定积分存在的条件
定积分存在的充分必要条件
作一分法,
a x0' x1'
x' p1
x'p
b
使得对应于这一分法的上和S'满足S' L，S' L , 及
2
0 S'－L
2
固定了p及 xi' 以后, 可取
Yunnan University
§2. 定积分存在的条件
min x1' x0' , x2' x1' ,
,
x'p
x
' p1
,
2 p 1 M m
其中M及m分别为f x在a,b的上、下确界.
于是，为了得到所需的结论，只要证明，对任意的分法
a x0 x1 xn1 xn b
只要 时，就成立
SL SL
即可.
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而S3 S3 , 所以S1 S2.
记
l supS , L inf S
则l L .
定理4 对任何有界函数f x ,必有 达布定理
lim S L, lim S l
0
0
其中规定为对任意的分法,
max i
xi
.
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§2. 定积分存在的条件
证明 我们就上和的情形加以证明.
§2. 定积分存在的条件
一、定积分存在的充分必要条件
设f x 在a,b有界，在a,b插入分点
a x0 x1 xn1 xn b
把a,b分成n个小区间xi1, xi i 1, 2, ,n
记
Mi sup f x x xi1, xi mi inf f x x xi1, xi
定积分的概念和可积条件
n
S() f ( i )xi，i [xi1, xi ], i 1
如果当 0 时极限 lim S() 存在，且与划分 的具 0
体选取无关，也与 i 的选取无关，则称函数 f (x) 在 [a,b]
上是黎曼可积的，并称上述极限为 f (x) 在 [a,b] 上的定积分，
T2
t tn1
n
n
(3) 作和： S si v( i )ti
i 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi 1
n
S (4) 取极限：记
t
max {
1in
ti
},
lim
t 0
i 1
v( i
)ti
二、定积分的定义
设 f (x) 是定义在 [a,b] 上的有界函数，在 [a,b] 上任意取分 点a x0 x1 xn b，我们称之为区间 [a,b] 的一个划分， 记作 ，同时记 xi xi xi1，x m1iaxn {xi}，称之为划分
S( ') S(), S( ') S().
证明： 不是一般性，设 ' 就比 多一个分点 x '，且
不妨设 x ' (xk1, xk ) ，则
n
k 1
n
S() Mixi Mixi Mk xk Mixi
i 1
i 1
ik 1
k 1
S( ') Mixi (x ' xk1) sup f (x)
记作：
b
f (x)dx
，
即
a
b
n
a
f (x)dx
lim S()
0
lim
0 i1
第7章第2节定积分存在的条件
对应的达布和分别记为 s1，s1及s2，s2， 我们来证明 s1 s2. 把两种分法的分点合并在一起，也是一种分法，
对应的达布和分别记为S3 , 及S3，于是由定理1知
S1 S3, S3 S2 . 而S3 S3 , 所以S1 S2.
(证毕)
2020年4月6日星期一
i
ixi 0.
2020年4月6日星期一
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
19
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
二、可积函数类（三类可积函数）
1. a,b上的连续函数在a,b上可积.
证明: 设f x 在a,b上连续。根据康托定理， f x在a,b上一致连续，
所以对任意的 0， 0,使对于
a,b上任意两点x', x'',只要 x' x'' ，
2020年4月6日星期一
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
21
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
2. 只有有限个第一类不连续点的函数是可积的. (即, 分段函数是可积的).
证明：设f x有k个不连续点：x1' , x2' ,L , xk'，则对于
任意的 0及 0，总存在适当小的 0，使 ，
2k
而对任何分法，当 maxxi 时，
n
S f i xi S
i 1
n
取极限 0，得
lim f
0 i1
i
xi I
可积准则1：f 在a,b可积 lim S S 0 0
2020年4月6日星期一
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
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循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
定积分的可积条件(证明)
m)
,
其中 M m 是 f 在 [a,b] 上的振幅, 从而
i M m, i 1, 2, , n.
于是 ixi ixi ixi
(b a) (M m)
2(b a)
2(M m)
.
15
定理1.3 如果函数 f (x)Ca,b, 则 f (x)a,b
证 根据在闭区间上连续函数性质，f (x) 必在
k 1
k 1
18
定理1.4 如果函数 f x 在区间a,b 上有界
并且除去有限个间断点外处处连续
则 f (x)a,b
19
lim [S s ] 0
d 0
n
n
S() s() (Mk mk )xk kxk
k 1
k 1
定理1.2 函数 f (x) 在区间 a,b 上可积的充
n
分必要条件为 d
lim
0
k
1
k
xk
0
n
d
lim
0
k
1
k
xk 0
0,
0,
d() ,
n
kxk
k 1
12
几何意义 由大和与小和的几何意义知道,定理1.2
的几何意义为: 下图中包围曲线 y f ( x)
的一系列小矩形面积之和可以达到任意小, 只要
对 [a, b] 的分割 足够地细.
y
i Δ xi
y f (x)
Oa
bx
13
n
证明可积性问题时,通常有三种方法可使 ixi .
