第四章 力系的平衡条件及平衡方程
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3、根据平衡条件确定全部未知力的大小和方向。
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。
3、投影轴常选择尽量多的力尤其是未知力的垂线，最好使每 个方程中只有一个未知数。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
? RB
?
RB
?
RA ?
2 Pa l cosα
例４－3在三棱柱的三个侧面分别作用三个力偶m1、 m2 、 m3， m1
=100N.m， 求：如要保持平衡，力偶m2 、 m3的大小应为多少？
?
m3
y
解：研究三棱柱
m? 2
m?1
? m3
m?2O m?4150
x
由力偶系平衡条件
? mix ? 0：m3 cos 450 ? m2 ? 0 ? miy ? 0：m3 sin 450 ? m1 ? 0
5 、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值， 说明力方向与假设相反。
[例４-2]图示结构，求A、B处反力。
wk.baidu.com? XA
? YA
思考
? RA
解：1、取研究对象 整体
2、受力分析 特点：力偶系
? NB
3、平衡条件
∑mi=P ·2a－YA ·l=0
?
NB
?
YA
?
2 Pa l
? ∑m i= 0 P ·2a－RB ·cos? ·l=0
解得：tg ?
?
EB AB
?
0 1
.4 .2
?
1 3
?
SCD ?
sin450
P ?cos450?tg?
? 4.24 kN
；
RA?
SCD ?ccoos4s?50
? 3.16
kN
静力分析要点： 1、根据问题的性质和要求选取合适的研究对象。 2、取分离体画受力图。 在画受力图时应综合应用：
①、约束的性质 ②、平衡的条件 ③、作用力与反作用力关系
ZA ? Pr ? ZB ? T2 ?sin? ? 0
? P ?a ? XB (a ? c) ? T1(a ? b ? c) ? T2 ?cos? (a ? c ? b) ? 0 XA ? P ? XB ? T1 ? T2cos? ? 0
?
ZA
?
?
ZB
解：1 研究整体 （轮及轴）
?
2 受力如图
?
?
XA
XB
3 列平衡方程
∑my=0 P ?r ? T1 ?R ? T2 ?R ? 0
? P ? (T1 ? T2) R? 1300 ? 650 ? 0.1 ? 1083 (N)
r
0.06
Pr ? Ptg? ? P ?tg? ? 1083? tg 200 ? 394.18 (N)
RB
?
q ?3a ?1.5a ? 2a
M
?
100 ?3 ?1.5 ? 500 2
?
475N
? XA
? YA
? RB
∴
XA ? 0 YA ? ?175N
RB ? 475N
校核
? mB(F ) ? 0
? YA ?2a ? M ? q ?3a ?0.5a ? 0
YA
?
q ?3a
?0.5a 2a
?
M
? 100 ?3 ?0.5 ? 500 ? ? 175N 2
力偶
3、下图中，A、B、C、D是正方形(边长为a)的四个顶点，所
受力如图，问：哪个力系平衡？不平衡，最终简化结果是什
么？ D ? F
A
? FC
? F
? F
B
?
DF C
? F
? F
A
? F
B
D? C
? F1 F
? F
?
A F1 B
(a) 力偶 2Fa
(b) 平衡
(c) 平衡
空间一般平衡力系
[ 例４-7] 图示传动轴AB，皮带轮B的半径R =100mm，胶带拉力 T1=2T2=1300N，胶带的紧边为水平，松边与水平成角 ? ? 300 ， 齿轮C的节圆半径 r=60mm，压力角? =20°。A、 B为向心轴承， a=b=100mm，c=150mm。设轴在带轮带动下作匀速转动，不计 轮、轴的重量。 求：平衡时齿轮所受的切向力P及轴承A , B的约束反力。
思考题：
1、设平面力系向一点简化得一合力。问：如果另选适当的简 化中心，力系能否简化为力偶？为什么？
不能。 因力和力偶都是基本未知量，故力不能和力偶平衡。
2、在刚体上作用有三个力如图所示，力的大小恰好与△ ABC 的边长成比例，方向如图。问 : 这一力系简化的结果是什么？
?B
FA
?
FB
A
? FC
C
解得： m3 ? 2m1 ? 141.4 (N.m) m2 ? m1 ? 100 (N.m)
[练习1]图示杆系，已知m, l,求A、B处约束力。
? NAD
解：1、研究对象二力杆：AD
?
