人教版高中数学必修一《对数与对数运算》之《对数》导学案
对数函数导学案.doc
2.2.1对数与对数运算（一）一【学习目标】 （一） 教学知识点1.对数的概念；2．对数式与指数式的互化． （二） 能力训练要求1.理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识． 二、教学重点：对数的定义． 三、教学难点：对数概念的理解． 四【新课讲授】(导学)假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？列出表达式： （自学）知识点1 ： 对数的概念1.对数定义：一般地，如果 ，)1,0(≠>a a 且则数 b 叫做以a 为底 N 的对数， 记作 ，其中a 称为对数的底，N 称为真数. （b N N a a b =⇔=log ）（1）底数的取值范围 ；真数的取值范围（2）对数式和指数式关系式 子名称 a b N指数式 对数式思考1．将下列指数式写成对数式： （1）62554= （2）64126=- （3）273=a(4)73.531=m ）（知识点2 两种重要对数1.常用对数：以10为底的对数叫做常用对数N 10log 简记作 ． 思考2：5log 10简记作； 5.3log 10简记作2.自然对数：用以无理数e=2.71828……为底的对数叫自然对数， N e log 简记作思考3：3log e 简记作 10log e 简记作 思考4． 将下列对数式写成指数式：（1）416log 21-=； （2）7128log 2=； （3）201.0lg -=； （4）303.210ln =．知识点三 : 重要公式：⑴负数与零没有对数； ⑵01log =a ， 1log =a a ⑶对数恒等式N aNa =log五【典例欣赏】（互学） 1对数概念应用例1.求下列各式中x 的取值范围：(1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2.2对数基本运算例2求下列各式中的x 的值：（1）32log 64-=x ；（2）68log =x ；（3）x =100lg ；（4）x e =-2ln 。
人教A版高中数学必修一导学案对数与对数运算(2)
§2.2.1 对数与对数运算（3）1. 能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题；2. 加强数学应用意识的训练，提高解决应用问题的能力.6669复习1：对数的运算性质及换底公式.如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则（1）log ()a MN = ；（2）log a M N= ； （3） log n a M = .换底公式log a b = .复习2：已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b ，用 a ，b 表示42log 56.复习3：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25℅，问哪一年我国人口总数将超过14亿？ （用式子表示）二、新课导学※ 典型例题例1 20世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为：0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001, 计算这次地震的震级（精确到0.1）；（2）5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？（精确到1）小结：读题摘要→寻找数量关系→利用对数计算.例2当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P 与生物死亡年数t 之间的关系．回答下列问题：（1）求生物死亡t 年后它机体内的碳14的含量P ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（2）已知一生物体内碳14的残留量为P ，试求该生物死亡的年数t ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（3）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓的年代？反思：① P 和t 之间的对应关系是一一对应；② P 关于t 的指数函数(x P =，则t 关于P 的函数为 . ※ 动手试试练1. 计算：（1）0.21log35-； （2）49log 3log 2⋅-.练2. 我国的GDP 年平均增长率保持为7.3%，约多少年后我国的GDP 在2007年的基础上翻两番？三、总结提升※ 学习小结1. 应用建模思想（审题→设未知数→建立x 与y 之间的关系→求解→验证）；2. 用数学结果解释现象.※ 知识拓展在给定区间内，若函数()f x 的图象向上凸出，则函数()f x 在该区间上为凸函数，结合图象易得到1212()()()22x x f x f x f ++≥； 在给定区间内，若函数()f x 的图象向下凹进，则函数()f x 在该区间上为凹函数，结合图象易得到1212()()()22x x f x f x f ++≤. ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 25()a -（a ≠0）化简得结果是（ ）. A ．－a B ．a 2 C ．｜a ｜ D ．a2. 若 log 7［log （log 2x ）］＝0，则12x =（ ）.A. 3B.C.D.3. 已知35a b m ==，且112a b+=，则m 之值为（ ）.A ．15BC ．D ．2254. 若3a ＝2，则log 38－2log 36用a 表示为 .5. 已知lg 20.3010=，lg1.07180.0301=，则 lg 2.5= ；1102= ．1. 化简：（1）222lg5lg8lg5lg 20(lg 2)3+++； （2）()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5.2. 若()()lg lg 2lg 2lg lg x y x y x y -++=++，求x y 的值．。
高中数学必修一导学案：2 2 1对数与对数运算(2)
第二章 基本初等函数2.2.1对数与对数运算（2）【导学目标】1．学生掌握对数的运算性质，知道对数换底公式；2．会用对数的性质解决一些实际问题；3. 在对数的运算性质、换底公式的推导中，体会数学推理过程，体验探究成功.【自主学习】 知识回顾：1.对数的概念；2.同底数幂的运算性质：=⋅n m a a ；=÷n m a a . 新知梳理：引例： 由=⋅n m a a ，如何探讨)(log MN a 和log a M 、log a N 之间的关系？ （以)(log MN a ＝M a log ＋N a log 为例）．m n m n a a a +⋅=，设m M a =，n N a =，则有MN = ___ __ .由对数的定义，有 __，N a log =n ，=+=n m MN a )(log .同样地，依照上述过程，由指数幂的运算性质________ 和_____ ___，得到对数运算的其他性质．2. 如果0a >,且1a ≠，0M >，0N >，那么,(1)log ()a MN = _ ___________；(2)log a MN = _______ ____________ ； (3)log n a M = _____ ____ （n ∈R ）． (4))(log )(m a b n = .()0,,≠∈∈n R n R m 对点练习：1.若0>a ，1≠a ，0>x ，0>y ，y x >，下列式子中正确的个数是（ ）①⋅x a log y a log =)(log y x a +②x a log y a log -=)(log y x a - ③)(log yx a =x a log y a log ÷④=)(log xy a x a log y a log ⋅A.0B.1C. 2D.3 对点练习：2.5lg 2lg +=3.对数换底公式若0a >,且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >，则log a b = ________ ．推导：对点练习：3. 2log 3log 32⋅的值为（ ）A.21B.1C. 23 D.2 一般的,有log log a b b a ⋅=___________思考探究:1.b a log 与a b log 是什么关系?2.a c b c b a log log log ⋅⋅=3.当0>⋅N M ，则式子)(log N M a ⋅=N M a a log log +，成立吗？为什么？【合作探究】典例精析例题1： 用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式．（1）z xy a log ； （2）32log zy x a .变式训练1：已知a =2lg ，b =3lg ，用b a ,表示108lg ．例题2： 求下列各式的值：（1） )24(log 572⨯； （2） 5100lg .变式训练2：求下列各式的值： ⑴278log 32； ⑵5.0lg 85lg 5.12lg +-； （3）16log 9log 4343-.【课堂小结】。
高中数学 2.2.1 对数与对数运算导学案(2) 新人教A版必修1
高中数学 2.2.1 对数与对数运算导学案（2）新人教A版必修1§§2.2.1 对数与对数运算（2）学习目标1. 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题..学习过程一、课前准备（预习教材P64~ P66，找出疑惑之处）复习1：（1）对数定义：如果x a N=(0,1)a a>≠，那么数x叫做，记作 .（2）指数式与对数式的互化：复习2：幂的运算性质.（1）m na a=；（2）()m n a=；（3）()n ab= .复习3：根据对数的定义及对数与指数的关系解答：（1）设log2am=，log3a n=，求m n a+；（2）设loga M m=，log a N n=，试利用m、n表示log(a M·)N．二、新课导学※学习探究探究任务：对数运算性质及推导问题：由p q p qa a a+=，如何探讨log a MN和log a M、log a N之间的关系？问题：设loga M p=, log a N q=，由对数的定义可得：M=p a，N=q a ∴MN=p a q a=p q a+，（1）loglog mn a anb b m=；（2）1log log abb a =.练3. 计算：（1）7lg142lg lg7lg183-+-；（2）lg 243lg9. 三、总结提升 ※ 学习小结①对数运算性质及推导；②运用对数运算性质；③换底公式.※ 知识拓展① 对数的换底公式log log log babNN a=； ② 对数的倒数公式1log log abb a =.③ 对数恒等式：log log nn aa N N =， 学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列等式成立的是（ ） A ．222log (35)log 3log 5÷=- B ．222log (10)2log (10)-=- C ．222log (35)log 3log 5+= D ．3322log (5)log 5-=-2. 如果lgx =lga +3lgb －5lgc ，那么（ ）. A ．x =a +3b －c B ．35ab x c= C ．35ab x c= D ．x =a +b 3－c 33. 若()2lg 2lg lg y x x y -=+，那么（ ）. A ．y x = B ．2y x =C ．3y x =D ．4y x = 4. 计算：（1）99log 3log 27+= ；（2）2121log log 22+= . 5. 计算：315lglg 523+= .课后作业 1. 计算：（1lg 27lg83lg 10+-； （2）2lg 2lg2lg5lg5+⋅+.2. 设a 、b 、c 为正数，且346ab c==，求证：。
人教版高一数学必修1第二章《对数与对数运算》学案第二课时换底公式及对数的应用
§2.2.1对数与对数运算3（换底公式及对数的应用）班级：高一（ ） 姓名： 学号：学习目标：1、理解并掌握对数的换底公式2、运用对数运算性及公式质解决有关问题学习重点、难点：对数的换底公式，对数运算性质及公式的灵活应用自主预习：一、知识梳理：问题引入：数学史上，人们通过大量努力，制作了常用对数表、自然对数表，只要通过查表就可求出任意正数的常用对数或自然对数。
那么有没有方法把其他底的对数转换为以10或e 为底的对数呢？对数的底数能否随意转换?探究：设M b a =log （0>a 且 1≠a ,b>0）由对数的意义有，b a M =，显然M a ＞0，两边取常用对数得：_______________∵ 0>a ，∴M b a lg lg =•，又1≠a ,∴0lg ≠a ，∴M a b lg lg = ，即 【总结】更一般地，可得对数的换底公式：【归纳提升】1. 注意换底公式的结构特点：右边分子、分母所换的底必须是同一底，且为真数的对数除以底数的对数。
2. 当b ≠1且b ＞0时，存在倒数关系：二、自我检测1、计算下列各式的值 (1) log 98 log 3227 ; (2) 235111log log log 125323••三、学点探究探究1：对于底不同的对数的运算例1、 计算（1）32log 9log 38⨯ （2）a c c a log log •（3）)2log 2(log )3log 3(log 9384+⋅+变式训练一：应用对数换底公式化简下列各式1、（1）16log 25log 9log 125274••（2）)3log 3)(log 2log 2(log 8493++方法小结1：利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想，在解题过程中应注意：1、针对具体问题，选择恰当的底数；2、注意换底公式与对数运算法则结合使用3、换底公式的正用与逆用探究2、对数换底公式的应用例2、已知518,9log 18==b a ，用a 、b 来表示45log 36变式训练二：1、30log ,53,2log 33表示、用b a a b ==2.已知32=x ，y =38log 4，则x+2y= .3.设p =3log 8，q =5log 3，则lg5= （用含p 、q 的式子表示） 课后作业：1、应用对数换底公式化简下列各式(1) 84log 27log 9； (2) log 225 log 34 log 59 ;2、 若0>a 且 1≠a ，x ，y ∈R 且xy ＞0则下列各式正确的是 ： ① x x a a log 2log 2= ； ②||log 2log 2x x a a =； ③y x xy a a a log log )(log +=； ④||log ||log )(log y x xy a a a +=3、已知lg2=a,lg3=b ，用a,b 表示代数式log 2716=4、已知 lgN=alnN ; lnN=b lgN, 则a= , b=5、已知514,7log 14==b a ，求28log 356、设3a =4b =36，求21a b +的值7、已知m a =8log ,n a =5log ,请求n m a 2+的值.课后反思：。
