直线与椭圆位置关系专题经典课件讲义.doc
直线和椭圆的位置关系公开课课件
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；
2、弦长的计算方法： 弦长公式： |AB|= = （适用于任何二次曲线）
与椭圆
相交、相切、相离？
解：联立方程组
消去y
相切
相离
相交
l
m
m
o
x
y
思考：最大的距离是多少？
o
x
y
例1.已知直线y=x- 与椭圆x2+4y2=2，判断它们的位置关系。
x2+4y2=2
解：联立方程组
消去y
∆=36>0，
因为
所以方程（１）有两个根，
变式1：交点坐标是什么？
弦长公式：
小 结
解方程组消去其中一元得一元二次型方程
△< 0 相离
△= 0 相切
△> 0 相交
则原方程组有两组解.
----- (1)
所以该直线与椭圆相交.
变式2：相交所得的弦的弦长是多少？
由韦达定理
k表示弦的斜率，x1、x2表示弦的端点坐标
考点二：弦长公式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
弦长公式： 设直线与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点， 直线AB的斜率为k．
例1：已知斜率为1的直线l过椭圆 的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
直线与椭圆的位置关系
202X
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演讲人姓名
一：直线和椭圆的位置关系
mx2+nx+p=0（m≠ 0）
Ax+By+C=0
<0
方程组无解
无交点
=0
>0
方程组有两解
3.1.3直线与椭圆的位置关系ppt课件
(3)△<0 无解
直线与椭圆没有公共点 (相离)．
通法
直线与椭圆的位置关系
x2 y2
1 的位置关
例1：判断直线y=x+1与椭圆
5
4
系
相交
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
知识点2.弦长问题
x2 y 2
若直线 l : y kx m与椭圆 2 2 1(a b 0) 的
交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
知识3.面积问题
x2
例3 已知椭圆C： y 2 1.
2
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知点M (1,0), 且直线y x 1与椭圆C相交于A, B两点，求ABM的面积.
知识点4.中点弦问题
2
2
x y
1
例、椭圆 1, 设直线y x 1与椭圆交于
法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达
定理来处理.
2
或
AB
1
1 2
k
2
( y1 y2 ) 2 4 y1 y2
（适用于任何曲线）
x2 y2
1
例2、椭圆
1, 设直线y x 1与椭圆交于
16 4
2
A、B两点，求弦长| AB | 。
设点
解：设 A( x1 ，y1 ) ，B( x2 ，y2 )
弦长.
• (2)求以A(1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方
程.
16 4
2
A、B两点，求线段AB的中点坐标。
分析：中点坐标
+ +
直线与椭圆的位置关系 ppt课件
y x1
由
x2 2
y2
1
消去
3x2 4x 0
y 并化简整理得
∴ x1 x2
4 3
,
x1 x2
0
∴ AB
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2( x1 x2 )2
2
( x1
x2
)2
4 x1 x2
=
4 3
2
∵点 F1 到直线 AB 的距离 d
16k(1 2k) 2(1 4k 2 )
4
解得，k 1 . 2
所以所求直线方程为: y 2 1 (x 4)即x 2y 8 0
直线与椭圆有公共点，
4m2 20(m2 1) 0
解得： 5 m 5
2
2
所以当 5 m 5 时，直线与椭圆有公共 点
2
2
PPT课件
6
探究二：直线与椭圆的相交弦长的求法
直线方程为: y kx m，椭圆方程为：x2 y2 1
直线与椭圆相交的弦长：
1
有两个公共点，求m的范围
PPT课件
12
直线与椭圆的位置关系
例1：判断直线y=x+1与椭圆 x2 y2 1 的位置关
系
54
相交
PPT课件
13
当m取何值时，直线l：y x m 与椭圆 2x2 3y2 6 相交、相切、相离？
解：联立方程组
y x m 消去y 5x2 6mx 3m2 6 0
因为∆=36>0
所以，方程有两个根，
直线与椭圆的位置关系(教学课件2019)
直线与椭圆的位置关系(公开课)
直线与椭圆在物理问题中的应用
