非线性固体力学及其有限元法
有限元法概述
大型商用的FEM通用软件分类
目前已经出现了许多大型结构分析通用软件，最早的 是美国国家宇航局（NASA）在1956年委托美国计算科学 公司和贝尔航空系统公司开发的ANASTRAN有限元分析 系统，该系统发展到现在已有几十个版本。此外，比较知 名的有限元分析软件还有德国的ASKA,英国PAFEC，法 国AYATUS，美国ABAUS、ADNA、ANSYS、BERSAF E、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC、STARNYNE 等。下面仅介绍几种当前比较流行的有限元软件。 （1） ANSYS。 ANSYS是融结构、流体、电场、磁 场和声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。其主要 特点是具有较好的前处理功能，如几何建模、网络划分、
电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦分 析，可以模拟多物理介质的相互作用，具有灵敏度分析 及优化分析能力；后处理的计算结果有多种显示和表达 能力。ANSYS软件系统主要包括ANSYS/Mutiphysics 多物理场仿真分析工具、LS-DYNA显示瞬态动力分析 工具、Design Space设计前期CAD集成工具、Design Xploere多目标快速优化工具和FE-SAFE结构疲劳耐久 性分析等。ANSYS已在工业界得到较广泛的认可和应 用。
现代设计理论及方法
有限元分析法
(Finite Element Analysis ， FEA)
概述
1、有限元法简介
有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是将 弹性理论、计算数学和计算机软件有机结合在一起的一种 数值分析技术，是解决工程实际问题的一种有力的数值计 算工具。 目前，有限单元法在许多科学技术领域和实际工程问 题中得到了广泛的与应用，如，机械制造、材料加工、航 空航天、土木建筑、电子电气、国防军工、石油化工、船 舶、铁路、汽车和能源等，并受到了普遍的重视。 现有的商业化软件已经成功应用于固体力学、流体力 学、热传导、电磁学、声学和生物学等领域，能够求解由 杆、梁、板、壳和块体等单元构成的弹性、弹塑性或塑性 问题，求解各类场分布问题，求解水流管道、电路、润滑、 噪声以及固体、流体、温度间的相互作用等问题。
有限元法介绍
通俗地说，有限元法就是一种计算机模拟技术，使人们能够在计算机上用软件模拟一个工程问题的发生过程而无需把东西真的做出来。
这项技术带来的好处就是，在图纸设计阶段就能够让人们在计算机上观察到设计出的产品将来在使用中可能会出现什么问题，不用把样机做出来在实验中检验会出现什么问题，可以有效降低产品开发的成本，缩短产品设计的周期。
有限元法也叫有限单元法（finite element m ethod, FEM），是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法。
五十年代初，它首先应用于连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中，用以求得结构的变形、应力、固有频率以及振型。
由于这种方法的有效性，有限单元法的应用已从线性问题扩展到非线性问题，分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料，从连续体扩展到非连续体。
有限元法最初的思想是把一个大的结构划分为有限个称为单元的小区域，在每一个小区域里，假定结构的变形和应力都是简单的，小区域内的变形和应力都容易通过计算机求解出来，进而可以获得整个结构的变形和应力。
事实上，当划分的区域足够小，每个区域内的变形和应力总是趋于简单，计算的结果也就越接近真实情况。
理论上可以证明，当单元数目足够多时，有限单元解将收敛于问题的精确解，但是计算量相应增大。
为此，实际工作中总是要在计算量和计算精度之间找到一个平衡点。
有限元法中的相邻的小区域通过边界上的结点联接起来，可以用一个简单的插值函数描述每个小区域内的变形和应力，求解过程只需要计算出结点处的应力或者变形，非结点处的应力或者变形是通过函数插值获得的，换句话说，有限元法并不求解区域内任意一点的变形或者应力。
大多数有限元程序都是以结点位移作为基本变量，求出结点位移后再计算单元内的应力，这种方法称为位移法。
有限元法本质上是一种微分方程的数值求解方法，认识到这一点以后，从70年代开始，有限元法的应用领域逐渐从固体力学领域扩展到其它需要求解微分方程的领域，如流体力学、传热学、电磁学、声学等。
非线性有限元分析报告
非线性有限元分析1 概述在科学技术领域内，对于许多力学问题和物理问题，人们已经得到了它们所应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件（边界条件）。
但能够用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，并且几何形状相当规则的问题。
对于大多数工程实际问题，由于方程的某些特征的非线性性质，或由于求解区域的几何形状比较复杂，则不能得到解析的答案。
这类问题的解决通常有两种途径。
一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简化状态下的解答。
但是这种方法只是在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致误差很大甚至是错误的解答。
