2020年广西河池市中考数学试卷及答案解析

2020年广西河池市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）1．（3分）如果收入10元记作+10元，那么支出10元记作（）A．+20 元B．+10元C．﹣10元D．﹣20元2．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2的位置关系是（）A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角3．（3分）若y=√2x有意义，则x的取值范围是（）A．x＞0B．x≥0C．x＞2D．x≥24．（3分）下列运算，正确的是（）A．a（﹣a）＝﹣a2B．（a2）3＝a5C．2a﹣a＝1D．a2+a＝3a 5．（3分）下列立体图形中，主视图为矩形的是（）A．B．C．D．的解集在数轴上表示正确的是（）6．（3分）不等式组{x+1＞22x−4≤xA．B．C．D．7．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sin B的值是（）A．512B．125C．513D．12138．（3分）某学习小组7名同学的《数据的分析》一章的测验成绩如下（单位：分）：85，90，89，85，98，88，80，则该组数据的众数、中位数分别是（）A．85，85B．85，88C．88，85D．88，889．（3分）观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（）A．B．C．D．10．（3分）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（）A．6B．7C．8D．911．（3分）如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（）A．5√2B．6√2C．4√5D．5√512．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F．若FB ＝FE＝2，FC＝1，则AC的长是（）A ．5√22B ．3√52C ．4√53D ．5√23二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案写在答题卡上对应的答题区域内．）13．（3分）计算3﹣（﹣2）＝ ．14．（3分）方程12x+1=1x−2的解是x ＝ ．15．（3分）如图，菱形ABCD 的周长为16，AC ，BD 交于点O ，点E 在BC 上，OE ∥AB ，则OE 的长是 ．16．（3分）不透明的袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到相同颜色的小球的概率是 ．17．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D ，E 都在⊙O 上，∠1＝55°，则∠2＝ °．18．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝8，点D 在AB 上，且BD =√3，点E 在BC 上运动．将△BDE 沿DE 折叠，点B 落在点B ′处，则点B ′到AC 的最短距离是 ．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤．请将解答写在答题卡上对应的答题区域内．）19．（6分）计算：（﹣3）0+√8+（﹣3）2﹣4×√22．20．（6分）先化简，再计算：a2−aa2−2a+1+1a−1，其中a＝2．21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，2）．（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标是．（2）点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标是．（3）反比例函数的图象经过点B，则它的解析式是．（4）一次函数的图象经过A，C两点，则它的解析式是．22．（8分）（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2．求证：△ACE ≌△BCE．（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE与BE 的数量关系，并说明理由．23．（8分）某校举行了主题为“防溺水，保安全”的知识竞赛活动．赛后随机抽取了50名参赛学生的成绩进行相关统计，整理得尚未完整的频数分布表和扇形统计图．现累计了40名参赛学生的成绩，余下10名参赛学生的成绩尚未累计，这10名学生成绩如下（单位：分）：75，63，76，87，69，78，82，75，63，71．频数分布表组别分数段划记频数A60＜x≤70正B70＜x≤80正正C80＜x≤90正正正正D90＜x≤100正（1）在频数分布表中补全各组划记和频数；（2）求扇形统计图中B组所对应的圆心角的度数；（3）该校有2000名学生参加此次知识竞赛，估计成绩在80＜x≤100的学生有多少人？24．（8分）某水果市场销售一种香蕉．甲店的香蕉价格为4元/kg；乙店的香蕉价格为5元/kg，若一次购买6kg以上，超过6kg部分的价格打7折．（1）设购买香蕉xkg，付款金额y元，分别就两店的付款金额写出y关于x的函数解析式；（2）到哪家店购买香蕉更省钱？请说明理由．25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，OC＝5，BC与⊙O交于点D，点̂的中点，EF∥BC，交OC的延长线于点F．E是BD（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）CG∥OD，交AB于点G，求CG的长．