实变函数与泛函分析课件：第三章 距离空间
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实变函数与泛函分析
开 G n ， 集 E 使 G n 且 m ( G 得 n E ) 1 n
令O
n 1
Gn
,则 O为 G型集， EO 且
m ( O E ) m ( G n E ) 1 n ,n 1 ,2 ,3 , L
故m(OE)0
例： 设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一 零测度集的G 型集或 F 型集。
可测集可由 G 型集去掉一零集， 或 F 型集添上一零集得到。
(2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 H E 且 m (EH )0
(1).若E可测，则存在G 型集 O, 使 E O 且 m (O E )0
(2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 H E 且 m (EH )0
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
(2)若 E可测 ， 0 则 ,闭F 集 ， 使F 得 E且 m(EF)
(1)若 E可测 ， 则 0,开G 集 ， (2)若 E可测 ， 0 则 ,闭F 集 ， 使E 得 G且 m(GE) 使F 得 E且 m(EF)
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
0 , 开 G ， 集 E c 使 G 且 m ( G 得 E c )
令 O n 1 G n ， 则 O 为 G 型 集 ， E O 且
m ( O E ) m ( G n E ) 1 n ,n 1 ,2 ,3 ,
故m(OE)0 从 而 E O (O E ) 为 可 测 集
例：设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一小
测度集的开集和闭集。E{r1,r2,r3,}
取F=G c，则F为闭集 FE
且 m (EF )m (E F c)
m (E (c)c F c)m (F cE c)m (G E c)
实变函数论与泛函分析
实变函数论与泛函分析实变函数论与泛函分析是数学家们在研究函数分析的时候提出的一种理论模式。
实变函数论是一门理论体系，其研究的对象主要是和函数之间的关系。
泛函分析则注重对函数本身的进行分析。
实变函数论与泛函分析介绍如下：一、实变函数论1.定义实变函数论是指研究将一个变量关于另一个变量而又依赖于一个参数时函数的行为和性质的学科。
它试图分析它们之间的关系，在有限或无限的变量区间上建立关于函数的数学模型和理论，并导出用于解决数学问题的一般定理和式子。
2.应用实变函数论在各个数学学科，特别是微积分学中有着重要的地位。
在微积分中，它们被用来研究函数和变量之间的关系，帮助分析变量的变化率、局部变化规律以及参数对变量的影响等方面的数学模型，以及表示形式的分析等等。
二、泛函分析1.定义泛函分析是一门概括实变函数性质的学科。
它是研究实变函数的性质的一种新的数学方法，其研究的主要对象是函数本身的特征。
它不仅仅关注实变函数的变化规律以及参数对变量的影响，而且重视函数本身的一般特征。
2.应用泛函分析在数学中广泛应用，用它可以分析函数表示形式、函数图像、数值函数特征等，以及函数变量范围等方面的信息。
泛函分析可以快速求解实变函数存在的问题，例如函数的变换矩阵以及函数的定义域等等，并可以用来帮助分析实变函数在不同区间的特征。
它还可以帮助机器学习和统计学家们更好地探索实变函数方程的内在特征。
总之，实变函数论与泛函分析是数学家们用来研究函数的理论尝试，涉及到函数之间的关系、特征以及数学上的分析。
它们在数学学科中都具有重要的地位，为数学应用研究提供了强有力的帮助。
实变函数与泛函分析基础ppt课件
证明：不妨设f单调增，对任意a∈R
令Ia inf{ x | f (x) a}
由f单调增知下面的集合为可测集
E { [ f a]
E [ I a ,) 当I a {x| f ( x)a} E ( I a ,) 当I a {x| f ( x)a}
a
1
/ I a x1 x2
10
⒊可测函数的等价描述
定理1：设f(x)是可测集E上的广义实函数，则 f(x)在E上可测
16
⑵可测函数类关于四则运算封闭
即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,
则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x)
仍为E上的可测函数。
a-g(x) r f(x)
证明：先证： a
R, E[
f
ga]
E[ f
可测，
a g ]
猜想：E[ f ag] rQ(E[ f r] E[agr] )。
可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数
证明：任取x∈E[f>a], 则f(x)>a,由连续性假设知，
对 f (x) a, x 0, 使得f (O(x,x ) E) O( f (x), ) (a,)