因此人们多年来一直在致力于寻找和发展另一种求解途径和方法——数值解法。
特别是五十多年来，随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。
已经发展的数值分析方法可以分为两大类。
一类以有限差分法为代表，主要特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。
其具体解法是将求解区域划分为网格，然后在网格的结点上用差分方程来近似微分方程，当采用较多结点时，近似解的精度可以得到改善。
但是当用于求解几何形状复杂的问题时，有限差分法的精度将降低，甚至发生困难。
另一类数值分析方法是首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分提法，然后再建立近似解法并求解。
如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分提法可以归结为某个泛函的变分，相应的近似解法实际上就是求解泛函的驻值问题。
诸如里兹法，配点法，最小二乘法，伽辽金法，力矩法等都属于这一类方法。
但此类方法也只能局限于几何形状规则的问题，原因在于它们都是在整个求解区域上假设近似函数，因此，对于几何形状复杂的问题，不可能建立合乎要求的近似函数。
1960年，R.W.CLOUGH发表了有限单元法的第一篇文献“The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”，这同时也标志着有限单元法（FEM）的问世。
固体力学概述
固体力学概述1. 固体力学基本概念固体力学是研究固体在各种力和力矩作用下的力学行为的科学。
固体可以是晶体、非晶体、复合材料或生物组织等。
固体力学主要关注的是固体在受力状态下的行为，包括变形、断裂、损伤等。
2. 弹性力学基础弹性力学是研究弹性体在外力作用下的应力、应变和位移等的学科。
当外力撤去后，弹性体能够恢复到原来的状态。
弹性力学的基本原理包括胡克定律、弹性模量等。
3. 材料力学材料力学是研究材料在各种力和力矩作用下的行为的学科。
它主要关注材料的强度、刚度、稳定性等问题，以及如何设计出既安全又经济的结构。
4. 塑性力学塑性力学是研究塑性变形过程的学科。
当外力超过材料的屈服点时，材料会发生塑性变形，即使外力撤去后也不能完全恢复原来的形状。
塑性力学对于理解材料的极限承载能力和工程设计中的安全系数至关重要。
5. 断裂力学断裂力学是研究材料断裂行为的学科。
它主要关注的是裂纹的萌生、扩展和断裂的过程，以及如何预测和控制材料的断裂行为。
6. 复合材料力学复合材料力学是研究复合材料的力学行为的学科。
复合材料由两种或多种材料组成，其力学行为比单一材料复杂得多。
复合材料力学对于航空、航天、汽车等领域的材料设计具有重要意义。
7. 热力学与相变热力学与相变是研究材料在温度变化时的热力学特性和相变行为的学科。
它涉及到材料的热膨胀、热传导、相变温度等，对于理解材料的热行为和热稳定性至关重要。
8. 非线性力学非线性力学是研究非线性现象的学科。
当外力足够大时，固体材料的力学行为会变得非常复杂，出现非线性现象，如分岔、混沌等。
非线性力学对于理解材料的极限行为和设计复杂结构具有重要意义。
9. 有限元分析有限元分析是一种数值分析方法，用于求解各种复杂的固体力学问题。
通过将连续的物体离散化为有限个小的单元（称为有限元），可以用数值方法求解这些单元的平衡方程，从而得到物体的应力、应变等。
有限元分析是现代工程设计和分析中不可或缺的工具。
有限元法的基本原理
第二章有限单元法的基本原理作为一种比较成熟的数值计算方法，有限元的数学基础是变分原理。
经过半个过世纪的发展，它的数学基础已经比较完善。
从数学角度分析，有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。
它广泛的应用于解算各种类型的偏微分方程，特别对椭圆型方程，因为椭圆型方程的边值问题等价于适当的变分问题，即能量积分的级值问题。
通过变分，导出相应的泛涵，再把作用域从几何上剖分为足够小的单元，这样就能够用简单的图形去拟合复杂的边界，用简单的初等函数去模拟单元的性质。
在解算中先对每个单元进行分析，后在通过连接单元的节点对作用域的整体进行分析，就是对泛涵求极值，从而把一个复杂的偏微分方程求解问题，变成解线形代数方程组的问题。
尽管这样会出现大量的未知数，由于采用了矩阵分析的方法，总体上很有规律，适合编制程序用计算机完成。
通常的数学考虑包括这些：1）从古典变分方法原理去定义微分方程边值问题的广义解以及在古典变分方法的框架对有限元进行理论分析。
2）保证偏微分方程边值问题的提法正确，即要求解存在、唯一和稳定，即保证数值解法是可靠的。
3）有限元中重要的一点是采用了分块多项式插值函数，因此，有限元的误差估计转化为插值逼近的误差估计问题。
4）有限元的收敛性和误差估计。
由于本文是应用有限元的理论解决大地测量中的问题，因此，这里将不讨论上叙问题，而是从固体力学的基本方程出发，通过虚功原理建立起离散化的有限元方程。
另外，还以八节点六面体单元为例，简要叙述了实际中最常用的等参单元的概念及其数值变化的一些公式。
§2.1 弹性力学基本方程有限元法中经常要用到弹性力学的基本方程，这里写出这些方程的矩阵表达式。
2-1-1、平衡方程对任意一点的受力情况分析，沿坐标轴方向x, y ,z分解得到平衡方程0*00000000=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z y xxz yz xy z y x F F F z yzz x y z y x τττσσσ 记为： 0=+F A σ其中A 是微分算子，F 是体积力向量。