i 1
第一种方法: 每个
i
ba
，从而
n
i Δxi
i 1
ba
积分公式应用注记
第19卷 第4期1998上海冶金高等专科学校学报J ournal of Shan ghai College of Metallu rgyVo l.19,No.41998积分公式应用注记庄海根(上海冶金高等专科学校公共课部 上海 200233)定积分起源于求平面图形的面积,空间立体的体积,曲线段的长度,物体的重心等几何和物理问题。
古希腊人早就开始了求面积和体积的工作,但他们所求的不过是一些简单的问题,并且在每一个这样的问题中都需要运用相多复杂和独特的技巧,缺乏一种统一的数学方法,直到17世纪牛顿)莱布尼兹建立了微积分之后,才给出了一个统一的方法,并把求面积,体积、长度这一类问题和求原函数联系起来。
但出现在牛顿)莱布尼兹的著作中或手稿中的微积分,其表述却不那么严格,经过200年之后,才由黎曼用严格的形式给出了定积分的概念,而现在一般工科高等数学教科书都是以黎曼形式给出定积分的。
定积分的基本公式的创立使微分与积分从概念和计算上同时联系起来,是使微积分学理论形式为体系的一个重要标志,此公式的理论意义和实用价值是不待言的。
一般说来,这个公式容易理解,应用起来也很方便,但是,若不把有些概念搞清楚,应用时也可能会出现错误。
为此,本文谈谈关于定积分公式中条件的理解和应用时应注意的问题。
1 公式的条件及应用定积分基本公式明确提出公式成立的条件有以下两条。
1)f (x )在[a,b ]上连续。
2)F(x )是f (x )在[a ,b]上的任一原函数,即P x I [a,b]有F c (x )=f (x )。
我们知道,定理的结论是由该定理的条件推导出来的,初接触公式的人们自然会产生两个疑问:其一:f (x )的原函数是否存在?其二:如何求f (x )的原函数?其实,在条件1之下,前者答案是肯定的,例如 (x )=Q x af (t )d t 就是f (x )的一个原函数,因此条件1的必要性就在于保证条件2中F (x )的存在性,至于后者则可通过求不定积分得到。
数学分析9.4定积分的性质
第九章 定积分 4 定积分的性质一、定积分的基本性质性质1：若f 在[a,b]上可积，k 为常数，则kf 在[a,b]上也可积，且⎰bakf(x )dx=k ⎰baf(x )dx.证：当k=0时结论成立. 当k ≠0时，∵f 在[a,b]上可积，记J=⎰ba f(x )dx ， ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k |ε； 又|i n 1i i x △)ξ(kf ∑=-kJ|=|k|·|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k|·|k |ε=ε，∴kf 在[a,b]上可积， 且⎰b a kf(x )dx=k ⎰ba f(x )dx.性质2：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±bag(x )][f(x )dx=⎰b af(x )dx ±⎰bag(x )dx.证：∵f,g 都在[a,b]上可积，记J 1=⎰ba f(x )dx ，J 2=⎰ba g(x )dx. ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，有|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|<2ε，|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2|<2ε.又|i n1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=+-(J 1+J 2) |=|(i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+(i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|≤|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε；|i n 1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=--(J 1-J 2) |=|(i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+( J 2-i n1i i x △)ξ(g ∑=)|≤|i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε.∴f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±b a g(x )][f(x )dx=⎰b a f(x )dx ±⎰ba g(x )dx.注：综合性质1与性质2得：⎰±ba βg(x )]αf(x ) [dx=α⎰b a f(x )dx ±β⎰ba g(x )dx.性质3：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ·g 在[a,b]上也可积.证：由f,g 都在[a,b]上可积，从而都有界，设A=]b ,a [x sup ∈|f(x)|，B=]b ,a [x sup ∈|g(x)|，当AB=0时，结论成立；当A>0,B>0时，任给ε>0，则存在分割T ’,T ”， 使得∑'T i i f x △ω<B 2ε，∑''T i i g x △ω<A 2ε. 令T=T ’+T ”，则对[a,b]上T 所属的每一个△i ，有 ωi f ·g =]b ,a [x ,x sup ∈'''|f(x ’)g(x ’)-f(x ”)g(x ”)|≤]b ,a [x ,x sup ∈'''[|g(x ’)|·|f(x ’)-f(x ”)|+|f(x ”)|·|g(x ’)-g(x ”)|]≤B ωi f +A ωi g .又∑⋅Ti g f i x △ω≤B ∑Ti f i x △ω+A ∑Ti g i x △ω≤B ∑'T i f i x △ω+A ∑''T i g i x △ω<B ·B 2ε+A ·A2ε=ε. ∴f ·g 在[a,b]上可积.注：一般情形下，⎰ba f(x )g(x )dx ≠⎰b af(x )dx ·⎰bag(x )dx.性质4：f 在[a,b]上可积的充要条件是：任给c ∈(a,b)，f 在[a,c]与[c,b]上都可积. 此时又有等式：⎰ba f(x )dx=⎰c a f(x )dx+⎰bc f(x )dx. 证：[充分性]∵f 在[a,c]与[c,b]上都可积.∴任给ε>0，分别存在对[a,c]与[c,b]的分割T ’,T ”，使得∑'''T i i x △ω<2ε，∑''''''T i i x △ω<2ε. 令[a,b]上的分割T=T ’+T ”，则有∑Tiix△ω=∑'''Tiix△ω+∑''''''Tiix△ω<2ε+2ε=ε，∴f在[a,b]上可积.[必要性]∵f在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在[a,b]上的某分割T，使∑Tiix△ω<ε. 在T上增加分点c，得分割T⁰，有∑︒︒︒Tiix△ω≤∑Tiix△ω<ε.分割T⁰在[a,c]和[c,b]上的部分，分别构成它们的分割T’和T”，则有∑'' 'Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∑''''''Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∴f在[a,c]与[c,b]上都可积.又有∑︒︒︒Tiix)△f(ξ=∑'''Tiix)△ξf(+∑''''''Tiix)△ξf(，当║T⁰║→0时，同时有║T’║→0，║T”║→0，对上式取极限，得⎰b a f(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx. (关于积分区间的可加性)规定1：当a=b时，⎰baf(x)dx=0；规定2：当a>b时，⎰baf(x)dx=-⎰a b f(x)dx；以上规定，使公式⎰baf(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx对于a,b,c的任何大小顺都能成立.性质5：设f在[a,b]上可积. 若f(x)≥0, x∈[a,b]，则⎰baf(x)dx≥0. 证：∵在[a,b]上f(x)≥0，∴f的任一积分和都为非负.又f在[a,b]上可积，∴⎰ba f(x)dx=in1iiTx△)f(ξlim∑=→≥0.推论：(积分不等式性)若f,g在[a,b]上都可积，且f(x)≤g(x), x∈[a,b]，则有⎰baf(x)dx≤⎰b a g(x)dx.