39弧长及扇形的面积陕西省蓝田县前卫中学北师大数学九年级下册课件(共14张PPT)
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3.9 弧长及扇形的面积(共23张PPT)-2020-2021学年九年级数学下(北师版)
∴∠ACB=90°.
∵BC=6 cm，AC=8 cm，
∴AB=10 cm，∴OB=5 cm.
连接OD.
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABD=45°， ∴∠BOD=90°，
(2)S阴影=S扇形-S△OBD
=
90 360
π·52-
1 2
×5×5
∴BD2=OB2+OD2， BD= 5 2 cm. = 25π-50 (cm2).
问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？
讲授新课
一 弧长的计算
问题1.1：如何计算圆周长？圆的周长可以看作 是多少度的圆心角所对的弧长？
O R
半径为R的圆,周长是 C=2πR
圆的周长可以看作是_3_6_0_°_的 圆心角所对的弧长
讲授新课
问题1.2：1°的圆心角所对的弧长是多少？n° 的圆心角所对的弧长是多少？
π
A.2 B.π
π
C. 6 D. π
3
当堂检测
2.在圆心角为120°的扇形AOB中，半径 OA=6 cm,则扇形AOB的面积是（ C ）
A.6π cm2 B.8π cm2 C.12π cm2 D.24π cm2
当堂检测
3.如图，半径为1cm、圆心角为90°的扇形OAB中，
分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面
4
课堂小结
弧长公式及 应用
弧长及扇 形面积
n°的圆心角所对的弧长l=
nπR 180
扇形面积公 式及应用
n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=
nπR2 360
谢谢~
O
90°
90 1 360 4
O
180°
180 1 360 2
最新北师大版九年级下册数学《3.9 弧长及扇形的面积》优秀课件
在同圆或等圆中，才可能是等弧．
典例精析
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长 度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位： mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，
A
B
(
可得AB的长
100 °
nR
100900
C
500 1570
(mm),
O
D
180
180
因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.
二 扇形面积的计算
合作探究
思考 (1)半径为R的圆,面积是多少？ S=πR2
（2）圆心角为1°的扇形的面积是多少? R2
360
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1° 的扇形的面积的多少倍？ n倍
（4）圆心角为n°的扇形的面积是多少? n R2
360
要点归纳
扇形面积公式
如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形
120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过的面积为 （ C ）
A1
A. 7 7 3 B．4 7 3
38
38
H
C.
D. 4 3
3
A
O
C O1 H1
B
C1
6.如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交，且半径
都是2cm，则图中阴影部分的面积是 12cm2 .
问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？
讲授新课
一 弧长的计算
合作探究
(1)半径为R的圆,周长是多少？ C=2πR
(2)1°的圆心角所对弧长是多少？
2 R
360
R
北师大版数学九年级下册：3.9 弧长及扇形的面积 课件
第三章 圆
3.9 弧长及扇形的面积
情景导入 例题讲解 课堂总结
获取新知 随堂演练
情景导入 问题 你注意到了吗？在运动会的4×100米比赛中， 各选手的起跑线不再同一处，你知道这是为什么吗？
因为这些弯道的“展直长度”是不一样的.
获取新知 知识点一：弧长公式
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm. (1)转动轮转一周，传送带上的物品A
解：R=40mm， n=110︵， ∴ AB的长=
≈76.8 （mm） 因此，管道的展直长度约为76.8mm.
获取新知 知识点二：扇形面积公式
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着 一 条长3 m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗. （1）这只狗的最大活动区域有多大？ （2）如果这只狗只能绕柱子转过n°角， 那么它的最大活动区域有多大？
3
5.如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交，且半径
都是2cm，则图中阴影部分的面积是 12cm2 .
C B
A
D
6.如图，有一直径是20cm的圆形纸片，现从中剪出一个 圆心角是90°的扇形ABC，求被剪掉部分的面积．
解：连接BC，∵∠BAC=90°，
∴BC是⊙O的直径，
∴BC=20cm，
∵AB=AC，
解：A⌒B 的长= 120 12 25.1 ( cm).
180
S扇形=
120 360
122
150.7
(cm2
).
因此，AB 的长约为2堂演练
1. 在在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是( B )
A．π
B．2π
C．4π
D．6π
2.如图，在▱ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD
3.9 弧长及扇形的面积
情景导入 例题讲解 课堂总结
获取新知 随堂演练
情景导入 问题 你注意到了吗？在运动会的4×100米比赛中， 各选手的起跑线不再同一处，你知道这是为什么吗？
因为这些弯道的“展直长度”是不一样的.