有限元法的工程领域应用
有限元法的工程领域应用
有限元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种工程领域常用的数值计算方法，广泛应用于结构力学、固体力学、流体力学等领域。
以下是一些有限元法在工程领域常见的应用：
1. 结构分析：有限元法可用于分析各种结构的受力性能，如建筑物、桥梁、飞机、汽车等。
通过将结构离散成有限数量的单元，可以计算出每个单元的应力、应变以及整个结构的位移、变形等信息。
2. 热传导分析：有限元法可用于模拟材料或结构的热传导过程。
通过对材料的热传导系数、边界条件等进行建模，可以预测温度分布、热流量等相关参数。
3. 流体力学分析：有限元法在流体力学领域的应用非常广泛，例如空气动力学、水动力学等。
通过建立流体的速度场、压力场等参数的数学模型，可以分析流体在不同条件下的运动特性。
4. 电磁场分析：有限元法可以应用于计算电磁场的分布和特性，如电磁感应、电磁波传播等。
通过建立电磁场的数学模型，可以预测电场、磁场强度以及电磁力等。
5. 振动分析：有限元法可用于模拟结构的振动特性，如自由振动、强迫振动等。
通过建立结构的质量、刚度和阻尼等参数的数学模型，可以计算出结构在不同频率下的振动响应。
6. 优化设计：有限元法可以与优化算法结合，应用于工程设计中的结构优化。
通过对结构的材料、几何形状等进行参数化建模，并设置目标函数和约束条件，可以通过有限元分析来寻找最佳设计方案。
以上只是有限元法在工程领域的一些应用，实际上有限元法在各个领域都有广泛的应用，为工程师提供了一种精确、高效的数值计算方法，用于解决各种实际工程问题。
计算固体计算力学 - 第四章 几何非线性问题
。对于某一固定时刻t这种变换可以表示为
* 拉各朗日（Lagrange）描述
t
xi t xi ( 0 x1, 0 x2 , 0 x3 )
基于变形前的构型表述变形后的构型。以变形前的各点坐标 为基本未知数，描述各个量。 根据变形的连续性要求，这种变化必须一一对应，即变换是 单值连续的。同时变换应有唯一的逆变换，也是单值连续的 * 欧拉（Eular）描述
t
t 0 ji
T
t 0
S ji
15
计算固体计算力学
各种应力张量之间的关系： （1）由质量守恒：
t
0
0
V
dV
t
t
V
dV
t
0
V
det( 0 t xi , j ) dV
0 det( t xi , j ) 0 t 0 t 0 t t t t （2） 0 Tji t t x j , m mi ， ji 0 0 x j , m 0Tmi t 0 t t t t 0 0 t （3 ） t S x x Smn x x ji 0 j , m 0 i , n 0 0 0 ji t j ,m t i,n mn ， t
其中：
不能求解
uk
--现实位移分量的变分； --应变的变分； --在现实位形内度量的面积载荷 --在现实位形内度量的体积载荷
t
17
计算固体计算力学
第三节 大变形情况下的本构关系
等温、绝热条件下的小变形线弹性情况，可以用三 种等效的方法描述应力和应变之间的关系
ij Dijkl kl
W ij ij
W
1 Dijkl ij kl 2
有限元方法的发展及应用
有限元⽅法的发展及应⽤有限元⽅法的发展及应⽤摘要：有限元法是⼀种⾼效能、常⽤的计算⽅法。
有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它⼴泛地应⽤于以拉普拉斯⽅程和泊松⽅程所描述的各类物理场中。
⾃从1969年以来，某些学者在流体⼒学中应⽤加权余数法中的迦辽⾦法或最⼩⼆乘法等同样获得了有限元⽅程，因⽽有限元法可应⽤于以任何微分⽅程所描述的各类物理场中，⽽不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。
基本思想：由解给定的泊松⽅程化为求解泛函的极值问题。
1有限元法介绍1.1有限元法定义有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是⽤较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它是起源于20世纪50年代末60年代初兴起的应⽤数学、现代⼒学及计算机科学相互渗透、综合利⽤的边缘科学。
有限元法的基本思想是将求解域看成是由许多称为有限元的⼩的互连⼦域组成，对每⼀单元假定⼀个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满⾜条件(如结构的平衡条件），从⽽得到问题的解。
这个解不是准确解，⽽是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于⼤多数实际问题难以得到准确解，⽽有限元不仅计算精度⾼，⽽且能适应各种复杂形状，因⽽成为⾏之有效的⼯程分析⼿段。
有限元法最初应⽤在⼯程科学技术中,⽤于模拟并且解决⼯程⼒学、热学、电磁学等物理问题。
1.2有限元法优缺点有限元⽅法是⽬前解决科学和⼯程问题最有效的数值⽅法，与其它数值⽅法相⽐，它具有适⽤于任意⼏何形状和边界条件、材料和⼏何⾮线性问题、容易编程、成熟的⼤型商⽤软件较多等优点。
（1）概念浅显，容易掌握，可以在不同理论层⾯上建⽴起对有限元法的理解，既可以通过⾮常直观的物理解释来理解，也可以建⽴基于严格的数学理论分析。