即O( x,x ) E E[ f a]
令G O xE[ f a] ( x,x )
1 ， n
）
E[ f
为可测集。
]
12
注：重要方法：将集合分解为某些集合
的并、交、差等，从而利用已知条件。
如：用分解法证明：
f , g均为E上可测函数，则E[ f g]为E上可测集。
事实上，E[
f
g]
(
rQ
E[
实变函数论泛函分析课件
02 实变函数的定义与性质
实变函数的定义
01
02
03
定义域
实变函数的定义域是实数 集的一个子集，可以是有 限或无限的。
值域
实变函数的值域是实数集 的一个子集，可以是有限 或无限的。
函数表达式
实变函数可以表示为从定 义域到值域的映射关系， 通常用符号 f(x) 表示。
实变函数的性质
单调性
如果对于任意 x1<x2，都有 f(x1)≤f(x2)，则称 f(x) 在其定义
微积分的应用
介绍微积分在各个领域的应用，如物理学、工程学、经济学等。
微积分的进一步发展
介绍微积分的进一步发展，如变分法、最优控制等。
04 泛函分析的基本概念
泛函的定义与性质
定义
泛函是将函数空间的每一个元素作为自变量，其值是实数或 复数的函数。
性质
泛函是定义在函数空间上的，它具有连续性、可加性、线性 等性质。
么该空间是自完备的。
共鸣定理
在赋范线性空间中，如果存在 一个与所有单位球相交的集合，
那么该空间是自完备的。
开映射定理
如果X和Y是赋范线性空间，T 是X到Y的开映射，那么T是满
射。
闭图像定理
如果X和Y是赋范线性空间，T 是X到Y的连续线性映射，那
么T的像集是闭的。
05 泛函分析的应用领域
微分方程的求解
分析中的某些问题。
应用领域
实变函数论和泛函分析 在许多应用领域都有交 叉，如 质
线性性质
对于任意实数k和函数f,g，有 $k(f+g)=(kf)+(kg)$， $(kf)+(kg)=(k+k)(f)$。
连续性质
如果f_n(x)是函数空间中的收敛序列， 那么$f_n(x)$的极限函数也是连续的。
实变函数与泛函分析-实变与泛函_ch3
3.1 距离空间的定义及例子 University of science & Technology of China
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3.3 距离空间的完备性和稠密性
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33实变函数与泛函分析第三章 测度论
Ei )
2i
令G
i1
Gi
,ห้องสมุดไป่ตู้
则G为开集，E
G，且
m(G
E)
m( i 1
Gi
i 1
Ei
)
m(i1(Gi
Ei ))
i 1
m((Gi
Ei )
i 1
2i
例1.设E Rn，若 0, 开集G，使得E G 且m(G E) ，则E是可测集。
证明：对任意的1/n，
开集 Gn，使得 E
Gn且m (Gn
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
G型O，使得E c O且m(O E c ) 0
取H=O c，则H为 F 型集 ，H E 且
m(E H ) m(E H c ) m((Ec )c H c ) m(H c Ec ) m(O Ec ) 0
下证(1)：
(1).若E可测，则存在G 型集 O, 使 E O且m(O E) 0
n
2i1
, ri
)) n
2i1
F 型集：空集
注：上面的交与并不可交换次序
例5：设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一 零测度集的G 型集或F 型集。
G型集： (0,1)
F 型集：H
[0,1] n1(i1(ri
1 n
2i1
, ri
1
)) n
2i1
定理7：若E可测，则
(1) mE inf{mG : G是开集，E G} (2) mE sup{mK : G是开集，K E} 外、内正规性
有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；
通过取余G 型集与 F 型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）
实变函数与泛函分析全册精品完整课件
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五大论：
集合论-着重介绍 Cantor 关于集合的势论的知识.
测度论-讲解 Lebesgue 测度的思想与方法.
积分论-讲解 L 积分的定义、性质、极限定理和 L 可积函数空间，积分与微分的关系.
空间论-主要讲述无穷维赋范空间和内积空间，以 及与共轭空间有关的知识. 算子论-主要讲述三大基本定理（共鸣定理、开映 射定理、闭图像定理），共轭算子以及算子谱理
论.
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教学目的
使学生掌握 L 测度与 L 积分的基本理论、基本思想 与方法，为今后进一步使用现代分析普遍应用的这 一基本工具打下基础。
使学生掌握有关空间和算子的基本理论和思想方法 . 认识和理解现代数学中公理化、抽象与具体、理 论和应用密切联系的特点并加以应用.
