2019-2020年高考数学异构异模复习第六章数列课时撬分练6.2等差数列及前n项和理

2019-2020年高考数学异构异模复习第六章数列课时撬分练6.2等差数列及前n 项和理1.[xx·冀州中学猜题]已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64 答案 A解析 由题意可知2a 8＝a 7＋a 9＝16⇒a 8＝8，S 11＝a 1＋a 112＝11×2a 62＝11a 6＝992，a 6＝92，则d ＝a 8－a 62＝74，所以a 12＝a 8＋4d ＝15，故选A.2．[xx·武邑中学仿真]已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S xx ＝( )A ．1006×xx B．1006×xx C ．1007×xx D．1007×xx 答案 C解析 在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2＝2a 2，a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，故数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，S xx ＝2014×20132＝1007×xx.故选C. 3．[xx·冀州中学期末]在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 A 解析 由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n＝n ，即a n ＝1n.4．[xx ·衡水中学预测]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( )A ．63B ．45C ．36D ．27 答案 B解析 S 3＝9，S 6－S 3＝36－9＝27，根据S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，S 9－S 6＝45，S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝45，故选B.5．[xx·衡水二中期中]已知等差数列{a n }中，前四项和为60，最后四项和为260，且S n ＝520，则a 7＝( )A ．20B ．40C ．60D ．80 答案 B解析 前四项的和是60，后四项的和是260，若有偶数项，则中间两项的和是(60＋260)÷4＝80.S n ＝520,520÷80不能整除，说明没有偶数项，有奇数项，则中间项是(60＋260)÷8＝40.所以共有520÷40＝13项，因此a 7是中间项，所以a 7＝40.6．[xx·枣强中学模拟]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 2＝4，则S 6S 4＝( ) A.94 B.32 C.53 D ．4 答案 A解析 由S 4S 2＝4，可设S 2＝x ，S 4＝4x . ∵S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列， ∴2(S 4－S 2)＝S 2＋(S 6－S 4)．则S 6＝3S 4－3S 2＝12x －3x ＝9x ，因此，S 6S 4＝9x 4x ＝94. 7．[xx·衡水二中热身]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k ＝－12，则正整数k ＝________.答案 13解析 由S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212，又S k ＋1＝k ＋a 1＋a k ＋12＝k ＋⎝⎛⎭⎪⎫－3＋322＝－212，解得k ＝13.8.[xx·武邑中学期末]设正项数列{a n }的前n 项和是S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 1＝________.答案 14解析 设等差数列{a n }的公差为d ， 则S n ＝d2n 2＋(a 1－d2)n ，∴S n ＝d2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，数列{S n }是等差数列，则S n 是关于n 的一次函数(或者是常数)，则a 1－d2＝0，S n ＝d2n ，从而数列{S n }的公差是d2，那么有d2＝d ，d ＝0(舍去)或d ＝12，故a 1＝14.9．[xx·衡水中学周测]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝10，S 5＝55，则a 10＝________.答案 39解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋d ＝10，5a 1＋5×42d ＝55，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝10，a 1＋2d ＝11，解得a 1＝3，d ＝4，a 10＝a 1＋(10－1)d ＝39.10．[xx·冀州中学月考]设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若a 1<a 2，b 1<b 2，且b i ＝a 2i (i ＝1,2,3)，则数列{b n }的公比为________．答案 3＋2 2解析 设a 1，a 2，a 3分别为a －d ，a ，a ＋d ，因为a 1<a 2，所以d >0，又b 22＝b 1b 3，所以a 4＝(a －d )2(a ＋d )2＝(a 2－d 2)2，则a 2＝d 2－a 2或a 2＝a 2－d 2(舍)，则d ＝±2a .若d ＝－2a ，则q ＝b 2b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 12＝(1－2)2＝3－22<1，舍去；若d ＝2a ，则q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a12＝3＋2 2.11．[xx·衡水中学模拟]等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数，又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0,10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1－3n－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛ 110－3n －⎭⎪⎫113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n－3n.12．[xx·冀州中学期中]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，判断{a n }是否为等差数列，并说明你的理由．解 数列{a n }不是等差数列，a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0， ∴S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，∴1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，又S 1＝a 1＝12， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列． ∴1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n . ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n－1n －＝－12nn －，∴a n ＋1＝－12n n ＋，而a n ＋1－a n ＝－12n n ＋－－12n n －＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n n －n ＋.∴当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列．能力组13.[xx·衡水中学猜题]已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)，则a 6等于( )A ．16B ．8C ．2 2D ．