（2）有很强的适⽤性，应⽤范围极其⼴泛。
它不仅能成功地处理线性弹性⼒学问题、费均质材料、各向异性材料、⾮线性应⽴-应变关系、⼤变形问题、动⼒学问题已及复杂⾮线性边界条件等问题，⽽且随着其基本理论和⽅法的逐步完善和改进，能成功地⽤来求解如热传导、流体⼒学、电磁场等领域的各类线性、⾮线性问题。
有限元方法的发展史
有限元方法的发展史有限元方法是一种数学计算方法，用于解决连续介质力学问题。
它的发展历史可以追溯到20世纪50年代，经过几十年的发展和完善，如今已成为工程和科学领域中最常用的数值计算方法之一。
有限元方法的发展始于20世纪50年代，当时工程师和科学家们面临着处理复杂结构和材料行为的问题。
传统的解析方法往往无法应用于这些问题，因此需要一种新的计算方法来模拟和分析实际情况。
有限元方法的出现正好满足了这一需求。
最早的有限元方法是由地球物理学家Turner等人在20世纪50年代末提出的。
他们使用有限差分法来近似计算连续介质的力学行为。
随着计算机技术的进步，有限元方法得以快速发展。
1960年代，有限元方法开始在工程领域得到广泛应用，特别是在结构力学和固体力学领域。
有限元方法的发展受益于计算机硬件和软件技术的进步。
计算机的出现大大提高了计算能力和效率，使得有限元方法可以应用于更加复杂的问题。
同时，有限元方法的软件也逐渐得到了完善和发展，使得用户能够更加方便地进行模拟和分析。
在有限元方法的发展过程中，还出现了许多改进和扩展的方法。
例如，有限元方法可以用于处理非线性材料行为、动力学问题、热传导问题等。
不断的改进和扩展使得有限元方法的应用领域越来越广泛，已经涉及到了各个工程和科学领域。
近年来，随着计算机技术的不断进步，有限元方法也在不断发展。
高性能计算机和并行计算技术的出现，使得有限元方法可以应用于更加复杂和大规模的问题。
同时，有限元方法的优化和自适应技术也得到了广泛研究和应用，进一步提高了计算效率和准确性。
有限元方法的发展经历了几十年的演变和完善，从最初的简单近似到如今的复杂应用，它已经成为工程和科学领域中不可或缺的数值计算方法。
随着计算机技术的不断进步和应用需求的不断增加，有限元方法将继续发展，并为解决更加复杂和真实的问题提供有效的数值计算手段。
非线性固体力学及其有限元法
的 途 径 是Ｓ ｉ ｍｏ 等 基 于加 权 残 数 形势 的 胡海 昌—— ｗａｓ ｈｉ ｚ Ｕ变分 原 理 的 混 合应 变 元 。
体 力学 有 两个 特点 ， 其 中一 个 便 是有 限 元法 和 电子计 算 机 在 固体 力学 中的 广泛 应 用 。 有 限 元 法 凭借 其 概 念 清 楚 ， 容 易理 解 ， 适 用性 强， 应 用 范 围广 和 采 用矩 阵 方 式表 达 ， 便 于
其 中蕴 含 的 力 学 规 律 。 探 讨 降低 破 坏 所 造 及 这些 条 件 的 杂交 元 的优 化 方法 ， 构建 了单 协 调 变 形 梯 度 部 分 和 取 作 为独 立变 量 的 假 成的经济损 失和社 会效应的科学方 法， 建 元优 化格 式和 多 变 量参 数 匹配 原 理 。 立新 的理论 、 新 的设计方 法、 新 的 计 算 方 ２ ． ２ 杂 交 应力 元 法、 新 的 实 验技 术 ， 并升 华 到 能够 建 立 新 的
到 自语 假 定位 移 ２ 有 限元法在 非 线性 固体 力学 中的应 用 他 的应 变场 划 分 为两 部 分 ：
２ ． １ 不协 调位 移 元
不 协 调 位 移 元 的 发展 过 程 ： Ｔａ Ｙｉ ｏ ｒ 提
场 的 协 调 应 变 部 分 和 取 作 为独 立变 量 的 假 定附加 应 变 部 分。
完成。 例 介绍 多 变 量有 限元 ， 它是 以非 协调 释 解 函 数 的 多变 量 有 限 元 的 非 线 性 相 容 分 析 为 基 变 量 的 假 定 应 力 场 。进 一 步 ，将 独 立 的 附
１ 固体力 学的 特点
１ ． １ 基 础 与工程 的 双 重特点 鲜 明
在研 究 内容 方面 涉 及 工 程 材 料 破 坏 与 工 程 结 构破 坏 的 两个 方面 。 研 究 工程 材 料 、 工 程 结 构 和 高 技 术 结 构 的 破 坏 行 为 ，探 索
第八章几何非线性问题的有限元法
第八章几何非线性问题的有限元法引言前而各章所讨论的问题都是在小变形假设的前提下进行的，即假泄物体所发生的位移远小于物体自身的几何尺寸，应变远小于2。
在此前提下，建立物体或微元体的平衡条件时可以不考虑物体的位這和形状（简称位形）的变化，因此在分析中不必区别变形前后位形的差别，且应变可用一阶无穷小的线性应变表达。
实际上，上述假设有时是不成立的。
即使实际应变可能是小的，且不超过材料的弹性极限，但如果需要精确地确怎位移，就必须考虑几何非线性，即平衡方程应该相对于变形后的位置得出，而几何关系应该计及二次项。
例如平板大挠度理论中，由于考虑了中面内的薄膜应力，求得的挠度比小挠度理论的结果有显著的减低。
再如在结构稳左性问题中，当载荷达到一左数值后，挠度比线性解答予示的结果更剧烈地增加，并且确实存在承载能力随继续变形而减低的现象。
在冷却塔、薄壁结构及其它比较细长的结构中，几何非线性分析都显得十分重要。
几何非线性问题可以分为以下几种类型：（1）大位移小应变问题。
一般工程结构所遇到的几何非线性问题大多属于这一类。
例如髙层建筑或髙耸构筑物以及大跨度网壳等结构的分析常需要考虑到结构大位移的影响。
（2）大位移大应变问题，如金属压力加工中所遇到的问题就属于这一类型。
（3）结构的变形引起外载荷大小、方向或边界支承条件的变化等。