高中数学必修一导学案对数与对数运算一
学生班级姓名小组号评价必修一 2.2.1对数与对数运算（一）【学习目标】1.深刻理解对数的定义，熟练进行对数的计算及指数式与对数式的互化，掌握对数的性质，培养积极合作探究的能力；2. 自主学习，积极讨论，踊跃展示，探究对数应用的规律和方法；【重点和难点】教学重点：对数的概念；教学难点：对数式与指数式的互化.【使用说明及学法指导】1. 先预习课本P 62~63，然后开始做导学案；2．对比学习过的指数函数及指数式，结合课本学习对数的概念；预习案一．知识梳理1.对数定义：如果x a N (0,1)a a ，那么数x 叫做，记作.式子名称a x N a x =Nlog a N=x2.常用对数：3.自然对数：4.log 1a ，log a a ，没有对数。
二．问题导学1.如何实现对数式与指数式的互化？2.常用对数和自然对数是如何定义的？3.真数为1的对数值是什么？当真数与底数相同时呢？三.预习自测1. 将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式. （1）53243；（2）51232；（3）430a （4）1() 1.032m ；（5）12log 164；（6）2log 1287；2. 求下列各式的值.（1）5log 25= ；（2）21log 16；（3）lg 10000 ；3. 探究log ?n a a l o g ?a N a四.我的疑问：探究案一．合作探究探究1.下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. （1）2100.01；（2）712128；（3）327a ；（4）12log 325；（5）lg0.001=3；（6）ln100=4.606. 变式：12log 32?lg0.001=？探究2.例2求下列各式中x 的值：（1）642log 3x ；（2）log 86x ；（3）lg 4x ；（4）3ln e x . 二．课堂训练与检测1.若2log 3x ，则x （）A. 4B. 6C. 8D. 92. (1)log (1)n n n n = （）.A. 1B. －1C. 2D. －23. 对数式2log (5)a a b 中，实数a 的取值范围是（）.A ．(,5)B ．(2,5)C ．(2,)D ．(2,3)(3,5)4. 计算：21log (322).5. 若log (21)1x ，则x=________，若2log 8y ，则y=___________.三.课堂小结。
1高中数学必修1精品教案：《2.2.1对数与对数运算 (1)》导学案
《2.2.1对数与对数运算 （1）》导学案主编： 班次 姓名【学习目标】其中2、3是重点和难点1．理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转化。
2．掌握对数式与指数式的相互转化。
3．对数概念的理解。
【课前导学】预习教材第62-63页，找出疑惑之处，完成新知学习。
1、定义：一般地，如果 (0,1)a a >≠，那么x 叫做 。
记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做 。
2、定义：我们通常将以10为底的对数叫做 ，并把常用对数 简记作 ；在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫 ，并把自然对数 简记作 。
3、指数与对数间的关系 （0,1a a >≠时， ⇔ ）。
4、 没有对数，log 1a = ， log a a = 。
【预习自测】首先完成教材上P64第1、2、3、4题，然后做自测题。
1、若2(01)y x x x =>≠且，则（ ）A.2log y x =B. 2log x y =C. log 2y x =D. log 2x y =2、若log 4a=，则a,b 之间的关系正确的是（ ）A.4a =64b a = C.43b a = D.a =3、1327x =的对数表达式为 ，x= 。
4、2log 16x =的指数表达式为 ，x= 。
5、计算21log 16= ， 2.5log 2.5= ，0.4log 1= 。
【课中导学】首先独立思考探究，然后合作交流展示。
探究一：思考1:若42＝M ，则M ＝？若22-＝N ，则N ＝？思考2:若2x ＝16，则x ＝？若2x ＝14,则x ＝？若4x ＝8，则x ＝？若2x ＝3，则x ＝？ 思考3:满足2x ＝3的x 的值，我们用2log 3表示，即2log 3x =，并叫做“以2为底3的对数”。
那么满足2x ＝16，2x ＝14，4x ＝8的x 的值可分别怎样表示？ 思考4:一般地，如果x a ＝N （a>0，且a ≠1），那么数x 叫做什么？怎样表示？思考5: 满足10,x xN e N ==（其中e=2.7182818459045…）的x 的值可分别怎样表示？这样的对数有什么特殊名称？探究二：思考1:当a>0，且a ≠1时，若x a ＝N ，则x ＝log a N ，反之成立吗？思考2:在指数式x a ＝N 和对数式x ＝log a N 中，a ，x ，N 各自的地位有什么不同？思考3:当a>0，且a ≠1时，log (2),log 0a a -存在吗？为什么？由此能得到什么结论？思考4:根据对数定义，log 1log a a a 和（a>0，a ≠1）的值分别是多少？思考5:若x a ＝N ，则x ＝log a N ，二者组合可得什么等式？例1、将下列指数式写成对数式：35125= ，712128-=，327a =，2100.01-=例2、将下列对数式写成指数式：12log 325=-，lg0.001=-3，ln100=4.606例3. 求下列各式中x 的值：642log 3x =； log 86x =-； lg 4x =； 3ln e x =【自我评价】你完成本节导学案的情况为（ ）A.很好B.较好C.一般D.较差【基础检测】当堂达标练习，（时量：5分钟 满分：10分）计分：1、计算2log = 。
人教A版高中数学必修一全册导学案对数与对数运算(3)
课题：2.2.1对数与对数运算（3）一、三维目标：知识与技能:（1）在对数运算性质的基础上,利用指数式与对数式之间的关系探索发现换底公式；（2）能够利用换底公式进行对数的化简和运算。
过程与方法：（1）先从特殊的常用对数和自然对数入手,利用计算器进行对数的运算,从中发现对于底数不是10或e 为底的对数需要寻求办法把对数进行转换为常用对数或自然对数；（2）学会把未知的问题转化为已知的问题去思考解决。
情感态度与价值观：了解对数的运算过程中出现的问题,体会数学运算的处理。
二、学习重、难点：重点：对数的换底公式、利用对数的运算性质和换底公式进行化简计算。
难点：对数的换底公式。
三、学法指导：观察、思考、探究。
四、知识链接：B 如何求解206.1=x 中的x ?分析：206.1=x ⇒ 2log 06.1=x ；206.1=x ⇒ 2log 06.1log 1010=x ⇒ 2log 06.1log 1010=⋅x ⇒06.1log 2log 1010=x ； ∴06.1log 2log 2log 101006.1=猜测：bN N a a b log log log = （0a >且1a ≠，0>b 且1≠b ，0>N ） 五、学习过程： B 问题1、模仿上面证明过程证明换底公式b N N a a b log log log =.特例：a N =时，bb a a a a a b log 1log log log ==； αβa a βlog b =log b α；a logb a =b B 例1、计算下列各式的值：① log log ∙49332； ② 1681log 27log 32；③ 3log 13log 15.132+； ④ 10log 5lg 10log 2lg 550+；⑤37log 4log 37+； ⑥95log 4log 235+.C 例2、已知3log 2a =，b =7log 3，试用a 、b 表示4log 7.C 例3、已知方程x 2＋x log 26＋log 23＝0的两根为α和β，求(14)α·(14)β的值。
高中数学新教材人教版必修一 精品 导学案 4-4 对数函数(第1课时 对数函数的概念、图象及性质)
第1课时对数函数的概念、图象及性质学习目标知识梳理1．对数函数的概念一般地，函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象及性质(0，＋∞)3．反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)和对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数．两者的定义域和值域正好互换．名师导学知识点1 对数函数的概念【例】(1)已知对数函数f(x)＝(m2－3m＋3)·log m x，则m＝________．(2)已知对数函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫4，12. ①求f (x )的解析式； ②解方程f (x )＝2.【解】 (1)由对数函数的定义可得m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，也就是(m －1)(m －2)＝0，解得m ＝1或m ＝2. 又因为m >0，且m ≠1，所以m ＝2.(2)①由题意设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，由函数图象过点⎝⎛⎭⎫4，12可得f (4)＝12， 即log a 4＝12，所以4＝a 12，解得a ＝16， 故f (x )＝log 16x .②方程f (x )＝2，即log 16x ＝2， 所以x ＝162＝256.反思感悟判断一个函数是对数函数的方法变式训练1．若函数f (x )＝log (a ＋1)x ＋(a 2－2a －8)是对数函数，则a ＝________． 解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －8＝0，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝4.答案：42．点A (8，－3)和B (n ，2)在同一个对数函数图象上，则n ＝________． 解析：设对数函数为f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)． 则由题意可得f (8)＝－3，即log a 8＝－3， 所以a －3＝8，即a ＝8－13＝12.所以f (x )＝log 12x ，故由B (n ，2)在函数图象上可得f (n )＝log 12n ＝2，所以n ＝⎝⎛⎭⎫122＝14. 答案：14知识点2 与对数函数有关的定义域问题 【例】求下列函数的定义域． (1)y ＝log a (3－x )＋log a (3＋x )； (2)y ＝log 2(16－4x )； (3)y ＝log 1－x 5.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3＋x >0，得－3<x <3，∴函数的定义域是(－3,3)． (2)由16－4x >0，得4x <16＝42， 由指数函数的单调性得x <2，∴函数y ＝log 2(16－4x )的定义域为(－∞，2)．(3)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－x ≠1，得x <1且x ≠0，∴定义域为(－∞，0)∪(0,1)．反思感悟求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数、底数的取值范围是否改变． 变式训练求下列函数的定义域： (1)y ＝lg(x ＋1)＋3x 21－x ；(2)y ＝log x －2(5－x )．解：(1)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <1，所以－1<x <1.所以该函数的定义域为(－1，1)．(2)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧5－x >0，x －2>0，x －2≠1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x <5，x >2，x ≠3，所以2<x <5，且x ≠3.所以该函数的定义域为(2，3)∪(3，5)．知识点3 对数型函数的图象【例1】已知a ＞0，且a ≠1，则函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是( )【解析】 当a ＞1时，函数y ＝log a x 为增函数，且直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点的纵坐标大于1；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 为减函数，且直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点的纵坐标在0到1之间，只有C 符合，故选C.【答案】 C【例2】画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调性： (1)y ＝log 3(x －2)； (2)y ＝|lo |21x g .【解】 (1)函数y ＝log 3(x －2)的图象如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R ，在区间(2，＋∞)上是增函数．(2)y ＝|lo |21x g ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，0<x ≤1，log 2x ，x >1，其图象如图②.其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．