获取新知 知识点一：弧长公式
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm. (1)转动轮转一周，传送带上的物品A
解：R=40mm， n=110︵， ∴ AB的长=
≈76.8 （mm） 因此，管道的展直长度约为76.8mm.
获取新知 知识点二：扇形面积公式
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着 一 条长3 m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗. （1）这只狗的最大活动区域有多大？ （2）如果这只狗只能绕柱子转过n°角， 那么它的最大活动区域有多大？
3
5.如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交，且半径
都是2cm，则图中阴影部分的面积是 12cm2 .
C B
A
D
6.如图，有一直径是20cm的圆形纸片，现从中剪出一个 圆心角是90°的扇形ABC，求被剪掉部分的面积．
解：连接BC，∵∠BAC=90°，
∴BC是⊙O的直径，
∴BC=20cm，
∵AB=AC，
解：A⌒B 的长= 120 12 25.1 ( cm).
180
S扇形=
120 360
122
150.7
(cm2
).
因此，AB 的长约为2堂演练
1. 在在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是( B )
A．π
B．2π
C．4π
D．6π
2.如图，在▱ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD
专题 弧长及扇形的面积-九年级数学下册教学课件(北师大版)
n倍
（4）圆心角为n°的扇形的面积是多少?
n R
360
2
要点归纳
扇形面积公式
如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形
面积的计算公式为
n R 2
S扇形 =
360
注意 ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，
它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推
导过程记忆）.
类比学习
问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
的帽子底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积
是（ ）
A．480πcm2
B．60πcm2
C．240πcm2
D．120πcm2
【答案】C
【分析】从图中可以看出小帽的底面圆周长就扇
形的弧长，根据此求出扇形的面积．
【详解】根据圆的周长公式得：圆的底面周长
=20π．
∵圆的底面周长即是扇形的弧长，
×
∴扇形面积S=
= ，
故选：C．
3．小明将直径为6cm的半圆绕点A逆时针旋转60°
设计了如图所示的图案，那么图中阴影部分的面积
是（
）
A．4.5πcm2
B．6πcm2
C．9πcm2
D．18πcm2
【答案】B
【详解】解：∵S阴影=S半圆AB`+S扇形ABB`-S半圆AB，
而根据旋转的性质可知S半圆AB`=S半圆AB，
作半圆，分别交BC、AC于点D、E．
(1)若∠BAC=50°，求弧BE的长；
(2)连结DE，求证：BD=DE．
【分析】（1）连接OE，根据圆周角定理求得
∠BOE=100°，根据弧长公式进行计算即可求解；
（2）连接OE,OD，AD，证明OD是△ABC的中位线，
课件北师大版九年级下弧长及扇形的面积精美PPT课件
则弧长= π 5π D.
（1）当已知弧长L和半径R， 3π B.
，扇形面积= π
.
（1）当已知弧长L和半径R，
（1）已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是多少？⊙O的面积是多少？
如图,某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
则 （弧2）2长当.=已一知半径个，和扇圆扇形心面角形积的=度数的， 弧. 长为20πcm，面积是240πc㎡，则
（2）当已知半径和圆心角的度数，
2
如图,某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
no圆心角所对的扇形的面积是
了解弧长和扇形面积公式后，能运用公式解决问题，训练学生的数学运用能力 。
l 120 例2:已知扇形AOB的半径为12cm,∠AOB=120o,求弧AB的长(结果精确到0.
解：AB 12 25.1 cm C=2πR，S⊙O＝πR2
C=2πR，S⊙O＝πR2
（2）如果这只狗只能绕柱子转过no的角，那么它的最大活动区域有多大？
能力：弧长、扇形面积的计算公式的记忆法
试计算如图所示的管道的展直长度，即弧AB的长度（精确到0.
则弧长=
，扇形面积=
.
（1）已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是多少？⊙O的面积是多少？
在(2)问里狗活动的区域是一个什么图形呢?
18
(3)转动轮转no,传送带上的物品A 被传送多少厘米? n cm
18
创设情境 出示目标
知识 经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公
目标
式的过程；了解弧长计算公式和扇形面积 计算公式，并运用公式解决问题。
能力 了解弧长和扇形面积公式后，能运用公 目标 式解决问题，训练学生的数学运用能力 。
情感 体验教学活动充满着探索与创造，感受 目标 数学的严谨性以及数学结论的确定性 。
九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.9《 弧长及扇形的面积 》课件
nπR2 360
较为简便；
2.当知道扇形的弧长时，用公式S扇形＝
1 2
lR较为简便．
知2－讲
例5 如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为点 E，D是优弧BC上的一点，∠ADB＝30°. (1)求∠AOC的度数； (2)若弦BC＝6，求图中阴影部分的面积．
知2－讲
导引：(1)根据垂径定理得到相等的弧，再由同圆或等圆中， 弧、圆心角、圆周角之间的关系求得∠AOC的度数； (2)先求出⊙O的半径，再求出圆心角∠BOC的度数， 利用面积差求出阴影部分的面积．
（2）360°
（3）2πR πR 360 180
n°
（4）n 倍
o
（5）l nπR 180
也可以用A⌒Bl表示A⌒B的长.