天体运动：椭圆轨道描述行星或卫星绕太阳的运动，直线轨道描述火箭发射和着陆的过程。
投篮运动：篮Βιβλιοθήκη 运动员投篮时的弧线轨迹可以近似为椭圆，投篮时需要掌握力度和角度，使篮球沿着近似椭圆的轨迹 飞行。
车辆行驶：高速公路上的车辆行驶轨迹可以近似为直线或抛物线，而城市道路中的车辆行驶轨迹则可能为椭圆或直线。
距离法：通过计算直线与椭圆心之间的距离，然后与椭圆的半径比较，判断位置关系。
直线与椭圆相交的情形
交点个数与判别式的关系
当判别式大于0时， 直线与椭圆有两个 交点
当判别式等于0时， 直线与椭圆有一个 交点
当判别式小于0时， 直线与椭圆没有交 点
交点坐标的求解方法
联立方程组： 将直线方程与 椭圆方程联立， 消元后得到一
桥梁设计：桥梁的支撑结构可以设计成直线或抛物线形状，以承受车辆和行人的重量，保证安全。
感谢您的耐心观看
汇报人：
元二次方程
求解交点：解一 元二次方程，得 到交点的x坐标， 再代入椭圆方程
求得y坐标
验证解：将求 得的解代入直 线方程，验证 是否满足条件
得出结论：根 据交点的坐标， 判断直线与椭 圆的位置关系
直线与椭圆相切的情形
切点个数与判别式的关系
切点个数：1个 判别式：Δ=0 直线与椭圆相切的条件：直线与椭圆有且仅有一个公共点
相交、相切、相离的定义
相交：直线与椭圆 有两个不同的交点
相切：直线与椭圆 只有一个交点
相离：直线与椭圆 没有交点
判断位置关系的方法
代数法：通过联立直线与椭圆的方程，消元后得到一元二次方程，根据判别式的值判断位置关系。
几何法：通过观察直线与椭圆的位置关系，判断交点个数，从而确定位置关系。
新高考数学椭圆-第2课时 直线与椭圆的位置关系精品课件
解:易知F1(-1,0),F2(1,0).①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,∴x1+x2=,x1·x2=.∵A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆C上,∴=1-,=1-,∴|AF1|===,
课堂考点探究
解:将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组将①代入②,整理得7x2+8mx+4m2-12=0③.方程③根的判别式Δ=(8m)2-4×7×(4m2-12)=-48m2+336.(1)当Δ>0,即-<m<时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.(2)当Δ=0,即m=±时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
课堂考点探究
例3 已知椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,椭圆M的离心率为,且过点.(2)若过点N(1,1)的直线与椭圆M交于P,Q两点,且线段PQ的中点恰为点N,求直线PQ的方程.
解:设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),∵线段PQ的中点恰为点N,∴xP+xQ=2,yP+yQ=2.由题知+=1,+=1,两式相减可得(xP+xQ)(xP-xQ)+(yP+yQ)·(yP-yQ)=0,∴=-,即直线PQ的斜率为-,∴直线PQ的方程为y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0.
课堂考点探究
例2 [2021·辽宁辽阳一模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,且点在C上.(2)设过F2的直线l与C交于A,B两点,若|AF1|·|BF1|=,求|AB|.
直线与椭圆的位置关系优秀课件
2 a 2 b
7、椭圆的一焦点与长轴较近端点的距离为 10 5 焦点与短轴两端点连线互相垂直，求该椭圆的标准 方程。 8、已知椭圆在x轴和y轴正半轴上两顶点分别为A， B，原点到直线AB的距离等于 ，又该椭圆 5 3 的离心率为 e ，求该椭圆的标准方程。 2
y x 1 由 x2 消去 y 并化简整理得 2 y 1 2
3x 4x 0
2
2
4 ∴ x1 x2 , x1 x2 0 3
2 2
4 2 2 ∴ AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) 2( x1 x2 ) 2 ( x1 x2 ) 4 x1 x2 = 3
∵点 F1 到直线 AB 的距离 d 2 1 1 4 4 2= . ∴ S F1 AB d AB = 2 2 2 3 3
0 ( 1) 1
= 2
4 答: △F1 AB 的面积等于 3
典型例题
2 x 2 练 习 : 经 过 椭 圆 + y = 1 的 左 焦 点 F 作 倾 斜 角 为 6 0 1 2 的 直 线 l , 直 线 l 与 椭 圆 交 于 A , B 两 点 , 求 A B 的 长 .