前言
课程的重要性 课程讲授的主要内容 教学目的 难易程度 考核方式
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《实变函数与泛函分析》的重要性 在20世纪初期产生并发展起来的学科，是整 个分析数学中最年轻的学科之一 从“经典理论”向“现代理论”转折的关口 是联系各门课程的纽带
通过与其他学科的联系，加强学生对于数学思想方 法的内在联系和一致性的认识，从整体上提高学生 的数学素养
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课程难度与考核方式
内容抽象，难度较大 平时表现分+考试分数， 比例 认真学习则无须担心考核
泛函分析ppt课件
E
E
E
等号相等当且仅当它们线性相关
24
例子
• 以出租车距离定义的平面距离空间; • 序列空间 l ,l p , p 1 • 函数空间C[a,b]; • 离散距离空间; • R上函数|x-y|^2；|x-y|^1/2是距离吗？ • Hamming距离：X为所有0和1构成的三元序组所构成的集合
（总数为8）,元素x，y的距离是x，y中不同的对应分量的个数。 • 在开关和自动化理论以及编码理论中都有重要的应用。
• 可数基数a，连续基数c。
9
• 主要结论：1.可数集的子集至多可数； 2.有限或可数多个可数集合的并是可数集； 3.有限个可数集的直积是可数集； 4. 无限集必于它的某真子集对等，含可数子集；
可数集的例子：整数集，有理数集，n维欧式空间中 的有理点集。
实数的基本定理：确界存在原理、单调有界原理、 闭区间套引理、聚点定理、有限覆盖定理等等都 当成已知
• 今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术 的学科中，起着重要的作用，已成为近代分析的 基础之一。
• 泛函分析的最基本的内容：三个空间，四个定理
5
第一章 预备知识
1.集合
• 所谓集合，是指具有某种特定性质事物的全体， 构成集合的“事物”称为集合的元素。
• 集合的表示方法：1.列举法；2.描述法。 • 相关的概念和符号：集合相等，子集，真子集，
的参考书。
11
12
选择公理
• 泛函分析的研究必须首先承认一些事情 • 选择公理：设C为一个由非空集合所组成的集合,
那么，我们可以从每一个在C中的集合中，都选 择一个元素和其所在的集合配成有序对来组成一 个新的集合。 • Zorn引理：设（P,>）是偏序集，若P的每一个全 序子集在P中都有上界，则P必有极大元 • 良序原理：所有集合能被良序化。换句话说，对 每一个集合来说，都存在一种排序方法，使得它 的所有子集都有极小元素
泛函分析 PPT课件
• 研究的空间的目的，在于把由实际问题归纳出来 的某些集合抽象为具有某种属性的空间，从而利 用数学上已有的结论去分析他们的性质。
• 如：关于点的收敛性就与自控控制系统的输入输 出稳定性、控制算法的收敛性等密切相关。
• 下面我们介绍的这个结论，不仅在数学上，在其 它的学科也能看到广泛的应用。
定理证明：随便给定一点x 0，压缩算子T 逐次作用，得到了一个 Cauchy列，由空间X的完备性，极限点x *存在且唯一,不动点就
得到了.(Tx*, x*) (Txn ,Tx*) (Txn , x*) 0。
该定理（Banach压缩映射原理）就是某一类映射的不动点存在
性和唯一性的问题，不动点可以通过迭代序列求出。实际应用
中T未必是，但T n0是压缩时，命题仍然成立。 注：1.该原理是求解代数方程、微分方程、积分方程、以及数值
同胚变化下是保持不变的 • 练习：证明从离散空间X到任意距离空间Y
的映射T是连续映射。
证明稠密性具有传递性，即若A在B中稠密，B在C中稠密，则A 在C中稠密。
不可分空间的例子：有界数列空间在最大值定义的距离下 是不可分的。
注： Cauchy序列一定是有界序列，如果有收敛的子列，那么 Cauchy序列必是收敛的
• 若空间X本身是紧（列紧）集，则称X是紧（列紧） 空间。
• 例：实直线R是完备的距离空间，但不是紧的， 也不是列紧的；R中任意有界闭集M按R的距离是 紧空间，有界开集N是列紧的。
• 在欧式空间中，有界性和列紧性是一致的。
距离空间的紧性
• 直接从定义判定一个集合的紧性比较困难。 • 称距离空间X的子集A是全有界的，对任意
常用的几个公式
• 赫尔德不等式：p,q>1,1/p+1/q=1,则
• 如：关于点的收敛性就与自控控制系统的输入输 出稳定性、控制算法的收敛性等密切相关。
• 下面我们介绍的这个结论，不仅在数学上，在其 它的学科也能看到广泛的应用。