知1－讲
1．弧、弧长、弧的度数间的关系：
弧相等表示弧长、弧的度数都相等；
度数相等的弧，弧长不一定相等；
弧长相等的弧，弧的度数不一定相等．
2．易错警示：在弧长公式
l＝
n R
180
那么它的最大活动区域有多大？
知2－讲
思考1：1.半径为R的圆,面积是多少？
2.圆面可以看作是多少度的圆心角所对的扇形？
3.1°圆心角所对扇形面积是多少？
1. S=πR2
2. 360°
πR2
3. 360
A
B
若设⊙O半径为R， n°的圆
O
心角所对的扇形面积为S，则
nπR2 S扇形 360
知2－讲
思考2：扇形面积的大小与哪些因素有关系？ 扇形面积的大小与扇形的半径和圆心角有关.
76.8 (mm).
因此，管道的展直长度约为76.8 mm.
（来自教材）
九年数学下册第三章圆39弧长及扇形的面积课件北师大版
3.一圆弧的圆心角为150°，它所对的弧长等于半径为
5 cm的圆的周长，则该弧所在圆的半径为 ( B )
A.24 cm
B.12 cm
C.6 cm
D.30 cm
4.已知一扇形的弧长是4π，半径为3，那么这个扇形 的面积是 _6_π__ .
知识点一 弧长公式及应用(P100例1拓展) 【典例1】如图，已知AB是☉O的直径，C，D是☉O上 的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC.
9 弧长及扇形的面积
【知识再现】 1.圆的周长公式：C= _2_π__r_ 2.圆的面积公式：S= _π__r_2
【新知预习】 阅读教材P100-101，解决以下问题：
已知圆的半径为r，根据条件填表：
归纳：
1.在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算
公式为L=
n R 180
.
2.如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形的面
A.π
B.2π
2
★★4.(2019·泰安中考)如图，将☉O沿弦AB折叠，A B 恰好经过圆心O，若☉O的半径为3，则 A B 的长为
( C)
A. 1 π
2
B.π
★★5.(2019·南关区月考)如图，在△ABC中，AB=AC， 以AB为直径的☉O分别交AC，BC于点D，E. 世纪金榜导学号 (1)求证：BE=CE. (2)若AB=6，∠BAC=54°， 求A D 的长.
解：(1)连接AE.
∵AB是圆O的直径， ∴∠AEB=90°，即AE⊥BC. 又∵AB=AC， ∴AE是边BC上的中线， ∴BE=CE.
(2)∵AB=6，
∴OA=3.
又∵OA=OD，∠BAC=54°，
∴∠AOD=180°-2×54°=72°，
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在半径为R 的圆中,n°的圆心
角所对的弧长的计算公式为
l nR
180
注意：n表示1°圆心角的倍数，它是不带
单位的；
如果扇形的半径为R，圆心角为n° ，那么
扇形面积的计算公式为
nR2 1
S
Rl
扇形 360 2
（1）当已知弧长l 和半径R，
求扇形面积时，应选用 S扇形
1 2
Rl
（2）当已知半径和圆心角的度
A．64πcm2 B．112πcm2
C．144πcm2 D．152πcm2
7.如图，把Rt△ABC的斜边放在直线 l 上，按
顺时针方向转动一次,使它转到ABC 的位
置。若BC=1,∠A=300。求点A运动到A′位置时
，点A经过的路线长。（2011，滨州）
C
A′ l 4
3
A
B C′
l
8.一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水
D. 50 cm
3
5、（2011，常州）已知扇形的圆心角为 150，弧长
为20 cm，则扇形的面积为__2_4_0___c__m_．2
6.（07·内江）如图，这是中央电视台“曲苑 杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中 ∠AOB为120°，OC长为8cm， CA长为12cm，则贴纸
部分的面积为（ B ）
平线翻滚(如图),那么B点从开始至B2结束所走过的
路径长度___4_____.(07，湖北)
3
B1
B●
B2
如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面 半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面 上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。
0
A
B
为
个平方单位．
π
3.（2009，长春）如图，方格纸中4个小正方形的
边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和
为 3 （结果保留 π )
8
4.(06·枣庄)钟表的轴心到分针针端Байду номын сангаас长为5cm,
那么经过40分钟,分针针端转过的弧长是( B )
A.
