定积分存在的条件

同理可证S ' S 。 （证毕）
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循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
定理2 : 对于一切分法，上和的集合 S 有下界
m b a ,下和的集合S有上界M b a .
这里分别用M及m记f x在a,b的上确界及下确界.
证明： 沿用以上记号，显然有mi M , Mi m。
'的部分区间
j
xi1 , xi
最多
只有p 1个。
另一方面，若 xi1, xi 中不含有x'j的点，则在S
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循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
中及S*中都含有项Mi xi xi1 ，从而在差S S*中 只剩下 xi1 , xi 中含有x'j点的那些项的差.
l supS, L inf S
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循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
证明：（就上和的情形加以证明.）
由于对某分法T，L是 S 的下确界,
所以对于任意 0，可以对a, b，作另一分法T,
a
x0'
x1' L
x' p1
x'p
b
使得对应于这一分法的上和S '满足
其中M及m分别为f x在a,b的上、下确界.
于是，为了得到所需的结论，
只要证明，对任意的分法
a x0 x1 L xn1 xn b
只要 时，就成立
S L S L 即可.
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循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
事实上，合并以上两个分法的分点，作为新分法的
分点，这样得到一个新的分法，设其对应的上和为S* ,
那么,由于任一长度xi xi1都小于任一长度x'j x'j1，
所以在每一部分区间 xi1, xi 内至多只有 x'j 中的一个点.
又因x0' , x'p分别与x0 , xn重合，因而它们不在 x0 , x1
及
xn1 , xn
内，因此，含有x
记 Mi sup f x x xi1, xi
mi inf f x x xi1, xi xi xi xi1
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循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
n
n
作和式 S Mix（i 大）， S mix（i 小）
i 1
i 1
分别称为对于这一分法的达布上和及达布下和，
于是有
n
n
S Mixi mxi m b a
i 1
i 1
结 合
同理可证
n
n
S mxi Mxi M b a .
i 1
i 1
图 形
（证毕）
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循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
定理3 : 任一个下和S总不超过任一个上和S，
即使是对应于不同分法的上和及下和.
'
S
L，S '
L
,及
0 S'－L
2
2
固定了p及 xi' 以后, 可取 (分法固定)
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循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
min x1'
x0' ,
x2'
x1' , L
,
x'p
x
' p1
,
2 p 1 M m
（分法T 对应的小区间中最小的小区间长度）
统称达布和。
(注意:加入分点前后)
定理1 : 如果在原有的分点中加入新的分点， 则上和不增，下和不减。
也就是说，若加入新分点后对应的上和及下和 分别记为S'及S ', 则S ' S， S ' S.
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§7.2 定积分存在的条件
证: 设原有分点为a x0 x1 L xn1 xn b,
不失一般性，不妨假定只在 xi1, xi 中插入一个新分点x ' :
xi1
x'
xi
.
把第i个小区间分为两个小区间，记
y
Mi1 sup f x x xi1, x ' ,
Mi2 sup f x x x ', xi
显然Mi1 Mi , Mi2 Mi ， 所以
S' S.
x
o xi1 x xi
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循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
Mi Mi1 x'j xi1
Mi Mi2
xi
x
' j
M
m
x
' j
xi 1
xi
x
' j
M m xi xi1 M m p 1
M
m
p
1
2
p
1
M
m
2
另一方面，由定理1有
*
'
S L S L
2
于是将上面的两个不等式相加，得
0 SL
定理证毕.
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§7.2 定积分存在的条件
定理5：定积分存在的第一充分必要条件
函数f x在a, b可积的充分必要条件
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§7.2 定积分存在的条件
由定理2
记 l supS,
由定理3
L inf S
有 S l L S. 定理4 : (达布定理）（证明略）
对任何在a，b有界的函数f x ,
必有 lim S L, lim S l
0
0
其中规定为对任意的分法, miaxxi.
S, S分别表示对 a，b任意分法的达布下和与 达布上和，
设
xi1, xi
中含有点x
' j
,
而M
i
1，M
i
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2分别为f
x
在
xi
1
,
x
' j
及
x
' j
,
xi
的上确界，那么对于含有x'j的这种部分区间
xi1, xi 作和，得
*
0SS
Mi xi xi1
Mi1
x'j xi1
Mi2
xi
x
' j
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§7.2 定积分存在的条件
一、定积分存在的充分必要条件（可积准则）
定义:（达布和）（大和、小和或上和、下和）
设f x 在a,b有界，在a,b插入分点
a x0 x1 L xn1 xn b
把a,b分成n个小区间xi1, xi i 1, 2,L ,n
(第i个小区间上f(x)的上.下确界)
证明: 设对于a，b有两个独立的分法，
对应的达布和分别记为 s1，s1及s2，s2， 我们来证明 s1 s2. 把两种分法的分点合并在一起，也是一种分法，
对应的达布和分别记为S3 , 及S3，于是由定理1知
S1 S3, S3 S2 . 而S3 S3 , 所以S1 S2.
(证毕)
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