例2、如图，已知椭圆
ax by 1与直线x+y-1=0交
2 2
于A、B两点， AB 2 2, AB的中点M与椭圆中心连线的 y 斜率是 2 ，试求a、b的值。 2
A M
o
B
x
典型例题
x y 例3 已知椭圆 + = 1 和直线l： 25 9
直线与椭圆的位置关系(精品复习课件).ppt
5
5
8
55
【备用例题】 已知椭圆 4x2+y2=1,直线 y=x+m,设直线与椭圆相交于 A(x1,y1), B(x2,y2)两点,求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程.
解:可求得 O 到 AB 的距离 d= m ,又|AB|= 2 10 8m2 ,
2
5
所以 S = △AOB 1 |AB|·d= 1 × 2 10 8m2 · m
直线与椭圆的位置关系
yy
OO
xx
1.直线 y kx 1 与椭圆
x2 5
y2 m
1 总有公共
点，则 m 的取值范围是
.
分析：依题意知直线过定点（0，1）,且点在
椭圆上或内部，即 02 12 1 且 m 5
5m
2.直线 y kx k与椭圆 x2 y2 1 有几个公共点？
4
例2.若点 O,F 分别为椭圆 x2 + y 2 =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上任一点,求 95
OP · FP 的最小值.
y
P
FＯxyB来自CＯ Axy
N
Ｏ
M
x
练习3.
已知椭圆 x2 + y 2 = 1的左顶点为A(-2,0). 4
过（- 6 ,0）作一条斜率不为0的直线L. 5
2
25
2
=2
(5
m2)m2
≤
5 2 4
m2
m2
=1
.
54
5
2
4
当且仅当“ 5 -m2=m2”时,上式取“=”. 4
此时 m=± 10 ∈[- 5 , 5 ].
直线与椭圆位置关系专题经典讲义
直线与椭圆的位置关系专题讲义知识点1直线与椭圆位置关系、弦长问题:2 2 . .例2、直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆x /9+y /m=1总有公共点，求实数m的取值范围是( ) A、1/2 < m< 9 B 、9v m< 10 C 、1< m< 9 D 、1v m< 9将直线方程y kx b (或x my b )代入椭圆方程：2 2x2 b2 1(aa bb整理得到关于x (或y)的一个兀一次方程Ax2 Bx C 0 (或Ay2By 当直线l与椭圆相交；0)，C 0)当_____________ 直线I与椭圆相切；当_____________ 直线I与椭圆相离。
2 2若直线I : y kx b与椭圆■x21(a ba b弦长公式：0)相交于A, B两点,|AB| ____________________或| AB | ___________________焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦叫通径。
通径公式为: 练习、若直线y kx 1(k R)与椭圆例3、求直线x—y+ 1=0被椭圆2x16x2例1.当m为何值时，直线y=x+m与椭圆一162y 1相交？相切？相离?92练习、已知椭圆：—92—1恒有公共点，求实数m的取值范围 ______________m2y 1截得的弦长41'右顶点为A，过左焦点R作倾斜角为三的直线交椭圆于M、N两点，求弦MN的长及AMN的面积。
练习、直线y=mxH与椭圆1(A— (22 /m=( )3r 4(D45 x2+4y2=1有且只有一个交点，则B)- ( C)3知识点2:中点弦问题(点差法)2 2例4 椭圆—Z 1内有一点P (2, 1),求经过P并且以P为中点的弦所在直线方程。
16 4 练习、已知椭圆2 2y x1的一条弦的斜率为75 2513,它与直线x -的交点恰为这条弦的中点M , 求点M的坐标。
直线与椭圆的位置关系(上课课件)
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第二课时 直线与椭圆的位置关系
人A数学选择性必修第一册
课前预习
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6 1．若直线 y＝kx＋2 与椭圆x2＋y2＝1 相切，则斜率 k 的值为_±__3_____．
32
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直线与椭圆的位置关系 直线 y＝kx＋m 与椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)位置关系的判断方法：由 y＝kx＋m， ax22＋by22＝1. 消去 y(或 x)得到一个一元二次方程.
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[例 2] 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆x42＋y2＝1 的右焦点 F，交椭圆于
A，B 两点，求|AB|.
分析：求出直线 l 方程，联立椭圆方程利用弦长公式求出|AB|.
