江苏省高中数学竞赛试卷

2008年江苏省高中数学竞赛试卷

一、选择题（本题满分30分，每小题6分）

1．如果实数m ，n ，x ，y 满足a n m =+2

2，b y x =+2

2

，其中a ，b 为常数，那么mx +ny 的

最大值为 （ ）

A ．2

b a +

B ．ab

C ．22

2b a +

D ．2

2

2b a +

2．设)(x f y =为指数函数x

a y =．在P （1,1），Q （1,2），M （2,3），⎪⎭

⎫ ⎝⎛41,21N 四点中，函数)(x f y =与其反函数)(1

x f y -=的图像的公共点只可能是 （ ） A ．P B ．Q C ．M D ．N

3．在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比 数

列，那么z y x ++的值为 （ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4．如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别是 222C B A ∆的三个内角的正弦值，那么 （ ） A ．111C B A ∆与222C B A ∆都是锐角三角形

B ．111

C B A ∆是锐角三角形，222C B A ∆是钝角三角形 C ．111C B A ∆是钝角三角形，222C B A ∆是锐角三角形

D ．111C B A ∆与222C B A ∆都是钝角三角形

5．设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“α⊆a ，β⊆b ，且βα⊥”的平面α，β

（ ）

A ．不存在

B ．有且只有一对

C ．有且只有两对

D ．有无数对 二、填空题（本题满分50分，每小题10分）

6．设集合[]{}{}

222

<==-=x x B x x x A 和，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则

A B =___________________.

7．同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是P =____________（结果要求写

成既约分数）. 8．已知点O 在ABC ∆内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ∆∆与的面积之比为

_________________.

9．与圆0422=-+x y x 外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为

________________________.

10．在ABC ∆中，若tan A tan B =tan A tan C +tanctan B ，则 2

2

2c

b a +=______________. 1 2

0.5 1 x y

z

三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）

11．已知函数c bx x x f ++-=2

2)(在1=x 时有最大值1，n m <<0，并且[]n m x ,∈时，

)(x f 的取值范围为⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡m n 1,1. 试求m ，n 的值.

12．A 、B 为双曲线19

42

2=-y x 上的两个动点，满足0=⋅OB OA 。 22

11

+

为定值；

（Ⅱ）动点P 在线段AB 上，满足0=⋅，求证：点P 在定圆上.

13．如图，平面M 、N 相交于直线l . A 、D 为l 上两点，射线DB 在平面M 内，射线DC 在平

面N 内. 已知α=∠BDC ，β=∠BDA ，γ=∠CDA ，且α，β，γ 都是锐角. 求

二面角N l M --的平面角的余弦值（用α，β，γ的三角函数值表示）.

14．能否将下列数组中的数填入3×3的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、

两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明. （Ⅰ）2,4,6,8,12,18,24,36,48； （Ⅱ）2,4,6,8,12,18,24,36,72.

参考答案

一、选择题（本题满分30分，每小题6分）

1．解 由柯西不等式ab y x n m ny mx =++≤+))(()(22222；或三角换元即可得到

ab ny mx ≤+，当2

a n m ==，2

b y x ==时，ab ny mx =+. 选B.

2．解 取161=

a ，把坐标代入检验，411612

1=⎪⎭

⎫ ⎝⎛ ，而211614

1=⎪⎭⎫ ⎝⎛，∴公共点只可能是点

N . 选D.

3．解 第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的5.0=x ，16

5

=

y ，16

3

=

z ，则1=++z y x . 选A. 4．如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别是222C B A ∆的三个内角的正弦值，那么解 两个

三角形的内角不能有直角；111C B A ∆的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若222C B A ∆是锐角三角形，则不妨设

cos 1A =sin 2A =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12A π， cos 1B =sin 2B =cos ⎪⎭⎫

⎝⎛-22A π，

cos 1C =sin 2C =cos ⎪⎭

⎫

⎝⎛-12C π.

则 212

A A -=

π

，212

B B -=

π

，212

C C -=

π

，

即 )(2

3222111C B A C B A ++-=

++π

，矛盾. 选B. 5．解 任作a 的平面α，可以作无数个. 在b 上任取一点M ，过M 作α的垂线. b 与垂线确

定的平面β垂直于α. 选D.

二、填空题（本题满分50分，每小题10分） 6．解 ∵2

当[x ]=2-，则02

=x 无解； 当[x ]=1-，则12

=x ，∴x =1-；

当[x ]=0，则22=x 无解； 当[x ]=1，则32

=x ，∴3=

x .

所以31或-=x .

7．解 考虑对立事件，216916513

=⎪⎭

⎫

⎝⎛-=P .

8．解 由图，ABC ∆与OCB ∆的底边相同，高是5：1. 故面积比是5：1.

9．解 由圆锥曲线的定义，圆心可以是以（2,0）为焦点、

2-=x 在x 轴负半轴上.所以轨迹方程为)0(82

>=x x y ， 或)0(0<=x y .