步步高理科数学第二讲参数方程

第二讲 参数方程

1．参数方程的概念

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上__________的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数

⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝f t ，y ＝g t ，

并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在

____________，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称______．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做__________． 2．几种常见曲线的参数方程

(1)直线：经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是____________(t 为参数)． (2)圆：以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是____________，其中α是参数．

当圆心在(0,0)时，方程⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝r cos α，y ＝r sin α.

(3)椭圆：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：

椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的参数方程是____________，其中φ是参数．

椭圆x 2b 2＋y 2

a

2＝1(a >b >0)的参数方程是____________，其中φ是参数．

(4)抛物线：抛物线y

2

＝2px (p >0)的参数方程是⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝2pt 2

，

y ＝2pt .

(t 为参数)．

1．(课本习题改编)若直线的参数方程为⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝1＋2t ，

y ＝2－3t

(t 为参数)，则直线的斜率为

________．

2．椭圆⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝2cos θ，

y ＝5sin θ(θ为参数)的离心率为________．

3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝4t 2

，

y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |＝________.

4．(课本习题改编)直线⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝－1＋t sin 40°，

y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________．

5．已知曲线C 的参数方程是⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝3t ，

y ＝2t 2

＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上

的是

________.

题型一 参数方程与普通方程的互化

例1 已知两曲线参数方程分别为⎩⎨

⎧

x ＝5cos θ，

y ＝sin θ

(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝54

t 2，

y ＝t

(t ∈R )，它们的交点坐标为________．

思维升华 (1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等．对于与角θ有关的参数方程，经常用到的公式有sin 2

θ＋cos 2

θ＝1,1＋tan 2

θ＝

1

cos 2

θ

等． (2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．

(2013·广东)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨

⎧

x ＝2cos t

y ＝2sin t

(t 为参数)，C 在点

(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________． 题型二 参数方程的应用

例2 在平面直角坐标系xOy 中，圆C

的参数方程为⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝4cos θ，

y ＝4sin θ

(θ为参数)，直线

l 经过点P (2,2)，倾斜角α＝π3

.

(1)写出圆的标准方程和直线l 的参数方程；

(2)设l 与圆C 相交于A 、B 两点，求|PA |·|PB |的值．

思维升华 根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： (1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2|； (2)定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； (3)设弦M 1M 2中点为M ，则点M 对应的参数值t M ＝

t 1＋t 2

2

(由此可求|M 2M |及中点坐标)．

已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨

⎪

⎧

x ＝3＋1

2t ，y ＝2＋3

2

t (t 为参数)，曲线C 的参数方

程为⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝4cos θ，

y ＝4sin θ(θ为参数)．

(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；

(2)若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长．

题型三 极坐标、参数方程的综合应用

例3 在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝－3＋3

2

t ，y ＝12

t (t 为参数)，

M ，N 分别为曲线C 、直线l 上的动点，则|MN |的最小值为________．

思维升华 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用．