?
RC
N AD
练习：
? RB
2、研究对象： 整体
N AD
?
RB
?
m l
思考：CB杆受力情况如何？
R?C?
?
m
RB
AD杆
m R?C?
?
NAD 解：1、研究对象二力杆：BC
? RC
?
RB
?
RB
?
2、研究对象： 整体
N AD
? N AD
?
RB
?
m l sin 450
?
2m l
[例4-5] 已知：M=500N·m, q=100N/m，a=1m。 求：A、B的
支座反力。
解：1、研究AB梁，受力分析。
?
XA
分布载荷：合力 P ? ql
? YA
? RB
作用线距A端 d ? 1 l ? 1.5a
? X?0
2
XA ? 0
? XA
? YA 1.5a
P=ql=3qa ? RB
? Y? 0
YA ? RB ? 3qa ? 0
? YA ? 3qa ? RB
? ? 3 ?100 ? 475 ? ?175 N ? mA(F ) ? 0
RB ?2a ? q ?3a ?1.5a ? M ? 0
15
? ZA ? XA
?
?
ZB
? XB
? ZB ? ?297 (N) ? ? ZA ? 36７ (N)
? XB ? 2175(N)
? XA ? ?1395 (N)
∑mx=0: ∑Z=0: ∑mz=0: ∑X=0:
? Pr ?a ? ZB (a ? c) ? T2sin? (a ? c ? b) ? 0
?
?
13
分析： 1、几个未知力？
?? ? P? X?A ZA
XB ZB
Pr ? P ?tg?
? ZA ? XA
2、几个平衡方程？ 3、可用整体求解 最好使每一个方程只有一个未知数
4、确定列方程次序
?
?
ZB
?
? XB
∑my=0 ∑mx=0 ∑Z=0 ∑mz=0 ∑X=0
→P
→ZB →ZA →XB →XA 14
[例4－1] 结构如图，已知P=2kN 解：①研究AB杆
②画出受力图
求杆CD的受力及A处的反力
③列平衡方程
? X ?0 RA?cos? ? SCD?cos450 ? 0 （1）
? Y? 0 ? P ? RA?sin? ? SCD ?sin450 ? 0 （2）
④解平衡方程 由EB=BC=0.4m，
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。
3、投影轴常选择尽量多的力尤其是未知力的垂线，最好使每 个方程中只有一个未知数。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
? RB
?
RB
?
RA ?
2 Pa l cosα
例４－3在三棱柱的三个侧面分别作用三个力偶m1、 m2 、 m3， m1
=100N.m， 求：如要保持平衡，力偶m2 、 m3的大小应为多少？
?
m3
y
解：研究三棱柱
m? 2
m?1
? m3
m?2O m?4150
x
由力偶系平衡条件
? mix ? 0：m3 cos 450 ? m2 ? 0 ? miy ? 0：m3 sin 450 ? m1 ? 0
5 、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值， 说明力方向与假设相反。
[例４-2]图示结构，求A、B处反力。
wk.baidu.com? XA
? YA
思考
? RA
解：1、取研究对象 整体
2、受力分析 特点：力偶系
? NB
3、平衡条件
∑mi=P ·2a－YA ·l=0
?
NB
?
YA
?
2 Pa l
? ∑m i= 0 P ·2a－RB ·cos? ·l=0
解得：tg ?
?
EB AB
?
0 1
.4 .2
?
1 3
?
SCD ?
sin450
P ?cos450?tg?
? 4.24 kN
；
RA?
SCD ?ccoos4s?50
? 3.16
kN
静力分析要点： 1、根据问题的性质和要求选取合适的研究对象。 2、取分离体画受力图。 在画受力图时应综合应用：
①、约束的性质 ②、平衡的条件 ③、作用力与反作用力关系
ZA ? Pr ? ZB ? T2 ?sin? ? 0
? P ?a ? XB (a ? c) ? T1(a ? b ? c) ? T2 ?cos? (a ? c ? b) ? 0 XA ? P ? XB ? T1 ? T2cos? ? 0
?
ZA
?
?
ZB
解：1 研究整体 （轮及轴）
?
2 受力如图
?
?
