绝对强的考研数学强化资料提高总分

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高等数学部分易混淆概念 第一章：函数与极限

一、数列极限大小的判断 例1:判断命题是否正确. 若()n

n x y n N <>，且序列,n n x y 的极限存在,lim ,lim ,n n n n x A y B A B →∞

→∞

==<则

解答：不正确．在题设下只能保证A B ≤,不能保证A B <．例如:11

,1

n n x y n n ==

+,,n n x y n <∀,而lim lim 0n

n n n x y →∞

→∞

==.

例2.选择题

设n

n n x z y ≤≤，且lim()0,lim n n n n n y x z →∞

→∞

-=则( )

A.存在且等于零 B ． 存在但不一定等于零 C ．不一定存在 D. 一定不存在 答：选项C 正确 分析:若lim lim 0n

n n n x y a →∞

→∞

==≠，由夹逼定理可得lim 0n n z a →∞

=≠,故不选Ａ与Ｄ.

取11

(1),(1),(1)n n n n

n n x y z n n =--=-+=-，则n n n x z y ≤≤,且lim()0n n n y x →∞-=，但lim n n z →∞ 不

存在,所以B 选项不正确，因此选C. 例3.设,n

n x a y ≤≤且lim()0,{}{}n n n n n y x x y →∞

-=则与( ）

A.都收敛于a B ． 都收敛,但不一定收敛于a C ．可能收敛,也可能发散 D. 都发散 答:选项A 正确. 分析:由于,n

n x a y ≤≤,得0n n n a x y x ≤-≤-,又由lim()0n n n y x →∞

-=及夹逼定理得

lim()0n n a x →∞

-=

因此,lim n

n x a →∞

=，再利用lim()0n n n y x →∞

-=得lim n n y a →∞

=．所以选项Ａ．

二、无界与无穷大

无界：设函数

()f x 的定义域为D ,如果存在正数M ,使得

()f x M

x X D ≤∀∈⊂

则称函数

()f x 在X 上有界,如果这样的M 不存在,就成函数()f x 在X 上无界；

也就是说如果对于任何正数M ,总存在1x X ∈，使

1()f x M >，那么函数()f x 在X 上无界．

无穷大：设函数

()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义(或x 大于某一正数时有定义）

．如果对于任意给

定的正数M (不论它多么大）,总存在正数δ（或正数X )，

只要x 适合不等式00x x δ<-<(或

x X >）,

对应的函数值

()f x 总满足不等式

()f x M >

则称函数

()f x 为当0x x →（或x →∞)时的无穷大.

例4:下列叙述正确的是： ② ① 如果()f x 在0x 某邻域内无界,则0

lim ()x x f x →=∞

② 如果

lim ()x x f x →=∞，则()f x 在0x 某邻域内无界

解析:举反例说明．设

11()sin f x x x =,令11

,,22

n n x y n n πππ=

=+,当n →+∞时，0,0n n x y →→，而

lim ()lim (2)2

n n n f x n π

π→+∞→+∞=+=+∞ lim ()0n n f y →+∞

=

故

()f x 在0x =邻域无界,但0x →时()f x 不是无穷大量，则①不正确.

由定义,无穷大必无界,故②正确. 结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大．

三、函数极限不存在≠极限是无穷大

当0x x →(或x →∞）时的无穷大的函数

()f x ,按函数极限定义来说,极限是不存在的，但是为了便

于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”.但极限不存在并不代表其极限是无穷大.

例5：函数10()0

010

x x f x x x x -<⎧⎪

==⎨⎪+>⎩

，当0x →时()f x 的极限不存在．

四、如果

lim ()0x x f x →=不能退出0

1

lim

()

x x f x →=∞ 例6：

()0

x x f x x ⎧=⎨

⎩为有理数为无理数,则0lim ()0x x f x →=，但由于1

()

f x 在0x =的任一邻域的无理点均没有

定义,故无法讨论

1

()

f x 在0x =的极限. 结论：如果

lim ()0x x f x →=，且()f x 在0x 的某一去心邻域内满足()0f x ≠，则0

1

lim

()

x x f x →=∞.反