10 cm
3
B. 20 cm 3
C. 25 cm 3
3.
如果一个扇形面积是它所在圆的面积的
形的圆心角是（ C）
1 8
，则此扇
(A)300
(B)360
(C)450
(D)600
例1．如图,已知正三角形ABC的边长为6.分别以 A﹑B﹑C为圆心,以3为半径的圆相切于点D﹑E﹑F.
求：1、DF， DE，Ｅ F长度的和？
2、扇形FAE，扇形FBD， 扇形DCE的面积和？ 3、阴影部分的面积？
A
E F B DC
你准备好了吗？
1.(2006,武汉)如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外 离,它们的半径都是1,顺次连接四个圆心得到四边 形ABCD,则图形中四个扇形(空白部分)的面积之和 是___________.
π
B A
D
C
2.（2007，山东）如图所示，分别以n边形的顶点为圆
心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和
数，求扇形面积时，应选用
S扇形
nR2
360
1. 扇形面积大小（ C ）
(A)只与半径长短有关 (B)只与圆心角大小有关 (C)与圆心角的大小、半径的长短有关
2. 如果半径为r，圆心角为n0的扇形的面积是S，那
么n等于（ B ）
(A)
360S πr
(B)
360S πr2
(C)
180S πr
(D)
180S πr2
角所对的弧长的计算公式为
l nR
180
注意：n表示1°圆心角的倍数，它是不带
单位的；
如果扇形的半径为R，圆心角为n° ，那么
扇形面积的计算公式为
nR2 1
S
Rl
扇形 360 2
（1）当已知弧长l 和半径R，
求扇形面积时，应选用 S扇形
1 2
Rl
（2）当已知半径和圆心角的度
A．64πcm2 B．112πcm2
C．144πcm2 D．152πcm2
7.如图，把Rt△ABC的斜边放在直线 l 上，按
顺时针方向转动一次,使它转到ABC 的位
置。若BC=1,∠A=300。求点A运动到A′位置时
，点A经过的路线长。（2011，滨州）
C
A′ l 4
3
A
B C′
l
8.一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水
D. 50 cm
3
5、（2011，常州）已知扇形的圆心角为 150，弧长
为20 cm，则扇形的面积为__2_4_0___c__m_．2
6.（07·内江）如图，这是中央电视台“曲苑 杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中 ∠AOB为120°，OC长为8cm， CA长为12cm，则贴纸
部分的面积为（ B ）
平线翻滚(如图),那么B点从开始至B2结束所走过的
路径长度___4_____.(07，湖北)
3
B1
B●
B2
如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面 半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面 上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。
0
A
B
为
个平方单位．
π
3.（2009，长春）如图，方格纸中4个小正方形的
边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和
为 3 （结果保留 π )
8
4.(06·枣庄)钟表的轴心到分针针端Байду номын сангаас长为5cm,
那么经过40分钟,分针针端转过的弧长是( B )
A.
10 cm
3
B. 20 cm 3
C. 25 cm 3
3.
如果一个扇形面积是它所在圆的面积的
形的圆心角是（ C）
1 8
，则此扇
(A)300
(B)360
(C)450
(D)600
例1．如图,已知正三角形ABC的边长为6.分别以 A﹑B﹑C为圆心,以3为半径的圆相切于点D﹑E﹑F.
求：1、DF， DE，Ｅ F长度的和？
2、扇形FAE，扇形FBD， 扇形DCE的面积和？ 3、阴影部分的面积？
A
E F B DC
你准备好了吗？
1.(2006,武汉)如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外 离,它们的半径都是1,顺次连接四个圆心得到四边 形ABCD,则图形中四个扇形(空白部分)的面积之和 是___________.
π
B A
D
C
2.（2007，山东）如图所示，分别以n边形的顶点为圆
心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和
数，求扇形面积时，应选用
S扇形
nR2
360
1. 扇形面积大小（ C ）
(A)只与半径长短有关 (B)只与圆心角大小有关 (C)与圆心角的大小、半径的长短有关
2. 如果半径为r，圆心角为n0的扇形的面积是S，那
么n等于（ B ）
(A)
360S πr
(B)
360S πr2
(C)
180S πr
(D)
180S πr2