证：记F(x)=g(x)-f(x)≥0, x ∈[a,b]，∵f,g 在[a,b]上都可积，∴F 在[a,b]上也可积.∴⎰b a F(x )dx=⎰b a g(x )dx-⎰b a f(x )dx ≥0，即⎰b a f(x )dx ≤⎰ba g(x )dx.性质5：若f 在[a,b]上可积，则|f|在[a,b]上也可积，且 |⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在分割T ，使∑Ti i f x △ω<ε，由不等式||f(x 1)|-|f(x 2)||≤|f(x 1)-f(x 2)|可得i ||f ω≤i f ω， ∴∑Ti i ||f x △ω≤∑Ti i f x △ω<ε，∴|f|在[a,b]上可积.又-|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|，∴|⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.例1：求⎰11-f(x )dx ，其中f(x)= ⎩⎨⎧<≤<≤.1x 0 ，e ，0x 1-1-2x x-， 解：⎰11-f(x )dx=⎰01-f(x )dx+⎰10f(x )dx=(x 2-x)01-+(-e -x )10=-2-e -1+1=-e -1-1.例2：证明：若f 在[a,b]上连续，且f(x)≥0，⎰ba f(x )dx =0，则 f(x)≡0, x ∈[a,b].证：若有x 0∈[a,b], 使f(x 0)>0，则由连续函数的局部保号性， 存在的x 0某邻域U(x 0,δ)（当x 0=a 或x 0=b 时，则为右邻域或左邻域）， 使f(x)≥21f(x 0)>0，从而有⎰baf(x )dx =⎰δ-x a0f(x )dx+⎰+δx δ-x 00f(x)dx+⎰+bδx 0f(x)dx ≥0+⎰+δx δ-x 0002)f(x dx+0=δf(x 0)>0， 与⎰ba f(x )dx =0矛盾，∴f(x)≡0, x ∈[a,b].二、积分中值定理定理：(积分第一中值定理)若f 在[a,b]上连续，则至少存在一点 ξ∈[a,b]，使得⎰ba f(x )dx =f(ξ)(b-a).证：∵f 在[a,b]上连续，∴存在最大值M 和最小值m ，由 m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]，得m(b-a)≤⎰ba f(x )dx ≤M(b-a)，即m ≤⎰baf(x)a -b 1dx ≤M. 又由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=⎰baf(x)a -b 1dx ，即⎰b a f(x )dx =f(ξ)(b-a).积分第一中值定理的几何意义：(如图)若f 在[a,b]上非负连续，则y=f(x)在[a,b]上的曲边梯形面积等于以f(ξ)为高，[a,b]为底的矩形面积.⎰ba f(x)a-b 1dx 可理解为f(x)在[a,b]上所有函数值的平均值.例3：试求f(x)=sinx 在[0,π]上的平均值. 解：所求平均值f(ξ)=⎰π0f(x)π1dx=π1(-cosx)π0|=π2.定理：(推广的积分第一中值定理)若f 与g 在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =f(ξ)⎰bag(x )dx.证：不妨设g(x)≥0, x ∈[a,b]，M,m 分别为f 在[a,b]上的最大,最小值. 则有mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x), x ∈[a,b]，由定积分的不等式性质，有 m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰b a g(x )dx. 若⎰ba g(x )dx=0，结论成立.若⎰bag(x )dx>0，则有m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰，即g(x )f(x )b a ⎰dx =f(ξ)⎰ba g(x )dx.习题1、证明：若f 与g 在[a,b]上可积，则i n1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f ， 其中ξi , ηi 是△i 内的任意两点. T={△i }, i=1,2,…,n.证：f 与g 在[a,b]上都可积，从而都有界，且fg 在[a,b]上可积. 设|f(x)|<M, x ∈[a,b]，则对[a,b]上任意分割T ，有in 1i iix △))g(ηf(ξ∑==in1i iiiix△)]g(ξ-)g(η))[g(ξf(ξ∑=+=i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+i g in1i i x △ω)f(ξ∑=≤i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i x △))g(ηf(ξ∑=-i n 1i i i x △))g(ξf(ξ∑=|≤M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→-i n 1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→|≤0T lim →M i n1i g i x △ω∑==0 ∴i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=i n1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f .2、不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小.(1)⎰10x dx 与⎰102x dx ；(2)⎰2π0x dx 与⎰2π0sinx dx.解：(1)∵x>x 2, x ∈(0,1)，∴⎰10x dx>⎰102x dx.(2)∵x>sinx, x ∈(0,2π]，∴⎰2π0x dx>⎰2π0sinx dx.3、证明下列不等式：(1)2π<⎰2π02x sin 21-1dx <2π；(2)1<⎰10x 2e dx<e ；(3)1<⎰2π0x sinx dx<2π；(4)3e <⎰4e e xlnx dx<6. 证：(1)∵1<x sin 21-112<21-11=2, x ∈(0,2π)；∴⎰2π0dx <⎰2π02x sin 21-1dx <⎰2π02dx ，又⎰2π0dx =2π；⎰2π02dx=2π； ∴2π<⎰2π2x sin 21-1dx<2π.(2)∵1<2x e <e, x ∈(0,1)；∴1=⎰10dx <⎰10x 2e dx<⎰10edx =e.(3)∵π2<x sinx <1，x ∈(0,2π)；∴1=⎰2π0dx π2<⎰10x2e dx<⎰2π0dx =2π.(4)令'⎪⎭⎫ ⎝⎛x lnx =x 2lnx -2=0，得x lnx 在[e,4e]上的驻点x=e 2,又e x x lnx ==e 1，e 4x x lnx ==e 2ln4e ，∴在[e,4e]上e 1<x lnx <22elne =e 2；∴3e =⎰4eee1dx <⎰4eexlnx dx<⎰4eee2dx =6.4、设f 在[a,b]上连续，且f(x)不恒等于0. 证明：⎰ba 2[f(x )]dx>0. 证：∵f(x)不恒等于0；∴必有x 0∈[a,b]，使f(x 0)≠0. 又由f 在[a,b]上连续，必有x ∈(x 0-δ, x 0+δ)，使f(x)≠0，则⎰+δx δ-x 200f >0，∴⎰ba 2[f(x )]dx=⎰δ-x a20f +⎰+δx δ-x 200f +⎰+b δx 20f =⎰+δx δ-x 200f +0>0.注：当x 0为a 或b 时，取单侧邻域.5、若f 与g 都在[a,b]上可积，证明：M(x)=b][a,x max ∈{f(x),g(x)}，m(x)=b][a,x min ∈{f(x),g(x)}在[a,b]上也都可积.证：M(x)=21(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|)；m(x)=21(f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|). ∵f 与g 在[a,b]上都可积，根据可积函数的和、差仍可积，得证.6、试求心形线r=a(1+cos θ), 0≤θ≤2π上各点极径的平均值.