则()f x 在0x x =处必可导且0()f x m '=。

若没有如果()f x 在(,)a b 内连续的条件，即设00lim ()lim ()x x x x f x f x a →+→-''==,则得不到任何结论。

例11．20()0x x f x xx +>⎧=⎨≤⎩，显然设00lim ()lim ()1x x f x f x →+→-''==，但0lim ()2x f x →+=,0lim ()0x f x →-=，因此极限0lim ()x f x →不存在,从而()f x 在0x =处不连续不可导。

第三章 微分中值定理与导数的应用一、若lim (),(0,lim ()x x f x A A f x →+∞→+∞'=≠∞=∞可以取）, 则若lim ()0x f x A →+∞'=≠，不妨设0A >，则0,()2AX x X f x '∃>≥>时，,再由微分中值定理 ()()()()(,(,))f x f X f x X x X X x ξξ'=+->∈()()()()lim ()2x Af x f X x X x X f x →+∞⇒≥+->⇒=+∞同理,当0A <时,lim ()x f x →+∞=-∞若lim (),0,()1x f x X x X f x →+∞''=+∞⇒∃>≥>时，,再由微分中值定理()()()()(,(,))f x f X f x X x X X x ξξ'=+->∈()()()()lim ()x f x f X x X x X f x →+∞⇒≥+->⇒=+∞同理可证lim ()x f x →+∞'=-∞时,必有lim ()x f x →+∞=-∞第八章 多元函数微分法及其应用8.1多元函数的基本概念 1.ε∀，12,0δδ∃,使得当01x x δ-，02y y δ-且0,0(,)()x y x y ≠时，有(,)f x y A ε-,那么00lim (,)x x y y f x y A →→=成立了吗?成立,与原来的极限差异只是描述动点(,)p x y 与定点000(,)p x y 的接近程度的方法不一样,这里采用的是点的矩形邻域, ,而不是常用的圆邻域,事实上这两种定义是等价的． ２． 若上题条件中0,0(,)()x y x y ≠的条件略去,函数(,)f x y 就在0,0()x y 连续吗？为什么?如果0,0(,)()x y x y ≠条件没有,说明0,0()f x y 有定义,并且00(,)x y 包含在该点的任何邻域内,由此对ε∀，都有(,)f x y A ε-,从而0,0()A f x y =,因此我们得到00lim (,)x x y y f x y A →→=0,0()f x y =,即函数在0,0()x y 点连续.３. 多元函数的极限计算可以用洛必塔法则吗？为什么? 不可以,因为洛必塔法则的理论基础是柯西中值定理.8.2 偏导数 1. 已知2(,)y f x y e x y +=,求(,)f x y令x y u +=,y e v =那么解出x ，y 得ln ln y vx u v=⎧⎨=-⎩, 所以22(,)(,).(,)(ln ).ln f u v x u v y u v u v v ==- 或者2(,)(ln ).ln f u v u v y =-8.３全微分极其应用1．写出多元函数连续，偏导存在,可微之间的关系 偏导数x f ', y f '连续⇒Z 可微⇒ (,)Z f x y =连续⇒ (,)f x y 极限存在 偏导数x f ', y f '连续⇒偏导数x f '， y f '存在2. 判断二元函数(,)f x y =0,02230,0(,)()0(,)()xy x y x y x y x y x y ⎧≠⎪+⎨⎪≠⎩在原点处是否可微．对于函数(,)f x y ,先计算两个偏导数:00(,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x∆→∆→∆--'===∆∆0(0,)(0,0)00(0,0)limlim 0y x x f y f f yy ∆→∆→∆--'===∆∆ 又000522226(,)(0,0)(0,0)(0,0)limlim()()()()x y x x x x y y y y f x y f f x f yx yx y x y →→→→''∆∆--∆-∆∆∆=∆+∆⎡⎤∆+∆⎣⎦令y k x ∆=∆,则上式为2135550022663()limlim 0(1)(1)x x k x k x k xk ∆→∆→∆=∆=+∆+因而(,)f x y 在原点处可微.8．4多元复合函数的求导法则1． 设()xyz f x y=+,f 可微，求dz .22222()()()()()()()()()()()xy xy xy x y d xy xyd x y dz f d f x y x y x y x y xy y xy yf dx f dy x y x y x y x y +-+''==++++''=+++++8.5隐函数的求导1. 设(,)x x y z =,(,)y y x z =,(,)z z x y =都是由方程(,,)0F x y z =所确定的具有连续偏导数的函数,证明..1x y zy z x∂∂∂=-∂∂∂. 对于方程(,,)0F x y z =,如果他满足隐函数条件.例如,具有连续偏导数且0x F '≠,则由方程(,,)0F x y z =可以确定函数(,)x x y z =，即x 是y ，z 的函数,而y ,z 是自变量,此时具有偏导数y x F xy F '∂=-∂',z x F x z F '∂=-∂'同理, z y F yz F '∂=-∂',所以..1x y zy z x∂∂∂=-∂∂∂．8.6多元函数的极值及其求法 1．设(,)f x y 在点000(,)p x y 处具有偏导数,若(,)0x f x y '=,(,)0y f x y '=则函数(,)f x y 在该点取得极值,命题是否正确?不正确,见多元函数极值存在的充分必要条件．２.如果二元连续函数在有界闭区域内有惟一的极小值点,且无极大值,那么该函数是否在该点取得最小值? 不一定,对于一元函数来说上述结论是成立的，但对于多元函数，情况较为复杂,一般来说结论不能简单的推广。