结构的平衡实际上是在结构发生变形之后达到的，对于几何非线性问题来说，平衡方程必须建立在结构变形之后的状态上。
为了描述结构的变形需要设置一泄的参考系统。
一种做法是让单元的局部坐标系始终固定在结构发生变形之前的位宜，以结构变形前的原始位形作为基本的参考位形，这种分析方法称作总体的拉格朗日（Lagrange）列式法；另一种做法是让单元的局部坐标系跟随结构一起发生变位，分析过程中参考位形是不断被更新的，这种分析方法称作更新的拉格朗日列式法。
本章首先对几何非线性问题作一般性讨论，从中导岀经典的线性屈曲问题的公式：然后建立平板大挠度问题和壳体的大位移（及大转动）分析的有限方法公式：接着还给岀了大应变及大位移的一般公式，最后还详细讨论了杆系结构几何非线性问题的有关公式。
有限单元法
（1.11）
AE ⎡α 2 αβ ⎤ AE ⎡ − α 2 [k ii ] = ⎢ ⎥ ， [k ij ] = [k ji ] = ⎢ l ⎣αβ β 2 ⎦ l ⎣− αβ AE ⎡α 2 αβ ⎤ [k jj ] = ⎢ ⎥ ， α = cosθ , β = sin θ l ⎣αβ β 2 ⎦ 我们注意到，上式中的单元刚度矩阵 [K ]e 具有对称性。
或写成
（1.15a） （1.15b）
[ F ]e = [T]e [F]e
其中
（1.16）
⎡ cosθ ⎢− sin θ [T]e = ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
为转换矩阵。Leabharlann sin θ cosθ 0 0
0 0 cosθ − sin θ
0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ sin θ ⎥ ⎥ cosθ ⎦
（1.17）
对于节点位移，在局部坐标与整体坐标之间，也存在着类似的关系：
（1.1）
其中 u i , vi （或 u j , v j ）分别表示节点 i （或 j ）沿坐标轴 x 方向和 y 方向的节点位移分量；
f x i , f yi （或 f x j , f yj ）为相应的 x 方向和 y 方向的节点力分量。并且规定：节点位移和节点
力的符号与坐标轴 x, y 取向一致为正，反之为负。 首先分析杆的应变-位移关系。杆的长度 l 可表示为
（1.6）
单元内的轴向力（规定拉力为正）为
N = AEε =
（1.7）
这里 A 和 E 分别表示杆的横截面积和弹性模量。节点力与轴力的关系可表示为
f xi = − N cosθ , f yi = − N sin θ ; f xj = N cosθ , f yj = N sin θ
非线性有限元解法
(9)
(10 )
•在增量方法中通常引入载荷因子λ,用 R R表示载荷， 于是非线性有限
元方程可写成： ( u, ) P( u ) R 0
(1)
用载荷因子λ系列： 0 0 1 2 M 1
(2)
相应于不同的载荷。
若相应于载荷因子 n 的解已经求得，记为 u un ，则 ( un ,n ) P( un ) n R 0
KT n
KT ( un
)
un
(8)
un1 un un
其收敛判据与直接迭代法的收敛判据雷同。
非线性有限元方程组的解法（增量法）
•求解非线性方程组的另一类方法是增量方法。使用增量方法的一个优点是 可以得到整个载荷变化过程的一些中间的数值结果。当问题的性质与加载的 历史有关时，例如弹塑性问题，则必须采用增量方法。
u1 ( K1 )1 R
据此容易写出直接迭代法的迭代公式：
Kn K( un )
un1 ( K n )|1 R
(2)
按照这种迭代公式可以得到一个解数列 { un } ，当这个数列收敛时停止计
算，其数列收敛值就是方程（1）的解。
非线性有限元方程组的解法（直接迭代法）
关于数列收敛的判据，可以采用各种各样的范数定义和收敛判据。若设第 n
( un ) K( un )un R 0
(7)
该值可作为对偏离平衡的一种度量（称为失衡力），收敛判据可相应地取为：
( un ) R
(8)
（失衡力收敛判据）
非线性有限元方程组的解法（牛顿法）
把非线性有限元方程记为： ( u ) P( u ) R 0 (1)
非线性固体力学及其有限元法
非线性固体力学及其有限元法作者：王难烂来源：《科技创新导报》 2013年第7期王难烂（武汉科技大学武汉 430065）摘?要：固体力学的研究对象是可变性固体，可变性固体在载荷，温度，湿度等外界因素的影响下内部各个质点发生的位移、运动、应力、应变还有破坏规律等。
该文通过对不协调位移元、杂交应力元以及混合应变元三方面举例说明有限元法在非线性固体力学中的应用。
关键词：非线性固体力学有限元法中图分类号：O175文献标识码：A文章编号：1674-098X（2013）03（a）-0-01第二次世界大战后发展起来的现代固体力学有两个特点，其中一个便是有限元法和电子计算机在固体力学中的广泛应用。
有限元法凭借其概念清楚，容易理解，适用性强，应用范围广和采用矩阵方式表达，便于编制计算机程序等优点在固体力学中发展迅速，解决了很多复杂问题。
1 固体力学的特点1.1 基础与工程的双重特点鲜明在研究内容方面涉及工程材料破坏与工程结构破坏的两个方面。
研究工程材料、工程结构和高技术结构的破坏行为，探索其中蕴含的力学规律。
探讨降低破坏所造成的经济损失和社会效应的科学方法，建立新的理论、新的设计方法、新的计算方法、新的实验技术，并升华到能够建立新的国家标准和新的结构完整性评估方法和可靠性判据，为设计和改进具有更卓越力学行为和可靠性的工程材料、工程结构和高技术结构提供理论基础与准则。
解决各种工程材料的破坏失效表征和工程结构与高技术结构的完整性评[1]。