定理证明：随便给定一点x 0，压缩算子T 逐次作用，得到了一个 Cauchy列，由空间X的完备性，极限点x *存在且唯一,不动点就
得到了.(Tx*, x*) (Txn ,Tx*) (Txn , x*) 0。
该定理（Banach压缩映射原理）就是某一类映射的不动点存在
性和唯一性的问题，不动点可以通过迭代序列求出。实际应用
中T未必是，但T n0是压缩时，命题仍然成立。 注：1.该原理是求解代数方程、微分方程、积分方程、以及数值
同胚变化下是保持不变的 • 练习：证明从离散空间X到任意距离空间Y
的映射T是连续映射。
证明稠密性具有传递性，即若A在B中稠密，B在C中稠密，则A 在C中稠密。
不可分空间的例子：有界数列空间在最大值定义的距离下 是不可分的。
注： Cauchy序列一定是有界序列，如果有收敛的子列，那么 Cauchy序列必是收敛的
• 若空间X本身是紧（列紧）集，则称X是紧（列紧） 空间。
• 例：实直线R是完备的距离空间，但不是紧的， 也不是列紧的；R中任意有界闭集M按R的距离是 紧空间，有界开集N是列紧的。
• 在欧式空间中，有界性和列紧性是一致的。
距离空间的紧性
• 直接从定义判定一个集合的紧性比较困难。 • 称距离空间X的子集A是全有界的，对任意
常用的几个公式
• 赫尔德不等式：p,q>1,1/p+1/q=1,则
实变函数与泛函分析课件
间的定义
巴拿赫空间的性质
巴拿赫空间与连续线性映射
连续线性映射
连续线性映射的定义
连续线性映射的性质
线性算子的谱理论
03 空间上的算子与变换
有界线性算子
有界线性算子的定义：在某空 间上有界且线性
重要性质：有界线性算子可以 扩展为全空间上的有界线性算
子
谱定理：有界线性算子的谱分 解定理
空间上的算子与变换部分的习题与解答
01
02
总结词：空间上的算子 与变换部分主要涉及线 性算子、有界算子、 紧 算子等不同类型的算子 的定义、性质和计算方 法，以及空间上的变换 和约化定理的应用。
详细描述
03
04
05
1. 线性算子的定义和性 2. 有界算子和紧算子的 质，包括线性算子的有 定义和性质，以及在各 界性、紧性、谱性质等， 种空间中的存在性和构 以及在各种空间（例如， 造方法。 Hilbert空间、Banach 空间等）中的应用。
映射与变换
序关系
介绍映射的概念及基本性质，如一一映射、 满射、单射等。
讨论集合中的序关系，如偏序、全序、反 对称序等，以及相关的概念如最大元、最 小元、上界、下界等。
实数函数
01
函数的定义
介绍函数的概念及基本性质，如定 义域、值域、单调性等。
函数的极限
介绍函数极限的定义、性质及其计 算方法。
03
02
03
线性空间
01
数乘性质
02
中间元素性质
03
正交性
内积空间与Hilbert空间
内积空间的定义
1
内积空间的定义
2
正交性
3
内积空间与Hilbert空间
巴拿赫空间的性质
巴拿赫空间与连续线性映射
连续线性映射
连续线性映射的定义
连续线性映射的性质
线性算子的谱理论
03 空间上的算子与变换
有界线性算子
有界线性算子的定义：在某空 间上有界且线性
重要性质：有界线性算子可以 扩展为全空间上的有界线性算
子
谱定理：有界线性算子的谱分 解定理
空间上的算子与变换部分的习题与解答
01
02
总结词：空间上的算子 与变换部分主要涉及线 性算子、有界算子、 紧 算子等不同类型的算子 的定义、性质和计算方 法，以及空间上的变换 和约化定理的应用。
详细描述
03
04
05
1. 线性算子的定义和性 2. 有界算子和紧算子的 质，包括线性算子的有 定义和性质，以及在各 界性、紧性、谱性质等， 种空间中的存在性和构 以及在各种空间（例如， 造方法。 Hilbert空间、Banach 空间等）中的应用。
映射与变换
序关系
介绍映射的概念及基本性质，如一一映射、 满射、单射等。
讨论集合中的序关系，如偏序、全序、反 对称序等，以及相关的概念如最大元、最 小元、上界、下界等。
实数函数
01
函数的定义
介绍函数的概念及基本性质，如定 义域、值域、单调性等。
函数的极限
介绍函数极限的定义、性质及其计 算方法。
03
02
03
线性空间
01
数乘性质
02
中间元素性质
03
正交性
内积空间与Hilbert空间
内积空间的定义
1
内积空间的定义
2
正交性
3
内积空间与Hilbert空间
实变函数与泛函分析
实变函数的定义
实变函数是定义在实 数集上的函数，其值
域也是实数集。
实变函数具有连续性、 可微性、可积性等性
质。
实变函数的定义域可 以是有限区间、无限 区间或者整个实数轴。
实变函数的值域可以 是有限区间、无限区 间或者整个实数轴。
实变函数的性质
