2012年IMO国际数学奥林匹克试题解答

2012年IMO国际数学奥林匹克试题解答

第一题

设J是三角形ABC顶点A所对旁切圆的圆心. 该旁切圆与边BC相切于点M, 与直线AB和AC分别相切于点K和L. 直线LM和BJ相交于点F, 直线KM与CJ相交于点G. 设S是直线AF和BC的交点, T是直线AG和BC

的交点. 证明: M是线段ST的中点.

2012年IMO国际数学奥林匹克试题第一题

解答: 因为

∠JFL=∠JBM−∠FMB=∠JBM−∠CML=12(∠A+∠C)−12∠C=12∠A=

∠JAL,

所以A、F、J、L四点共圆. 由此可得AF⊥FJ, 而BJ是∠ABS的角平分线, 于是三角形ABS的角平分线与高重合, 从而AB=BS; 同理可得AC=CT.

综上, 有

SM=SB+BM=AB+BK=AK=AL=AC+CL=CT+CM=MT,

即M是线段ST的中点.

第二题

设n⩾3, 正实数a2,a3,⋯,a n满足a2⋅a3⋅⋯⋅a n=1, 证明:

(a2+1)2(a3+1)3⋯(a n+1)n>n n.

解答:由均值不等式, 我们有

(a k+1)k=⩾(a k+1k−1+⋯+1k−1)k(ka k⋅(1k−1)k−1−− − − − − − − − − − −

−√k)k=k k(k−1)k−1a k,

当a k=1k−1时等号成立, 其中k=2,3,⋯,n. 于是

(a2+1)2(a3+1)3⋯(a n+1)n⩾221a2⋅3322a3⋅⋯⋅n n(n−1)n−1a n=n n.

当对任意的k=2,3,⋯,n时, 若恒有a k=1k−1, 此时由n⩾3知

a2⋅a3⋅⋯⋅a n=1(n−1)!≠1,

因此上述不等式等号不成立, 从而不等式得证.

第三题

"欺诈猜数游戏" 在两个玩家甲和乙之间进行, 游戏依赖于两个甲和乙都知道的正整数k和n.

游戏开始时甲先选定两个整数x和N, 1⩽x⩽N. 甲如实告诉乙N的值, 但对x 守口如瓶. 乙现在试图通过如下方式的提问来获得关于x的信息: 每次提问, 乙任选一个由若干正整数组成的集合S(可以重复使用之前提问中使用过的集合), 问甲"x是否属于S?". 乙可以提任意数量的问题. 在乙每次提问之后, 家必须对乙的提问立刻回答"是" 或"否", 甲可以说谎话, 并且说谎的次数没有限制, 唯一的限制是甲在任意连续k+1次回答中至少又一次回答是真话.

在乙问完所有想问的问题之后, 乙必须指出一个至多包含n个正整数的集合X, 若x属于X, 则乙获胜; 否则甲获胜. 证明:

(1) 若n⩾2k, 则乙可保证获胜;

(2) 对所有充分大的整数k, 存在正整数n⩾1.99k, 使得乙无法保证获胜.

解答: (1)可以认为n=2k,N=n+1. 采用二进制.

把1,2,…,2k都写成二进制: a1a2…a k+1¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯, 这里a i(i=1,2,…,k+1)是0或者1; 然后, 记T为这2k个二进制数组成的集合. 2 k+1的二进制表示是100…01¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ .令

S1={100…0¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ },S i={a1a2…a k+1¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯ ¯ ¯ ¯∈T|a1=0,a i=1},i=2,3,…,k+1,

也就是说, S i就是T中所有满足a i=1的元素组成的子集(i=1,2,…,k+1).

乙采用如下问题, 可保证获胜: 第一次提问, 选择S1, 并且接下来也一直选取S 1, 甲的回答会出现两种情况:

▪连续k+1次回答“否”, 则100…0¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯可以排除;

▪在至多k+1次回答中, 一旦出现”是”, 乙接下来的k次提问, 依次选取S2,S3,…,S k+1, 就取得胜利. 事实上, 若甲最后的k次回答都是”是”, 则x∈T; 若甲最后的k次回答有一些是”否”, 则x绝对不可能是a1a2…a

k+1¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯, 这里a1=0, a i=0还是1取决于甲对S i的答案: 若甲的回答是”是”, a i=0, 否则a i=1(i=2,3,…,k+1). (2). 先将问题转化成等价形式: 甲从集合S中取定一个元素x(|S|=N), 乙提出一系列的问题. 乙的第j个问题题就是取S的子集D j, 随后甲选取集合P j∈{D j,D c j}, 使得对任意的j⩾1都有

x∈P j∪P j+1∪⋯∪P j+k,

当乙提完他想问的一系列问题后, 如果乙能选取一个集合X满足|X|⩽n, 使得x∈X, 那么乙获胜; 否则甲获胜.

解答1. 任取实数p使得2>p>1.99, 再选取正整数k0, 使得当k>k0时

(2−p)p k+1−1.99k>1.设N使得(2−p)p k+1>N>1.99k. 我们来证明, 若|S|=N, 不妨S={1,2,…,N}, 甲有办法使乙无法胜利.

记D j是乙的第j个问题展示的集合, 定义P j为D j或者D C j, 取决于甲对D j的答案: 若甲的回答是”是”, P j=D j, 否则P j=D C j; 再记P0=S. 定义A j如下:

A j=A j(P j)=a0+pa1+p2a2+⋯+p j a j,

这里a0=∣∣P j∣∣,a i=∣∣P j−i∖(P j∪P j−1∪⋯∪P j−i+1)∣∣(i=1,2,…,j).此时∑i=0j a i=N.注意A0=N.

我们指出, 甲可以使得N2−p>A j成为事实: N2−p>A0=N.假设已有N

2−p>A j, 甲可选取P j+1∈{D j+1,D C j+1}使得N2−p>A j+1. 事实上,

A j+1(D j+1)=b0+pb1+p2b2+…+p j b j+p j+1b j+1,

A j+1(D C j+1)=c0+pc1+p2c2+…+p j c j+p j+1c j+1.

注意b0+c0=N,b i+c i=a i−1(i=1,2,…,j+1),于是

A j+1(D j+1)+A j+1(D C j+1)=N+p(a0+pa1+p2a2+…+p j a j)

min{A j+1(D j+1),A j+1(D C j+1)}

于是, 可以选取P j+1∈{D j+1,D C j+1}达到我们的要求.

既然p k+1>N2−p>A j, 那么, 只要i⩾k+1,必定a i=0,这导致乙无法排除S的任何一个元素, 不能取得胜利.

解答2. 记p,q是满足2>q>p>1.99的实数, 选取正整数k0使得

(p q)k0⩽2(1−q2),p k0−1.99k0>1.

我们来指出, 对任意k⩾k0, 若|S|∈(1.99k,p k), 那么甲有策略, 通过回答”是”或者”否”, 使得下式对所有j∈N成立:

P j∪P j+1∪⋯∪P j+k=S,

这里P i是D i或者D C i, 取决于甲对D i的答案: 若甲的回答是”是”, P i=D i, 否则P i=D C i; D i是乙的第i个问题所问的集合(i∈N).