1.2 广泛的学科交叉性由于力学理论、方法的普适性，以及力学现象遍及自然界和人类活动的各个层面，因此，一方面作为力学中的一门基础性分支的固体力学必须结合现代数学等学科的新概念、新方法，发展其基本理论以研究力与热、电、化学及生命领域的相互作用，实现从原子、分子的微观结构，到纳米结构、细观显微结构，直至宏观结构的多尺度关联理论框架的建立[2]。
另一方面，固体力学和几乎所有的工程学科相交叉、渗透。
有限元法_精品文档
12
一、有限元法的基本概念
1.什么是有限元法
我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设 计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建 立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出 在连续体上任一点上未知量的值。
25
4）具有灵活性和适用性，适应性强（它可以把形状 不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适 用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为 广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均 匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复 杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法 的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流 体力学及电磁场领域的许多问题）
21
对于一个具体的工程结构，单元的划分越小， 求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越 大。
梯子的有限元模型不到100个方程； 在ANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几 千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。 单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算 结果精确性的要求。
22
4）有限元分析 有限元分析就是利用数学近似的方法对真实
5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
26
2.有限元法的作用 1）减少模型试验的数量（计算机模拟允许对大量
的假设情况进行快速而有效的试验）； 2）模拟不适合在原型上试验的设计（例如：器官
移植、人造膝盖）； 3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本； 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期； 5）创造出高可靠性、高品质的产品。
因为点是无限多的，存在无限自由度的问题， 很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问 题，因此需要采用近似方法来处理。
计算固体力学(有限元以及无网格方法)
σz ≠ 0
E 1− µ2
平面应变问题的弹性矩阵只需将上页中的 E 换成
µ 换成 1 − µ 即可。 即可。
µ
1 E (1 − µ ) µ [D] = (1 + µ )(1 − 2µ ) 1 − µ 0
µ
1− µ 1 0
0 1 − 2µ 2(1 − µ ) 0
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.2 三角形常应变单元 3 单元中的应变和应力
{ε } = [ B ]{δ }e
i ( xi , yi )
y
vm
Hale Waihona Puke m ( xm , y m )
vi
um
vj
uj
ui
j(x j , y j )
由于[ 是常量， 由于[B]是常量，单元内各点应变分 量也都是常量， 量也都是常量，这是由于采用了线性位 移函数的缘故， 移函数的缘故，这种单元称为三角形常 应变单元。 应变单元。
2.2 三角形常应变单元 2 位移试函数
由于位移函数适用于单元中的任意 一点，所以代入3个节点的坐标后， 一点，所以代入3个节点的坐标后，得 出节点处位移函数为
ui = α1 + α 2 xi + α 3 yi
u j = α1 + α 2 x j + α 3 y j u m = α 1 + α 2 xm + α 3 y m
y
vm
m ( xm , y m )
vi
um
vj
uj
i ( xi , yi )
ui
j(x j , y j )
O
x
三角形单元
1 xi 1 ∆ = 1 xj 2 1 xm yi
有限元法及其应用_概述及解释说明
有限元法及其应用概述及解释说明1. 引言1.1 概述有限元法是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域中各种结构、流体和热传导问题的分析与求解。
该方法将实际问题转化为数学模型，并通过离散化方法将复杂的连续域分割成许多简单的子域，然后建立局部方程并组合求解得出整个系统的行为。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分来阐述有限元法及其应用。