26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于（p，0），（q，0），则该抛物线的解析式可以表示为：y＝a（x﹣p）（x﹣q）＝ax2﹣a（p+q）x+apq．（1）若a＝1，抛物线与x轴交于（1，0），（5，0），直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）若a＝﹣1，如图（1），A（﹣1，0），B（3，0），点M（m，0）在线段AB上，抛物线C1与x轴交于A，M，顶点为C；抛物线C2与x轴交于B，M，顶点为D．当A，C，D三点在同一条直线上时，求m的值；（3）已知抛物线C3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），线段EF的端点E（0，3），F （4，3）．若抛物线C3与线段EF有公共点，结合图象，在图（2）中探究a的取值范围．2020年广西河池市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）1．（3分）如果收入10元记作+10元，那么支出10元记作（）A．+20 元B．+10元C．﹣10元D．﹣20元【解答】解：如果收入10元记作+10元，那么支出10元记作﹣10元．故选：C．2．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2的位置关系是（）A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角【解答】解：如图所示，∠1和∠2两个角都在被截直线b和a同侧，并且在第三条直线c（截线）的同旁，故∠1和∠2是直线b、a被c所截而成的同位角．故选：A．3．（3分）若y=√2x有意义，则x的取值范围是（）A．x＞0B．x≥0C．x＞2D．x≥2【解答】解：由题意得，2x≥0，解得x≥0．故选：B．4．（3分）下列运算，正确的是（）A．a（﹣a）＝﹣a2B．（a2）3＝a5C．2a﹣a＝1D．a2+a＝3a【解答】解：A、a（﹣a）＝﹣a2，原计算正确，故此选项符合题意；B、（a2）3＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意；C、2a﹣a＝a，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a2与a不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；故选：A．5．（3分）下列立体图形中，主视图为矩形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：球体的主视图是圆形，圆台的主视图是等腰梯形，圆柱的主视图是矩形，圆锥的主视图是等腰三角形，故选：C ．6．（3分）不等式组{x +1＞22x −4≤x 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：{x +1＞2①2x −4≤x②，由①得：x ＞1，由②得：x ≤4，不等式组的解集为：1＜x ≤4，故选：D ．7．（3分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，则sin B 的值是（）A ．512B ．125C ．513D ．1213【解答】解：如图所示：∵∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，∴AB =√52+122=13，∴sin B =AC AB =1213．故选：D ．8．（3分）某学习小组7名同学的《数据的分析》一章的测验成绩如下（单位：分）：85，90，89，85，98，88，80，则该组数据的众数、中位数分别是（）A．85，85B．85，88C．88，85D．88，88【解答】解：将数据85，90，89，85，98，88，80按照从小到大排列是：80，85，85，88，89，90，98，故这组数据的众数是85，中位数是88，故选：B．9．（3分）观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（）A．B．C．D．【解答】解：观察作图痕迹可知：A．CD⊥AB，但不平分，所以A选项不符合题意；B．CD为△ABC的边AB上的中线，所以B选项符合题意；C．CD是∠ACB的角平分线，所以C选项不符合题意；D．不符合基本作图过程，所以D选项不符合题意．故选：B．10．（3分）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：1x（x﹣1）＝36，2化简，得x2﹣x﹣72＝0，解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），∴参加此次比赛的球队数是9队．故选：D．11．（3分）如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（）A．5√2B．6√2C．4√5D．5√5【解答】解：∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE＝5，∴AD＝5，∵EA＝3，ED＝4，在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2，∴∠AED＝90°，∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°，在Rt△EDC中，CE=√ED2+DC2=√42+82=4√5．故选：C．12．