实变函数是一类特殊的数学函数，具 有连续性、可微性和可积性等性质。
实变函数的连续性
实变函数的连续性与极限存 在性有关
实变函数在定义域内是连续 的
实变函数的连续性是函数的 一种基本性质
实变函数的连续性与可微性 密切相关
03 实变函数的应用
实变函数在数学物理方程中的应用
实变函数在求解偏微分方程中的应用 在解决波动方程、热传导方程等数学物理方程中的作用 实变函数在数值分析中的重要地位 实变函数在解决物理问题中的应用实例
求解中。
添加标题
05 泛函分析的应用
泛函分析在微分方程中的应用
微分方程的求解：通过泛函分析中的变分法，求解微分方程的近似解。 稳定性分析：利用泛函分析中的算子谱理论，研究微分方程解的稳定性。 近似方法：利用泛函分析中的逼近理论，构造微分方程的近似解。 数值计算：通过泛函分析中的数值分析方法，对微分方程进行数值模拟和计算。
添加标题
随机积分与微分 方程：在概率论 中，随机积分与 微分方程是非常 重要的研究方向， 而泛函分析中的 积分和微分理论 为此提供了重要
的数学基础。
添加标题
泛函分析在量子力学中的应用
描述了量子力学中的波函数和 概率幅
提供了量子力学中算子的表示 和分类方法
揭示了量子力学中的一些重要 定理和原理，如不确定性原理 和量子纠缠
研究对象：实变函数研究的是具体的、有限的、离散的数学对象，而泛函分析则研究 的是抽象的、无限的、连续的数学对象。
实变函数与泛函分析基础（第三版）-----第三章_复习指导
实变函数与泛函分析基础（第三版）-----第三章_复习指导主要内容本章介绍了勒贝格可测集和勒贝格测度的性质.外测度和内测度是比较直观的两个概念，内外测度一致的有界集就是勒贝格可测集. 但是，这样引入的可测概念不便于进一步讨论. 我们通过外测度和卡拉皆屋铎利条件来等价地定义可测集（即定义），为此，首先讨论了外测度的性质（定理）. 注意到外测度仅满足次可列可加（而非可列可加）性，这是它和测度最根本的区别.我们设想某个点集上可以定义测度，该测度自然应该等于这个集合的外测度，即测度应是外测度在某集类上的限制. 这就容易理解卡拉皆屋铎利条件由来，因为这个条件无非是一种可加性的要求.本章详细地讨论了勒贝格测度的性质. 其中，最基本的是测度满足在空集上取值为零，非负，可列可加这三条性质. 由此出发，可以导出测度具有的一系列其它性质，如有限可加，单调，次可列可加以及关于单调集列极限的测度等有关结论.本章还详细地讨论了勒贝格可测集类. 这是一个对集合的代数运算和极限运算封闭的集类. 我们看到勒贝格可测集可以分别用开集、闭集、型集和型集逼近.正是由于勒贝格可测集，勒贝格可测集类，勒贝格测度具有一系列良好而又非常重要的性质，才使得它们能够在勒贝格积分理论中起着基本的、有效的作用.本章中，我们没有介绍勒贝格不可测集的例子. 因为构造这样的例子要借助于策墨罗选择公理，其不可测性的证明还依赖于勒贝格测度的平移不变性. 限于本书的篇幅而把它略去. 读者只须知道：任何具有正测度的集合一定含有不可测子集.复习题一、判断题1、对任意nE R ?，*m E 都存在。
（√ ）2、对任意nE R ?，mE 都存在。
（× ）3、设nE R ?，则*m E 可能小于零。
（× ）4、设A B ?，则**m A m B ≤。
（√ ） 5、设A B ?，则**m A m B <。
（× ） 6、**11()n n n n m S m S ∞∞===∑。
实变函数论第三版课件
例
例 a a+1/k f(x)
域与б-域
有理数全体（或实数全体）相对于四则运算是封闭的，人们通常称它们为有理数域（或实数域），整数集则不然。
前面已经定义了集合的“并”、“交”、“差”运算，那么什么样的集簇相对于集合的运算是封闭的呢？
第1讲 集合及其运算
第1讲 集合及其运算
集合 称为A与B的对称差，记作 。
1
2
集合及其运算
第1讲 集合及其运算
集合的运算 问题1：回忆数的四则运算，由此猜测集合的运算应该具有什么性质。
定理1 （1）
集合及其运算
。
1
2
3
4
5
6
集合及其运算
集合及其运算
上述基本性质都是常用的，其中（9），（10）两式通常称为德摩根（De Morgan ）法则，它们的证明也是容易的。现在以（10）式为例进行证明。
集合及其运算
集合及其运算
集合序列的上、下(极)限集
上极限集
例：设A2n=[0,1] A2n+1=[1,2]; 则上极限集为[0,2］
下极限集
上极限集
例：设A2n=[0,1] A2n+1=[1,2]; 则上极限集为[0,2], 下极限集为{1}
极限集
如果集列 的上极限集与下极限集相等，即
例
( [ a-1/n a
( [ ( [ [ a-1/n-1 a-1/n a-1/n+1 a