解：所求平均值为：f(ξ)=⎰2π0a 2π1(1+cos θ)d θ=2πa(θ+sin θ)2π=a.7、设f 在[a,b]上可积，且在[a,b]上满足|f(x)|≥m>0. 证明：f1在[a,b]上也可积. 证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，有∑Ti i x △ω<m 2ε.任取x ’,x ”∈△i ，则)x f(1''-)x f(1'=)x )f(x f()x f(-)x f(''''''≤2i mω.设f1在△i 上的振幅为ωi -，则ωi -≤2imω. ∴∑Ti -i x △ω≤∑Ti i 2x △ωm 1<2m1·m 2ε=ε，∴f 1在[a,b]上也可积.8、证明积分第一中值定理(包括定理和中的中值点ξ∈(a,b). 证：设f 在[a,b]的最大值f(x M )=M, 最小值为f(x m )=m ， (1)对定理：当m=M 时，有f(x)≡m, x ∈[a,b]，则ξ∈[a,b]. 当m<M 时，若m(b-a)=⎰b a f(x )dx ，则⎰ba m]-[f(x )dx=0，即f(x)=m ， 而f(x)≥m ，∴必有f(x)≡m ，矛盾. ∴⎰ba f(x )dx >m(b-a). 同理可证：⎰ba f(x )dx <M(b-a).(2)对定理：不失一般性，设g(x)≥0, x ∈[a,b]. 当m=M 或g(x)≡0, x ∈[a,b]时，则ξ∈[a,b].当m<M 且g(x)>0, x ∈[a,b]时，若M ⎰ba g dx-⎰ba fg dx=⎰ba f)g -(M dx=0， 由(M-f)g ≥0，得(M-f)g=0. 又g(x)>0，∴f(x)≡M ，矛盾. ∴⎰ba fg dx <M ⎰ba g dx. 同理可证：⎰ba fg dx>m ⎰ba g dx. ∴不论对定理还是定理，都有ξ≠x M 且ξ≠x m .由连续函数介值定理，知ξ∈(x m ,x M )⊂(a,b)或ξ∈(x M ,x m )⊂(a,b)，得证.9、证明：若f 与g 都在[a,b]上可积，且g(x)在[a,b]上不变号，M,m 分别为f(x)在[a,b]上的上、下确界，则必存在某实数μ∈[m,M]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =μ⎰bag(x )dx.证：当g(x)≡0, x ∈[a,b]时，g(x )f(x )ba ⎰dx =μ⎰bag(x )dx=0.当g(x)≠0时，不妨设g(x)>0，∵m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]， ∴m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰bag(x )dx ，即m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.∴必存在μ∈[m,M]，使g(x )f(x )b a ⎰dx =μ⎰ba g(x )dx.10、证明：若f 在[a,b]上连续，且⎰b a f(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0，则在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0. 又若⎰ba 2f(x )x dx=0，则f 在(a,b)内是否至少有三个零点证：由⎰ba f =0知，f 在(a,b)内存在零点，设f 在(a,b)内只有一个零点f(x 1)， 则由⎰ba f =⎰1x a f +⎰b x 1f 可得：⎰1x a f =-⎰bx 1f ≠0. 又f 在[a,x 1]与[x 1,b]不变号，∴⎰ba x f =⎰1x a x f +⎰b x 1xf =ξ1⎰1x a f +ξ2⎰b x 1f =(ξ2-ξ1)⎰bx 1f ≠0, (a<ξ1<x 1<ξ2<b)，矛盾.∴f 在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0.记函数g=xf(x)，则g 在[a,b]上连续，且⎰b a g(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0， 又⎰ba x g(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，即有⎰b a g(x )dx=⎰ba x g(x )dx=0，∴g=xf(x)在(a,b)内至少存在两个零点，若f 在(a,b)内至少存在三个零点f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=0，则 g(x 1)=x 1f(x 1)=g(x 2)=x 2f(x 2)=g(x 3)=x 3f(x 3)=0，即g=xf(x)在(a,b)内至少存在三个零点g(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，矛盾， ∴f 在[a,b]上连续，且⎰ba f(x )dx=⎰b a x f(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，则 f 在(a,b)内至少存在两个零点.11、设f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0. 证明：(1)f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a ≤⎰-b a f(x)a b 1dx ； (2)又若f(x)≤0, x ∈[a,b]，则有f(x)≥⎰-baf(x)a b 2dx, x ∈[a,b].证：(1)令x=a+λ(b-a), λ∈(0,1)，则⎰-baf(x)a b 1dx=⎰+10a)]-λ(b f[a d λ， 同理，令x=b-λ(b-a)，也有⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰-10a)]-λ(b f[b d λ，则 ⎰-b a f(x)a b 1dx=⎰-++10a)]}-λ(b f[b a)]-λ(b {f[a 21d λ. 又f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0，∴f 在[a,b]上凹，从而有21{f[a+λ(b-a)]+f[b-λ(b-a)]}≥f{21[a+λ(b-a)]+21f[b-λ(b-a)]}=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a . ∴⎰-b a f(x)a b 1dx ≥⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+102b a f d λ=f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a . (2)令x=λb+(1-λ)a ，由f 的凹性得⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰+10λ)a]}-f[(1b) {f(λd λ≤⎰+10λ)f(a)]-(1f(b) [λd λ =f(b)1022λ+ f(a)1022λ)-(1-=2f(b)f(a)+. 不妨设f(a)≤f(b)，则f(a)≤f(x)≤0, x ∈[a,b]，又f(b)≤0， ∴⎰-ba f(x)ab 2dx ≤f(a) +f(b)≤f(x).12、证明：(1)ln(1+n)<1+21+…+n1<1+lnn ；(2)lnnn 1211limn +⋯++∞→=1. 证：(1)对函数f(x)=x1在[1,n+1]上取△i =1作分割，并取△i 的左端点为ξi ，则和数∑=n1i i 1是一个上和，∴⎰+1n 1x 1dx<∑=n 1i i1，即ln(n+1)< 1+21+…+n1；同理，取△i 的右端点为ξi ，则和数∑=+1-n 1i 1i 1是一个下和，∴∑=+1-n 1i 1i 1<⎰n 1x 1dx ， 即21+…+n 1<lnn ，∴1+21+…+n1<1+lnn. 得证.(2)由(1)知ln(1+n)<1+21+…+n 1<1+lnn ，∴lnn 1)ln(n +<lnnn 1211+⋯++<1+lnn 1; 又lnn 1)ln(n lim n +∞→=1n n lim n +∞→=1；∞→n lim (1+lnn 1)=1；∴lnnn 1211lim n +⋯++∞→=1.。
定积分存在的条件
T
,
__
使 S (T ) <
b
, a2
*) 设 T 有 p 个分点,
对任意分割T,由性质的推论有
__
S (T )
p
(M m)
T
__
S (T ) ,
28.05.2020
.