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有关直线与椭圆相交弦的问题，主要思路是联立直线 和椭圆的方程，得到一元二次方程，然后借助一元二次方程的有关知 识解决，有时运用弦长公式，解题时应注意以下几点： (1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距 离公式求弦长． (2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式． (3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
解法二采用的是设点作差的方法，常称为“点差法”，点差法的要点是 用弦中点坐标表示弦AB的斜率和A，B的坐标，常用来解决与弦中点有关 的问题．
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3.已知椭圆方程是x92＋y42＝1，则以 A(1,1)为中点的弦 MN 所在的直线方程为__4_x_＋__9_y_－__1_3_＝__0____．
直线与椭圆专题讲义
直线与椭圆专题讲义题型一：直线与椭圆的位置关系1．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．m >1B ．m >0C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠52．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ： (1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．思维升华：研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．题型二：弦长及弦中点问题命题点1：弦长问题典例 斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105 D.8105命题点2：弦中点问题典例 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 命题点3：椭圆与向量等知识的综合典例 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，e ＝12，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，线段AB 的中点横坐标为14，且AF →＝λFB →(其中λ>1)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)求实数λ的值．思维升华：(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2](3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．跟踪训练已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0，4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N 两点． (1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦MN 的长；(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式．题型三：高考中求椭圆的离心率问题典例1 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是 典例2如图，设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)． (1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．反馈练习1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( ) A ．至多为1B ．2C ．1D ．0 2．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.43B.53C.54D.1033．中心为(0,0)，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是( )A.2x 275＋2y 225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y 275＝1 4．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 23＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝15．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24 B.12 C.22 D.326．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( )A.53 B.23 C.23 D.137．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．18．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ，若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________. 9．P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，AB 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的任一条直径，则P A →·PB →的取值范围是______．10．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与椭圆交于A ，B 两点．若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则椭圆C 的离心率为________．11.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为A ，B ，且|AB |＝52|BF |. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．12．设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．。