【例3】如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( )A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．a ＞b ＞1D ．b ＞a ＞1【解析】 作直线y ＝1，则直线与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知0＜b ＜a ＜1.【答案】 B反思感悟有关对数型函数图象问题的应用技巧(1)求函数y ＝m ＋log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的图象过定点时，只需令f (x )＝1求出x ，即得定点为(x ，m )．(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法．(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y ＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小． 变式训练1．在同一坐标系中，函数y ＝2－x 与y ＝log 2x 的图象是( )解析：选A.函数y ＝2－x＝⎝⎛⎭⎫12x过定点(0，1)，单调递减，函数y ＝log 2x 过定点(1，0)，单调递增，故选A.2．已知函数y ＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1)的图象如图所示．(1)求实数a 与b 的值；(2)函数y ＝log a (x ＋b )与y ＝log a x 的图象有何关系？解：(1)由图象可知，函数的图象过点(－3，0)与点(0，2)，所以可得0＝log a (－3＋b )与2＝log a b ，解得a ＝2，b ＝4.(2)函数y ＝log a (x ＋4)的图象可以由y ＝log a x 的图象向左平移4个单位得到．当堂测评1．已知函数f (x )＝log a (x －1)＋4(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点Q ，则Q 点坐标是( ) A ．(0，5) B ．(1，4) C ．(2，4) D ．(2，5)解析：选C.令x －1＝1，即x ＝2.则f (x )＝4.即函数图象恒过定点Q (2，4)．故选C. 2．函数y ＝log 2|x |的图象大致是( )解析：选A.函数y ＝log 2|x |是偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，结合图象可知A 正确． 3．点(2，4)在函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象上，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________． 解析：因为点(2，4)在函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)的反函数的图象上，所以点(4，2)在函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)的图象上，因此log a 4＝2，即4＝a 2，又a >0，所以a ＝2，所以f (x )＝log 2x ，故f ⎝⎛⎭⎫12＝log 212＝－1. 答案：－14．若函数y ＝log a (x ＋a )(a >0且a ≠1)的图象过点(－1，0)． (1)求a 的值； (2)求函数的定义域．解：(1)将点(－1，0)代入y ＝log a (x ＋a )(a >0且a ≠1)中，有0＝log a (－1＋a )，则－1＋a ＝1，所以a ＝2.(2)由(1)知y ＝log 2(x ＋2)，由x ＋2>0，解得x >－2，所以函数的定义域为{x |x >－2}．。
高中数学《对数与对数运算》导学案
第二章 基本初等函数§2.2.1对数与对数运算一、【学习目标】1. 理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互化；2. 熟练运用对数的运算性质，掌握化简,求值的技巧。
【重点、难点】对数的概念和指数式与对数式的互化，对数运算性质的应用；对数概念的理解，对数运算化简、求值技巧。
二、学习过程【情景创设】1. 通过与指数式的比较，引出对数定义与性质；2. 结合幂的运算性质，推导出对数的运算性质。
【导入新课】1. 对数的概念一般地，若 ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
2. 指数式与对数式的互化 log x a a N N x =⇔=3. 两种特殊的对数（1） 对数10log lg N N 记为（2） 对数e log ln N N 记为(e=2.71828…)4. 结论（1） 没有对数（2）1的对数为 ，同底的对数为 ，即log 10,log 1.a a a ==5. 对数的运算性质（1）log log log a a a M N MN += （0M > ， 0N > ， 0a >且1a ≠）（2）log log log a a a M M N N-= （0M > ， 0N > ， 0a >且1a ≠） （3）log log n a a n M M = （0M >， 0N > ， 0a >且1a ≠ ， n N +∈）三、典例分析例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）54=625 (2)61264-= (3)1() 5.733m =(4) 3log 92= (5)5log 1253= (6) 12log 164=-例2 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式。
（1）log a xy z （2）log a例3 求下列各式的值。
（1）752log (42)⨯ （2）【变式拓展】1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：2(1)416= 21(2)39-= 1(3)()53m =255(4)log 2= 412(5)log 2=- 11000(6)log 3=-2．计算下列各式的值（1）23log (279)⨯ （2）7log （3）7lg142lg lg 7lg183---（4）lg 243lg9 （5四、总结反思1. 理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互。
高中数学对数的运算法则导学案新人教A版必修1
高中数学 对数的运算法例导教案 新人教 A 版必修 1学习目标（ 1）掌握对数的运算法例，并能理解推导这些法例的依照和过程； （ 2）能较娴熟地运用对数的运算法例解决相关问题．学习要点： 对数运算法例及其应用．学习难点： 对数运算法例的证明方法 . 一、课前准备 回想以下问题：1．对数的定义：若 a bN ，则 log a Nb ，此中 a (0,1) (1,) ， N(0,) ．2．指数式与对数式的互化公式： a b Nlog a Nb .3. 对数的性质：（ 1） 负数与零没有对数； （ 2） log a 1 0 ， log a a 1 ；（3）对数恒等式：a log aNN ．4．指数运算法例： （ 1）mnm n( ,) ； （2） m nm n( m,n R) ；a aam n R a aa（3）(a m ) na mn( ,)；（ 4） ( ab) na nn( n R) .m n Rb 二、新课导学（一）自主学习：自学教材 P64-65 ，达成《创新设计》 P37“新知导学”假如 a 0 且 a 1， M0 ， N 0 ，那么（ 1） log a (MN )M ；（2） log a；（ 3） log a M nN(nR) .注意 ：（1）语言表达： “积的对数 = 对数的和” （简略表达能够帮助记忆）.（ 2）有时一定逆向运算：如：11log 3 37log39log 3 (27 9 ) log 3 31 .（ 3）注意性质的使用条件： 每一个 对数都要存心义 .10) 2log 2 [( 3)( 5)] log 2 ( 3) log 2 ( 5) 是不建立的， log 10 (2log 10 ( 10) 是不建立的 .（ 4）小心记忆错误：log a (MN ) log a M log a N ，试举反例， log a (M N ) log a M log a N ，试举反例 .（ 5）对数的运算性质其实是将积、商、幂的运算分别转变为对数的加、减、乘的运算 .（二）典型例题 【例 1】求以下各式的值：（ 1） log 2 (23 45) =（ 2） log 5 125 = （ 3）lg 32lg 2 1 ；（4）log 2 8 4 3 log 2 8 4 3 .动着手 ：填空： ① log 2 6 － log 2 3；② log 3 52 log3 5 2；③log 5 75 log 5 1 ；④ log 35－ log 3 15 .3【例 2】计算：（ 1） lg 14 2 lg7 lg 7 lg 18 ；（ 2） 2lg 2 lg3 .3 2 2lg 2【分析】lg 243. （ 2）教材 P74 第 3 题。
人教版(新教材)高中数学必修1(第一册)学案：4.3.2 对数的运算
4．3.2 对数的运算学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．知识点一 对数运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 知识点二 换底公式1．log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．2．对数换底公式的重要推论：(1)log a N ＝1log N a (N >0，且N ≠1；a >0，且a ≠1)；(2)log n m a b ＝mnlog a b (a >0，且a ≠1，b >0)；(3)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a >0，b >0，c >0，d >0，且a ≠1，b ≠1，c ≠1)． 预习小测 自我检验1．计算log 84＋log 82＝________. 『答 案』 12．计算log 510－log 52________. 『答 案』 13．(1)lg 10＝________；(2)已知ln a ＝0.2，则ln ea ＝________.『答 案』 (1)12 (2)0.84.log 29log 23＝________. 『答 案』 2一、对数运算性质的应用 例1 计算下列各式： (1)log 53625；(2)log 2(32×42)； (3)log 535－2log 573＋log 57－log 595.解 (1)原式＝13log 5625＝13log 554＝43.(2)原式＝log 232＋log 242＝5＋4＝9.(3)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2. 反思感悟 对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 跟踪训练1 计算下列各式的值： (1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2； (2)lg3＋25lg9－35lg 27lg81－lg27.解 (1)原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2 ＝lg10(lg5－lg2)＋2lg2 ＝lg5－lg2＋2lg2 ＝lg5＋lg2＝1.(2)原式＝lg3＋45lg3－910lg34lg3－3lg3＝⎝⎛⎭⎫1＋45－910lg3(4－3)lg3＝910. 二、对数换底公式的应用例2 (1)计算：(log 43＋log 83)log 32＝________. 『答 案』 56『解 析』 原式＝⎝⎛⎭⎫1log 34＋1log 38log 32 ＝⎝⎛⎭⎫12log 32＋13log 32log 32 ＝12＋13＝56. (2)已知log 189＝a ,18b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示) 解 因为18b ＝5，所以b ＝log 185. 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(2×18)＝log 185＋log 189log 182＋log 1818＝a ＋b 1＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a .延伸探究若本例(2)条件不变，求log 915.(用a ，b 表示) 解 因为18b ＝5，所以log 185＝b . 所以log 915＝log 1815log 189＝log 18(3×5)log 189＝log 183＋log 185a ＝log 189＋ba＝1218log9ba＝12log189＋ba＝12a＋ba＝a＋2b2a.反思感悟 利用换底公式化简与求值的思路跟踪训练2 (1)log 89log 23的值是( )A.23B.32C ．1D ．2 『答 案』 A『解 析』 方法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数， 即log 89log 23＝lg9lg8lg3lg2＝2lg33lg2·lg2lg3＝23. 方法二 将分子利用换底公式转化为以2为底的对数， 即log 89log 23＝log 29log 28log 23＝2log 233log 23＝23. (2)计算：log 52·log 79log 513·log 734.解 原式＝log 52log 513·log 79log 73423122114233log 2log log 23log 3==⋅＝－12·log 32·3log 23＝－32.三、对数的综合应用例3 2018年我国国民生产总值为a 亿元，如果平均每年增长8%，估计约经过多少年后国民生产总值是2018年的2倍？(lg2≈0.3010，lg1.08≈0.0334，精确到1年) 解 设经过x 年后国民生产总值为2018年的2倍． 经过1年，国民生产总值为a (1＋8%)， 经过2年，国民生产总值为a (1＋8%)2， …，经过x 年，国民生产总值为a (1＋8%)x ＝2a ， 所以1.08x ＝2，所以x ＝log 1.082＝lg2lg1.08＝0.30100.0334≈9，故约经过9年后国民生产总值是2018年的2倍． 