20
__
S (T )
p
(M
m)
T
__
S
(T
)
<
b
a
,
2
即
__
S (T )
p (M m)
T
b
< a
,
2
亦即
__
( Mi f (i )) xi
<
.
2
因此, T 时有
|
__
S (T ) I |
| | + | | < + __
S (T )
28.05.2020
f (i ) xi
f (i )xi I
.
= .
22
24
__
此即
lim
T 0
S (T ) = I
.由达布定理
,
b
a
=
I.
I b
同理可证 a =
28.05.2020
lim
T 0
f
(xi )xi .
=
I
.
23
即对 0 , 0 , 使当 T 时有
|
f (xi )xi
I
|<
2
对i
xi
成立.
在每个 [ xi1 , xi ] 上取 i , 使
0
定积分的性质和基本定理
第二节 定积分的性质和基本定理用求积分和式的极限的方法来计算定积分不是很方便，在很情况下难以求出定积分的值。
因此，我们在定积分定义的基础上，讨论它的各种性质，揭示定积分与微分的内在联系，寻找定积分的有效§2.1一、定积分的基本性质性质 1b a1dx=∫b adx=b-a证 0lim →λ∑=n1i f(ξi ）Δx i ＝lim →λ∑=n1i １·Δx i ＝0lim →λ(b-a)=b-aba 1dx=∫badx=b-a性质2(线性运算法则)，设f(x),g(x)在［a,b ］上可积，对任何常数α、β，则αf(x)+βg(x)在［a,b ］ba ［αf(x)+βg(x)］dx=α∫ba f(x)dx+β∫b ag(x)dx证：设F(x)=αf(x)+βg(x),lim →λ∑=n1i F(ξi ）Δx i ＝0lim →λ［αf(ξi )+βg(ξi ）］Δxi＝0lim →λ［α∑=n1i f(ξi ）Δx i ＋β∑=n1i g(ξi ）Δx i ］＝αb af(x)dx+β∫bag(x)dxαf(x)+βg(x)在［a,bba ［αf(x)+βg(x)］dx=α∫b a f(x)dx+β∫b ag(x)dx特别当α=1,β=±1ba ［f(x)±g(x)］dx=∫b a f(x)dx ±∫b ag(x)dx当β=0ba αf(x)dx=α∫b af(x)dx性质 2性质3 对于任意三个实数a,b,c ，若f(x)在任意两点构成的区间上可b af(x)dx=∫c a f(x)dx+∫bcf(x)dx证a,b,c(i)当a<c<b ，按定义，定积分的值与区间分法无关，在划分区间［a,b ］时，可以让点C是一个固定的b af(x)dx= 0lim →λ∑],[b a f(ξi ）Δx i∑],[c a＝0lim →λ［∑],[c a f(ξi ）Δx i ＋∑],[b c f(ξi )Δxi＝0lim →λ∑],[c a f(ξi )Δx i ＋0lim →λ∑],[b c f(ξi ）Δxica f(x)dx+∫bcf(x)dx（ii)当c<b<a由(i)a cf(x)dx=∫bc f(x)dx+∫abf(x)dx-∫c a f(x)dx=∫b c f(x)dx-∫b af(x)dx, ∫b a f(x)dx=∫c a f(x)dx+∫b cf(x)dx 对于其它4种位置与(ii)性质3主要用于分段函数的计算及定积分说明。
定积分存在和可积的关系
定积分存在和可积的关系定积分存在和可积啊，就像是两个住在数学城堡里的小精灵，看似相似，却又有着微妙的差别。
定积分存在呢，就像是一个幽灵，有时候它悄悄地就出现了。
比如说，一个函数要是比较乖，像一个听话的小绵羊，规规矩矩的，那定积分存在就比较容易。
这就好比你在一条平坦的小路上散步，很容易就从这头走到那头，定积分就像你走过的路程，轻松就存在了。
可积呢，可就像是一个挑剔的美食家。
它要求更多的条件，就像美食家对食材的新鲜度、烹饪的火候等要求很严格一样。
一个函数要是想可积，那它得满足一些额外的条件，不能太“调皮捣蛋”。
要是函数图象像一个乱七八糟的涂鸦，到处都是尖尖角角，就像长满刺的刺猬，那可积性可就要好好审视审视了。
定积分存在有点像一个只要有地方住就行的小懒虫。
它只要能找到一个安身之所，不管这个地方是简陋的小茅屋还是豪华的大别墅，它就宣称自己存在了。
而可积呢，更像是一个讲究品质生活的人，它必须要有一个温馨、舒适、符合它各种要求的家，才肯说自己可积。
有时候，定积分存在就像一个广撒网的渔夫，只要能捞到点东西，就说自己有收获，也就是定积分存在。
可积则像是一个精准捕鱼的高手，它只对那些大小合适、种类正确的鱼感兴趣，条件很苛刻。
你可以把定积分存在想象成一个来者不拒的交友达人，不管对方是有点小毛病的怪咖，还是完美的绅士淑女，都能和人家成为朋友，也就是定积分存在。
而可积就像是一个眼光超高的恋爱高手，只对那些几乎完美的对象心动，对可积性要求很严格。
不过呢，定积分存在是可积的前提。
就像你得先有个毛坯房（定积分存在），才有可能把它装修成一个温馨的家（可积）。
要是连毛坯房都没有，还谈什么装修成豪华住宅呢？但也不是所有定积分存在的情况都能顺利达到可积的“高标准”。