例
( [ a a+1/n
集合及其运算
差（余）运算 由所有属于A但不属于B的元素组成的集合，称为A减B的差集，记作A-B（A\B），也就是说， ，但 。
例
例
实变函数与泛函分析全套课件
序言
Lebesgue积分思想简介
微积分基本定理
若f(x)在[a,b]上连续，则
d ((R) x f (t)dt) f (x)
dx
a
导数（切线斜率）
定积分（面积）
若F `(x) 在[a,b]上连续，则
x
(R)a F '(t)dt F (x) F (a)
xi-1 xi
微积分发展的三个阶段
创立（17世纪）：Newton（力学）Leibniz（几何） (无穷小)
0
n
分划T，有 ixi 1 i 1
注：D(x)的下方图形 可看成由[0,1]中每个 有理点长出的单位线
段组成。
（3)Riemann积分的局限性
a.微积分基本定理 定理：若f(x)在 [a,b]上可微且f `(x)在[a,b]上
Riemann 连续,则 x f ' (t)dt f (x) f (a) a
• 1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积；
注：推荐大家看看龚升写的 《话说微积分》， 《简明微积分》, 数学历史的启示（《数学教学》，2001.1）, 微积分严格化后(《高等数学研究》,2002,1-3）
b.积分与极限交换次序（一般要求一致收敛）
例：设{rn}为[0,1]中全体有理数(因为其为可数集，故可把它排成序 列)，作[0,1]上的函数列
第一章 集合, 点集， 第五章 微分与不定积分, 第六章 L^p空间
4.集合论中的一些例子
(1) Achilles追龟
甲的速度为1，乙的速度为1/2
0(甲)
½（乙）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3/4
7/8 15/16 1
1 1 1
Lebesgue积分思想简介
微积分基本定理
若f(x)在[a,b]上连续，则
d ((R) x f (t)dt) f (x)
dx
a
导数（切线斜率）
定积分（面积）
若F `(x) 在[a,b]上连续，则
x
(R)a F '(t)dt F (x) F (a)
xi-1 xi
微积分发展的三个阶段
创立（17世纪）：Newton（力学）Leibniz（几何） (无穷小)
0
n
分划T，有 ixi 1 i 1
注：D(x)的下方图形 可看成由[0,1]中每个 有理点长出的单位线
段组成。
（3)Riemann积分的局限性
a.微积分基本定理 定理：若f(x)在 [a,b]上可微且f `(x)在[a,b]上
Riemann 连续,则 x f ' (t)dt f (x) f (a) a
• 1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积；
注：推荐大家看看龚升写的 《话说微积分》， 《简明微积分》, 数学历史的启示（《数学教学》，2001.1）, 微积分严格化后(《高等数学研究》,2002,1-3）
b.积分与极限交换次序（一般要求一致收敛）
例：设{rn}为[0,1]中全体有理数(因为其为可数集，故可把它排成序 列)，作[0,1]上的函数列
第一章 集合, 点集， 第五章 微分与不定积分, 第六章 L^p空间
4.集合论中的一些例子
(1) Achilles追龟
甲的速度为1，乙的速度为1/2
0(甲)
½（乙）
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1 1 1
应用泛函分析讲义ppt第3章课件1
应用泛函分析
函数空间的紧性
应用泛函分析
函数空间的紧性
度量空间的点列及其收敛
应用泛函分析
度量空间的点列及其收敛
应用泛函分析
度量空间的点列及其收敛
应用泛函分析
度量空间的点列及其收敛
应用泛函分析
度量空间的点列及其收敛
k
应用泛函分析
度量空间的点列及其收敛
应用泛函分析
度量空间的点列及其收敛
应用泛函分析
度量空间的完备化
应用泛函分析
度量空间的完备化
应用泛函分析
度量空间的点列及其收敛
应用泛函分析
度量空间的点列及其收敛
应用泛函分析
度量空间的点列及其收敛Байду номын сангаас
应用泛函分析
度量空间的点列及其收敛
应用泛函分析
度量空间的点列及其收敛
应用泛函分析
度量空间的点列及其收敛
应用泛函分析
度量空间的点列及其收敛
应用泛函分析
度量空间的点列及其收敛
应用泛函分析
应用泛函分析
度量空间的紧集
应用泛函分析
度量空间的紧集
aik<=xi<=bik
应用泛函分析
度量空间的紧集
应用泛函分析