反思感悟 解决对数应用题的一般步骤跟踪训练3 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (单位：m/s)和燃料的质量M (单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m (单位：kg)满足e v ＝⎝⎛⎭⎫1＋Mm 2000(e 为自然对数的底数，ln3≈1.099)．当燃料质量M 为火箭(除燃料外)质量m 的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．解 因为v ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm 2000 ＝2000·ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ， 所以v ＝2000·ln3≈2000×1.099＝2198(m/s)．故当燃料质量M 为火箭质量m 的两倍时，火箭的最大速度为2198m/s.1．计算：log 123＋log 124等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 『答 案』 A2．若lg2＝m ，则lg5等于( ) A ．m B.1m C ．1－m D.10m『答 案』 C 『解 析』 lg 5＝lg102＝lg 10－lg 2＝1－m . 3．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．62B ．122C ．log 63D.12『答 案』 C『解 析』 原式＝log 612－log 62＝log 6122＝log 6 3. 4．下列各等式正确的为( ) A ．log 23·log 25＝log 2(3×5) B ．lg3＋lg4＝lg(3＋4) C ．log 2xy＝log 2x －log 2yD ．lg nm ＝1n lg m (m >0，n >1，n ∈N *)『答 案』 D『解 析』 A ，B 显然错误，C 中，当x ，y 均为负数时，等式右边无意义． 5．计算：log 513·log 36·log 6125＝________.『答 案』 2『解 析』 原式＝lg 13lg5·lg6lg3·lg 125lg6＝－lg3lg5·lg6lg3·－2lg5lg6＝2.1．知识清单： (1)对数的运算性质． (2)换底公式． (3)对数的实际应用． 2．方法归纳：(1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算，加快计算速度． (2)利用结论log a b ·log b a ＝1，log n m a b ＝m n log a b 化简求值更方便．3．常见误区：要注意对数的运算性质(1)(2)的结构形式，易混淆．。
人教版高中数学必修一学案：《对数与对数运算》(含答案)
2.2.1 对数与对数运算(二)自主学习1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么，(1)log a (MN )＝______________；(2)log a M N＝____________；(3)log a M n ＝__________(n ∈R )．2．对数换底公式：________________________.对点讲练正确理解对数运算性质【例1】 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( )①log a x ＋ log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a x y＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y . A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个规律方法 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．变式迁移1 (1)若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x(2)对于a >0且a ≠1，下列说法中正确的是( )①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ；②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①③B ．②④C ．②D ．①②③④对数运算性质的应用【例2】 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1.变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.换底公式的应用【例3】 设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值．规律方法 换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法．解题过程中换什么样的底应结合题目条件，并非一定用常用对数、自然对数．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 142＝a ，用a 表示log 27.1．对于同底的对数的化简要用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．4．要充分运用“1”的对数等于0，底的对数等于“1”等对数的运算性质．5．两个常用的推论：(1)log a b ·log b a ＝1；(2)log am b n ＝n mlog a b (a 、b >0且均不为1)．课时作业一、选择题1．lg 8＋3lg 5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．32．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36等于( )A.a ＋b aB.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg a b 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.144．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．计算2log 525＋3log 264－8log 71的值为( )A ．14B ．8C ．22D ．27二、填空题6．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，那么lg 1.8＝______________.7．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝____________.三、解答题8．求下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.9．已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365.2.2.1 对数与对数运算(二) 答案自学导引1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N(3)n log a M2．log a b ＝log c b log c a对点讲练【例1】 A [对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．] 变式迁移1 (1)A(2)C [在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立． 在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立． 在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有 M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立． 所以，只有②成立．]【例2】 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2－1)2＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7) ＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.【例3】 解 由已知分别求出x 和y .∵3x ＝36,4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得：x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364 ＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.变式迁移3 解 (1)利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝2， ∴lg m ＝2lg 3，于是m ＝9.(2)由对数换底公式，得log 27＝log 27log 22＝log 2712＝2log 27＝2(log 214－log 22) ＝2(1a －1)＝2(1－a )a. 课时作业1．D [lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg 53＝lg 1 000＝3.]2．B [log 36＝lg 6lg 3＝lg 2＋lg 3lg 3＝a ＋b b.] 3．A [由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12， ∴⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.] 4．A [由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，则1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13.] 5．C6.a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg 1.8 ＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg 2＋lg 9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．2解析 由log 63＋log 6x＝0.613 1＋0.386 9＝1.得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2.8．解 (1)方法一 原式＝12(5 lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5 ＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12. (2)方法一 原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 10·lg 52＋lg 4＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4＝lg 10＝1. 方法二 原式＝(lg 10－lg 2)2＋2lg 2－lg 22＝1－2lg 2＋lg 22＋2lg 2－lg 22＝1.9．解 ∵18b ＝5，∴log 185＝b,又∵log 189＝a ，∴log 365＝log 185lg 1836＝b log 18(18×2) ＝b 1＋log 182＝b 1＋log 18189 ＝b 1＋(1－log 189)＝b 2－a.。
对数的概念导学案
4.3.1 对数的概念导学案【学习目标】1. 理解对数的概念，了解对数运算与指数运算的互逆关系，及常用对数和自然对数.2. 掌握对数式和指数式的互化.3.通过指数与对数的互化培养学生的逆向思维.一、导：预习课本P122—P123，理清概念并完成下面问题。
（5分钟）问1：什么是对数？什么是常用对数和自然对数？问2：对数与指数之间如何实现互化？问3：对数的两个结论是什么？如何证明？二、思、议、展(10分钟)思考1：(1)式子log m N中，底数m的范围是什么？(2)对数式log a N是不是log a与N的乘积？【基础自测】1．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有()A．log2M＝a B．log a M＝2 C．log22＝M D．log2a＝M2．若log3x＝3，则x＝()A．1 B．3 C．9 D．273．在b＝log a(5－a)中，实数a的取值范围是()A．a>5或a<0 B．0<a<1或1<a<5 C．0<a<1 D．1<a<54.下列说法正确的有( )A. 零和负数没有对数B. 任何一个指数式都可以化成对数式C. 以10为底的对数叫作常用对数D. 以e为底的对数叫作自然对数探究一：指数与对数的互化（10分钟）例1. 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．①53＝125；②4－2＝0.0625；③73.551=⎪⎭⎫ ⎝⎛m ；④664log 21-=；⑤lg100＝2；⑥ln1=0例2. 求下列各式中x 的值（1）31log 8-=x （2）627log =x （3）lg10=x （4）-ln e 3＝x三、评（5分钟）四、检：完成课本P123练习1，2，3及下列当堂检测题.（10分钟）1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A. 01e =与ln10=B. 3log 92=与1293=C. 1 3182-=与811log 23=- D. 7log 71=与177= 2.若0a >,且0,0a c ≠>,则将b a c =化为对数式为( )A. log a b c =B. log a c b =C. log b c a =D. log c a b =3.已知()23409=>a a ，则23log =a ( )A. 2B.3C.12D.13 4.ln e=____，lg1=____.5.已知log 2,log 3a a m n ==,则2m n a +=__________.6.=822log ________，=8log 22_________.。