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1 ，椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴，且与 C1 有相同的离心率。
4
（ 1）求椭圆 C2 的方程；
（ 2）设 O 为坐标原点，点 A， B 分别在椭圆 C1 和 C2 上， OB 2OA ，求直线 AB 的方程。
-3-
例 9． (2013 课标全国 2) 平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M： x2 a2
-2-
知识点 3： 椭圆中的最值问题
已知椭圆 E： x2 y2 1， P( x， y) 是椭圆上一点
例 7.
25 16
（ 1）求 x+y的最大值 （2）求点 P 到直线 x-y+10=0的距离的最小值。
知识点 4.直线椭圆综合问题
例 8（ 12 北京）已知椭圆
C：
x2 a2
+
y2 b2
=1（ a＞b ＞0）的一个顶点为
-4-
直线与椭圆的位置关系专题基础训练
一、选择题
1. 已知椭圆 C: x2 4 y2 4 , 过点 P 2,0 与椭圆 C只有一个交点的直线方程是
（）
（ A）x+2=0
（ B） x-2=0
（ C） y+2=0
2．直线 y kx k 1 与椭圆 x2 9
y2 1 的位置关系为
4
（ A）相切
（ B）相交
A （ 2,0），离心率为
线 y=k(x-1)与椭圆 C 交与不同的两点 M,N （Ⅰ）求椭圆 C 的方程
2， 直 2
（Ⅱ）当△ AMN 的面积为 10 时，求 k 的值 3
练习：求椭圆 x 2 4
y 2 1 上的点到直线 x 2 y 3
2 0 的最小距离
练习【 12 陕西】已知椭圆
x2 C1 :
y2
（ C）相离
3．椭圆 x2 y2 1 上的点到直线 x 2 y 16 4
2 0 的最大距离是
（ D） y-2=0 （ D）不确定
（） （）
（ A）3
（B） 11
（ C） 2 2
4. 直线 y x 1 被椭圆 x2 2 y2 4 所截的弦的中点坐标是
（ D） 10
（）
（ A）( 1 , － 2 ) 33
例 1.当 m 为何值时，直线 y=x+m 与椭圆 x 2 y 2 1相交？相切？相离？ 16 9
例 2、直线 y=kx+1 与焦点在
x 轴上的椭圆
x2/9+y
2
/m=1
总有公共点，求实数
m 的取值范围是（
）
A、 1/2≤ｍ＜ 9 B、 9＜ m＜ 10 C、 1≤ｍ＜ 9 D、 1＜ m＜ 9
练习、若直线 y kx 1( k R) 与椭圆 x2 5
C：
x2 a2
y2 b2
1 （a>b>0）的左，右焦点， M 是 C 上
一点且 MF2 与 x 轴垂直，直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N。
（ I）若直线 MN 的斜率为 3 ，求 C 的离心率； 4
（ II）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 且 |MN|=5|F 1N| ，求 a， b
（B） ( － 2 , 1 ) 33
（ C）( 1 , － 1 ) （ D）( － 1 , 1 )
23
32
5. 已知椭圆 x2
y2 1 ，椭圆内一点 P(4, 2) , 则以 P 为中点的弦所在的直线的斜率是
36 9
（）
（ A） 1 2
（ B）－ 1 2
（ C） 2
（D）－ 2
6．设定点 F（1 0，－ 3）、F（2 0，3），动点 P 满足条件 PF1
2
求点 M 的坐标。
M，
练习、如果椭圆 x 2 y 2 1的弦被点 (4,2) 平分，则这条弦所在的直线方程是（
）
36 9
A. x 2 y 0 B. x 2 y 4 0 C. 2x 3y 12 0 D. x 2y 8 0
例 6..已知椭圆
x2 E : a2
y2 b2
1(a
b
0) 的右焦点为 F (3,0) ，过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点。
若 AB 的中点坐标为 (1, 1) ，则 E 的方程为
(
)
x2 y2
A.
1
45 36
x2 y2
B.
1
36 27
x2 y2
C.
1
27 18
x2 y 2
D.
1
18 9
例 5、求直线 y=x+1 被椭圆 x2+2y2=4 截得的弦的中点坐标。
练习、已知中心在原点，一焦点为
1
为 ，求椭圆的方程。
2
F ( 0, 50) 的椭圆被直线 l : y 3x 2截得的弦的中点的横坐标
y2 b2 =1 ( a＞ b＞ 0) 右焦点的直线
xy
3 0 交 M于 A，B 两点， P 为 AB的中点，且 OP的斜率为 1 . 2
(1) 求 M的方程；
(2) C， D为 M上两点，若四边形 ACBD的对角线 CD⊥ AB，求四边形 ACBD面积的最大值．
例 10（ 2014 新课标 2）设 F1 ，F2 分别是椭圆
PF2
9 a (a 0) ，则点 P 的轨迹是
a
（）
直线与椭圆的位置关系专题讲义
知识点 1：直线与椭圆位置关系、弦长问题：
将直线方程 y
kx
b （或 x
my
b ）代入椭圆方程：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2 a2
y2 b2
1 (a b
整理得到关于 x（或 y）的一个一元二次方程 Ax 2 Bx C 0 （或 Ay 2 By
0) ， C 0）
当＿＿＿＿＿＿＿
直线 l 与椭圆相交；
y 2 1 恒有公共点，求实数 m 的取值范围 m
x2
例 3、求直线 x－ y＋1=0 被椭圆
16
y 2 1 截得的弦长 4
练习、直线 y=mx+1 与椭圆 x2+4y2=1 有且只有一个交点，则
1
(A)
2
2
(B)
3
3
(C)
4
m2=（
）
4
(D)
5
练习 、已知椭圆： x2 y 2 1，右顶点为 A，过左焦点 F1 作倾斜角为 的直线交椭圆于
9
6
M、 N 两点，求弦 MN 的长及 AMN 的面积。
-1-
知识点 2：中点弦问题（点差法）
例4
椭圆 x 2 y 2 1 内有一点 P（2， 1），求经过 P 并且以 P 为中点的弦所在直线方程。
16 4
练习、已知椭圆 y 2
x2
1 的一条弦的斜率为
3，它与直线 x
1
的交点恰为这条弦的中点
75 25
当＿＿＿＿＿＿＿
直线 l 与椭圆相切；
当＿＿＿＿＿＿＿
直线 l 与椭圆相离。
若直线 l ： y
kx
b 与椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 相交于 A ，B 两点，
弦长公式：
| AB | ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
或 | AB | ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；
通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴， 此时焦点弦叫通径。 通径公式为： __________ .