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD 于点E ，BF ⊥CD 于点F ．若FB ＝FE ＝2，FC ＝1，则AC 的长是（ ）A ．5√22B ．3√52C ．4√53D ．5√23【解答】解：连接BC ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠ACE +∠BCF ＝90°， ∵BF ⊥CD ， ∴∠CFB ＝90°， ∴∠CBF +∠BCF ＝90°， ∴∠ACE ＝∠CBF ， ∵AE ⊥CD ，∴∠AEC ＝∠CFB ＝90°， ∴△ACE ∽△CBF ， ∴AC BC=CE BF，∵FB ＝FE ＝2，FC ＝1，∴CE ＝CF +EF ＝3，BC =√CF 2+BF 2=√12+22=√5， ∴√5=32，∴AC =3√52， 故选：B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案写在答题卡上对应的答题区域内．）13．（3分）计算3﹣（﹣2）＝5．【解答】解：3﹣（﹣2）＝3+2＝5．故答案为：5．14．（3分）方程12x+1=1x−2的解是x＝﹣3．【解答】解：方程的两边同乘（2x+1）（x﹣2），得：x﹣2＝2x+1，解这个方程，得：x＝﹣3，经检验，x＝﹣3是原方程的解，∴原方程的解是x＝﹣3．故答案为：﹣3．15．（3分）如图，菱形ABCD的周长为16，AC，BD交于点O，点E在BC上，OE∥AB，则OE的长是2．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为16，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，OA＝OC，∵OE∥AB，∴BE＝CE，∴OE是△ABC的中位线，∴OE =12AB ＝2， 故答案为：2．16．（3分）不透明的袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到相同颜色的小球的概率是 12．【解答】解：画树状图为：共有4种等可能的结果，其中两次都摸到相同颜色的小球的结果数为2， 所以两次都摸到相同颜色的小球的概率=24=12． 故答案为12．17．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D ，E 都在⊙O 上，∠1＝55°，则∠2＝ 35 °．【解答】解：如图，连接AD ．∵AB 是直径， ∴∠ADB ＝90°， ∵∠1＝∠ADE ， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠1＝55°，∴∠2＝35°， 故答案为35．18．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝8，点D 在AB 上，且BD =√3，点E 在BC 上运动．将△BDE 沿DE 折叠，点B 落在点B ′处，则点B ′到AC 的最短距离是√32．【解答】解：如图，过点D 作DH ⊥AC 于H ，过点B ′作B ′J ⊥AC 于J ．在Rt △ACB 中，∵∠ABC ＝90°，AC ＝8，∠A ＝30°， ∴AB ＝AC •cos30°＝4√3， ∵BD =√3，∴AD ＝AB ﹣BD ＝3√3， ∵∠AHD ＝90°， ∴DH =12AD =3√32，∵B ′D +B ′J ≥DH ，DB ′＝DB =√3， ∴B ′J ≥DH ﹣DB ′， ∴B ′J ≥√32，∴当D ，B ′，J 共线时，B ′J 的值最小，最小值为√32， 故答案为√32． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤．请将解答写在答题卡上对应的答题区域内．）19．（6分）计算：（﹣3）0+√8+（﹣3）2﹣4×√22． 【解答】解：原式＝1+2√2+9﹣2√2＝10．20．（6分）先化简，再计算：a2−aa2−2a+1+1a−1，其中a＝2．【解答】解：原式=a(a−1)(a−1)2+1a−1=a a−1+1a−1=a+1a−1，当a＝2时，原式=2+12−1=3．21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，2）．（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标是（2，3）．（2）点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标是（1，﹣2）．（3）反比例函数的图象经过点B，则它的解析式是y=6x．（4）一次函数的图象经过A，C两点，则它的解析式是y＝﹣2x．【解答】解：（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标是（2，3）；（2）点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标是（1，﹣2）；（3）设反比例函数解析式为y=k x，把B（2，3）代入得：k＝6，∴反比例函数解析式为y=6 x；（4）设一次函数解析式为y＝mx+n，把A （﹣1，2）与C （1，﹣2）代入得：{−m +n =2m +n =−2，解得：{m =−2n =0，则一次函数解析式为y ＝﹣2x ．故答案为：（1）（2，3）；（2）（1，﹣2）；（3）y =6x ；（4）y ＝﹣2x ．22．（8分）（1）如图（1），已知CE 与AB 交于点E ，AC ＝BC ，∠1＝∠2．求证：△ACE ≌△BCE ．（2）如图（2），已知CD 的延长线与AB 交于点E ，AD ＝BC ，∠3＝∠4．探究AE 与BE 的数量关系，并说明理由．【解答】（1）证明：在△ACE 和△BCE 中， ∵{AC =BC ∠1=∠2CE =CE， ∴△ACE ≌△BCE （SAS ）； （2）AE ＝BE ． 