人教课标版高中数学必修一《对数与对数运算(第2课时)》教案-新版
2.2.2 对数与对数运算（第2课时）一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解简单对数的运算以及简单对数式的化简，学好对数运算性质是学好对数函数的关键，增强学生的成就感,增强学生学习的积极性. （二）学习目标1．理解对数的运算性质;能熟练运用对数的运算性质进行化简、计算、证明. 2．让学生经历并推导出对数的运算性质并加以记忆; （三）学习重点掌握对数的运算性质及其推导过程，依据对数性质进行对数运算 （四）学习难点对数的运算性质及其推导过程 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务读一读：阅读教材64-65页完成下列任务：(1)类比指数运算性质能得出其相应对数运算性质,并写出推导过程; (2)写出对数三条的运算性质及其各字母的取值范围并加以记忆. ①N M MN a a a log log log += ②N M NMa a alog log log -= ③)0,0,1,0(log log >>≠>=N M a a M n M a n a 2．预习自测（1）25log 20lg 100+的值为（ ） A.2 B.-2C.21D.21-答案：A. (2)8log 932log 2log 2333+-的值为（ ） A.21 B.2 C.3D.31 答案：B.(3)已知,23=a 用a 表示6log 4log 33-为_________. 答案：1-a . (二)课堂设计 1．知识回顾),0,0()(),,0()(),,0(R r b a b a ab R s r a a a R s r a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>=∈>=∈>=+2．问题探究探究一 对数运算性质的探究●活动① 提出问题，对数与指数的关系及指数运算法则各是怎样的？N a b = ⇔ b N a =l o g （R b N a a ∈>≠>,0,1,0）【设计意图】引导学生根据指数的运算性质大胆尝试推导对数的运算性质，提高学生的建构能力和主动探究能力.●活动② 利用指数对数关系及指数的运算法则推导出对数的运算法则，以指数运算的第一个性质为例证明：q p a a a N a M q N p M ==∴==,log ,log 设MN q p a a a MN a q p q p log =+∴=∙=+MN N M a a a log log log =+【设计意图】规律总结，指出推导的关键是完成指数运算向对数运算的过渡． ●活动③ 理解并掌握对数的运算性质①N M MN a a a log log log += ②N M NMa a alog log log -= ③)0,0,1,0(log log >>≠>=N M a a M n M a n a 引导学生判断下列式子是否正确①)5(log )3(log )]5()3[(log 222-+-=-⨯-（错误） ②10log 210log 10210=（正确） ③N M MN a a a log log )(log ∙=（错误） ④N M N M a a a log log )(log +=+（错误）【设计意图】巩固对数的运算性质，提高学生发散思维及分析问题的能力． 探究二●活动① 基础型例题 例1．求下列各式的值：（1）352log (24)⨯ （2）125log 5 （3）2.1lg 12lg 23lg -+（4）22log log 【知识点】对数的运算性质． 【数学思想】转换与化归思想.【解题过程】（1）134log 534log 2log )42(log 25232532=+=+=⨯.（2）3555log 125log 53log 53===. （3）lg32lg 21lg3lg 41lg1.2lg1.2+-+-=lg1.21lg1.2==.（4）22log log2log =22log log 42===.【思路点拨】对数的运算性质.【答案】（1）13 ; （2）3 ; （3）1 ; （4）2.同类训练 求下列各式的值： (1)14log 501log 2log 235log 55215--+ (2)()2336618log 4log log 6+答案：（1）2;（2）1.解析：【知识点】对数的运算性质． 【数学思想】转换与化归思想. 【解题过程】21)145035(log 14log 50log 2log 35log 14log 501log 2log 235log )1(5552555215=-÷⨯=-+-=--+()()()()2366623666622236666266(2)原式log 2log 18log log 2(log 22log 3)log log 2log 2log 3log (log 3log 2)1=⋅+=⋅++=+⋅+=+=点拨：对数的运算性质.例2．计算(1)427125log 9log 25log 16⋅⋅（2）421938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++答案：（1）98 ; （2）25.解析：【知识点】对数的运算性质． 【数学思想】转换与化归思想. 【解题过程】（1）原式985lg 32lg 43lg 35lg 22lg 23lg 2125lg 16lg 27lg 2514lg 9lg =⨯⨯=⨯⨯=g （2）原式=254523652log 45)2log 212(log )3log 313log 21(23322=+⨯=++⋅+.点拨：对数的运算性质.同类训练 已知b a ==7log ,3log 32, 用b a ,表示56log 42. 答案：31ab ab a +++.解析：【知识点】对数的运算性质． 【数学思想】转换与化归思想. 【解题过程】aa 12log ,3log 32=∴= 23334233333log (78)log 73log 3log 56log (237)log 2log 3log 711b ab a ab a b a+⨯++∴====⨯⨯++++++. 点拨：对数的运算性质. ●活动2 提升型例题 例3（1）1052==b a ,求ba 11+的值; （2）设3log 22=x ，求xx xx --+-222233的值．【知识点】对数的运算性质． 【数学思想】转换与化归思想.【解题过程】,10log ,10log ,1052)1(52==∴==b a b a15lg 2lg 11=+=+∴ba. 22log 22log 3,log 2=（）由得a Nxx x aN==∴=61331333133222233=+-=+-∴--xx x x . 【思路点拨】对数的运算性质. 答案：(1)1;(2)613. 同类训练 求下列各式的值：设410=a ，5lg =b ，求b a -210的值 ． 答案：516. 解析：【知识点】对数的运算性质． 【数学思想】转换与化归思想.【解题过程】由5lg =b ，得510=b ，∴ 516102=-b a .点拨：对数的运算性质. ●活动3 探究型例题例4.对于函数)32(log )(221+-=ax x x f ，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围. 答案：（1）)3,3(-;（2）),3[]3,(+∞--∞ . 解析：【知识点】对数的运算性质，二次函数的性质． 【数学思想】函数思想【解题过程】222233令()()u g x x ax x a a ==-+=-+-，(21030（）对恒成立 的取值范围是min u x R u a x a >∈∴=->⇒<<∴（2）由u 21log 的值域为R ，即)(x g u =能取遍（0，+)∞的一切值．)(x g u = 的值域为),0(),3[2+∞⊇+∞-a ，∴ 命题等价于33032min ≥-≤⇒≤-=a a a u 或， ∴ a 的取值范围是),3[]3,(+∞--∞ . 点拨：对数的运算性质.同类训练 已知函数f(x)=x 2-2ax+3（1)若函数的定义域为),3()1,(+∞⋃-∞，求实数a 的值; （2)若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值.答案：（1）2;（2）±1.解析：【知识点】对数的运算性质．【数学思想】数形结合思想，函数与方程思想. 【解题过程】由定义域的概念知，命题等价于 （1）不等式0322>+-ax x 的解集为{}31><x x 或，∴3,121==x x 是方程0322=+-ax x 的两根，2322121=∴⎩⎨⎧=⋅=+a x x a x x∴即a 的值为2.（2）函数的值域为]1,(--∞,即)(x g 的值域为),2[+∞， ∵)(x g 的值域是),3[2+∞-a ,∴命题等价于123)(2min ±=⇒=-=a a x g , 即a 的值为±1. 点拨：对数的运算性质 3.课堂总结 知识梳理①N M MN a a a log log log += ②N M NMa a alog log log -= ③)0,0,1,0(log log >>≠>=N M a a M n M a n a 重难点归纳掌握对数的运算性质及其推导过程，依据对数性质进行对数运算 （三）课后作业 基础型 自主突破 1.(1)=-3log 6log 22______; (2)=-15log 5log 33______; (3)=+31log 75log 55_______; (4)=+-)32(log 32_______.答案：（1）1;（2）－1;（3）2;（4）－1. 解析：【知识点】对数的运算． 【数学思想】转换与化归思想.【解题过程】对数的运算性质的灵活运用. 点拨：对数的运算性质的灵活运用．2.若12010log 3=x ,则=+-x x 20102010（ ）A.310 B.6C.38D.316 答案：A.解析：【知识点】对数的运算． 【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】对数的运算性质的灵活运用.点拨：31020102010,3log ,12010log 20103=+∴=∴=-x x x x . 3.已知m>0,且,1lg )10lg(10mm x +=则x 等于________. 答案：0.解析：【知识点】对数的运算． 【数学思想】函数与方程思想 【解题过程】01011lg)10lg(=∴==+x mm x . 点拨：对数的运算性质的灵活运用. 4.计算3log 2333558log 932log 2log 2-+-的结果. 答案：-7.解析：【知识点】对数的运算． 【数学思想】转化与化归思想. 【解题过程】79)83294(log 3-=-⨯⨯=原式 点拨：对数的运算性质的灵活运用.5．计算：(1)18lg 7lg 37lg 214lg -+- （2）2lg 236.0lg 23lg 2lg 2+++答案：（1）0（2）21． 解析：【知识点】对数运算性质． 【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】（1）原式=01lg 18)37(714lg18lg 7lg )37lg(14lg 22==⨯⨯=-+- （2）原式=213lg 22lg 43lg 2lg 22lg 2236lg 23lg 2lg 2=++=+-++点拨：对数运算性质的灵活应用．6.若,ln ln a y x =-则33)2ln(2ln y x -⎪⎭⎫⎝⎛等于（ ）A.2aB.aC.23a D.a 3 答案：D.解析：【知识点】对数的运算． 【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】a y x y x 3)ln (ln 3)2ln(2ln 33=-=-⎪⎭⎫⎝⎛点拨：对数运算性质的灵活应用． 能力型 师生共研 7.设,52m b a ==且,211=+ba 则m 等于（ ） A.10 B.10 C.20 D.100 答案：A.解析：【知识点】对数的运算． 【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】m b m a m b a 52log ,log ,52==∴==101025log 2log 112=∴=∴=+=+∴m m ba m m 点拨：对数运算性质的灵活应用．8. 若正数b a ,满足2362log 3log log ()a b a b +=+=+,则ba 11+的值为（ ） A ．36 B ．72 C ．108 D ．721 答案：C.解析：【知识点】对数运算性质． 【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】设2362log 3log log ()=a b a b k +=+=+,所以有k k k b a b a 6,327,24=+==,所以b a ab k k k +==⨯=632108即10811=+ba . 点拨：对数运算性质的灵活应用，对数与指数的关系． 探究型 多维突破9.求值n n n 32log )3log ...27log 9log 3(log 92842++++ 答案：25. 解析：【知识点】对数运算性质． 【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】∵ 3l o g 3l o g 22=n n , ∴ 原式＝252log 3log 32log 3log 532922==n n 点拨：对数运算性质的灵活应用．10.已知a lg 和b lg 是关于x 的方程02=+-m x x 的两个根，而关于x 的方程0)lg 1()(lg 2=+--a x a x 有两个相等的实数根，求实数b a ,和m 的值. 答案：6,1000,1001-===m b a 解析：【知识点】对数运算性质．【数学思想】函数与方程.【解题过程】由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧=++=⋅=+0)lg 1(4)(lg lg lg 1lg lg 2a a m b a b a 6,1000,1001-===∴m b a 点拨：对数运算性质的灵活应用．自助餐1．已知y x 32=,则=y x ________. 答案：lg3lg 2. 解析：【知识点】对数运算性质.【数学思想】转化与化归思想. 【解题过程】2lg 3lg 3lg 2lg 3lg 2lg =∴=∴=y x y x y x . 点拨：对数运算性质的灵活应用．2.已知,lg x a =则=+3a ( )A.)3lg(xB.)3lg(x +C.3lg xD.)1000lg(x答案：D.解析：【知识点】对数运算性质．【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】由已知)1000lg(1000lg lg 3lg 3x x x a =+=+=+. 点拨：对数运算性质的灵活应用． 3.=---233)12(lg )150(lg ( )A.5lg 2B.0C.1-D.5lg 2-答案：B.解析：【知识点】对数运算性质．【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】由于,012lg ,0150lg <->-所以原式0)2lg 1(150lg =---= 点拨：对数运算性质的灵活应用．4.已知集合},2{},41{A x x y y B x x A ∈-==<<=,-==+2{ln }1x C x y x , 则集合=⋂C B （ ） A.}11{<<-x x B.}11{≤≤-x x C. }21{<<-x x D.{}21≤<-x x答案：A.解析：【知识点】对数运算性质．【数学思想】转化与化归思想. 【解题过程】由已知}21{},12{<<-=<<-=x x C y y B 所以}11{<<-=⋂x x C B .点拨：对数运算性质的灵活应用． 5.=----+3232)827()32(log ________. 答案：913-. 解析：【知识点】对数运算性质．【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】因为32132+=-，所以1)32(log 32-=-+，所以原式=913- 点拨：对数运算性质的灵活应用．6.10054==b a 设，的值求)21(2ba +. 答案：2.解析：【知识点】对数运算性质．【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】对两边同时取以10为底的对数， 得2)21(25lg 2,4lg 225lg 4lg =+∴==∴==ba b a b a . 点拨：对数运算性质的灵活应用．。