4答案 D解析 由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)可得，数列{a 2n }是首项为a 21＝1，公差为a 22－a 21＝3的等差数列，由此可得a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，即得a n ＝3n －2，∴a 6＝3×6－2＝4，故应选D.14.[xx·衡水中学一轮检测]已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为( )A ．11B ．19C ．20D ．21 答案 B 解析 ∵a 11a 10<－1，且S n 有最大值， ∴a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0， ∴S 19＝a 1＋a 192＝19·a 10>0，S 20＝a 1＋a 202＝10(a 10＋a 11)<0，故使得S n >0的n 的最大值为19.15.[xx·武邑中学猜题]已知等差数列{a n }中，a 5＝12，a 20＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋4d ＝12a 20＝a 1＋19d ＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝20d ＝－2，∴a n ＝20＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋22.(2)由(1)知|a n |＝|－2n ＋22|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋22，n ≤112n －22，n >11， ∴当n ≤11时，S n ＝20＋18＋…＋(－2n ＋22)＝n－2n ＋2＝(21－n )n ； 当n >11时，S n ＝S 11＋2＋4＋…＋(2n －22)＝110＋n －＋2n －2＝n 2－21n＋220.综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n n ，n ≤11n 2－21n ＋220，n >11.16．[xx·冀州中学仿真]已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4.(1)求证{a n }为等差数列； (2)求{a n }的通项公式． 解 (1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0， 解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)． 当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5， 又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1， 即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1， 也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1. 若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1， 而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1， 因此{a n }为等差数列． (2)由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)＝n ＋2， 即a n ＝n ＋2.2019-2020年高考数学异构异模复习第六章数列课时撬分练6.3等比数列及前n 项和文1.[xx·枣强中学月考]在数列{a n }中，a n ≠0，“a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…”是“{a n }是公比为2的等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件答案 C 解析a na n －1＝2，n ∈{2,3,4，…}公比q ＝2，反之亦成立，故选C. 2．[xx·衡水二中猜题]等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝24，则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189答案 C解析 由题意可得q 3＝8，∴q ＝2. ∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝84.3．[xx·冀州中学预测]设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析 由已知得，S m －S m －1＝a m ＝－16，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝32，故公比q ＝a m ＋1a m＝－2，又S m ＝a 1－a m q 1－q＝－11，故a 1＝－1，又a m ＝a 1·q m －1＝－16，故(－1)×(－2)m －1＝－16，求得m ＝5.4.[xx·冀州中学热身]等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35答案 B解析 由题意可知a 5a 6＝a 4a 7， 又a 5a 6＋a 4a 7＝18得a 5a 6＝a 4a 7＝9，而log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·…·a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝log 3 95＝log 3310＝10.5．[xx·冀州中学周测]已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2答案 C解析 由等比数列的“等积性”可知，a 5·a 2n －5＝a 1·a 2n －1＝22n.∵log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 2(a 1·a 3·…·a 2n －1)．又a 1·a 3·…·a 2n －1＝(a 1·a 2n －1) n 2 ＝(22n ) n2 ＝2n 2， ∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝n 2.6．[xx·枣强中学周测]各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16 答案 B解析 S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列． 设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列．即(x －2)2＝2×(14－x )，解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．∴S 2n ＝6.S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S 3n ＝14，∴S 4n ＝14＋2×23＝30，故选B.7．[xx·衡水二中仿真]已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 9成等比数列，S n为数列{a n }的前n 项和，则S 11－S 9S 7－S 6＝________. 答案 3解析 设公差为d ，则(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，∴a 1d ＝d 2，又d ≠0，∴a 1＝d ，则S 11－S 9S 7－S 6＝66a 1－45a 128a 1－21a 1＝3. 8．[xx·衡水二中猜题]若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝12a n (n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.答案 15解析 由a 1＝1，a n ＋1＝12a n 知{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以S 4＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1241－12＝158，又a 4＝a 1q 3＝18，故S 4a 4＝15. 