就像不是每个能有个安身之处的人都能过上那种精致、高品质的生活一样。
总的来说，定积分存在和可积就像是数学世界里的一对难兄难弟，定积分存在比较随性，可积比较讲究，但它们又有着千丝万缕的联系，一起在数学的大舞台上演绎着奇妙的故事。
【2019年整理】《微积分》(下)复习大纲
《微积分》（下）教案第六章定积分教学目的和要求：1、了解定积分的概念及存在定理，理解定积分的基本性质和中值定理2、掌握牛顿-莱布尼兹公式，掌握定积分的换元法和分部积分法3、理解两种广义积分的概念并掌握它们的求法4、理解定积分的应用并掌握它们的求法重点：1、牛顿-莱布尼兹公式2、定积分的换元法和分部积分法难点：1、定积分的概念2、积分上限函数的概念与应用3、定积分的换元法和分部积分法中的技巧第一节定积分的概念和性质教学目的和要求：1 、通过曲边梯形的面积以及变速直线运动的路程实例引入定积分的概念，从中领会从有限到无限、特殊到一般的数学思想，从而培养学生的数学意识和利用数学解决实际问题的能力。
2、使学生掌握定积分的概念和存在定理，并通过例题使学生学会如何处理和解决相应的数学问题。
3、理解定积分的基本性质和中值定理重点：定积分的概念教学过程：、问题的提出1、几何上，曲边梯形的面积(1) 曲边梯形的特征(2) 面积的计算方法2、物理上，变速直线运动的路程注：让学生比较两个问题的共性(1) 解决问题步骤相同(2) 所求量的结构式相同二、定积分的定义1、定义注意问题(1) 在定义中，区间的划分和点选取的任意性(2) 所划分的区间长度的最大值趋于零和所分区间无穷多之间的关系(3) 定积分的值只与被积函数和积分区间有关，与积分变量的写法无关(4) 定积分的实质是特殊和式的极限2、定积分存在的条件3、定积分的几何意义四、小结教学目的和要求：1、理解定积分的基本性质和中值定理2、使学生能用定积分的性质进行估值、比较大小重点：定积分的基本性质教学过程：一、定积分的性质1、线性性质(1)2、线性性质(2)3、区间可加性4、用定积分求矩行面积的公式5、定积分的不等式性质6、定积分的估值不等式7、定积分的中值定理bf (x)dx注意问题：(1)可以把----------- =f(&)理解为f (x)在［a,b］上的平均值b -a二、例题分析例1 :估计积分(——dx的值3 sinx注：本题考察估值不等式性质例2:估计积分£S^nx dx的值4 x注：本题在考察估值不等式性质的同时，复习了求最值的方法例3:比较jxdx和fln(1 +x)dx的值注：本题考察不等式性质三、小结第一节微积分基本定理教学目的和要求：1、掌握积分上限函数的定义及其性质2、掌握微积分基本公式(牛顿--莱布尼茨公式)，会用这个公式求一些函数的定积分重点：1、积分上限函数的定义及其性质2、牛顿--莱布尼茨公式教学过程：一、问题的引入1、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的关系二、积分上限函数的定义及其性质1、积分上限函数的定义2、积分上限函数的性质注意问题(1)积分上限函数的导数公式的几种重要变形3、原函数存在定理注意问题(1) 定理的一个意义在于肯定了连续函数的原函数是存在的 (2) 定理的另一意义在于揭示了定积分与原函数之间的关系三、牛顿--莱布尼茨公式 注意问题(1)求定积分实际上转化为求原函数的问题四、例题分析2 -例 1:求下歹0正积分 (1) 0 (2cosx+sin x-1)dx 注：本题考察牛顿--莱布尼兹公式2 dt (2) X XS 'n dt1 cos t 01 c o st 注：本题考察积分上限函数的性质例3:计算曲线y=sinx 在［0,冗］上与x 轴所围成的平■面图形的面积 注：本题考察牛顿--莱布尼兹公式的应用，并同时考察定积分的几何意义 例 4: f (x)=° - x — 1 求［f (x)dx5 1<x 苴2 七注：本题考察定积分的区间可加性1」2e dt例5:求lim^『x 50x 2注：本题考察积分上限函数的导数和洛必达法则xtf (t)dt例6:设f (x)在(-00，危)内连续，且f(x)》0，求证：函数F(x)= ---------------------------------- 在0 f(t)dt (0,E)内为单调增加函数注：本题考察商的导数，积分上限函数导数，单增函数的判定，引导学生将所学知识 有机结合 五、小结第一节定积分的换元法dx⑵L ------ ----------=x 2 2x 2x2t sin t 例2:求下列函数的导数(1)。
定积分的概念,性质与中值定理
(2 ) a > b, ∫ f ( x )dx = - ∫ f ( x )dx
b a a b
性质1 性质1 性质2 性质2 性质3 性质3
∫ [ f ( x ) ± g ( x )]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx
b b b a a a
∫
b
a
cf ( x )dx =c ∫a f ( x )dx
∫ v (t )dt .
