2009年考研数学三答案解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）函数3

()sin x x f x x

π-=的可去间断点的个数为：（ ）

()A .

1

()B . 2 ()C .

3

()D .无穷多个

【答案】C 【解析】

()3

sin x x f x x

π-=

则当x 取任何整数时，()f x 均无意义

故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是3

0x x -=的解

1,2,30,1x =±

320032113211131lim lim sin cos 132

lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππ

ππππ

→→→→→-→---==--==

--== 故可去间断点为3个，即0,1±

（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2

()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）

()A .1a =，16b =-

()B . 1a =，1

6b = ()C .1a =-，16b =- ()

D .1a =-，16

b = 【答案】 A

【解析】2

()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则

222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx

→→→→→---==-⋅---洛洛

23

0sin lim 166x a ax a b b ax

a

→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C 。 另外201cos lim

3x a ax

bx

→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除D 。 所以本题选A 。

（3）使不等式

1

sin ln x

t

dt x t

>⎰

成立的x 的范围是（ ） ()A .

(0,1)

()B .(1,)2π ()C .(,)2

ππ

()D .(,)π+∞

【答案】A

【解析】原问题可转化为求

111sin sin 1()ln x

x x t

t f x dt x dt dt t t t =-=-⎰⎰⎰11sin 11sin 0x x t t dt dt t t

--==>⎰⎰成立时x 的

取值范围，由1sin 0t

t

->，()0,1t ∈时，知当()0,1x ∈时，()0f x >。故应选A .

（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：

则函数()()0

x

F x f t dt =

⎰的图形为（ ）

()A .

()B .

()C .

()D .

【答案】D

【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、

0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：

①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。 ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增。 ③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数。

④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增。 ⑤由于F(x)为连续函数

结合这些特点，可见正确选项为D 。

（5）设,A B 均为2阶矩阵，*

,A B *

分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==则分块矩阵

00A B ⎛⎫

⎪⎝⎭

的伴随矩阵为（ ） ()A .**0320B A ⎛⎫

⎪⎝⎭

()B . **0230B A ⎛⎫

⎪⎝⎭

()C .**0320A B

⎛⎫ ⎪⎝⎭

()D .**0230A B

⎛⎫

⎪⎝⎭

【解析】根据CC C E *

=，若1

1

1,C C C C C C

*

--*

==

分块矩阵00A B ⎛⎫

⎪⎝⎭的行列式22

012360

A A

B B

⨯=-=⨯=（），即分块矩阵可逆

1

1

11000

66000100B B

A A A

B B B

B A

A A **

---*⎛

⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎪

⎝⎭

100

23613002

B

B A A ***

*⎛⎫ ⎪⎛⎫

== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎪⎝⎭

故答案为（B ）

（6）设,A P 均为3阶矩阵，T

P 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，若

1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则T Q AQ 为（ ）

()A .210110002⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

()B . 110120002⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

()C .200010002⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

()D .100020002⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

【答案】 A

【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，即： 12121212122112(1)

[(1)][(1)](1)[](1)

100(1)01

0(1)0021101

001002100100101101100010

02001002T T T

T Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

（7）设事件A 与事件B 互不相容，则（ ）

()A .()0P AB =

()B . ()()()P AB P A P B = ()C .()1()P A P B =-

()D .()1P A B ⋃=