首先是引言部分，在这部分中我们对有限元法进行综述和概括性介绍。
接下来是有限元法基础，包括定义与原理、离散化方法以及数学模型和方程组等内容。
第三部分是有限元法的应用领域，具体涵盖了结构力学分析、流体力学模拟以及热传导分析等方面。
紧接着是有限元法的优势与局限性的讨论，其中包含了优势点和局限性两个方面。
最后在结论与展望部分对目前取得的成果进行总结，并展望未来该领域发展的方向。
1.3 目的本文旨在全面介绍有限元法及其应用，使读者对该方法有一个全面的了解。
通过分析有限元法的原理和数学基础，以及讨论其在结构力学、流体力学和热传导等不同领域中的应用，读者可以更好地理解该方法在实际工程问题中的作用和意义。
同时，通过对有限元法的优势和局限性进行深入讨论，读者也可以对该方法的适用范围和限制条件有一个清晰的认识。
最后，在总结现有成果并展望未来发展方向的部分，本文希望促进该领域进一步的研究和应用，并为相关领域从业人员提供参考与借鉴。
2. 有限元法基础：2.1 定义与原理：有限元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种工程数值分析方法，通过将复杂的连续体问题转化为离散的有限元模型，并通过求解一系列代数方程组来获得数值近似解。
它基于强大的计算能力和离散化技术，广泛应用于各个领域的工程问题求解。
有限元法原理包括两个基本步骤：离散化和解。
在离散化过程中，需要将复杂的连续体划分为多个单元，每个单元具有简单的几何形状（如线段、三角形或四边形）。
这些单元可以通过节点进行连接，并构成整个结构或区域。
(完整版)有限元法的基本原理
第二章有限元法的基本原理有限元法吸取了有限差分法中的离散处理内核，又继承了变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。
有限元法的理论基础是加权余量法和变分原理，因此这里首先介绍加权余量法和变分原理。
2.1等效积分形式与加权余量法加权余量法的原理是基于微分方程等效积分的提法，同时它也是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法。
在有限元分析中，加权余量法可以被用于建立有限元方程，但加权余量法本身又是一种独立的数值求解方法。
2.1.1微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u 应满足微分方程组⎛A 1(u )⎫ ⎪A (u )= A 2(u )⎪=0（在Ω内）（2-1） M ⎪⎝⎭域Ω可以是体积域、面积域等，如图2-1所示。
同时未知函数u 还应满足边界条件⎛B 1(u )⎫ ⎪B (u )= B 2(u )⎪=0（在Γ内）（2-2）M ⎪⎝⎭要求解的未知函数u 可以是标量场（例如压力或温度），也可以是几个变量组成的向量场（例如位移、应变、应力等）。
A ，B 是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等）的微分算子。
微分方程数目应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。
所以在以上两式中采用了矩阵形式。
以二维稳态的热传导方程为例，其控制方程和定解条件如下：A (φ)=∂∂φ∂∂φ(k )+(k )+q =0（在Ω内）（2-3）∂x ∂x ∂y ∂y⎧φ-φ=0⎪B(φ)=⎨∂φ-q=0⎪k⎩∂n （在Γφ上）（在Γq上）（2-4）这里φ表示温度（在渗流问题中对应压力）；k是流度或热传导系数（在渗流问题中对应流度K/μ）；φ和q是边界上温度和热流的给定值（在渗流问题中分别对应边界上的压力和边界上的流速）；n是有关边界Γ的外法线方向；q是源密度（在渗流问题中对应井的产量）。
计算固体计算力学 - 内容简介
3
计算固体计算力学
授课内容简介
第二章 非线性方程(组)的解法 直接迭代法 Newton-Raphson法(简称N-R法) 改进的Newton-Raphson法(简称M-N-R法) 增量法
4
计算固体计算力学
授课内容简介
第三章 材料非线性问题及其有限元求解 材料弹塑性本构关系 塑性力学中的变分原理 弹塑性增量有限元分析 弹塑性全量有限元分析
7
计算固体计算力学
参考书籍
1. 有限元法中的变分原理基础，王生楠编，西工大出版社 2. 航天器计算结构力学，竺润祥主编，宇航出版社 3. 非线性固体计算力学，宋天霞等编，华中科技大学出版社
8
5
计算固体计算力学
授课内容简介
第四章 几何非线性问题及其有限元求解 大变形条件下的应力和应变的度量 几何非线性问题的表达格式 大位移非线性弹性理论的变分原理 几何非线性问题的有限元分析 结构稳定性和屈曲问题
6
计算固体计算力学
授课内容简介
第五章 接触和碰撞问题及其有限元求解 接触问题的界面条件 接触问题的求解方案 接触问题的有限元方程 接触问题的有限元求解 接触分析中的若干问题
计算固体计算力学
博士研究生课程
计算固体力学
课程编号：090
王生楠，谢伟
西北工业大学 航空学院
1
计算固体计算力学
计算固体力学课程体系
2
计算固体计算力学
授课内容简介
第一章 引言 第二章 非线性方程(组)的常用解法 第三章 材料非线性问题及其有限元求解 第四章 几何非线性问题及其有限元求解 第五章 接触和碰撞问题及其有限元求解
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
非线性固体力学及其有限元法