高中数学《对数的运算》导学案
第2课时 对数的运算1．对数运算性质如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么， (1)□1log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)□2log a M N ＝log a M －log a N ； (3)□3log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 2．换底公式(1)对数的换底公式：□4log a b ＝log c b log c a (a >0且a ≠1；c >0且c ≠1；b >0)．(2)三个较为常用的推论： ①□5log a b ·log b c ·log c a ＝1； ②□6log a b ＝1log ba ；③□7log a m b n ＝n m log a b (a ，b >0，且均不为1)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( ) (2)log a (xy )＝log a x ·log a y .( ) (3)log 2(－5)2＝2log 2(－5)．( ) (4)由换底公式可得log a b ＝log (－2)blog (－2)a .( )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．做一做(1)(教材改编P 68T 3)log 325－log 35＝________.(2)(教材改编P 68T 3)lg 8＋lg 53＝________.(3)若lg 5＝a ，lg 7＝b ，用a ，b 表示log 75＝________. 答案 (1)log 35 (2)3 (3)ab『释疑解难』(1)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．(2)对数运算性质的实质就是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算，使用时要注意公式的适用条件．(3)只有当式子中所有的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立．如log 2[(－3)·(－5)]是存在的，但log 2(－3)与log 2(－5)均不存在，故不能写成log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)．(4)注意下列式子不一定成立：log a (MN )≠log a M ·log a N ，log a (M ±N )≠log a M ±log a N ，log a M N ≠log a Mlog aN ，log a M n ≠(log a M )n .(5)逆向运用对数的运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简，如：lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.(6)运算法则(1)可推广到若干个正因数积的对数，即log a (M 1·M 2·M 3·…·M k )＝log a M 1＋log a M 2＋log a M 3＋…＋log a M k ，a >0，且a ≠1，M k >0，k ∈N *.(7)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义． (8)换底公式的意义就在于改变对数式的底数，把不同底数的问题转化为同底数的问题进行化简、计算或证明．(9)换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底数，要由具体的已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数．探究1 对数运算性质的应用例1 若a >0，且a ≠1，x >y >0，n ∈N *，则下列各式： ①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a (xy )＝log a x ·log a y ；④log a x log a y ＝log a xy ；⑤(log a x )n＝log a x n；⑥log a x ＝－log a 1x ；⑦log a x n ＝log a nx ；⑧log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y .其中式子成立的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析 对于①，取x ＝4，y ＝2，a ＝2，则log 24·log 22＝2×1＝2，而log 2(4＋2)＝log 26≠2，①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )不成立；对于①，取x ＝8，y ＝4，a ＝2，则log 28－log 24＝1≠log 2(8－4)＝2，①log a x －log a y ＝log a (x －y )不成立；对于①，取x ＝4，y ＝2，a ＝2，则log 2(4×2)＝log 28＝3，而log 24·log 22＝2×1＝2≠3，①log a (xy )＝log a x ·log a y 不成立；对于①，取x ＝4，y ＝2，a ＝2，则log 24log 22＝2≠log 242＝1，①log a xlog ay ＝log a xy 不成立；对于①，取x ＝4，a ＝2，n ＝3，则(log 24)3＝8≠log 243＝6，①(log a x )n ＝log a x n 不成立；①成立，由于－log a 1x ＝－log a x －1＝log a (x －1)－1＝log a x ； ①成立，由于log anx ＝log a x 1n ＝1nlog a x ；⑧成立，由于log a x －y x ＋y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y x －y －1＝－log a x ＋yx －y . 答案 A例2 化简：(1)4lg 2＋3lg 5－lg 15； (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2； (3)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53； (4)log 28＋43＋log 28－4 3. 解 (1)原式＝lg 24×5315＝lg 104＝4.(2)原式＝lg (33)12 ＋lg 23－3lg 1012lg 3×2210＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32.(3)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3＝5log 32－(5log 32－2)－3＝－1.(4)原式＝log 2(8＋43·8－43)＝log 24＝2. 拓展提升对数式化简与求值的原则和方法(1)基本原则对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． (3)要注意一些常见的结论，如lg 2＋lg 5＝1，lg 1a ＝－lg a 等．【跟踪训练1】 计算：(1)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2； (2)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8； (3)log 2748＋log 212－12log 242－1.解 (1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.(2)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2.(3)原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22＝log 27×1248×42×2＝log 2122＝log 22－32 ＝－32.探究2 换底公式的应用 例3 计算：(1)(log 43＋log 83)lg 2lg 3；(2)(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．解 (1)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8lg 2lg 3＝lg 32lg 2·lg 2lg 3＋lg 33lg 2·lg 2lg 3＝12＋13＝56.(2)解法一：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·3log 52 ＝13log 25·log 22log 25＝13.解法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125 ＝⎝⎛⎭⎪⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5 ＝13lg 53lg 2·3lg 2lg 5 ＝13.解法三：原式＝(log 253＋log 2252＋log 2351)(log 52＋log 5222＋log 5323) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log 25＋log 25＋13log 25(log 52＋log 52＋log 52)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·3log 52 ＝133×3 ＝13.拓展提升换底公式在求值中的应用利用对数的换底公式能够将不同底的对数化为常用对数或自然对数或同底的对数，即可用对数的运算性质来解决对数求值问题，同时要注意换底公式的逆用和变形应用．【跟踪训练2】 计算：(1)log 23×log 34×log 45×log 56×log 67×log 78； (2)log 52·log 79log 513·log 734＋log 2(3＋5－3－ 5)．解 (1)原式＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×lg 5lg 4×lg 6lg 5×lg 7lg 6×lg 8lg 7＝lg 8lg 2＝3lg 2lg 2＝3. (2)原式＝log 52log 513·log 79log 734＋log 4(3＋5－ 3－5)2＝log 132·log 349＋log 4(6－232－5)＝log 132 12·3log 2232＋log 4(6－2×2)＝－12·log 32·3log 23＋log 42 ＝－32＋12log 22 ＝－32＋12 ＝－1.探究3 对数式的条件求值问题例4 已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 3645. 解 解法一：∵18b ＝5，∴log 185＝b ，又log 189＝a ， ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b2－a . 解法二：∵log 189＝lg 9lg 18＝a ，∴lg 9＝a lg 18， 同理得lg 5＝b lg 18，∴log 3645＝lg 45lg 36＝lg (9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a. 解法三：∵log 189＝a ，∴log 18182＝1－log 182＝a ， ∴log 182＝1－a .∵18b ＝5，∴log 185＝b ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b2－a .解法四：∵log 189＝a ，∴18a ＝9. 又18b ＝5，∴45＝5×9＝18b ·18a ＝18a ＋b . 令log 3645＝x ，则36x ＝45＝18a ＋b ，即⎝⎛⎭⎪⎫183×183x ＝18a ＋b,182x ＝9x ·18a ＋b . ∵18a ＝9，∴182x ＝(18a )x ·18a ＋b ＝18ax ·18a ＋b ＝18ax ＋a ＋b . ∴2x ＝ax ＋a ＋b ，∴x ＝a ＋b 2－a ，即log 3645＝a ＋b2－a. 拓展提升指数与对数式的转化是解题关键对数式的证明和对数式的化简的基本思路是一致的，就是根据对数的运算性质和换底公式对对数式化简，此题巧妙引入辅助量，顺利完成指数与对数的转化是解题的关键．带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．