T2 T1
二.定积分的定义(和式的极限) 定积分的定义(和式的极限) 上有界, 设函数 f(x)在[a,b]上有界, 在[a,b]中任意插入若干个分点 在 上有界 中任意插入若干个分点 a = x0 < x1 < x2 < L< xi −1 < xi < Lxn = b, 把区间[ 个小区间: 把区间[a,b] 分成 n个小区间: [ x 0 , x 1 ], [ x 1 , x 2 ], L , [ x n −1 , x n ], 个小区间 各小区间的长度依次为: 各小区间的长度依次为: ∆x1 = x1 − x0 , ∆x2 = x2 − x1 ,L, ∆xn = xn − xn−1 , 任取一点 任取一点 ξ i ∈ [ x i − 1 , x i ], 作乘积 f (ξ i )∆x i ( i = 1,2,L , n), 并作出和
v(τ i )
∆t i = t i − t i −1
( i = 1,2, L , n)
T1
τi
T2
(2) 近似代替 ∆ s i ≈ v (τ i ) ∆ t i (3) 求和 (4) 取极限
t0 t1 t 2 ti −1 ti t n −1 t n
v (τ i ) ∆ t i
定积分的概念与可积条
典 型 小 区 间 为 [ q i 1 , q i ] ， （ i 1 解, 2 , , n ）
小 区 间 的 长 度 x i q i q i 1 q i 1 ( q 1 ) ,
例取 2 i 利 用q 定i 义1 ， 计算（ i 1 , 2 , , n ）
定积分
n
i1
lim ln nf 1 f 2 f n
en n n n
lim1 n lnf
e e nni1
ni
n
lim lnf
ni1
ni n1
指 数 上 可 理 解 为 ： ln f(x )在 [0 ,1 ]区 间 上 的 一 个 积 分 和 ． 分 割 是 将 [ 0 ,1 ] n 等 分
分 点 为 x i n i， （ i 1 ,2 , ,n ）
1 x 2dx . 0
将 [0 ,1 ]n 等 分 ， 分 点 为 x i n i， (i 1 ,2 , ,n )
小 区 间 [x i 1 ,x i]的 长 度 x i n 1 ， (i 解1 ,2 , ,n )
取 i x i， ( i 1 ,2 , ,n )
n
例1
f (i
利用定义计n算
b
4、 a dx .
PART 1
二、 1 (b3 a 3 ) b a .
3
三、 1 (b2 a 2 ). 2
五、88.2(千牛).
定理 1 若函数 f 在[a, b]上可积，则 f 在[a, b]上一定有界。
证
定理指出，任何可积函 数一定是有一界个的函，数但究要竟要注满意足，何
有附界函：数却可不积一定条可积 。
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变， 求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过 对时间的无限细分过程求得路程的精确值．
定积分存在的条件
定积分存在的条件
定积分存在必要条件是：
函数有界定积分存在的充分条件 1.函数有界且有有限个间断点（除无穷间断点）2.函数连续3.函数单调有界
原函数存在与定积分存在的区别：
首先从性质来看，定积分是fx的曲线下面积，也就是一个数值，而原函数是一个函数，一个函数存在与否和一个数值是否存在完全就是两码事儿，但是本质上却有一定的联系，建立在某种条件成立的前提下。
原函数存在定理:
fx在区间上连续，必有原函数；
fx在区间上存在第一类间断点，必没有原函数；
初等函数在区间上连续，故初等函数在其定义区间一定存在原函数；定积分存在定理:
fx在闭区间内连续，则定积分存在；
fx在闭区间内有界，且只有有限个间断点，则定积分存在；
fx在闭区间上单调，则定积分存在；
变限积分定理:
若函数fx在闭区间上连续，则变上限积分函数在此区间内可导，且导函数等于fx；
所以由以上我们可以得到这二者之间的联系；
fx在闭区间连续时，原函数存在，定积分存在，且变上限定积分函
数是fx的一个原函数，也就是变限积分函数求导可以得到fx；
也就是从这个结论中我们可以总结出求原函数的方法：设原函数为变；上限积分函数：
当被积函数在闭区间内有界且有有限个间断点时，则fx可积，原函数不存在，但变上限积分函数连续；
函数fx在闭区间上可积，fx不一定连续；fx在闭区间连续，一定可积。
定积分的存在条件
定积分的存在条件积分的含义和定积分的概念都可以追溯到古希腊数学家色雷斯特斯的数学研究。
定积分是一种特殊的数学表示法，它可以表示某一函数的积分，即函数曲线下的面积，它可以用来表示椭圆、抛物线等函数的积分。
定积分的存在条件也被称为定积分定理，它可以帮助我们更好地理解和解释定积分的作用。
定积分的存在条件需要满足下列条件：一、在定积分的存在条件下，函数f(x)必须是定义在[a,b]上的连续函数，即在[a,b]上连续变化，有一定的值域范围，而且不存在任何离散和断点；二、在定积分的存在条件下，函数f(x)的导函数F(x)必须是定义在[a,b]上的有界函数，即有一定的取值范围，并且满足其导函数的极限等于函数自身。
三、当定积分的存在条件被满足时，函数f(x)在[a,b]上的积分就是F(x)在[a,b]上的积分；四、在定积分的存在条件下，在计算函数的积分时，可以使用F(x)的积分替代f(x)的积分，这样可以大大减少计算量，提高计算效率。
上述就是定积分的存在条件。
定积分的存在条件对于我们解决函数的积分有着重要的意义。
它能够有效的把函数的积分进行拆分、矫正、优化，从而使计算变得更加简洁，准确率也更高。
定积分的存在不仅可以使事情变得简单，而且有助于我们理解更复杂的数学概念，例如定积分可以帮助我们更好地理解级数的概念，从而使我们在计算更复杂的函数积分时变得更加容易。
另外，定积分还可以用来解决实际问题，例如求取某一物体在自由落体过程中位移、加速度和速度等问题。
总之，定积分在理解数学概念和解决实际问题方面都有着重要的作用。
通过以上介绍可以看出，定积分有着十分重要的存在条件，这些条件是定积分在理解数学概念和解决实际问题方面发挥作用的前提条件。
理解这些条件，可以帮助我们更快的了解定积分的概念，从而使我们在数学积分的学习和研究中取得更大的进步。
函数可以积分条件
函数可以积分条件
函数可以积分的条件是什么？这是许多数学学生常常会碰到的问题。
因为函数可以进行积分和导数运算，所以确定一个函数是否可以积分，就需要考虑这个函数的连续性、可微性、定义域以及积分范围等多方面因素。
第一条函数可以积分的条件是函数必须是连续的。
如果一个函数在其定义域内处处连续，那么我们可以确定其定积分是存在的，并可以通过不断逼近函数积分值去计算积分。
然而，如果函数存在间断点，则需要对这些点进行分类讨论后分别计算积分。
除此之外，函数的定义域和积分范围也会对其积分运算产生巨大的影响。
如果一个函数在某些区间内未定义，那么在这些区间内任何计算结果都是不正确的。
因此，我们需要清楚地理解函数的定义域，以及积分的范围，从而可以确定一个函数是否可以积分。
综上所述，确定函数是否可以积分的条件包括：函数必须连续，函数必须可微，函数的定义域和积分范围必须清晰明确。
只有在满足这些条件的情况下，我们才可以对其进行积分计算。