理由如下：在CE 上截取CF ＝DE ，在△ADE 和△BCF 中， ∵{AD =CB ∠3=∠4CF =DE， ∴△ADE ≌△BCF （SAS ）， ∴AE ＝BF ，∠AED ＝∠CFB ，∵∠AED+∠BEF＝180°，∠CFB+∠EFB＝180°，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF，∴AE＝BE．23．（8分）某校举行了主题为“防溺水，保安全”的知识竞赛活动．赛后随机抽取了50名参赛学生的成绩进行相关统计，整理得尚未完整的频数分布表和扇形统计图．现累计了40名参赛学生的成绩，余下10名参赛学生的成绩尚未累计，这10名学生成绩如下（单位：分）：75，63，76，87，69，78，82，75，63，71．频数分布表组别分数段划记频数A60＜x≤70正8B70＜x≤80正正15C80＜x≤90正正正正22D90＜x≤100正5（1）在频数分布表中补全各组划记和频数；（2）求扇形统计图中B组所对应的圆心角的度数；（3）该校有2000名学生参加此次知识竞赛，估计成绩在80＜x≤100的学生有多少人？【解答】解：（1）用“划记”统计10名学生的成绩，并统计频数填入表格；故答案为：8，15，22，5；（2）360°×1550=108°，答：扇形统计图中B组所对应的圆心角的度数为108°；（3）2000×22+550=1080（人），答：该校2000名学生中，成绩在80＜x≤100的有1080人．24．（8分）某水果市场销售一种香蕉．甲店的香蕉价格为4元/kg；乙店的香蕉价格为5元/kg，若一次购买6kg以上，超过6kg部分的价格打7折．（1）设购买香蕉xkg，付款金额y元，分别就两店的付款金额写出y关于x的函数解析式；（2）到哪家店购买香蕉更省钱？请说明理由．【解答】解：（1）甲商店：y＝4x乙商店：y={5x，(x≤6)5×6+0.7×5(x−6)，(x＞6)．（2）当x＜6时，此时甲商店比较省钱，当x≥6时，令4x＝30+3.5（x﹣6），解得：x＝18，此时甲乙商店的费用一样，当x＜18时，此时甲商店比较省钱，当x＞18时，此时乙商店比较省钱．25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，OC＝5，BC与⊙O交于点D，点E是BD̂的中点，EF∥BC，交OC的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）CG∥OD，交AB于点G，求CG的长．【解答】证明：（1）连接OE，交BD于H，∵点E 是BD̂的中点，OE 是半径， ∴OE ⊥BD ，BH ＝DH ， ∵EF ∥BC ， ∴OE ⊥EF ， 又∵OE 是半径， ∴EF 是⊙O 的切线；（2）∵AB 是⊙O 的直径，AB ＝6，OC ⊥AB ， ∴OB ＝3， ∴BC =√OB 2+OC2=√9+25=√34，∵S △OBC =12×OB ×OC =12×BC ×OH ， ∴OH =3×534=15√3434，∵cos ∠OBC =OBBC =BHOB ， ∴√34=BH 3，∴BH =9√3434， ∴BD ＝2BH =9√3417， ∵CG ∥OD ， ∴OD CG =BD BC，∴3CG=9√3417√34，∴CG =173．26．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴交于（p ，0），（q ，0），则该抛物线的解析式可以表示为：y ＝a （x ﹣p ）（x ﹣q ）＝ax 2﹣a （p +q ）x +apq ．（1）若a ＝1，抛物线与x 轴交于（1，0），（5，0），直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）若a ＝﹣1，如图（1），A （﹣1，0），B （3，0），点M （m ，0）在线段AB 上，抛物线C 1与x 轴交于A ，M ，顶点为C ；抛物线C 2与x 轴交于B ，M ，顶点为D ．当A ，C ，D 三点在同一条直线上时，求m 的值；（3）已知抛物线C 3与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0），线段EF 的端点E （0，3），F （4，3）．若抛物线C 3与线段EF 有公共点，结合图象，在图（2）中探究a 的取值范围．【解答】解：（1）由题意抛物线的解析式为y ＝（x ﹣1）（x ﹣5）＝x 2﹣6x +5＝（x ﹣3）2﹣4，∴y ＝x 2﹣6x +5，抛物线的顶点坐标为（3，﹣4）．（2）如图1中，过点C 作CE ⊥AB 于E ，过点D 作DF ⊥AB 于F ．由题意抛物线C 1为y ＝﹣（x +1）（x ﹣m ）＝﹣（x −m−12）2+m 2+2m+14，∴C （m−12，m 2+2m+14），抛物线C 2为y ＝﹣（x ﹣m ）（x ﹣3）＝﹣（x −3+m 2）2+m 2−6m+94， ∴D （3+m 2，m 2−6m+94），∵A ，C ，D 共线，CE ∥DF ，∴CE AE =DF AF ，∴m 2+2m+14m−12+1=m 2−6m+943+m 2+1， 解得m =13，经检验，m =13 是分式方程的解，∴m =13．（3）如图2﹣1，当a ＞0时，设抛物线的解析式为y ＝a （（x +1）（x ﹣3），当抛物线经过F （4，3）时，3＝a ×5×1，∴a =35，观察图象可知当a ≥35时，满足条件．如图2﹣2中，当a ＜0时，顶点在线段EF 上时，顶点为（1，3），把（1，3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），可得a=−3 4，观察图象可知当a≤−34时，满足条件，综上所述，满足条件的a的范围为：a≥35或a≤−34．。