【跟踪训练3】 已知a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z ＝0，求abc 的值．解 解法一：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，∴x ＝log a t ，y ＝log b t ，z ＝log c t ， ∴1x ＋1y ＋1z ＝1log a t ＋1log b t ＋1log ct ＝log t a ＋log t b ＋log t c ＝log t (abc )＝0，∴abc ＝t 0＝1，即abc ＝1.解法二：∵a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ， ∴令a x＝b y＝c z＝t >0，∴x ＝lg t lg a ，y ＝lg t lg b ，z ＝lg tlg c ，∴1x ＋1y ＋1z ＝lg a lg t ＋lg b lg t ＋lg c lg t ＝lg a ＋lg b ＋lg c lg t . ∵1x ＋1y ＋1z ＝0，且lg t ≠0，∴lg a ＋lg b ＋lg c ＝lg (abc )＝0，∴abc ＝1.1.对数的运算性质(1)在运算过程中避免出现以下错误： log a (MN )＝log a M ·log a N .log a M N ＝log a M log a N .log a N n ＝(log a N )n . log a M ±log a N ＝log a (M ±N ).(2)要特别注意它的前提条件：a >0，a ≠1，M >0，N >0，尤其是M ，N 都是正数这一条件，否则M ，N 中有一个小于或等于0，就导致log a M 或log a N 无意义，另外还要注意，M >0，N >0与M ·N >0并不等价.2.换底公式(1)由换底公式可得如下结论：①log a n b n ＝log a b ；②log a m b n ＝nm log a b ；③log a b ·log b a ＝1；④log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .(a ，b ，c >0且a ，b ，c ≠1，d >0)(2)换底公式及其推论在解题中有广泛的应用，具体地讲，就是将底不同的对数转换成底相同的对数进行化简、计算和证明．换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底，要由具体已知的条件来确定，一般地换成以10为底的常用对数.1．若a >0，且a ≠1，x ∈R ，y ∈R ，且xy >0，则下列各式不恒成立的是( )①log a x 2＝2log a x ；②log a x 2＝2log a |x |；③log a (xy )＝log a x ＋log a y ；④log a (xy )＝log a |x |＋log a |y |.A ．②④B ．①③C ．①④D ．②③ 答案 B解析 ∵xy >0，∴①中若x <0则不成立；③中若x <0，y <0也不成立，故选B.2．计算log 916×log 881的值为( ) A ．18 B.118 C.83 D.38 答案 C解析 log 916×log 881＝lg 16lg 9×lg 81lg 8＝4lg 22lg 3×4lg 33lg 2＝83，故选C. 3．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36＝( ) A.a ＋b a B.a ＋b b C.a a ＋b D.b a ＋b答案 B解析 log 36＝lg 6lg 3＝lg 2＋lg 3lg 3＝a ＋bb ，故选B.4．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则log a 18＝________(用m ，n 表示)．答案 m ＋2n解析 log a 18＝log a (2×32)＝log a 2＋log a 32＝log a 2＋2log a 3＝m ＋2n .5．计算(33)23 ＋log 2(log 216)＋(5－log 513 )2. 解 (33) 23 ＋log 2(log 216)＋(5－log 513 )2＝(3×312) 23＋log 24＋(5log 53)2＝(332) 23＋2＋32＝3＋2＋9 ＝14.A 级：基础巩固练一、选择题1．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 C解析 2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2. 2．如果lg x ＝lg a ＋3lg b －5lg c ，那么( ) A ．x ＝ab 3c 5 B ．x ＝3ab5c C ．x ＝a ＋3b －5c D ．x ＝a ＋b 3－c 3答案 A解析 ∵lg x ＝lg a ＋3lg b －5lg c ＝lg a ＋lg b 3－lg c 5＝lg ab 3c 5，∴x＝ab 3c 5.3．化简log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 23132等于( ) A ．5 B ．4 C ．－5 D ．－4 答案 C解析 原式＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×34×…×3132＝log 2132＝－5. 4．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则1x －1y ＝( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 答案 A解析 ∵x ＝log 2.51000＝3lg 2.5，y ＝log 0.251000＝3lg 0.25，∴1x －1y ＝13(lg 2.5－lg 0.25)＝13×lg 2.50.25＝13×lg 10＝13.5．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2的值等于( )A ．2 B.12 C ．4 D.14 答案 A解析 由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ＝22－4×12＝2.二、填空题6．log 34273＋lg 25＋lg 4＋7log 72＝________.答案 154解析 原式＝log 3334 3＋lg (25×4)＋2＝log 33－14 ＋lg 102＋2＝－14＋2＋2＝154.7．化简(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________. 答案 54解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 23log 24＋log 23log 28×⎝ ⎛⎭⎪⎫1log 23＋1log 232 ＝56log 23×32log 23＝54.8．汶川里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关. 震级M ＝23lg E －3.2，其中E (焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹的能量．答案 1000解析 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E 2，E 1， 则8－6＝23(lg E 2－lg E 1)，即lg E 2E 1＝3.∴E 2E 1＝103＝1000，即汶川大地震所释放的能量相当于1000颗广岛原子弹的能量．三、解答题 9．(1)计算：log327＋lg 4＋lg 25； (2)lg 5(lg 8＋lg 1000)＋(lg 23)2＋lg 16＋lg 0.06；(3)2log 214＋⎝ ⎛⎭⎪⎫169－12 ＋lg 20－lg 2－(log 32)×(log 23)＋(2－1)lg 1.解 (1)原式＝log3(3)6＋2lg 2＋2lg 5＝6＋2(lg 2＋lg 5)＝8.(2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2 ＝3lg 5×lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2 ＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝3(lg 2＋lg 5)－2＝1.(3)原式＝14＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫432－12 ＋lg 202－lg 2lg 3 ·lg 3lg 2＋1＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－1＋lg 10－1＋1＝2.B 级：能力提升练10．设a ，b ，c 为正数，且满足a 2＋b 2＝c 2.(1)求证：log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b ＋c a ＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a －c b ＝1； (2)如果log 4⎝⎛⎭⎪⎫1＋b ＋c a ＝1，log 8(a ＋b －c )＝23，那么a ，b ，c 的值是多少？解 (1)证明：左边＝log 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋b ＋c a ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋a －c b ＝log 2(a ＋b )2－c 2ab ＝log 2(a ＋b )2－(a 2＋b 2)ab ＝log 22 ＝1 ＝右边．(2)由log 4a ＋b ＋ca ＝1，得－3a ＋b ＋c ＝0，① 由log 8(a ＋b －c )＝23，得a ＋b －c ＝4，② 由题设知a 2＋b 2＝c 2，③ 由①＋②，得b －a ＝2，④由①得c ＝3a －b ，代入③得a (4a －3b )＝0， 因为a >0，所以4a －3b ＝0，⑤ 由④⑤得a ＝6，b ＝8，则c ＝10.。
新人教A版必修1高中数学2.2.1-2对数与对数运算导学案
高中数学 2.2.1-2对数与对数运算导学案新人教A 版必修1学习目标：掌握对数的运算性质 学习重点：对数的运算 学习过程： 一、 理论学习 对数的运算性质：如果0,01,0>>≠>N M a a ，且，那么： （1）N M N M a a a log log )(log +=∙ （2）N M NMa a alog log log -= （3）)(log log R n M n M a n a ∈=（4）)0(log log ≠∈=b R n b M bn M a n a b，、（5）)1,(log log log ≠∈=a R cb a abb c c a 、、 二、 实践应用 1、求下列各式的值（1）=⨯)24(log 572 （2）=5100lg（3）=⨯)927(log 23 （4）=2100lg（5）=00001.0lg （6）=e ln(7)=-3log 6log 22(8)=+2lg 5lg(9)=+31log 3log 55(10)=-15log 5log 33(11)=+25.0log 10log 255（12）=-64log 325log 225（13）=)16(log log 22（14）=)25(log log 5412、已知b a ==3lg ,2lg ，求下列各式的值 （1）=6lg （2）=4log 3（3）=12log 2 （4）=23lg3、化简下列各式： （1）=⋅a c c a log log（2）=⋅⋅⋅2log 5log 4log 3log 5432（3）=++)2log 2)(log 3log 3(log 9384三、课后反思计算题1、 lg 5·lg 8000＋06.0lg 61lg )2(lg 23++.2、 求x 的值lg 2(x ＋10)－lg(x ＋10)3=4.3、求x 的值23log 1log 66-=x .4、求x 的值9-x －2×31-x =27.5、求x 的值x )81(=128.6、求x 的值5x+1=123-x .7、10log 5log )5(lg )2(lg 2233++·.10log 188、 (1)lg 25+lg2·lg50; (2)(log 43+log 83)(log 32+log 92). 9、求121log 8.0--=x x y 的定义域.10、log 1227=a,求log 616.11、求log 927的值.12、设3a =4b =36,求a 2＋b1的值.13、求x 的值log 2(x －1)+log 2x=114、求x 的值4x +4-x －2x+2－2-x+2+6=015、求x 的值24x+1－17×4x +8=016、求x 的值log 2(x －1)=log 2(2x+1) 17、求x 的值log 2(x 2－5x －2)=218、求x 的值log 16x+log 4x+log 2x=719、求x 的值log 2[1+log 3(1+4log 3x)]=120、求y 的值lg(y －1)－lgy=lg(2y －2)－lg(y+2)21、求x的值lg(x2+1)－2lg(x+3)+lg2=022、求x的值lg2x+3lgx－4=0。
高中数学 2.2.1对数与对数运算(1)导学案新人教A版必修1
湖北省荆州市监利县柘木中学高中数学 2.2.1对数与对数运算（1）导学案 新人教A 版必修1【学习目标】1、知道对数的定义及其表示，知道常用对数、自然对数及其表示.2、会运用对数式与指数式的相互关系及其转化求值.【重点难点】▲重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化.▲难点：对数式与指数式的相互转化.【知识链接】上一节我们学习了指数函数，知道在指数式N a b =中，a 为底数，b 为指数，N 为幂值。