度量空间的紧集
应用泛函分析
度量空间的紧集
应用泛函分析
度量空间的紧集
应用泛函分析
度量空间的列紧集
应用泛函分析
度量空间的列紧集
应用泛函分析
度量空间的列紧集
应用泛函分析
函数空间的紧性
应用泛函分析
度量空间的定义
应用泛函分析
度量空间的定义
应用泛函分析
度量空间的定义
实变函数论与泛函分析(上,下)第二版
基础知识1.1度量空间一、基本概念 1.距离定义：设R 是一个非空集合，若对R 中任意一对元素x ，y 都有给定的一个实数d （x ，y ） 与它们对应，而且d 适合如下条件： （1） d(x ，y)≥0且d （x ，y ）=0 x=y（2） 三角不等式d （x ，z ）≤d （x ，y ）+d （y ，z ）则称d （x ，y ）是元素x ，y 之间的距离，并称R 按d （x ，y ）成为度量空间或距离空间，记（R ，d ）R 中的元素称为点。
由性质（1）（2）令z=x ，可推出距离还有对称性 即（3） d （x ，y ）=d （y ，x ）（4） 另外还有与（2）等价的不等式|d （x ，y ）－d （y ，z ）|≤d （x ，z ）例1：平面任意两点）p 1(X 1，y 1) p 2（x 2，y 2）（不是距离）例2：[a ，b]上黎曼绝对可积的函数的集合R ，对其中任意两点f ，g 按距离 d （f ，g ）=⎰-ba|x g x f |）（）（dx 可证：R 按照d 成为一个度量空间（黎曼可积可改为连续函数）另外 R 上还可以有另外一个度量空间：d （f ，g ）=],[x max b a ∈|f （x ），g （x ）|记该度量空间为c[a ，b]2.极限定义1.1.2：设R 是一个度量空间X n （n=1,2，…） 及x ∈R ，加入n →∞ 时， 数列d （X n ，X ）→0 则称{ X n }按距离d 收敛于x 记为∞→n lim X n =X或X n →X 此时称{X n }是R 中的收敛点列，x 称为点列{ X n }的极限 定义1.1.3：（基本点列）设{ X n }是度量空间（R ，d ）中的一个点列。
若 { X n }满足N ∃>∀,0ε 当m ，n>N 时 有d （x x n m ，）<ε 则称{ X n }为R 中的基本点列（也称为柯西列）可以证明收敛点列一定是基本列 证明：若x x0n→（n →∞）即N ∃>∀,0ε 当m ，n>N 时 有d （ x x 0n ，）＜2ε d （x x m 0,）＜2ε d （xx mn，）≤d （xx 0n，）+d （x x m,）<ε∴{X n }是基本列但反之，不成立 例如 R=（0，+∞）X n =n1∈R （n=1,2^…）{ X n }是基本列但{ X n }不是收敛列，因为R 中没有x ， d （X n ，X ）→0 （n →∞）又如3,3.1，3.14,3.141……是有理数集Q 中的基本列但不是Q 中的收敛列定义1.1.4 （完备性）若度量空间R 中的基本列都是收敛列则称R 是完备的度量空间，设A 是R 中的子集，若A 按R 的度量成为一个完备的度量空间，则称A 是R 的一个完备子集。
实变函数与泛函分析基础(课堂PPT)
i 1
Ei
,{Ei
}两两不交的闭集族
.若f k
:
Ek
R为连续函数，
n
令f (x)
fk (x) : x Ek，则f
(
x)： k 1
Ek
R上的连续函数。
n
证明：取x0
k 1
Ek
,
0,
由于k0
N
,
使得：x0
k0，而f
k0
在Ek
上为连续的，
0
对此，1 0,
使
得：x
U
(
x0
,
1）
Ek
，必有
0
|
fk0 (x)
第四章 可测函数
第三节 可测函数的构造
1
可测函数 可测集E上的连续函数为可测函数。 简单函数是可测函数。 可测函数当且仅当可表示成一列简单函数列的极限。
问：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？
2
鲁津定理 设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 0, 闭集F E，
使得 m(E-F)<ε且f(x)在F上连续。
x 1处的任意去心邻域（1 ，1）（1，1 ） {x | f (x) g(x)}c {x | f (x) g(x)}
f (1 0) 0 f (1 0) 1。(矛盾）
15
5.设m(E) ,{ fk (x)}为E上可测函数，则
lim
n
fk
(x)
0, a.e.于E
0，有lim j
Ak
,
m( A)
m( k 1
Ak
)
lim
k
m( Ak
)
0, k0, k k0使得：| m( A) m( Ak ) | m( A Ak ) .
