非线性固体力学及其有限元法

非线性固体力学及其有限元法

摘要：固体力学的研究对象是可变性固体，可变性固体在载荷，温度，湿度等外界因素的影响下内部各个质点发生的位移、运动、应力、应变还有破坏规律等。该文通过对不协调位移元、杂交应力元以及混合应变元三方面举例说明有限元法在非线性固体力学中的应用。

关键词：非线性固体力学有限元法

第二次世界大战后发展起来的现代固体力学有两个特点，其中一个便是有限元法和电子计算机在固体力学中的广泛应用。有限元法凭借其概念清楚，容易理解，适用性强，应用范围广和采用矩阵方式表达，便于编制计算机程序等优点在固体力学中发展迅速，解决了很多复杂问题。

1 固体力学的特点

1.1 基础与工程的双重特点鲜明

在研究内容方面涉及工程材料破坏与工程结构破坏的两个方面。研究工程材料、工程结构和高技术结构的破坏行为，探索其中蕴含的力学规律。探讨降低破坏所造成的经济损失和社会效应的科学方法，建立新的理论、新的设计方法、新的计算方法、新的实验技术，并升华到能够建立新的国家标准和新的结构完整性评估方法和可靠性判据，为设计和改进具有更卓越力学行为和可靠性的工程材料、工程结

构和高技术结构提供理论基础与准则。解决各种工程材料的破坏失效表征和工程结构与高技术结构的完整性评[1]。

1.2 广泛的学科交叉性

由于力学理论、方法的普适性，以及力学现象遍及自然界和人类活动的各个层面，因此，一方面作为力学中的一门基础性分支的固体力学必须结合现代数学等学科的新概念、新方法，发展其基本理论以研究力与热、电、化学及生命领域的相互作用，实现从原子、分子的微观结构，到纳米结构、细观显微结构，直至宏观结构的多尺度关联理论框架的建立[2]。另一方面，固体力学和几乎所有的工程学科相交叉、渗透。

连续有限元的研究核心是低阶高精度元，低阶高精度元的具有以下六方面的特性：（1）自锁现象不存在材料不可压缩时；（2）无剪切自锁在弯曲时出现的问题通过较好的位移还有应力精度可以解决；

三、可以顺利通过分片试验；四、单元公式只有位移自由度在有限元全局网格的情况下出现；五、对有线网格变化不敏感；六、较高的计算水平。低阶高精度元基于这六方面的特征，可以有效的解决非线性问题的高精确求解、非线性的自适应精确分析以及改善接触问题与动力分析的收敛性等问题[3]。

2 有限元法在非线性固体力学中的应用

2.1 不协调位移元

不协调位移元的发展过程：Taylor提出的不协调元首先满足了分片试验；吴长春进一步构建了不协调元的位移模式和逻辑方法；最后不协调元性态的改善由Sze

完成。

下面以吴长春的相容性与优化模式为例介绍多变量有限元，它是以非协调释解函数的多变量有限元的非线性相容分析为基础，导出能量相容条件和单元优化条件以及这些条件的杂交元的优化方法，构建了单元优化格式和多变量参数匹配原理。

2.2 杂交应力元

在杂交应力元建立初期，结构和固体有限元法的未知数都是单元节点，相当的刚度矩阵的建立是以两种基本单变量变分原理为基础的。一个是根据势能原理的协调元，其中嘉定的唯一需要满足单元内和单原件的协调；另一个是根据余能原理的平衡元，其中假定的应力需要满足单元内部平衡的应力和相邻单元间协调的边界位移。为了和混合元区分，杂交元法的定义是由多变量变分法推到，但是最后求解时，只是以节点位移为未知数的有限元法，因为有限元可以根据位移与应力或位移与应变的变分原理，所以可以区分为杂交应力有限元法与杂交应变有限元法[4]。

从变分原理角度分析，由于独立自变函数不同可以分为不同的模型，其中包括协调模型，平衡模型，混合模型，杂交模型以及杂交混

合模型。但是直到今天，杂交元在几何和材料非线性中的应用还是非常少。

2.3 混合应变元

混合应变元的发展过程：首先由Hughes和Simo提出了B方法，Belytschko在胡海昌-washizu变分原理的混合应变元做了改善，Jetteur 等进一步发展了采用一点积分的有限应变下非线性混合应变元，应用共旋公式处理有限应变，显示的导出了有限应变下屈服准则的单元一致性切线

矩阵。

混合应变元发展中另一条具有代表性的途径是Simo等基于加权残数形势的胡海昌—washizu变分原理的混合应变元。他的应变场划分为两部分：到自语假定位移场的协调应变部分和取作为独立变量的假定附加应变部分。

在单元内部先对假定应力场施加相对于假定附加应变场的L正交化条件以满足分片实验和在单元内部消去作为独立变量的假定应力场。进一步，将独立的附加应变在但愿一级凝聚掉，这类混合应变元已被推广到几何非线性[5]。Simo等采用Kirchhoff应力张量和变形速率作为应力应变度量，将变形梯度张量划分为两部分：协调变形梯度部分和取作为独立变量的假定附加变形梯度部分，构造了非线性连续提的混合应变元。

3 结语

固体力学的发展面临的问题主要有：重基础研究、轻应用基础研究、与国际计算力学软件相比差距较大、实验力学的队伍偏小、轻实验的思想没有根本改变、在结构材料的发展研究中，固体强度问题还没有根本解决等。

所以，要通过基金资助来把创新的条件和环境推动起来，长期稳定地处理好固体力学领域的基础研究与工程需求的关系，促进固体力学的新的学科生长点的发展，充分发挥固体力学的基础研究成果对工程技术和国民经济的支撑作用，达到全面发展的观念。

参考文献

[1] 中国科学技术协会主编，中国力学学会编著．力学学科发展综合报告[M]．北京：中国科学技术出版社，2007．

[2] 卞学.杂交应力有限元法的研究进展[J].力学进展，2011（3）.

[3] 李锡夔.几何非线性混合应变元的构造及应用[J].上海力学，1994（12）.

[4]国家自然科学基金委员会数理科学部．力学学科发展研究报告[M]．北京：科学出版社，2006．

[5] 李锡夔.非线性计算固体力学的若干问题[J].大连理工大学