另外，我们还需要注意，今天我们介绍的是定积分，而不是不定积分。
其中，后者是我们常用的积分过程，前者则是一个几何操作。
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循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
Mi Mi1 x'j xi1
Mi Mi2
xi
x
' j
M
m
x
' j
xi 1
xi
x
' j
M m xi xi1 M m p 1
M
m
p
1
2
p
1
M
m
2
另一方面，由定理1有
*
'
S L S L
2
于是将上面的两个不等式相加，得
'
S
L，S '
L
,及
0 S'－L
2
2
固定了p及 xi' 以后, 可取 (分法固定)
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循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
min x1'
x0' ,
x2'
x1' , L
,
x'p
x
' p1
,
2 p 1 M m
（分法T 对应的小区间中最小的小区间长度）
证明: 设对于a，b有两个独立的分法，
对应的达布和分别记为 s1，s1及s2，s2， 我们来证明 s1 s2. 把两种分法的分点合并在一起，也是一种分法，
对应的达布和分别记为S3 , 及S3，于是由定理1知
S1 S3, S3 S2 . 而S3 S3 , 所以S1 S2.
(证毕)
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循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
由定理2
记 l supS,
由定理3
L inf S
有 S l L S. 定理4 : (达布定理）（证明略）
对任何在a，b0
0
其中规定为对任意的分法, miaxxi.
S, S分别表示对 a，b任意分法的达布下和与 达布上和，
其中M及m分别为f x在a,b的上、下确界.
于是，为了得到所需的结论，
只要证明，对任意的分法
a x0 x1 L xn1 xn b
只要 时，就成立
S L S L 即可.
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§7.2 定积分存在的条件
事实上，合并以上两个分法的分点，作为新分法的
同理可证S ' S 。 （证毕）
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循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
定理2 : 对于一切分法，上和的集合 S 有下界
m b a ,下和的集合S有上界M b a .
这里分别用M及m记f x在a,b的上确界及下确界.
证明： 沿用以上记号，显然有mi M , Mi m。
设
xi1, xi
中含有点x
' j
,
而M
i
1，M
i
2分别为f
x
在
xi
1
,
x
' j
及
x
' j
,
xi
的上确界，那么对于含有x'j的这种部分区间
xi1, xi 作和，得
*
0SS
Mi xi xi1
Mi1
x'j xi1
Mi2
xi
x
' j
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分点，这样得到一个新的分法，设其对应的上和为S* ,
那么,由于任一长度xi xi1都小于任一长度x'j x'j1，
所以在每一部分区间 xi1, xi 内至多只有 x'j 中的一个点.
又因x0' , x'p分别与x0 , xn重合，因而它们不在 x0 , x1
及
xn1 , xn
内，因此，含有x
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
一、定积分存在的充分必要条件（可积准则）
定义:（达布和）（大和、小和或上和、下和）
设f x 在a,b有界，在a,b插入分点
a x0 x1 L xn1 xn b
把a,b分成n个小区间xi1, xi i 1, 2,L ,n
(第i个小区间上f(x)的上.下确界)
于是有
n
n
S Mixi mxi m b a
i 1
i 1
结 合
同理可证
n
n
S mxi Mxi M b a .
i 1
i 1
图 形
（证毕）
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§7.2 定积分存在的条件
定理3 : 任一个下和S总不超过任一个上和S，
即使是对应于不同分法的上和及下和.
记 Mi sup f x x xi1, xi
mi inf f x x xi1, xi xi xi xi1
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§7.2 定积分存在的条件
n
n
作和式 S Mix（i 大）， S mix（i 小）
i 1
i 1
分别称为对于这一分法的达布上和及达布下和，
统称达布和。
(注意:加入分点前后)
定理1 : 如果在原有的分点中加入新的分点， 则上和不增，下和不减。
也就是说，若加入新分点后对应的上和及下和 分别记为S'及S ', 则S ' S， S ' S.
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§7.2 定积分存在的条件
证: 设原有分点为a x0 x1 L xn1 xn b,
不失一般性，不妨假定只在 xi1, xi 中插入一个新分点x ' :
xi1
x'
xi
.
把第i个小区间分为两个小区间，记
y
Mi1 sup f x x xi1, x ' ,
Mi2 sup f x x x ', xi
显然Mi1 Mi , Mi2 Mi ， 所以
S' S.
x
o xi1 x xi
0 SL
定理证毕.
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§7.2 定积分存在的条件
定理5：定积分存在的第一充分必要条件
函数f x在a, b可积的充分必要条件
'的部分区间
j
xi1 , xi
最多
只有p 1个。
另一方面，若 xi1, xi 中不含有x'j的点，则在S
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§7.2 定积分存在的条件
中及S*中都含有项Mi xi xi1 ，从而在差S S*中 只剩下 xi1 , xi 中含有x'j点的那些项的差.
l supS, L inf S
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循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
证明：（就上和的情形加以证明.）
由于对某分法T，L是 S 的下确界,
所以对于任意 0，可以对a, b，作另一分法T,
a
x0'
x1' L
x' p1
x'p
b
使得对应于这一分法的上和S '满足