9．[xx·枣强中学月考]若等比数列{a n }满足a m －3＝4且a m a m －4＝a 24(m ∈N *且m >4)，则a 1a 5的值为________．答案 16解析 设数列{a n }的公比为q ，由a m a m －4＝a 24，得m ＋(m －4)＝2×4，解得m ＝6，∵a m －3＝4，即a 3＝4，∴a 1a 5＝a 23＝16.10．[xx·武邑中学模拟]已知公比为2的等比数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＋a 11＋a 14＋a 17＋a 20＝13，则该数列前21项的和S 21＝________.答案912解析 设等比数列的首项为a 1，公比q ＝2, 前n 项和为S n .由题知a 2，a 5，a 8，a 11，a 14，a 17，a 20仍为等比数列，其首项为a 2，公比为q 3，故其前7项的和为T 7＝a 2[1－q 37]1－q3＝a 1q －q 21－q ＋q ＋q 2＝a 1－q211－q·q 1＋q ＋q 2＝S 21·27＝13，解得S 21＝912. 11．[xx·衡水中学周测]已知正项等比数列{a n }中，2a 1＋a 2＝a 3,3a 6＝8a 1a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n －n log 23，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋1的前n 项和T n . 解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题意得a 1>0，q >0，且⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋a 1q ＝a 1q23a 1q 5＝8a 21q 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3q ＝2，所以a n ＝3·2n －1(n ∈N *)．(2)因为log 2a n ＝log 23＋n －1，且log 2a 1＝log 23，所以{log 2a n }是以log 23为首项，1为公差的等差数列．b n ＝log 23＋log 23＋n －12·n －n log 23＝nn －2.于是T n ＝1b 2＋1b 3＋1b 4＋…＋1b n ＋1＝21×2＋22×3＋23×4＋…＋2n n ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 12．[xx·冀州中学月考]已知a <b ，且满足a 2－a －6＝0，b 2－b －6＝0，数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a 2＝－6a ，a n ＋1＝6a n －9a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝a n ＋1－ba n (n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n .解 (1)证明：∵a <b ，a 2－a －6＝0，b 2－b －6＝0， ∴a ＝－2，b ＝3，a 2＝12. ∵a n ＋1＝6a n －9a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝a n ＋1－ba n (n ∈N *)，∴b n ＋1＝a n ＋2－3a n ＋1＝6a n ＋1－9a n －3a n ＋1＝3(a n ＋1－3a n )＝3b n (n ∈N *)． 又b 1＝a 2－3a 1＝9，∴数列{b n }是公比为3，首项为9的等比数列． (2)由(1)可得b n ＝3n ＋1(n ∈N *)．于是，有a n ＋1－3a n ＝3n ＋1(n ∈N *)，即a n ＋13n ＋1－a n3n ＝1(n ∈N *)．因此，数列{a n 3n }是首项为a 13＝13，公差为1的等差数列，故a n 3n ＝13＋(n －1)·1.所以数列{a n }的通项公式是a n ＝(3n －2)·3n －1(n ∈N *)．能力组13.[xx·衡水中学月考]设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A.152B.314 C.334 D.172答案 B解析 由a n >0，a 2a 4＝a 21q 4＝1，S 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7，解得q ＝12或－13(舍去)，a 1＝4，所以S 5＝a 1－q51－q＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1321－12＝314.14．[xx·枣强中学猜题]数列{a n }的首项为a 1＝1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10b 11＝xx 110，则a 21＝______.答案 xx 解析 由b n ＝a n ＋1a n ，且a 1＝1，得b 1＝a 2a 1＝a 2；b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝b 1b 2；b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝b 1b 2b 3；……；b n －1＝a na n －1，a n ＝b 1b 2…b n －1，∴a 21＝b 1b 2…b 20.∵数列{b n }为等比数列，∴a 21＝(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝(b 10b 11)10＝(xx 110)10＝xx.15．[xx·武邑中学期中]已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝a 4＋6，且a 1，a 4，a 13成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)．因为S 3＝a 4＋6，所以3a 1＋3×2d2＝a 1＋3d＋6.所以a 1＝3.因为a 1，a 4，a 13成等比数列， 所以a 1(a 1＋12d )＝(a 1＋3d )2， 即3(3＋12d )＝(3＋3d )2.解得d ＝2. 所以a n ＝2n ＋1. (2)由题意b n ＝22n ＋1＋1，设数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝22n ＋1，c n ＋1c n ＝2n ＋＋122n ＋1＝4(n∈N *)，所以数列{c n }为以8为首项，4为公比的等比数列．所以T n ＝－4n1－4＋n ＝22n ＋3－83＋n .16.[xx·衡水中学预测]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n 2a n .(1)设b n ＝a n n2，求证：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)设c n ＝a n ＋1－2a n ，求数列{c n }的前n 项和S n .解 (1)证明：a n ＋1＝2·n ＋2n 2a n ，a n ＋1n ＋2＝2·a n n2，∴b n ＋1＝2b n ，∴数列{b n }是公比为2的等比数列． (2)由(1)知{b n }是公比为2的等比数列， 又b 1＝a 112＝a 1＝1，∴b n ＝b 1·2n －1＝2n －1，∴a n n2＝2n －1，∴a n ＝n 2·2n －1.(3)c n ＝(n ＋1)2·2n －2n 2·2n －1＝(2n ＋1)·2n，∴S n ＝3·2＋5·22＋7·23＋…＋(2n ＋1)·2n.① 2S n ＝3·22＋5·23＋…＋(2n －1)·2n＋(2n ＋1)·2n ＋1.②①－②得，－S n ＝3·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n－(2n ＋1)·2n ＋1＝2＋－2n1－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2－(2n －1)·2n ＋1，∴S n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2.。