33实变函数与泛函分析第三章 测度论
i 1 i 1 i 1
例1. 设E R n，若 0, 开集G，使得E G
且m (G E ) ，则E是可测集。
证明：对任意的1/n，
开集Gn，使得E Gn且m (Gn E) 1 n
令O Gn，则O为G 型集，E O且
n 1
即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集 （可测集“差不多”就是开集或闭集）。
(2)若E可测，则 0, 闭集F， 使得F E且m( E F )
(1)若E可测，则 0, 开集G， (2)若E可测，则 0, 闭集F， 使得E G且m(G E )
故m(O E ) 0
例4： 设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一 零测度集的 G 型集或 F 型集。
O ((ri 2 , ri 2 )) G 型集： n 1 i 1
1 n i 1
1 n i 1
F 型集： 空集
注：上面的交与并不可交换次序
结论2.开集、闭集既是 G 型集也是 F 型集； 有理数集是 F 型集，但不是 G 型集； 无理数集是 G 型集，但不是 F 型集。 有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；
通过取余 G 型集与 F 型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）
2. 可测集与开集、闭集的关系
(1)若E可测，则 0, 开集G， 使得E G且m(G E )
下证(1)：
(1). 若E可测,则
0, 开集G，使得E G且m(G E)
证明:(1)当mE<+∞时，由外测度定义知
0, 开区间列{I i }, 使得E I i 且m* E
例1. 设E R n，若 0, 开集G，使得E G
且m (G E ) ，则E是可测集。
证明：对任意的1/n，
开集Gn，使得E Gn且m (Gn E) 1 n
令O Gn，则O为G 型集，E O且
n 1
即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集 （可测集“差不多”就是开集或闭集）。
(2)若E可测，则 0, 闭集F， 使得F E且m( E F )
(1)若E可测，则 0, 开集G， (2)若E可测，则 0, 闭集F， 使得E G且m(G E )
故m(O E ) 0
例4： 设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一 零测度集的 G 型集或 F 型集。
O ((ri 2 , ri 2 )) G 型集： n 1 i 1
1 n i 1
1 n i 1
F 型集： 空集
注：上面的交与并不可交换次序
结论2.开集、闭集既是 G 型集也是 F 型集； 有理数集是 F 型集，但不是 G 型集； 无理数集是 G 型集，但不是 F 型集。 有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；
通过取余 G 型集与 F 型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）
2. 可测集与开集、闭集的关系
(1)若E可测，则 0, 开集G， 使得E G且m(G E )
下证(1)：
(1). 若E可测,则
0, 开集G，使得E G且m(G E)
证明:(1)当mE<+∞时，由外测度定义知
0, 开区间列{I i }, 使得E I i 且m* E
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3.2 收敛概念
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3.4 距离空间的可分性与列紧性
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3.6 不动点定理及其应用
问题的提出及不动点 不动点定理 不动点定理的应用
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3.6.1 问题的提出及不动点
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G OB F CB F E G
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University of science & Technology 例子、稠密性、距离空间的完备性 、不动点定理以及紧性与连续映射 等相关概念和知识。
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3.3 距离空间的完备性和稠密性
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3.5 距离空间上的连续映射
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3.6.2 不动点定理
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3.1 距离空间的定义及例子 University of science & Technology of China
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3.4 距离空间的可分性与列紧性
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3.6 不动点定理及其应用
问题的提出及不动点 不动点定理 不动点定理的应用
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3.6.1 问题的提出及不动点
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University of science & Technology 例子、稠密性、距离空间的完备性 、不动点定理以及紧性与连续映射 等相关概念和知识。
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3.3 距离空间的完备性和稠密性
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3.5 距离空间上的连续映射
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3.6.2 不动点定理
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3.1 距离空间的定义及例子 University of science & Technology of China
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