在2.1.2的例8中，我们能从关系式x y 01.113⨯=中算出任意一个年头x 的人口总数，反之，如果问“哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿……”，该如何解决？【学习过程】阅读课本62页到63页例1前的内容，尝试回答以下问题：知识点1 对数的概念问题1、在式子N a b =中，已知a 和b ，求N 是 运算；已知a 和N ，求b 呢？学完这节课，大家就会明白这是一种对数运算.问题2、一般地，如果 ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作,其中a 叫做对数的 ，N 叫做 .问题3、由对数的定义，指数与对数可以进行相互转化，其关系式为：10≠>a a 且时，⇔=N a x .问题4、由对数的定义，对对数的底数有什么限制？真数呢？问题5、指数式与对数式相应各字母的名称.对数式知识点2 对数的两种特殊类型及性质问题1、什么是常用对数？怎样表示？问题2、什么是自然对数？怎样表示？问题3、5log 10简记为 ; 5.3log 10简记为 .10log e 简记为 ; 3log e 简记为 . 问题4、对数的基本性质① 零和负数是否有对数？② 1log a =_______ )1,0(≠>a a 且; a a log = _______)1,0(≠>a a 且.阅读课本63页例1、例2的内容，尝试回答以下问题： 知识点3 典型例题例1、将下列对数式化为指数式，指数式化为对数式.(1)12553= (2)100102= (3)38log 2= (4)a =8ln问题1、对数式与指数式互化的依据是什么？问题2请尝试完成本题.例2、求下列各式中的x .(1)32log 8-=x (2)24log =x (3)16log 41=x问题1、将(1)化为指数式为 ，将(2)化为指数式为 ，将(3)化为指数式为 ，分别观察这几个式子，能否求出x 的值.问题2、请尝试完成本题.【小结】1、对数概念:2、N lg 与N ln :3、利用指数式与对数式的互化求值:【当堂检测】课本64页练习1，2，3，4题 补充：解下列方程.(1)2log 8=x (2)24log -=x【课后反思】。
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2.2.1对数与对数运算第1课时对数[学习目标] 1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质.2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程.知识点一对数的概念一般地，如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.知识点二常用对数和自然对数(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg N.(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把log e N记为ln N.知识点三对数与指数的关系当a＞0，且a≠1时，a x＝N⇔x＝log a N.知识点四对数的基本性质(1)负数和零没有对数.(2)log a1＝0(a＞0，且a≠1).(3)log a a＝1(a＞0，且a≠1).思考(1)lg 10，lg 100，lg 0.01，ln 1，ln e分别等于多少？(2)为什么对数式x＝log a N中规定底数a>0且a≠1?(3)为什么负数和零没有对数？答(1)lg 10＝1，lg 100＝2，lg 0.01＝－2，ln 1＝0，ln e＝1.(2)由于对数式x＝log a N中的a来自于指数式a x＝N中的a，所以当规定了a x＝N中的a>0，且a≠1时，对数式x＝log a N中的a也受到相同的限制.(3)由于a x ＝N >0，所以x ＝log a N 中的N >0，或者说负数和零没有对数.题型一 指数式与对数式的互化例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.(1)54＝625；(2)log 216＝4；(3)10－2＝0.01； (4)5log 125＝6.解 (1)由54＝625，得log 5625＝4.(2)由log 216＝4，得24＝16.(3)由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2.(4)由5log 125＝6，得(5)6＝125.反思与感悟 1.对数式与指数式关系图：对数式log a N ＝b 是由指数式a b ＝N 变换而来的，两式底数相同，对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值N ，而对数值b 是指数式中的幂指数.2.并非所有指数式都可以直接化为对数式.如(－3)2＝9就不能直接写成log (－3)9＝2，只有a ＞0且a ≠1，N ＞0时，才有a x ＝N ⇔x ＝log a N .跟踪训练1 下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A.e 0＝1与ln 1＝0B.831＝2与log 82＝13C.log 24＝2与421＝2D.log 33＝1与31＝3答案 C解析 由指对互化的关系：a x ＝N ⇔x ＝log a N 可知A 、B 、D 都正确；C 中log 24＝2⇔22＝4. 题型二 利用对数基本性质求值例2 求下列各式的值：(1)log 33；(2)log 51；(3)3log 213；(4)log 2164；(5)lg 1＋lg 10＋10lg 5；(6)ln e ＋ln 1＋e ln 3.解 (1)log 33＝1.(2)log 51＝0.(3)3log 213＝21. (4)log 2164＝log 21(12)－6＝－6. (5)lg 1＋lg 10＋10lg 5＝0＋1＋5＝6.(6)ln e ＋ln 1＋e ln 3＝1＋0＋3＝4.反思与感悟 1.常见的公式log a 1＝0，log a a ＝1，log a N a ＝N (a >0且a ≠1).2.求log a N 的值，只需将N 写成a b 的形式再利用公式log a a b ＝b 去解.跟踪训练2 求值：(1)31log 429；(2)51log 25+. 解 (1)31log 429＝(32)31log 42＝3log 43＝4. (2)51log 25+＝5·5log 25＝5×2＝10.题型三 利用对数基本性质解方程例3 求下列各式中的x 的值.(1)log 8x ＝－23；(2)log x 27＝34； (3)log 2(log 5x )＝0；(4)log 3(lg x )＝1.解 (1)由log 8x ＝－23得x ＝823-＝(23)23-＝2－2， 故x ＝14. (2)由log x 27＝34得x 34＝27，即x 34＝33， 故x ＝(33)34＝34＝81.(3)由log 2(log 5x )＝0得log 5x ＝20＝1，故x ＝51＝5.(4)由log 3(lg x )＝1得lg x ＝3，故x ＝103＝1 000.反思与感悟 应熟练进行指数与对数间的相互转化，在解题过程中，看到对数就应想到它的指数形式，看到指数就应想到它的对数形式.(1)对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0.(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质.跟踪训练3 利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x 值.(1)log 2x ＝－12；(2)log x 25＝2；(3)log 5x 2＝2.解 (1)由log 2x ＝－12，得221＝x ，∴x ＝22. (2)由log x 25＝2，得x 2＝25.∵x ＞0，且x ≠1，∴x ＝5.(3)由log 5x 2＝2，得x 2＝52，∴x ＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，∴x ＝5或x ＝－5.忽视对数的真数大于0致误例4 方程lg(－2x －1)＝lg(x 2－9)的根为( )A.2或－4B.－4C.2D.－2或4错解 由已知得－2x －1＝x 2－9，即x 2＋2x －8＝0，解得x ＝－4或x ＝2.故选A.正解 前同错解得x ＝－4或x ＝2.经检验，x ＝2时，－2x －1<0，x 2－9<0，与对数的真数大于0矛盾，故x ＝2舍去.所以原方程的根为x ＝－4，故选B.纠错心得 在求解对数有关问题时一定要注意对数式有意义的条件：真数大于0，底数大于0且不等于1.跟踪训练4 解方程log 3(x －1)＝log 3x ＋5.解 由题意得x －1＝x ＋5，∴(x －1)2＝x ＋5，即x 2－3x －4＝0.解得x ＝－1或x ＝4.经检验，x ＝－1不合题意，故舍去；x ＝4是原方程的解.∴原方程的解是x ＝4.1.2x ＝3化为对数式是( )A.x ＝log 32B.x ＝log 23C.2＝log 3xD.2＝log x 3 答案 B解析 ∵2x ＝3，∴x ＝log 23.2.若log 3x ＝3，则x 等于( )A.1B.3C.9D.27答案 D解析 ∵log 3x ＝3，∴x ＝33＝27.3.化简：0.7log 80.7等于( ) A.2 2 B.8 C.18 D.2 答案 B4.已知log 2x ＝2，则x21-＝________. 答案 12解析 ∵log 2x ＝2，∴x ＝4，∴x 21-＝421-＝1214＝12. 5.若lg(ln x)＝0，则x ＝________.答案 e解析 ∵ln x ＝1，∴x ＝e.1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)log a N a ＝N .2.在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算，而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.3.指数式与对数式的互化一、选择题1.2－3＝18化为对数式为( )A.log 812＝－3B.log 81(－3)＝2 C.log 218＝－3 D.log 2(－3)＝18答案 C解析 根据对数的定义知选C. 2.有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A.①③B.②④C.①②D.③④答案 C解析 lg(lg 10)＝lg 1＝0，ln(ln e)＝ln 1＝0，故①②正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，故③错误；若e ＝ln x ，则x ＝e e ，故④错误.3.若log 3(log 2x )＝1，则x 21-等于( )A.13B.123C.122D.133答案 C解析 ∵log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3，∴x ＝23＝8，则x 21-＝18＝122. 4.方程3log 2x ＝14的解是( ) A.x ＝19 B.x ＝33 C.x ＝ 3 D.x ＝9 答案 A解析 ∵2log 3x ＝14＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19. 5.已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m＋n 等于( )A.5B.7C.10D.12答案 D解析 ∵a m ＝2，a n ＝3，∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝12.6.若log x 7y ＝z ，则( )A.y 7＝x zB.y ＝x 7zC.y ＝7x zD.y ＝z 7x答案 B 解析 由log x 7y ＝z ，得x z ＝7y ，∴(7y )7＝(x z )7，则y ＝x 7z .二、填空题7.ln 1＋1)log 1)＝________. 答案 1解析 ln 1＋1)log 1)＝0＋1＝1.8.方程9x －6·3x －7＝0的解是________. 答案 x ＝log 37解析 设3x ＝t (t ＞0)，则原方程可化为t 2－6t －7＝0，解得t ＝7或t ＝－1(舍去)，∴t ＝7，即3x ＝7.∴x ＝log 37.9.若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝________. 答案 －3解析 由题意知1－x ＝(1＋x )2，解得x ＝0，或x ＝－3.验证知，当x ＝0时，log (1－x )(1＋x )2无意义， 当x ＝0时不合题意，应舍去.所以x ＝－3.10.若a ＝lg 2，b ＝lg 3，则2100b a -的值为________. 答案 43解析 ∵a ＝lg 2，∴10a ＝2.∵b ＝lg 3，∴10b ＝3. ∴2100ba -＝(10a )210b ＝43. 三、解答题11.求下列各式中的x 的值.(1)log x 27＝32； (2)log 2x ＝－23； (3)log x (3＋22)＝－2；(4)log 5(log 2x )＝0；(5)x ＝log 2719. 解 (1)由log x 27＝32，得x 32＝27，∴x ＝2723＝32＝9. (2)由log 2x ＝－23，得223-＝x ， ∴x ＝1322＝322. (3)由log x (3＋22)＝－2，得3＋22＝x －2，即x ＝(3＋22)21-＝2－1.(4)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1.∴x ＝21＝2.(5)由x ＝log 2719，得27x ＝19，即33x ＝3－2， ∴x ＝－23. 12.(1)若f (10x )＝x ，求f (3)的值；(2)计算233log 335log 92＋＋－.解 (1)令t ＝10x ，则x ＝lg t ，∴f (t )＝lg t ，即f (x )＝lg x ，∴f (3)＝lg 3.(2)233log 335log 92＋＋－＝23·2log 32＋35log 933＝23×3＋359＝24＋27＝51. 13.已知log 2(log 21(log 2x ))＝log 3(log 31(log 3y ))＝log 5(log 51(log 5z ))＝0，试比较x ，y ，z 的大小.解 由log 2(log 21(log 2x ))＝0得，log 21(log 2x )＝1，log 2x ＝12，即x ＝221； 由log 3(log 31(log 3y ))＝0得，log 31(log 3y )＝1，log 3y ＝13，即y ＝331；由log 5(log 51(log 5z ))＝0得， log 51(log 5z )＝1，log 5z ＝15，即z ＝551. ∵y ＝331＝362＝961，x ＝221＝263＝861，∴y >x ， 又∵x ＝221＝2105＝32101，z ＝551＝5102＝25101， ∴x >z ，故y >x >z .。