摘要：固体力学的研究对象是可变性固体，可变性固体在载荷，温度，湿度等外界因素的影响下内部各个质点发生的位移、运动、应力、应变还有破坏规律等。
该文通过对不协调位移元、杂交应力元以及混合应变元三方面举例说明有限元法在非线性固体力学中的应用。
关键词：非线性固体力学有限元法
第二次世界大战后发展起来的现代固体力学有两个特点，其中一个便是有限元法和电子计算机在固体力学中的广泛应用。
有限元法凭借其概念清楚，容易理解，适用性强，应用范围广和采用矩阵方式表达，便于编制计算机程序等优点在固体力学中发展迅速，解决了很多复杂问题。
1 固体力学的特点
1.1 基础与工程的双重特点鲜明
在研究内容方面涉及工程材料破坏与工程结构破坏的两个方面。
研究工程材料、工程结构和高技术结构的破坏行为，探索其中蕴含的力学规律。
探讨降低破坏所造成的经济损失和社会效应的科学方法，建立新的理论、新的设计方法、新的计算方法、新的实验技术，并升华到能够建立新的国家标准和新的结构完整性评估方法和可靠性判据，为设计和改进具有更卓越力学行为和可靠性的工程材料、工程结
构和高技术结构提供理论基础与准则。
解决各种工程材料的破坏失效表征和工程结构与高技术结构的完整性评[1]。
1.2 广泛的学科交叉性
由于力学理论、方法的普适性，以及力学现象遍及自然界和人类活动的各个层面，因此，一方面作为力学中的一门基础性分支的固体力学必须结合现代数学等学科的新概念、新方法，发展其基本理论以研究力与热、电、化学及生命领域的相互作用，实现从原子、分子的微观结构，到纳米结构、细观显微结构，直至宏观结构的多尺度关联理论框架的建立[2]。
另一方面，固体力学和几乎所有的工程学科相交叉、渗透。
连续有限元的研究核心是低阶高精度元，低阶高精度元的具有以下六方面的特性：（1）自锁现象不存在材料不可压缩时；（2）无剪切自锁在弯曲时出现的问题通过较好的位移还有应力精度可以解决；
三、可以顺利通过分片试验；四、单元公式只有位移自由度在有限元全局网格的情况下出现；五、对有线网格变化不敏感；六、较高的计算水平。
低阶高精度元基于这六方面的特征，可以有效的解决非线性问题的高精确求解、非线性的自适应精确分析以及改善接触问题与动力分析的收敛性等问题[3]。
2 有限元法在非线性固体力学中的应用
2.1 不协调位移元
不协调位移元的发展过程：Taylor提出的不协调元首先满足了分片试验；吴长春进一步构建了不协调元的位移模式和逻辑方法；最后不协调元性态的改善由Sze
完成。
下面以吴长春的相容性与优化模式为例介绍多变量有限元，它是以非协调释解函数的多变量有限元的非线性相容分析为基础，导出能量相容条件和单元优化条件以及这些条件的杂交元的优化方法，构建了单元优化格式和多变量参数匹配原理。
2.2 杂交应力元
在杂交应力元建立初期，结构和固体有限元法的未知数都是单元节点，相当的刚度矩阵的建立是以两种基本单变量变分原理为基础的。
一个是根据势能原理的协调元，其中嘉定的唯一需要满足单元内和单原件的协调；另一个是根据余能原理的平衡元，其中假定的应力需要满足单元内部平衡的应力和相邻单元间协调的边界位移。
为了和混合元区分，杂交元法的定义是由多变量变分法推到，但是最后求解时，只是以节点位移为未知数的有限元法，因为有限元可以根据位移与应力或位移与应变的变分原理，所以可以区分为杂交应力有限元法与杂交应变有限元法[4]。
从变分原理角度分析，由于独立自变函数不同可以分为不同的模型，其中包括协调模型，平衡模型，混合模型，杂交模型以及杂交混
合模型。
但是直到今天，杂交元在几何和材料非线性中的应用还是非常少。
2.3 混合应变元
混合应变元的发展过程：首先由Hughes和Simo提出了B方法，Belytschko在胡海昌-washizu变分原理的混合应变元做了改善，Jetteur 等进一步发展了采用一点积分的有限应变下非线性混合应变元，应用共旋公式处理有限应变，显示的导出了有限应变下屈服准则的单元一致性切线
矩阵。
混合应变元发展中另一条具有代表性的途径是Simo等基于加权残数形势的胡海昌—washizu变分原理的混合应变元。
他的应变场划分为两部分：到自语假定位移场的协调应变部分和取作为独立变量的假定附加应变部分。
在单元内部先对假定应力场施加相对于假定附加应变场的L正交化条件以满足分片实验和在单元内部消去作为独立变量的假定应力场。
进一步，将独立的附加应变在但愿一级凝聚掉，这类混合应变元已被推广到几何非线性[5]。
Simo等采用Kirchhoff应力张量和变形速率作为应力应变度量，将变形梯度张量划分为两部分：协调变形梯度部分和取作为独立变量的假定附加变形梯度部分，构造了非线性连续提的混合应变元。
3 结语
固体力学的发展面临的问题主要有：重基础研究、轻应用基础研究、与国际计算力学软件相比差距较大、实验力学的队伍偏小、轻实验的思想没有根本改变、在结构材料的发展研究中，固体强度问题还没有根本解决等。
所以，要通过基金资助来把创新的条件和环境推动起来，长期稳定地处理好固体力学领域的基础研究与工程需求的关系，促进固体力学的新的学科生长点的发展，充分发挥固体力学的基础研究成果对工程技术和国民经济的支撑作用，达到全面发展的观念。
参考文献
[1] 中国科学技术协会主编，中国力学学会编著．力学学科发展综合报告[M]．北京：中国科学技术出版社，2007．
[2] 卞学.杂交应力有限元法的研究进展[J].力学进展，2011（3）.
[3] 李锡夔.几何非线性混合应变元的构造及应用[J].上海力学，1994（12）.
[4]国家自然科学基金委员会数理科学部．力学学科发展研究报告[M]．北京：科学出版社，2006．
[5] 李锡夔.非线性计算固体力学的若干问题[J].大连理工大学
学报，1995（12）.。