XA
XB
3 列平衡方程
∑my=0 P ?r ? T1 ?R ? T2 ?R ? 0
? P ? (T1 ? T2) R? 1300 ? 650 ? 0.1 ? 1083 (N)
r
0.06
Pr ? Ptg? ? P ?tg? ? 1083? tg 200 ? 394.18 (N)
RB
?
q ?3a ?1.5a ? 2a
M
?
100 ?3 ?1.5 ? 500 2
?
475N
? XA
? YA
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∴
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RB ? 475N
校核
? mB(F ) ? 0
? YA ?2a ? M ? q ?3a ?0.5a ? 0
YA
?
q ?3a
?0.5a 2a
?
M
? 100 ?3 ?0.5 ? 500 ? ? 175N 2
力偶
3、下图中，A、B、C、D是正方形(边长为a)的四个顶点，所
受力如图，问：哪个力系平衡？不平衡，最终简化结果是什
么？ D ? F
A
? FC
? F
? F
B
?
DF C
? F
? F
A
? F
B
D? C
? F1 F
? F
?
A F1 B
(a) 力偶 2Fa
(b) 平衡
(c) 平衡
空间一般平衡力系
[ 例４-7] 图示传动轴AB，皮带轮B的半径R =100mm，胶带拉力 T1=2T2=1300N，胶带的紧边为水平，松边与水平成角 ? ? 300 ， 齿轮C的节圆半径 r=60mm，压力角? =20°。A、 B为向心轴承， a=b=100mm，c=150mm。设轴在带轮带动下作匀速转动，不计 轮、轴的重量。 求：平衡时齿轮所受的切向力P及轴承A , B的约束反力。
思考题：
1、设平面力系向一点简化得一合力。问：如果另选适当的简 化中心，力系能否简化为力偶？为什么？
不能。 因力和力偶都是基本未知量，故力不能和力偶平衡。
2、在刚体上作用有三个力如图所示，力的大小恰好与△ ABC 的边长成比例，方向如图。问 : 这一力系简化的结果是什么？
?B
FA
?
FB
A
? FC
C
解得： m3 ? 2m1 ? 141.4 (N.m) m2 ? m1 ? 100 (N.m)
[练习1]图示杆系，已知m, l,求A、B处约束力。
? NAD
解：1、研究对象二力杆：AD
?
?
RC
N AD
练习：
? RB
2、研究对象： 整体
N AD
?
RB
?
m l
思考：CB杆受力情况如何？
R?C?
?
m
RB
AD杆
m R?C?
?
NAD 解：1、研究对象二力杆：BC
? RC
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RB
?
RB
?
2、研究对象： 整体
N AD
? N AD
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RB
?
m l sin 450
?
2m l
[例4-5] 已知：M=500N·m, q=100N/m，a=1m。 求：A、B的
支座反力。
解：1、研究AB梁，受力分析。
?
XA
分布载荷：合力 P ? ql
? YA
? RB
作用线距A端 d ? 1 l ? 1.5a
? X?0
2
XA ? 0
? XA
? YA 1.5a
P=ql=3qa ? RB
? Y? 0
YA ? RB ? 3qa ? 0
? YA ? 3qa ? RB
? ? 3 ?100 ? 475 ? ?175 N ? mA(F ) ? 0
RB ?2a ? q ?3a ?1.5a ? M ? 0
15
? ZA ? XA
?
?
ZB
? XB
? ZB ? ?297 (N) ? ? ZA ? 36７ (N)
? XB ? 2175(N)
? XA ? ?1395 (N)
∑mx=0: ∑Z=0: ∑mz=0: ∑X=0:
? Pr ?a ? ZB (a ? c) ? T2sin? (a ? c ? b) ? 0
?
?
13
分析： 1、几个未知力？
?? ? P? X?A ZA
XB ZB
Pr ? P ?tg?
? ZA ? XA
2、几个平衡方程？ 3、可用整体求解 最好使每一个方程只有一个未知数
4、确定列方程次序
?
?
ZB
?
? XB
∑my=0 ∑mx=0 ∑Z=0 ∑mz=0 ∑X=0
→P
→ZB →ZA →XB →XA 14
[例4－1] 结构如图，已知P=2kN 解：①研究AB杆
②画出受力图
求杆CD的受力及A处的反力
③列平衡方程
? X ?0 RA?cos? ? SCD?cos450 ? 0 （1）
? Y? 0 ? P ? RA?sin? ? SCD ?sin450 ? 0 （2）
④解平衡方程 由EB=BC=0.4m，